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UNIDADE I: VÍNCULOS E APOIOS
São elementos de construção que impedem os movimentos de uma
estrutura. Em estruturas planas, podem ser classificados em três tipos:
I.1 – Vínculo Simples ou Móvel
Este tipo de vínculo impede o movimento de translação na direção
normal ao plano de apoio, fornecendo uma única reação (normal ao plano de
apoio).
Representação simbólica:
I.2 – Vínculo Duplo ou Fixo
Este tipo de vínculo impede o movimento de translação em duas
direções, ou seja, na direção normal e na direção paralela ao plano de
apoio, podendo fornecer duas reações, uma para cada plano.
Representação Simbólica:
I.3 - Engastamento
Este tipo de vínculo impede a translação em qualquer direção, além de
impedir a rotação do mesmo, através de um contra-momento, que bloqueia a
ação do momento de solicitação.
ESTRUTURAS
Denomina-se estrutura ao conjunto de elementos de construção,
composto com a finalidade de receber e transmitir esforços. As estruturas
planas são classificadas através de sua estaticidade em 3 tipos:
a) Estruturas Hipoestáticas: São instáveis quanto à estaticidade, e por
isso serão bem pouco utilizadas nesse nosso contexto. Recebem essa
classificação devido ao fato de o número de equações da estática ser
superior ao número de incógnitas.
Exemplo:
b) Estruturas Isostáticas: A estrutura é classificada como isoestática
quando o número de reações a serem determinadas coincide com o número de
equações da estática.
Exemplo:
c) Estruturas Hiperestáticas: A estrutura é classificada como hiperestática
quando as equações da estática são insuficientes para determinar as reações
nos apoios. Para tornar possível a solução destas estruturas, deve-se
também, utilizar as equações de deslocamento, estudadas posteriormente em
resistência dos materiais.
Exemplo:
UNIDADE II: EQUILÍBRIO DE FORÇAS E MOMENTOS
Para que um determinado corpo esteja em equilíbrio, é necessário que
sejam satisfeitas as seguintes condições:
1-) A resultante do sistema de forças atuante deve ser nula;
2-) A resultante dos momentos atuantes em relação a um ponto qualquer do
plano de forças será nula.
Desta forma conclui-se que, para forças coplanares, = 0; = 0 e
= 0.
II.1 – Força Axial ou Normal F
É definida como força axial ou normal, a carga que atua na direção do
eixo longitudinal da peça. É denominada normal, por ser perpendicular à
seção transversal da peça.
II.2 – Tração e Compressão
Em uma peça, a ação da força axial atuante, originará nesta, um
efeito de tração ou compressão.
Tração na peça: A peça estará tracionada quando a força axial
aplicada estiver atuando com o sentido dirigido para o seu exterior.
Compressão na peça: A peça estará comprimida quando a força axial
aplicada estiver atuando com o sentido dirigido para o interior.
II.3 – Ligação ou Nó
Nó é todo ponto de interligação dos elementos de construção,
componentes de uma estrutura.
II.4. – Tração e Compressão em Relação ao Nó
Peça Tracionada: Sempre que a peça estiver sendo tracionada, o nó
estará sendo "puxado".
Peça Comprimida: Sempre que a peça estiver sendo comprimida, o nó
estará sendo "empurrado".
II.5 – Composição e Decomposição de Forças em componentes ortogonais
Determinação de alfa (α) e beta (β) a partir de Fx e Fy .
Consiste na determinação da resultante de um sistema, podendo ser
resolvida gráfica ou analiticamente:
II.6 – Determinação Analítica da Resultante de duas Forças que Formam entre
Si um Ângulo .
Exercícios:
II.6.a) Determine as componentes ortogonais FX e FY de uma carga F de 100N
que forma 40º com a horizontal:
II.6.b) As componentes de uma carga F são respectivamente FX= 120N e FY=
90N. Determinar: a) A resultante F; b) O ângulo que F forma com a
horizontal; c) O ângulo que F forma com a vertical:
II.6.c) As cargas F1= 200N e F2= 600N formam entre si um ângulo = 60º.
Determinar a resultante das cargas (F) e o ângulo () que F forma com a
horizontal:
Determinação analítica da direção da resultante ()
II.7 – Método das Projeções
O estudo do equilíbrio neste método consiste em decompor as
componentes das forças coplanares atuantes no sistema, em x e y.
Exercícios:
II.7.a) A construção representada na figura está em equilíbrio. Calcular as
forças normais atuantes nos cabos (1), (2) e (3):
II.7.b) Considerando a figura em equilíbrio, calcular as forças normais
atuantes nos cabos (1), (2) e (3):
II.7.c) Uma carga de 1000kgf está suspensa conforme a figura. Determinar as
forças normais atuantes nas barras (1), (2) e (3):
II.8 – Momento de uma força
O momento de uma força em relação a um ponto qualquer de referência é
definido como sendo o produto entre a intensidade de carga aplicada e a
respectiva distância em relação ao ponto. Observa-se que a direção da força
e a distância estarão sempre defasadas de 90º. Na figura abaixo, o momento
da força F em relação ao ponto A será obtido através do produto "F.c", da
mesma forma que o produto da carga P em relação a A será obtido através de
"P.b". Adotaremos positivo (+), o momento que obedecer ao sentido horário.
Teorema de Varignon
O momento da resultante de duas forças concorrentes em um ponto "E"
qualquer do seu plano, em relação a um ponto "A" de referência, é igual a
soma algébrica dos momentos das componentes da força resultante, em relação
a este ponto.
Ou seja,
Rd = Hb + Vc
Exercícios:
II.8.a) Determinar as reações nos apoios das vigas a, b, c, d, carregadas
conforme mostram as figuras a seguir:
a) Viga solicitada por carga perpendicular:
b) Viga solicitada por carga inclinada:
c) Viga solicitada por carga paralela ao suporte principal:
d) Viga solicitada por torque:
UNIDADE III: CARGA DISTRIBUÍDA
Até o presente momento, estudou-se somente a ação de cargas
concentradas, isto é, cargas que atuam em um determinado ponto ou região
com área desprezível. Nesta Unidade III, os estudos passam a levar em
consideração a ação de cargas distribuídas, ou seja, cargas que atuam ao
longo de um trecho.
III.1 – Exemplos da cargas distribuídas
Exemplo III.1.1 – O próprio peso de uma viga
Exemplo III.1.2 – O peso de uma caixa d'água atuando sobre uma viga
Exemplo III.1.3 – O peso de uma laje em uma viga
Podem ser citados ainda como exemplos barragens, comportas, tanques, etc.
Observam-se nos exemplos anteriores que as superfícies das figuras
estão sujeitas a infinitas forças elementares, de áreas elementares
correspondentes. O somatório dessas cargas elementares expressará uma única
resultante, que é determinada calculando-se a área total da figura.
Exercícios:
III.1) Determinar as reações nos apoios, nas vigas solicitadas pela ação
das cargas distribuídas, conforme as figuras dadas:
III.1.a)
III.1.b)
III.1.c)
III.1.d)
III.2) Determinar a reação no apoio A e a força normal na barra (1), na
viga carregada conforme a figura dada. Qual o ângulo que RA forma com
a horizontal?
III.3) Determinar as reações nos apoios A e B, da construção representada
na figura dada. Qual o ângulo que RA forma com a horizontal?
Partindo-se para a construção de um esquema de forças, obtem-se o esquema
abaixo:
UNIDADE IV: CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTO DE INÉRCIA
IV.1- Centro de Gravidade
O centro de gravidade de uma superfície plana é um ponto localizado na
própria figura, ou fora desta, no qual se concentra a superfície.
A localização do ponto dar-se-á através das coordenadas XG e YG, que
serão obtidas através da relação entre o respectivo momento estático de
superfície e a área total desta.
IV.2 – Momento de Inércia de um Elemento de Superfície
O momento de inércia de um elemento de superfície é definido através
do produto entre a área do elemento e a distância que o separa do eixo de
referência.
Para simplificar a determinação do centro de gravidade, divide-se a
superfície plana em superfícies geométricas, cujos centros de gravidade são
conhecidos, tais como retângulos, triângulos, quadrados, etc. As
coordenadas do centro de gravidade são determinadas através da relação
entre somatório dos momentos de inércia dessas superfícies e as áreas
totais das mesmas.
FÓRMULAS DE ALGUNS CENTROS DE GRAVIDADE DE SUPERFÍCIES PLANAS
Exercícios:
IV.a) Determinar as coordenadas do centro de gravidade de cantoneira de
abas desiguais representada na figura a seguir:
IV.b) Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil "U",
representado na figura a seguir:
IV.c) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da superfície
hachurada, representada na figura a seguir:
IV.c) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da superfície
hachurada, representada na figura a seguir:
UNIDADE V: ATRITO E PLANO INCLINADO
Considerando-se as seguintes leis da Física:
1ª Lei de Newton: Todo corpo que não se encontra sob a ação de forças, não
sofre variação de velocidade. Isso significa que, se ele está parado,
permanece parado; se está em movimento, continua em movimento, mantendo
sempre a mesma velocidade.
2ª Lei de Newton: A resultante das forças que agem sobre um ponto material
é igual ao produto de sua massa pela aceleração adquirida.
F = ma (kgm/s2 = N)
Peso de um corpo é a força com que a Terra o atrai: P = mg
3ª Lei de Newton: Sempre que um corpo B exerce uma força sobre um corpo A,
este reagirá exercendo em B uma outra força, de mesma intensidade e
direção, mas de sentido contrário.
V.1- ATRITO
Conceitua-se Atrito como a resistência que os corpos em contato
oferecem ao movimento. É provocado pela rugosidade (aspereza) existente nas
superfícies em contato. Enquanto as superfícies são deslocadas, uma em
relação a outra, as mesmas tendem a se interpenetrarem, oferecendo
resistência ao movimento relativo.
Tipos de Atrito:
V.1.1- Atrito Estático: É aquele que atua enquanto não há deslizamento.
A intensidade da força de atrito varia do zero (quando não há solicitação
de movimento) até um valor máximo, denominado força de atrito de destaque
(ou de arranque).
0 FATRest FATRdest onde,
1ª) A força de atrito estático é independente da área de contato entre as
duas superfícies;
2ª) A força de atrito estático depende da natureza das superfícies de
contato;
3ª) A força de atrito estático é proporcional à força normal (perpendicular
às superfícies).
FAT = µe N
O coeficiente de atrito (µe ou µd) permite saber se o solo exerce muito ou
pouco atrito sobre o corpo que está em contato com ele. Se o coeficiente de
atrito é grande, o solo é muito áspero; se o coeficiente de atrito é
pequeno, o solo é liso.
V.1.2- Atrito Dinâmico: É aquele que atua quando há movimento relativo
entre os corpos;
V.2- Plano Inclinado
Exercícios
V.1.a) Um bloco tem massa igual a 8kg e repousa sobre uma superfície
horizontal. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o bloco e a
superfície são µe e µd iguais a 0,4 e 0,3, respectivamente. Aplica-se ao
bloco uma força motriz horizontal Fm. Determine a intensidade da força de
atrito que atua sobre o bloco quando:a) Fm=0N; b)Fm=10N; c)Fm=50N.
Considerar g=10m/s2.
V.1.b) Dois blocos, A e B, de massa respectivamente iguais a 3kg e 7kg,
apóiam-se sobre uma mesa horizontal. O coeficiente de atrito entre os
blocos e a mesa vale 0,4. Aplica-se ao bloco A uma força horizontal
constante de intensidade F=50N. Sabendo-se que g=10m/s2, determine: a) a
aceleração comunicada ao sistema; b) a intensidade da força tensora da
corda.
V.2.a) No sistema da figura, os corpos A e B tem massa mA=6kg e mB=4kg. O
plano inclinado é perfeitamente liso. O fio é inextensível e passa sem
atrito pela polia. Considerando g=10m/s2. Responder: a) Qual a aceleração
dos corpos A e B? b)Qual a intensidade da tração no fio?
V.2.b) No esquema a seguir, o coeficiente de atrito estático entre o bloco
A e o plano, vale 0,3 e o coeficiente de atrito dinâmico vale 0,2. As
massas de A e B são respectivamente iguais a 10kg e 8kg, e o sistema é
abandonado a partir do repouso. O fio e a polia são ideais e g=10m/s2.
Responder: a) Qual a intensidade da força de atrito entre o bloco A e o
plano inclinado? B) Qual a aceleração do sistema?
UNIDADE VI: TRABALHO E ENERGIA
VI.1- ENERGIA
A energia encontra-se em todo o Universo. Ela se manifesta de formas
diferentes, tais como: energia mecânica, calorífica, elétrica, química,
magnética, nuclear, etc. As fontes de energia classificam-se em não-
renováveis e renováveis. Dentre as não-renováveis podem-se citar os
combustíveis nucleares, os combustíveis fósseis, etc. Como energias
renováveis podem-se citar o Sol, os ventos, as ondas, a biomassa, etc. Seja
qual for a forma que assuma, a energia tem a capacidade de fazer algo
funcionar. Logo, pode-se dizer que energia é a capacidade de realizar
trabalho.
VI.2- TRABALHO
Num conceito geral, a palavra "trabalho" é usada para designar
qualquer atividade exercida por um ser humano. Neste estudo, o conceito de
trabalho tem o significado de trabalho mecânico. Desta forma, o mesmo será
chamado simplesmente de trabalho.
Uma força aplicada num corpo realiza um trabalho quando produz um
deslocamento desse corpo.
Logo,
Ta,b = Fd (Nm = J)
Quando a força não tem a mesma direção do deslocamento, o trabalho é
então representado pela fórmula:
Ta,b = Fd cosα (Nm = J)
Exercícios
VI.2.a) Um corpo de massa 2kg e velocidade inicial 2m/s, desloca-se em
linha reta por 3m, adquirindo velocidade final de 3m/s, em movimento
uniformemente variado. Qual o trabalho realizado pela força resultante
nesse deslocamento?
VI.2.b) Um corpo de massa 6kg é lançado horizontalmente com velocidade de
20m/s, sobre uma superfície plana e horizontal. O coeficiente de atrito
entre o plano e a superfície é 0,2. Considerando g=10m/s2, determinar: a) O
trabalho realizado pela força de atrito até o corpo atingir o repouso. b) O
trabalho realizado pela força peso e pela reação normal do apoio durante
todo o percurso.
VI.2.1- Trabalho da força peso
Considerando um corpo de massa m que se desloca de um ponto A (nível
mais alto) para um ponto B (nível mais baixo), segundo uma trajetória
qualquer:
Sendo o desnível entre A e B igual a h, P o peso do corpo e d o
deslocamento entre A e B, o trabalho realizado pela força peso é dado por:
Ta,b = Pd cosα Ta,b = Ph Ta,b = mgh (Nm = J)
Exercício
VI.2.c) Um corpo com massa de 2kg é abandonado em repouso num plano
inclinado. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é 0,2.
Considerando g=10m/s2, determinar os trabalhos da força peso e da força de
atrito no percurso do corpo, de A até B.
VI.2.2- Potência
A potência média de um sistema ou de uma força que realiza um
trabalho é o quociente entre o trabalho realizado e o intervalo de tempo
gasto na realização desse trabalho.
Pot. Méd. = T/ t (J/s = W)
A potência média pode ser dada por:
Pot. Méd. = T/ t = Fd/Δt , onde Pot. Méd. = Fvm
Se o tempo gasto na realização do trabalho for muito pequeno (Δt 0), ficará
caracterizada a potência instantânea. Neste caso, tem-se:
Pot. = Fv onde
Pot. = Potência Instantânea;
F = Intensidade da força aplicada;
V = Velocidade Instantânea
Como a unidade watt é uma unidade de potência muito pequena, usam-se
unidades de 1000W, denominadas de quilowatts (kW).
1kW = 1000W
Cavalo-vapor: cv = 735W
Horse-power: hp = 746W
megawatt: 1MW = 106 W
Se a energia é transferida sob a forma de trabalho, a potência é
chamada de potência mecânica.
Se a energia é transferida sob a forma de calor, a potência é chamada
de potência térmica.
Se a energia é transferida sob a forma de energia elétrica, a
potência é chamada de potência elétrica.
VI.2.3- Rendimento
Uma máquina é um dispositivo mecânico utilizado para executar uma
tarefa de modo mais rápido ou mais conveniente.
Toda máquina transforma energia, além de multiplicar força.
Entretanto uma máquina não multiplica potência. Isto quer dizer que a
potência fornecida por uma máquina não pode ser maior do que a potência
nela aplicada, pois durante o seu funcionamento há dissipação de energia
devido principalmente ao atrito.
Por exemplo: para um trem elétrico funcionar, deve-se fornecer a ele
uma potência denominada potência elétrica ou potência total (Pt); por outro
lado, o trem desenvolve uma potência útil (Pu), que provoca o seu
deslocamento.
A potência útil é sempre menor que a potência total, pois uma parte
da potência total é utilizada para vencer as resistências passivas,
representadas principalmente pelo atrito. A parcela da potência total que é
dissipada é denominada potência dissipada (Pd) ou potência perdida.
A relação entre essas grandezas é dada por
Pt = Pu + Pd
Para qualificar uma máquina quanto a sua eficiência, define-se a
grandeza rendimento (η) como sendo o quociente entre a potência útil e a
potência total recebida.
η = Pu /Pt
Exercício
VI.2.d) A potência de um carro geralmente é medida pela velocidade máxima
que ele é capaz de atingir em 10s de movimento, em linha reta, a partir do
repouso. Para um certo carro, essa velocidade máxima é 108km/h. Nessa
situação, responda:
- Qual o valor dessa velocidade máxima, em metros por segundo?
- Qual a aceleração média do carro nesse trecho, em metros por segundo ao
quadrado?
- Sabendo-se que a massa do carro é 1000kg, aproximadamente, qual a
potência média (em watts) que ele desenvolve nesse trecho, desprezando-se
os atritos?
- Qual a potência do carro no instante 10s?
VI.2.e) Uma bomba é acionada por um motor de 5cv e o seu rendimento é 48%.
A bomba leva água para um reservatório situado a 27m acima do nível do
solo. Considerando g=9,8m/s2 e dH2O=1kg/l, determinar o volume de água
bombeada em 1h.
UNIDADE VII: REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MELCONIAN, Sarkis, Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais, 18ª
Edição, São Paulo, SP: 2007, Editora Érica Ltda, 361 p.
MERIAM, James L., Estática, 2ª Edição, Rio de Janeiro, RJ, 1985, Livros
Técnicos e Científicos Editora Ltda, 326 p.
BONJORNO, José Roberto, BONJORNO, Regina Azenha, BONJORNO, Walter, RAMOS,
Clinton Márcico, Física: História & Cotidiano, Ensino Médio, Volume Único,
2ª Edição, São Paulo, SP: 2005, FTD, 672 p.
