Preview only show first 10 pages with watermark. For full document please download

Navierstokes - Unb

Estudo das Equações de NavierStokes

   EMBED


Share

Transcript

Mecânica dos Fluidos II Soluções das Equações de Navier-Stokes Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Equações de Navier-Stokes Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Equações de Navier-Stokes Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Equações de Navier-Stokes Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Cartesian Coordinates Cylindrical Coordinates Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas u h y Vamos assumir que o escoamento se desenvolve na direção horizontal:: u=u( y) ê x ⇒ u . ∇ u=0 x L O escoamento é unidirecional, mas bidimensional: Escoamento Incompressível: ∇ . u=0 ⇔ v=0 ; w=0 ∂u =0 ∂x Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas Escoamento em Regime Permanente: ∂ =0 ∂t ∂u =0 Campo de Velocidade: u=u( y)→ ∂x Equações de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas, reduzem-se a: y→ ∂p =0 ∂y ∂p z→ =0 ∂z p= p ( x) dp d2 u 0=− +μ 2 dx dy Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Análise de escalas aos termos de advecção e de difusão ∂u U2 u ∼ ∂x L ∂2 u U ∼ 2 2 ∂x L ( ) ∂2 u U ∼ 2 2 ∂y h ∂ 2 u ∂2 u ≫ 2 2 ∂y ∂x Então para a direção “x”: dp d2u 0=− +μ 2 dx dy d2u d p μ = 2 dy dx ∂ p p L − p0 = =−G ∂x L p 0 > p L =−G G 2 y +C 1 y +C 2 Integrando duas vezes u=− 2μ em relação a y As constantes de integração são encontradas através das condições de contorno do problema Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Caso I: Escoamento acontece por deslizamento da placa superior e pela existência de um gradiente de pressão p0 pL U Condições de Contorno u ( y=d )=U ; u( y=0)=0 u d Aplicando as Condições de Contorno em: L u=− G 2 y +C 1 y +C 2 2μ u ( y=0)=0 ⇒C 2 =0 U G u ( y=d )=U ⇒C 1= + d d 2μ u ( y)= G U y (d − y)+ y 2μ d Este é o caso mais Geral Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Caso II: Escoamento acontece por deslizamento da placa superior; não existe gradiente de pressão U Condições de Contorno u ( y=d )=U ; u( y=0)=0 u d Aplicando as Condições de Contorno em: L u=− G 2 y +C 1 y +C 2 2μ u ( y=0)=0 ⇒C 2 =0 U u ( y=d )=U ⇒C 1= d u ( y)= U y d Conhecido como escoamento de Couette entre placas paralelas Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Caso III: Escoamento acontece pela existência de um gradiente de pressão ; placa superior e inferior imóvel p0 pL Condições de Contorno u ( y=d )=0 ; u( y=0)=0 u d Aplicando as Condições de Contorno em: L u=− G 2 y +C 1 y +C 2 2μ u ( y=0)=0 ⇒C 2 =0 G u ( y=d )=0⇒ C 1= d 2μ u ( y)= G y (d − y) 2μ Conhecido como escoamento de Hagen-Poiseuille entre placas paralelas Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento em Tubo Capilar: Hagen-Poiseuille Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento em Tubo Capilar: Hagen-Poiseuille r p0 pL O escoamento se desenvolve na direção z z u=u( r) ê z =u z (r ) L Considerações do problema 1) Comprimento (L) muito maior que o raio (a) L≫a 2) Condição de Axissimetria ∂ =0 ∂θ 3) Escoamento Unidirecional u θ =0 4) Escoamento em Regime Permanente ∂ =0 ∂t Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Equação da Continuidade 1 ∂(r u r ) ∂ u z + =0 r ∂r ∂z r∼a ; z∼L ; u z ∼U a u r ∼U ⇒ u r ≪1⇒ u r ≈0 L Desta forma as equações de Quantidade de Movimento ficam : r →0=− ∂p ∂r ∂p θ→0=− ∂θ ( 2 ∂ uz 1 ∂ uz ∂p z →0=− +μ + 2 ∂z ∂r r ∂r ) ∂ p p L − p0 = =−G ∂z L p 0 > p L =−G Nota que: Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ ( ) [ 2 ] 2 1 d d uz 1 d u z d uz d u z 1 d u z r = r + = + 2 2 r dr dr r dr dr dr r dr 14/20 Mecânica dos Fluidos II ( ) d uz 1 d G Assim escreve-se que: r =− μ r dr dr Integrando uma vez: ( ) d uz d uz G G r C1 ∫ d r d r =−∫ μ r dr ⇔ d r =− μ 2 + r Note que: C1 tem que ser nulo para que G 2 r +C 1 ln r+C 2 Integrando de novo: u z =− em r=0 não obtenhamos um valor 4μ infinito para uz (inconsistência física) Assim o campo de velocidades é dado por: u z (r)=− G 2 r +C 2 4μ Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II O problema a ser resolvido é: u z (r)=− G 2 r +C 2 4μ Condição de Contorno => u z (r=a)=0 ● 2 [ ( )] Ga r u z (r)= 1− 4μ a 2 Velocidade Máxima (centro do capilar) G a2 u z (r=0)= 4μ Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II ● Vazão dr a Q=∫ u . dA=∫ u(r) 2 π r dr dr 0 a Q=∫ 0 [ G 2 ( a −r 4μ 2 2 ) ] dr= πGa 8μ 4 2π r a π G a4 Q= 8μ A conhecida Equação de Hagen-Poiseuille Por outro lado: Q=U A⇔ Q=U π a 2 G a2 Igualando à Eq. de Hagen-Poiseuille: U = 8μ Comparando a velocidade média com a máxima: U = 1 u z (r=0) 2 Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Tensão de Cisalhamento na Parede ● 1 Δ p π a =τ W 2 π a L ⇔ τ W = G a 2 2 τW Δp Outra forma de obter a tensão de cisalhamento na parede é pelas equações de Navier-Stokes ( ) d uz 1 d G 1 d r =− μ ⇔0=G+ ( r τ rz ) r dr dr r dr Integrando, obtém-se ( ∂ ur ∂ u z τ rz =μ + ∂z ∂r r C1 τ rz =−G + 2 r Em r=0 a tensão é finita e como tal C1 deve de ser nulo Para r=a (parede) a tensão é: 1 τ rz (r=a)=τ w = G a 2 τ rz =−G ) r 2 Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Fator de Atrito no Capilar ● 8μ L U π a4 G π a4 Δ p 1 64 ν ρ L U 2 Q= ⇔π a U = ⇔ Δ p= ⇔ Δ p= 2 2 8μ 8μ L 2 a d μ ν= ρ Viscosidade cinemática ( ) 1 64 νρ L U 1 64 64 2 64 ν L ̃ ̃ Δ p= ⇔ Δ p= ρ(U ) ⇔ Δ p= ⇔ Δ p= 2 2 x 2 2 Ud d d d U Re ν L Ud d d x Re = ν =R e ≪1 L L Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Tubo Capilar: Viscosímetro Medindo a Vazão e a Diferença de Pressão pode-se aferir sobre a viscosidade do fluido a a Q=∫ u . dA=∫ u(r) 2 π r dr=∫ 2 π u r dr 0 Integração por partes: 0 ∫ v . ds=v s−∫ s dv v=u ⇒ dv=du⇔ dv= γ˙ dr γ= ˙ du dr r2 ds=r dr ⇐ s= 2 Segue que: [( ) 2 a Q=2 π u a ] a r −∫ r 2 γ˙ dr ⇔ Q=−π ∫ r 2 γ˙ dr 2 0 0 0 Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Lembrando que: r 2 1 τ rz (r=a)=τ w = G a 2 τ rz =−G τ rz −a r=−a τ ⇔ dr= d τ rz w τw Segue que: a 2 Q=−π ∫ r γ˙ dr=−π 0 Q τ 3w πa [ τw ∫ γ˙ a 0 2 2 τ rz 2 τw ( a − τ d τ rz w )] τw =∫ γ˙ τ rz d τ rz 3 γ˙w = 2 0 ( ) Q τ 3w 1 d 2 3 τw d τw π a Relação de Weissenber-Rabinowitsch Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II γ˙w = ( ) Q τ 3w 1 d 2 3 τw d τw π a Efetuando a derivada, segue-se que: [ γ˙w = 1 1 2 3 dQ 3 τ Q+ τ w w 3 2 d τw π a τw γ˙w = Q dQ / Q 3+ 3 d τw / τw πa [ [ Q d ln Q γ˙w = 3 3+ d ln Δ p πa ] ] ] τ w =− 1 ΔP a 2 L ln Q ln Δ p Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Prevendo a vazão/pressão de um fluido Não-Newtoniano Imagine que a viscosidade de um fluido é ajustada por uma Lei de Potência do tipo: μ( γ)=C γ˙ n−1 ˙ 1 d dp 1 d 0=G+ ( r τ rz ) ⇔ dz = r dr ( r τ rz ) r dr dp r τ = Segue que: rz dz 2 n τ rz =μ ( γ) γ˙ =C ˙ γ=C ˙ ( du dp r = dr dz 2C u z (r)= ( ) ( ) du dr n 1/n n dp r 1+n dz 2C 1/ n ) r Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II a Q=2 π ∫ u z (r) r dr 0 2 ( n dp a Q=2 π (1+ n)(1+3n) dz 2C 1/ n ) a 3 Para n=1, recupera-se a expressão de Hagen-Poisseuille (Fluido Newtoniano) π a 4 dp Q= 8C dz Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow) Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow) Analisando o problema: 1) Cilindro externo parado. 2) Cilindro interno em movimento circular 3) em principio, em regime laminar, o escoamento não tem instabilidades para que ocorra na direção z. Assim uz=0. R0 −R1 ≪1 L 4) A velocidade na direção θ (uθ) depende de r uma vez que o cilindro está girando. u=u θ (r )ê θ 5) Escoamento com eixo de simetria Escalas: ∂ =0 ∂θ u θ ∼ω R1 ; r∼δ ; z∼L Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow) Equação da Continuidade em Coordenadas Cilíndricas 1 ∂( r u r ) 1 ∂ u θ ∂ u z + + =0 ⇒ u r =0 ∂ θ r ∂r r ∂z Equações da Quantidade de Movimento u 2θ 1 ∂ p r→ =ρ r ∂r ∂p z→ =0 ∂z [ 2 ∂ uθ 1 ∂ u θ uθ d 1 d (r u θ ) θ→ 0= 2 + 2 − 2 ⇔0= dr r dr ∂r r ∂r r ] Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow) ∂2 uθ 1 ∂ 2 u θ u θ 0= 2 + 2 − 2 2 ∂ r r ∂θ r ( ) () ( ) ( u θ 1 d dr d uθ d 1 d (r u θ ) d 1 1 d d (r u θ ) = + =− 2 + uθ + r d r r dr dr r r dr dr r dr dr dr r ) u θ 1 d u θ d 2 uθ =− 2 + + r r dr d r 2 Então escreve-se que: ( ) d 1 d (r u θ ) =0 d r r dr r C2 Integrando duas vezes em relação a r: u θ =C 1 + 2 r Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow) Condições de Contorno u θ (r=R 0 )=0 ; u θ (r=R1 )=ω R 1 R0 C 2 0=C 1 + 2 R0 R1 C 2 ω R 1=C 1 + 2 R1 C 1=− C 2= 2 ω R 21 2 2 R 0 −R1 ω R 20 R12 2 2 R 0 −R1 Assim a expressão para o perfil de velocidades é: ω R12 r ω R 20 R 21 1 u θ (r)=− 2 + 2 2 2 R 0 −R1 R 0−R 1 r Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow) ● Tensão de Cisalhamento na parede externa do cilindro interno [ ( ) uθ 1 ∂ u r ∂ τ r θ=μ r + ∂ r r r ∂θ ] [ ( )] [ 2 2 2 ω R 0 R1 1 uθ ∂ Neste problema τ r θ=μ r =μ − 2 2 2 ∂r r R0 −R1 r Na parede externa do cilindro interno ] τ r θ (r=R1 )=−2μ r ω R02 2 2 R0 −R1 Força Tangencial que o Liquido exerce no Cilindro F θ =τ r θ A=τ r θ (2 π R1 L)=−4 π μ L ω R 20 R1 2 2 R 0 −R1 Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow) ● Força Tangencial que o Liquido exerce no Cilindro F θ =τ r θ A=τ r θ (2 π R1 L)=−4 π μ L ● 2 2 R 0 −R1 Força Tangencial que o Cilindro exerce no Liquido F θ =4 π μ L ● ω R 20 R1 Torque ω R02 R1 2 2 R 0 −R 1 T =F θ R 1=4 π μ L ω R02 R 21 2 2 R 0 − R1 Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow) ● Torque T =F θ R 1=4 π μ L ω R02 R 21 2 2 R 0 − R1 ω R 20 R12 T =4 π μ L ( R 0 −R 1 )( R0 + R1 ) Se R 0≈R 1 ⇒ R 0 −R 1=δ⇒ R 0 + R1≈2R 1 ω R02 R 21 R 20 R1 ω R 1 T =2 π μ L =2 π μ L δ R1 δ R1 ω R1 2 T =2 π L R μ =2 π L R 0 μ γ˙ δ 2 0 T =C μ γ˙ Em que C só depende de parâmetros geométricos Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow) T =C μ γ˙ 1) Em que C só depende de parâmetros geométricos 2) Expressão idêntica ao cisalhamento simples entre placas corrigido por um fator 3) O torque medido pelo viscosímetro permite determinar a viscosidade Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Pratos Rotativos Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Pratos Rotativos (Couette) Hipótese: O movimento imposto à haste é controlado de tal forma que não haja escoamento na direção vertical nem radial. Escoamento somente na direção angular. ρ uθ2 ∂p r →− =− r ∂r ∂2 uθ 1∂p θ→ 0=− +μ ∂ θ r ∂ z2 ∂p z →0=− +ρ g ∂z Integrando ρ u 2θ (r , z) p=∫ dr+ h(θ , z) r Substituindo θ→0=− 1 ∂ r ∂θ [ 2 ] ρ uθ ( r , z) ∂ 2 uθ ∫ r dr+h(θ , z) +μ ∂ z 2 Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II 1 θ→0=− ∂ r ∂θ ∂ ∂θ [ [ ] 2 ρ uθ ( r , z) ∂2 uθ ∫ r dr+h(θ , z) +μ ∂ z 2 ] 2 ρ u θ (r , z) ∫ r dr+ h(θ , z) =0 ⇒ ∂∂ θp =0 d 2 uθ θ→0=μ d z2 Integrando duas vezes Condições de Contorno u θ =C 1 z+C 2 u θ (r , z=0)=0 ; uθ (r , z=δ)=ω r u θ= ωr z δ Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II ● Tensão de Cisalhamento [ ∂ uθ 1 ∂ u z τ z θ =μ + ∂ z r ∂θ ● ] τ z θ =μ [ ] ωr δ Torque sobre o disco devido a resistência imposta pela lâmina de fluido dF θ =τ z θ 2 π r dr R μπωR T =∫ dF θ . r= 2δ 0 4 Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II Exercícios Escoamento entre placas paralelas infinitas b μ1, ρ1 b μ 2, ρ2 I ) Escoamento induzido por um gradiente de pressão II ) Escoamento induzido pelo movimento da placa superior com velocidade Uêx Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/ 14/20 Mecânica dos Fluidos II I ) Escoamento induzido por um gradiente de pressão Deduzido em Escoamento entre placas u=− u 1=− G 2 y +C 1 y+C 2 2μ 1 b< y <2b u 2 =− G 2 y +C 3 y +C 4 2μ 2 0< y τ 0 1/2 (2 D : D) 0