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Parametros De Incertezas

seminario de incerteza

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Incerteza de medição Jailton C. Damasceno Divisão de Metrologia de Materiais Inmetro Terminologia Terminologia Segundo a ISO Guia 99:2007 VIM (Vocabulário Internacional de Metrologia) • Mensurando Grandeza a ser submetida à medição. • Incerteza de medição Parâmetro não negativo que caracteriza a dispersão dos valores atribuídos a um mensurando. Representa a dúvida que existe acerca do resultado de medição. Terminologia • Calibração Operação que, (...), estabelece uma relação entre os valores e as incertezas de medição fornecidos por padrões, e as indicações correspondentes com as incertezas associadas (...). • Ajuste de um sistema de medição Conjunto de operações efetuadas em um sistema de medição, de modo que ele forneça indicações prescritas correspondentes a determinados valores de uma grandeza a ser medida. Terminologia • Regulagem Ajuste de um sistema de medição de modo que o mesmo forneça uma indicação igual a zero correspondente a um valor igual a zero da grandeza a ser medida. Terminologia • Veracidade (Trueness) Grau de concordância entre a média de um número infinito de valores medidos repetidos e um valor de referência. • Precisão (Precision) Grau de concordância entre indicações ou valores medidos, obtidos por medições repetidas, no mesmo ou em objeto similares, sob condições especificadas. Terminologia • Exatidão (Accuracy) Grau de concordância entre um valor medido e um valor verdadeiro de um mensurando. Exatidão = Veracidade e Precisão Accuracy = Trueness e Precision • Erro Diferença entre o valor medido de uma grandeza e um valor de referência. Interpretação de uma medição Veracidade Precisão (efeitos sistemáticos) (efeitos aleatórios) Valor de referência . . . . . . .. . . . . . . .. Exatidão Erros • Erros Sistemáticos • Associados a instrumentos, técnicas de medida e ao experimentador. • Ocorrem sempre na mesma direção e com mesma magnitude em cada repetição. • Têm influência sobre a veracidade. • Erros Aleatórios • Causados por um grande número de variações imprevisíveis e desconhecidas durante o experimento. • São de tamanho e direção imprevisíveis. • Podem ser analisados estatisticamente. • Têm influência sobre a precisão. • Erros Grosseiros • Ocorrem ocasionalmente, levando a resultados que diferem marcantemente dos outros dados de uma série de medições com repetição. Erros • Valor de medição não corrigido VR - valor de referência e t .. ...... ..... .... .. ..:: ::x ::...:: :::: . ::. :::: VR e S e a et – erro total es – erro sistemático ea – erro aleatório Erros • Valor de medição corrigido VR - valor de referência ......... .. .. VR :: :: ::...:::::: . e a c c=correção ea= erro aleatório Terminologia Exatidão (Accuracy) Tendência (bias) Associada a efeitos sistemáticos Veracidade Precisão (Trueness) (Precision) Repetitividade Variabilidade mínima Fatores constantes Fatores: a) operador b) equipamento c) calibração do equipamento d) condições ambientais e) intervalo entre medições Precisão intermediária Desvio padrão Associada a efeitos aleatórios Reprodutibilidade Variabilidade máxima Fatores variáveis Incerteza de medição Porque a incerteza de medição é importante? • Calibração – a incerteza de medição precisa estar reportada nos certificados de calibração • Ensaios – a incerteza de medição é necessária para determinar se um produto passa ou falha em alguma tolerância • Para se fazer medições com qualidade e entender melhor os seus resultados Incerteza de medição Atendendo uma especificação – avaliação da conformidade • Caso (a) – resultado e incerteza dentro dos limites – conformidade atendida • Caso (d) – resultado e incerteza fora dos limites especificados – conformidade não atendida • Casos (b) e (c) – nem completamente dentro, nem fora – não se pode ter certeza sobre a conformidade Guia para Expressão da Incerteza de Medição (ISO-GUM) ISO-GUM • Guia internacional para harmonização da estimativa da incerteza de medição • Baseado na lei de propagação de incertezas (aproximações) Estimativa de incerteza de medição • Definir o mensurando e o seu modelo • Identificar as fontes de incerteza • Construir o diagrama causa-efeito (Ishikawa ou espinha de peixe) • Quantificar as fontes de incerteza • Calcular os coeficientes de sensibilidade • Calcular os componentes de incerteza • Calcular a incerteza padrão combinada • Calcular o número de graus de liberdade efetivos • Calcular o coeficiente de abrangência • Calcular a incerteza expandida • Declarar o resultado final indicando o valor do coeficiente de abrangência e o nível de confiança (geralmente igual a 95%) Estimativa de incerteza de medição • Definir o mensurando e o seu modelo • Identificar as fontes de incerteza Z  f ( x1 , x2 , x3 ) • Construir o diagrama causa-efeito x1 Repetição Modelo x2 Certificado Repetição Z Certificado x3 Estimativa de incerteza de medição • Quantificar as fontes de incerteza Incerteza Tipo B Incerteza Tipo A - Proveniente de observações repetidas: - Avaliada por julgamento científico, histórico de análise estatística. medições, certificados, manuais, etc. Distribuição normal sx ux  n Desvio padrão da média Distribuição retangular ou uniforme ux  a 3 -a +a -a +a Distribuição triangular Sx - desvio padrão n - número de repetições ux  a 6 Certificado ux  U k U - incerteza expandida declarada a - valor estimado k - coeficiente de abrangência Estimativa de incerteza de medição • Princípio da máxima entropia no caso da incerteza tipo B Deve-se considerar a distribuição mais abrangente para o nível de informação que se tem a respeito da fonte de entrada. Ou seja, deve-se atribuir uma distribuição que não transmita mais informação do que aquela que é conhecida. Exemplo: Se a única informação conhecida for sobre os limites máximo e mínimo de uma variável, deve-se atribuir uma distribuição uniforme. Variável x com valores entre -a e a -a < x < a Distribuição uniforme com extremos em -a e a -a +a Lei de propagação das incertezas Estimativa de incerteza de medição Lei da propagação das incertezas • Modelo: Z  f ( X 1 , X 2 , X 3 ,..., X N ) • Tendo as incertezas de X1, X2, X3, ..., XN  encontrar a incerteza de Z. • Simplificando o modelo para o caso de duas grandezas de entrada: z  f ( x, y) Tenho: ux, uy Desejo: uz Estimativa de incerteza de medição Lei da propagação das incertezas • Expandindo o modelo em série de Taylor nos pontos (x,y) e (x+Dx, y+Dy): f ( x  Dx, y  Dy)  f ( x, y)  f f Dx  Dy  ... x y 1 2 f 2 f 2 f 1 2 2 ...   2 Dx   2 DxDy  2 Dy    ...  ... 2!  x xy y  3! 0 Quando os valores de Dx e Dy são pequenos, as parcelas dos termos de ordem superior são cada vez menores • Considerando somente os termos de primeira ordem: f ( x  Dx, y  Dy)  f ( x, y)  Df ( x, y)  Dz f f Dx  Dy x y Estimativa de incerteza de medição Lei da propagação das incertezas • Supondo uma série de medições de cada grandeza x e y: x y x1 y1 x2 y2 ... ... xN xN 1 x N N x i 1 i 1 N   (Dxi ) 2  N  1 i 1 2 x Dxi  xi  x 1 y N N y i 1 i Médias 1 N   (Dyi ) 2  N  1 i 1 Variâncias Dyi  yi  y Desvios absolutos 2 y em rel. às médias • Para cada medição, o desvio absoluto da grandeza Z: Dzi  f f Dxi  Dyi x y Estimativa de incerteza de medição Lei da propagação das incertezas • A variância de Z pode ser obtida por: 1 N   (Dzi ) 2  N  1 i 1 2 z  z2  Dzi  mas  f  1 f  D x  D y  i i   N  1 i 1  x y  N f f Dxi  Dyi x y 2   1 N  f 1 N  f f 1 N  f  2    z  D x  2 D x D y  D y     i i i i    N  1 i 1  x y  N  1 i 1  x  N  1 i 1  y  2 2 2  f  1 N  f  1  f  f  1 N 2 2    (Dxi )    (Dyi )  2   (Dxi Dyi )     x  N  1 i 1  x  y  N  1 i 1  y  N  1 i 1 2 N 2 z  x2  y2 cov( x, y ) covariância Estimativa de incerteza de medição Lei da propagação das incertezas • Reescrevendo: 2  f   f   f  f   z2     x2     y2  2   cov( x, y)  x   x  y   y  2 onde:  x2  ux2  y2  u y2 • Voltando ao caso geral: cov( x, y)  ux  u y  r ( x, y) Z  f ( X 1 , X 2 , X 3 ,..., X N ) N 1 N  f  2  f  f  2  cov( xi , x j )    uz    u xi  2      i 1  xi  i 1 j i 1 xi  x j  N Coeficiente de correlação 2 Equação geral para a lei de propagação de incertezas Estimativa de incerteza de medição Lei da propagação das incertezas • Quando as grandezas X1, X2, X3, ..., XN são independentes, o último termo desaparece: 2  f  2 2  u xi u z    i 1  xi  N c xi  Coeficiente de sensibilidade f xi X2 X1 cx1 Z cx2 Estimativa de incerteza de medição • Calcular os coeficientes de sensibilidade: c xi  f xi para cada fonte de incerteza • Calcular a incerteza padrão combinada: uz  N c i 1 2 xi u x2i Componentes de incerteza Corresponde apenas a 1 desvio padrão (1-sigma) ou 68% de todas as medidas Para uma maior confiabilidade é necessário um intervalo maior U z  k uz Estimativa de incerteza de medição • Calcular a incerteza expandida: U z  k uz coeficiente de abrangência – geralmente entre 2 (~95%) e 3 (~99%) considerando um distribuição final normal Distribuição t de Student Aproximar a distribuição final do mensurando por uma distribuição t de Student Depende do número de medidas Quanto maior o número de medidas, maior o número de graus de liberdade. Aproxima-se de uma distribuição normal. Estimativa de incerteza de medição • Calcular o número de graus de liberdade efetivos:  eff  u z4 u x4i  Equação de Welch-Satterwaite xi • Calcular o coeficiente de abrangência: Usando a tabela de distribuição t de Student para um dado número de graus de liberdade efetivos e um nível de confiança estima-se o valor do coeficiente de abrangência.  eff NC k Estimativa de incerteza de medição • Calcular a incerteza expandida: U z  k uz • Declarar o resultado final indicando o valor do coeficiente de abrangência e o nível de confiança (geralmente igual a 95%) Resultado final: Z  U z  para k = ... e NC = ... Exemplo: Medição de uma força Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Medição de uma força • Modelo: F  mg Mensurando  Força • Dados do problema: Massa média = 10 kg Balança utilizada 10 repetições Desvio padrão = 0,03 g Incerteza = 0,01 g ; k = 2; NC = 95% Aceleração da gravidade = 9,80665 m/s² Incerteza = 0,00002 m/s² ; k = 2 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Medição de uma força • Diagrama causa-efeito: m Certificado Repetição F Certificado g Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Medição de uma força • Grandezas de entrada: Massa m  10 kg Repetição (tipo A): um1  Certificado da balança (tipo B): um2  s 0,03   0,009487 g n 10 U 0,01   0,005 g k 2 Aceleração da gravidade g  9,80665 m/s 2 Certificado da medida de g (tipo B): ug  U 0,00002   0,00001 m/s 2 k 2 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Medição de uma força • Coeficientes de sensibilidade: Massa cm  F g m  9,80665 m/s 2 Aceleração da gravidade cg  F m g  10 kg • Componentes de incerteza: uF (m1 )  cm  um1  9,80665 m/s 2  0,009487 10-3 kg  9,3034 105 N uF (m2 )  cm  um2  9,80665 m/s 2  0,005 10-3 kg  4,9033 105 N u F ( g )  cg  u g  10kg  0,00001 m/s 2  0,0001 N Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Medição de uma força • Incerteza combinada: u F  u F2 (m1 )  u F2 (m2 )  u F2 ( g )  9,3034 10   4,9033 10  5 2 5 2  0,00012  0,000145 N • Graus de liberdade efetivos:  eff u F4  4 u F (m1 ) u F4 (m2 ) u F4 ( g )    F (m1 )  F (m2 )  F ( g )  0,000145 Na tabela t de Student, para 4 9,3034 10   4,9033 10  5 4 9 5 4   4 0,0001   53 NC = 95% k  2,006 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Medição de uma força • Incerteza expandida: U F  uF .k  0,000145  2,006  0,00029 N • Resultado de medição: F  mg  10 kg  9,80665 m/s 2  98,06650 N F  98,06650 N  0,00029 N; k  2,006; NC  95% • Tabela de fontes de incerteza – “Uncertainty budget” Fontes de incerteza Símbolo Tipo Estimativa Coeficientes de sensibilidade Componentes de incerteza Massa devido a repetição um1 A 0,009487 [g] 9,80665 [m/s²] 9,3034*10-5 [N] Massa devido ao certificado um2 B 0,005 [g] 9,80665 [m/s²] 4,9033*10-5 [N] Aceleração da gravidade ug B 0,00001 [m/s²] 10 [kg] 0,0001 [N] Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Medição de uma força • Balanço das fontes de incerteza: Componentes de incerteza uF ug um2 um1 0.0E+00 5.0E-05 1.0E-04 Incerteza (N) 1.5E-04 2.0E-04 Estimativa de incerteza de medição Modelos podem ser complexos • Espinha de peixe para sistema de medição primária de pH do Inmetro Estimativa de incerteza de medição Alternativas ao GUM A – Método numérico de diferenciação – Kragten Modelo x y z w ( x  ux )  y z´ w x  ( y  uy ) z  w x y z   (w  uw ) Dz1  z  z Dz2  z  z Dz3  z  z uz  (Dz1 )  (Dz2 )  (Dz3 ) 2 2 2 Estimativa de incerteza de medição Alternativas ao GUM B – Combinação das incertezas relativas Modelo x y z w 2 uz  u x   u y   uw           z  x  y w 2 2 Estimativa de incerteza de medição De volta ao exemplo – Medição de uma força A – Método numérico de diferenciação – Kragten Modelo F  mg F´ (m  um )  g DF1  F  F  F   m  ( g  u g ) DF2  F  F  u F  (DF1 ) 2  (DF2 ) 2 Estimativa de incerteza de medição De volta ao exemplo – Medição de uma força A – Método numérico de diferenciação – Kragten F  mg  10 kg  9,80665 m/s 2  98,0665 N um  um21  um2 2  0,009487 2  0,0052  0,010724 g F   (m  um )  g  (10  0,01072 103 ) kg  9,80665 m/s 2  98,0666052 N DF   98,0666052  98,0665  0,000105 N F   m  ( g  ug )  10 kg  (9,80665  0,00001) m/s 2  98,0666 N DF   98,0666  98,0665  0,0001 N u F  0,0001052  0,00012  0,000145 N Estimativa de incerteza de medição De volta ao exemplo – Medição de uma força B – Combinação das incertezas relativas Modelo uF  um   u g        F m  g 2 F  mg 2  0,01074 g   0,00001 m/s² uF      F  10000 g   9,80665 m/s² 2 2    1,48025 106  uF  1,48025 106  98,0665 N  0,000145 N Incertezas envolvendo regressões lineares Estimativa de incerteza de medição Incertezas envolvendo regressões lineares • Supondo uma regressão linear do tipo: y ( x)  a  bx • As variâncias dos coeficientes da reta são dados por: s x s  u D 2 2 2 2 2 a a Onde: s  D 2 2 s s n u D 2 2 b b D  n x   x  2 n2 • E o coeficiente de correlação: ra ,b   x n x 2 2 D2   y  y (x) 2 Estimativa de incerteza de medição Incertezas envolvendo regressões lineares • Incerteza de qualquer ponto interpolado em y na reta: y  a  bx Aplicando a equação geral para a lei de propagação de incertezas N N 1 N i 1 i 1 j i 1 u y2   ci2u xi2  2  ci c j u xi u xj rxi , xj Neste caso: y 1 a y x b u y2  12 ua2  x 2ub2  2 1 x  ua  ub  ra,b Estimativa de incerteza de medição Incertezas envolvendo regressões lineares ya x b Aplicando a equação geral para a lei de propagação de incertezas • Incerteza de qualquer ponto interpolado em x na reta: N N 1 i 1 i 1 j i 1 N u x2   ci2u yi2  2  ci c j u yi u yj ryi , yj Neste caso: x 1  a b x ya  2 b b  1 2  ya 2  1  ya u     ua    2  ub  2        2   ua  ub  ra ,b  b  b   b  b  2 2 x 2 Exemplo: Determinação do teor de Cd em cerâmicas Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Modelo: co  ( Ao  Bo ) B1 cV r o Ld a Co – concentração de Cd [mg l-1] Ao – absorbância do metal na solução lixiviada Bo – coeficiente linear da curva de calibração B1 – coeficiente angular da curva de calibração r – massa de Cd lixiviada por unidade de área [mg dm-2] VL – volume da solução lixiviada [l] a – área da superfície analisada [dm²] d – fator de diluição da amostra Mensurando  Massa de Cd por unidade de área • Dados do problema: Volume de solução lixiviada = 332 ml Dimensões da área = 1,45 dm x 1,64 dm Não houve diluição da amostra Medido em recipiente de 500 ml com especificação de ± 2,5 ml Régua com menor divisão de 1 mm d=1 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Diagrama causa-efeito: co VL Leitura Curva de calibração Especificação r Comprimento Largura Imperfeição na área a d Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Grandezas de entrada: Volume VL  332 ml 2,5 ml   0,00144 l 3 Especificação (tipo B): uVL1 Leitura (tipo B): uVL 2  0,01VL 0,01 0,332   0,00136 l 6 6 Assumindo uma distribuição uniforme Assumindo uma distribuição triangular e erro de 1% na leitura Fator de diluição d 1 Como não houve diluição a incerteza é nula. Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Grandezas de entrada: Área a  l  c  1,45 dm 1,64 dm  2,38 dm 2 0,5 u  mm  0,0029 dm Comprimento (tipo B): c 3 0,5 u  mm  0,0029 dm Largura (tipo B): l 3 Assumindo uma distribuição uniforme e resolução de 0,5 mm  a   a  ua1    ul2    uc2  1,64 2  0,0029 2  1,452  0,0029 2  0,0063 dm 2  l   c  2 Imperfeição da área (tipo B): 2 u a2  0,05  2,38  0,0684 dm 2 3 Assumindo uma distribuição uniforme com uma contribuição de 5% para a incerteza Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Grandezas de entrada: Curva de calibração Concentração de Cd (tipo A) 0.250 Concentração [mg l-1] Absorção 0,1 0,028 0,3 0,084 0,5 0,135 0.050 0,7 0,180 0.000 0,9 0,215 Absorção 0.200 0.150 0.100 Ao  Bo  co B1 0.0 0.2 0.4 Bo  0,0109 0.8 1.0 Concentração de Cd [mg/l] Parâmetros B1  0,2350 0.6 Absorbância medida para a amostra: Logo: co  Ao  0,072 ( Ao  Bo ) 0,072  0,0109   0,26 mg/l B1 0,2350 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Grandezas de entrada: Concentração de Cd (tipo A) Ci [mg l-1] Ai Ai(Ci) Δ²=[Ai-Ai(Ci)]² 0,1 0,028 0,034 0,000041 B1  0,2350 0,3 0,084 0,081 0,000007 Bo  0,0109 0,5 0,135 0,128 0,000044 0,7 0,180 0,175 0,000021 0,9 0,215 0,222 0,000055 D  2 s 2 0,000167   5,573 10-5 n2 52 D  n c   ci   2 2 i 2 s u  2 Bo 2 Bo s 2  ci2 D  4,598 10 5 s2 s  u  n  1,393 104 D 2 B1 2 B1 Parâmetros rBo , B1   c n c i 2 i  0,87 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Grandezas de entrada: Concentração de Cd (tipo A) Para um ponto interpolado na abscissa: 2 2  1  A B   1   A B  uc2o     u B2o    o 2 o  u B21  2        o 2 o   u Bo  u B1  rBo , B1 B1  B1   B1    B1   uco  0,019 mg/l Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Coeficientes de sensibilidade: Volume cVL  c r  o VL a  0,26 mg/l mg  0 , 1093 2,38 dm 2 l dm 2 Área coVL r ca   2 a a  0,26 mg/l  0,332 l mg   0 , 0153 2,382 dm 4 dm 4 Concentração de Cd cco  r VL  co a  0,332 l l  0 , 1396 2,38 dm 2 dm 2 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Componentes de incerteza: Volume ur (VL1 )  cVL  uVL1 ur (VL2 )  cVL  uVL2 mg mg  0 , 00144 l  0 , 00016 l dm 2 dm 2 mg mg  0,1093  0 , 00136 l  0 , 00015 l dm 2 dm 2  0,1093 Área ur (a1 )  ca  ua1 ur (a2 )  ca  ua2 mg 2 5 mg  0 , 0063 dm   9 , 65  10 dm 4 dm 2 mg mg  0,0153 4  0,0684 dm 2  0,00104 dm dm 2  0,0153 Concentração de Cd ur (co )  cco  uco  0,1396 l mg mg  0 , 0186  0 , 0026 dm 2 l dm 2 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Incerteza combinada: ur  ur2 (VL1 )  ur2 (VL2 )  ur2 (a1 )  ur2 (a2 )  ur2 (co )  0,0028 mg dm 2 • Graus de liberdade efetivos:  eff  ur4 ur4 (VL1 ) ur4 (VL2 ) u r4 (a1 ) ur4 (a2 ) ur4 (co )      r (VL1 )  r (VL2 )  r (a1 )  r (a2 )  r (co )   Graus de liberdade para uma reta (2 parâmetros)   n2 Na tabela t de Student, para NC = 95% 0,0028 4  4 4 0,0026 52 k  2,776 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Incerteza expandida: U r  ur .k  0,0028  2,776  0,008 mg dm 2 • Resultado de medição: coVL r d a  0,26 mg/l  0,332 l mg  0 , 036 2,38 dm 2 dm 2 mg r  (0,036  0,008) ; k  2,776; NC  95% dm 2 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Tabela de fontes de incerteza – “Uncertainty budget” Fontes de incerteza Símbolo Tipo Estimativa Coeficientes de sensibilidade Componentes de incerteza Volume (calibração) uVL1 B 0,00144 [l] 0,1093 [mg l-1 dm-2] 0,00016 [mg dm-2] Volume (leitura) uVL2 B 0,00136 [l] 0,1093 [mg l-1 dm-2] 0,00015 [mg dm-2] Área (medidas) ua1 B 0,0063 [dm2] -0,0153 [mg dm-4] -9,65E-05 [mg dm-2] Área (imperfeição) ua2 B 0,0684 [dm2] -0,0153 [mg l-1 dm-1] -0,00104 [mg dm-2] Concentração de Cd uco A 0,0186 [mg l-2] 0,1396 [l dm-2] 0,00260 [mg dm-2] Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA Componentes de incerteza • Balanço das fontes de incerteza: ur uco ua2 ua1 uVL2 uVL1 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 Incerteza [mg/dm²] 0.0025 0.003 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA Posso incluir mais fontes de incerteza ao modelo quando tenho informações sobre parâmetros que influenciam a medida indiretamente. Exemplo: Temperatura – Estudos sobre o efeito da temperatura na liberação do metal proveniente da cerâmica revelam que para a faixa de 20 a 25 oC existe um comportamento linear que corresponde a um gradiente de 5% de mudança na quantidade de material lixiviado por cada oC. Logo, para uma variação de temperatura de ensaio de ± 2 oC, podemos admitir uma variação total máxima de 10% na quantidade de metal lixiviado, acrescentando o seguinte fator adimensional ao modelo: ftemp  1 0,1 r coVL d  f tem p a u ftemp  0,1  0,06 3 Assumindo uma distribuição uniforme Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Coeficientes de sensibilidade: Temperatura c ftemp  cV r  o Ld f tem p a  0,26 mg/l  0,332 l mg  0 , 036 2,38 dm 2 dm 2 • Componentes de incerteza: Temperatura mg mg  0,036  0,006  0,00210 dm 2 dm 2 ur (V ftemp )  c ftemp  u f temp • Incerteza combinada: ur  ur2 (VL1 )  ur2 (VL2 )  ur2 (a1 )  ur2 (a2 )  ur2 (co )  ur2 ( f tem p) • Incerteza expandida: U r  ur .k  0,010 mg dm 2 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA • Nova tabela de fontes de incerteza – “Uncertainty budget” Fontes de incerteza Símbolo Tipo Estimativa Coeficientes de sensibilidade Componentes de incerteza Volume (calibração) uVL1 B 0,00144 [l] 0,1093 [mg l-1 dm-2] 0,00016 [mg dm-2] Volume (leitura) uVL2 B 0,00136 [l] 0,1093 [mg l-1 dm-2] 0,00015 [mg dm-2] Área (medidas) ua1 B 0,0063 [dm2] -0,0153 [mg dm-4] -9,65E-05 [mg dm-2] Área (imperfeição) ua2 B 0,0684 [dm2] -0,0153 [mg l-1 dm-1] -0,00104 [mg dm-2] Concentração de Cd uco A 0,0186 [mg l-2] 0,1396 [l dm-2] 0,00260 [mg dm-2] uftemp B 0,06 0,036 [mg dm-2] 0,00210 [mg dm-2] Temperatura r  (0,036  0,010) mg ; k  2,776; NC  95% 2 dm Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Determinação do teor de Cd em cerâmicas por AA Componentes de incerteza • Balanço das fontes de incerteza: ur uftemp uco ua2 ua1 uVL2 uVL1 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 Incerteza [mg/dm²] Exemplo: Calibração de um manômetro Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Calibração de um manômetro • Modelo: e  Pind  Pref Mensurando  Erro do manômetro • Diagrama causa-efeito: Pind Resolução Repetição e Certificado Pref Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Calibração de um manômetro • Resultado da calibração: Pressão de referência [bar] Pressão indicada medição 1 [bar] Pressão indicada medição 2 [bar] Pressão indicada medição 3 [bar] Pressão indicada medição 4 [bar] ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Diferentes faixas de medição Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Calibração de um manômetro Para cada faixa de medição: • Grandezas de entrada: Pressão indicada Pind Resolução (tipo B): u Pind 1  Repetição (tipo A): u Pind 2  Pressão de referência Certificado (tipo B): a 6  n Pref u Pref  1 U k a valor de uma divisão 2 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Calibração de um manômetro • Coeficientes de sensibilidade: Pressão indicada cPind  e 1 Pind Pressão de referência cPref  e  1 Pref • Componentes de incerteza: ue ( Pind1 )  cPind  u Pind1 ue ( Pind2 )  cPind  u Pind2 ue ( Pref )  cPref  u Pref Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Calibração de um manômetro • Incerteza combinada: ue  ue2 ( Pind1 )  ue2 ( Pind2 )  ue2 ( Pref ) • Graus de liberdade efetivos:  eff ue4 ue4 ( Pind2 ) ue4  4  4 4 ue ( Pind1 ) u ( P ) ue ( Pind1 )   e ref  e ( Pind1 )  e ( Pind2 )  e ( Pref )  e ( Pind1 ) • Incerteza expandida: U e  ue .k Para cada faixa de medição Apenas para repetição Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Calibração de um manômetro • Resultado da calibração: Pressão média indicada [bar] Pressão de referência [bar] Incerteza expandida [bar] Fator de abrangência k ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Diferentes faixas de medição • Qual a incerteza de uma medida realizada com o manômetro? Pref  a  bPind u Pmed1  12 ua2  Pm2edub2  2 U 1 Pm ed  ua u b ra ,b u Pmed  2 k Pm ed Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Calibração de um manômetro • Qual a incerteza de uma medida realizada com o manômetro? Pref  a  bPind Interpolar o valor de Pm ed u Pmed1  12 ua2  Pm2edub2  2 1 Pm ed  ua u b ra ,b u Pmed  2 U k uPmed  uP2med1  uP2med2 Pm ed Exemplo: Ensaio de tração Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Ensaio de tração • Modelo:  FR A Mensurando  Tensão de ruptura • Dados do problema: Diâmetro da seção transversal = 8,04 mm Medida com paquímetro Incerteza = 0,02 mm ; k = 2 ; NC = 95% Força de ruptura = 3500 kgf Máquina calibrada Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Ensaio de tração • Diagrama causa-efeito: FR Certificado Curva de calibração  D Certificado A Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Ensaio de tração • Grandezas de entrada: Área da seção transversal A D 2 4 uD  Certificado do paquímetro (tipo B): U 0,02 mm   0,00001 m k 2 Coeficiente de sensibilidade da área referente ao diâmetro: cD  A D  D 2    0,00804 m 2  0,0127 m Contribuição de incerteza da área referente ao diâmetro: u A ( D)  cD  uD  0,0127 m  0,00001m  1,27 10-7 m 2 Resultado da área: A D 2 4    0,008042 4  5,077 105 m 2 u A ( )  1,27 107 m 2 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Ensaio de tração • Grandezas de entrada: Força de ruptura Certificado da máquina universal de ensaios (tipo B): Força indicada [kgf] Valor de referência [kgf] Incerteza expandida (k = 2; NC = 95%) [kgf] 0 0 0 2000 1967 12 4000 3971 9 6000 5976 6 8000 7975 7 10000 9974 7 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Ensaio de tração • Grandezas de entrada: Força de ruptura Força indicada pela máquina (3500 kgf)  Valor corrigido = 3479,33 kgf Força de referência [kgf] Força de referência em função da força indicada 12000 10000 Fref  a  bFind 8000 6000 Parâmetros 4000 a  15,6190 2000 0 0 2000 4000 6000 8000 Força indicada [kgf] 10000 12000 b  0,9986 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Ensaio de tração • Grandezas de entrada: Força de ruptura Curva de calibração (tipo A): D  Fref  a  bFind 2 s 2 n2  133,28 s u  2 a D  n F   Find   4,2 10 2 2 ind ra ,b   F n F ind 2 ind 8 2 a 2 s 2  Find D  69,8 s2 s  u  n  1,90 106 D 2 b 2 b  0,83 2 u FR1  12 ua2  Find ub2  2 1 Find  ua u b ra ,b  39,4 kgf Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Ensaio de tração • Grandezas de entrada: Força de ruptura Certificado (tipo B): Força indicada [kgf] Valor de referência [kgf] Incerteza expandida (k = 2; NC = 95%) [kgf] 0 0 0 2000 1967 12 Ou interpolar ou 4000 3971 9 usar o pior caso 6000 5976 6 8000 7975 7 10000 9974 7 u FR  2 12  6 kgf 2 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Ensaio de tração • Coeficientes de sensibilidade: Área da seção transversal cA   FR  2 A A  34793,3 N 13 N  1,34  10 (5,077 10 5 m 2 ) 2 m4  1 1 4  1,9697  10 5,077 10 5 m 2 m2 Força de ruptura cFR   1  FR A • Componentes de incerteza: u ( FR1 )  cFR  u FR1 u ( FR2 )  cFR  u FR 2 u ( A)  c A  u A 1  394 N  7,761 MPa 2 m 1  1,9697 104 2  60 N  1,182 MPa m N  1,34 1013 4 1,27 107 m 2  1,702 MPa m  1,9697 104 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Ensaio de tração • Incerteza combinada: u  u2 ( FR1 )  u2 ( FR2 )  u2 ( A)  7,7612  1,182 2  1,702 2  8,032 MPa • Graus de liberdade efetivos:  eff u4 u4 ( FR2 ) u4  4  4 4 u ( FR1 ) u ( A) u ( FR1 )     ( FR1 )   ( FR2 )   ( A)   ( FR1 ) Na tabela t de  4 8,032  4,6 4 7,761 62 Student, para NC = 95% k  2,78 Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Ensaio de tração • Incerteza expandida: U   u .k  8,032 MPa  2,78  22 MPa • Resultado de medição:  FR A  34793,8 N  685,3 MPa 5 2 5,077 10 m   685  22 MPa; k  2,78; NC  95% • Tabela de fontes de incerteza – “Uncertainty budget” Fontes de incerteza Símbolo Tipo Estimativa Coeficientes de sensibilidade Componentes de incerteza Força de ruptura (curva) uFR1 A 394 [N] 1,9697x104 [1/m²] 7,761 [MPa] Força de ruptura (certificado) uFR2 B 60 [N] 1,9697x104 [1/m²] 1,182 [MPa] uA B 5,77x10-5 [m²] 1,34x1013 [N/m4] 1,702 [MPa] Área da seção transversal Estimativa de incerteza de medição Exemplo – Ensaio de tração Componentes de incerteza • Balanço das fontes de incerteza: us uA uFr2 uFr1 0.000 2.000 4.000 6.000 Incerteza [MPa] 8.000 10.000 Simulação numérica por Monte Carlo Aproximações da abordagem do GUM • Linearização do modelo O modelo utilizado para o cálculo do mensurando deve ter comportamento linear. Quando o modelo apresentar comportamento não linear, a aproximação feita pelo truncamento da série de Taylor no primeiro termo utilizada pela abordagem do GUM passa a não ser suficiente para estimar a incerteza de saída. Df ( x, y)  f f Dx  Dy  ... x y 1 2 f 2 f 2 f 1 2 2 ...   2 Dx   2 DxDy  2 Dy    ...  ... 2!  x xy y  3! 0 Quando os valores de Dx e Dy são pequenos, as parcelas dos termos de ordem superior são cade vez menores Aproximações da abordagem do GUM • Grandezas de entrada simétricas Todas as distribuições das grandezas de entrada são consideradas simétricas, o que não se aplica em alguns casos de metrologia acústica, óptica e elétrica. • Teorema do limite central Admite-se a validade do teorema central do limite, que afirma que a convolução de um número muito grande de distribuições tem uma distribuição normal, ou seja, supõe-se que a distribuição de probabilidade da grandeza de saída seja aproximadamente normal, o que não ocorre em todos os casos. Essa distribuição pode apresentar assimetria ou não tender a uma distribuição normal, invalidando a aproximação do teorema central do limite. Aproximações da abordagem do GUM • Utilização da fórmula de Welch-Satterthwaite Após a obtenção da incerteza padrão pela lei de propagação de incertezas, a abordagem do GUM utiliza a fórmula de WelchSatterthwaite para a obtenção do número de graus de liberdade efetivos, necessários ao cálculo da incerteza expandida. Este procedimento aproxima a distribuição da grandeza de saída de uma distribuição t-Student, o que nem sempre é válido. Propagação de distribuições • O que é? Propagação das distribuições estatísticas relativas às fontes de incerteza por completo, ou seja, sem perder informações devido às aproximações da abordagem do GUM. • Convolução das distribuições Este método envolve a convolução das distribuições de probabilidade das grandezas de entrada, que pode ser feita das seguintes formas: a) integração analítica, b) integração numérica ou c) simulação numérica por método de Monte Carlo. Propagação de distribuições • Simulação numérica por Monte Carlo • Descrita pelo suplemento 1 do GUM • Mais abrangente, pode ser usado onde a abordagem do GUM falha • Depende de um bom algoritmo de geração de números aleatórios Fontes de incerteza Distribuição final do mensurando X1 Modelo X2 Z = f ( X 1 , X 2 , X3 ) X3 i = 1 até M Z Simulação numérica por Monte Carlo • Definir o mensurando e o seu modelo: Z = f(xi) • Identificar as fontes de incerteza • Construir o diagrama causa-efeito (Ishikawa ou espinha de peixe) • Definir as PDFs das fontes de incerteza • Executar a simulação • Declarar o resultado final utilizando o menor intervalo formado pelos pontos extremos da distribuição de saída para um determinado nível de confiança (geralmente igual a 95%) Z Intervalo para nível de confiança de 95% Definição das PDFs • Princípio da máxima entropia Deve-se considerar a distribuição mais abrangente para o nível de informação que se tem a respeito da fonte de entrada. Com isso pode-se atribuir uma distribuição que não transmita mais informação do que aquela que é conhecida. Informações PDF Caso 1 Variável x com valores entre a e b a