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Resolução de “Curso de Física Básica” de H. Moysés Nussenzveig Capítulo 06 - Vol. 2 Enenharia Física 09 – Universidade Federal de São Carlos 10/13/2009
*Conseguimos algumas resoluções pela internet, outras foram feitas por nós.
1 – Uma experiência de demonstração divertida consiste em mudar a tonalidade da voz enchendo a boca de gás hélio: uma voz grave transforma-se em aguda (cuidado: não procure fazer isso por sua conta! Inalar hélio é perigoso, podendo levar à sufocação). Para explicar o efeito, admita que os componentes de onda associados à voz são determinados pelas dimensões das cordas vocais, laringe e boca, estas funcionando como cavidades ressonantes, de modo que a variação de tonalidade seria devida unicamente à variação da velocidade do som (embora isto não seja bem correto). a) Calcule a velocidade do som no hélio a 20°C. É um gás monoatômico, de massa atômica ≈ 4 g/mol, com γ ≈ 1,66. A constante universal dos gases R vale 8,314 J/mol.K. b) Explique o efeito, calculando a razão entre as freqüências do som no hélio e no ar para o mesmo comprimento de onda. a) Sendo o processo adiabático, convertemos a temperatura para Kelvin (20°C =293K) e a massa para kilograma (4g/mol = 4.10-3 kg/mol) e temos que:
V=
..
= 1005,45 m/s
b) V’ = λ f’ V=λf ′ ′ Logo: = = 2,93 2 – Um alto-falante de um aparelho de som emite 1W de potência sonora na freqüência υ = 100 Hz. Admitindo que o som se distribui uniformemente em todas as direções, determine, num ponto situado a 2 m de distância do alto-falante: a) o nível sonoro em db; b) a amplitude de pressão; c) a amplitude de deslocamento. Tome a densidade do ar como 1,3 kg/m³ e a velocidade do som como 340 m/s. d) a que distância do alto-falante o nível sonoro estaria 10 db abaixo do calculado em (a)? P = 1 W; υ = 100 Hz ; r = 2 m ; I0 = 10-12 W/m² ; ρ0 = 1,3 kg/m³ ; v = 340 m/s. a) Área = A = 4π.r² = 4π.2² = 16π m² I = P/A = 1(W) / 16π (m²) = 0,0189 W/m² O nível sonoro vale: I 0,0189 α = 10 log = 10 log ⇒ α = 103 db −12 10 I0 1 ℘2 ⇒ ℘² = 2.ρ0.v = 2.1,3.340 = 17,587 2 ρ0 v 1 c) I = ρ 0 vω 2 U 2 2 onde: ω = 2.π.υ = 2.π.100 ⇒ ω = 200π rad/s Logo:
b) I =
⇒
℘ = 4,2 N/m²
2.I ⇒ ρ 0 .v.ω 2 α’ = α - 10 = 103 – 10 = 93 db I’ = P/A’ = 1/ (4πr²) U2 =
d)
1 2 r = 93 α' = 10 log 4π −12 10
⇒
U = 0,015 mm
r2 =
1 4π.10 .10 −12 9,3
⇒
r = 6,3 m
3 – Que comprimento deve ter um tubo de órgão aberto num extremo e fechado no outro para produzir, como tom fundamental, a nota dó da escala média, υ = 262 Hz a 15°C, quando a velocidade do som no ar é de 341 m/s? Qual é a variação de freqüência ∆υ quando a temperatura sobe para 25°C? υ = 262 Hz ; T = 15°C = 288 K ; v = 341 m/s ; T’ = 25°C = 298 K ; Tubo aberto numa extremidade e fechado na outra: v (n = 1, 3, 5, ...) υn = n 4L (I) Para o tom fundamental, n = 1 e, de acordo com (I), encontramos L: v ⇒ L = 0,325 m = 32,5 cm L= 4υ Para uma dada massa de ar, a velocidade do som é dada por: RT R v= γ = γ . T ⇒ v = C. T m m 123 C = cons tan te
Encontrando C, substituindo v e T: 341 = C.
288
⇒
C=
341 288
(II) Encontrando a velocidade v’, quando T’ = 298 K 341 v' = C. T' = 298 ⇒ v’ = 346,87 m/s 288 A nova freqüência será: 346,87 v' = ⇒ υ’ = 266,8 Hz υ' = 4(0325) 4L ∆υ = υ’ - υ = 4,8 Hz
4 – Na experiência da pg. 221* (pg 136 – 4ª ed), o diapasão emite a nota lá de 440 Hz. À medida que vai baixando o nível da água no tubo, a 1ª ressonância aparece quando a altura da coluna de ar é de 17,5 cm e a 2ª quando é de 55,5 cm. a) Qual é o comprimento de onda?
b) Qual é o valor da correção terminal (cf. pg. 219)**? c) Estime o diâmetro do tubo. d) Qual é a velocidade do som no tubo? * - Diapasão excita ondas sonoras numa coluna de ar contida num tubo cilíndrico de vidro, contendo água na parte inferior. ** - Esta correção terminal equivale a corrigir o comprimento efetivo do tubo, acrescentando-lhe ≈0,6R, onde R é o raio do tubo. a) f = nv/4 L L = 340 / 4. 440 L 19 cm Sendo: λ = 4 L λ 76 cm
b) Como a medida com o diapasão é 17,5 cm e a altura teórica é 19 cm, o fator de correção (y) é: y= 19 – 17,5 y = 1,5 cm c) Sendo y = 0,6 R y = 0,3 D D = 1,5/0,3 D = 5cm
d) Pela relação, temos: v = λ f v= 0,76 . 440 v = 334,4 m/s
5 - O tubo de Kundt, que costumava ser empregado para medir a velocidade do som em gases, é um tubo de vidro que contém o gás, fechado numa extremidade por uma tampa M que se faz vibrar com uma freqüência υ conhecida (por exemplo, acoplando-a a um alto-falante) e na outra por um pistão P que se faz deslizar, variando o comprimento do tubo. O tubo contém um pó fino (serragem, por exemplo). Ajusta-se o comprimento do tubo com o auxílio do pistão até que ele entre em ressonância com a freqüência υ, o que se nota pelo reforço da intensidade sonora emitida. Observa-se então que o pó fica acumulado em montículos igualmente espaçados, de espaçamento ∆l, que se pode medir. a) A que correspondem as posições dos topos dos montículos? b) Qual é a relação entre ∆l, υ e a velocidade do som no gás? c) Com o tubo cheio de CO2 a 20°C e υ = 880 Hz, o espaçamento médio medido é de 15,2 cm. Qual é a velocidade do som no CO2 a 20°C?
Tubo fechado nas duas extremidades. λ λ l = 1 ⇒l = n n 2 2 v v = λυ = 2lυ ⇒ υ1 = 2l a) Os nós do deslocamento. Antinodos de pressão ou nodos de deslocamento. O deslocamento "varre" as partículas para os nós do deslocamento. b) ∆l =
λ 2
⇒ λ = 2 ∆l
c) v = 2.(0,152).880 ⇒
v = 2.∆l.υ v = 267,5 m/s
6a) Mostre que, para uma onda sonora harmônica de freqüência angular ω e três r dimensões num fluido cuja densidade de equilíbrio é ρ0, o deslocamento u (que neste r caso é um vetor!) está relacionado com a pressão p por: grad p = ρ0.ω². u . b) Considere uma onda sonora harmônica que se propaga no semi-espaço x > 0, com p=p(x,y,z,t), e suponha que o plano x = 0 é uma parede fixa, rígida. Mostre, utilizando o resultado da parte (a), que p tem de satisfazer a condição de contorno ∂p = 0 para x=0, qualquer que seja t. Em particular, isto vale na extremidade fechada ∂x de um tubo de órgão. a)Tomamos como potencial de velocidades e , cos ! ". Sabendo que v = # e que a velocidade esta relacionada à pressão pela expressão: $% P = ρ0 $&
Temos:
P = ρ0
$% $&
⇒ P = ρ0
$²( $&²
⇒ P = ρ0.ω². )
b)P = P (x,y,z,t)
P = ρ0 ω² cos
! "
*+/* = -K’ ρ0 ω² sen( Se x = 0 , P = P (0,y,z,t) assim,
$$.
! "
/012314 0. )
7 – Uma onda sonora plana monocromática de pressão dada por [cf. (6.5.7)] p i = P cos(− k x x + k y y − ωt ) , onde k² = kx² + ky² = ω² / v² ( v = velocidade do som), incide com ângulo de incidência θ1 sobre o plano x = 0, ocupado por uma parede rígida (fig.), dando origem à onda refletida, de pressão dada por p r = P ' cos(k x x + k y y − ωt ) , associada ao ângulo de reflexão θ’1=θ1 (fig.). a) Verifique que kx = k.cosθ1, ky = k.senθ1. b) Aplique a condição de contorno do problema 6 à onda total p = pi + pr e determine P’ em função de P. c) Escreva a onda total p em função de P, usando (b), e interprete o resultado. Mostre que, no caso particular em que ky = 0, ele se reduz ao que foi encontrado na pg. 220 para a reflexão na extremidade fechada de um tubo de órgão. a) Considerando o raio incidente (Pi) como um certo vetor (k), temos
Analisando trigonométricamente, concluimos: ky = k.senθ1 e kx= k.cos θ1 )
b) c)
8 – Uma lente esférica plano-convexa delgada é formada por um meio onde o som se propaga com velocidade v2, limitada por uma face plana e outra esférica de raio de curvatura R; o raio h = I’A da face plana é suposto < 1. Nestas condições, uma onda sonora plana incidente perpendicularmente sobre a face plana é focalizada pela lente em seu foco F. A distância f = OF do foco à face curva chama-se distância focal, e AO = e é a espessura da lente. a) Mostre que, para h << R, tem-se e = h² / (2R). Para isso, você poderá utilizar a 1 aproximação: 1 ± ε ≈ 1 ± ε , válida para |ε| << 1. 2 R b) Com o auxílio do Princípio de Huygens, mostre que f = . ( n − 1) Sugestão: Partindo da frente de onda plana incidente II’, iguale o tempo que as frentes de onda secundárias levam para convergir no foco passando pela periferia da lente (caminhos I’F, IF) e pelo centro (caminho AO + OF) e use o resultado da parte (a).
se propaga com velocidade v1, com v 2 =
a)
Por pitagoras:
67
87 6
97 ⇒√67
87 67 Pela relação fornecida, temos: 9 6
9 6<
6><
<
87
67
87 6
)⇒ 9 6<
<
9⇒67 ;<
< 87
7 67
)⇒ 9 6
87
67
= 6
< 87
7 67
9⇒
)⇒ 9
87
76
)
b) Pela equação dos fabricantes, temos: A7 < < < @ > λ. Para a distâncias R >> d, determine as direções de observação θ em que aparecem mínimos de interferência, generalizando a (6.8.11)* de duas para três fendas. Qual é a intensidade nos mínimos? Sugestão: Você terá de calcular a resultante de três oscilações com defasagens consecutivas δ iguais. Use a notação complexa e a fórmula (demonstre-a!) 3 sen 2 δ 2 3iδ 2 e −1 2 1 + e iδ + e 2iδ = iδ = . e −1 2δ sen 2 O mesmo método se aplica a um número qualquer de fendas igualmente espaçadas. (construtiva) nλ 1 * dsenθ = (n = 0, ±1,...) n + λ (destrutiva) 2
Vimos que: Como G, então: W e S W
~
W G241 f S W 2G241
Pelas equações da 68, temos: 3 W cos W ^ W 3 3 S cosW G241 cos f S S ] 3 cos 2G241 3 cos W S \ N N N Pela equação de Euler: k W Re. eT & ^ k S Re. eT & . 4 q f , onde G241 ] k T & qS .4 \N Re. e Assim: 3 W S N Re. eT & 1 4 q 4 qS Vamos calcular as intensidades: ||S j S 1 4 q 4 qS S j |W | Analisando com atenção, notamos que 1 4 q 4 Sq representa a soma de uma progressao geométrica de termo inicial 1 e razão 4 q . Assim: Por (*), temos:
N
k kT W
W W
(*)
j 4 q j 4
Nq
1 1 S
4
Nq S
q 4S
4 q cosS 241S e 4 q Assim, temos: Mas, sabemos que:
T
@4
Nq S
q @4 S
4
Nq S S B
q 4 S B
4 q . S
Nq 4S
4 q 2241
q 4S
Nq S 4 S q 4 S
3G 241S ; = j 2 G j 241S ; = 2 S NY Logo, há mínimo de interferência quando 241 ; S = C 0. Portanto:
3 2 1L 3 1 . G241 1 G241Z 2 L 3 2 Z Com N não inteiro já que a interferência é destrutiva. 11 – Uma ambulância, em velocidade constante e com sua sereia sempre ligada, passa ao lado de um observador parado. A tonalidade da sereia percebida pelo observador varia de um semitom da escala cromática entre quando ela está se aproximando, vindo de longe, e quando se afasta, já distante. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. Calcule a velocidade da ambulância (em km/h). 12 - Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos paralelos, com velocidades de mesma magnitude. Um deles vem apitando. A freqüência do apito percebida por um passageiro do outro trem varia entre os valores de 348 Hz, quando estão se aproximando, e 259 Hz, quando estão se afastando. A velocidade do som no ar é de 340m/s. a) Qual é a velocidade dos trens (em km/h)? b) Qual é a freqüência do apito?
Mk
Isolando U ¤
¤ ¤¥ ¤ W ¤¥
W£
^ U ¤¤¥ V {¦ W¤¥ } W£
K K 1 K 1 K M w K x 348 ¡ ; Mk M w K x 259 ¡ 1 K 1 K
V em i e ii, temos:
f {¦ } M mMk . Mk M 300,22 ¡
} {§ ] V } U {§ \ a Substituindo em i, temos: K K 1 K 1 340 P P Mk M w K x ⇒ 348 300,22 w K x K 25,2 2 90,72 ² 1 K 1 340 b) M 300,22 ¡ ¤ W£ ¤¥ ¤ W ¤¥
13 – Numa estrada de montanha, ao aproximar-se de um paredão vertical que a estrada irá contornar, um motorista vem buzinando. O eco vindo do paredão interfere com o som da buzina, produzindo 5 batimentos por segundo. Sabendo-se que a frequencia da buzina é de 200 Hz e a velocidade do som no ar é de 340 m/s, qual é a velocidade do carro (em km/h)? Freqüência recebida pela parede: M M w 1
1
K³ x K Freqüência recebida pelo carro (fonte é a montanha): K³ M M @1 B K K K K 1 K³ 1 K³ 2M K³ ∆M M M M w K³ x M M w K³ 1x K³ 1 K 1 K 1 K K³ P P ∆M 5 2.200.
K 4,2 15,11 ³ K³ 2 ² ;1 340 =
14 – Uma fonte sonora fixa emite som de freqüência υ0. O som é refletido por um objeto que se aproxima da fonte com velocidade u. O eco refletido volta para a fonte, onde interfere com as ondas que estão sendo emitidas, dando origem a batimentos com freqüência ∆υ. Mostre que é possível determinar a magnitude |u| da velocidade do objeto móvel em função de ∆υ, υ0 e da velocidade do som v. O mesmo princípio é utilizado (com ondas eletromagnéticas em lugar de ondas sonoras) na detecção do excesso de velocidade nas estradas com auxílio do radar. ^
M M ;1
]M M w 1 \
1
µ = Freqüência recebida pelo objeto K
f
µ x Freqüência recebida de volta objeto é a fonte K µ µ µ 1 K 1 K 2M K ∆M M M M w µ 1x µ µ x M w 1 K 1 K 1 K µ 2M K µ µ K∆M ∆M µ ∆M ∆M K 2M K |µ| 2M ∆M 1 K
15 - Dois carros (1 e 2) trafegam em sentidos opostos numa estrada, com velocidades de magnitudes v1 e v2. O carro 1 trafega contra o vento, que tem velocidade V. Ao avistar o carro 2, o motorista do carro 1 pressiona sua buzina, de freqüência υ0. A
velocidade do som no ar parado é v. Qual é a freqüência υ do som da buzina percebida pelo motorista do carro 2? Com que freqüência υ’ ela é ouvida pelo motorista de um carro 3 que trafega no mesmo sentido que o carro 1 e com a mesma velocidade?
Com a ação do vento, a velocidade do som no ar passa a ser: K K Á I) M M U
¤ ¤¥ Âà ¤ W T ¤¥ ÂÃ
W£
V ⇒ M M ; ¥ % = , com |v1| = |v2| %£ ¥
T
II) Se ambos os carros estão andando na mesma direção em MRU, a situação torna-se análoga a se ambos estivessem parados um ao lado do outro. Assim: M M 16 – Complete a teoria do efeito Doppler para movimento numa direção qualquer υ0 em que v = calculando a freqüência υ percebida por um observador Vcosθ 1 v quando a fonte, de freqüência υ0 está em repouso na atmosfera e o observador se move ao longo de uma direção P0P com velocidade de magnitude u. No instante considerado, a direção PF que liga o observador à fonte faz um ângulo θ com a direção do movimento. Verifique que se recai nos resultados obtidos no texto para θ = 0 e θ = π.
17 – Mostre que se pode obter o efeito Doppler a partir da transformação de Galileu. a) Considere primeiro uma onda sonora harmônica em uma dimensão, para uma fonte sonora em repouso no meio, de freqüência υ0. Escreva a expressão da onda num ponto x no instante t, no referencial S do meio. Considere agora um observador que se desloca com velocidade u em relação a S, na direção θ. Relacione x com a coordenada x’ do observador, no referencial S’ que se desloca com ele. Substitua na expressão da onda e interprete o resultado. b) Considere agora o caso em que o observador se move com velocidade u numa direção qualquer. Generalize o resultado de (a), usando a transformação de Galileu geral, e mostre que se obtém a mesma expressão para o efeito Doppler encontrada no Problema 16. Parta da expressão geral para uma onda plana. Expressão geral: ϕ(r, t ) = A cos(k.r − ωt + δ) = Re Aei ( k.r −ωt )
[
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18 - Um avião a jato supersônico está voando a Mach 2 (o dobro da velocidade do som). a) Qual é o ângulo de abertura do cone de Mach?
b) 2,5 s depois de o avião ter passado diretamente acima de uma casa, a onda de choque causada pela sua passagem atinge a casa, provoca um estrondo sônico. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. Qual é a altitude do avião em relação à casa?
a) v = 2V = 2.(340) = 680 m/s V V 1 senα = = = ⇒ α = 30° v 2V 2 b) Pelo desenho, temos que: tg(30°)=h/v.∆t ⇒ h = v.∆t.tg(30°) = 680.2,5.√3/3 ≈ h = 981 m
