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1a Lista de Exerc´ıcios de MAT 2457 Escola Polit´ ecnica - 1o semestre de 2006
1. Determine ~x em fun¸ca ˜o de ~u e ~v na equa¸ca ˜o: 2~x − 3~u = 10(~x + ~v ). 2. Resolva o sistema nas inc´ ognitas ~x e y~:
~x + 2~y = ~u 3~x − ~y = 2~u + ~v
−−→ −−→ −−→ −→ −−→ 3. Dados quatro pontos A, B, C e X tais que AX = mXB, exprima CX em fun¸ca ˜o de CA e CB (e m) (com A 6= B e m 6= −1).
−−→ −−→ Sugest˜ ao: Na rela¸ca ˜o AX = mXB fa¸ca aparecer C em ambos os membros. −−→ −−→ −−→ −−→ 4. S˜ ao dados um triˆ angulo ABC e os pontos X, Y e Z tais que AX = mXB BY = nY C −→ −→ −−→ −→ −− → −→ −−→ CZ = pZA. Exprima CX, AY e BZ em fun¸ca ˜o de CA e CB (e m, n, p) (m, n, p 6= −1). −−→ −−→ 5. Num triˆ angulo ABC ´e dado X sobre AB tal que k AX k= 2 k XB k e ´e dado Y sobre BC tal −−→ −−→ que k BY k= 3 k Y C k. Mostre que as retas CX e AY se cortam. −−→ −→ Sugest˜ ao: Suponha CX = λAY e chegue a um absurdo. 6. Se (A, B) ´e um representante de ~u 6= ~0, e (C, D) um representante de ~v 6= ~0, prove que: AB//CD ⇐⇒ existe λ ∈ IR tal que ~u = λ~v . − − → −−→ 7. Sejam A, B e C trˆes pontos de E 3 , e sejam ~c = BA e ~a = BC. Mostre que o vetor ˆ ~u = k~~cck + k~~aak ´e paralelo a ` bissetriz do a ˆngulo ABC. Interprete este resultado, relacionando-o com uma conhecida propriedade dos losangos. Sugest˜ ao: Calcule os co-senos dos a ˆngulos entre ~u e ~c e entre ~u e ~a, e compare-os. Nos exerc´ıcios de 8. a 15. assumimos que as coordenadas dos vetores est˜ ao expressas em rela¸ca ˜o a uma base ortonormal. √ ~ = (2, −4, 6). Dos ”~u” 8. Determine ~u tal que k ~u k= 3 3 e ~u ´e ortogonal a ~v = (2, 3, −1) e a w encontrados, qual o que forma a ˆngulo agudo com o vetor (1, 0, 0)? √ 9. Determine ~u tal que k ~u k= 2, a medida em graus do a ˆngulo entre ~u e (1, −1, 0) seja 45, e ~u ⊥ (1, 1, 0). √ 10. A medida em radianos do a ˆngulo entre ~u e ~v ´e π4 . Sabendo que k ~u k= 5 e k ~v k= 1, determine a medida em radianos do a ˆngulo entre ~u + ~v e ~u − ~v . −− → −−→ 11. Calcule AB · DA sabendo que o tetraedro ABCD ´e regular, de aresta unit´ aria. 12. Determine a proje¸ca ˜o do vetor w ~ na dire¸ca ˜o do ~v nos casos a) b)
w ~ = (1, −1, 2) w ~ = (−1, 1, 1)
~v = (3, −1, 1) ~v = (−2, 1, 2)
13. Decomponha w ~ = (−1, −3, 2) como soma de dois vetores w ~1 e w ~ 2 , com w ~ 1 paralelo ao vetor (0, 1, 3) e w ~ 2 ortogonal a este u ´ltimo. 14. Decomponha w ~ = (1, 0, 3) como soma de dois vetores w ~1 e w ~ 2 , com w ~ 1 , (1, 1, 1), (−1, 1, 2) linearmente dependentes e w ~ 2 ortogonal a estes dois u ´ltimos.
15. (Processo de ortonormaliza¸ca ˜o de Gram-Schmidt.) Dada a base ( f~1 , f~2 , f~3 ) determine uma base ortonormal (~e1 , ~e2 , ~e3 ) tal que ~e1 //f~1 e ~e2 seja combina¸ca ˜o linear de f~1 e f~2 . Aplica¸ c˜ ao: f~1 = (1, 2, 2), f~2 = (1, 0, 1), f~3 = (1, 1, 1). 16. Mostre que as diagonais de uma paralelogramo tˆem mesma medida se e somente se o paralelogramo ´e um retˆ angulo.
Sugest˜ ao: Traduza para k ~u + ~v k=k ~u − ~v k ⇐⇒ ~u ⊥ ~v . 17. Mostre que as diagonais de um losango: (a) s˜ ao perpendiculares e reciprocamente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares, ele ´e um losango; (b) bissectam os a ˆngulos internos. 18. Dˆe a matriz de mudan¸ca da base F = (f~1 , f~2 , f~3 ) para a base E = (~e1 , ~e2 , ~e3 ) nos casos (a) f~1 = −3~e1 + ~e2 + ~e3 (b) f~1 = ~e1 − ~e3 ~ f2 = ~e1 − 2~e2 + ~e3 f~2 = 3~e1 f~3 = ~e1 + 2~e2 f~3 = 4~e1 − 3~e2 19. Sendo ~v = −4f~1 + f~2 − f~3 determine ~v em fun¸ca ˜o de ~e1 , ~e2 , ~e3 , nos casos do Exerc´ıcios 1. 20. Sendo E = (~e1 , ~e2 , ~e3 ), F = (f~1 , f~2 , f~3 ) bases, com f~1 = 2~e1 − ~e3 f~2 = ~e2 + 2~e3 f~3 = 7~e3 ew ~ = ~e1 + ~e2 + ~e3 , determine w ~ em termos da base F . 21. Sejam E = (~e1 , ~e2 , ~e3 ), F = (f~1 , f~2 , f~3 ), G = (~g1 , ~g2 , ~g3 ) bases, com √ 3~ 1 f1 − f~3 ~e1 = 2 2 √ 1 3~ f3 ~e2 = f~1 + 2 2 ~e3 = f~2
~g1 = ~e1 + ~e2 + ~e3 ~g2 = ~e1 + ~e2 ~g3 = ~e1
Determine todas as matrizes de mudan¸ca. 22. Na figura abaixo, temos um cubo de aresta unit´ aria. Considere os vetores: −−→ −−→ −−→ ~e1 = DH, ~e2 = DC, ~e3 = DA, −−→ −−→ −−→ −−→ ~u = CD + CB, ~v = DC + CB −−→ ew ~ = GC
(a) Explique por que E = (~e1 , ~e2 , ~e3 ) ´e uma base ortonormal. (b) Calcule as coordenadas de ~u, ~v e w ~ em rela¸ca ˜o a ` base E. Calcule k ~u k e k ~v k. ~ (c) Mostre que F = (f~1 , f~2 , f~3 ) ´e uma base ortonormal, sendo f~1 = k~u~uk , f~2 = k~~vvk e f~3 = w. (d) Obtenha a matriz MF,E de mudan¸ca da base F para a base E e a matriz ME,F de mudan¸ca de E para F . −−→ (e) Calcule as coordenadas do vetor HB em rela¸ca ˜o a ` base E e em rela¸ca ˜o a ` base F . 23. Seja E = (~i, ~j, ~k) uma base ortonormal. Sendo ~u = √13 (~i + ~j − ~k) ~v = √12 (~j + ~k) e ~ ´e uma base ortonormal e calcule as coordenadas w ~ = √16 (2~i − ~j + ~k), prove que F = (~u, ~v , w) ~ ~ ~ do vetor ~a = 3i − 2j − k em rela¸ca ˜o a ` base F . 24. Verifique se as bases tˆem mesma orienta¸ca ˜o nos casos
25. Idem para E = (~e1 , ~e2 , ~e3 ) e F = (f~1 , f~2 , f~3 ) nos casos a) f~1 = 2~e1 − ~e2 − ~e3 b) f~1 = ~e1 + ~e2 + ~e3 ~ f2 = ~e1 − ~e3 f~2 = ~e1 − ~e2 + ~e3 ~ f3 = ~e2 f~3 = ~e1 + ~e2 − ~e3 26. Sendo E = (~e1 , ~e2 , ~e3 ) uma base positiva e F = (α~e1 , β~e2 , γ~e3 ) tamb´em, qual a rela¸ca ˜o entre os n´ umeros α, β, γ? 27. Mostre que, sendo E = (~u, ~v , w) ~ e F = (~u, ~v , ~r) bases de orienta¸ca ˜o oposta, e ~r//w, ~ ent˜ ao ~r = λw ~ com λ < 0 (isto ´e, ~r e w ~ tˆem sentido contr´ ario). Em particular, se ~r e w ~ tˆem normas iguais, resulta λ = −1 e portanto ~r = −w. ~ Nos exerc´ıcios seguintes as coordenadas dos vetores s˜ ao dadas em rela¸ca ˜o a uma base ortonormal positiva. 28. Calcule o momento em rela¸ca ˜o ao ponto O da for¸ca f~ = (−1, 3, 4), aplicada ao ponto P tal que −−→ −−→ OP = (1, 1, 1) (este momento ´e OP ∧ f~).
−− → −→ 29. Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unit´ ario, calcule k AB ∧ AC k.
−→ − − → 30. Calcule a a ´rea do triˆ angulo ABC, sendo AC = (−1, 1, 0) e AB = (0, 1, 3). 31. Dados ~u = (1, 1, 1), ~v = (0, 1, 2), determine uma base ortonormal positiva (~a, ~b, ~c) tal que: (a) ~a//~u, ~a tem mesmo sentido que ~u. (b) ~b ´e combina¸ca ˜o linear de ~u e ~v , e sua primeira coordenada ´e positiva. 32. Resolva o sistema
(
~x · (2~i + 3~j + 4~k) = 9 ~x ∧ (−~i + ~j − ~k) = −2~i + 2~k
33. Determine ~x tal que ~x ∧ (~i + ~k) = 2(~i + ~j − ~k)
e k ~x k=
√ 6.
34. Sabe-se que ~x ´e ortogonal a (1,1,0) e (-1,0,1), tem norma entre ~x e (0,1,0), tem-se cos θ > 0. Determine ~x.
√ 3 e, sendo θ a medida do a ˆngulo
35. Prove que se ~u e ~v s˜ ao linearmente independentes, e w ~ ∧ ~u = w ~ ∧~v = ~0 ent˜ ao w ~ = ~0. Interprete geometricamente. 36. Seja ~u 6= ~o. Prove que se ~u · ~v = 0 e ~u ∧ ~v = ~0 ent˜ ao ~v = ~0. Interprete geometricamente. − − → −→ k AB ∧ AC k 37. Prove que a altura do ∆ABC relativa ao lado AB mede h = − − → k AB k 38. Calcule a distˆ ancia do ponto C a ` reta que passa por dois pontos distintos A e B. 39. Sendo k ~v k= 26, k ~v k= 3 e k ~v ∧ ~u k= 72 calcule ~u · ~v sabendo-se que ~u e ~v formam um a ˆngulo obtuso. √ 40. Seja ~v = (~a + α~b) ∧ (2~a + ~b), α ∈ IR, onde k ~a k= 2, k ~b k= 1 e θ = 3π/4 ´e o a ˆngulo entre ~a e ~b. Calcule α para que tenhamos k ~v k= 1. 41. Sejam E uma base ortonormal positiva de V 3 e M o ponto de encontro das diagonais AC e −−→ −→ BD do paralelogramo ABCD. Sendo BM = (0, −1, 2)E e AC = (−2, 2, 2)E , pede-se a a ´rea do paralelogramo ABCD e a distˆ ancia do ponto M a ` reta AB. 42. Seja E uma base ortonormal positiva de V 3 . A partir de um ponto O constru´ımos os vetores − − → −→ −→ OR = (12, −7, 9)E , OS = (14, −6, 9)E e OT = (t + 11, t − 7, 10)E com t ∈ IR. Determine a menor a ´rea poss´ıvel para o triˆ angulo RST , quando t percorre IR. −− → −−→ 43. Seja E uma base ortonormal positiva de V 3 . Dados AB = (1, 0, 1)E e CB = (0, 0, 2)E , pede-se: (a) Mostre que o triˆ angulo ABC ´e retˆ angulo. −− → (b) Determine a proj−−→ AB. BC (c) Calcule o comprimento da altura relativa a ` hipotenusa. 44. Sejam B = {~i, ~j, ~k} uma base ortonormal positiva de V 3 e E = {~e1 , ~e2 , ~e3 } uma base de V 3 , sendo ~e1 = (1, 0, 1)B , ~e2 = (2, 0, −1)B e ~e3 = (1, −1, −1)B . Determine uma base F = {f~1 , f~2 , f~3 } ortonormal,√de mesma√orienta¸ca ˜o que E tal que ~e1 ∧ f~1 = ~0 e [~e1 , ~e2 , f~2 ] = 0. Calcule ~u · ~v , sendo ~u = (1/ 2, 0, 1/ 2)E e ~v = (1, 3, 1)F . 45. Seja E uma base ortonormal positiva de V 3 . Dados ~a = (0, 1, 1)E , ~b = (0, 1, 0)E , ~c = (1, 1, 0)E . Determine o vetor unit´ ario ~u tal √ que ~u ´e ortogonal a ~c, proj~a ~u = (0, 1/2, 1/2)E e ~u · ~b > 0. Determine os vetores ~v de norma 8, sabendo que o a ˆngulo entre ~v e ~a ´e π/3 radianos e {~a, ~c, ~v } ´e linearmente dependente. 46. Seja E uma base ortonormal positiva de V 3 . Consideremos os vetores ~x = (1, 2, −1)E , ~v = √ (0, 3, −4)E , ~u = (1, 0, 3)E e ~a = (0, 0, 2)E . Calcule o volume do tetraedro ABCD e a altura − − → −→ − − → −→ −→ relativa a ` base determinada por AB e AC, sabendo-se que: AB = proj~v ~x, k AC k= 1, AC//~u, −→ −− → −→ −−→ AC · ~u < 0 e proj~a AB ∧ AC = BD. 47. As faces laterais do prisma com v´ertices A, B, C, D, E e F com base triangular ABC s˜ ao −→ −− → −→ quadrados de lado 4. Sejam ~u = AC, ~v = 21 AB e w ~ = AF . Se a orienta¸ca ˜o fixada em V 3 ´e −−→ −−→ −−→ tal que a base {ED, EF , EB} ´e positiva, determine o valor de (~u ∧ ~v ) · w. ~ 48. A medida em radianos do a ˆngulo entre ~u e ~v ´e π6 e w ~ ´e ortogonal a ~u e a ~v . Sendo k ~u k= 1, k ~v k= 1, k w ~ k= 4 e (~u, ~v , w) ~ base positiva, determine [~u, ~v , w] ~ 49. Prove que a altura do tetraedro ABCD relativa a ` base ABC ´e h=
−− → −→ −−→ |[AB, AC, AD]| − − → −→ k AB ∧ AC k
50. O objetivo deste exerc´ıcio ´e resolver a equa¸ca ˜o ~x ∧ ~u = ~v onde ~u e ~v s˜ ao dados. Observemos que se ~u = ~0, ent˜ ao deve ser ~v = ~0 (sen˜ ao n˜ ao existe solu¸ca ˜o), e da´ı qualquer ~x ´e solu¸ca ˜o. Vamos supor, pois, ~u 6= ~0. ~x ∧ ~u = ~v , ~u 6= ~0 (∗) (a) Estudemos a equa¸ca ˜o homogˆenea ~x ∧~u = ~0(~u 6= ~0). Nesse caso ~x = λ~u(λ ∈ IR) d´ a o conjunto de todas as solu¸co ˜es. (b) Observemos que se ~x0 ´e uma solu¸ca ˜o de (∗), ent˜ ao ~x tamb´em ´e se e somente se existe λ ∈ IR tal que ~x = ~x0 + λ~u. De fato, se ~x ´e solu¸ca ˜o de ~x ∧ ~u = ~v , como ~x0 ∧ ~u = ~v , resulta, por substra¸ca ˜o, que (~x − ~x0 ) ∧ ~u = ~0. Logo existe λ ∈ IR tal que ~x − ~x0 = λ~u. Reciprocamente, se ~x = ~x0 + λ~u ´e f´ acil verificar que ~x ´e solu¸ca ˜o de (α). (c) Vamos determinar uma solu¸ca ˜o ~x0 de (∗). Para que (∗) tenha solu¸ca ˜o ´e necess´ ario que ~u · ~v = ~0, pois ~x ∧ ~u ⊥ ~u. Agora observe que se ~x0 ∧ ~u = ~v . Multiplicando vetorialmente por ~u, vem (~x0 ∧ ~u) ∧ ~u = ~v ∧ ~u donde -(~u · ~u)~x0 + (~x0 · ~u)~u = ~v ∧ ~u
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1) ~x = − 83 ~u − 45 ~v ~
2) ~x = 75 ~u + 72 ~v −−→ 3) CX =
e ~y = 71 ~u − 71 ~v
−→ m − 1+m CB
+
1 −→ 1+m CA
−−→ 4) Para CX ver a resposta do ex. 3. −→ −→ −→ 1 − CB − CA AY = n+1 −−→ −− → p −→ CA − CB BZ = 1+p 8) ~u = (3, −3, −3) ou ~u = (−3, 3, 3); a ˆngulo agudo; (3,-3,-3). 9) ~u =
√ 2 2 , − , 1 2 2
√
ou ~u =
√
√ 2 2 , − , −1 2 2
10) arccos √426 11) −1/2 12) a)
6 11 (3, −1, 1)
9 3 , 10 13) w ~ 1 = 0, 10
14) w ~1 =
1 3 2, 2, 2
b) 59 (−2, 1, 2)
33 11 e w ~ 2 = −1, − 10 , 10
e w ~2 =
1 3 2, −2, 1
15) ~e1 = 31 (1, 2, 2), ~e2 = 13 (2, −2, 1), ~e3 = 13 (2, 1, −2) 18) a) MF,E
−3 1 1 = 1 −2 2 1 1 0
19) a) (12, −8, −3) 20)
1 1 , 1, − 2 14
21) ME,F =
b) MF,E
1 3 4 = 0 0 −3 −1 0 0
b) (−5, 3, 4)
√ 3 2
0 −1 2
0 0 1 √ 3 0 2 1 2
MG,E
1 1 1 = 1 1 0 1 0 0
22) b) ~u = (0, −1, 1)E , ~v = (0, 1, 1)E , w ~ = (−1, 0, 0)E , k ~u k = 0 − √12 √12 0 0 −1 1 1 0 , √1 √1 ME,F = 0 ME,F = − √2 √2 2 2 √1 √1 0 −1 0 0 2 2 √ −−→ e) HB = (−1, 1, 1)E = (0, 2, 1)F
√ 2 =k ~v k.
23) ~a =
−3 √7 √2 , √ , 6 3 2
F
24) a) mesma orienta¸ca ˜o b) orienta¸co ˜es opostas. 25) a) e b) mesma orienta¸ca ˜o. 26) αβγ > 0 28) (1, −5, 4) 29)
√
30)
√ 19/2
3/2
√ √ √ 31) ~a = (1/ 3, 1/ 3, 1/ 3)
√ √ ~b = (1/ 2, 0, −1/ 2)
√ √ √ ~c = (−1/ 6, 2/ 6, −1/ 6)
32) ~x = (1, 1, 1) 33) ~x = (−1, 2, 1) 34) ~x = (−1, 1, −1) − − → −→ ∧AC k 38) kAB−− → kAB k 39) -30 40) α = 0 ou α = 1 p √ ancia = 7/3 41) a ´rea = 2 14, distˆ 42)
√ 5/2
− − → 43) proj−−→ AB = (0, 0, 1)E , altura =1 BC 45) ~u = (−2/3, 2/3, 1/3)E 46) volume = 4/25 √ 47) −16 3 48) 2
~v = (−2, 0, 2)E
√ altura = 12/(5 13)
ou ~v = (2, 2, 0)E
