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UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP
TURMA: EC4C30
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
PÊNDULO SIMPLES
Brasília, Setembro de 2015
PÊNDULO SIMPLES
Trabalho apresentado como requisito parcial de avaliação na disciplina Complementos de Física do Curso de Engenharia Civil, da Universidade Paulista, sob orientação da professora Stella.
Brasília, Setembro de 2015
RESUMO
Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada pela gravidade. Neste experimento, percebe-se que o pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma massa (m) puntiforme suspensa por um fio leve e inextensível de comprimento L, onde foram feitas as determinadas mediações, tanto das massas quanto do comprimento do fio para que quando afastado de sua posição de equilíbrio e largado, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob a ação da gravidade. O movimento é periódico e oscilatório. O tempo necessário para uma oscilação completa é chamado período (T).
INTRODUÇÃO
Figura 2: Relógio de PênduloFigura 2: Relógio de PênduloFigura 1: Lâmpada do Duomo de PisaFigura 1: Lâmpada do Duomo de PisaO descobrimento do Pêndulo Simples foi dado graças ao antigo físico Galileu Galilei, sendo também considerada a sua primeira contribuição para a ciência. No Duomo de Pisa um sacristão acendeu uma lâmpada que se encontrava pendurada em uma longa corda e logo após a empurrou iniciando, assim, o movimento pendular. Galileu, com as batidas de seu coração, mediu a frequência com que a lâmpada ia e voltava, logo então, percebeu-se que o tempo de cada oscilação era sempre igual, portanto formulou-se a lei do "isocronismo" do pêndulo. Com tal descobrimento foi desenvolvido o primeiro relógio de pêndulo, que também se tornava mais exato graças ao movimento uniforme realizado.
Figura 2: Relógio de Pêndulo
Figura 2: Relógio de Pêndulo
Figura 1: Lâmpada do Duomo de Pisa
Figura 1: Lâmpada do Duomo de Pisa
O pêndulo simples, portanto, é, então, um sistema constituído por uma massa m suspensa de por um fio inextensível e de massa dispensável. Realiza movimento de ida e volta descrevendo uma parte de um círculo cujo o raio é denominado pelo comprimento do fio até o centro da massa.
Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada pela gravidade. Este pêndulo consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas extremidades e livre por outra.
Quando afastado de sua posição de equilíbrio e abandonado, o corpo oscila em torno desta posição desenhando no ar uma parte de um círculo e deve-se desprezar a resistência do ar, estão representadas as forças que atuam sobre a massa: a tração T do fio e seu peso P que é dado pela equação P=M . G.
A componente tangencial do peso, mgsenθ, é a força restauradora do movimento oscilatório do pêndulo e sua intensidade é dada por:
mgsenθ P.senθ=m.g.senθ
Desta equação podemos observar que o pêndulo simples não é significativamente um movimento harmônico simples (M.H.S.), pois mgsenθ não é diretamente proporcional a elongação x , já que o M.H.S. é caracterizado por uma força restauradora cujo módulo é diretamente proporcional à elongação x, como para o oscilador linear massa–mola, e é dada pela Lei de Hooke:
F= -k.x
No entanto, para pequenas amplitudes de oscilação (θ < 10º), o valor do arco BC é quase igual à projeção do movimento da massa sobre o eixo horizontal x, sendo o triângulo ABC praticamente retângulo, e consequentemente senθ xl. Substituindo este resultado na equação temos, para a componente tangencial da força:
mgsenθ m.gl.x
Da lei de Hooke (F= -k.x), onde k = mg/l, o período do pêndulo simples será dado, de forma análoga ao período de oscilação de um sistema massa-mola T=2πmk, por:
T=2πlg
Sendo que tal fórmula é utilizada para amplitudes angulares pequenas, ou seja, θ < 10º e considerando gteorico 9,81 m/s².
Fazendo uma metáfora com o M.H.S. do sistema massa-mola e juntamente aplicando a Segunda Lei de Newton obtemos ainda a equação do movimento e a frequência angular, sendo respectivamente:
ma= - mgl kpêndulo= mgl
w= kpêdulom= mglm w= gml
A fórmula que será utilizada neste trabalho será a experimentalmente dada por:
T= tempo de 10 oscilações10
OBJETIVO
O presente trabalho tem como o objetivo realizar experiências com um pêndulo simples e observar os resultados obtidos para verificar quais tipos de interações afetam o resultado obtido. Identificaremos o movimento periódico do pêndulo simples como um Movimento Harmônico Simples (M.H.S.) para pequenas oscilações até 30º. Sendo assim, deveremos verificar a dependência do resultado com diferentes comprimentos do fio, com diferentes valores de massa e também com a variação da amplitude de oscilação. Além desses aspectos, estimar o valor da aceleração da gravidade.
MATERIAIS
Pêndulo de fio fino
Cronômetro
Massa 1
Massa 2
Balança
Régua milimetrada
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
No primeiro procedimento, como o sistema já veio montado, tivemos que regular o comprimento da corda para um metro, enroscando a mesma na base de sustentação, com o auxílio de uma régua. Logo após afastamos o mesmo em 10 cm, ou seja 10°, medidos também na régua, e soltamos para que ele pudesse realizar o movimento por 10 vezes, enquanto isso, usamos o cronometro para calcular o tempo gasto. Tal processo foi realizado com a primeira massa de 92,41 gramas e posteriormente, adicionamos um cilindro a esfera de massa igual a 64,48 gramas, alterando sua massa para 156,91 gramas.
Amplitude = 10º
Comprimento = 1 metro
Massa 1 = 92,41 gramas
Massa 2 = 156,91 gramas
T1= tempo de 10 oscilações10
T1 = 19,5910
T1 =1,959 s
T2= tempo de 10 oscilações10
T2 = 19,4410
T2 =1,944 s
Massa
Tempo de 10 oscilações (s)
Período T (s)
1
19,59
1,959
2
19,44
1,944
Determinado que o comprimento do fio tenha de ser 1,0 metro e a massa utilizada tenha sido de 156,91 gramas, medimos a primeira amplitude em 0,05 metros com a régua milimetrada, equivalente a 5º, logo após abandonamos a massa e deixamos ocorrer 10 oscilações para obtermos o tempo com o cronometro. Depois trocamos as amplitudes em 10°, 15° e 60° graus, repetindo o exercício anterior.
Massa = 156,91 gramas
Comprimento = 1 metro
T1= tempo de 10 oscilações10
T1 = 19,3410
T1 =1,934 s
T2= tempo de 10 oscilações10
T2 = 19,4110
T2 =1,941 s
T3= tempo de 10 oscilações10
T3 = 19,7210
T3 =1,972 s
T4= tempo de 10 oscilações10T4 = 21,2510
T4 =2,125 s
Amplitude (m)
Tempo de 10 oscilações (s)
Período (T)
0,05
19,34
1,934
0,10
19,41
1,941
0,15
19,72
1,972
0,60
21,25
2,125
Tendo uma amplitude fixa de 10°, ou seja, medidos na régua 10 cm e com uma massa de 156,91 gramas matemos o comprimento do fio em 1 metro e contamos mais 10 oscilações sendo cronometrado o tempo. Novamente, repetimos a mesma experiência, mas variando o comprimento do fio em 0,3 cm, 0,4 cm, 0,5 cm, 0,7 cm, 0,8 cm e 0,9cm.
Massa = 156,91 gramas
Amplitude = 10º
T1 = tempo de 10 oscilações10
T1 = 10,6210
T1 = 1,062 segundos
T2 = tempo de 10 oscilações10
T2 = 12,3710
T2 = 1,237 segundos
T3 = tempo de 10 oscilações10
T3 = 12,7710
T3 = 1,277 segundos
T4 = tempo de 10 oscilações10
T4 = 16,4010
T4 = 1,401 segundos
T5 = tempo de 10 oscilações10
T5 = 17,7810
T5 = 1,778 segundos
T6 = tempo de 10 oscilações10
T6 = 18,5910
T6 = 1,859 segundos
T7 = tempo de 10 oscilações10
T7 = 20,3110
T7 = 2,031 segundos
l1= 0,3
l1= 0,54772256 m12
l2= 0,4
l2= 0,63245553 m12
l3= 0,5
l3= 0,70710678 m12
l4= 0,7
l4= 0,83666003 m12
l5= 0,8
l5= 0,89442719 m12
l6= 0,9
l6= 0,94868330 m12
l7= 1,0
l7= 1 m12
Comprimento l (m)
Tempo de 10 oscilações (s)
Período T (s)
Raiz quadrada do comprimento l (m12)
0,3
10,62
1,062
0,54772256
0,4
12,37
1,237
0,63245553
0,5
12,77
1,277
0,70710678
0,7
16,40
1,640
0,83666003
0,8
17,78
1,778
0,89442719
0,9
18,59
1,859
0,9486833
1,0
20,31
2,031
1
ANÁLISE DOS RESULTADOS
A aula apresentada veio a falar sobre o pêndulo simples que é um corpo de massa suspenso de um ponto fixo por um fio inextensível e de massa desprezível que é solto de sua posição inicial. O corpo de massa deverá oscilar até perder sua força em relação à resistência do ar, sendo assim, o experimento consiste em calcular o tempo gasto pelo corpo em determinadas oscilações, que é o tempo de ida e volta do corpo para o mesmo ponto.
Todos foram instruídos a realizar o experimento que utiliza: pêndulo de fio fino, cronômetro, massas diferentes, balança e régua milimetrada. É feita a montagem do equipamento em que o pêndulo de fio fino suporta as massas para serem calculados os períodos de oscilação.
Dependência da massa:
Analisando os resultados de 01 e 02 obtivemos:
Para o item 01:
Massa = 92,41 gramas
Tempo = 19,59 segundos
Período = 1,959 segundos
Amplitude angular = 10°
Comprimento = 1,0 metro
Para o item 02
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 19,44 segundos
Período = 1,944 segundos
Amplitude angular = 10°
Comprimento = 1,0 metro
Sendo assim, observamos os tempos obtidos no experimento, com cada uma das massas, pôde-se observar uma diferença mínima de resultado. Essa observação pode ser entendida que sem a força de atrito da gravidade o objeto, na ponta do pêndulo, tende a ter um mesmo período de oscilação, independentemente de sua massa.
Dependência da amplitude angular:
Para amplitude de 0,05 metros
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 19,34 segundos
Período = 1,934 segundos
Amplitude angular = 5°
Comprimento = 1,0 metro
Para amplitude de 0,10
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 19,41 segundos
Período = 1,941 segundos
Amplitude angular = 10°
Comprimento = 1,0 metro
Para amplitude de 0,15
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 19,72 segundos
Período = 1,972 segundos
Amplitude angular = 15°
Comprimento = 1,0 metro
Para amplitude de 0,60
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 21,25 segundos
Período = 2,125 segundos
Amplitude angular = 60°
Comprimento = 1,0 metro
Portanto, analisando o tempo de cada uma das amplitudes angulares, percebe-se que o comportamento do pêndulo se assemelha a situação descrita anteriormente, existe uma pequena variação no tempo, por fatores de erros, no entanto tende a ser o mesmo, sem influência da amplitude.
Dependência do comprimento do fio
Para comprimento de 0,3 metros
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 10,62 segundos
Período = 1,062 segundos
Amplitude angular = 10°
Para comprimento de 0,4 metros
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 12,37 segundos
Período = 1,237 segundos
Amplitude angular = 10°
Para comprimento de 0,5 metros
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 12,77 segundos
Período = 1,277 segundos
Amplitude angular = 10°
Para comprimento de 0,7 metros
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 16,40 segundos
Período = 1,640 segundos
Amplitude angular = 10°
Para comprimento de 0,8 metros
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 17,78 segundos
Período = 1,778 segundos
Amplitude angular = 10°
Para comprimento de 0,9 metros
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 18,59 segundos
Período = 1,859 segundos
Amplitude angular = 10°
Para comprimento de 1,0 metros
Massa = 156,91 gramas
Tempo = 20,31 segundos
Período = 20,31 segundos
Amplitude angular = 10°
Portanto, observando os tempos obtidos em questão, nota-se que gradativamente ele aumenta com o aumento do comprimento, sendo assim, o período também aumentará, logo, o fator que influencia no resultado do período de oscilação, descrito no experimento, é o tamanho do fio.
Tomando como ponto de partida o item 1 do procedimento, foi determinada a frequência angular do pêndulo:
w= kpêndulom= mglm=w= gml
w= 9,8192,41.1
w=0,3258 rad/s2
A partir do mesmo, relacionamos o valor obtido com a equação de Movimento Harmônico Simples, adotando a amplitude de 0,1 m e a fase a partir do ponto inicial:
x t=A.cos (wt+δ)
x t=0,1.cos (0,3258t+0)
Com os gráficos pôde-se notar que não há uma regularidade ao estabelecer a linha "ligando" os pontos, sendo que esta passa perto dos locais demarcados. Com o mesmo ainda pode-se determinar o valor da aceleração da gravidade a partir do gráfico l x T.
a2= b2+ c2
a2= 0,32+(0,54772256)2
a2=0,09+0,300000002
a2=0,390000002
a=0,624499802 m/s2
Então, a gravidade experimental é:
ge=4.π2.a2
ge=4.π2.0,30000002
ge=4.9,8696.0,30000002
ge=15,3965
Sendo assim, o erro percentual:
E%= Gteorico- GexperimentalGteorico . 100%
Onde: Gteorico 9,81 m/s²
E%= 9,81- 15,39659,81 . 100
E%= -5,58659,81 . 100
E%= -0,5694 . 100
E%= -5,694
CONCLUSÃO
Os dados do experimento nos levaram a resultados bem próximos do real, o que mostra que o período do pêndulo simples depende somente do comprimento do fio. Na linearização das grandezas físicas e na construção do gráfico encontramos um erro, pois o experimento não foi feito sobre condições controladas, podendo ser influenciado pelos erros de leitura das medidas, leitura de tempo, assim como as aproximações nos cálculos e a influência da gravidade.
No cálculo da aceleração da gravidade local, a porcentagem de erro encontrada foi variada. Este erro deve-se a fatores que podem ter comprometido a exatidão do resultado da experiência como:
A percepção visual na hora de definir o valor do comprimento do fio do pêndulo.
A habilidade psicomotora de cada integrante do grupo para soltar a esfera da mesma altura e no mesmo tempo que se aciona o cronômetro.
O paralelismo do fio que provavelmente não foi mantido, uma vez que ele não deveria oscilar para os lados.
O experimento referente ao movimento harmônico simples sendo demonstrado pelo pêndulo simples. É demonstrado que o período é diretamente proporcional ao comprimento do fio e inversamente proporcional a aceleração gravitacional assim como é apresentado na seguinte fórmula:
T=2πlg
O experimento pôde comprovar todas essas hipóteses teóricas e, desse modo, o resultado foi muito satisfatório, dentro das possíveis condições.
A precisão de um experimento relaciona-se com o erro experimental, ou seja, a variabilidade do material experimental sobre a qual não há controle experimental. A precisão de um experimento será tão maior quanto menor for o erro experimental. Dessa forma, a precisão do experimento é expressa pela variância do erro experimental σ2 , que também pode ser designada de variância da observação em uma unidade de observação, estimada por s2, o quadrado médio do erro (SILVA,1996).
Ainda existem métodos como:
Escolha do material experimental
Seleção das parcelas
Seleção dos tratamentos
Aumento do número de repetições
Agrupamento das unidades experimentais
Que podem estar auxiliando na maior exatidão dos resultados.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA DA FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE DE LISBOA. Pêndulo simples, 2008-1009. Disponível em: http://webpages.fc.ul.pt/~pcmiranda/meca/PL-guioes/T1_pendulo.pdf. Acessado em 13 de setembro de 2015 às 14:16.
GRUPO DE ENSINO DE FÍSICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA. Pêndulo simples. Disponível em: http://coral.ufsm.br/gef/MHS/mhs05.pdf. Acessado em 11 de setembro de 2015 às 15:15.
GRUPO VIRTUOUS. Pêndulo simples, 2008-2014. Disponível em: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php. Acessado em 11 de setembro de 2015 às 14:01.
EZEQIEL, Li. Pêndulo simples: determinação da aceleração da gravidade. Brasília, 2014.
SILVA, J.G.C. da. Estatística experimental, versão preliminar. Pelotas: Universidade Federal de Pelotas, Instituto de Física e Matemática, 1996.
