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CAPITULO VI – TRANSPORTE DE SEDIMENTOS EM CANAIS 6.1 – Generalidades Du Boys, em 1879, sugeria que o movimento dos sedimentos do leito deveria ocorrer em camadas com espessuras iguais às dos grãos. A camada da superfície teria maior velocidade, e a partir deste ponto a velocidade decresceria linearmente com a profundidade, figura 6.3. Esta foi uma das primeiras tentativas de formalizar um modelo que representasse o fenômeno de transporte sólido. Aparentemente foi Krey quem, em 1910, observou que o modelo idealizado por Du Boys não correspondia à realidade. As observações feitas por Krey e outras posteriores, revelaram que somente a camada superficial era passível de movimento. Ademais, o movimento não se realizava pelo escorregamento da camada superficial. Na verdade, existem mecanismos distintos para o transporte de material sólido, ou seja, junto ao fundo existem as modalidades de transporte por arrastamento e por saltitação, e nos estágios mais avançados do escoamento, ocorre o transporte de materiais em suspensão no seio líquido. Os diversos estágios do escoamento dos sedimentos podem ser sintetizados da seguinte forma: 1) τ0 < τ0cr qs =0 não há transporte de sedimentos 2) τ0cr < τ0 < τ0’cr qs = qsf O material é transportado por arrastamento ou saltitação (qsf), numa determinada camada do escoamento y < ε. 3) τ0’cr < τ0 qs = qsf + qss O material é transportado por rolamento ou saltitação (qsf) na camada y < ε, e em suspensão (qss) na camada ε < y < h. A partícula que é arrancada do leito pelas forças da turbulência, não terá uma trajetória determinada Tb (figura 6.1). Sua trajetória estará à mercê das forças de turbulência, de natureza randômica, e portanto, a partícula se movimentará numa trajetória probabilística Ts (figura 6.1).
A limitação convencional entre o transporte de fundo (por arrastamento ou saltitação) e o transporte em suspensão, em essência, é uma idealização que na realidade não existe. Desde que as trajetórias Tb e Ts são típicas de materiais transportados pelo fundo e em suspensão, e que a transição entre as duas modalidades não é abrupta (existem
entre elas outras trajetórias típicas de situações intermediárias T1, T2, T3.... (figura 6.2), não existe um valor determinado de τ0’cr que determine o início do transporte em suspensão, nem uma camada de espessura y = ε, que separe as regiões das duas modalidades de transporte.
No estudo das modalidades de transporte de fundo, em suspensão e total, que serão apresentadas a seguir, foram selecionadas algumas fórmulas de transporte sólido mais utilizadas. Destas, algumas mais consagradas, serão analisadas com maior profundidade. 6.2 – Transporte sólido de fundo Existem basicamente duas modalidades de transporte de fundo, definidas pelo “Subcommittee on Sediment Terminology” da “American Geophysical Union” como: Transporte de contacto, em que o material se movimenta através de rolamento ou escorregamento sobre a superfície do leio. Transporte por saltitação, em que o material se desloca em pequenos saltos. Em ambos os casos os movimentos são descontínuos, caracterizados por deslocamentos relativamente rápidos, entremeados de períodos de repouso. Nos cursos naturais, de maneira geral, o transporte de fundo predomina nas regiões de cabeceira, devido às caracterísiticas gerais dos sedimentos, que nestas regiões, são mais grosseiros. O transporte por saltitação nestes casos, pode representar uma parcela importante. De maneira geral, a medição do transporte por saltitação é muito difícil, além do que esta modalidade é pouco representativa nos casos de escoamentos em leitos arenosos. Por esta razão, os transportes por contato e por saltitação são agrupados sem distinção, para representar o transporte de fundo, ou seja, o transporte nas imediações do leito. A pesar de existirem modelos teóricos que expliquem razoavelmente o transporte de fundo, não se conseguiu ainda nenhum método de cálculo que o quantifique, dentro dos padrões normais de precisão para a engenharia. Os métodos de cálculo foram desenvolvidos basicamente com dados de Laboratório, uma vez que os dados das medições na natureza são bastante escassos. Mesmo assim os resultados de Laboratório são efetuados em sua acuracidade, por dificuldade técnicas de medição. Quando os sedimentos são muito finos, parte deste material é transportado em suspensão, e muitas vezes contabilizado como transporte de fundo. As medições realizadas numa determinada seção apresentam uma variabilidade no tempo, e existem exemplos que apontam uma dispersão em relação ao
valor médio da ordem de 300 a 500 por cento. Isto se deve à variabilidade da intensidade de transporte nos diversos pontos de ondulação do leito. Para tornar ainda mais complexo o problema, há uma interdependência entre o transporte de fundo e a resistência ao escoamento, devido à rugosidade de forma. A falta de um completo entendimento de como equacionar corretamente a resistência em canais aluvionais, além de todas as incertezas que cercam os dados de medições, dificulta sobremaneira o equacionamento do transporte de fundo. Partindo destas evidências pode-se esperar uma diferença significativa nos resultados das aplicações das diversas metodologias de cálculo que serão apresentadas a seguir. Estas metodologias foram classificadas de acordo com a natureza da formulação: a- Formulações de natureza empírica b- Formulações baseadas na análise dimensional c- Formulações teórico-experimentais 6.2.1 – Métodos de cálculo do transporte sólido de fundo 6.2.1.1 – Formulações de natureza empírica - Fórmula de Du Boys A primeira fórmula de transporte sólido de fundo foi proposta em 1879 por Du Boys, que imaginou o escoamento do material de fundo em camadas (figura 6.3), com a velocidade máxima à superfície, decrescendo linearmente com a profundidade. Desta forma, a vazão sólida específica seria: qs = γs N . ∆h (N-1) ∆V/2 (6.1) onde: N – número de camadas. ∆V – variação da velocidade por camadas.
A tensão de cizalhamento sobre o leito deveria ser igual à tensão da resistência ao escoamento: τ0 = γs N ∆h tgφ (6.2) onde: φ - ângulo de repouso O número de camadas N, pode ser obtido através da condição crítica de início de arraste, em que N = 1.
ou
∴τ0cr = γs ∆h tgφ
τ0 τ ocr Portanto a equação 6.1 fica na forma: γ ∆h∆V qs = s 2 ⋅ (τ 0 − τ 0 cr )τ 0 2τ ocr -Fórmulas empíricas gerais
(6.3)
N=
(6.4)
Apesar do modelo proposto por Du Boys ser incorreto, existem inúmeras fórmulas de natureza empírica, que apresentam muita semelhança com a expressão 6.4. a restrição que é feita a fórmulas deste tipo, é que não consideram o efeito da rugosidade de forma. Na tabela 6.1, são apresentadas algumas fórmulas empíricas. Os coeficientes a e b das fórmulas representam coeficientes empíricos.
-Fórmulas de Meyer-Peter e Muller A fórmula empírica de maior aceitação é a que foi desenvolvida por Meyer-Peter e Muller (1948). Nos primeiros estudos realizados por Meyer-Peter, Favre e Einstein (1934) este grupo chegou à seguinte equação, válida para sedimentos grosseiros: 2
2
0,4qsb 3 q 3 J = − 17 (6.5) d d porém, esta fórmula apresentou grandes discrepâncias quando testada com sedimentos finos. Posteriormente, Meyer-Peter e Muller modificaram a equação 6.5, baseados nos seguintes fatos: a – a desuniformidade do material alterava o valor das constantes da equação; b – uma parcela da tensão de atrito era utilizada para vencer as ondulações do leito, não participando do transporte de material sólido. A partir destas considerações, propuseram um método de cálculo, em que a perda de carga unitária do escoamento se subdividia em duas parcelas: uma correspondente à rugosidade do grão e outra à rugosidade de forma. J = J’ + J’’ (6.6) A interpretação física é simples, tratando-se de uma superposição de efeitos. A primeira parcela corresponde à perda de carga num canal de seção regular, contando apenas com a rugosidade dos grãos, e a segunda parcela corresponde à perda de carga num canal com a rugosidade das deformações decorrentes do transporte sólido. O valor de J’ é determinado pela fórmula de Manning-Strickler: 2 1 1 3 2 u m = .R J ' (6.7) ns 1
d6 ns = 90 26,0 Igualando a expressão 6.7 à fórmula de Manning (4.35), chega-se a:
(6.8)
2
J ' ns = (6.9) J n Introduzindo esta relação na equação 6.5 a rearranjando-a, Meyer-Peter e Muller obtiveram a equação: 3 2
1
qsb ⋅ γs − γ
2
3 1 (6.10) 1 (γs − γ )3 da onde da é o diâmetro característico, representado pela média aritmética dos diâmetros da mistura. Nos sedimentos utilizados por Meyer-Peter e Muller da variou entre d50 e d60. A equação 6.10 foi obtida para o seguinte campo de variáveis: J = 4.10-4 a 2.10-2 m/m d = 0,4 mm a 30 mm h = 1 cm a 120 cm γ 3 γRJ ns = 0,047 + 0,25 ⋅ n (γs − γ )da g
γs − γ = 0,25 a 3,2 γ O amplo campo de dados em que a fórmula foi utilizada com resultados pouco dispersivos, tornaram a aplicação deste método mais confiável em aplicações generalizadas. Ning Chien (1954), obteve sucesso no teste comparativo da equação 6,10 com a fórmula de Einstein, figura 6.4, o que não deixa de ser também um bom indicador para o seu uso.
A equação 6.10, pode ser reescrita numa forma mais conveniente, figura 6.5: 3
2
ns 2 τ * = 0,047 + 0,25φ 3 n
(6.11)
onde: φ=
qsb γs − γ 3 γs ⋅ g ⋅ da γ 3
ou φ = 8(τ '* −0,047 ) 2
(6.12)
(6.13)
3 2
onde
ns τ '* = τ n
*
(6.14)
3
e
R' ns 2 = R n
(6.15)
τ '* =
γR' J (γs − γ )d
(6.16)
A equação 6.13, desenvolvida por Chien, utiliza a metodologia proposta por Einstein, em que a subdivisão dos efeitos das rugosidades do grão e de forma é feita através do raio hidráulico. A formula 6.13, nesta forma, torna-se similar à fórmula do tipo Du Boys, onde a vazão sólida se anula para um particular valor de τ’*=0,047. Este valor concorda com os resultados do diagrama de Shields, figura 6.5. O resultado é bastante coerente, uma vez que os autores trabalharam na maioria dos casos com sedimentos graúdos. Yalin (1977) ainda propõe uma forma generalizada para a expressão 6.13. φ = 8(τ * '−τ cr )
3 2
(6.17)
6.2.1.2 – Formulações baseadas na análise dimensional As fórmulas de transporte sólido, que serão apresentadas no restante deste capítulo, serão expressas em termos dos adimensionais desenvolvidos no capítulo II (tabela 2.1). Os adimensionais mais utilizados são: vd Re * = * (6.18) υ ρ ⋅ v *2 τ* = (6.19) γ sd h h* = (6.20) d ρ W = s (6.21) ρ
φ=
qsb
c= -
(6.22)
γ −γ γs s ⋅ gd 3 γ 1 ψ = τ*
(6.23)
8 um = f v*
(6.24)
Fórmula de Shields
Em 1936, Shields, apresentou uma formulação para o cálculo do transporte de fundo, na forma adimensionalizada: ρs qsb − 1 ρ = 10 τ 0 − τ 0 cr (6.25) γ d qγJ s que também pode ser escrita da forma: 1 5 φ = 10 ⋅ c ⋅ ⋅ τ * 2 (τ * − τ *cr ) (6.26) w Esta formulação se assemelha à maioria das fórmulas vistas até o momento, relacionando o transporte sólido com o excedente de tensão acima da crítica. O efeito da rugosidade do leito está representado pelo adimensional c. Shields também considerou a variabilidade da natureza do material, através do adimensional W, fazendo-o variar entre 1,06 e 4,20. A granulometria esteve compreendida entre 1,56 mm e 2,47 mm. Uma verificação posterior desta fórmula, indicou erros de até 200%. Todavia, tal magnitude de erros é típica em formulações para o cálculo do transporte sólido. -
Método de Rottner
Rottner (1959) apresentou uma relação gráfica (figura 6.6) de quatro adimensionais. qsb
;
h ; d
u
;
J γ s −γ γ
γ −γ γ s −γ γs s ⋅ gh 3 ⋅ gh γ γ baseado em dados de 2500 observações em canais de laboratório.
(6.27)
Os adimensionais podem ser reescritos na forma: −3 qsb = φ ⋅ h* 2 γ γ s s gh 3 γ h = h* d
(6.28)
(6.29) 1
u γ s −γ ⋅ gh γ
τ 2 = c ⋅ * h*
τ J = * γ s −γ h* γ Assim, o conjunto de adimensionais passa a ser:
(6.30)
(6.31)
1
τ 2 τ φ ⋅ h* 2 ; h* ; c ⋅ * ; * h* h* −3
(6.32)
A relação da figura 6.6, através de uma manipulação dos adimensionais, pode ser expressa em função de: φ; τ*; h*; c (figura 6.7) (6.33)
O método de Rottner traduz uma tentativa de considerar o transporte sólido, através de φ, em função de τ*, da rugosidade expressa por c, e da profundidade do escoamento através do adimensional h*.
No capítulo II foi visto que nos casos em que o regime de escoamento é de leito plano, rugas ou ondulações suaves (Ks ~ d), o adimensional h* não é uma grandeza característica, e este aspecto não ficou claro na relação proposta por Rottner. As taxas de transporte obtidas por este método são muito superiores às taxas calculadas por outros métodos tradicionais, como Meyer-Peter e Muller, Einstein, Garde e diversos autores. -
Método de Garde e Albertson
Garde e Albertson (1961) verificaram que a maioria das fórmulas de transporte de fundo estabelecem uma relação do tipo: φ G = (τ * − τ *cr ) (6.34) ou ainda nos casos em que τ * >> τ *cr φ G = f (τ * ) (6.35) onde: qsb φ φG = = v *γ s d h* J Para os casos em que o leito é plano, os dados definem uma única curva, como as relações encontradas por Kalinske e Einstein (figura 6.8). Por outro lado, nos regimes de rugas ou dunas, relações deste tipo apresentam grandes dispersões, uma vez que o escoamento sólido nestes casos também está condicionado à rugosidade de forma. Garde e Albertson concluíram, então, que haveria necessidade de uma terceira variável, representada pelo adimensional c. O uso deste adimensional parece lógico, uma vez que para um determinado estágio do escoamento representados na relação τ* x Fr (figura 4.13). O transporte de fundo poderia então ser expresso em função do parâmetro de Shields τ* , e do regime do escoamento. Este, por sua vez, é representado pela resistência ao escoamento, ou seja, pelo adimensional c (figura 6.9).
Este critério pretende considerar todos os aspectos que afetam o transporte sólido de fundo sem , no entanto, entrar em refinamentos concernentes à subdivisão da tensão de cizalhamento devido às rugosidades do grão e de forma. Desta maneira, bastam as curvas representadas nas figuras 4.14, 6.8 e 6.9. 6.2.13 – Métodos Semiteóricos -
Método de Einstein (1942 a 1950)
O método de cálculo formulado por Einstein (1950) representa um marco na evolução das fórmulas de transporte de sólido. O modelo físico em que se baseia, abandona o conceito da condição crítica de início de movimento. O transporte de fundo, neste modelo, está relacionado às flutuações de velocidades. O movimento da partícula é função da probabilidade de ocorrência do desequilíbrio das forças atuantes sobre o grão. Evidências experimentais levaram Einstein a concluir que: a – Existe uma intensa e estável troca de partículas entre o material do leito em repouso e o do leito em movimento. b – Os movimentos das partículas ocorrem em passos rápidos, entremeados de longos períodos de repouso. c – Em média, os passos dados pelas partículas carreadas são constantes, e aparentemente independem do estágio do escoamento líquido, sólido ou da composição granulométrica. d – A variação no transporte sólido é atribuída à mudança nos intervalos de tempo em que as partículas permanecem em repouso. Partindo destes conceitos, Einstein desenvolveu seu método, inicialmente de natureza empírica (1942), modificando-o posteriormente através de um tratamento analítico (1950). Modelo físico O modelo físico idealizado por Einstein, para explicar o fenômeno, consiste em que o transporte sólido resulte da intensa troca entre as partículas que estão em movimento e as que estão em repouso. O equilíbrio destas trocas implica em que as quantidades de partículas retiradas e depositadas, por unidade de tempo e área, devam ser iguais. Deposição Cada partícula com um dado diâmetro d, percorre uma distância Ald. Seja uma superfície retangular de largura unitária e comprimento Ald, então o número de partículas que se depositam nesta superfície, por unidade de tempo e área é: is ⋅ qsb is ⋅ qsb nT = = (6.36) 3 Al ⋅ di ⋅ γ s k 2 d Al ⋅ γ s ⋅ k 2 ⋅ di 4 onde: is qsb – é o transporte sólido em peso, da fração is do material transportado, que tem diâmetro di, por unidade de tempo. γsk2di3- peso seco de uma partícula de diâmetro di. (k2 – coeficiente de forma do volume) Remoção O número de partículas por unidade da área do leito, para uma fração ib do material do leito com granulometria di, é dado por: ib (6.37) NB = kldi 2 onde: k1 é um coeficiente de forma de superfície.
Seja p a probabilidade de remoção de uma partícula do leito, então o número de partículas que são removidas do leito, por unidade de área e tempo é: p ⋅ ib (6.38) nB = k1 di 2 te onde: te é o tempo consumido para uma troca total na superfície AL. D. 1, entre o material em repouso e o transportado. Não existe forma para determinar te diretamente. Einstein, em 1942, propôs ma relação de dependência de te, com a velocidade de queda da partícula. te ~
d w0
(6.39)
di ⋅ γ g (γ s − γ )
(6.40)
ou te = k 3 Equilíbrio Desde que as taxas de deposição e remoção estejam em equilíbrio, ou seja, que o transporte sólido esteja em regime, pode-se exprimir a relação: q sbis ib p = 4 AL k 2γ S di k1 k 3 di 2
g (γ S − γ ) di γ
(6.41)
Probabilidade de remoção A probabilidade de remoção p, é a fração do tempo em que as forças ascensionais que agem sobre a partícula superam o seu peso. Einstein interpretou que a probabilidade poderia ser utilizada para o cálculo da distância AL. d. Seja a probabilidade p de valor “pequeno”, então a distância de transporte é limitada inferiormente, portanto virtualmente constante, e pode ser escrita: AL d = λb d (6.42) Sendo λb uma constante de percurso unitário tendo um valor em torno de 100. Considere-se agora uma situação contrária, em que a probabilidade de remoção p seja “grande”, de sorte que apenas (1-p) partículas se depositam após o percurso λbd, ao passo que p continuam em movimento. No percurso seguinte, correspondente a 2λbd, p(1p) se depositam, enquanto p2 continuam em movimento. No enésimo percurso, ou seja a n. λb.d, pn-1(1-p) se depositam, ao passo que pn seguem o percurso. Seguindo este raciocínio, o percurso máximo AL.d para que haja uma troca total, expressa em termos de probabilidade de remoção é:
λb d n =0 1− p Este valor substituído na equação 6.41, fornece a expressão: k k is qsb p 1 γ = 1 3 1 − p k 2 λb ib γ s γ s − γ gdi 3 ∞
AL.d = ∑ (1 − p) p n (n + 1) λb d =
(6.43)
(6.44)
ou p = A*φ* 1− p
(6.45)
onde: k1 k 3 k 2 λb
(6.46)
is φ* = φ ib
(6.47)
A* = constante determinada experimentalmente.
Formulação empírica (1942) A primeira formulação apresentada por H. Einstein em 1942, aplicável a sedimentos uniformes e misturas, apresenta uma relação similar à equação 6.45: p = A*42φ 42 (6.48) 1− p onde:
kk 1 γ qs 1 A*42φ 42 = 1 3 3 k 2 λb F1 (γ s − γ ) γ s − γ gdi
(6.49)
onde: 2 36µ 2 36 µ 2 + − (6.50) 3 gd 3 γ s 3 γs gd γ γ que representa o coeficiente da equação de Rubey (1933), para a determinação da velocidade de queda da partícula (3.10). Ainda nesta ocasião Einstein não discretizava a dimensão da partícula, sugerindo para os casos de misturas, que fosse utilizada como dimensão característica um diâmetro de peneiramento situado entre d35 e d45. F1 =
Determinação da probabilidade de remoção A probabilidade de remoção de uma partícula do leito, como é sabido, depende da relação entre a força de sustentação e peso da partícula. F p= f (6.51) G onde:
F=
1 C L p ⋅ ki ⋅ di 2 ub 2 2
(6.52)
G = k 2γ s' d 3 (6.53) ub – velocidade nas proximidades do leito, que em se tratando de regime viscoso: ub ≅ 11,6 v* ≅ 11,6 gR' J (6.54) A função 6.51 pode ser reescrita na forma: p = f ( B*42ψ 42 ) (6.55) onde: 2 k2 1 B*42 = (6.56) 135 k1 C L B*42 é admitido constante, porém deve-se observar que CL é variável com Re* = v*d/ν no regime laminar. 1 (γ − γ )d ψ 42 = ' = s (6.57) γR' H J τ* Na expressão 6.57, percebe-se a subdivisão da tensão de cizalhamento proposta por H. Einstein, onde ele considera a parcela τ 0 ' = γ R' J , correspondente ao grão, como a componente que efetivamente contribui para o transporte sólido. Para o caso particular, em que a probabilidade p é pequena (∅42 < 0,4), a equação 6.48 simplifica-se a: p = A*42φ 42 = f ( B*42ψ 42 ) (6.58) 42 42 As constantes A* e B* , foram determinadas empiricamente, e a função 6.57 foi ajustada aos dados de Gilbert (1914) e Meyer-Peter(1934), figura 6.10, resultando na equação: φ 0,465 = e −0,391ψ (6.59) F1
Nos regimes de transporte sólido intenso (∅42>0,4), a equação 6.58 desvia-se consideravelmente dos dados. Este fato é de se esperar, uma vez que nessas condições a hipótese da equação 6.58 não é mais válida. Para estes casos a equação completa 6.48 deve ser utilizada, resultando na curva 2 da figura 6.9. O desvio da curva em relação aos dados observados é explicado pelo fato de que nestes estão incluídas parcelas de material em suspensão. Posteriormente Brown (1950) revisando estes dados, sugeriu um ajuste da curva, 1 válida para = τ * > 0,09 , através da expressão: ψ 1 φ = 40 ψ
3
(6.60)
onde: τ* =
τ0 (γ s − γ )d
(6.61)
τ 0 - tensão de atrito total. As expressões 6.59 para τ * <0,09 e 6.60 para τ * >0,09 (figura 6.10) passaram a ser denominadas de fórmula de Einstein e Brown. Percebe-se ainda que para valores de τ * inferiores a τ *cr =0,06 (ψ=17), ocorre transporte apesar de pequeno, contrariando os resultados das fórmulas tradicionais que calculam o transporte em função do excedente de tensão acima da crítica.
Formulação analítica (1950) O método de Einstein, na sua apresentação com um desenvolvimento analítico (1950) adquiriu um caráter mais abrangente que a formulação empírica (1942). Representa uma possibilidade mais generalizada para o cálculo do transporte de fundo, uma vez que, ao contrário da formulação original, esta considera os efeitos da deformação do leito. Determinação da função da probabilidade de remoção A probabilidade de remoção da partícula, determinada pela função 6.51, pode ainda ser expressa pela probabilidade da força de sustentação superar o peso da partícula. (1 + η ) F > 1 (6.62) G onde: η - é uma função randômica distribuída de acordo com a distribuição normal, com desvio padrão η 0 = 0,5 (constante) F=
1 2 C L .ρ .k1 d1 ub 2 2
(6.52)
CL = 0,178 (obtido experimentalmente) A velocidade nas proximidades do leito ub, é considerada a uma distância de 0,35X do leito onde X representa o diâmetro característico da mistura, com: d d X = 0,77 65 se 65 > 1,80 (6.63) x xδ ' d X = 1,39δ ' se 65 < 1,80 xδ ' d 65 Onde - é a rugosidade aparente, e x é o fator de correção dos efeitos da viscosidade. O x fator x é função do grau de submersão do sedimento na camada viscosa (figura 4.23). δ ' = 11,5 υ / u*' (6.64) é a espessura da camada viscosa. A partir da equação da distribuição logarítmica de velocidades: u 0,35 X = 2,5 ln + 8,5 d 65 v* x
(6.65)
ou u X .x = 5,75 log 30,2 ⋅ 0,35 ⋅ v* d 65
(6.66)
ou u X .x = 5,75 log 10,6 v* d 65
(6.67)
a equação 6.62 fica na forma: 1>
1 1 ⋅ψ ⋅ B ⋅ 2 (1 + n) βx
(6.68)
onde: ψ = B=
γ sd γRH' J
2k 2 k = 0,34 2 2 k1 (0,178k1 )(5.75) X ⋅x βx = log 10,6 d 65
(6.69) (6.70) (6.71)
Fatores de correção Einstein introduziu na expressão 6.68, o fator de correção ε que considera o encobrimento de sedimentos finos por outros grosseiros, ou pela camada limite laminar. Neste caso, a força de sustentação deverá ser corrigida por ε-1 que é função de d/X, figura 6.11.
Um segundo fator θ foi introduzido, para corrigir o coeficiente de sustentação, que é variável de acordo com a rugosidade das diversas misturas, e portanto função de d65/δ’, figura 6.12. Para material de granulometria uniforme, tais constantes são unitárias.
A expressão 6.68, com algumas manipulações, toma a forma: 2
1 + n* > B*2ψ *2 n0
(6.72)
onde: n*=n/n0
(razão entre n e σ desvio padrão n0).
B* =
(6.73)
B n0 ⋅ β 2
(6.74)
β2 ψ * = ψ 2 ⋅ ξ ⋅ θ βx
(6.75)
em que β = log 10,6.
No limite do equilíbrio de forças, a condição de início de movimento das partículas é: 2
1 + n* = B*2 ⋅ψ *2 n0
(6.76)
ou 1 (6.77) n0 Como n, por hipótese, tem distribuição normal, a probabilidade de remoção das partículas, que vem a ser a integração da função n, fica sendo: n*limite = ± B*ψ * −
p=1-
1 π
∫
B*ψ *− 1
n0 − B*ψ *− 1 n0
2
e −t dt
(6.78)
onde: t é a variável de integração. Combinando as expressões 6.45 e 6.78, chega-se à formulação final de H. Einstein (1950), figura 6.13:
A*φ* 1 B*ψ *− 1n0 −t 2 = 1+ dt 1 e ∫ 1 + A*φ* π − B*ψ *− n0 em que os coeficientes forma obtidos experimentalmente, fornecendo os valores: A* = 43,8 B* = 0,143
(6.79)
O cálculo do transporte sólido, como foi visto, é feito individualmente para cada faixa granulométrica (is/ib) da mistura, e totalizado com a soma destes cálculos parciais. Se o sedimento do leito não tiver uma granulometria muito variada, então o cálculo poderá ser feito, utilizando-se o diâmetro d35 como dimensão característica. Método de Kalinske O método proposto por Kalinske (1947), parte de três premissas básicas: a- Existe uma condição crítica para o início do movimento das partículas, definido pela tensão crítica de cizalhamento. b- As forças do escoamento que atuam sobre as partículas, flutuam em torno de um valor médio, devido às flutuações turbulentas. c- A taxa de transporte sólido é função do número, dimensões e velocidade média dos sedimentos. Utilizando um método semelhante ao proposto por White (1940), Kalinske definiu o início de transporte sólido a partir de : τocr = 0,039 γs d (6.80)
condição que se aproxima do critério de Shields para o caso de regime turbulento rugoso. A velocidade de escoamento do sedimento é determinado por: Us = k(ub – ubcr) (6.81) onde Us é a velocidade instantânea do sedimento e ubcr e ub são as velocidades instantânea e crítica de início de movimento nas proximidades do leito. K é uma constante determinada experimentalmente e de valor unitário. Admitindo que a velocidade instantânea do escoamento obedeça a uma distribuição normal, a equação 6.81 fica: Us ucr = f ,r (6.82) u um σ Os valores com barra indicam médias temporais, e r = , com σ = (u − u ) 2 . u Lembrando que existe uma proporcionalidade entre ucr/ u e τ ocr /τ 0 , a função 6.82 pode ser reescrita na forma: τ Us (6.83) = f ocr , r u τo O transporte sólido é calculado em função da velocidade média de escoamento do sedimento: P1 π 3 qs = (6.84) ⋅ ⋅ d U S (γ S − γ ) 2 π .d / 4 6 onde: P1 - é o número d grãos por unidade de área. 2 π .d / 4 P1 – é a fração do leito ocupado pelos grãos. Com alguma manipulação de equação 6.84, chega-se a: qs 2 U = P1 S u d (γ s − γ ) 3 um ou utilizando uma das propriedades da lei de distribuição de velocidades,
(6.85) u = 11,0 , então: v*
qs γs U φ = . = 2,57 s v* (γ s − γ )d (γ s − γ ) τ * um
(6.86)
ou φ = 2,57
(γ s − γ ) γs
.τ * .
Us um
(6.87)
A função 6.83 foi determinada experimentalmente, figura 6.14, para os valores r = 0 e r = 0,25, representando as condições de regime laminar, e regime turbulento, respectivamente, nas proximidades do leito.
Kalinske verificou esta formulação através de dados experimentais, considerando r = 0,25, obtendo resultados satisfatórios, figura 6.15.
A fórmula foi desenvolvida para sedimentos de granulometria uniforme. Para os casos de misturas o autor recomenda o uso de diâmetro médio, para que se obtenham melhores resultados. A principal limitação deste método, contudo, está em não considerar as deformações do leito. Portanto este método deve encontrar bons resultados somente nos casos em que o leito é plano. 6.3 – Transporte sólido em suspensão O transporte sólido em suspensão ocorre nos estágios mais avançados do escoamento líquido, quando parte das partículas sólidas que entram em movimento, atingem regiões em que a turbulência é capaz de produzir esforços ascensionais de mesma magnitude dos pesos das partículas. Para entender o mecanismo que mantém o sedimento em suspensão, considere-se um plano horizontal, orientado segundo o sistema de coordenadas da figura 6.16, e uma superfície elementar de área dx . dz.
A velocidade do escoamento representa a somatória de todas as componentes: r r r r v = vx + vy + vz (6.88) onde vx = vx + vx' (6.89 a) vy = vy + vy'
(6.89 b)
vz = vz + vz'
(6.89 c)
as componentes vx’, vy’ e vz’, correspondem às flutuações de velocidade devido à turbulência. Estas componentes variam em módulo e sentido no transcorrer do tempo, de sorte que a média temporal é nula. A vazão sólida instantânea que atravessa a superfície elementar dx dz será portanto: qs = vy’ . C dx . dz Como a concentração instantânea também pode ser decomposta em: c = c + c'
(6.90) (6.91)
então: qs y = vy ' (c + c' ) = vy ' c + vy ' c' = vy ' c'
(6.92)
pois: vy' c =0 Nos escoamentos com transporte em suspensão, a concentração média c decresce à medida que cresce a distância do leito, devido à ação da força gravitacional sobre os grãos. No movimento ascensional, o fluido se movimenta de uma região de maior concentração para uma região de menor concentração, portanto com grande possibilidade de que a concentração c + c' , do ponto de partida seja maior que a
concentração local. No movimento da descida, partindo do mesmo raciocínio, a afirmação oposta é válida. Por esta razão, no movimento ascendente a componente +vy1 está associada a +c’ no movimento descendente a componente –vy’ está associada a –c’, resultando, nestes dois casos, num produto v y ' c' positivo, fazendo com que se produza um movimento ascendente dos sedimentos, mantendo-os em suspensão. Evidentemente podem ocorrer alguns casos em que tal produto seja negativo. A relação entre as flutuações de concentração c’, e de velocidade vz’, é algo do tipo do diagrama da figura 6.17, cujo coeficiente de correlação é definido por: c' vy' β1 = (6.93) c' 2 . vy ' 2 onde c' 2 é a média quadrática da flutuação de concentrações, que pode ser calculada da forma: dc c ' 2 = l* (6.94) dy onde l* tem a dimensão de um comprimento característico, análogo ao comprimento de mistura l, definido por Prandtl (equação 4.5).
Das equações 6.92, 6.93 e 6.94, pode-se expressar a vazão sólida em suspensão no sintido ascensional da forma: dc qs y = − Es (6.96) dy onde: - c = C por simplicidade de notação 2 - Es = β 1 (c') l* definido como coeficiente de difusão do sedimento
-
o sinal negativo representa que o transporte ocorre na direção em que a concentração decresce.
Se por um lado a turbulência do escoamento produz um movimento de ascensão das partículas, o peso desats produz um movimento em sentido contrário: qs y = C.W0 (6.97) onde Wo representa a velocidade final de queda das partículas. No caso em que o escoamento está em regime, ou seja, quando há equilíbrio entre as forças de turbulência e peso das partículas, e portanto a vazão sólida qsy é nula, então: C wo + Es (dc/dy) = 0 (6.98) Esta equação foi desenvolvida por Wilhelm Schmidt em 1925 para partículas finas na atmosfera, e posteriormente por M.P.O’Brian (1933), em estudos de transporte de sedimentos em suspensão em cursos de água. A equação de difusão dos sedimentos, pode ainda ser escrita numa forma mais generalizada: δc δc δc δc δ δc δ δc δ δc δc = − vx − vy − vz + Ex + Ey + Ez + wo (6.99) δt δx δy δz δx δx δy δy δz δz δy 6.3.1 – Distribuição da concentração do material transportado em suspensão A expressão da distribuição da concentração do material em suspensão é obtida pela integração da equação 6.99, ou ainda, no caso particular do escoamento ser bidimensional e sem variação da concentração ao longo do eixo x, a partir da integração da equação 6.98. Neste último caso, considerando ainda que a turbulência seja uniforme em toda a profundidade do escoamento, portanto com o coeficiente de difusão Es constante, a integração da equação 6.98 resultará em: wo − ( y −a ) C = e Es (6.100) Ca onde: Ca é uma concentração de referência a uma distância, a do fundo. Nos escoamentos em canais, no entanto, o coeficiente de difusão Es é variável de acordo com a profundidade. Para a determinação do coeficiente de difusão Es, considere-se que a tensão de cizalhamento τ o possa ser determinada de maneira análoga ao que foi feito nas equações 6.92 a 6.96: τ = ρ vx' vy'
(6.101)
então: du (6.102) dy vy’ l representa o coeficiente de difusão da quantidade de movimento, ou τ = ρ .E
onde E = β 2
ainda um coeficiente cinemático da viscosidade turbulenta. Evidências experimentais indicam haver uma relação entre os coeficientes de difusão do sedimento e da quantidade de movimento, do tipo:
Es = β 3 E (6.103) onde β 3 é uma constante de proporcionalidade. Para efeito prático, pode ser adotado o valor unitário. Com as equações 6.102, 6.103 e as equações de distribuição da velocidade e tensão de cizalhamento vistas no capítulo IV. du 1 τ 0 = . (6.104) dy xy ρ τ h− y = τ0 h
(6.105)
obtém-se: τ0 y . (h − y ) ρ h Substituindo a equação 6.106 em 6.98, tem-se: dc wo h =− dy c β 3 χv* y (h − y ) Integrando a equação 6.107 obtém-se: Es = β 3 χ
C h− y a = . Ca y h − a
(6.106)
(6.107)
z
(6.108)
onde: z=
wo χv*
(6.109)
admitindo β 3 = 1.0 A equação 6.108, foi desenvolvida por H. Rouse (1965) e por esta razão recebeu sua denominação. É comum também encontrar na literatura, o expoente z da equação 6.109, referindo como o número de Rouse. A figura 6.18 é um gr´fico da equação 6.108, preparada por Rouse, para diversos valores de z.
A verificação experimental da equação 6.108, foi feita por diversos pesquisadores, sempre apresentando resultados satisfatórios. A título de exemplo, a figura 6.19 representa dados de medições no rio Missouri (E.U.A.) e resultados de experimentos em laboratório obtidos por V. Vanoni (1953). Percebe-se claramente o ajuste das curvas teóricas com os dados experimentais. Os valores dos expoentes z foram obtidos indiretamente, a partir das curvas que melhor se ajustaram aos pontos.
Existem ainda outras abordagens para a determinação da distribuição da concentração, como as apresentadas por Bagnold (1966), Velikanov (1954), Einstein e Chien (1954), Tanaka e Fugimoto (1958) e outros, mas que dispensam maiores comentários, uma vez que estes métodos não representam um avanço significativo em relação à equação 6.108. 6.3.2 – Cálculo do transporte sólido em suspensão por Einstein Desde que se conheçam as curvas de distribuição da velocidade e concentração, a vazão sólida com suspensão é obtida pela integração: qss =
∫
h
yo
Cudy
(6.110)
ou z
h − y a v* ' ln 30.2 y.x dy qss = ∫ Ca . (6.111) a d 65 y h−a χ o limite inferior “a” adotado por Einstein, corresponde a dois diâmetros do sedimento (a=2d). A velocidade de atrito, refere-se ao grão (v*’), para considerar o efeito da deformação do leito. Desenvolvendo a integral 6.111, chega-se a: h
v' η qss = Ca ⋅ * ⋅ h ⋅ a χ 1 − ηa onde na =
z
z 1 1 1 − n z 1 − ny h x 30 , 2 . . y . ln ny ⋅ dn y + ln dn y d 65 na∫ n y na∫ n y
(6.112)
a y e ny = h h
Fazendo-se a transformação: nai z −1 I1 (nai; Zi) = 0,216 (1 − nai ) z
z
1 − ny ∫na ny .dny 1
(6.113)
z
1 1 − ny nai z −1 ln ny.dny (6.114) I2 (nai; Zi) = 0,216 z ∫ (1 − nai ) na ny 30,2.R.x (6.115) Pr = ln d 65 A expressão 6.112 toma a forma: 4,64.v* ' is qss = .Cai.ai [Pr I1 (nai , Z i ) + I 2 (nai , Z i )] (6.116) χ Nas expressões 6.113 a 6.118, é feita a discretização da distribuição granulométrica, ai = 2dsi, proposta por Einstein, e a profundidade h é substituída pelo raio hidráulico R. Considerando que a vazão sólida de fundo pode ser representada por: 4,64 ⋅ v* ' ib qb = Cai ai (6.117) χ a expressão 6.116 toma a forma final:
is qss = ib qb .( Pr I1 (ηai, Zi ) + I 2 (nai, Zi ))
(6.118)
As integrais I1 (nai, Zi) e I2 (nai,Zi), são obtidas graficamente através das figuras 6.20 e 6.21.
6.4 – Transporte Sólido Total O material sólido transportado num escoamento, corresponde à soma do material predominante na constituição do leito e da carga de lavagem. Esta última parcela é constituída por um material mais fino, raramente encontrado no leito. A carga de lavagem é resultado da erosão do solo da bacia, das margens, ou do próprio desgaste do material. A produção deste material está ligada a fatores externos ao escoamento, não permitindo uma correlação com parâmetros hidráulicos. Este fato não acarreta maiores problemas nas aplicações da prática, uma vez que a carga de lavagem, na maioria dos casos, praticamente não interfere na evolução do leito. A separação da parcela correspondente à carga de lavagem é difícil de ser feita, e os critérios são muito subjetivos. Einstein (1940), por exemplo, sugere de forma arbitrária, que se exclua 10% do material mais fino da composição granulométrica do leito. A taxa da carga de lavagem quantificada por Benedict e Matejka no Middle Loup River em dunning (USA) era em torno de 10% do transporte sólido total. Em alguns canais da Índia e do Paquistão foram observadas taxas muito maiores. No estudo do transporte sólido total, desenvolvido neste capítulo, exclui-se a parcela correspondente à carga de lavagem. Existem dois enfoques distintos no que tange ao equacionamento do transporte sólido total, que Garde (1977), definiu da seguinte forma: Métodos Macroscópicos: Neste enfoque, o transporte sólido total é considerado como um todo. Os autores que advogam esta forma de tratamento, argumentam que o transporte sólido em suspensão é um estágio avançado da tração do escoamento sobre o leito. Portanto o transporte sólido total deve estar relacionado com estes esforços de tração do escoamento, não havendo necessidade de distinguir as modalidades de transporte. As metodologias compreendidas neste grupo são baseadas em análise dimensional, intuição ou, por vezes, em completo empirismo. São exemplos desta categoria os métodos de Laursen (1958), Bishop et alli (1965), Engelund e Hansen (1967), Achers e White (1973), Garde e Raju (1981). Métodos Microscópicos: Neste grupo estão as metodologias que fazem a subdivisão do transporte sólido total em transporte de fundo e transporte em suspensão. Como se sabe, os mecanismos nestas duas modalidades são totalmente distintos, de forma que os equacionamentos são diferentes par cada uma das modalidades. São exemplos desta categoria os métodos de Einstein (1950), Colby et alli (1955), Toffaleti(1969). 6.4.1 – Exemplos de métodos macroscópicos Método de Laursen (1958) Partindo de uma análise intuitiva, Laursen considerou que o transporte sólido, representado pela concentração média Cm(em porcentagem de peso), poderia ser expressa em função de adimensionais representativos do transporte sólido. O autor escolheu os
adimensionais v*/wo e
τo'
τ cr
, como representativos do transporte em suspensão e de fundo,
respectivamente. A tensão de atrito é calculada pela fórmula de Strickler (Capítulo IV): τ 0 ' = 1,74u 2 m(d 50 / h)1 / 3 e a tensão crítica determinada pelo gráfico de Shields (Capítulo V). Para testar o grau de importância do parâmetro
(
τ
o
'
τ
cr
τo'
τ cr
(6.119)
, Laursen relacionou Cm com
- 1) e obteve uma variação praticamente linear. Por razão intuitiva,
acrescentou à relação de parâmetros o adimensional (d/h)7/6, obtido da equação de Strickler. A relação final a que chegou foi: Cm (6.120) = f ( v* / woi ) 7 / 6 τ o ' ∑ pi(di / h) τ cr − 1 representada pela função da figura 6.22, válida para diâmetros entre 0,11 mm e 4.08 mm. O autor ainda sugere, para que se tenha maior acuracidade nos cálculos, que estes sejam feitos com o fracionamento da composição granulométrica, conforme está indicado na equação 6.120.
Bondurant (1958), ao aplicar o método em diversos trechos do rio Missouri, verificou que os valores observados localizava-se à esquerda da curva de Laursen (figura 6.22), e concluiu que seria necessário fazer uma revisão da função. Bogardi , desenvolveu uma relação similar à apresentada por Laursen, figura 6.23:
Cm 2 = Γ( gd / v* , d ) τ ' (di / h)7 / 6 o − 1 τ cr
(6.121)
Método de Bishop, Simons e Richardson (1965) A metodologia desenvolvida por Bishop, Simons e Richardson, é decorrência de uma simplificação do método de Einstein, e baseia-se na seguinte premissa: O transporte sólido do material do leito por definição, é a parcela do transporte sólido total que possui a mesma granulometria de uma grande parte do material encontrado no leito (exclui-se portanto a carga de lavagem). É razoável considerar que as causas que produzem o transporte de material em suspensão e de fundo sejam as mesmas. Portanto, pode-se admitir o cálculo do transporte sólido de uma forma global. Desta forma, eliminam-se as dificuldades decorrentes da divisão do transporte sólido em suspensão e de fundo, assim como a divisão das zonas correspondentes a cada uma das modalidades de transporte. Partindo de medições em laboratório, com sedimentos cujos diâmetros médios forma 0,19 mm, 0,27 mm, 0,47 mm e 0,93 mm, os autores verificaram que a aplicação do método de Einstein fornecia valores abaixo do real nos regimes de rugas e a tendência oposta era verificada para o regime de antidunas. Um outro aspecto interessante que pode
ser visto é que a composição granulométrica do material transportado em suspensão apresenta variações em função do regime de escoamento. Nos regimes de rugas e dunas, as dimensões dos grãos transportados são inferiores aos da composição do leito, apresentando uma curva mais graduada, figura 6.24. Este fato pode explicar em parte as discrepâncias verificadas na aplicação do método de Einstein, uma vez que os cálculos são efetuados em função da composição granulométrica do leito.
O método utiliza uma relação entre parâmetros φT e ψ’, definidos por: φT = γs
qst γs −γ γ
(6.122) gd
3
(γ s − γ )d 35 (6.123) γR' J onde qst representa a vazão sólida total por unidade de comprimento. As figuras 6.25 e 6.28, apresentam as curvas ajustadas aos resultados dos experimentos, para cada granulometria. As linhas cheias representam as curvas ajustadas visualmente, e as linhas tracejadas representam a adequação dos parâmetros A* e B*. As curvas ajustadas visualmente, apresentam o mesmo tipo de conformação, como pode ser visto na figura 6.29, distinguindo-se três regiões distintas correspondentes aos regimes inferior (parte inferior da curva), de transição (região de inflexão) e superior (parte superior da curva). A curva de Einstein, com o ajuste de A* e B* adere bem aos dados na região correspondente ao regime inferior, desviando-se bastante na região de transição. Esta metodologia foi testada para oito rios dos E.U.A., apresentando resultados um pouco melhores em relação ao método de Einstein. A grande vantagem na aplicação deste método reside na sua simplicidade de aplicação. A aplicação deste método pode ser feita fazendo-se uso da figura 6.30, e da curva correspondente à granulometria obtida através de interpolação gráfica. Outra forma de ψ '=
aplicação pode ser feita, utilizando-se a equação 6.80, de Einstein, com os valores de A* e B* obtidos através da figura 6.30, desde que o escoamento esteja em regime inferior.
Método de Graf et alli (1968) Esta metodologia foi desenvolvida por Graf et alli, para calcular o transporte sólido total, tanto em escoamentos livres como em condutos forçados. As hipóteses assumidas são as seguintes: a) leito plano e estacionário; b) granulometria uniforme; c) seção transversal constante; d) utiliza o critério de condição crítica de início de movimento; A condição de movimento incipiente de uma partícula sólida, é determinada, como foi visto no capítulo 5, a partir do equilíbrio entre a força hidrodinâmica atuante sobre a partícula e a respectiva força de resistência ao movimento: r r Gs tgθ = FD (6.124) onde: Gs – peso submerso da partícula Gs = k3 (ρs - ρ) gd3 tg θ - coeficiente de atrito (θ ângulo de repouso) FD – força hidrodinâmica sobre a partícula calculada por 2 2 ρu FD = CD ki d 2 CD – coeficiente de arrasto uf d CD = Γ1 , K 2 υ K1, K2 e K3 – coeficientes de forma uf – velocidade nas proximidades do leito uf v Ks yuf = Γ2 * , ,C v* Ks υ yuf – profundidade onde ocorre uf, que por definição é: yuf = k4d C – concentração de partículas sólidas Ks – rugosidade equivalente de Nikuradse
(6.125)
(6.126)
(6.127)
Fazendo-se a substituição destas variáveis em 6.124, obtém-se a expressão:
(γ s − γ )d
1 k1 v d ub ⋅ d , k2 ⋅ Γ2 * , k4 , C = ⋅ Γ1 2 k3tgθ τ ocr υ υ que para uma determinada partícula toma a forma simplificada: v d ψ cr = Γ3 * , C υ
2
(6.128)
(6.129)
Este é um critério de início de movimento de material do leito, semelhante ao de Shields, apresentado no capítulo 5. A diferença básica é que leva em consideração a concentração de material transportado. O transporte sólido total, definido através de: Q qst = C (γ s − γ ). (6.130) P onde: Q – vazão líquida total P - Perímetro molhado (constante) foi relacionado com a potência do escoamento disponível para o transporte sólido, ou seja, com o excesso de tensão acima da crítica, expressa por: N = τ o ⋅ um ⋅ Γ4 (ψ )
(6.131)
onde a função Γ4 (ψ ) foi adotada intuitivamente pelos autores, para representar a parcela responsável pelo transporte sólido. Por uma questão de coerência de notação o transporte sólido total foi multiplicado pelo fator um/wo, para transformar o resultado em termos de potência, de onde se obtém: um qst = τ 0 .um.Γ4 (ψ ) (6.132) wo ou qst = τ 0 .wo.Γ4 (ψ ) (6.133) A equação 6.133 pode ser adimensionalizada, dividindo-se os dois membros por (τ ocr ) ⋅ τ ocr / ρ , ou seja
τ o wo . .Γ4 (ψ ) τ ocr τ ocr τ ocr τ ocr ρ ρ A velocidade de queda é calculada por: 4 γ s − γ gd wo = 3 γ cD a tensão de atrito crítica, é obtida através do parâmetro de Shields: τ ocr = Ks (γ s − γ )d e a razão τ o / τ ocr é uma função de ψ, ou seja: τo = Γ5 (ψ ) τ ocr Substituindo 6.130, 6.135, 6.136 em 6.134, obtém-se Q.C 4 K5 = Γ4 (ψ ) ⋅ Γ5 (ψ ) ⋅ 3 P (γ s − γ )d 3 CD ou: qst
=
(6.134)
(6.135) (6.136) (6.137)
(6.138)
φ A = Γ6 (ψ )
(6.139)
Onde: φ A e Γ6 (ψ ) representam, respectivamente, o primeiro e o segundo membros da expressão 6.138. A relação funcional 6.138, foi obtida por Grafet alli (1968), utilizando dados de medições de transporte sólido total em canais, rios e condutos forçados, de diversas fontes. A partir de uma análise de regressão os autores obtiveram o seguinte resultado: φ A = 10,39(ψ )−2,52 (6.140) É interessante observar que este método apresentou, nas aplicações efetuadas pelos autores, resultados melhores nos escoamentos livres do que nos escoamentos forçados, embora as hipóteses para a aplicação desta metodologia se ajustem mis a este último caso. Método de Raju et alli (1981) O recente trabalho apresentado por Garde e Raju em 1981, representa uma evolução do método proposto por Vital, Garde e Raju (1973). Neste último, após uma análise de uma grande quantidade de dados de diversas fontes, os autores verificaram que nos escoamentos em regime plano, com concentrações baixas, há uma relação bem definida entre os adimensionais φT e ψ’ (equações 6.122 e 6.123), figura 6.31. Nos casos em que o leito é ondulado, com transporte em suspensão, a tensão de cizalhamento efetiva τoe, responsável pelo transporte sólido, é definida como: (6.141) τoe = (τo’ + τo’’) (ver capítulo IV, 4.1). O parâmetro τ*e, definido como:
τ oe (6.142) (γ s − γ )d é determinado neste método através de uma relação empírico-experimental, tomando-se como variável o parâmetro τ*’, figura 6.32. O transporte sólido total para o rgime de rugas e dunas é calculado através da curva experimental φT = Γ(τ*e), figura 6.33. Verificações posteriores demonstraram que a acuracidade do método é bastante afetada por erros na determinação de τ*e, decorrente de uma falha conceitual. Ao contrário dos casos em que o transporte de material em suspensão é discreto, e portanto τ*e≅τ*’, quando a concentração de material em suspensão é elevada, pode-se esperar uma dependência de τ*e/τ*’ com u*/wo, e a relação apresentada na figura 6.32 torna-se insuficiente. A partir da análise dimensional pode-se escrever a relação: τoe=Γ(ρ, µ, γ, γs, τo, um) (6.143) que pode ser simplificada, resultando: τoe=Γ(ρ, wo, τo, τo’) (6.144) ou na forma adimensionalizada τ *e =
τ ' v τ oe = Γ o , * τo' τ o w0
(6.145)
Plotando os parâmetros τ*’/τ* e v*/wo contra τ*e/τ*’, com dados provenientes de diversas fontes, os autores puderam verificar as tendências da relação 6.145, figura 6.34, de que resultou a seguinte expressão: τ oe τ 0 ' = τ o ' τ 0
−m
Quando não há transporte sólido em suspensão, ou seja, quando: u* ≤ 0,5 (z ≥ 5,0) w0 então: m=0 e τ*e = τ*’ (leito plano)
(6.146)
A partir da figura 6.34, foram determinados valores de m em função de u*/wo resultando na seguinte equação, quando u*/wo ≥ 0,5: m = 0,2 v*/wo – 0,10
(6.147)
A expressão 6.146 pode ser escrita em termos de τ*e’, ou seja: τ *e
τ ' = τ * ' 0 τ0
−m
(6.148)
e a função de transporte sólido torna-se: −m
τ ' φT = Γ(τ * '. o ) (6.149) τo que resulta na relação experimental da figura 6.35. A curva experimental 6.149, foi ajustada resultando na expressão: τ ' −m φT = 60τ * '. o τ o
3
(6.150)
−m
τ ' válida para 0,05 ≤ τ * '. o ≤1,0. τo
O campo da validade da equação, cobre a maioria das situações práticas. Os erros encontrados na aplicação da função 6.150, está compreendido entre ± 40 % para 80 % dos casos analisados. Método de Engelund e Hansen (1967) Utilizando os princípios de semelhança, Engelund e Hansen desenvolveram uma metodologia d cálculo baseada nas mesmas hipóteses do trabalho desenvolvido no capítulo 4, para o cálculo da resistência em canais aluvionais.
A partir da análise dimensional, sabe-se que qualquer grandeza física pertinente ao fenômeno pode ser expressa em função dos adimensionais característicos (capítulo 2). Portanto, o adimensional de transporte sólido φ e o fator de fricção podem ser expressos na forma: φ = Γ1 (τ * , d* ) (6.151) f = Γ2 (τ * , d* ) (6.152) o que permite escrever: φ = Γ3 (τ * , f ) (6.153) Considerando-se que a energia para transportar as partículas a uma altura h da mesma ordem de grandeza das deformações do leito, é igual ao trabalho exercido pelas forças de arraste para o movimento das partículas no mesmo intervalo de tempo, pode-se escrever a equação:
(γ s − γ ) qs h = α (τ 0 '−τ ocr )l ⋅ v*
(6.154) γs onde α é uma constante de proporcionalidade que multiplicada pela velocidade de atrito, representa a velocidade de deslocamento das partículas. h e l representam os deslocamentos nas direções vertical e horizontal, respectivamente, da mesma ordem de grandeza das deformações do leito. A equação 6.154 pode ser reescrita numa forma mais conveniente: f
qs h (τ '−τ ) = α ⋅ 0 ocr v* ⋅ d (γ s − γ )d γ s fl
(6.155)
ou fφ = α (τ * '−0,06) τ * (6.156) pois através do gráfico de Shields, segundo Rouse, τ*cr=0,06, para os casos em que o regime é turbulento rugoso. No capítulo 4, foi visto que: λh λf = (6.157) λl portanto: λf ⋅ λl f ⋅l = =1 (6.158) λh h Da equação da resistência proposta por Engelund e Hansen, sabe-se que no regime de dunas:
τ * '−0,06 = 0,4τ * 2 portanto a equação 6.156, toma a forma: 5 f ⋅φ ~ τ * 2
(6.159) (6.160)
A relação 6.160 foi determinada experimentalmente para todos os regimes de escoamento, resultando em: 5
f ⋅ φ = 0,1 ⋅ τ * 2 (6.161) Segundo os autores, seria mais lógico considerar a velocidade de atrito relativa ao grão, v*’ ( referente à tensão efetiva). Portanto a expressão 6.161, deveria ser expressa da forma: f .φ ~ (τ * '−0,06) τ * ' (6.162) O ajuste da curva da figura 6.162 (tracejada), possui uma expressão diferente: f .φ = 0,077τ * τ * + 0,15 (6.163) Quando τ* é pequeno, a equação aproxima-se assintoticamente de uma relação do tipo fφ~τ*2, o que indica uma predominância do transporte de fundo. Quando τ* assume valores elevados, a relação aproxima-se de fφ~τ*3, indicando uma predominância do transporte em suspensão. Os autores, baseados nos dados analisados, afirmam não poder definir a relação mais adequada ao uso (equação 6.162 ou 6.163). Sugerem apenas por uma questão de conveniência de álgebra o uso da expressão 6.161. 2
2
Método de Ackers e White (1973) O embasamento teórico desta metodologia foi feito por Peter Ackers (1972), a partir de considerações físicas, e através do uso de Análise Dimensional. O objetivo, como nos demais métodos macroscópicos, era o de desenvolver uma metodologia de cálculo que utilizasse dados de fácil determinação e que fosse simples de ser aplicada. O transporte sólido é expresso em termo do adimensional G, através da função: G = Γ1 (τ * , Re * ) (6.164) onde: n γC ⋅ h v * (6.165) G = γd um A novidade do método está no fato de que os parâmetros de mobilidade τ*, e o de transporte sólido são definidos distintamente para sedimentos grosseiros, finos e para a faixa de transição. Considerando que a velocidade média de escoamento, para sedimentos grosseiros, pode ser calculada da forma: 12,3h um (6.166) = 32 log v* g Ks então o número de mobilidade τ* pode se calculado através de:
τ*
1
2
=
um
1 αh γ s −γ log d 32 ⋅ g d γ ⋅
(6.167)
onde α é uma constante que depende da rugosidade. Quando se trata de sedimentos finos τ* é calculado através de: 1 v* f τ* 2 = γ −γ d 32 ⋅ g s γ Generalizando as expressões 6.167 e 6.168, pode-se escrever:
τ*
1
2
=
v* f
n
γ −γ 32 ⋅ g s γ
d
um ⋅ αh 32 log d
(6.168)
1− n
(6.169)
n=0 – a equação é aplicada a sedimentos grosseiros. n=1 – a equação é aplicada a sedimentos finos 060 n=0,00 A=0,17 m=1,50 K=0,025
Método de Colby(1964) Colby partiu de uma investigação da influência das características do escoamento, do fluido e do sedimento no transporte de material sólido, para o desenvolvimento de seu método. Procurou relacionar o transporte sólido com a tensão de cizalhamento efetiva e total, com a energia do escoamento e com a velocidade. Após uma análise destas quatro variáveis, observando alguns aspectos, como a acuracidade, a disponibilidade de dados, a simplicidade e conveniência de utilização dos parâmetros, concluiu que a melhor forma de relacionar o transporte sólido,seria com a utilização da velocidade média como variável. Numa análise mais avançada, Colby verificou haver uma estreita relação entre o transporte sólido total e a velocidade média, para uma determinada profundidade do canal e dimensão do sedimento. Para chegar a esta conclusão, Colby fez uso do método de H. Einstein, e de inúmeros dados de escoamentos naturais, obtendo relações bem definidas. Relações como estas podem ser determinadas empiricamente para sedimentos de variadas granulometrias. Por uma questão de praticidade, estas curvas foram representadas na forma da figura 6.37 a. As curvas da figura 6.37 a, representadas em linhas descontínuas representam extrapolações teóricas, confrontadas com um número reduzido dedados. Parte dos dados utilizados na elaboração destes gráficos não continham a parcela correspondente à região não mensurável. Estes dados foram corrigidos com a utilização do método de Einstein modificado (Colby et alli (1955)). Um segundo conjunto de gráficos apresentados a figura 6.37b, foi determinado experimentalmente por Colby, para corrigir os efeitos secundários (temperatura, concentração de material fino e dimensão do sedimento). Portanto, o cálculo da vazão sólida específica em peso, é feito através das expressões: qs = [1 + (k1 .k 2 − 1).0,01k 3 ]qsi (6.175)
onde: qsi = Γ(h, d, um) (figura 6.37a) k1, k2 e k3 fatores de correção (figura 6.37 a)
(6.176)
6.4.2 – Exemplos de Métodos Microscópicos Método de Einstein(1950) O cálculo pelo método de Einstein é feito individualmente para todas as frações que compõem a mistura do material do leito. A soma destas frações fornece o transporte sólido total: qs = ∑ qsi (6.177) As frações do transporte sólido total qsi são calculadas através da soma dos transportes sólidos em suspensão e de fundo, resultante das equações 6.118 e 6.79: qsi = qs bi [Pr I 1 (η ai , Z i ) + I 2 (η ai , Z i ) + 1] (6.178) Método de Toffaleti (1969) A metodologia desenvolvida por Toffaleti, baseou-se nas conceituações de Einstein (1950) e Einstein e Chien (1952) partindo das seguintes considerações: a) O escoamento é bidimensional. A curva granulométrica do material do leito, assim como no método de Einstein, é discretizada de forma que em cada intervalo o diâmetro máximo é o dobro da dimensão do diâmetro mínimo de cada fração, e o diâmetro característico é representado pela média geométrica dos valores extremos. O cálculo do transporte sólido é feito para cada fração, e totalizado no final. b) Os fatores corretivos do parâmetro d escoamento θ, ξ, e (β/βx)2, todos de certa forma ligados à espessura da camada viscosa δ’, são agrupados num único fator A, função de: 1
10 5 gυ 3 32,2 10 v * ' figura 6.38a. São utilizados ainda o fator corretivo k4, função de: 1
10 5 gυ 3 32,2 ⋅ (10 5.J .d ) 65 10 v * ' figura 6.38b, e o fator que considera o efeito da temperatura Tt, calculada por: Tt = 1,10 (0,051 + 0,00009T) (6.179) Onde T é a temperatura da água em graus Fahrenheit. c) A equação da distribuição de velocidades é calculada pela expressão empírica: u = (1 + η u )um( y / h)ηu (6.180) onde: η u = 0,1198 + 0,00048 T (6.181) d) A distribuição de concentração apresenta três zonas distintas, além da camada de dois diâmetros junto ao leito, sugerida no método de Einstein como zona de transporte de fundo. A delimitação destas zonas, assim como as curvas de
distribuição de concentração, foram determinadas a partir de dados de medições no Rio Atchafalaya, figura 6.39: (6.182) C j = C oj ( y / h) − NZi (o índice j refere-se a uma das três zonas) onde: 1) zona superior, para 2,5>h/y>1 (6.182 a) Coj = Cos N = 1,5 2) Zona intermediária, para 11,24>h/y>2,5 (6.182 b) Coj = Com N = 1,0 3) Zona inferior, para h/2di>h/y>11,24 (6.182 c) Coj = CoI N = 0,756
O expoente Z assemelha-se ao número de Rouse, woi Kv * onde K pode ser calculado, de acordo com Vanoni e Brooks da forma: zi =
(6.183)
k=
2,303 ⋅ v * k ' um
(6.184)
zi =
woi ⋅ um K ⋅J⋅h
(6.185)
Portanto:
onde:
2,303 ⋅ 32,2 (sistema inglês) k' o parâmetro Kz é calculado a partir da expressão empírica: kz = 260,67 – 0,667 T kz =
(6.186) (6.187)
Cálculo do transporte sólido O transporte sólido em suspensão é calculado a partir de: ys
qss j = ∫ Cj.u.dy
(6.188)
yI
As concentrações de referência Cos e Com, da camada superior e intermediária (6.182a e 6.182b) podem ser expressas em função da concentração da camada inferior, da mesma forma que as respectivas vazões sólidas calculadas por
6.188. a determinação da vazão sólida na camada inferior, é feita a partir da expressão empírica: 0,600ib qss i = (ton/dia.pé) (6.189) 5 5/3 Tt ⋅ A ⋅ k 4 3 di 2 um 0,0058 quando o valor de K4 resultar num produto A . K4 < 16,0, utiliza-se arbitrariamente o valor A . K4 = 16,0.
Resolvendo a integração 6.188, para cada zona, obtém-se: 1+η µ − 0 , 758 Zi
h 1+η − 0 , 756 Zi kq − (2di ) µ 11,24 qss I = (1 + η u − 0,756Zi )
qss M
h kq 11,24 =
h kq 11,24 qss S =
0 , 244 Zi
0 , 244 Zi
[(h / 2,5)
1+η µ − Zi
− (h / 11,24)
(6.190)
1+η µ − Zi
(6.191)
(1 + η u − Zi ) 0 , 5 Zi
[
h 1+η −1, 5 Zi 1+η −1, 5 Zi h µ − (h / 2,5) µ 2,5 (1 + η u − 1,5Zi )
]
] (6.192)
Para obter o valor da concentração de referência na camada inferior, basta igualar as equações 6.189 e 6.190, que a única incógnita passa a ser CoI. O transporte sólido de fundo na camada y = 2di, é calculado por: 1+η − 0 , 758 Zi Qsbi = kq (2 dsi) µ (6.194) A descarga sólida total é determinada por: qsti = qsbi + qssI + qssm +qsss (6.195) qst = Σqsti (6.196) Note-se que todas as dimensões, com exceção da vazão sólida, estão no sistema inglês. O método de Toffaleti foi desenvolvido a partir de dados de sete rios dos E.U.A., e de canais de laboratório, com profundidades que variaram de 1 pé a 50 pés, com leitos constituídos por areia fina e média.
Método de Einstein modificado Colby e Hembree (1955) Esta metodologia foi desenvolvida por Colby e Hembree, para contornar algumas falhas das medições de transporte sólido, ou seja, a dificuldade de medir o transporte sólido de fundo dentro dos limites razoáveis de precisão, e a impossibilidade de amostragens numa faixa próxima ao leito em que os amostradores de material em suspensão não conseguem varrer. Em determinadas circunstâncias, a parcela de material transportado nesta região não amostrada pode representar uma grande parcela do material transportado. O método de cálculo, consiste basicamente em calcular, através do método de Einstein, o transporte sólido na região amostrada, partindo dos dados das medições da região amostrada e de outros parâmetros característicos do fenômeno. Os dados necessários para o cálculo são basicamente os mesmos do método de Einstein, além da concentração média do material amostrado, o valor da respectiva profundidade, as distribuições granulométricas do material transportado em suspensão, do material do leito, e a temperatura da água. Deve-se tomar o cuidado de retirar a parcela da concentração correspondente à carga de lavagem. A discretização da curva granulométrica para efetuar o cálculo fracionado, segue o mesmo procedimento que no método de Einstein. A vazão sólida em suspensão na região amostrada é calculada por: h C ' miQ' q ' ssi = C ' mi ∫ u.dy = (6.197) b a' onde: a’ – altura correspondente à região não mensurável C' mi - concentração média na região medida Q’ – vazão líquida na faixa mensurável Considerando-se que a distribuição de velocidades pode ser escrita na forma logarítmica: 30,2 xy u = 5,75v* ' log (6.198) d 65 Fazendo-se estas substituições, e a integração de 6.197, tem-se: Em que:
Q’=2,50v*’.h.b[(1-ηµ) (Pm-1)-2,3ηvlogηv]
(6.199)
ηV=a’/h (6.200a) (6.200b) Pm=2,3 log 30,2 x.hm/d65 hm = A/b = área/largura b (6.200c) A vazão líquida total é obtida a partir de 6.197, fazendo ηv --> 0: Q = 2,50 v*’ h (Pm-1) (6.201) Portanto a vazão líquida na região mensurável é obtida através de 6.200 e 6.201. 2,3nv log nv Q' = (1 − nv ) − (6.202) Q Pm − 1 e a vazão em suspensão, através da equação 6.203: 2,3nv log nv qssi = C ' mQ(1 − nv ) − (6.203) Pm − 1
A expressão que permite o cálculo da vazão sólida em suspensão na região mensurável: h
q ' ssi = ∫ Ci ⋅ ui ⋅ dy
(6.204)
a'
onde: Ci – distribuição vertical de concentração Ui – distribuição vertical de velocidade Quando integrada pelo método de Einstein, toma a forma: n' oi 1 − nv q ' ssi = n v 1 − noi
Z 'i
qsbi[PmI 1 (nv , Z 'i ) + I 2 (nv , Z i )]
(6.205)
onde: 2di (6.205a) hm a' (6.205b) nv = h A vazão sólida de fundo qsbi é calculada através da função de Einstein (figura 6.13), com a seguinte simplificação no cálculo de ψ*. (6.206) ψ* = ψm onde ψm é o maior valor entre (6.206a) ψm = (0,4)(1,65) . di/(RJ)m (6.206b) ψm = 1,65 . d35/(RJ)m e (RJ)m é obtido através da expressão logarítimica para a determinação da velocidade média. 12,2 xh um = 5,75 g ( RJ )m log (6.207) d 65 Uma vez determinados os valores de (RJ)m, ψ* e conseqüentemente φ*, calcula-se a vazão sólida de fundo: γ −γ 3 qsbi = 0,5 ⋅ φ* ⋅ Pi ⋅ γ s ⋅ s ⋅ gd i (6.208) noi =
γ Portanto, a única incógnita da equação passa a ser Z’i, que pode ser determinada por tentativas, com o uso das figuras 6.20 e 6.21. Podem ocorrer casos em que o escoamento sendo raso, o parâmetro nv = a’/h, seja superior a 0,1, limite superior das abcissas das figuras 6.20 e 6.21. Neste caso, devem-se utilizar os gráficos correspondentes preparados por Colby e Hembree (1955) ou Hubbell e Matejka (1959). Conhecidos todos os parâmetros, o transporte sólido total é calculado através da expressão de Einstein 6.209: qsti = qssi[PE I 1 (noi ' , Z ' i ) + I 2 (noi ' , Z ' i ) + 1] (6.209) Colby e Hubbell (1957) apresentaram uma simplificação substancial do método, introduzindo uma série de gráficos que reduzem o volume de cálculo.
Método de Colby (1957) para o cálculo do transporte sólido a partir de medições O método de Colby consiste na utilização de algumas relações semi-empíricas, baseadas em medições de escoamentos utilizadas para o desenvolvimento do Método de Einstein Modificado. A sua aplicação é extremamente simples, e não necessita de subdivisão da composição granulométrica. Requer somente uma determinação precisa da velocidade média, uma vez que a parcela não medida do transporte sólido é muito sensível às mudanças de velocidade. Os dados necessários para a aplicação do método são: a velocidade média (um) e a profundidade média (h) do escoamento, a concentração média da região mensurável, descontada a parcela da carga de lavagem (C’m). O limite considerado para a carga de lavagem (wash-load) é d = 0,062 mm. O cálculo é efetuado com auxílio das figuras 6.40, 6.41 e 6.42, seguindo o seguinte roteiro: 1 – A partir da figura 6.40, é feita a determinação do transporte sólido da região não medida em função da velocidade média. 2 – Com a figura 6.41, determina-se a concentração relativa (em partes por milhão) para determinadas velocidade e profundidade. 3 – Calcula-se a razão entre a concentração medida e a concentração obida no passo 2. Esta relação é denominada de coeficiente de eficácia. 4 – Entrando com o valor do coeficiente de eficácia no gráfico da figura 6.42, obtém-se o fator de correção do transporte sólido da região não medida. 5 – O transporte sólido real na região não medida, é o produto dos valores obtidos nos passos 1 a 4. 6 – O transporte sólido total é determinado por: Qst = (qsm + qsn) . b (ton/dia) (6.210) Onde: qsm = 43.2 C’m.q – vazão sólida medida. qsn = vazão sólida na região não medida, obtida no passo 5. q=Q/b – vazão líquida específica 43.2 – fator de transformação de unidades
7 – Se a concentração total medida C’s(incluindo a carga de lavagem) for excepcionalmente baixa ou elevada, o autor sugere a introdução de um outro fator de correção K5, que multiplicado ao valor obtido no passo 5, fornece uma estimativa melhor
do transporte sólido na região não medida, A determinação do fator K5 é feita através da equação: K5 = 0,18(C’s)0,23 (6.211) Onde: C’s – em partes por milhão.
