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RESUMO A alteração do equilíbrio de rios aluvionares, pode originar os mais diversos problemas. A conclusão de uma solução adequada depende do conhecimento da mecânica do escoamento em leito móvel. No presente trabalho, procurou-se estudar os mecanismos que regem o fenômeno, dando ênfase às metodologias de calculo da resistência ao escoamento, e do transporte de material sólido. Ao final, foram feitas aplicações destas metodologias ao Rio Paraíba do Sul (SP). Lista de Símbolos A* - constante (método de Einstein) a – distância de referência ao leito B* - constante (método de Einstein) BS – constante da equação de distribuição de velocidades C – concentração do material em suspensão Ca – concentração de referência à distância a do leito Ca – constante da equação de distribuição de velocidades Cb – constante da equação de distribuição de velocidades C – coeficiente de Chézy CD – coeficiente de arrasto CL – coeficiente de sustentação c – adimensional que representa o fator de resistência d – diâmetro característico do sedimento f – fator de resistência F – Força hidrodinâmica do escoamento sobre o sedimento Fr – número de Froude Fs – número de Froude do sedimento G – força peso do sedimento G – aceleração da gravidade h* - adimensional da profundidade h – profundidade de escoamento I (η, z) – Integral função de η e z (Einstein) I – força de inércia da partícula J – declividade da linha de energia K – rugosidade absoluta l – comprimento de mistura n – coeficiente de rugosidade de Manning ns – coeficiente de rugosidade de Manning-Strickler p – probabilidade de remoção da partícula p – perímetro molhado Pr – fator da expressão da vazão sólida em suspensão ( método de Einstein) qs – vazão sólida específica q – vazão líquida específica q* - adimensional da vazão líquida específica Qs – vazão sólida Q – vazão líquida
R – raio hidráulico Re – número de Reynolds Rea – número de Reynolds de atrito Re*- número de Reynolds do grão SF – fator de forma da partícula u – velocidade na direção do escoamento a uma profundidade y v – componente vertical da velocidade a uma profundidade y v* - velocidade de atrito x – fator de correção dos efeitos de viscosidade (método de Einstein-Barbarossa, fig. 4.23) X – distância característica (método de Einstein) Y- distância do ponto considerado no cálculo ao fundo z – expoente adimensional da expressão da distribuição vertical de concentração Z – expoente adimensional da expressão da distribuição vertical de concentração W – adimensional da massa específica do sedimento Wo – velocidade de queda da partícula Wr- velocidade do sedimento relativa ao fluido Λ - comprimento de duna γ - peso específico do fluido γs - peso específico do sedimento γ’s – peso específico submerso δ - espessura da camada viscosa ∆ - rugosidade característica (método de Einstein) ∆ - altura de duna ∆ - desvio entre o valor medido e calculado µ - coeficiente dinâmico de viscosidade ν - coeficiente cinemático de viscosidade ΠΑ - adimensional da grandeza Α Χ - constante de Von Karmann ρ - massa específica do fluido ρS – massa específica do sedimento λ - fator de conversão de escala de semelhança η - função randômica com distribuição normal e desvio padrão ηo = 0,5 (Einstein) Es – coeficiente de difusão do sedimento E – coeficiente de difusão da quantidade de movimento θ - fator de correção do coeficiente de sustentação (Einstein) ξ - fator de correção do encobrimento dos grãos (Einstein) ∅ - adimensional do transporte sólido Ψ - número de mobilidade do sedimento Ψ* - número de mobilidade do sedimento corrigido (Einstein) σ - desvio padrão τo – tensão de cisalhamento junto ao leito τ - tensão de cisalhamento a uma profundidade y Γ (Α) – função de Α
Lista das Notações Α - média temporal Α’ – flutuações turbulentas Α’ – referente à rugosidade do grão Α” – referente à rugosidade de forma Αl – referente ao regime laminar Αt – referente ao regime turbulento Αs – referente ao sedimento Αm – valor médio ao longo da vertical Amáx – valor máximo ao longo da vertical Amín – valor mínimo ao longo da vertical Acr – valor crítico de início de movimento do sedimento dm – diâmetro médio dn – diâmetro de peneiramento n – número que representa a porcentagem de material que passa pela peneira Sumário
1. Introdução 1.1 – Generalidades As mudanças de um curso aluvionar, tanto na forma quanto na posição, são contínuas e originam-se da interação entre as forças atuantes do escoamento sobre o leito e as margens e a resistência imposta por estes. Estas mudanças podem ser lentas, quando se trata de transformações morfológicas, como as evoluções de meandros, alterações na largura da seção de escoamento ou mudanças de declividade. Também podem ser mudanças rápidas quando as modificações na conformação do leito são decorrentes de variações sazonais das características hidráulicas do escoamento. As mudanças locais, provocadas pela ação humana, freqüentemente afetam o equilíbrio natural do rio, produzindo alterações de suas características, podendo atingir grandes extensões. Estas alterações, por vezes, são difíceis de serem controladas resultando não só em problemas ambientais, como também em prejuízos materiais de monta. São inúmeros os problemas clássicos da engenharia, ligados à mecânica do escoamento em leito móvel. Alguns exemplos destes problemas são a sedimentação em reservatórios, erosão e sedimentação de canais em grandes extensões, erosões localizadas, captações de água, dimensionamento de canais estáveis, e outras. A solução para estas questões consiste basicamente na resolução do seguinte conjunto de equações: 1. equação da continuidade na fase líquida; 2. equação da continuidade na fase sólida; 3. equação da dinâmica na fase líquida; 4. equação do transporte sólido. A determinação das duas últimas equações, constitui-se ainda num problema de difícil resolução, face à complexidade do fenômeno. Apesar dos esforços inúmeros pesquisadores do assunto, ainda não se conseguiu desenvolver formulações universais para equacionar satisfatoriamente o problema. 1.2 – Objetivos e limitações do trabalho Pretende-se, neste trabalho, apresentar o estágio atual de conhecimento acerca da mecânica do escoamento bifásico, dando enfoque aos métodos de cálculo da resistência ao escoamento e do transporte de material sólido. A quantidade de métodos de cálculo existentes é numerosa, razão pela qual foram selecionados os métodos mais consagrados, e os que representam contribuições mais recentes. O trabalho é complementado com as aplicações das metodologias desenvolvidas, apresentando também os roteiros de cálculo, assim como as apreciações dos resultados. O mecanismos dos escoamentos nas fases líquida e sólida, que serão desenvolvidos nos próximos capítulos, referem-se aos casos de regime permanente e uniforme bidimensional, transportando material granular sem coesão. Não serão tratados os fatores secundários que afetam a mecânica do escoamento, e que são devidos à influência das margens, sinuosidade do curso, etc.
1.3 – Ordenação do trabalho O desenvolvimento do trabalho tem uma sequência natural, ordenada da seguinte forma: Capítulo II – São apresentados os principais adimensionais pertinentes do fenômeno e que serão utilizados ao longo do trabalho. Alguns adimensionais fundamentais, são analisados com maior profundidade. Capítulo III – São vistas neste capítulo as características gerais dos sedimentos individualizados, ou em grupo. Capítulo IV – Este capítulo inicia-se com um estudo teórico das propriedades do escoamento em fundo fixo, desenvolvendo equações fundamentais, como as distribuições da tensão de atrito e da velocidade ao longo da vertical. São vistas também, algumas expressões empíricas para a determinação da resistência ao escoamento. A seguir, é feito o estudo da resistência ao escoamento em leito móvel. Parte-se da apresentação dos diversos tipos de configuração, metodos de previsão de configuração e finaliza-se com o desenvolvimento das expressões de resistência ao escoamento. Capítulo V – Neste capítulo são apresentados os critérios para a caracterização do início do movimento do sedimento. Capítulo VI – Este capítulo inicia-se com um estudo das formulações de transporte sólido de fundo, dentre as quais as fórmulas de Einstein e Meyer-Peter e Müller. A seguir, é feito um estudo do transporte sólido em suspensão, apresentando a curva de distribuição de concentrações e o cálculo do transporte em suspensão proposto por Einstein. Finalizando o capítulo, faz-se um estudo das fórmulas de transporte sólido total. Capítulo VII – Neste capítulo são feitas as aplicações dos métodos de cálculo, desenvolvidos nos capítulos IV e VI, em postos fluvio-sedimentométricos instalados no Rio Paraíba do Sul (SP). Finalizando o capítulo, faz-se uma apreciação dos resultados. Capítulo VIII – Neste capítulo são apresentadas as conclusões e recomendações do trabalho.
CAPÍTULO II – ANÁLISE DIMENSIONAL DOS ESCOAMENTOS BIFÁSICOS 2.1 – Generalidades É sabido que a análise dimensional constitui-se numa ferramenta de grande utilidade nos estudos de fenômenos físicos, principalmente nos de grande complexidade, que envolvem um grande número de variáveis, como é o caso do transporte de sedimentos. Além da vantagem de propiciar uma melhor compreensão dos fatores que intervêm num determinado fenômeno através de uma formulação mais compacta e racional destes fatores, o emprego da análise dimensional propicia uma uniformização de linguagem. Numa área de estudos como esta em que existem inúmeros experimentos, formulações de natureza empírica e racional, é imprescindível a uniformização de linguagem para as comparações de métodos e resultados.
2.2 – Parâmetros característicos do escoamento bifásico As grandezas independentes que caracterizam um escoamento bifásico, em regime uniforme (ou quase uniforme) e permanente são: (ρ, µ, ρS, d, h, J, g) (2.1) onde: ρ - densidade do fluído µ - viscosidade dinâmica ρS - densidade do sedimento d – diâmetro característico h – profundidade do escoamento J – declividade da linha de energia g – aceleração da gravidade
parâmetros do fluido parâmetros do sedimento parâmetros do escoamento
É conveniente, no entanto, reescrever a relação das grandezas independentes (2.1) na forma: (ρ, µ, ρS, d, h, v*, γS’) (2.2) onde:
v* = (g h J) ½ - velocidade de atrito
(2.3)
γ’s = g(ρs-ρ) - peso específico aparente
(2.4)
substituem as grandezas J e g, respectivamente. 2.3 – Adimensionais do escoamento bifásico
O conjunto das grandezas independentes no escoamento bifásico possui 7 elementos, e a ordem da matriz de dimensões é 3, portanto, pela aplicação do teorema de Buckingham, sabe-se que é possível escrever-se um conjunto de 4 adimensionais que caracterizem o fenômeno. Tomando como base as grandezas ρ, d, v*, chega-se aos seguintes adimensionais: Π1 =
v* d = Re* ν
(2.5)
Π2 =
ρ v*2 = τ* γ ′ sd
(2.6)
Π3 =
h = h* d
(2.7)
Π4 =
ρs ρ
=w
(2.8)
É possível ainda obter-se outros adimensionais dependentes que envolvem outras grandezas inerentes ao fenômeno. Através da simples aplicação do teorema de Bukingham, uma grandeza A será representada pelo adimensional: ΠA = ραA.dβA.vγA.A = Γ(Re*, τ*, h*, w)
(2.9)
A tabela 2.1 apresenta uma relação de adimensionais que serão apresentados neste trabalho. Em geral, o adimensional ΠA = a1αA.a2βA.a3γA.A reflete a influência da grandeza A, que aparece somente neste adimensional, o mesmo não ocorrendo com as grandezas de base a1, a2 e a3. Em outras palavras, se for desejado o conhecimento da influência de uma determinada grandeza do fenômeno, deve-se excluí-la do rol das grandezas de base. Por vezes, torna-se interessante trabalhar com adimensionais determinados com outras grandezas de base para evitar inconvenientes de cálculo. Assim por exemplo considerem-se ρ, γS e d como grandezas de base. O novo conjunto de adimensionais será: γ s' d 3 Re *2 ' Re * = = (2.10) τ* ρv 2
ρ v *2 τ '* = =τ* γ ′ sd h' * =
w' =
(2.6)
h = h* d ρs ρ
(2.7)
=w
(2.8)
TABELA 2.1 ∆ DIMENSIONAL CORRESPONDENDE ¶v = c = v/v* ¶Λ = Λ/d ¶∆ = ∆/d ou ∆/Λ
GRANDEZA v = velocidade Λ = comprimento de duna ∆ = altura de duna w0 = velocidade sedimentação
de
qS = transporte sólido
¶wo=wo/v* ¶qs = qs/(ρ.v*3)
ou
SIGNIFICADO FÍSICO fator de atrito do escoamento parâmetros que dão a dimensão e forma de rugosidade do leito parâmetro relacionado com o transporte sólido em suspensão. parâmetros do transporte sólido
qs/(v*γ’sd) ou qs =φ γ ' s −γ 3 γ 's gd γ g = aceleração da gravidade
¶g = Frs = v*2/(gd)
número de Froude do sedimento, semelhante ao parâmetro de mobilidade
Como se vê, a única alteração introduzida foi no adimensional Re*’, que passou a ser uma combinação de Re*, que passou a ser uma combinação de Re* , ou seja, a influência da viscosidade, independentemente do estágio do escoamento, uam vez que Re*’ não contém v* ou h. Outro adimensional interessante que se pode obter com esta base, é o de transporte de material sólido: q⋅s ρ (2.11) Π ' qs = ⋅ γ 's d γ 's d
que representa o adimensional ∅ proposto por Einstein. 2.4 – Significado dos adimensionais 2.4.1 – Adimensional Re* v*d υ O adimensional Re* é o único que contém o termo referente à viscosidade e por isso é denominado de “número de Reynolds do grão”; reflete a influência da viscosidade µ. O número de Reynolds, sendo inversamente proporcional à viscosidade, indica que quanto maior for o seu valor numérico, menor será a influência da viscosidade, tendendo o líquido a ter características de fluido ideal. No entanto, sendo o número de Reynolds do grão (Re*), dependente de h*=h/d e de Re do escoamento, uma vez que: Re * =
Re * =
v*d v ⋅ h d v* Re = ⋅ ⋅ = υ υ h v c.h*
(2.12)
somente esta indicação não é suficiente. Convém lembrar que o número de Reynolds do grão, Re*, é característico do movimento relativo do grão no fluido, e não como o Re que caracteriza o escoamento do fluido em relação ao canal. 2.4.2 – Adimensional τ* τ* =
ρ ⋅ v* γ ' sd
2
Também conhecido como “parâmetro de Shields”, este adimensional reflete a influência de γS, e caracteriza a relação entre a magnitude da força dinâmica do fluido sobre o grão, F, e o seu peso, G. F = kl.ρ.d2.Wr2.Γ((Wr.d)/υ) (2.13) (a equação da quantidade de movimento). G = γ’s.k2.d3 (2.14) onde: Wr é a velocidade do grão relativa ao fluido. k1 e k2 são constantes de proporcionalidade. W d F k1 ρ .W r = . .Γ( r ) G k 2 γ s .d υ Como o movimento do grão se deve ao movimento do fluido, temos: F ρ ⋅ v *2 v * d = ⋅ Γ = τ * .Γ(Re * ) G γ s ⋅d υ
(2.15)
(2.16)
Portanto, a relação F/G é proporcional a τ* e o coeficiente de proporcionalidade é uma função do número de Reynolds do grão (Γ(Re*)). O adimensional τ*, dessa maneira, representa uma indicação de relação entre as forças de inércia atuantes sobre o grão e o seu peso (F/G), que em outras palavras representa a relação entre as forças de tração e de resistência. Por este motivo, a variável é referida como sendo o número de mobilidade (algo semelhante ao número de Froude do escoamento). 2.4.3 – Adimensional h*
h*= h/d
O adimensional h* reflete a influência da profundidade de escoamento h. Para demonstrar isso, considerem-se as expressões da tensão de cizalhamento e distribuição de velocidades (estas expressões serão tratadas no capítulo IV). τ = γ . h. H. (1 – y/h) = ρv*2 (1 – y/h) u = v* ((1/χ) . ln(y/Ks) + Bs)
(2.17)
onde v k Bs = ΓB * s υ
(2.18)
KS – rugosidade equivalente de Nikuradse
Figura 2.1 Se houver somente a variação de h, com os demais parâmetros permanecendo constantes, e desde que a rugosidade KS independa das variações de h ( leito plano (KS~d), rugas e ondulações suaves), então os gráficos das distribuições da tensão de cisalhamento e da velocidade estarão de acordo com a figura 2.2. Por esta razão, h, e conseqüentemente h*, não podem ser variáveis na expressão de uma propriedade genérica A nos escoamentos bifásicos nas proximidades do leito ( quando
a rugosidade Ks não depender de h). Esta é a razão porque nos casos de leito plano, (KS ~ d =cte) o início do transporte sólido pode ser expresso independentemente de h (para um determinado material e fluido é função de v* = (g h J)1/2 ). De forma similar, se explica porque então muitas fórmulas de transporte sólido, não contém o parâmetro h em suas expressões (geralmente utilizam g h J ou seja v*2 ). Por outro lado, pelo que já foi visto, deduz-se que as fórmulas de transporte sólido que não contém h, estritamente falando, não podem ser utilizadas em fórmulas de transporte sólido que não sejam nas proximidades do leito. O movimento do sedimento ao nível y da mesma ordem de h, passa a depender também desta última variável. Portanto, em princípio, uma fórmula de transporte sólido para esta região, deve ser função também de h*. 2.4.4 – Adimensional W W =ρs/ρ O adimensional W reflete a influência de ρS, que está expresso na força de inércia sobre a partícula I .
()
I =F +G
(2.19)
onde: I = ρs ⋅α ⋅ d 3 ⋅
d wr dt
(2.20)
e F e G, são os mesmos do ítem 2.4.2. Quando o movimento das partículas é uniforme dwr/dt = 0, e ρS deixa de ser uma grandeza característica. Na realidade, o movimento dos grãos está longe de ser uniforme, porém o adimensional W somente é importante nos estudos de movimentos individuais, em que se consideram propriedades associadas a problemas “balísticos”. Usualmente, na prática, há um interesse maior nos estudos dos movimentos em massa, em que o adimensional W aparece como variável sem maior importância.
CAPÍTULO III – PROPRIEDADES DO SEDIMENTO 3.1 – Generalidades Os processos de erosão e sedimentação em leitos aluvionares dependem de diversos fatores, os quais podem ser classificados genericamente nas seguintes categorias: propriedades dos sedimentos, propriedades do fluido, propriedade dos sedimentos em conjunto. As características individuais mais importantes para o fenômeno de transporte sólido são: a dimensão do sedimento, a velocidade de sedimentação, peso específico, e a forma da partícula. As propriedades dos sedimentos em conjunto que apresentam maior interesse prático são: a distribuição granulométrica, a porosidade, o peso específico aparente e o ângulo de repouso do sedimento. 3.2 – Propriedades individuais dos sedimentos 3.2.1 – Dimensão geométrica Das diversas propriedades dos sedimentos, a dimensão geométrica é a de maior interesse na caracterização da influência, tanto no que diz respeito à rugosidade do leito, quanto à mobilidade do material. A dimensão geométrica de uma partícula sólida normalmente é definida pelo diâmetro característico. Existem três diâmetros característicos recomendados pelo “Subcommittee on Sediment Terminology of the American Geophysical Union”. 1. Diâmetro de peneiração – é a dimensão da menor malha de peneira que deixa passar a partícula sólida. 2. Diâmetro de sedimentação – é o diâmetro da esfera de igual densidade, que sedimenta com a mesma velocidade que uma dada partícula sólida, quando mergulhados no mesmo fluido, à mesma temperatura. 3. Diâmetro nominal – é o diâmetro da esfera de mesmo volume que o da partícula sólida. Os diâmetros de peneiração e de sedimentação, são utilizados em função da conveniência dos processos de medição dos sedimentos graúdos e areias e dos siltes e argilas, respectivamente. O quadro 3.1 apresenta uma classificação dos sedimentos em função da dimensão, proposta pelo “Subcommittee on Sediment Terminology of A.G.U.”. 3.2.2
– Forma do Sedimento
A influência da forma do sedimento é sentida em outras propriedades do sedimento, como a velocidade de sedimentação, porosidade, movimento do material junto ao leito, e outros. Há uma série de parâmetros utilizados na engenharia para definir a forma do sedimento. Em particular na área de transporte de sedimentos, torna-se interessante a utilização do fator de forma definido por: c S .F . = (3.1) a ⋅b
onde “a, b e c” são as dimensões da partícula medidas numa base ortogonal, e “c” é a menor dimensão. Estudos realizados por McNown e Malaika (1950) e Albertson (1953), levaram à conclusão de que existe uma estreita relação entre o fator de forma (S.F.) e a velocidade de sedimentação da partícula. De acordo com a “I.C.W.R., St. Anthony Falls Hydraulic Laboratory” (1957), em seus estudos sobre técnicas de análise de sedimentos em laboratório, foi verificado que o fator de forma para as areias naturais é da ordem de 0,7. Tabela 3.1 -Classificação dos sedimentos através da Dimensão pelo “Sediment Terminology – A.G.U.” Nomenclatura Intervalo em mm ARGILA 0,00024 - 0,00050 Muito fina 0,0005 – 0,001 Fina 0,001 - 0,002 Média 0,002 – 0,004 Grossa SILTE Muito fino Fino Médio Grosso
0,004 - 0,008 0,008 - 0,016 0,016 - 0,031 0,031 - 0,062
AREIA Muito fina Fina Média Grossa Muito grossa
0,062 - 0,125 0,125 – 0,250 0,25 – 0,50 0,50 – 1,00 1,00 – 2,00
SEIXOS Muito fino Fino Médio Grosso Muito grosso
2,0 – 4,0 40 – 8,0 8,0 – 16,0 16,0 – 32,0 32,0 – 64,0
3.2.3
– Velocidade de sedimentação
De igual importância à dimensão do sedimento, é a velocidade de sedimentação, por ser uma medida de dissipação da energia na movimentação do sedimento em relação ao fluido, da mesma forma que traduz a influência de outras propriedades do sedimento, tais como a dimensão, peso específico, forma, e propriedades do fluido, como peso específico e viscosidade. Navier-Stokes desenvolveu a equação para a determinação da velocidade de queda em regime laminar, considerando as seguintes hipóteses:
-
A partícula em sedimentação é esférica. Não há escorregamento entre a superfície da partícula e o fluido. A partícula sedimenta em um fluido calmo, sem influência da parede. As forças de inércia são omitidas na equação. De acordo com estas hipóteses, a velocidade de queda da partícula é constante quando a força de resistência decorrente da viscosidade, Fr = 3.π .d.µ.ω0, igualar o valor do peso submerso da partícula esférica, Fs = (π. d3 . γ’s)/6 (3.2) Portanto a equação de Stokes fica da forma: ω0 = (γ’sd2)/18υ (3.3) A generalização da lei de Stokes, levando em conta o efeito das forças inerciais, pode ser feita considerando a força de resistência ao escoamento: Fr = CD.A.ρ.(ωo2/2) (3.4) onde CD – é o coeficiente de resistência. A – é a área projetada da esfera (A = π d2/4) portanto: 3πd.µ.ωo = CD.(πd2/4).ρ(ωo2/2) CD = 24/Re*
(3.5) (3.6)
Assim, uma outra forma de escrever a lei de Stokes é: πd 3γ s' πd 2 ω o2 = CD . .ρ . (3.7) 6 4 2 ou 4 γ 'd ω o2 = ⋅ s (3.8) 3 CD ⋅ ρ Os resultados experimentais demonstram haver uma boa aderência com a equação (3.8), até valores de Reynolds iguais a 0,1. Para valores de Reynolds elevados não é possível obter uma relação analítica. A figura 3.1 apresenta as curvas experimentais obtidas para partículas em forma de discos e esferas. Inúmeros estudos foram realizados no sentido de determinar os efeitos dos fatores de forma de partícula, da concentração, da turbulência do escoamento e de outros que possam influir na velocidade da queda da partícula. Para uma primeira aproximação tornase prática a utilização proposta pelo “I.C.W.R. – St. Anthony Falls” (1957) (figura 3.2), onde se apresenta a relação direta entre o diâmetro e a velocidade de sedimentação, tendo como parâmetros secundários o fator de forma (S.F.) e a temperatura. No caso da velocidade de queda ser de maior importância, pode-se obter uma precisão melhor realizando-se um estudo específico para a sua determinação.
É de interesse apresentar a equação proposta por Rubey (1933), e que foi utilizada no desenvolvimento de algumas fórmulas de transporte sólido, que serão discutidos posteriormente. Esta proposição considera os casos em que os sedimentos são grosseiros, e saem fora do domínio de validade da lei de Stokes. Considera ainda que a resistência total ao movimento vem a ser a soma da resistência viscosa e a resistência de impacto, expressas da forma:
evidenciando ωo, tem-se:
π ⋅ d 3γ s' ω2 = 3π ⋅ dµ ⋅ ω o + πd 2 ρ o 6 4 36υ 2 2 γ ' d ω 0 = 2 + ⋅ s 3 ρ d
0,5
−
6υ d
(3.9)
(3.10)
3.2.4 – Peso específico do Sedimento A densidade do sedimento depende da sua composição mineralógica. Por outro lado, uma grande quantidade de estudos demonstra haver uma estreita relação entre a dimensão do sedimento e a sua composição mineral; assim sendo, os materiais mais grosseiros são constituídos de materiais mais resistentes aos desgastes mecânicos, como o quartzo por exemplo. À medida que a granulometria diminui há uma redução da quantidade de quartzo e um aumento na quantidade de materiais menos resistentes, como a caulinita por exemplo. De maneira geral, a composição mineralógica das areias dos cursos de água encontradas na natureza, tem um predomínio de quartzo, com peso específico muito pouco variável, entre 2600 kg/m3 e 2700 kg/m3. Na prática, adotam-se os seguintes valores para os cursos de água naturais: γS = 2650 kg/m3 (peso específico seco) 3 (peso específico submerso) γ’S = 1650 kg/m 3.3 – Propriedades dos sedimentos em conjunto 3.3.1 – Distribuição granulométrica No transporte de material de granulometria uniforme, existe um único diâmetro característico do sedimento. Já nas misturas, como ocorre na natureza, pode-se definir mais de um diâmetro característico, dependendo do parâmetro estudado. Por exemplo, quando a rugosidade que está sendo estudada, o parâmetro kS que define rugosidade de Nikuradse pode ser representado pelo diâmetro d90 da mistura (diâmetro da peneira em que passam 90% dos sedimentos da amostra), como propuseram Meyer-Peter e Müller (1948), ou igual a d65 como propôs Einstein (1950), ou igual a 2d65 como propôs Engelund(1967). Do ponto de vista de mobilidade do material, interessa definir a dimensão característica dos sedimentos do leito que participam da movimentação, e que segundo Meyer-Peter e Müller(1948), seria o diâmetro médio dm que pouco difere do diâmetro d50. Einstein (1950) propôs o diâmetro característico d35. Pelo exemplos citados, vê-se que a definição do diâmetro característico é bastante subjetiva. Evidentemente, quanto menor for a graduação da mistura, ou melhor dizendo, quanto mais a mistura se aproximar da granulometria uniforme, menores serão as diferenças nas definições dos diâmetros característicos.
3.3.2
– Porosidade
A porosidade é definida como sendo a razão entre o volume de vazios e o volume total ocupado pelo material sedimentado, expresso em porcentagem: P = (volume de vazios / volume total) . 100
(3.11)
Existe ainda o conceito de porosidade efetiva, que corresponde apenas à parcela que tem poros conectados. Uma das formas para se estimar a porosidade foi apresentada por Komura (1961), válida para diâmetros em 4.10-4 mm e 30 mm: P = 0,245 + 0,0864 . d50-0,21 (3.12) (d50 em cm) A porosidade dos sedimentos está relacionada aos problemas de percolação e de águas subterrâneas. 3.3.3
– Peso específico aparente
A definição do peso específico aparente é a razão entre o peso do material sedimentado e o volume total por este ocupado. γs = Peso do material / (volume do material + volume dos vazios)
(3.13)
O peso específico aparente dos sedimentos é um elemento importante no dimensionamento de reservatórios. Dentre os diversos fatores que afetam o valor do peso específico aparente, o mais importante talvez seja a operação dos reservatórios. Isto, porque dependendo da operação do reservatório, o volume sedimentado poderá estar ou não submerso, afetando sobremaneira o seu peso específico aparente. O grau de consolidação do material sedimentado depende da sua dimensão. Os materiais de granulometria fina apresentam baixos valores no peso específico aparente no período inicial, e apresentam um elevado aumento destes valores no decorrer de um longo período. Os materiais mais grosseiros apresentam características opostas a estas, com altos valores no peso específico aparente no período inicial, e um pequeno aumento no decorrer do tempo. O peso específico no período inicial depende da granulometria do material, sendo que o seu valor cresce com o aumento da dimensão do sedimento. Tomando como base os estudos efetuados por Hembree, Colby, Swenson, Davis e Happ, sugerem-se os seguintes valores para o peso específico aparente no período inicial, em função da dimensão dos sedimentos: diâmetro médio (mm) (kg/m3)
0,0012
0,005
0,01
0,05
0,10
0,25
0,50
1,00
769
961
1041
1185
1282
1426
1666
1922
O peso específico aparente ao final de T anos pode ser calculado pela fórmula proposta por Lane e Koelzer (H) γ s = γ so + K . log T onde K é uma constante que depende da granulometria do material e das regras de operação do reservatório, conforme pode ser vista na tabela proposta pelos autores: Operação do reservatório Granulometria 3 Seixos Areias Siltes Argilas γS (kg/m ) 0 91 256 1. Os sedimentos são quase ou totalmente submersos. 0 43 171 2. Normalmente há o esvaziamento moderado do reservatório. 3. Normalmente há o esvaziamento acentuado do reservatório. 4. O reservatório está normalmente vazio. 3.3.4
0
16
96
0
0
0
– Ângulo de repouso do sedimento
O ângulo de repouso do sedimento é um dado importante nos estudos das condições de início de movimento, projeto de canais e outros problemas da hidráulica fluvial. Comparativamente a outros estudos, pouco foi feito no sentido de se determinar o ângulo de repouso do sedimento submerso. Existe uma proposição de Gibson (1946): tg∅ = K.d0,125.(γ’s /γ)0,19.r0,25
em que: ∅ - ângulo de repouso submerso d – diâmetro médio da mistura (mm) γ’s – peso específico submerso do sedimento γ - peso específico da água r – razão entre a maior e menor dimensão do sedimento K – constante igual a 0,61
Esta fórmula foi desenvolvida para diâmetros entre 0,13 mm e 0,49 mm, e γ’S/γ entre 0,90 e 1,63. Há ainda a proposição de Lane (1947), que dá o ângulo de atrito em função do diâmetro e da forma do sedimento, como pode ser visto na figura (3.3).
CAPITULO IV – PROPRIEDADES HIDRÁULICAS DO ESCOAMENTO EM LEITO MÓVEL 1.1 – Generalidades Os escoamentos de fronteira fixa são caracterizados por leis que relacionam as grandezas relativas ao escoamento líquido (como vazão, velocidade, profundidade, etc), e a geometria do canal (declividade, rugosidade, seção transversal). Nos escoamentos a fundo móvel, estas leis são mais complexas, uma vez que deve-se somar as grandezas relativas ao escoamento na fase sólida. Esta complexidade deve-se principalmente ao fato de que a geometria do leito apresenta conformações que variam em função do estágio do escoamento. Estas conformações, denominadas de “rugosidade de forma”, representam uma forma de resistência ao escoamento da fase líquida. Um segundo fator que contribui para a complexidade no tratamento desta modalidade de escoamento, é representado pelo material transportado em suspensão. Em função dos níveis de concentração do material em suspensão, algumas características do escoamento líquido podem ser afetadas. Como exemplo podem-se ver na figura 4.1 duas distribuições de velocidades de um determinado escoamento onde há somente variação nas concentrações.
Pretende-se, neste capítulo, estudar algumas propriedades fundamentais do escoamento bifásico, abordando inicialmente o caso particular do escoamento com fronteira fixa, para depois estender as considerações aos escoamentos com fundo móvel.
4.2 – Propriedades mecânicas do escoamento a fundo fixo 4.2.1– Distribuição das tensões de atrito As hipóteses assumidas para o desenvolvimento das propriedades mecânicas do escoamento a fundo fixo são as seguintes: - escoamento a superfície livre, bidimensional - regime permanente e uniforme - fluido real e homogêneo Para o estudo da distribuição de tensões, considera-se que o volume de controle ABCD, na figura 4.2, tem largura unitária, e dimensões AB e CD que também são unitárias.
Os esforços externos ao volume de controle são: G – peso do fluido contido em ABCD E1 e E2 – resultantes das forças de empuxo nas seções de entrada e saída, respectivamente τC – tensão de atrito de interface BC As componentes de G segundo os eixos x e y são: Gy ≈ G = γ (h –y) quando é pequeno Gx ≈ GJ Fazendo o equilíbrio das forças, considerando-se que E1 = E2 (regime uniforme), tem-se: com τmín = 0 τmax = τo = γ J h
τy = γ J h (1 – (y/h))
(4.1)
quando y = h quando y = 0
Os conceitos contemporâneos de mecânica dos fluidos permitem exprimir a tensão de atrito total, a uma profundidade y, como sendo a soma de duas componentes: τy = τl + τt (4.2) onde τt é a tensão de atrito devido à viscosidade molecular µ, dada por: τl = µ. dµ/dx (4.3) e τt é a tensão de atrito aparente devido às flutuações turbulentas, dada por: τt = - ρ. u’v’ (4.4)
u’v’ – média temporal do produto das flutuações de velocidades nas direções x e y, respectivamente. A tensão turbulenta τt, pode ainda ser expressa pela equação de L. Prandtl: τt = ρ . l2 (du/dy)2 (4.5) onde l é uma quantidade que tem a dimensão de comprimento. O parâmetro l foi denominado por L. Prandtl de “comprimento de mistura”, por ser uma medida da distância média de translado das partículas fluidas envolvidas no processo de mistura devida à turbulência. De acordo com interpretações mais recentes, l seria uma quantidade proprcional “a dimensão dos vórtices macroturbulentos, e ao comprimento dos respectivos deslocamentos durante o processo de mistura. Como estas quantidades variam de acordo com a profundidade, há uma variação de l com y, que no atual estágio de conhecimentos, não se sabe bem como ocorre. Tudo o que se sabe, é que nas proximidades do escoamento à sua fronteira, a relação entre l e y é linear do tipo: l = χ.y (4.6) onde χ tem a denominação de “constante de Von Karmann”. Nos escoamentos em que nã há transporte de material sólido adota-se o valor χ = 0,4, embora comparações experimentais demonstrem haver alguma variação em torno deste valor. A presença de sedimentos em suspensão afetam o valor de X, fazendo com que este valor tenha uma tendência a diminuir com o aumento dos níveis de concentração. Adiante serão apresentados os resultados de alguns estudos sobre a variabilidade da constante de Von Karmann. A representação esquemática da figura 4.3, apresenta as distribuições de tensões viscosa e turbulenta, que obedecem às seguintes características: a) K< y <δ (camada viscosa) τ = τl = µ. du/dy (4.7) b) δ< y < h (camada turbulenta) τ = τt = ρ.l2 (du/dy)2 (4.8)
4.2.1
– Discussões sobre a variabilidade da constante de Von Karmann
Segundo Einstein-Chien, a parcela de energia utilizada para manter o sedimento em suspensão ( pela unidade de peso do fluido e de tempo), é dada por: Cmω ρ − ρ (4.9) ∑ γ .um.Jo s ρ que pode ser correlacionada com X, como se vê na figura 4.4. Apesar da dispersão dos pontos, esta é uma indicação razoável de que o valor de X pode atingir valores da ordem de 0,2, quando as concentrações são elevadas. Vanoni e Nomicos (1960) propuseram uma relação de k com um parâmetro ligeiramente diferente do proposto por Einstein e Chien.
C y 2 y1ω 0 ( y 2 − y1 ) ( ρ s − ρ ) . γ .um.J h ρ
(4.10)
onde Cy2y1 é a concentração média entre as profundidades y1 e y2, tomados a 0,001.h e 0,010h, respectivamente, portanto muito próximas ao leito. A correlação encontrada, como se vê na figura 4.5 é melhor que a de Einstein-Chien.
Outras contribuições sobre o assunto foram apresentadas. Entre elas destaca-se a de Garde e Paintal(1964) que estenderam este tipo de análise a escoamentos aluvionares, encontrando uma variação de X entre 0,15 e 0,60. Verificaram ainda que nos escoamentos aluvionares a constante X é influenciada também pela conformação do leito. Desde que o τ* é um importante parâmetro na caracterização do transporte de fundo e na conformação do leito, Garde e Paintal plotaram valores medidos de X contra τ* e obtiveram a relação apresentada na figura 4.6. Apesar da dispersão dos pontos, nota-se a tendência da diminuição de X com o aumento de τ*.
4.2.2 – Distribuição de velocidades 4.2.2.1 – Escoamento em regime laminar Considerando o mesmo conjunto de hipóteses anteriores das equações 4.1 e 4.3 chega-se a: du τ 0 = (1 − y / h) (4.11) dy µ
ou ainda, integrando-se a equação 4.11, obtém-se a expressão da distribuição de velocidades: τ hy 1y ) u = 0 (1 − (4.12) 2 h µ h que pode também ser escrita numa forma mais conveniente: 1 y u y = Re a (1 − ) (4.13) v* 2 h h onde: v* = (τo/ρ)1/2 – que tem a dimensão de velocidade, e que, por definição, denomina-se velocidade de atrito. Rea = (v*h)/υ – que representa o número de Reynolds de atrito. A distribuição parabólica da expressão 4.13 pode ser vista na figura 4.7, com os seguintes valores fundamentais: velocidade máxima (y/h=1) umáx/v* = 1/2 Rea (4.14) velocidade média um/v* = 1/3 Rea (4.15)
4.2.2.2 – Escoamento em regime turbulento Nos escoamentos turbulentos nas vizinhanças do leito, ou seja: ymin < y << h onde: ymin = k ou δ K – dimensão da rugosidade absoluta do leito δ - espessura da camada viscosa é valido admitir: τ ≈ τ0 pois y/h << 1 τ ≈ τt pois y > δ
Integrando-se a operação 4.5 em relação a y, entre ymin e y, resulta a expressão geral de distribuição de velocidades: 1 y u min µ = . ln + (4.16) v* X y min v* Em princípio, este tipo de distribuição de velocidades é válida somente nas vizinhanças do leito, onde é válida a lei l=X.y, porém comprovações experimentais têm demonstrado que é válida a extrapolação para toda a profundidade. O limite inferior ymín assume a espessura da camada viscosa δ, se δ > αK, em que αK representa um dimensão a partir da qual a rugosidade do leito passa a interferir no escoamento. Quando ymín = δ, o escoamento nas proximidades do leito fica definido a partir do conhecimento das características do fluido (ρ, µ), das propriedades mecânicas do escoamento (v*) e da condição de fronteira, ou seja, da rugosidade absoluta K. O adimensional representativo neste caso, toma a forma de m número de Reynolds. (4.17) ReK = v*K/υ A influência da espessura da camada viscosa δ, pode ser obtida da seguinte relação funcional: vk δ = Γδ ( * ) (4.18) k υ No caso em que δ > αK, a rugosidade do leito deixa de ser uma grandeza característica do fenômeno, o que somente é possível se a relação 4.18 for do tipo: δ v K const a = Γδ * = (4.19) k K υ v* υ ou (4.20) δ = consta . ν/v* Portanto a equação (4.16) assume a forma: u 1 v y = ⋅ ln * + C a v* χ υ
(4.21)
onde: ub 1 − ln const a (4.22) υ χ umin = uδ Quando ymin assume o valor da rugosidade do leito K, ou seja quando δ < β K, em que a grandeza βK é uma dimensão a partir da qual a viscosidade deixa de influir no escoamento , a equação 4.16 assume a forma: u/v*=(1/χ).ln(y/k) + Cb (4.23) onde: Cb = uk/v* = constante (4.24) umin = uk A equação 4.16 pode ainda Ter um tratamento mais genérico fazendo-se: Ca =
u/v*=(1/χ).ln(y/k) + B
(4.25)
onde: B =(1/χ).ln(v*k/υ) + Ca para δ > α k (4.26 a) B = Cb para δ < β k (4.26 b) A constante B é um adimensional que representa uma propriedade do escoamento nas proximidades do leito. Desta forma, é possível estabelecer-se uma função do tipo: v k B = ΓB * (4.27) υ Uma relação entre B e log (v*k)/υ foi obtida experimentalmente por J. Nikuradse (1933), utilizando a rugosidade de areias uniformes coladas às paredes de condutos, figura 4.8.
Observa-se na figura 4.8, que os pontos experimentais se ajustam bem às retas Sa e Sb para os valores: v*k/ν < =5 (regime turbulento liso) v*k/ν > =70 (regime turbulento rugoso) respectivamente, de onde se podem extrair as seguintes constantes: Ca = 5,5 Cb = 8,5 1/X =2,5 Os limites 5 e 70 são valores aproximados, podendo Ter alguma variação, dependendo de cada autor. As equações 4.26a e 4.26b, tornam-se então em: B = 2,5 ln v*k/ν + 5,5 para v*k/ν < =5 (4.28 a) B = 8,5 para v*k/ν > =70 (4.28b) Nos escoamentos a fundo móvel, a rugosidade k é determinada pela deformação do leito e não mais pela dimensão do sedimento ks. Em função disto, a constante B é determinada pela configuração do leito, como se vê esquematicamente na figura 4.9. Por
sua vez, a configuração do leito depende da intensidade do transporte sólido. Os limites “a” e “b”, neste caso, dependem de parâmetros que definam a configuração do leito.
É interessante apresentar valores fundamentais para o escoamento turbulento liso e rugoso. a) Regime turbulento liso ((v*k)/υ < 5.0) - velocidade máxima y = h u max v h = 2,5 ln * + 5,5 (4.29) v* υ - velocidade média h um 1 u.dy (4.30) = v * h − δ δ∫ Substituindo o valor d umáx = u(h) na equação 4.30 e tratando δ/h como um infinitesimal de primeira ordem, chega-se a: u m u max v h = − 2,5 = 2,5 ln * + 3,0 (4.31) v* v* υ b) Regime turbulento rugoso ((v*k)/υ > 70.0) - velocidade máxima y=h u max h = 2,5 ln + 8,5 v* ks - velocidade média h um 1 u.dy = v * h − k ∫k dando o mesmo tratamento que na equação 4.30, chega-se a: u m u max h = − 2,5 = 2,5 ln + 6,0 v* v* k
(4.32)
(4.33)
(4.34)
As figuras 4.10a e 4.10b, apresentam as distribuições de velocidades para o regime turbulento.
Nos casos em que o escoamento é turbulento liso, na interface com o escoamento laminar são válidas as equações 4.13, 4.25 e 4.28a. Como y=δ e δ << h, então: u δ lim δ 1 δ δ vδ = ( → 0) Re * (1 − ⋅ ) = Re * ⋅ = * (4.35) v* h h 2 h h υ introduzindo este resultado nas equações 4.25 e 4.28a, chega-se a: v *δ vδ = 2,5 ln * + 5,5 υ h A solução da equação 4.36 é:
(4.36)
v *δ = 11,6 ou δ = 11,6ν/v* υ portanto, a constante da equação 4.20 tem o valor 11,6. 4.2.3
– Formulações empíricas para a determinação da resistência ao escoamento
As primeiras fórmulas para a determinação da resistência ao escoamento eram de caráter puramente empírico. Algumas delas ainda encontram grande aceitação, como as fórmulas: -
Chézy
um = C (RJ)0,5 onde C é conhecido por coeficiente de Chézy. - Manning: um = 1/n R2/3 J1/2 (MKS) onde n é conhecido por coeficiente de rugosidade de Manning.
(4.37) (4.38)
Os coeficientes das fórmulas 4.37 e 4.38 estão na forma dimensionalizada, e portanto dependem do sistema de unidades; não consideram o efeito de viscosidade, o que as restringe aos casos em que o regime de escoamento é turbulento rugoso. Da adimensionalização destes coeficientes resulta uma expressão mais conveniente: 1
um C l R6 . = = = v* g g n onde f é o coeficiente de resistência de Darcy-Weisbach. -
8 f
(4.39)
Strickler
A fórmula de Strickler consiste na conjugação das fórmulas logarítmica (4.34) e de Manning na forma adimensionalizada (4.39): 2,5 ln (R/Ks) + 6,0 = (g)-1/2 (R1/6/n)
(4.40)
Para simplificação de cálculo, Strickler aproximou a expressão 4.40 por uma função mais simples, correlacionando R/ks com R1/6/n, e obteve: 1 6
R R = 24,3 n KS
1
6
(4.41)
ou 1
K 6 n= s (4.42) 24,3 Em 1923, analisando dados de inúmeros rios suíços, com leito constituído por materiais grosseiros, Strickler (1948) recomendou o uso da expressão:
1
d 6 n = 50 (4.43) 21,0 Quando o material de fundo não é uniforme, na condição de não haver movimentação d sedimentos, Meyer-Peter e Müller (1948) propõem a adoção do diâmetro d90 para substituir a rugosidade equivalente ks, ao passo que Einstein (1950) propõe a adoção de d65. Estas diferentes proposições, de maneira geral, não introduzem um erro muito grande na determinação de n, uma vez que o diâmetro entra na fórmula com a potência 1/6. 4.3 – Configuração do leito 4.3.1 – Classificação das configurações do leito O regime de escoamento em fundo móvel, encontra a seguinte definição por Garde e Albertsoon(1959): “ A natureza da configuração do leito e da superfície líquida varia de acordo com as características do sedimento, do escoamento e/ou características do fluido. Estes tipos de configurações do leito e da superfície líquida são classificados de acordo com suas características e denominados “regime de escoamento”. Deve-se tomar o cuidade de não confundir esta definição com outras nomenclaturas semelhantes da hidráulica de canais. Os diferentes regimes de escoamento foram observadas em canais naturais, e descritos por Albertson, Simons e Richardson (1961). A partir do repouso e por sucessão de ocorrências, à medida que a velocidade de escoamento aumenta, distinguem-se as seguintes configurações de fundo, figura 4.11: - leito plano: até o instante em que os sedimentos não atingem as condições-limites para o iníco de movimentação, o leito se mantém em repouso. - rugas: quando o sedimento inicia sua movimentação, ocorrem pequenas deformações cujo corte longitudinal se assemelha a dentes de serra. Em geral, o talude montante é bastante abatido e o de jusante mais inclinado, atingindo o ângulo de talude natural do sedimento. Se o material de fundo for fino, de modo geral as rugas formam-se rapidamente, logo no início da movimentação do material. Os materiais relativamente grosseiros, com dimensões da ordem de 1.0 mm ou mais, não produzem este tipo de formação. Dessa forma o leito permanece plano por mais tempo, até o surgimento de dunas. - dunas: quando a velocidade aumenta, aparecem conformações periódicas maiores, com a forma semelhante às das rugas, porém com a superfície mais irregular. As dunas podem atingir grandes proporções, que por vezes recebem a denominação de bancos. Se o material do leito for relativamente fino pode ocorrer a formação de rugas no dorso das dunas, que por sua vez podem sr varridas à medida que a velocidade aumenta. - transição: o regime de transição caracteriza-se por uma situação bastante instável, onde podem ocorrer rápidas mudanças na forma da superfície livre, e do leito com apenas pequenas mudanças nas condições de escoamento. Geralmente ocorrem quando o número de Froude é da ordem de 0,8. com o aumento progressivo da velocidade, as dunas vão se alongando e diminuindo na amplitude, e se o material for relativamente fino, o leito pode assumir a forma plana. Continuando com o aumento da velocidade, pode ocorrer a formação de ondulações suaves no leito e na superfície livre (ambas em fase). Estas ondulações formam-se e desaparecem, nunca crescendo em amplitude.
-
antidunas: quando o escoamento atinge o regime torrencial, desenvolvem-se novas ondulações no fundo, com a forma que normalmente se aproxima da sinuzoidal em fase com as ondas da superfície livre, sendo que estas, em geral, são de maior amplitude. Esta denominação prende-se ao fato de que em geral este tipo de configuração tem um caminhamento no sentido contrario às dunas, ou seja, para montante; no entanto podem também manter-se estacionárias, ou deslocar-se para jusante.
Nos estágios mais avançados deste regime ocorrem instabilidades na superfície líquida, acarretando a formação de roletes na superfície. - Regime de rápidos: neste regime ocorre uma sucessão de regimes rápidos e lentos entremeados por ressaltos hidráulicos. Ocorrem nos estágios avançados do escoamento. Um resumo de um exaustivo estudo realizado pelo U.S. Geological Survey. Colorado State University, sobre deformações do leito, foi preparado por Simons et alli (1961) resultando na tabela: tabela 4.1 Regime de Escoamento
Forma do Leito
Concentração P.P.M.
Regime Inferior
rugas rugas sobre dunas dunas dunas em
10 –200 100-1200
Transição
200-2000 1000-3000
Forma de transporte sólido saltos discretos
Tipo de Rugosidade
Predomina a rugosidade de forma variável
Coeficiente de Rugosidade C/g1/2 7,8 –12,4 – 7,0 – 13,2 7,0 – 20,0
Regime Superior
remoção Leito plano antidunas rápidos com ressaltos
2000-6000 2000 2000
Contínuo
Predomina a rugosidade do grão
16,3 – 20,0 10,8 – 10,7 9,4 – 10,7
4.3.2 – Métodos previsores das configurações de fundo -
Critério de Albertson, Simons e Richardson (1961)
Liu em 1957, apresentou um critério, relacionando os parâmetros ν*/ω0 e (ν*d)/υ, restrito apenas ao regime de rugas. Posteriormente Albertson, Simons e Richardson, propuseram um critério, relacionando estes mesmos parâmetros, válido para todos os regimes de escoamento. Esta foi a primeira tentativa de previsão generalizada, figura 4.12.
A crítica que é feita a este método é que não considera um parâmetro que caracterize o estágio do escoamento líquido, no caso, o número de Froude. -
Critério de Garde e Albertson(1959)
Garde e Albertson, partindo do pressuposto de que o estágio do escoamento líquido, caracterizado pelo número de Froude, seria um segundo parâmetro importante para a caracterização do regime de escoamento, estabeleceram um critério relacionando τ* e Fr, figura 4.13.
Estes dois adimensionais, como é sabido, representam um número de mobilidade do sedimento e do fluido, respectivamente. -
Critério de Garde e Ranga-Raju (1963)
Este critério foi desenvolvido em função de um método de cálculo de resistência ao escoamento, proposto pelos autores, e que será discutido oportunamente. Neste método são contrapostos R/d e J/γS*, como se vê na figura 4.14. O mérito deste método é que se utilizado nos cálculos da previsão de curvas de descarga, não necessita do conhecimento do estágio do escoamento. As retas indicadas a 45º com a horizontal indicam situações de τ* constante, que pode assumir qualquer regime, em princípio, em função da profundidade. Esta é a característica que difere este método, do apresentado por Albertson, Simons e Richardson.
-
Critério de Engelund e Hansen (1966)
A partir de uma abordagem teórica, Engelund e Hansen propuseram um critério, a partir de relações entre os parâmetros um/ v*’ e u/(gh)1/2, figura 4.15. O parâmetro um/v*’ é determinado pela expressão logarítmica 4.34, ks = 2d65. Portanto de todos os parâmetros envolvidos (um, h, J e d), o diâmetro exerce uma influência muito pequena na determinação do regime.
Os critérios supracitados, assim como outros não mencionados neste trabalho, apresentam comprovações bastantes restritas. Existem ainda inúmeras dificuldades para a aplicação destes métodos em cursos de água naturais devido à complexidade dos regimes de escoamento que ocorrem. A título de exemplo, cita-se o caso do rio Virgin em Utah, USA (1961), que apresentava, numa determinada seção transversal, dois tipos de configurações distintas, devido à variação de profundidade, figura 4.16. Neste caso não é correto fazer uso das características médias do escoamento. No entanto, a determinação da configuração do leito, seja através de algum método preditor, ou por observação direta, é importante para a avaliação correta da rugosidade de forma, fator que está intimamente ligado à distribuição de velocidades e à intensidade de transporte sólido.
4.4 – Expressões gerais de resistência do escoamento em leito móvel 4.4.1 – Considerações preliminares Inúmeros métodos têm sido desenvolvidos na tentativa de relacionar parâmetros hidráulicos, geométricos e sedimentométricos, dentro de uma precisão compatível com as necessidades para a aplicação na engenharia. Estes métodos podem ser divididos em dois grandes grupos, cada qual com um determinado enfoque do problema. O primeiro grupo trata a resistência ao escoamento como um todo, e utiliza a expressões matemáticas relativamente simples, de natureza empírica, relacionando os parâmetros envolvidos no fenômeno. No segundo grupo, considera-se que a resistência ao escoamento é devida à soma dos efeitos da “rugosidade dos grãos”, que é função somente da geometria dos sedimentos, e da “rugosidade de forma”, que corresponde à parcela de resistência devido à conformação do leito. Num tratamento mais generalizado deveriam ser considerados, também, os efeitos da carga de sedimentos em suspensão, de sorte que a tensão de atrito τ0 seria subdividida de forma: τ0 = τ0’ + τ0’’ + τ0’’’ onde: τ0’ – parcela correspondente à tensão de atrito sobre o leito plano com a rugosidade dos grãos. É também conhecida como tensão efetiva, por ser a única parcela que contribui para a movimentação do sedimento no leito. τ0’’ – parcela correspondente à tensão de atrito necessária para que o escoamento vença os obstáculos do fundo, ou seja, as deformações do leito. Por este motivo é conhecida como tensão aparente. τ0’’’ - parcela correspondente à tensão de atrito necessária para manter o material em suspensão. Da mesma forma que a anterior, é conhecida como tensão aparente. A figura 4.17 representa esquematicamente o diagrama de tensões. Os valores de τ0’,τ0’’ e τ0’’’ podem ser expressas da forma: τ0’ = γJ’h ou τ0’ = γJh’ τ0’’ = γJ’’h ou τ0’’ = γJh’’ τ0’’’ = γJ’’’h ou τ0’’’= γJh’’’ com: J = J’ + J’’+ J’’’ ou h = h’ + h’’ + h’’’ Em função da influência de cada componente pode-se descrever algumas situações típicas: - leito plano, no início do movimento dos sedimentos: é evidente que , numa situação como esta, os componentes τ0’’ e τ0’’’ são desprezíveis, e τ0 = τ0’; - leito irregular, num estágio intermediário do escoamento: neste caso, a influência de τ0’’’ é desprezível, e τ0= τ0’ + τ0’’; - leito plano, num estágio avançado do escoamento: neste caso, a influência de τ0’’ é desprezível e τ0=τ0’ + τ0’’’.
4.4.2- Métodos de resistência global ao escoamento Método de Garde e Raju (1966) Os autores, analisando dados de canais e cursos naturais, propuseram uma equação de caráter empírico para a determinação da velocidade média do escoamento. Partindo da análise dimensional do escoamento bifásico, estabeleceram a seguinte relação funcional: 1 3 R J g2 ⋅d 2 = Γ , , υ γ s* g.d d γ s*
um
(4.45)
O adimensional g ½ d 3/2 / ν que reflete a influência da viscosidade, em primeira aproximação foi considerado como não sendo característico do fenômeno. Esta consideração, portanto, restringe a fórmula aos escoamentos em regime turbulento rugoso. A fórmula proposta assemelha-se à de Manning-Strickler: 2
1
R 3 J 2 = K γ s* g.d d γ s* um
onde: γ s −γ γ k = 7,66 – leito plano k = 3,20 – rugas e dunas k = 6,00 – transição e antidunas γ s* =
(4.46)
Investigações posteriores demonstraram que o valor de k variava continuamente com um/(γs*gd)1/2. Esta variação pode ser vista na figura 4.18, onde são contrapostos os parâmetros um/(γs*gd)1/2 e (R/d)1/3. J/γs*. O critério para a caracterização do regime de escoamento, proposto pelos autores, relaciona R/d com J/γs*. Z.U. Alam (1967) numa discussão sobre esta metodologia, relata ter encontrado uma larga margem de erros nas aplicações em alguns rios americanos.
Ranga Raju (1970) verificou, analisando um rol adicional de dados, que há uma dependência de k com a dimensão do sedimento. Para corrigir este efeito, introduziu os fatores k1 e k2, que são funções da dimensão dos sedimentos, figura 4.19, resultando na seguinte relação: 2
R 3 J = ΓK 2 K1 γ s* gd d γ s* Esta função é apresentada na figura 4.20. um
(4.47)
-
Fórmula de Cruickshank – Maza (1973)
Esta metodologia de cálculo foi desenvolvida para escoamentos turbulentos sobre fundo arenoso, com 0,2 mm 0 φ >
Π −ψ 2 A partícula rolará.
Se α r < 0 φ < 5.3 – Caracterização do início de movimento com o uso de adimensionais
As grandezas características que definem o início do movimento para um fluido e tipo de sedimento determinados, são v* e h que recebem a notação v*cr e hcr. Considerando-se o adimensional de transporte sólido, como por exemplo: qs Π qs = = Γqs (Re * ,τ * , h* , w) (5.5) ρ .v *3 quando o escoamento atinge o valor crítico de início de arraste, então:
Π qs = Γqs (Re *cr ,τ *cr , h*cr , w) = 0
(5.6)*
obs.: W não apresenta o índice de condição crítica (cr porque independe de v* ou h).
Certamente o número de variáveis apresentadas é excessivo, e explica-se: Nas condições críticas de início de movimento, a soma das forças externas ao grão é nula (equilíbirio estático) e portanto I=0. Isso significa que a grandeza ρs e, conseqüentemente, o seu adimensional W=ρs/ρ não são característicos do fenômeno (2.4.4) e portanto W deve ser excluído da função Γqs. Considerando-se que o início de movimento deve-se inteiramente à ação do escoamento nas vizinhanças do leito, onde as distribuições de τ e u independem de h, e que neste estágio do escoamento o leito é plano (ks~d), conclui-se que o adimensional h* não é um parâmetro característico do fenômeno. A partir destas considerações, pode-se escrever a relação 5.6 na forma: Γqs (Re *cr ,τ *cr ) = 0 (5.7) ou τ *cr = φ (Re *cr ) (5.8) A esta relação denomina-se função de Shields, por ter sido este o pesquisador, que pela primeira vez, em 1936, apresentou este tipo de relação com dados experimentais. A curva representada na figura 5.5, foi obtida por Yalin (1977), com diversos tipos de materiais.
5.4 – Análise da curva de Shields Apesar de não ser possível determinar a função de Shields teoricamente, apenas com análise dimensional, é possível prever a sua forma para alguns casos especiais, que são, para os regimes lisos com valores da Re*cr, “pequenos” e, para regimes rugosos com valores de Re*cr, “grandes”. a) Valores de Re*cr “pequenos” A influência da rugosidade ks, e portando d, quando estes são pequenos, desaparece. Se considerarmos que γs, µ e ρ são constantes, e que v* é limitado inferiormente, o valor de Re*cr → 0 quando d → 0. O progressivo decremento do diâmetro d, faz a degeneração do material tender a uma substância muito fina (coloidal), onde a
individualidade dos grãos é perdida, desaparecendo a importância do fator d. Portanto, quando Re*cr é pequeno, a grandeza d deixa de ser característica e pode desaparecer da relação de Shields, τ*cr=φa(Re*cr), o que só é possível se: ρv 2 v d τ *cr ⋅ Re *cr = * ⋅ * = const (a) (5.9) γ sd υ ou seja, const (a ) τ *cr = (5.10) Re *cr c) Valores de Re*cr “grandes” Neste caso, a viscosidade µ deixa de ser uma grandeza característica. Desde que µ está presente somente em Re*cr, isso significa que a sua exclusão implica também na exclusão de Re*cr. Portanto: τ *cr = φ b (Re *cr ) = const (b) (5.11) No caso de material uniforme, é válido dizer que ks≈2d, a influência da rugosidade ks desaparece nos casos em que o regime é laminar ou turbulento liso, enquando que a influência de µ desaparece quando o escoamento é turbulento rugoso. De acordo com isso, pode-se limitar estes valores “pequenos” em Re*cr <5/2 =2,5 para os regimes laminar e turbulento liso e “grandes” em Re*cr >70/2=35 para o regime turbulento rugoso v d v ks (Re*cr = * = * ). υ 2υ No caso particular do gráfico de Shields, obtido por Yalin (1977) a partir de dados experimentais, pode-se observar na figura 5.5 que a reta decrescente para pequenos valores de Re*cr está limitada pelo valor 1,5 < 2,5, com a constante const(a) = 0,1. Para os “grandes” valores de Re*cr, a constante é τ *cr = const b ≅0,05, limitada inferiormente em Re*cr≅100. A utilização direta do gráfico de Shields apresenta o inconveniente de obrigar a resolução por meio de aproximações sucessivas. Este inconveniente pode ser eliminado, introduzindo-se o adimensional R’e*cr: Re 2 *cr γ s d 3 = (5.12) R ' e*cr = τ *cr ρ ⋅υ ou Re *cr = Re'* τ *cr (5.13) τ *cr = φ (Re *cr ) = φ ( R' e*cr ⋅ τ *cr ) = φ * ( R' e*cr )
(5.14)
onde φ * ( R' e*cr ) é uma função transformada de φ ( R' e*cr ⋅ τ *cr ) Esta função é apresentada na figura 5.6, e permite o cálculo direto sem iterações.
5.5 – Critério de utilização da velocidade crítica, para a caracterização do início de movimento As primeiras observações da condição crítica de início de movimento do material do leito, foram feitas em termos de velocidade. Du Buat, por exemplo, apresentou um critério destes em 1816. Outro exemplo clássico é o de Fortier e Scobey (1926), que fixava velocidades permissíveis em canais, que serviram de base para projetos por muitos anos (tabela 5.1). O trabalho de Hjulström (1935), após uma extensiva análise de dados de diversos autores, resultou na relação entre a velocidade média do escoamento no início de movimento e a dimensão dos sedimentos, representada na figura 5.7. As curvas foram determinadas para escoamentos com profundidade mínima d 1,0m. Os dados relativos a sedimentos com diâmetro médio inferior a 0,01mm foram obtidos dos trabalhos de Fortier e Scobey (1926). Deve-se ter em conta que, para diâmetros finos, a coesão é um elemento importante na determinação das condições críticas de início de movimento. Ainda na figura 5.7, estão representadas as curvas de Mavis e Laushey (1966) e de Shields.
A curva de Mavis e Laushey obedece à seguinte expressão: 1
4
γ 2 u f = 0,5 s − 1 dm 9 γ
(5.14)
onde uf – velocidade do escoamento nas proximidades do leito dm – diâmetro médio do sedimento em milímetros Utilizando a distribuição logarítmica de velocidades (4.2.2) é possível escrever a expressão 5.4, em função da velocidade média do escoamento, como foi feito para a representação gráfica da figura 5.7. A curva de Shields foi calculada a partir da curva 5.5, com γs = 2650 kg/m3 e θ = 0 18 C, e da curva de distribuição logarítmica de velocidades com rugosidade ks. A rugosidade (ks) foi admitida igual ao diâmetro médio do sedimento (dm), e a velocidade junto ao leito foi calculada para y = dm ou y = 11,6υ/v* quando a camada viscosa era superior a dm. A crítica que se faz a métodos como estes, é que a velocidade não é suficiente para fornecer informações sobre o início de movimento. Sabe-se que dois escoamentos com a tensão de atrito sobre o leito, granulometrias idênticas e as mesmas distribuições de velocidades, podem assumir velocidades médias distintas se as profundidades forem diferentes (capítulo 4). Torna-se necessário, então, identificar as profundidades. Por este motivo, é aconselhável que se utilize um critério de tensão crítica de cizalhamento, sempre que possível. 5.6 – Critério de utilização de forças de tração sobre o sedimento, para a caracterização do início de movimento
A equação proposta por Schoklitsch em 1914, talvez tenha sido uma das primeiras formulações baseadas no critério de tensão crítica: τocr = (0,201γ2 . γs* . k . dm3)1/2 (kg/m2) (5.15) que escrita em termos de τ*cr corresponde a: (5.16) τ*cr = (0,201 γ2/γs* kf dm)1/2 onde: kf – coeficiente de forma kf = 1 para esferas kf = 4,4 para partículas planas Inúmeras outras formulações deram seqüência a esta, nos anos que se seguiram, sem contudo apresentarem grandes mudanças, em especial no tocante à sua forma. Num trabalho realizado em 1950, Schoklilsch realizou um grande número de dados, e propôs que fossem utilizadas duas equações de tensão crítica, que estão representadas na figura 5.8. Para d > 6,0 mm: τocr = 0,076 γ’s.d (kg/m2) (5.17) ou τ*cr = 0,076 (5.18) para 0,1 mm< d< 3,0 mm τ*cr=0,000285.d-2/3 (5.20) As equações 5.18 e 5.20 foram desenvolvidas por Krey e Schoklitsch, respectivamente. É interessante observar a semelhança entre a forma da figura 5.8 e do diagrama de Shields, figura 5.5.
Um outro trabalho interessante foi desenvolvido por Lane(1953), que utilizou um considerável número de dados de campo gerando o diagrama da figura 5.9. Este trabalho tem como mérito, o fato de abranger um amplo campo de dimensões de sedimentos, e
considerar o material tranportado em suspensão. Observe-se que nos escoamentos de águas claras, o esforço trativo para o início de movimento é inferior aos dos escoamentos que transportam material em suspensão. Outro aspecto interessante, é que para diâmetros grosseiros, onde o escoamento deve ser turbulento rugoso, as curvas tendem a uma variação linear de τocr com o diâmetro, ou seja, τ*cr passa a ser constante, como é previsto no diagrama de Shields.
