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Mecânica dos Fluidos – uma aplicação da lei de Bernoulli. ¾ Problema: Determinar o tempo total de esvaziamento de um reservatório com água, cilíndrico, aberto no topo, de altura H e de base B, através de um orifício de diâmetro d localizado na base do reservatório. ¾ Solução: Considerando uma linha de corrente entre os pontos 1 (topo do reservatório) e 2 (orifício na base) podemos empregar a lei de Bernoulli para escoamentos, mas antes se deve determinar a velocidade com que a água sai do reservatório nos respectivos pontos. ¾ Velocidade em 1 (topo do reservatório): Com o topo do reservatório aberto, consideramos que o fluido está sob influência somente da pressão atmosférica e, por isso, a sua velocidade varia muito pouco em relação ao tempo. A velocidade instantânea em 1 será então a derivada da função altura h(t) quando ∆t tende a zero. Assim V1 =
dh . dt
¾ Velocidade em 2: No ponto 2, utilizaremos a lei de Bernoulli para determinar a velocidade: p0 V12 p V2 + + gh1 = 0 + 2 + gh2 ρ1 2 ρ2 2 Considerando no ponto 2 h2 = 0, p1 = p2 = p0 , V1 ≈ 0 e ρ1 = ρ2 = ρágua , temos: V2 2 gh1 = ⇒ V2 2 = 2 gh1 ⇒ V2 = 2 gh 2
¾ Tempo de esvaziamento: Agora com as equações das velocidades em 1 e 2, podemos relacioná-las através da equação da continuidade V1 A1 = V2 A2 onde A1 e A2 são respectivamente as áreas do topo e do orifício na base do reservatório, logo
⎛ πd 2 ⎞⎟ dh ⎛⎜ π D 2 ⎞⎟ ⎟⎟ = 2 gh ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ dt ⎝ 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 4 ⎠⎟ Separando variáveis temos dh 2 D = dt
(
)
2 gh d 2
⎞ dh ⎛⎜ d 2 = ⎜ 2 2 g ⎟⎟⎟ dt . ⎠⎟ h ⎜⎝ D Agora, como a altura varia de 0 a H e o tempo de 0 a t, esta equação pode ser integrada, resultando em
∫
H
h 0
−1
2
⎛ d2 ⎞ dh = ⎜⎜ 2 2 g ⎟⎟⎟ ⎜⎝ D ⎠⎟
∫
⎛ d2 ⎞ 2 H = ⎜⎜ 2 2 g ⎟⎟⎟ t . ⎜⎝ D ⎠⎟ Resolvendo a equação para t, obtemos t=
2 H ⎛ d2 ⎞ ⎜⎜ 2 g ⎟⎟⎟ 2 ⎜⎝ D ⎠⎟
t
dt 0
D 2 2 gH t= . gd 2 Supondo que H = 30 m, D = 5 m, d = 2,5 m e considerando g = 9,8 m/s2 , o tempo pode ser calculado
(5) (2.9,8.30) 25.24, 25 606, 25 t= = = = 9,898 s . 2 61, 25 61, 25 9,8.(2,5) 2