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Mecânica dos Fluidos II
Soluções das Equações de Navier-Stokes
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Mecânica dos Fluidos II
Equações de Navier-Stokes
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Mecânica dos Fluidos II
Equações de Navier-Stokes
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Mecânica dos Fluidos II
Equações de Navier-Stokes
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Mecânica dos Fluidos II
Cartesian Coordinates
Cylindrical Coordinates
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Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas
u
h
y
Vamos assumir que o escoamento se desenvolve na direção horizontal::
u=u( y) ê x ⇒ u . ∇ u=0 x
L
O escoamento é unidirecional, mas bidimensional:
Escoamento Incompressível:
∇ . u=0 ⇔
v=0 ; w=0
∂u =0 ∂x
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Mecânica dos Fluidos II
Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas
Escoamento em Regime Permanente:
∂ =0 ∂t
∂u =0 Campo de Velocidade: u=u( y)→ ∂x Equações de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas, reduzem-se a:
y→
∂p =0 ∂y
∂p z→ =0 ∂z
p= p ( x)
dp d2 u 0=− +μ 2 dx dy
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Análise de escalas aos termos de advecção e de difusão
∂u U2 u ∼ ∂x L
∂2 u U ∼ 2 2 ∂x L
( )
∂2 u U ∼ 2 2 ∂y h
∂ 2 u ∂2 u ≫ 2 2 ∂y ∂x
Então para a direção “x”:
dp d2u 0=− +μ 2 dx dy d2u d p μ = 2 dy dx
∂ p p L − p0 = =−G ∂x L
p 0 > p L =−G
G 2 y +C 1 y +C 2 Integrando duas vezes u=− 2μ em relação a y
As constantes de integração são encontradas através das condições de contorno do problema Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/
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Caso I: Escoamento acontece por deslizamento da placa superior e pela existência de um gradiente de pressão
p0
pL
U
Condições de Contorno
u ( y=d )=U ; u( y=0)=0
u
d Aplicando as Condições de Contorno em: L
u=−
G 2 y +C 1 y +C 2 2μ
u ( y=0)=0 ⇒C 2 =0 U G u ( y=d )=U ⇒C 1= + d d 2μ
u ( y)=
G U y (d − y)+ y 2μ d
Este é o caso mais Geral
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Mecânica dos Fluidos II
Caso II: Escoamento acontece por deslizamento da placa superior; não existe gradiente de pressão U
Condições de Contorno
u ( y=d )=U ; u( y=0)=0
u
d Aplicando as Condições de Contorno em: L
u=−
G 2 y +C 1 y +C 2 2μ
u ( y=0)=0 ⇒C 2 =0 U u ( y=d )=U ⇒C 1= d
u ( y)=
U y d
Conhecido como escoamento de Couette entre placas paralelas
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Mecânica dos Fluidos II
Caso III: Escoamento acontece pela existência de um gradiente de pressão ; placa superior e inferior imóvel
p0
pL Condições de Contorno
u ( y=d )=0 ; u( y=0)=0
u
d Aplicando as Condições de Contorno em: L
u=−
G 2 y +C 1 y +C 2 2μ
u ( y=0)=0 ⇒C 2 =0 G u ( y=d )=0⇒ C 1= d 2μ
u ( y)=
G y (d − y) 2μ
Conhecido como escoamento de Hagen-Poiseuille entre placas paralelas
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento em Tubo Capilar: Hagen-Poiseuille
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento em Tubo Capilar: Hagen-Poiseuille r
p0
pL O escoamento se desenvolve na direção z
z
u=u( r) ê z =u z (r ) L
Considerações do problema 1) Comprimento (L) muito maior que o raio (a)
L≫a
2) Condição de Axissimetria
∂ =0 ∂θ
3) Escoamento Unidirecional
u θ =0
4) Escoamento em Regime Permanente
∂ =0 ∂t
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Equação da Continuidade
1 ∂(r u r ) ∂ u z + =0 r ∂r ∂z
r∼a ; z∼L ; u z ∼U
a u r ∼U ⇒ u r ≪1⇒ u r ≈0 L
Desta forma as equações de Quantidade de Movimento ficam :
r →0=−
∂p ∂r
∂p θ→0=− ∂θ
(
2 ∂ uz 1 ∂ uz ∂p z →0=− +μ + 2 ∂z ∂r r ∂r
)
∂ p p L − p0 = =−G ∂z L
p 0 > p L =−G
Nota que:
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( ) [
2
]
2
1 d d uz 1 d u z d uz d u z 1 d u z r = r + = + 2 2 r dr dr r dr dr dr r dr 14/20
Mecânica dos Fluidos II
( )
d uz 1 d G Assim escreve-se que: r =− μ r dr dr
Integrando uma vez:
( )
d uz d uz G G r C1 ∫ d r d r =−∫ μ r dr ⇔ d r =− μ 2 + r
Note que: C1 tem que ser nulo para que G 2 r +C 1 ln r+C 2 Integrando de novo: u z =− em r=0 não obtenhamos um valor 4μ infinito para uz (inconsistência física)
Assim o campo de velocidades é dado por:
u z (r)=−
G 2 r +C 2 4μ
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Mecânica dos Fluidos II O problema a ser resolvido é:
u z (r)=−
G 2 r +C 2 4μ
Condição de Contorno
=>
u z (r=a)=0
●
2
[ ( )]
Ga r u z (r)= 1− 4μ a
2
Velocidade Máxima (centro do capilar)
G a2 u z (r=0)= 4μ
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●
Vazão
dr
a
Q=∫ u . dA=∫ u(r) 2 π r dr
dr
0
a
Q=∫ 0
[
G 2 ( a −r 4μ
2 2
)
]
dr=
πGa 8μ
4
2π r
a
π G a4 Q= 8μ
A conhecida Equação de Hagen-Poiseuille
Por outro lado:
Q=U A⇔ Q=U π a 2
G a2 Igualando à Eq. de Hagen-Poiseuille: U = 8μ Comparando a velocidade média com a máxima: U =
1 u z (r=0) 2
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Tensão de Cisalhamento na Parede
●
1 Δ p π a =τ W 2 π a L ⇔ τ W = G a 2 2
τW Δp
Outra forma de obter a tensão de cisalhamento na parede é pelas equações de Navier-Stokes
( )
d uz 1 d G 1 d r =− μ ⇔0=G+ ( r τ rz ) r dr dr r dr Integrando, obtém-se
(
∂ ur ∂ u z τ rz =μ + ∂z ∂r
r C1 τ rz =−G + 2 r
Em r=0 a tensão é finita e como tal C1 deve de ser nulo Para r=a (parede) a tensão é:
1 τ rz (r=a)=τ w = G a 2
τ rz =−G
)
r 2
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Fator de Atrito no Capilar
●
8μ L U π a4 G π a4 Δ p 1 64 ν ρ L U 2 Q= ⇔π a U = ⇔ Δ p= ⇔ Δ p= 2 2 8μ 8μ L 2 a d μ ν= ρ Viscosidade cinemática
(
)
1 64 νρ L U 1 64 64 2 64 ν L ̃ ̃ Δ p= ⇔ Δ p= ρ(U ) ⇔ Δ p= ⇔ Δ p= 2 2 x 2 2 Ud d d d U Re ν L Ud d d x Re = ν =R e ≪1 L L
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Mecânica dos Fluidos II Tubo Capilar: Viscosímetro Medindo a Vazão e a Diferença de Pressão pode-se aferir sobre a viscosidade do fluido a
a
Q=∫ u . dA=∫ u(r) 2 π r dr=∫ 2 π u r dr 0
Integração por partes:
0
∫ v . ds=v s−∫ s dv
v=u ⇒ dv=du⇔ dv= γ˙ dr
γ= ˙
du dr
r2 ds=r dr ⇐ s= 2 Segue que:
[( )
2 a
Q=2 π u
a
]
a
r −∫ r 2 γ˙ dr ⇔ Q=−π ∫ r 2 γ˙ dr 2 0 0 0
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Lembrando que:
r 2 1 τ rz (r=a)=τ w = G a 2 τ rz =−G
τ rz −a r=−a τ ⇔ dr= d τ rz w τw
Segue que: a 2
Q=−π ∫ r γ˙ dr=−π 0
Q τ 3w πa
[
τw
∫ γ˙ a 0
2
2 τ rz 2
τw
(
a − τ d τ rz w
)]
τw
=∫ γ˙ τ rz d τ rz 3
γ˙w =
2
0
( ) Q τ 3w
1 d 2 3 τw d τw π a
Relação de Weissenber-Rabinowitsch
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γ˙w =
( ) Q τ 3w
1 d 2 3 τw d τw π a
Efetuando a derivada, segue-se que:
[
γ˙w =
1 1 2 3 dQ 3 τ Q+ τ w w 3 2 d τw π a τw
γ˙w =
Q dQ / Q 3+ 3 d τw / τw πa
[
[
Q d ln Q γ˙w = 3 3+ d ln Δ p πa
] ]
] τ w =−
1 ΔP a 2 L
ln Q
ln Δ p Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/
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Mecânica dos Fluidos II
Prevendo a vazão/pressão de um fluido Não-Newtoniano Imagine que a viscosidade de um fluido é ajustada por uma Lei de Potência do tipo:
μ( γ)=C γ˙ n−1 ˙ 1 d dp 1 d 0=G+ ( r τ rz ) ⇔ dz = r dr ( r τ rz ) r dr dp r τ = Segue que: rz dz 2
n
τ rz =μ ( γ) γ˙ =C ˙ γ=C ˙
(
du dp r = dr dz 2C u z (r)=
(
)
( ) du dr
n
1/n
n dp r 1+n dz 2C
1/ n
)
r
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Mecânica dos Fluidos II a
Q=2 π ∫ u z (r) r dr 0
2
(
n dp a Q=2 π (1+ n)(1+3n) dz 2C
1/ n
)
a
3
Para n=1, recupera-se a expressão de Hagen-Poisseuille (Fluido Newtoniano)
π a 4 dp Q= 8C dz
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
Analisando o problema: 1) Cilindro externo parado. 2) Cilindro interno em movimento circular 3) em principio, em regime laminar, o escoamento não tem instabilidades para que ocorra na direção z. Assim uz=0.
R0 −R1 ≪1 L
4) A velocidade na direção θ (uθ) depende de r uma vez que o cilindro está girando. u=u θ (r )ê θ 5) Escoamento com eixo de simetria
Escalas:
∂ =0 ∂θ
u θ ∼ω R1 ; r∼δ ; z∼L
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
Equação da Continuidade em Coordenadas Cilíndricas
1 ∂( r u r ) 1 ∂ u θ ∂ u z + + =0 ⇒ u r =0 ∂ θ r ∂r r ∂z Equações da Quantidade de Movimento
u 2θ 1 ∂ p r→ =ρ r ∂r ∂p z→ =0 ∂z
[
2 ∂ uθ 1 ∂ u θ uθ d 1 d (r u θ ) θ→ 0= 2 + 2 − 2 ⇔0= dr r dr ∂r r ∂r r
]
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
∂2 uθ 1 ∂ 2 u θ u θ 0= 2 + 2 − 2 2 ∂ r r ∂θ r
(
) ()
(
)
(
u θ 1 d dr d uθ d 1 d (r u θ ) d 1 1 d d (r u θ ) = + =− 2 + uθ + r d r r dr dr r r dr dr r dr dr dr r
)
u θ 1 d u θ d 2 uθ =− 2 + + r r dr d r 2 Então escreve-se que:
(
)
d 1 d (r u θ ) =0 d r r dr
r C2 Integrando duas vezes em relação a r: u θ =C 1 + 2 r Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
Condições de Contorno
u θ (r=R 0 )=0 ; u θ (r=R1 )=ω R 1
R0 C 2 0=C 1 + 2 R0 R1 C 2 ω R 1=C 1 + 2 R1
C 1=− C 2=
2 ω R 21 2
2
R 0 −R1
ω R 20 R12 2
2
R 0 −R1
Assim a expressão para o perfil de velocidades é:
ω R12 r
ω R 20 R 21 1 u θ (r)=− 2 + 2 2 2 R 0 −R1 R 0−R 1 r
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow) ●
Tensão de Cisalhamento na parede externa do cilindro interno
[ ( )
uθ 1 ∂ u r ∂ τ r θ=μ r + ∂ r r r ∂θ
]
[ ( )] [
2
2
2 ω R 0 R1 1 uθ ∂ Neste problema τ r θ=μ r =μ − 2 2 2 ∂r r R0 −R1 r Na parede externa do cilindro interno
]
τ r θ (r=R1 )=−2μ r
ω R02 2
2
R0 −R1
Força Tangencial que o Liquido exerce no Cilindro
F θ =τ r θ A=τ r θ (2 π R1 L)=−4 π μ L
ω R 20 R1 2
2
R 0 −R1
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
●
Força Tangencial que o Liquido exerce no Cilindro
F θ =τ r θ A=τ r θ (2 π R1 L)=−4 π μ L ●
2
2
R 0 −R1
Força Tangencial que o Cilindro exerce no Liquido
F θ =4 π μ L
●
ω R 20 R1
Torque
ω R02 R1 2
2
R 0 −R 1
T =F θ R 1=4 π μ L
ω R02 R 21 2
2
R 0 − R1
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
●
Torque
T =F θ R 1=4 π μ L
ω R02 R 21 2
2
R 0 − R1
ω R 20 R12 T =4 π μ L ( R 0 −R 1 )( R0 + R1 ) Se
R 0≈R 1 ⇒ R 0 −R 1=δ⇒ R 0 + R1≈2R 1 ω R02 R 21 R 20 R1 ω R 1 T =2 π μ L =2 π μ L δ R1 δ R1 ω R1 2 T =2 π L R μ =2 π L R 0 μ γ˙ δ 2 0
T =C μ γ˙ Em que C só depende de parâmetros geométricos Monitor: Nuno Jorge S. Dias http://www.vortex.unb.br/nuno/
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
T =C μ γ˙ 1) Em que C só depende de parâmetros geométricos 2) Expressão idêntica ao cisalhamento simples entre placas corrigido por um fator 3) O torque medido pelo viscosímetro permite determinar a viscosidade
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Pratos Rotativos
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Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Pratos Rotativos (Couette)
Hipótese: O movimento imposto à haste é controlado de tal forma que não haja escoamento na direção vertical nem radial. Escoamento somente na direção angular.
ρ uθ2 ∂p r →− =− r ∂r ∂2 uθ 1∂p θ→ 0=− +μ ∂ θ r ∂ z2 ∂p z →0=− +ρ g ∂z
Integrando
ρ u 2θ (r , z) p=∫ dr+ h(θ , z) r
Substituindo θ→0=− 1 ∂ r ∂θ
[
2
]
ρ uθ ( r , z) ∂ 2 uθ ∫ r dr+h(θ , z) +μ ∂ z 2
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Mecânica dos Fluidos II
1 θ→0=− ∂ r ∂θ ∂ ∂θ
[
[
]
2
ρ uθ ( r , z) ∂2 uθ ∫ r dr+h(θ , z) +μ ∂ z 2
]
2
ρ u θ (r , z) ∫ r dr+ h(θ , z) =0 ⇒ ∂∂ θp =0
d 2 uθ θ→0=μ d z2
Integrando duas vezes
Condições de Contorno
u θ =C 1 z+C 2
u θ (r , z=0)=0 ; uθ (r , z=δ)=ω r
u θ=
ωr z δ
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Mecânica dos Fluidos II
●
Tensão de Cisalhamento
[
∂ uθ 1 ∂ u z τ z θ =μ + ∂ z r ∂θ ●
]
τ z θ =μ
[ ] ωr δ
Torque sobre o disco devido a resistência imposta pela lâmina de fluido
dF θ =τ z θ 2 π r dr R
μπωR T =∫ dF θ . r= 2δ 0
4
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Mecânica dos Fluidos II
Exercícios
Escoamento entre placas paralelas infinitas b
μ1, ρ1
b
μ 2, ρ2
I ) Escoamento induzido por um gradiente de pressão
II ) Escoamento induzido pelo movimento da placa superior com velocidade Uêx
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Mecânica dos Fluidos II
I ) Escoamento induzido por um gradiente de pressão Deduzido em Escoamento entre placas
u=−
u 1=−
G 2 y +C 1 y+C 2 2μ 1
b< y <2b
u 2 =−
G 2 y +C 3 y +C 4 2μ 2
0< y τ 0 1/2 (2 D : D)
0