Transcript
1 a1Q1: Seja ABCDEF GH um cubo de aresta unit´aria de E 3 e −−→ −−→ −−→ considere o espa¸co V 3 orientado pela base {CD, CB, CH}. Ent˜ao podemos afirmar que: −−→ −−→ −→ a) EB ∧ ED = GA −−→ −−→ −→ b) EB ∧ ED = AG −−→ −−→ −−→ c) EB ∧ ED = EH −−→ −−→ −→ d) EB ∧ ED = EA −−→ −−→ −−→ e) EB ∧ ED = EG → a1Q2: Sejam B uma base ortonormal positiva de V 3 , − u = (−3λ, −2λ, λ)B → − → − → e v = (1, 0, −1)B . Se u forma um ˆangulo agudo com − v e a → − → − ´area do paralelogramo determinado por u e v ´e 6, ent˜ao o valor de λ ´e: √ 2 a) √2 b) 3 √ 2 c) 2 √ d) - 3 √ e) 3 2 → → → a1Q3: Sejam − u,− v e− w trˆes vetores de V 3 . → − → − → − → − Se x = ( w ∧ v ) ∧ u ent˜ao: → → → a) {− x,− u,− v } ´e linearmente dependente. → − → − → b) { x , w , − u } ´e linearmente dependente. → − → − → − c) { x , w , v } ´e linearmente dependente. → → → → → → d) {− x,− w,− v } ´e linearmente dependente se e somente se {− u,− v ,− w} ´e linearmente dependente. − → → e) {→ v ,− w,− u } ´e linearmente dependente.
2 a1Q4: Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (I) O volume do tetraedro ABCD ´e dado por 1 −−→ −→ −−→ V = |AB ∧ AC.AD|. 3 (II) Quaisquer que sejam A, B, C, D em E 3 , temos que −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0. (III) Seja ABC um triˆangulo de ´area 1. Ent˜ao a distˆancia de um ponto D de E 3 ao plano determinado por A, B e C ´e dada por 1 −−→ −−→ −−→ |AB ∧ BC.CD|. 2 Podemos afirmar que: a) Apenas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. b) Apenas (II) e (III) s˜ao verdadeiras. c) Apenas (I) e (III) s˜ao verdadeiras. d) As afirma¸c˜oes (I), (II) e (III) s˜ao verdadeiras. e) Apenas (I) ´e verdadeira. → → − → a1Q5: Sejam − a , b ,− c vetores de V 3 . Considere as afirma¸c˜oes: → → → (I) Se − a n˜ao ´e o vetor nulo ent˜ao − a .− a > 0. → → − − → → − → → (II) Se − a ∧ b =− a ∧→ c ent˜ao {− a , b ,− c } ´e linearmente dependente. → → − → (III) Se {− a , b ,− c } ´e linearmente dependente ent˜ao → → − − → − a ∧ b =− a ∧→ c. Temos que: a) As afirma¸c˜oes (I), (II) e (III) s˜ao verdadeiras. b) As afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao falsas. c) As afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao falsas. d) Somente (I) ´e verdadeira. e) Somente (III) ´e falsa.
3 → − → a1Q6: Sejam B uma base ortonormal de V 3 , − a = (0, 1, 1)B , b = → − → → → (0, 1, 0)B , − c = (1, 1, 0)B . Seja − u um vetor unit´ario tal que − u. b > → → → 0, − u ´e ortogonal a − c e a proje¸c˜ao ortogonal de − u sobre o vetor 1 1 → − → a ´e (0, , )B . Ent˜ao as coordenadas de − u s˜ao: 2 2 2 2 1 a) (− , , )B 3 3 3 2 2 1 b) (− , , − )B 3 3 3 c) (0, 0, 1)B 1 1 1 d) ( , , )B 3 3 3 e) (0, 1, 0)B a1Q7: Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (I) Seja ABC um triˆangulo retˆangulo de hipotenusa AC e cateto −−→ −−→ −−→ unit´ario AB, e seja X ∈ E 3 tal que AX ∧ AB = BC. Ent˜ao existe −−→ −−→ −−→ −−→ λ ∈ IR tal que AX = AB ∧ BC + λAB. (II) Sejam A e B pontos de E 3 com AB unit´ario, m ∈ IR e X ∈ E 3 −−→ −−→ −−→ → −−→ −−→ → tais que AX.AB = m. Ent˜ao AX = − u + mAB, em que − u ⊥ AB. (III) Dados A, B e C pontos n˜ao-colineares de E 3 , seja A a ´area 1 −−→ −−→ do triˆangulo ABC. Ent˜ao ||AB ∧ BC|| = A. 2 Podemos afirmar que: a) As afirma¸c˜oes (I), (II) e (III) s˜ao verdadeiras. b) Apenas (III) ´e verdadeira. c) Apenas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. d) As afirma¸c˜oes (I), (II) e (III) s˜ao falsas. e) Apenas (II) e (III) s˜ao verdadeiras.
4 a1Q8: Assinale a afirmativa falsa: a) Uma matriz mudan¸ca de base sempre tem determinante diferente de zero. b) Existem somente duas maneiras de orientar o espa¸co V 3 . → → c) Os vetores − u e− v s˜ao linearmente dependentes se e somente → − → − → − → se | u . v | = || u || ||− v ||. d) Se o ˆangulo entre dois vetores ´e 180o ent˜ao eles s˜ao paralelos. e) Um vetor pode ser representado somente por um n´ umero finito de segmentos orientados. → → → a1Q9: Seja E = {− e1 , − e2 , − e3 } uma base ortonormal de V 3 e seja 3 → − → − → − → → → → v ∈ V tal que v ⊥ e2 + − e3 , ||− v || = 2 e o ˆangulo entre − v e− e1 π → − → − → − ´e . Denotando por α e β os ˆangulos que v faz com e2 e e3 , 4 respectivamente, podemos afirmar que: π 2π a) α = β = ou α = β = . 3 3 π 2π 2π π b) α = , β = ou α = ,β = . 3 3 3 3 π 2π c) α = e β= . 3 3 2π π d) α = e β= . 3 3 e) α = −
π 3
e
β=−
2π . 3
5 → − → a1Q10: Sejam B uma base ortonormal positiva, − a = (1, 0, 1)B , b = → → → → (1, 0, 0)B e − c = (0, 1, 0)B . Seja E = {− e1 , − e2 , − e3 } uma base → − → − ortonormal negativa tal que: e1 ´e paralelo a a e tem o mesmo → → − → → sentido de − a;− e2 = β b +γ − c (β, γ ∈ IR, γ > 0). Podemos afirmar que: √ √ √ √ 2 2 2 2 , 0, )B , (0, 1, 0)B , ( , 0, − )B }. a) E = {( 2 2 2 2 √ √ √ √ 2 2 2 2 b) E = {( , 0, )B , (0, 1, 0)B , (− , 0, )B }. 2 2 2 2 √ √ √ √ 2 2 2 2 c) E = {(− , 0, − )B , (0, 1, 0)B , (− , 0, )B }. 2 2 2 2 √ √ √ √ 2 2 2 2 d) E = {( , 0, )B , (0, −1, 0)B , (− , 0, )B }. 2 2 2 2 √ √ √ √ 2 2 2 2 e) E = {( , 0, )B , (0, −1, 0)B , ( , 0, − )B }. 2 2 2 2 → → a1Q11: Sejam B uma base ortonormal positiva, − u = (1, 0, 1)B , − v = → − (2, 1, 2)B , w = (0, α, α)B , e V o volume do paralelep´ıpedo deter→ → → minado por − u,− v e− w . Podemos afirmar que: a) V = 3 se e somente se α = −3. b) V = 3 se e somente se α = 3. c) V = 3 se e somente se α = 3 ou α = −3. d) V = 3 se e somente se α 6= 3 e α 6= −3. e) N˜ao existe α ∈ IR tal que V = 3. a1Q12: Dado o tetraedro OABC, sejam D o ponto m´edio de AC e −→ −−→ −−→ M o ponto m´edio de BD. Denotando por E a base {OA, OB, OC} de V 3 , temos que: 1 1 1 1 1 −−→ −−→ a) BM = ( , , ) d) BM = (0, − , ) 4 2 4 E 2 2 E 3 1 1 1 1 1 −−→ −−→ e) BM = ( , − , ) b) BM = ( , − , ) 4 2 4 E 4 2 4 E 3 1 1 −−→ c) BM = ( , , ) 4 2 4 E
6 → → a1Q13: Sejam − v e− w dois vetores linearmente independentes de 3 → − → → V . Seja u a proje¸c˜ao ortogonal do vetor − v sobre o vetor − w. Considere as afirma¸c˜oes: → → → → → → (I) ||− w ||− u .− v = ||− u ||− v .− w. 2 → − → − → − (II) u . v = || u || . → → → → (III) − v .− w =− u .− w. Podemos afirmar que: a) As afirma¸c˜oes (I), (II) e (III) s˜ao verdadeiras. b) Apenas a afirma¸c˜ao (III) ´e a verdadeira. c) Apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e a verdadeira. d) Apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao verdadeiras. e) Apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao verdadeiras. → − → a1Q14: Sejam B uma base ortonormal de V 3 , − a = (0, 1, 1) B, b = √ → → (0, 1, 0)B , − c = (1, 1, 0)B . Seja − v um vetor de norma 8, que o → − → → → forma um ˆangulo de 60 com a e tal que {− a ,− c ,− v } ´e linearmente dependente. Podemos afirmar que: → → a) − v = (2, 2, 0)B ou − v = (−2, 0, 2)B → − → b) v = (−2, 2, 0)B ou − v = (−2, 0, 2)B → − → − c) v = (2, 2, 0)B ou v = (−2, 0, −2)B → → d) − v = (−2, −2, 0)B ou − v = (2, 0, 2)B → − → − e) v = (2, 2, 0)B ou v = (−2, 2, 0)B → → a1Q15: Sendo − u e− v vetores n˜ao-nulos de V 3 e θ o ˆangulo entre → − → u e− v , podemos afirmar que: → → → → → → → → a) − u .− v = ||− u || ||− v ||cosθ, − u ∧− v = ||− u || ||− v ||senθ. − → → → → → → → → → b) → u .− v = ||− u || ||− v ||senθ, ||− u ∧− v ||2 = ||− u ||2 ||− v ||2 − (− u .− v )2 . → → → → → → → → → → c) − u .− v = ||− u || ||− v ||cosθ, ||− u ∧− v ||2 = ||− u ||2 ||− v ||2 + (− u .− v )2 . → → → → → → → → → → d) − u .− v = ||− u || ||− v ||cosθ, ||− u ∧− v ||2 = ||− u ||2 ||− v ||2 − (− u .− v )2 . → → → → e) − u ∧− v ´e paralelo a − u e− v.
7 a1Q16: O s´olido da figura ´e um prisma triangular reto; suas bases s˜ao triˆangulos equil´ateros e suas faces laterais s˜ao quadrados de lado 2. Consideremos uma orienta¸c˜ao de V 3 de modo −→ −−→ −−→ −−→ → → que {CA, CB, CF } ´e uma base positiva. Sejam − u = DE, − v = → − → − → v − u ∧− v − → − −−→ − −−→ − → → − → → → DF , w = DC, i = − , j = − , k = i ∧ j . Podemos → ||→ v || ||→ u ∧− v || afirmar que: √ − √ → → → − → − → → → → → a) − u ∧− v =2 3j, − w = 2 i + 2 j , (− u ∧− v ).− w = 4 3. → → − − → − b) { i , j , k } ´e uma base negativa. → → − − → − c) { i , j , k } n˜a√o ´e uma base ortonormal. √ → → − → − → − → → → → → d) − u ∧− v = −2 3j, − w = 2 i − 2 j , (− u ∧− v ).− w = 4√ 3. √ → − − → − → − → → → → → e) − u ∧− v =2 3j, → w = 2 i − 2 j , (− u ∧− v ).− w = −4 3. → → − − → − a1Q17: Seja E = { i , j , k } uma base ortonormal positiva de → − → − → → → → V 3 . Seja F = {− u,− v ,− w } outra base de V 3 , com − u = i +3k, → → → − − → − → − → − v =3j, − w = i + j + k . A afirma¸c˜ao falsa ´e: a) F ´e uma base positiva de V 3 . b) F n˜ao ´e uma base ortonormal de V 3 . c) {(0, 0, 1)E , (1, 0, 0)E , (0, 1, 0)E } ´e uma base ortonormal de V 3. 1 0 1 d) a matriz de mudan¸ca de base de E para F ´e 0 3 1 . 3 0 1 e) a matriz de mudan¸ca de base de E para F tem determinante diferente de 0. a1Q18: Seja E uma base ortonormal positiva de V 3 . Considere −−→ −→ −−→ os vetores AB = (1, 0, 1)E , AC = (2, −1, 0)E e AD = (0, −1, 1)E . A altura h do tetraedro ABCD relativa ao v´ertice D ´e: √ √ 6 6 d) h = a) h = 12 6 √ √ 6 6 b) h = e) h = 3 2 √ 6 c) h = 4 → → a1Q19: Sejam B uma base ortonormal positiva, − v = (1, −1, 0)B , − w = → − → − → − → − (1, 1, 1)B e a = (1, 0, 2)B . Se u ´e um vetor ortogonal a v e w , e → − → u forma um ˆangulo obtuso com − a , ent˜ao podemos afirmar que:
8 − a) → u = (−λ, −λ, 2λ) (λ ∈ IR, λ 6= 0). → b) − u = (−λ, −λ, 2λ) (λ ∈ IR, λ > 0). → c) − u = (−λ, −λ, 2λ) (λ ∈ IR). − d) → u = (−λ, −λ, 2λ) (λ ∈ IR, λ < 0). → e) − u = (−α, −β, γ) (α, β, γ ∈ IR). → → − → a1Q20: Dados os vetores − a , b ,− c de V 3 , a afirma¸c˜ao falsa ´e: → → − → → − → − → → a) (− a − b +− c ) ∧ (−− a + b −− c)= 0. → − → → → b) Se {− a ,− c } ´e linearmente independente e − a . b 6= 0 ent˜ao → − → − → → → → (− a ∧ b)∧− c 6= − a ∧(b ∧− c ). → − → − → → → → c) Se − a.b =− a .− c = −1 ent˜ao o ˆangulo entre − a e b coincide → → com o ˆangulo entre − a e− c e ambos valem π. → − → → − → → → → d) − a.b =− a .− c se e somente se − a ⊥(b −− c ). → − → → → e) (− a ∧ b)∧− c ´e ortogonal a − c.
