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N°:
Q1 (3,5 pontos) – Para a estrutura abaixo esquematizada, cuja seção transversal em forma de “TÊ” é composta por 3 materiais com as seguintes características: Material 1 - módulo de elasticidade: E1 = E3 / 4, tensão admissível: σ1 = σ3 / 2 Material 2 - módulo de elasticidade: E2 = E3 / 2, tensão admissível: σ2 = σ3 Material 3 - módulo de elasticidade: E3 , tensão admissível: σ3 = 2 kN/cm2 - Determinar a máxima força P aplicável, - Traçar o diagrama de tensões normais ao longo da altura da seção transversal na região de maior momento fletor. Obs.: cada um dos materiais resiste igualmente à tração e à compressão 40 cm mat. 1
20 cm
P
P 4m
4m
mat. 2
40 cm
mat. 3
4m
10 cm 51 cm 20 cm
M = 400 P P
P 4m
4m
20 cm
4m
40 cm
51 cm
R=2P 20 cm
yg =
20 ×10 ×101 + 20 × 40 × 71 + 20 × 51× 51 / 2 = 51 cm 10 × 20 + 20 × 40 + 20 × 51
Ifict =
10 × 20 3 20 × 40 3 20 × 513 + 10 × 20 × 50 2 + + 20 × 40 × 20 2 + = 1 817 673 cm4 12 12 3
σ3 =
M E M = 51 → M = 35 641 kN × 2 kN/cm2 = 71 281 kN cm ------- Pmáx = M/400 = 178 kN y E3 1817673 I fict -------- σ =
σ2 = σ3 =
71281 51 = 2 kN / cm 2 1817673
M E2 M y 40 1 → M = 90 884 kN × 2 kN/cm2 = 181 768 kN cm = E 2 3 1817673 I fict -------- σ =
σ1 = σ3/2 =
71281 40 / 2 = 0,78 kN/cm2 1817673
M E1 M y 60 1 → M = 121 178 × 1 kN/cm2 = 121 178 kN cm = E3 1817673 4 I fict 0,59 kN/cm 20 cm
0,39 kN/cm
-------- σ =
2
2
0,78 kN/cm
40 cm
51 cm 2 kN/cm
2
2
71281 1 (40 a 60) = 0,39 a 0,59 kN / cm 2 4 1817673
Nome :
N°:
Q1 (3,5 pontos) – Para a estrutura abaixo esquematizada, cuja seção transversal em forma de “TÊ” é composta por 3 materiais com as seguintes características: Material 1 - módulo de elasticidade: E1 = E3 / 5, tensão admissível: σ1 = σ3 / 3 Material 2 - módulo de elasticidade: E2 = E3 / 2, tensão admissível: σ2 = σ3 Material 3 - módulo de elasticidade: E3 , tensão admissível: σ3 = 3 kN/cm2 - Determinar a máxima força P aplicável, - Traçar o diagrama de tensões normais ao longo da altura da seção transversal na região de maior momento fletor. Obs.: cada um dos materiais resiste igualmente à tração e à compressão 50 cm mat. 1
20 cm
mat. 2
P
P
40 cm
10 cm
6m
6m
10 cm mat. 3
6m
10 cm 51 cm 20 cm
M = 600 P P
P 6m
6m
20 cm
6m
40 cm
51 cm
R=2P 20 cm
yg =
20 ×10 ×101 + 20 × 40 × 71 + 20 × 51× 51 / 2 = 51 cm 10 × 20 + 20 × 40 + 20 × 51
Ifict =
10 × 20 3 20 × 40 3 20 × 513 + 10 × 20 × 50 2 + + 20 × 40 × 20 2 + = 1 817 673 cm4 12 12 3
σ3 =
M E M = 51 → M = 35 641 kN × 3 kN/cm2 = 106 923 kN cm ------- Pmáx = M/600 = 178 kN y E3 1817673 I fict -------- σ =
σ2 = σ3 =
106 923 51 = 3 kN / cm 2 1817673
M E2 M y 40 1 → M = 90 884 kN × 3 kN/cm2 = 272 652 kN cm = E 2 3 1817673 I fict -------- σ =
σ1 = σ3/2 =
106923 40 / 2 = 1,18 kN/cm2 1817673
M E1 M y 60 1 → M = 151 473 × 1 kN/cm2 = 151 473 kN cm = E3 1817673 5 I fict 0,71 kN/cm 20 cm
0,47 kN/cm
-------- σ =
2
2
1,18 kN/cm
40 cm
51 cm 3 kN/cm
2
2
106923 1 (40 a 60) = 0,47 a 0,71 kN / cm 2 5 1817673
PEF2202 – QUESTÃO 2 (Valor 3,5) Quanto devem valer P e a excentricidade e para que F seja máximo? Qual é o valor de Fmax? Tensão admissível à tração σt = 0 Tensão admissível à compressão σc = 1,5 kN/cm2
10 20
ST
F
40
10 20 10
P
e
e P 2m
Respostas:
(cm)
6m
e
=
cm (duas casas decimais)
P
=
kN (arredondado para o inteiro)
F = max
kgf (arredondado para o inteiro)
Resolução: z’ = 37,5 cm (distância do eixo y até a borda superior, em módulo) z’’ = 32,5 cm (distância do eixo y até a borda inferior, em módulo) Iy = 1025000 cm4 σP: tensão provocada pela carga P e pela excentricidade e σF: tensão provocada pela carga F σ = σP + σF Nas seções correspondentes aos apoios: σF = 0 Tensão na borda superior: σ’ = σ’P = 0 (máxima tensão de tração) I ( − P.e)( − z ' ) σ ′ = −AP + , portanto e = y = 11,39cm Iy A. z ' σ’’ = σ’’P = -1,5 (máxima tensão de compressão)
PEF2202 – QUESTÃO 2 (3,5) Quanto devem valer P e a excentricidade e para que F seja máximo? Qual é o valor de Fmax? Tensão admissível à tração σt = 0 Tensão admissível à compressão σc = 1,4 kN/cm2
10 20
ST
F
40
10 20 10
P
e
e P 3m
Respostas:
(cm)
6m
e
=
cm (duas casas decimais)
P
=
kN (arredondado para o inteiro)
F = max
kgf (arredondado para o inteiro)
Resolução: z’ = 37,5 cm (distância do eixo y até a borda superior, em módulo) z’’ = 32,5 cm (distância do eixo y até a borda inferior, em módulo) Iy = 1025000 cm4 σP: tensão provocada pela carga P e pela excentricidade e σF: tensão provocada pela carga F σ = σP + σF Nas seções correspondentes aos apoios: σF = 0 Tensão na borda superior: σ’ = σ’P = 0 (máxima tensão de tração) I ( − P.e)( − z ' ) , portanto e = y = 11,39cm σ ′ = −AP + A. z ' Iy
σ’’ = σ’’P = -1,4 (máxima tensão de compressão) e. z ' ) = 1,4 , portanto P = 1800 kN P ( 1A + Iy Na seção transversal com momento máximo provocado por F: − 150 F .37,5 σ F' = = −1,4 → F = 221kN 1025000 , portanto Fmax = 191kN '' 150 F .32 , 5 σ F = 1025000 = 1,4 → F = 191kN
P( 1A +
e. z ' ) = 1,5 , portanto P = 1929 kN Iy
Na seção transversal com momento máximo provocado por F: − 150 F .37,5 σ F' = = −1,5 → F = 273kN 1025000 , portanto Fmax = 273kN '' 150 F .32 ,5 σ F = 1025000 = 1,5 → F = 315kN
