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O uso da ferramenta Solver do Excel na solução de problema de programação linear
Ramão Humberto Martins Manvailer
Profº da disciplina: Programação e Controle da Produção (PCP)
do Curso de Engenharia de Produção
Universidade do Estado de Mato Grosso_UNEMAT
[email protected]
Resumo : Como ferramenta de otimização o Solver do Excel possibilita a resolução de problemas, o objetivo deste estudo com a utilização desta ferramenta alem,de buscar uma melhor solução para problemas, é compreender a sua importância como ferramenta para auxilio no processo de tomada de decisão e no desenvolvimento das operações de programação e controle da produção(PCP).
Palavras chaves: Solver, programação Linear, Excel, tomadas de decisão.
Summary: As optimization tool Solver Excel enables problem solving, this study aims to use this tool in addition to solving the problem is to understand its importance as a tool to aid in the process of decision making and development of operations planning and production control (CFP).
Keywords: Solver, Linear programming, Excel, decision-making.
Segundo CAIXETA FILHO(2004), a programação linear é uma das técnicas de resolução de sistemas via inversão de equações lineares via sucessivas inversões de matrizes, com a vantagem de incorporar uma equação adicional representativa relacionada com um comportamento que deve ser otimizado.
A aplicação de programação linear é facilitada pela simplicidade do modelo e a possibilidade de programá-la com uso de computador.
Elaboração de um modelo
Silva et AL( 1998), apresenta o seguinte roteiro para a formulação do modelo matemático de programação linear:
a) Variáveis de decisão
Consiste em explicar as decisões de deverão ser tomadas. Por exemplo: um problema de programa de produção, as variáveis poderão representar a quantidades a produzir de cada produto em um determinado período.
b) Função objetivo
deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, é a otimização, que poderá ser (minimizar ou maximizar algo) desejado. Geralmente aparecem na forma de maximização de custos ou perdas etc.
c) Restrições
Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como um relação linear ( igualdade ou desigualdade) elaboradas com as variáveis de decisão. As variáveis de decisão poderão estar sujeitas a uma ou mais limitações.
As variáveis de decisão podem assumir apenas valores positivos, também é necessário expressar as variáveis de não negatividade.
Para exemplificar a estruturação de um modelo vamos considerar o exemplo a seguir:
Uma empresa produtora de insumos para a agroindústria, necessita comprar algumas matérias primas para seu processo produtivo estas matérias-primas serão adquiridas em uma região destino de uma parte considerável de sua produção. Buscando otimizar o transporte, sendo que a capacidade total a ser transportada e de 800 toneladas, o engenheiro de produção resolveu desenvolver um planejamento para identificar qual seria o lucro da operação; este estudo irá suportar a tomada decisão quanto a aquisição de uma carreta para escoar a produção e transportar matéria-prima para a empresa.
Para transportar 200 toneladas de soja a empresa conseguiria R$ 10,00 de lucro por tonelada transportada; para transportar 100 toneladas de frango a empresa obteria R$ 30,00 por tonelada e no Máximo 200 toneladas de milho com um lucro de R$ 20,00; qual a maneira mais adequada de carga para a empresa obtenha os melhores resultados, construa um modelo para esta situação.
Resolução:
a) Variáveis de decisão
Representam os valores desconhecidos referente ao problema proposto. Neste exemplo, não sabemos a quantidade de toneladas de soja e frango que devemos transportar, portanto esse problema possui duas variáveis, que podemos chamá-las de x1 e x2, onde:
x1 _ Corresponde a quantidade de toneladas de soja a ser transportada;
x2 _ Corresponde a quantidade de toneladas de frango a ser transportada
Observe que a quantidade de milho a ser transportada já está determinado, que é a quantia de 200 toneladas com um lucro de R$ 20,00 por tonelada
b) Função objetivo
A função objetivo define a otimização desejada. Neste problema, deseja-se a maximização do lucro obtido com o transporte. O lucro obtido pelo transporte de cada produto deve ser multiplicado pela quantidade a ser transportada, portanto a função a função objetivo é expressa da seguinte maneira:
L=10.x1+30.x2+4.000
Sendo:
L Lucro máximo
10 o lucro por cada tonelada transportada de soja;
x1 quantidade de Tonelada de soja a ser transportada;
30 o lucro por cada tonelada de Frango Transportada;
x2 a quantidade de frango a ser transportada
4.000 o lucro obtido com o transporte de 200 toneladas de milho (200 toneladas à R$ 20,00 a tonelada);
c) Restrições
As restrições definem as limitações que o problema está sujeito. Neste caso, há três restrições:
A quantidade total de toneladas a serem transportadas;
A quantidade de toneladas de soja ser transportada que deve ser pelo menos 100 toneladas;
A quantidade de toneladas de milho a ser transportada, que deve ser no Maximo 200 toneladas.
Portanto temos teremos três inequações, denominadas restrições técnicas.
x1+x2+200 800 ou x1+x2 600 (1)
Minimo de toneladas de soja a ser transportada
x1 100 (2)
Máximo de toneladas de milho a ser transportada
x2 200 (3)
Devemos expressar também as variáveis de não negatividade para que as variáveis de decisão não assumam um valor negativo.
x1 0 (4)
x2 0 (5)
A elaboração de um modelo é essencial para chegar a resolução do problema proposto.
O Microsoft Excel Solver usa o código de otimização não linear de gradiente reduzido genérico (GRG2), desenvolvido por Leon Lasdon, da Universidade do Texas em Austine Allan Waren, da Universidade Estadual de Cleveland. Os problemas lineares e de inteiros usam o método simples com limites sobre as variáveis e o método de desvios e limite implementado por John Watson e Dan Fylstra, da Frontilene System Inc.
De acordo com Winston(2004) a montagem de um modelo de otimização no Excel em três partes:
a) Célula destino, nesta célula deverá ser inserido uma formula da função objetivo;
b) Células variáveis;
c) Restrições.
Este método é bem semelhante ao modelo matemático convencional para uma planilha do Excel e posteriormente a manipulação dos mesmos pelos solver.
a) Célula destino: É a célula que representa a meta ou objetivo do modelo proposto. Por exemplo identificar a quantidade de toneladas a ser transportadas, de acordo com o valor da tonelada, com a finalidade de maximizar o lucro.
b) Células Variáveis: Estas células poderão ser ajustadas ou alternadas com o objetivo de atingir a otimização da célula destino, estes valores estão sujeitos às restrições e ou limitações do modelo.
c) Restrições: Estas células representam os valores a que o modelo está limitado. Estes valores estão relacionados à quantidade de recursos disponíveis, como por exemplo: Matéria-prima, mão-de-obra, a demanda pode ser limitante do modelo.
Instalando o Solver
O solver é distribuído juntamente com o pacote Office da Microsoft como suplemento que pode ser incorporado ao Excel. No Excel 2003 os passos para instalação do Solver devem ser os seguintes:
1. Com o Excel aberto, clique no menu ferramentas e depois em suplementos
2. Na caixa de dialogo no menu ferramentas localize o solver;
3. Clique em OK, para confirmar a instalação.
Para a versão do Excel 2007, siga os seguintes passos:
1. caso a opção Solver já esteja habilitado, clique em Dados, aparecerá no lado direito a função Solver,
2. caso não esteja habilitado a função solver,
3. Clique em opções do Excel;
4. Clique em suplementos e clique na ferramenta Solver
5. Clique na opção IR
6. Abrirá a caixa de dialogo com os suplementos disponíveis,
7. Clique em solver, está função marcada estará disponível quando você clicar em Dados, aparecerá do lado direito a função Solver.
Configurado o Solver no Excel, iniciaremos a montagem do modelo na planilha do Excel, com os seguintes passos:
1. Abra uma planilha nova do Excel
2. As células B2 e B3 representam as células variáveis (ajustáveis);
3. Insira na planilha as seguintes fórmulas, nas respectivas células:
a) na célula B6 = 10*B2 + 30*B3 + 4.000
b) na célula A10 = B2+B3+200
c) na célula A11 = B2
d) na célula A12 = B3
4. Selecione a célula B6, clique na guia Dados e clique na ferramenta Solver,
5. Aparecerá a seguinte caixa da ferramenta Solver
Obs.: A célula destino em nosso caso a B6 aparece entre $B$6, isto quer dizer que célula está travada.
6. Defina a função Max ou Min em nosso caso será marcado a opção Max, pois desejamos maximizar o resultado esperado com a implementação da solução para o problema;
7. Insira as células Variáveis, em nosso exemplo : Células B2 e B3
8. Insira as restrições, clique em Adicionar e digite os respectivos valores; a referencia de célula que irá receber o valor calculado pela ferramenta e o valor da restrição ao qual a solução se submeterá;
9. Devido às restrições de não negatividade, clique no botão opções e selecione a opção presumir modelo linear e a opção presumir não negativos, clique ok;
Ao certificar que as configurações estão corretas, clique no botão, Resolver.
10. Após clicar no botão resolver aparecerá a seguinte caixa de dialogo:
11. aparecerá na planilhas as soluções que a ferramenta encontrou para o problema, conforme a figura a seguir:
Conforme podemos observar a resolução que obteve a maximização do lucro em R$ 14.000,00 foi transportar 400 toneladas de soja, 200 toneladas de frango e 200 toneladas de milho; mesmo encontrando esses valores, caso deseje testar poderá substituir os valores encontrados de X1 e X2 na célula B6;
12. Insira na célula B6 a seguinte formula:
B6 = 400.x1+ 200.x2 + 4000
A ferramenta recalculará e o resultado será os mesmos R$ 14.000,00 que foi encontrada como a solução ótima.
Considerações Finais
Este estudo buscou analisar a importância quanto ao uso e aplicação da ferramenta Solver do Excel na resolução de um problema no planejamento de controle da produção (PCP); os resultados encontrados foram excelentes, devido a rapidez e facilidade que a ferramenta encontra a solução do objetivo desejado. Como sugestões e contribuições para estudos futuros sobre esta ferramenta recomendam-se uma aplicação de maiores números de variáveis a ser analisadas; uma vez que solver comporta análises com até 200 células variáveis (ajustáveis).
Bibliografia
CAIXETA-FILHO, Jose Vicente, PESQUISA OPERACIONAL: Técnicas de otimização aplicadas a Sistemas Agroindustriais. 2ª edição São Paulo, Atlas, 2004.
SILVA, Ermes Medeiros, et AL. PESQUISA OPERACIONAL: Programação Linear. São Paulo, Atlas 1998.
WINSTON, Wayne L. Introdução a otimização com a ferramenta Solver do Ms-Excel, disponível em:
acessado em 09.10.2010.
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