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7.1 - Flexão Obliqua
7.1.3 - Exercício Resolvido 3:
Determine as tensões de compressão e de tração nos pontos mais solicitados
da estrutura abaixo e os deslocamentos na extremidade da barra:
Dados:
" " " " " "
Solução:
Como Mmáx não atua em torno de um eixo central, concluímos que se trata de
"Flexão Oblíqua"
Análise dos sinais da equação acima:
"Flexão Normal "Flexão Normal "
" " "
"O primeiro termo da equação é "O segundo termo da equação é "
"positivo porque é positivo "negativo porque é negativo para"
"para " "
Temos que a decomposição do Mmax nos eixos y e z nos fornece:
Com isso a tensão σ é dada por:
Para encontrarmos a equação da linha neutra fazemos
" " " " " "
" "Temos que os pontos mais solicitados são "
" "os mais distantes da Linha Neutra. Não se "
" "calcula estes pontos, eles são "
" "determinados por aproximações visuais. "
" " "
" " "
" " "
" " "
Deslocamentos na extremidade:
" " "
Observação: este é um perfil a ser evitado, pois causa deslocamento
horizontal, deslocamento vertical e torção.
7.2 - Flexão Composta
7.2.1 - Exercício Resolvido 1:
Calcular D de modo que não haja tração:
" "Dados: "
" " "
" " "
" " "
Solução:
" "Onde: "
" "qD = carga por unidade"
" "de comprimento "
Para que não haja tração temos que:
Portanto:
" " " "
7.3 - Material não resistente à tração
7.3.1 - Exercício Resolvido:
a) Calcular as tensões máximas supondo que o material resiste à tração:
No engastamento temos:
" " "
" " "
" " "
b) Calcular as tensões máximas supondo que o material NÃO resiste à tração:
" " "
" " "
" "O diagrama de σ para o material "
" "não-resistente à tração é a parte comprimida"
" "do diagrama do material resistente à tração?"
" "Resposta: Não, porque esse diagrama é "
" "incompatível com os esforços solicitantes. "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
O diagrama de σ que vem se estabelecer é tal que:
I) só há compressão;
II) distribuição linear
III) resultante é N
IV) momento em relação a z é MZ
De III) temos:
" " " "
De IV) temos que a normal excêntrica é a resultante do diagrama de σ no
centro de gravidade da distribuição.
" " " " " "
Seja Mf o momento a partir do qual ocorre fissuração, temos a seguinte
relação:
" "[pi" " "
" "c] " " "
Tamanho da fissura:
" " "
Como o momento varia linearmente, podemos dizer que f também varia
linearmente
7.4 - Flexão composta em barras esbeltas
7.4.1 - Consideração dos efeitos de 2ª ordem:
Análise de 1ª ordem (equação na configuração indeformada)
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
Condições de contorno:
" " " "
" " " "
Portanto:
E a flecha é dada por:
A rigor, as equações de equilíbrio (reações e esforços solicitantes)
deveriam ser formuladas na configuração deformada da estrutura, porque é
nessa configuração que o equilíbrio se estabelece.
Análise de 2ª ordem (equação na configuração deformada)
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" "Trata-se de uma equação diferencial "
" " "
" " ; Onde: "
A solução desta equação diferencial é sempre do tipo:
Onde vp(x) é uma solução particular (qualquer função que satisfaz a equação
diferencial)
Seja:
Ou seja, vp(x) é um polinômio do primeiro grau do tipo .
Portanto v"p(x) = 0
vp(x) é tal que:
Condições de contorno:
" "[pic" " " "
" "] " " " "
" "[pic" " " "
" "] " " " "
" "[pic" " "(Eq 1) "
" "] " " " "
Substituindo os valores de c1 e c2 em (Eq 1), temos:
" " " "
Relação entre as flechas de primeira ordem e de segunda ordem:
" " " "
" " " " " "
A força normal P diminui a rigidez transversal da viga, isto é, uma mesma
força transversal (H) passa a gerar deslocamentos maiores. Pcr é a força
que anula a rigidez transversal da barra.
7.4.2 - Exercício resolvido:
Análise de 1ª ordem:
" " "
"Dica: orientar o eixo y de modo que " "
"v>0 " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
Condições de contorno:
" " " "
" " " "
" " " "
Análise de 2ª ordem:
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" ; Onde: " "
" " "
" " "
Condições de contorno:
" "[pic" " " "
" "] " " " "
" "[pic" " "(Eq 1) "
" "] " " " "
Isolando c2 em (Eq 1), temos:
" " " "
Relação entre as flechas de primeira ordem e de segunda ordem:
" " " "
" " " " " "
8) Flambagem
8.1 - Flexão Obliqua
Vamos analisar com mais detalhe a natureza e o efeito de Pcr:
Modelo Simplificado
Configurações de equilíbrio
" " " " " "
"1ª solução: "2ª solução: "
" " "
Equilíbrio: MA=MR
" "
" " "
" " "
" " "
1º Caso:
"Tende a estabilizar em θ = 0 " "
"porque "MR" > "MA" " "
2º Caso:
"Tende a se afastar de θ = 0 " "
"porque "MR" < "MA" " "
A partir da análise acima podemos definir Pcr como é a carga a partir da
qual o equilíbrio na configuração inderformada torna-se instável (equivale
a dizer que Pcr é a carga que a anula a rigidez da estrutura, isto é, a
partir de Pcr a rigidez torna-se negativa).
Flambagem é a perda de estabilidade do equilíbrio por bifurcação.
Observações:
se P > Pcr a configuração de equilíbrio deformada é muito distante da
indeformada, o que geralmente significa o colapso da estrutura (Pcr deve
ser evitado).
Teoria linearizada (válida para pequenos deslocamentos): O que
aconteceria se adotássemos aquelas simplificações válidas para pequenos
deslocamentos?
" " " " "
" " " " "
" " " "
" " " "
" " " "
" " " "
" "1ª solução: "2ª solução: "
" " " "
" "Adotando as hipóteses para pequenos "
" "deslocamentos, obtêm-se um resultado"
" "sem sentido físico, porém o Pcr é "
" "determinado de forma exata. "
Vamos usar uma teoria linearizada nas estruturas de verdade. O resultado
será sempre do seguinte tipo: "o equilíbrio existe na configuração
indeformada para qualquer valor de P; para alguns valores de P, chamados
críticos, o equilíbrio será possível também na posição deformada, embora
não consigamos calcular o deslocamento correspondente".
8.2 - Exercício Resolvido 1 (Problema de Euler):
Calcule Pcr para a estrutura abaixo:
" "Solução: "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " onde "
" " "
" " "
Condições de contorno:
" "[pic" "
" "] " "
" " " "
" "[pic" "
" "] " "
"1ª solução (válida para P qualquer):"2ª solução: "
" " "
" (indeformada) " "
Para n=1 (Primeiro modo de flambagem)
" " " " " "
O Pcr encontrado aqui é chamado de "1ª carga crítica"
Para n = 2 ( Segundo modo de flambagem)
" " " " " "
" " "
" " "
" " "
"O Pcr encontrado aqui é chamado de" "
""2ª carga crítica" e a sua " "
"deformação é dada pela figura ao " "
"lado: " "
Conclusão
Enfim, podemos dizer: "Uma estrutura real tem infinitas cargas críticas,
associados a infinitos planos de flambagem. Na prática, o que interessa é a
1ª carga crítica".
8.3 - Exercício Resolvido 2:
Calcule Pcr para a estrutura abaixo
" "Solução: "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " onde "
" " "
" " "
Condições de contorno:
" "[pic" " " "
" "] " " " "
" "[pic" "" "
" "] " " " "
" "[pic" "" "
" "] " " " "
1ª solução:
(indeformada)
2ª solução:
Para que exista equilíbrio na configuração deformada, é preciso que:
Que ocorre quando
Para n = 1;
" " " " " "
O Pcr encontrado é a "1ª carga crítica"
8.4 - Comprimento de flambagem:
Até agora já foi visto que:
" " " " "
De modo geral temos que Pcr é dado por:
O comprimento de flambagem (μ ou ) é a distância entre os pontos
de inflexão da deformada, isto é, pontos onde M = 0.
8.5 - Exercício Resolvido 3:
Calcule o Pcr da estrutura abaixo
" "Solução: "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " onde "
" " "
" " "
Condições de contorno:
" "[pic" "
" "] " "
" "[pic" "
" "] " "
" "[pic" "
" "] " "
Escrevendo as equações na forma matricial, temos:
Solução trivial:
(estrutura na configuração indeformada)
Mas queremos os valores de Pcr (e portanto 'k'), que tornam possível o
equilíbrio numa posição deformada, isto é, os valores de k que fazem com
que o sistema tenha outras soluções além da solução trivial.
" "[pic" "[pic" "
" "] " "] "(equação "
" " " " "transcendental) "
" " " " " "
8.6 - Exercício Resolvido 4:
Calcule o Pcr da estrutura abaixo
" "Solução: "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " onde "
" " "
" " "
" " "
" " "
Condições de contorno:
" "[pic" "
" "] " "
" "[pic" "
" "] " "
" "[pic" "
" "] " "
" "[pic" "
" "] " "
Escrevendo as equações na forma matricial, temos:
Solução trivial:
(estrutura na configuração indeformada)
Desenvolvendo o determinante acima temos:
(equação transcendental)
Obtemos assim uma solução numérica:
" " " " " "
8.7 - Exercício Resolvido 5:
Calcular Pcr da estrutura abaixo:
Solução:
"Flambagem no plano xz " "
" " "
" "Flexão ocorre em torno do eixo y"
Flambagem no plano yz
" "A estrutura tem o comportamento "
" "igual a: "
" " "
Temos que o Pcr é dado por:
8.8 - Tensão crítica:
" " "
" " "
" " "
" "Onde: "
" "Na estrutura ao lado, é suficiente fazer apenas essas "
" "duas verificações? "
" "Resposta: Nem sempre, porque pode ocorrer flambagem "
" "inelástica "
Tensão crítica:
"Raio de giração "Índice de esbeltez: "
" " "
A flambagem elástica tem o comportamento de uma hipérbole de Euller, já a
inelástica não. Abaixo está o gráfico que mostra o comportamento de
uma flambagem:
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
Aproximação da curva limite para :
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
No gráfico temos:
"Trecho inelástico: "Trecho elástico: "
" " "
" " "
Problema de verificação: muito fácil porque é conhecido
8.9 - Exercício Resolvido 6 (Problema de dimensionamento):
Determine R:
" "Dados: "
" "Material: aço "
" " "
" " "
" " "
" " "
Solução:
" " "
" " "
" "Portanto é dado por: "
" " "
" " "
Faz uma hipótese ("chute") e verifica sua veracidade:
" " " " " "
" " " " "Incompatível "
Vamos fazer a verificação para o trecho elástico:
" " " " " "
" " " " " "
Vamos fazer a verificação para o trecho inelástico:
" " " "
9) Estado duplo de tensão
9.1 - Conceituação:
O vetor tensão (e portanto σ e τ) varia com o plano de corte. Nosso
objetivo é determinar as tensões segundo qualquer plano de corte passando
por um ponto P.
Para determinarmos as tensões segundo qualquer plano de corte, precisamos
antes conceituar o que é "Estado Duplo".
Estado duplo: sólido de pequena espessura, que pode ser confundido
com uma região de um plano, submetido a carregamento contido nesse
plano. A figura abaixo mostra esta aproximação:
Com a utilização do estado duplo, o problema da determinação das tensões
pode ser resolvido como se fosse bidimensional. Isto pode ser verificado
nas mediações de um ponto em uma estrutura real (tridimensional).
9.2 - Tensões em um plano qualquer:
Conhecido as tensões segundo dois planos perpendiculares entre si, é
possível calcular as tensões segundo qualquer plano.
Resultante das tensões:
" " " "
Portanto: , ou seja, temos assim a reciprocidade das tensões de
cisalhamento.
" "[pi" "
" "c] " "
Mas , então temos que:
" "(Eq I) "
Analogamente para , temos:
" "(Eq II) "
(Eq I) e (Eq II) estão atreladas as convenções adotadas na figura abaixo:
9.3 -Exercício resolvido 1:
Calcular as tensões segundo o plano das fibras (o plano das fibras de
madeira está representado pela linha que forma 15º com a reta vertical):
" " "
Solução:
" " "
" " "
" " "
9.4 - Tensões principais e planos principais:
Vamos reescrever (Eq I) do seguinte modo:
" "(Eq I') "
Fazendo (Eq I')² + (Eq II)², temos:
" "(Eq III) "
Nota-se que (Eq III) é a equação de uma circunferência, esta equação
origina o Círculo de Mohr dado abaixo:
Os possíveis pares (σ,τ) são pontos desta circunferência:
O raio (R) da circunferência é dado por:
As tensões normais máximas e mínimas são dadas por:
= tensões principais (os planos correspondentes são os planos
principais)
Propriedade: Plano principal
Demonstra-se que:
" " "
" " "
" " "
" " "
Nos planos de τmax e τmin, temos que:
9.5 - Exercício resolvido 2:
Determine os planos principais que passam pelo ponto M da figura abaixo:
Dado:
Solução:
Tensões no plano da seção transversal que passa pelo ponto M:
" " "
" " "
" " "
Efeito da força cortante:
" " "
" " "
" "Onde: = momento estático de A* em relação "
" "ao eixo z "
" "b = largura colaborante (largura total "
" "seccionada com τ) "
" " "
" " "
" " "
" " "
Efeito à torção:
" " "
Tensão de cisalhamento resultante:
Verifica-se que, em geral, a tensão normal segundo um plano longitudinal
é desprezível (na comparação com a tensão no plano transversal).
" " " "
" " "
" "[pic" "
" "] " "
" "[pic" "
" "] " "
Os planos principais são sempre perpendiculares entre si.
9.6 - Como construir o Círculo de Mohr:
Primeiramente devemos localizar o pólo do círculo de Mohr. Para isto,
passa por uma reta paralela ao plano em que atuam as tensões. Onde
esta reta encontrar novamente a circunferência estará o pólo.
Determinação de e :
Determinação de e :
Propriedades do pólo:
I) pela própria maneira como foi determinado, o pólo tem a seguinte
propriedade: a reta passando pelo pólo e por é paralela ao plano em
que atuam essas tensões.
II) os planos principais são perpendiculares entre si
III) os planos de e formam 45º com os planos principais.
9. 7 -Exercício resolvido 3:
Construir o Círculo de Mohr e determinar as tensões nos planos de e
:
arrumar figura
Solução:
9.8 -Exercício resolvido 4:
Faça o círculo de Mohr para a estrutura abaixo e indique as tensões na
seção à direita do local onde está aplicado a força P:
"Dados: " "
" " "
" " "
Solução:
Tensão normal:
Tensão cisalhante:
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
" " "
Portanto a tensão cisalhante é dada por:
Círculo de Mohr:
9.9 - Casos particulares:
a) Tração ou compressão simples:
b) Cisalhamento simples:
c) Estado de tensão uniforme:
9.10 - Relação entre E, G e :
" " "
Onde: E = módulo de elasticidade longitudinal
= coeficiente de Poisson
" " "
" " "
" "Onde: "
" "G = módulo de elasticidade "
" "transversal "
" "= distorção "
" " "
" " "
" "Onde: "
" " "
" "(Eq I) "
" "(Eq II) "
" "(Eq III) "
De (Eq II):
De (Eq III):
Em (Eq I), supondo AD = BC:
Mas:
Então temos que:
Para pequenas deformações:
Portanto:
10) Noções sobre estado triplo de tensão
10.1 - Conceituação:
" " "
Reciprocidade:
" " " "
Demonstra-se que, conhecendo as tensões em 3 planos perpendiculares entre
si, é possível estudar por equilíbrio as tensões segundo um plano qualquer.
Demonstra-se também que se existem três planos perpendiculares entre si
onde não há cisalhamento, então estes são os planos principais.
Vamos fazer o Círculo de Mohr para a situação descrita acima:
Os possíveis pares (σ,τ) pertencem á área hachurada.
Para melhor entendermos o que está acontecendo acima, vamos separar a
análise em casos:
1º caso: as tensões principais não nulas têm sinais opostos
"Estado Triplo: "Estado Duplo: "
" " "
" " "
Em ambas as situações o τmax é dado por:
2º caso: tensões principais não nulas têm o mesmo sinal
"Estado Triplo: "Estado Duplo: "
" " "
" " "
" " "
" " "
10.2 - Lei de Hooke generalizada:
Efeito isolado de :
Efeito simultâneo de , e :
" "(Eq 1) "
" "(Eq 2) "
" "(Eq 3) "
" " "(Eq 4) "
" "Analogamente: "
" " "(Eq 5) "
" " "(Eq 6) "
10.3 - Exercício Resolvido:
Determine na superfície em destaque no aterro abaixo:
" "Dado: E, ν "
Solução:
(I)
Compatibilidade:
" "[pic" "[pi" (II)"
" "] " "c] " "
Substituindo (II) em (I), temos: