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1ª. Questão (3pts) – Calcule as tensões máximas e mínimas na seção transversal esquematizada na figura a seguir, considerando que a seção é composta por dois materiais 1 e 2, sendo o módulo de elasticidade do material 1 E1=21GPa e o do material 2 E2=210GPa. A tensão de ruptura do material 1 S1=70MPa e a tensão de ruptura do material 2 S2=400MPa. Determinar o coeficiente de segurança da seção transversal, considerando o momento fletor atuante na seção de Mz=100kN*m. (dimensões em cm) 2,5
2,5
10
6 Mz zc 34
Material da seção transversal composta
E1 := 21GPa
Tensões de ruptura do material 1 e 2: S1 := 70MPa Proporiedades da seção transversal composta h := 40cm
b1 := 10cm
E2 := 210GPa
hf2 := 6cm
Seção transformada
h − hf2
b1⋅ h − hf2 ⋅
(
yc :=
E2 E1
= 10
S2 := 400MPa
b2 := 2.5cm
centroide da seção transformada:
n :=
bf := b1 + 2⋅ b2⋅ n = 60⋅ cm
) 2 + bf ⋅ hf2⋅ h − b1⋅ ( h − hf2) + bf ⋅ hf2
hf2
2 = 27.286⋅ cm
Momento de inercia da seção tranformada: 3
Izc :=
bf ⋅ hf2 12
2 3 2 hf2 b1⋅ ( h − hf2) h − hf2 5 4 + bf ⋅ hf2⋅ h − − yc + + b1⋅ ( h − hf2) ⋅ − yc = 1.038 × 10 ⋅ cm 2 12 2
Momento fletor Prova A:
sigma1inf :=
sigma2inf :=
Coef1 :=
Mz := 100kN⋅ m
Mz ⋅ y = 26.293⋅ MPa Izc c Mz Izc
(
sigma1sup :=
)
⋅ −h + hf2 + yc ⋅ n = −64.7⋅ MPa
S1 sigma1inf
= 2.662
sigma2inf :=
Mz ⋅ −h + hf2 + yc ⋅ n = −51.76⋅ MPa Izc
sigma1inf
Mz Izc
− S2 sigma2sup
(
)
⋅ yc − h ⋅ n = −122.516⋅ MPa
= 3.265
Mz := 80kN⋅ m
Mz ⋅ y = 21.034⋅ MPa Izc c
S1
)
sigma2sup :=
sigma1inf :=
Coef1 :=
(
coef2 :=
Momento fletor Prova B:
(
Mz ⋅ y − h = −12.252⋅ MPa Izc c
)
= 3.328
sigma1sup :=
Mz ⋅ y − h = −9.801⋅ MPa Izc c
(
)
sigma2sup :=
coef2 :=
Mz ⋅ y − h ⋅ n = −98.013⋅ MPa Izc c
− S2 sigma2sup
(
= 4.081
)
2a Questão (4,0 pontos) – Considere a barra prismática submetida a flexão composta apresentada na figura abaixo e sua seção transversal. Pede-se:
1,0
a) Calcule a posição do centro geométrico da seção transversal e seu momento de inércia. Apresentar a posição do centro geométrico na figura da seção transversal, indicando sua distância da base da seção.
1,5
b) Considerando a carga axial aplicada no centro geométrico da seção transversal, obtenha o diagrama de tensões normais para a seção mais solicitada da barra. Indicar em cada trecho do diagrama se a tensão é positiva ou negativa.
1,5
c) Determine a excentricidade mínima da carga axial para que ocorram somente tensões de tração na seção do item b, obtendo novamente o diagrama de tensões normais com o sinal. Apresentar a posição do ponto de aplicação da carga na figura da seção transversal e o valor da excentricidade.
40 kN
400 cm
200 cm
1000 kN
Barra prismática
Valor momento de inércia 0,5
12
20,19
13,30
Ponto de aplicação da carga axial.
5
0,5
0,5 cg
11,75 cm
20
4,46 cm
2
1,5
2
1,0
1 9,82 Seção transversal (cm)
Diagrama do item b (KN/cm2)
Diagrama do item c (KN/cm2)
GABARITO a) A seção possui um eixo de simetria, bastando calcular a distância entre a base da seção e o centro de gravidade. Considera-se o eixo auxiliar apresentado na figura abaixo:
Considera-se a área do retângulo externo com seu respectivo centro de gravidade como uma contribuição positiva. A área do retângulo interno com seu centro de gravidade , por sua vez, é considerada negativa por tratar-se de um vazio. A posição do centro de gravidade da seção é então dada por: =
− 12 × 20 × 10 − 8 × 14 × 8 = = 11,75 − 12 × 20 − 8 × 14
Para o cálculo do momento de inércia, novamente o retângulo externo tem contribuição positiva e o interno contribuição negativa. Assim:
= + − − − − =
12 × 20 8 × 14 + 12 × 2010 − 11,75 − − 8 × 148 − 11,75 = 5330,667 cm! 12 12
b) A seção mais solicitada é aquela para qual o momento fletor é máximo, sendo necessário obter seu diagrama:
Reações (kN):
1000 A 20
40 B 60
1000 C
" #$ = 0 → 40 × 600 = &' × 400 → &' = 60 () " *+ = &$ + 40 = &' → &$ = 20 () " *, = 0 → -$ = 1000 ()
8000
M (kNcm):
Portanto, a seção B é a mais solicitada com um momento fletor de 8000 kNcm. É importante notar que o momento traciona as fibras superiores, portanto a contribuição do momento para o topo da seção será positiva e a contribuição para a base será negativa. Tais contribuições são calculadas abaixo: ./0 =
# 8000 / = × 20 − 11,75 = 12,38 () ⁄ 5330,667
.20 = −
# 8000 2 = − × 11,75 = −17,63 ()⁄ 5330,667
A carga de 1000 () traciona toda a barra, portanto sua contribuição no diagrama de tensões é positiva e vale: ./3 = .23 =
) 1000 = = 7,81 () ⁄ 12 × 20 − 8 × 14
Somando este valor nos resultados obtidos para a contribuição do momento fletor obtém-se os extremos do diagrama da seção B. Havendo apenas um material não há saltos de tensão no diagrama, portanto basta ligar os dois valores por um segmento de reta. ./ = ./0 + ./3 = 12,38 + 7,81 = 20,19 ()⁄ .2 = .20 + .23 = −17,63 + 7,81 = −9,82 ()⁄
c) Como o momento fletor devido à carga vertical de 40 kN comprime as fibras inferiores, a excentricidade da carga axial de 1000 kN deve gerar um momento fletor que tracione as fibras inferiores:
e 1000 kN
M:
1000e
A excentricidade mínima pode ser obtida impondo que a tensão máxima de compressão na seção transversal do item b seja igual a zero. Como esta tensão vale -9,82 kN/cm2, escreve-se: .2 = −9,82 + 0 = −9,82 +
# =0 2
10005 11,75 → 5 = 4,46 5330,667
E a nova tensão no topo é: ./ = 20,19 −
# 1000 × 4,46 20 − 11,75 = 13,30 () ⁄ / = 20,19 − 5330,667
1a Questão (4,0 pontos) – Considere a barra prismática submetida a flexão composta apresentada na figura abaixo e sua seção transversal. Pede-se:
1,0
a) Calcule a posição do centro geométrico da seção transversal e seu momento de inércia. Apresentar a posição do centro geométrico na figura da seção transversal, indicando sua distância da base da seção.
1,5
b) Considerando a carga axial aplicada no centro geométrico da seção transversal, obtenha o diagrama de tensões normais para a seção mais solicitada da barra. Indicar em cada trecho do diagrama se a tensão é positiva ou negativa.
1,5
c) Determine a excentricidade mínima da carga axial para que ocorram somente tensões de tração na seção do item b, obtendo novamente o diagrama de tensões normais com o sinal. Apresentar a posição do ponto de aplicação da carga na figura da seção transversal e o valor da excentricidade.
40 kN
400 cm
200 cm
1000 kN
Barra prismática
Valor momento de inércia 0,5
12
20,06
14,37
Ponto de aplicação da carga axial.
4
0,5
0,5 cg
10,875 cm
20
3,72 cm
2
1,5
2
1,0
2 6,78 Seção transversal (cm)
Diagrama do item b (KN/cm2)
Diagrama do item c (KN/cm2)
GABARITO a) A seção possui um eixo de simetria, bastando calcular a distância entre a base da seção e o centro de gravidade. Considera-se o eixo auxiliar apresentado na figura abaixo:
Considera-se a área do retângulo externo com seu respectivo centro de gravidade como uma contribuição positiva. A área do retângulo interno com seu centro de gravidade , por sua vez, é considerada negativa por tratar-se de um vazio. A posição do centro de gravidade da seção é então dada por: =
− 12 × 20 × 10 − 8 × 14 × 9 = = 10,875 − 12 × 20 − 8 × 14
Para o cálculo do momento de inércia, novamente o retângulo externo tem contribuição positiva e o interno contribuição negativa. Assim:
= + − − − − =
12 × 20 8 × 14 + 12 × 20 10 − 10,875 − − 8 × 14 9 − 10,875 = 5960,667 cm! 12 12
b) A seção mais solicitada é aquela para qual o momento fletor é máximo, sendo necessário obter seu diagrama:
Reações (kN):
1000 A 20
40 B 60
1000 C
" #$ = 0 → 40 × 600 = &' × 400 → &' = 60 () " *+ = 0 → &$ + 40 = &' → &$ = 20 () " *, = 0 → -$ = 1000 ()
8000
M (kNcm):
Portanto, a seção B é a mais solicitada com um momento fletor de 8000 kNcm. É importante notar que o momento traciona as fibras superiores, portanto a contribuição do momento para o topo da seção será positiva e a contribuição para a base será negativa. Tais contribuições são calculadas abaixo: ./0 =
# 8000 / = × 20 − 10,875 = 12,25 ()⁄ 5960,667
.20 = −
# 8000 2 = − × 10,875 = −14,60 ()⁄ 5960,667
A carga de 1000 () traciona toda a barra, portanto sua contribuição no diagrama de tensões é positiva e vale: ./3 = .23 =
) 1000 = = 7,81 () ⁄ 12 × 20 − 8 × 14
Somando este valor nos resultados obtidos para a contribuição do momento fletor obtém-se os extremos do diagrama da seção B. Havendo apenas um material não há saltos de tensão no diagrama, portanto basta ligar os dois valores por um segmento de reta. ./ = ./0 + ./3 = 12,25 + 7,81 = 20,06 ()⁄ .2 = .20 + .23 = −14,60 + 7,81 = −6,78 ()⁄
c) Como o momento fletor devido à carga vertical de 40 kN comprime as fibras inferiores, a excentricidade da carga axial de 1000 kN deve gerar um momento fletor que tracione as fibras inferiores:
e 1000 kN
M:
1000e
A excentricidade mínima pode ser obtida impondo que a tensão máxima de compressão na seção transversal do item b seja igual a zero. Como esta tensão vale -6,78 kN/cm2, escreve-se: .2 = −6,78 + 0 = −6,78 +
# =0 2
10004 10,875 → 4 = 3,72 5960,667
E a nova tensão no topo é: ./ = 20,06 −
# 1000 × 3,72 20 − 10,875 = 14,37 () ⁄ / = 20,06 − 5960,667
