Preview only show first 10 pages with watermark. For full document please download

Notas De Aula - R2 (reof. Senatore - 2010)

Apostila de R2 do Diogo

   EMBED

  • Rating

  • Date

    December 2018
  • Size

    2MB
  • Views

    1,715
  • Categories


Share

Transcript

7.1 - Flexão Obliqua 7.1.3 - Exercício Resolvido 3: Determine as tensões de compressão e de tração nos pontos mais solicitados da estrutura abaixo e os deslocamentos na extremidade da barra: Dados: " " " " " " Solução: Como Mmáx não atua em torno de um eixo central, concluímos que se trata de "Flexão Oblíqua" Análise dos sinais da equação acima: "Flexão Normal "Flexão Normal " " " " "O primeiro termo da equação é "O segundo termo da equação é " "positivo porque é positivo "negativo porque é negativo para" "para " " Temos que a decomposição do Mmax nos eixos y e z nos fornece: Com isso a tensão σ é dada por: Para encontrarmos a equação da linha neutra fazemos " " " " " " " "Temos que os pontos mais solicitados são " " "os mais distantes da Linha Neutra. Não se " " "calcula estes pontos, eles são " " "determinados por aproximações visuais. " " " " " " " " " " " " " Deslocamentos na extremidade: " " " Observação: este é um perfil a ser evitado, pois causa deslocamento horizontal, deslocamento vertical e torção. 7.2 - Flexão Composta 7.2.1 - Exercício Resolvido 1: Calcular D de modo que não haja tração: " "Dados: " " " " " " " " " " Solução: " "Onde: " " "qD = carga por unidade" " "de comprimento " Para que não haja tração temos que: Portanto: " " " " 7.3 - Material não resistente à tração 7.3.1 - Exercício Resolvido: a) Calcular as tensões máximas supondo que o material resiste à tração: No engastamento temos: " " " " " " " " " b) Calcular as tensões máximas supondo que o material NÃO resiste à tração: " " " " " " " "O diagrama de σ para o material " " "não-resistente à tração é a parte comprimida" " "do diagrama do material resistente à tração?" " "Resposta: Não, porque esse diagrama é " " "incompatível com os esforços solicitantes. " " " " " " " " " " " " " " " " O diagrama de σ que vem se estabelecer é tal que: I) só há compressão; II) distribuição linear III) resultante é N IV) momento em relação a z é MZ De III) temos: " " " " De IV) temos que a normal excêntrica é a resultante do diagrama de σ no centro de gravidade da distribuição. " " " " " " Seja Mf o momento a partir do qual ocorre fissuração, temos a seguinte relação: " "[pi" " " " "c] " " " Tamanho da fissura: " " " Como o momento varia linearmente, podemos dizer que f também varia linearmente 7.4 - Flexão composta em barras esbeltas 7.4.1 - Consideração dos efeitos de 2ª ordem: Análise de 1ª ordem (equação na configuração indeformada) " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " Condições de contorno: " " " " " " " " Portanto: E a flecha é dada por: A rigor, as equações de equilíbrio (reações e esforços solicitantes) deveriam ser formuladas na configuração deformada da estrutura, porque é nessa configuração que o equilíbrio se estabelece. Análise de 2ª ordem (equação na configuração deformada) " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "Trata-se de uma equação diferencial " " " " " " ; Onde: " A solução desta equação diferencial é sempre do tipo: Onde vp(x) é uma solução particular (qualquer função que satisfaz a equação diferencial) Seja: Ou seja, vp(x) é um polinômio do primeiro grau do tipo . Portanto v"p(x) = 0 vp(x) é tal que: Condições de contorno: " "[pic" " " " " "] " " " " " "[pic" " " " " "] " " " " " "[pic" " "(Eq 1) " " "] " " " " Substituindo os valores de c1 e c2 em (Eq 1), temos: " " " " Relação entre as flechas de primeira ordem e de segunda ordem: " " " " " " " " " " A força normal P diminui a rigidez transversal da viga, isto é, uma mesma força transversal (H) passa a gerar deslocamentos maiores. Pcr é a força que anula a rigidez transversal da barra. 7.4.2 - Exercício resolvido: Análise de 1ª ordem: " " " "Dica: orientar o eixo y de modo que " " "v>0 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " Condições de contorno: " " " " " " " " " " " " Análise de 2ª ordem: " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ; Onde: " " " " " " " " Condições de contorno: " "[pic" " " " " "] " " " " " "[pic" " "(Eq 1) " " "] " " " " Isolando c2 em (Eq 1), temos: " " " " Relação entre as flechas de primeira ordem e de segunda ordem: " " " " " " " " " " 8) Flambagem 8.1 - Flexão Obliqua Vamos analisar com mais detalhe a natureza e o efeito de Pcr: Modelo Simplificado Configurações de equilíbrio " " " " " " "1ª solução: "2ª solução: " " " " Equilíbrio: MA=MR " " " " " " " " " " " 1º Caso: "Tende a estabilizar em θ = 0 " " "porque "MR" > "MA" " " 2º Caso: "Tende a se afastar de θ = 0 " " "porque "MR" < "MA" " " A partir da análise acima podemos definir Pcr como é a carga a partir da qual o equilíbrio na configuração inderformada torna-se instável (equivale a dizer que Pcr é a carga que a anula a rigidez da estrutura, isto é, a partir de Pcr a rigidez torna-se negativa). Flambagem é a perda de estabilidade do equilíbrio por bifurcação. Observações: se P > Pcr a configuração de equilíbrio deformada é muito distante da indeformada, o que geralmente significa o colapso da estrutura (Pcr deve ser evitado). Teoria linearizada (válida para pequenos deslocamentos): O que aconteceria se adotássemos aquelas simplificações válidas para pequenos deslocamentos? " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "1ª solução: "2ª solução: " " " " " " "Adotando as hipóteses para pequenos " " "deslocamentos, obtêm-se um resultado" " "sem sentido físico, porém o Pcr é " " "determinado de forma exata. " Vamos usar uma teoria linearizada nas estruturas de verdade. O resultado será sempre do seguinte tipo: "o equilíbrio existe na configuração indeformada para qualquer valor de P; para alguns valores de P, chamados críticos, o equilíbrio será possível também na posição deformada, embora não consigamos calcular o deslocamento correspondente". 8.2 - Exercício Resolvido 1 (Problema de Euler): Calcule Pcr para a estrutura abaixo: " "Solução: " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " onde " " " " " " " Condições de contorno: " "[pic" " " "] " " " " " " " "[pic" " " "] " " "1ª solução (válida para P qualquer):"2ª solução: " " " " " (indeformada) " " Para n=1 (Primeiro modo de flambagem) " " " " " " O Pcr encontrado aqui é chamado de "1ª carga crítica" Para n = 2 ( Segundo modo de flambagem) " " " " " " " " " " " " " " " "O Pcr encontrado aqui é chamado de" " ""2ª carga crítica" e a sua " " "deformação é dada pela figura ao " " "lado: " " Conclusão Enfim, podemos dizer: "Uma estrutura real tem infinitas cargas críticas, associados a infinitos planos de flambagem. Na prática, o que interessa é a 1ª carga crítica". 8.3 - Exercício Resolvido 2: Calcule Pcr para a estrutura abaixo " "Solução: " " " " " " " " " " " " " " " " " " onde " " " " " " " Condições de contorno: " "[pic" " " " " "] " " " " " "[pic" "" " " "] " " " " " "[pic" "" " " "] " " " " 1ª solução: (indeformada) 2ª solução: Para que exista equilíbrio na configuração deformada, é preciso que: Que ocorre quando Para n = 1; " " " " " " O Pcr encontrado é a "1ª carga crítica" 8.4 - Comprimento de flambagem: Até agora já foi visto que: " " " " " De modo geral temos que Pcr é dado por: O comprimento de flambagem (μ ou ) é a distância entre os pontos de inflexão da deformada, isto é, pontos onde M = 0. 8.5 - Exercício Resolvido 3: Calcule o Pcr da estrutura abaixo " "Solução: " " " " " " " " " " " " " " " onde " " " " " " " Condições de contorno: " "[pic" " " "] " " " "[pic" " " "] " " " "[pic" " " "] " " Escrevendo as equações na forma matricial, temos: Solução trivial: (estrutura na configuração indeformada) Mas queremos os valores de Pcr (e portanto 'k'), que tornam possível o equilíbrio numa posição deformada, isto é, os valores de k que fazem com que o sistema tenha outras soluções além da solução trivial. " "[pic" "[pic" " " "] " "] "(equação " " " " " "transcendental) " " " " " " " 8.6 - Exercício Resolvido 4: Calcule o Pcr da estrutura abaixo " "Solução: " " " " " " " " " " " " " " " onde " " " " " " " " " " " " " Condições de contorno: " "[pic" " " "] " " " "[pic" " " "] " " " "[pic" " " "] " " " "[pic" " " "] " " Escrevendo as equações na forma matricial, temos: Solução trivial: (estrutura na configuração indeformada) Desenvolvendo o determinante acima temos: (equação transcendental) Obtemos assim uma solução numérica: " " " " " " 8.7 - Exercício Resolvido 5: Calcular Pcr da estrutura abaixo: Solução: "Flambagem no plano xz " " " " " " "Flexão ocorre em torno do eixo y" Flambagem no plano yz " "A estrutura tem o comportamento " " "igual a: " " " " Temos que o Pcr é dado por: 8.8 - Tensão crítica: " " " " " " " " " " "Onde: " " "Na estrutura ao lado, é suficiente fazer apenas essas " " "duas verificações? " " "Resposta: Nem sempre, porque pode ocorrer flambagem " " "inelástica " Tensão crítica: "Raio de giração "Índice de esbeltez: " " " " A flambagem elástica tem o comportamento de uma hipérbole de Euller, já a inelástica não. Abaixo está o gráfico que mostra o comportamento de uma flambagem: " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " Aproximação da curva limite para : " " " " " " " " " " " " " " " No gráfico temos: "Trecho inelástico: "Trecho elástico: " " " " " " " Problema de verificação: muito fácil porque é conhecido 8.9 - Exercício Resolvido 6 (Problema de dimensionamento): Determine R: " "Dados: " " "Material: aço " " " " " " " " " " " " " Solução: " " " " " " " "Portanto é dado por: " " " " " " " Faz uma hipótese ("chute") e verifica sua veracidade: " " " " " " " " " " "Incompatível " Vamos fazer a verificação para o trecho elástico: " " " " " " " " " " " " Vamos fazer a verificação para o trecho inelástico: " " " " 9) Estado duplo de tensão 9.1 - Conceituação: O vetor tensão (e portanto σ e τ) varia com o plano de corte. Nosso objetivo é determinar as tensões segundo qualquer plano de corte passando por um ponto P. Para determinarmos as tensões segundo qualquer plano de corte, precisamos antes conceituar o que é "Estado Duplo". Estado duplo: sólido de pequena espessura, que pode ser confundido com uma região de um plano, submetido a carregamento contido nesse plano. A figura abaixo mostra esta aproximação: Com a utilização do estado duplo, o problema da determinação das tensões pode ser resolvido como se fosse bidimensional. Isto pode ser verificado nas mediações de um ponto em uma estrutura real (tridimensional). 9.2 - Tensões em um plano qualquer: Conhecido as tensões segundo dois planos perpendiculares entre si, é possível calcular as tensões segundo qualquer plano. Resultante das tensões: " " " " Portanto: , ou seja, temos assim a reciprocidade das tensões de cisalhamento. " "[pi" " " "c] " " Mas , então temos que: " "(Eq I) " Analogamente para , temos: " "(Eq II) " (Eq I) e (Eq II) estão atreladas as convenções adotadas na figura abaixo: 9.3 -Exercício resolvido 1: Calcular as tensões segundo o plano das fibras (o plano das fibras de madeira está representado pela linha que forma 15º com a reta vertical): " " " Solução: " " " " " " " " " 9.4 - Tensões principais e planos principais: Vamos reescrever (Eq I) do seguinte modo: " "(Eq I') " Fazendo (Eq I')² + (Eq II)², temos: " "(Eq III) " Nota-se que (Eq III) é a equação de uma circunferência, esta equação origina o Círculo de Mohr dado abaixo: Os possíveis pares (σ,τ) são pontos desta circunferência: O raio (R) da circunferência é dado por: As tensões normais máximas e mínimas são dadas por: = tensões principais (os planos correspondentes são os planos principais) Propriedade: Plano principal Demonstra-se que: " " " " " " " " " " " " Nos planos de τmax e τmin, temos que: 9.5 - Exercício resolvido 2: Determine os planos principais que passam pelo ponto M da figura abaixo: Dado: Solução: Tensões no plano da seção transversal que passa pelo ponto M: " " " " " " " " " Efeito da força cortante: " " " " " " " "Onde: = momento estático de A* em relação " " "ao eixo z " " "b = largura colaborante (largura total " " "seccionada com τ) " " " " " " " " " " " " " Efeito à torção: " " " Tensão de cisalhamento resultante: Verifica-se que, em geral, a tensão normal segundo um plano longitudinal é desprezível (na comparação com a tensão no plano transversal). " " " " " " " " "[pic" " " "] " " " "[pic" " " "] " " Os planos principais são sempre perpendiculares entre si. 9.6 - Como construir o Círculo de Mohr: Primeiramente devemos localizar o pólo do círculo de Mohr. Para isto, passa por uma reta paralela ao plano em que atuam as tensões. Onde esta reta encontrar novamente a circunferência estará o pólo. Determinação de e : Determinação de e : Propriedades do pólo: I) pela própria maneira como foi determinado, o pólo tem a seguinte propriedade: a reta passando pelo pólo e por é paralela ao plano em que atuam essas tensões. II) os planos principais são perpendiculares entre si III) os planos de e formam 45º com os planos principais. 9. 7 -Exercício resolvido 3: Construir o Círculo de Mohr e determinar as tensões nos planos de e : arrumar figura Solução: 9.8 -Exercício resolvido 4: Faça o círculo de Mohr para a estrutura abaixo e indique as tensões na seção à direita do local onde está aplicado a força P: "Dados: " " " " " " " " Solução: Tensão normal: Tensão cisalhante: " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " Portanto a tensão cisalhante é dada por: Círculo de Mohr: 9.9 - Casos particulares: a) Tração ou compressão simples: b) Cisalhamento simples: c) Estado de tensão uniforme: 9.10 - Relação entre E, G e : " " " Onde: E = módulo de elasticidade longitudinal = coeficiente de Poisson " " " " " " " "Onde: " " "G = módulo de elasticidade " " "transversal " " "= distorção " " " " " " " " "Onde: " " " " " "(Eq I) " " "(Eq II) " " "(Eq III) " De (Eq II): De (Eq III): Em (Eq I), supondo AD = BC: Mas: Então temos que: Para pequenas deformações: Portanto: 10) Noções sobre estado triplo de tensão 10.1 - Conceituação: " " " Reciprocidade: " " " " Demonstra-se que, conhecendo as tensões em 3 planos perpendiculares entre si, é possível estudar por equilíbrio as tensões segundo um plano qualquer. Demonstra-se também que se existem três planos perpendiculares entre si onde não há cisalhamento, então estes são os planos principais. Vamos fazer o Círculo de Mohr para a situação descrita acima: Os possíveis pares (σ,τ) pertencem á área hachurada. Para melhor entendermos o que está acontecendo acima, vamos separar a análise em casos: 1º caso: as tensões principais não nulas têm sinais opostos "Estado Triplo: "Estado Duplo: " " " " " " " Em ambas as situações o τmax é dado por: 2º caso: tensões principais não nulas têm o mesmo sinal "Estado Triplo: "Estado Duplo: " " " " " " " " " " " " " 10.2 - Lei de Hooke generalizada: Efeito isolado de : Efeito simultâneo de , e : " "(Eq 1) " " "(Eq 2) " " "(Eq 3) " " " "(Eq 4) " " "Analogamente: " " " "(Eq 5) " " " "(Eq 6) " 10.3 - Exercício Resolvido: Determine na superfície em destaque no aterro abaixo: " "Dado: E, ν " Solução: (I) Compatibilidade: " "[pic" "[pi" (II)" " "] " "c] " " Substituindo (II) em (I), temos: