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Neste arquivo se encontram algumas observações sobre algumas questões das Provas P1, P2, P3 e PSUB de MAP2121 de 2008. Os gráficos presentes podem ajudar na resolução da questão ou podem servir de auxílio para saber se a questão está correta. P1 Q1) A solução exata do sistema é: (x,y,z) = (0.5 , 1 , -0.5). Obs: Saber disso com auxílio de uma calculadora que resolva sistemas lineares durante a resolução da questão pode ajudar a perceber se há algum erro de conta. P2 Q1) g(x) = a.3bx g(x) = 3(200x+9)/200
x
f(x) 0 1 2 3
g(x) 1 3,3 9,9 27
1,05 3,15 9,46 28,4
g(x): Obs: Note que nesse exercício se pede para aproximar uma função. Ou seja, a função obtida não passará necessariamente pelos pontos dados (diferente da Interpolação Polinomial, em que nela a função passa pelos pontos dados).
Q3) f(x) = e|2x-5|/3
f(x): p(x) = (e-1) + ((30e – 75)/4).(((2x-5)/3)2 – 1/3)
p(x): Obs: Nesse tipo de questão, o uso de uma calculadora gráfica durante a prova é interessante, pois, caso se sobreponham os gráficos, pode-se ter uma noção se houve erro de conta ou se o polinômio aproximador pode estar correto.
p(x) e f(x):
P3 Q1) f(x) = |x| , [-1,1]
f(x): g(x) = 0.5 + (4cos(π(x + 1))/π2)
g(x): Obs: Assim como na ‘Q3’ da ‘P2’, nesse tipo de questão, o uso de uma calculadora gráfica durante a prova é interessante, pois, caso se sobreponham os gráficos, pode-se ter uma noção se houve erro de conta ou se a função aproximadora pode estar correta.
f(x) e g(x): Q3) O polinômio interpolador é: p(x) ≈ 9,1+(x +2)(-5,1)+(x +2)(x +1)(1,1)+(x +2)(x +1)(x)(-0,083)+(x +2)(x +1)(x)(x 1)(0,0415) Portanto: p(x) ≈ 0,0415x4 + 0,8095x2 – 2,049x + 1,1
x
f(x) -2 -1 0 1 2
p(x) 9,1 4 1,1 -0,1 0,9
9,1 4 1,1 -0,1 0,9
p(x): Obs: Nesse exercício deve-se usar um polinômio interpolador. Diferentemente das funções aproximadoras, o polinômio interpolador deve necessariamente passar pelos pontos dados. Nesse caso, como as contas não são exatas, existe pouca diferença entre f(x) e p(x) em alguns dos pontos dados. Porém, caso as contas fossem exatas, essas diferenças seriam inexistentes.
Q4) f(x) = 1/√(1 – x2)
f(x):
e -1∫1f(x)dx:
f(t) = 1/√(1-(t/2 -1)2)
f(t):
e 1∫3f(t)dt:
Obs: A integral de f(t) vai de 1 até 3 devido ao enunciado do exercício.
PSUB (P4)
Q1) Do enunciado, temos: x(α) > 0 e y(β) > 0. a) I) x < 3
; II) y < 0.5
; III) y < x -2
Da intersecção dos gráficos, temos que a região pedida é:
b) I) x < 3
; II) y < 2/(x +1)
; III) y < (20x -32)/(9x +9)
Da intersecção dos gráficos, temos que a região pedida é:
Obs: O uso de uma calculadora gráfica seria importante para se saber como são os gráficos das funções II e III do item b).
Q2) f(x) = x2/4 – sen(x)
f(x): Obs: Caso esse gráfico fosse feito com auxílio de uma calculadora gráfica e usando argumentos de Cálculo I para a construção de gráficos, TALVEZ pudesse servir como resolução da questão 2, item a) da prova.
Q3) f(t) = √|2t -9| , [4,5] p(x) = (20x2 -180x +408)/7
f(t):
e p(x):
f(t) e p(x): Obs: A comparação dos gráficos com auxílio de uma calculadora gráfica é importante para se saber se não há algum erro na resolução do exercício.
Q4) f(x) = ex/√x
f(x):
f(t):
;
f(t) = 2.et.t
e 0∫1f(x)dx:
e 0∫1f(t)dt:
Obs: Se for possível fazer essa comparação durante a prova ela é interessante porque com ela pode-se perceber se foi cometido algum erro, como o da mudança de variável, e corrigi-lo.