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MAT2455 - C´ alculo Diferencial e Integral III para Engenharia Escola Polit´ ecnica - 1a. Prova - Resolu¸ c˜ ao
A
Quest˜ ao 1. a) (valor: 1,0) Descreva a regi˜ao E de IR3 cujo volume ´e dado pela integral 3
Z
Z
9
x2
0
xe
−y 2
dy dx.
b) (valor: 2,0) Calcule o volume de E. Solu¸ c˜ ao: a) A regi˜ao de integra¸c˜ao ´e D = {(x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ x ≤ 3 e x2 ≤ y ≤ 9} 2
e a fun¸c˜ao integranda ´e f (x, y) = xe−y . Assim a integral representa o volume do s´olido S = {(x, y, z) ∈ IR3 : 0 ≤ x ≤ 3, x2 ≤ y ≤ 9 e 0 ≤ z ≤ f (x, y)}. (S ´e limitado superiormente pelo gr´afico de f , inferiormente pelo plano z = 0 e “lateralmente” pela superf´ıcie cil´ındrica ∂D × IR.) b) Para calcular o volume de S, vamos inverter a ordem de integra¸c˜ao. Primeiro, escrevemos D na forma D = {(x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ y ≤ 9 e 0 ≤ x ≤
√
y}.
Temos, portanto, Z 0
3
Z
9
x2
xe
−y 2
dy dx =
Z
9
√
Z
0
y
xe
0
−y 2
!
1 Z 9 −y2 1 2 1 ye dy = − e−y |90 = (1−e−81 ). dx dy = 2 0 4 4
Quest˜ ao 2. (valor: 3,5) Seja B ´e a regi˜ao contida no primeiro octante, interior ao cilindro x2 + y 2 = 2ay e limitada pela esfera x2 + y 2 + z 2 = 4a2 , onde a > 0. Calcule ZZZ
z dxdydz.
B
Solu¸ c˜ ao: A regi˜ao B pode ser descrita por B = {(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + (y − a)2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0 e 0 ≤ z ≤
q
4a2 − x2 − y 2 }.
Definindo D = {(x, y) ∈ IR2 : x ≥ 0, y ≥ 0 e x2 + (y − a)2 ≤ a2 }, pelo Teorema de Fubini, podemos escrever a integral como
ZZZ B
z dxdydz =
ZZ D
√ Z 4a2 −x2 −y2 1 ZZ z dz dxdy = (4a2 − x2 − y 2 ) dxdy.
2
0
1
D
Para calcular essa u ´ltima integral, usamos coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ. A regi˜ao D, em coordenadas polares, ser´a ent˜ao descrita por 0 ≤ θ ≤ π2 e 0 ≤ r ≤ 2a sin θ. Logo, 1 ZZ 1 Z π/2 Z 2a sin θ 2 2 2 2 (4a − x − y ) dxdy = dθ (4a − r2 )r dr z dxdydz = 2Z D 2 0Z 0 B ! 1 π/2 4a2 r2 r4 2a sin θ 1 π/2 4 2 = − dθ = 4a sin θ(2 − sin2 θ) dθ 2 0 2 4 0 2 0 Z π/2 Z π/2 1 4 2 2 4 = 2a sin θ(1 + cos θ) dθ = 2a (sin2 θ + sin2 2θ) dθ 4 0 Z0π/2 1 − cos 2θ 1 − cos 4θ π 5πa4 4 π 4 = 2a ( + ) dθ = 2a ( + ) = . 2 8 4 16 8 0
ZZZ
√ Quest˜ ao 3. (valor: 3,5) Determine a massa do s´olido de densidade ρ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e que tem a forma da regi˜ao limitada superiormente pela esfera de equa¸c˜ao x2 +y 2 +z 2 = 4 e inferiormente pelo plano z = 1. Solu¸ c˜ ao: Vamos usar coordenadas esf´ericas: x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ. Nesse caso, a regi˜ao ser´a descrita tomando 0 ≤ φ ≤ π3 , 0 ≤ θ ≤ 2π e sec φ ≤ r ≤ 2 (em coordenadas esf´erica, o plano z = 1 se escreve como r = cos1 φ = sec φ). Logo, a massa do s´olido S ´e M =
ZZZ S 2π
ρ(x, y, z) dxdydz = π 3
Z 0
2π
dθ
Z
π 3
dφ
0
Z
2
sec φ π/3
3
r sin φ dr =
Z 0
2π
dθ
Z 0
π 3
r4 2 | sin φ dφ 4 sec φ
π sin φ 1 (16 sin φ − ) dφ dθ (16 − sec4 φ) sin φ dφ = = 4φ 2 cos 4 "0 0 0 #π/3 π 1 π −16 8 1 π 7 = −16 cos φ − = − − (−16 − ) = 8 − 2 3 cos3 φ 0 2 2 3 3 2 3 17π = . 6 Z
Z
Z
2
MAT2455 - C´ alculo Diferencial e Integral III para Engenharia Escola Polit´ ecnica - 1a. Prova - Resolu¸ c˜ ao
B
Quest˜ ao 1. a) (valor: 1,0) Descreva a regi˜ao E de IR3 cujo volume ´e dado pela integral 3
Z
Z
9
y2
0
ye
−x2
dx dy.
b) (valor: 2,0) Calcule o volume de E. Solu¸ c˜ ao: a) A regi˜ao de integra¸c˜ao ´e D = {(x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ y ≤ 3 e y 2 ≤ x ≤ 9} 2
e a fun¸c˜ao integranda ´e f (x, y) = ye−x . Assim a integral representa o volume do s´olido S = {(x, y, z) ∈ IR3 : 0 ≤ y ≤ 3, y 2 ≤ x ≤ 9 e 0 ≤ z ≤ f (x, y)}. (S ´e limitado superiormente pelo gr´afico de f , inferiormente pelo plano z = 0 e “lateralmente” pela superf´ıcie cil´ındrica ∂D × IR.) b) Para calcular o volume de S, vamos inverter a ordem de integra¸c˜ao. Primeiro, escrevemos D na forma √ D = {(x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ x ≤ 9 e 0 ≤ y ≤ x}. Temos, portanto, Z 0
3
Z
9
y2
ye
−x2
dx dy =
Z
√
9
Z
0
x
ye
0
−x2
!
1 Z 9 −x2 1 2 1 xe dx = − e−x |90 = (1−e−81 ). dy dx = 2 0 4 4
Quest˜ ao 2. (valor: 3,5) Seja B ´e a regi˜ao contida no primeiro octante, interior ao cilindro x2 + y 2 = 2ax e limitada pela esfera x2 + y 2 + z 2 = 4a2 , onde a > 0. Calcule ZZZ
z dxdydz.
B
Solu¸ c˜ ao: A regi˜ao B pode ser descrita por B = {(x, y, z) ∈ IR3 : (x − a)2 + y 2 ≤ a2 x ≥ 0, y ≥ 0 e 0 ≤ z ≤
q
4a2 − x2 − y 2 }.
Definindo D = {(x, y) ∈ IR2 : x ≥ 0, y ≥ 0 e (x − a)2 + y 2 ≤ a2 }, pelo Teorema de Fubini, podemos escrever a integral como
ZZZ B
z dxdydz =
ZZ D
√ Z 4a2 −x2 −y2 1 ZZ z dz dxdy = (4a2 − x2 − y 2 ) dxdy.
2
0
3
D
Para calcular essa u ´ltima integral, usamos coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ. A regi˜ao D, em coordenadas polares, ser´a ent˜ao descrita por 0 ≤ θ ≤ π2 e 0 ≤ r ≤ 2a cos θ. Logo, 1 ZZ 1 Z π/2 Z 2a cos θ 2 2 2 2 (4a − x − y ) dxdy = dθ (4a − r2 )r dr z dxdydz = 2Z D 2 0 Z 0 B ! 1 π/2 4a2 r2 r4 2a cos θ 1 π/2 4 = − dθ = 4a cos2 θ(2 − cos2 θ) dθ 2 0 2 4 0 2 0 Z π/2 Z π/2 1 4 2 2 4 = 2a cos θ(1 + sin θ) dθ = 2a (cos2 θ + sin2 2θ) dθ 4 0 Z0π/2 1 + cos 2θ 1 − cos 4θ π 5πa4 4 π 4 = 2a ( + ) dθ = 2a ( + ) = . 2 8 4 16 8 0
ZZZ
√ Quest˜ ao 3. (valor: 3,5) Determine a massa do s´olido de densidade ρ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e que tem a forma da regi˜ao limitada superiormente pela esfera de equa¸c˜ao x2 +y 2 +z 2 = 16 e inferiormente pelo plano z = 2. Solu¸ c˜ ao: Vamos usar coordenadas esf´ericas: x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ. Nesse caso, a regi˜ao ser´a descrita tomando 0 ≤ φ ≤ π3 , 0 ≤ θ ≤ 2π e 2 sec φ ≤ r ≤ 4 (em coordenadas esf´erica, o plano z = 2 se escreve como r = cos2 φ = 2 sec φ). Logo, a massa do s´olido S ´e M =
ZZZ S 2π
ρ(x, y, z) dxdydz = π 3
Z 0
2π
dθ
Z
π 3
dφ
Z
0
4
2 sec φ π/3
3
r sin φ dr =
Z 0
2π
dθ
Z 0
π 3
r4 4 | sin φ dφ 4 2 sec φ
sin φ ) dφ =4 dθ (16 − sec φ) sin φ dφ = 8π (16 sin φ − 4φ cos 0 0 0 " #π/3 1 −16 8 1 7 = 8π −16 cos φ − = 8π − − (−16 − ) = 8π 8 − 3 cos3 φ 0 2 3 3 3 136π . = 3 Z
Z
Z
4
4