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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
2 de Dezembro de 2004, a` s 13:08
Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo 9
Sistemas de Part´ıculas 9.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 9.2.1 O Centro de Massa . . . . . . . 9.2.2 A segunda lei de Newton para um sistema de part´ıculas . . . .
2 2 2 2
9.2.3
O Momento Linear . . . . . . .
6
9.2.4
Conservac¸a˜ o do Momento Linear
7
9.2.5
Sistemas de Massa Vari´avel: Um Foguete . . . . . . . . . . .
8
Sistemas de Part´ıculas: Variac¸o˜ es na Energia Cin´etica . . . .
9
9.2.6 3
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex) P´agina 1 de 9
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9 Sistemas de Part´ıculas
9.1
E 9-3 (9-3/6 ) (a) Quais s˜ao as coordenadas do centro de massa das trˆes part´ıculas que aparecem na Fig. 9-22? (b) O que acontece com o centro de massa quando a massa da part´ıcula de cima aumenta gradualmente?
Quest˜oes
@?BA
Q 9-2 Qual a localizac¸a˜ o do centro de massa da atmosfera da Terra?
?
9.2
Problemas e Exerc´ıcios
AD%
'"
"1%
@?
%
=
) %
# # (a)ESejam e
, 3C % G) % 3C as coordenadas (em metros) das trˆeA s
=C part´ıculas cujas respectivas massas designamos por , # e E . Ent˜ao a coordenada ? do centro de massa e´ '?FE
A ? A ? # # A # " '0: "7%DH1 "7% ( " 0: "
E ? E E "1%&I)> "1% 4 "
4
enquanto que a coordenada C e´
9.2.1 O Centro de Massa C
E 9-1 (9-1/6 edic¸a˜ o)
A
A # # C A # E " I0( "1%DG)> "1% 4 : " 0( "
E
C
C "
m
E
"7%DH1 "7% 4
J
1
m
(a) A que distˆancia o centro de massa do sistema TerraLua se encontra do centro da Terra? (Use os valores das massas da Terra e da Lua e da distˆancia entre os (b) A medida que a massa da part´ıcula de cima e´ audois astros que aparecem no Apˆendice C.) (b) Expresse mentada o centro de massa desloca-se em direc¸a˜ o a` quela a resposta do item (a) como uma frac¸a˜ o do raio da Terra. part´ıcula. No limite, quando a part´ıcula de cima for muito mais massiva que as outras, o centro de massa coin (a) Escolha a origem no centro da Terra. Ent˜ao a cidir´a com a posic¸a˜ o dela. distˆancia do centro de massa do sistema Terra-Lua e´ dada por
E 9-12 K (9-9/6 )
Uma lata em forma de cilindro reto de massa L , alonde e´ a massa da Lua, e´ a massa da Terra, a tura M e densidade uniforme est´a cheia de refrigerante e´ a separac¸a˜ o m´edia entre Terra e Lua. Tais valores (Fig. 9-30). A massa total do refrigerante e´ . Fazemos encontram-se no Apˆendice C. Em n´umeros temos, pequenos furos na base e na tampa da lata para drenar !" #$#&%&'(*) !" +% o conte´udo e medimos o valor de N , a distˆancia vertical entre o centro de massa e a base da lata, para v´arias ," #$# .- /10 ," #32
situac¸o˜ es. Qual e´ o valor de N para (a) a lata cheia e ," 5 (b) a lata vazia? (c) O que acontece com N enquanto a
4 4 m ? lata est´ a sendo esvaziada? (d) Se e ´ a altura do l´ıquido ( 78 9" 5 (b) O raio da Terra e´ 6
m, de modo que que resta em um determinado instante, determine o va? temos lor de (em func¸a˜ o de L , M e ) no momento em que !" 5 o centro de massa se encontra o mais pr´oximo poss´ıvel ":*;( 4 4 da base da lata. : 8 !" 5
6
Observe que a frac¸a˜ o entre as massas e´
- /10< !"1#=2 > 1 < !" #3#
0(1 ) -
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(a) Como a lata e´ uniforme seu centro de massa est´a localizado no seu centro geom´etrico, a uma distˆancia ) MO acima da sua base. O centro de massa do refrigerante est´a no seu centro geom´etrico, a uma distˆancia ? ) O acima da base da lata.) Quando a lata est´a cheia tal posic¸a˜ o coincide com MPO . Portanto o centro de massa P´agina 2 de 9
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da lata e com o refrigerante que ela cont´em est´a a uma distˆancia
L
NQ
MO
) %
L
MPO
) %
M )
acima da base, sobre o eixo do cilindro. (b) Consideramos ) agora a lata sozinha. O centro de massa est´a em MPO acima da base, sobre o eixo do cilindro. ? (c) A medida que decresce o centro de massa do refrigerante ) na lata primeiramente diminui, depois cresce at´e MPO novamente. (d) Quando a superf´ ıcie superior do refrigerante est´a a ? uma distˆancia acima da base da lata a massa restante R do refrigerante na lata e´ R @? OSM % , onde e´ ? a massa quando a lata est´a cheia ( TM ). O centro? de) massa do refrigerante est´a apenas a uma distˆancia O da base da lata. Logo N
L
L
L MO
LTM )( LTM
) %
MO
) %
#
L
) % R @? O 1 R @? % ' ? ) % OSM O ? OSM ? # ?U%
E 9-13 (9-10/6 )
A falta de atrito com o gelo implica que efetivamente os patinadores e a vara formem um sistema mecanicamente isolado, i.e. sobre o qual n˜ao atuam forc¸as externas. Portanto, a posic¸a˜ o do centro de massa n˜ao pode alterar-se quando ou um, ou o outro ou ambos patinadores puxarem a vara. Suponha que o patinador de - kg encontre-se a` esquerda e que o centro de massa seja escolhido como a origem ? "
do sistema de coordenadas (i.e. ), e que seja ? a distˆ a ncia desde o centro de massa at´ e o patinador de " 4 kg. Ent˜ao temos - =" ? % Y ";? "( W 4 -c "
4 - H" ?U% " ? W
d4 Portanto, temos , donde tiramos - " ? (*)
" -
m ?
(1)
Dois patinadores, um com - kg de massa e o outro com " 4 kg, est˜ao de p´e em um rinque de patinac¸a˜ o "no gelo segurando uma vara de massa desprez´ıvel com m de comprimento. Partindo das extremidades da vara, os patinadores se puxam ao longo da vara at´e se encontrarem. " Qual a distˆancia percorrida pelo patinador de 4 kg?
X
W
Encontramos a posic¸a˜ o mais baixa do centro de massa Note que o fato dos patinadores terminarem em contato da lata com refrigerante igualando a zero a ? derivada de N ? em relac¸a˜ o a e resolvendo em relac¸a˜ o a . A derivada implica que basta um deles puxar a vara para que AMBOS se movam em relac¸a˜ o ao gelo. Se ambos puxarem e´ dada por a vara, eles apenas chegam mais r´apido a` posic¸a˜ o fi) ? # ?U#% V N LTM nal, sobre o centro de massa. Mas basta um deles puxar )( ?Y% W ): V ?
?Y% # LTMXW LTM a vara, que o outro ser´a necessariamente arrastado em #?F# ) L M ? WZL M # direc¸a˜ o ao centro de massa, quer queira, quer n˜ao. Voce )(
?Y% # percebe isto? LTM #D?F#
A soluc¸a˜ o de ?
LTM
)
M
[
L
?
]\
WZL
M
#
"
e´
E 9-14 (9-11/6 )
)
" "
Um velho Galaxy com uma massa de 4 kg est´a via0 " L_^ jando por uma estrada reta a km/h. Ele e ´ seguido por "1" 1" ? um Escort com uma massa de kg viajando a Usamos a soluc¸a˜ o positiva pois e´? positivo. Substituindo-se agora o valor de na Eq. (1) acima e km/h. Qual a velocidade do centro de massa dos dois carros? simplificando, encontramos finalmente que Sejam e e f e a massa e a velocidade do Galaxy e b M`L g \ e f g a massa e velocidade do Escort. Ent˜ao, conNP
W a L forme a Eq. (9-19), a velocidade do centro de massa e´ dada por
W
9.2.2 A segunda lei de Newton para um sistema de part´ıculas
f
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e f e g f g e g G) "1"1%&'0 "7% H "1"1%DI "7% 4 ) "1" 1" "
4
;)
km/h
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Note que as duas velocidades est˜ao no mesmo sentido, verticalmente. A que distˆancia do canh˜ao o outro fragde modo que ambos termos no numerador tem o mesmo mento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano e sinal. As unidades usadas n˜ao s˜ao do Sistema Interna- a resistˆencia do ar possa ser desprezada? cional. Precisamos determinar as coordenadas do ponto de explos˜ao e a velocidade do fragmento que n˜ao cai reto para baixo. Tais dados s˜ao as condic¸o˜ es iniciais para E 9-19 (9-18/6 ) um problema de movimento de proj´eteis, para determi01" Ricardo, de massa igual a kg, e Carmelita, que e´ mais nar onde o segundo fragmento aterrisa. leve, est˜ao passeando no Lago Titicaca em uma canoa de Consideremos primeiramente o movimento do proj´etil " kg. Quando a canoa est´a em repouso na a´ gua calma, original, at´e o instante da explos˜ao. Tomemos como orieles trocam de lugares, que est˜ao distantes m e posi- gem o ponto de disparo, com o eixo ? tomado horizontal cionados simetricamente em relac¸a˜ o ao centro da canoa. e o eixo vertical, positivo para cima. A componente C Durante a troca, Ricardo percebe que a canoa se move fSn$oWqp7r e e´ zero no " C da velocidade e´ dada por fl m 4 cm em relac¸a˜ o a um tronco de a´ rvore submerso e cal- instante de tempo rc TfSnso Op fSnSOtp % sen utn , onde fSn cula a massa de Carmelita. Qual a massa de Carmelita? e´ a velocidade inicial e utn e´ o aˆ ngulo de disparo. As Chamemos de LZh e L as massas de Ricardo e Car- coordenadas do ponto mais alto s˜ao melita. Suponhamos que o centro de massa do sistema formado pelas duas pessoas (suposto mais perto de Ri? cardo) esteja a uma distˆancia do meio da canoa de comprimento i e massa . Neste caso i LZh a ) W
? b
?
L
i a )
?
df nwv rx
yf { n zD|7} u n&~ r H% # f n sen utn Dz |7} utn p I) "1%=# " k " k /( 0 sen
Dz |1}
? b
t>*
m
e A Como n˜ao existe forc¸a externa, esta equac¸a˜ o permane# # p7r
f t o r W n C ce igualmente v´alida ap´os a troca de lugares, uma vez A # que as posic¸o˜ es de ambos s˜ao sim´etricas em relac¸a˜ o ao # f n meio do barco. A diferenc¸a e´ que o centro de massa do # sen utn
p sistema formado pelas duas pessoas mudou de lado no A I) "1%H# );? # " k - barco, ou seja, sofreu uma variac¸a˜ o de . Para deter# /( 0 sen ?
m minar o valor de , basta usar a observac¸a˜ o relacionada ao tronco de a´ rvore submerso, que andou uma distˆancia J´a que nenhuma forc¸a horizontal atua no sistema, a componente horizontal do momento e´ conservada. Uma vez )S? " "(
d4 cm
4 m que um dos fragmentos tem velocidade zero ap´os a ex? ": ) plos˜ao, o momento do outro fragmento tem que ser igual Portanto, usando
na equac¸a˜ o acima obtemos a ao momento do proj´etil originalmente disparado. massa de Carmelita: A componente horizontal da velocidade do proj´etil ori ) ?Y% ? ginal e´ fSn zD|7} utn . Chamemos de L a massa do proj´etil LZh ijO W W ) ? LZ
inicial e de (n a velocidade do fragmento que se move ijO horizontalmente ap´os a explos˜ao. Assim sendo, temos 0 ":I ) "(*) % '1"1%DI"(*) % O W W - 0 ) "(*) kg
L O
Lf n{zD|7} u n
)
n
)
E 9-20 (9-15/6 )
uma vez que a massa do fragmento em quest˜ao e´ LdO . Isto significa que n
)
f n{zD|7} u n
Um proj´etil e´ disparado por um canh˜ao com uma );" "7velok ):I);"7% " k );" m/s. O aˆ ngulo do disparo e´ em cidade inicial de
m/s zD|7} relac¸a˜ o a` horizontal. Quando chega ao ponto mais alto da trajet´oria, o proj´etil explode em dois fragmentos Agora considere um proj´etil lanc¸ado horizontalmente no " ) " de massas iguais (Fig. 9-33). Um dos fragmentos, cu- instante 9 com velocidade de m/s a partir do r
@? % Ht>* - 1% ja velocidade imediatamente ap´os a explos˜ao e´ zero, cai ponto com coordenadas n 3C n
m. Sua http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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coordenada C e´ dada por " C C nWpr O , e quando ele aterrisa temos . O ?tempo at´e a aterrisagem e´
C ) e a coordenada do ponto de aterrisagem rj S n O p C e´ ?
?
n
:n&r
?
n
t
(n
\
) p
) " \
C n
(d) Como os sacos est˜ao conectados pela corda, que passa pela roldana, suas acelerac¸o˜ es tem a mesma magnitude mas sentidos opostos. SeA e´ a acelerac¸a˜ o de # , ent˜ao Wc e´ a acelerac¸a˜ o de . A acelerac¸a˜ o do centro de massa e´ X
):H - 7% /( 0
-
m
A
Wc A
%
# #
# W A
]
A
#
Aplicando a segunda lei de Newton para cada saco temos
A que distˆancia o proj´etil cairia se n˜ao tivesse havido explos˜ao?
A
A pW! W # pW!
#
saco leve saco pesado
Subtraindo a primeira da segunda e rearranjando temos E 9-21 (9-17/6 )
# W A
A
# p
Dois sacos idˆenticos de ac¸u´ car s˜ao ligados por uma corda de massa desprez´ıvel que passa por " uma roldana sem Portanto, substituindo na equac¸a˜ o para , vemos que atrito, de massa desprez´ıvel, com - mm de diˆametro. A %=# # W Os dois sacos est˜ao no mesmo " n´" ıvel e cada um possui A % #p
# originalmente uma massa de g. (a) Determine a - ) " 0 "1%=# '/( 01% "( "( #; posic¸a˜ o horizontal do centro de massa do sistema. (b) W,4 );" 01" .- );"1% #
m/s Suponha que g de ac¸u´ car s˜ao transferidos de um saco 4 para o outro, mas os sacos s˜ao mantidos nas posic¸o˜ es originais. Determine a nova posic¸a˜ o horizontal do cen- A acelerac¸a˜ o e´ para baixo. tro de massa. (c) Os dois sacos s˜ao liberados. Em que direc¸a˜ o se move o centro de massa? (d) Qual e´ a sua E 9-22 (9-19/6 ) ) " acelerac¸a˜ o? Um cachorro de - kg est´a em um bote de kg que se encontra a m da margem (que fica a ` esquerda na Fig. 9(a) Escolha o centro do sistema de coordenadas co)> ? mo sendo o centro da roldana, com o eixo horizontal 34a). Ele anda 4 m no barco, em direc¸a˜ o a` margem, e de depois p´ara. O atrito entre o bote e a a´ gua e´ desprez´ıvel. e para a direita e com o eixo C para baixo. O centro ? " massa est´a a meio caminho entre os sacos, em
e A que distˆancia da margem est´a o cachorro depois da caminhada? (Sugest˜ao: Veja a Fig. 9-34b. O cachorro
, onde e ´ a distˆ a ncia vertical desde o centro da C se move para a esquerda; o bote se desloca para a diroldana at´e qualquer um dos sacos. ) " (b) Suponha g transferidas do saco da esquerda0 " para reita; e o centro de massa do sistema cachorro+barco? o saco da?YAdireita.) O saco da esquerda tem massa 4 g e Ser´a que ele se move?) - ) " ? mm. O saco a ` direita tem massa est´a em
W ? ) ? Escolha o eixo como sendo horizontal, com a ori g e est´a em #
mm. A coordenada do centro gem na margem, e apontanto para a direita na Fig. 9? de massa e´ ent˜ao 34a. Seja a massa do bote e G sua coordenada ini?
Aw?YA ? # # A # 0 "1%& ) - % - ) "1%D ) - % 4 W );" .- ; ) "
4
?
cial. Seja a massa do cachorro e sua coordenada inicial. A coordenada inicial do centro de massa e´ ent˜ao
"
mm
?{
)
A coordenada C ainda e´ . O centro de massa est´a a mm do saco mais leve, ao longo da linha que une os dois corpos. (c) Quando soltos, o saco mais pesado move-se para baixo e o saco mais leve move-se para cima, de modo que o centro de massa, que deve permanecer mais perto do saco mais pesado, move-se para baixo. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
? G
?
V
Agora o cachorro caminha uma distˆancia para a esquerda do bote. ? Como a diferenc¸a entre a coordenada ? final do bote final do cachorro e´ ? ?e a coordenada V V W
, ou seja , a coordenada final do centro de massa pode tamb´em ser escrita como ?
?
?
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?
V ?
Poder´ıamos tamb´em deixar a resposta em km/h:
f
H " "7%D= *) %
f
0 "
)
4 km/h
Como nenhuma forc¸a horizontal externa atua no sistema bote-cachorro, a velocidade do centro de massa n˜ao Perceba a importˆancia de fornecer as unidades ao dar pode mudar. Como o bote e o cachorro estavam inicial- sua resposta. Este u´ ltimo valor n˜ao est´a no SI, claro. mente em repouso, a velocidade do centro de massa e´ zero. O centro de massa permance na mesma posic¸a˜ o E 9-25 (9-20/6 ) ? e, portanto, as duas express˜oes acima para devem 0( Com que velocidade deve viajar um Volkswagen de ser iguais. Isto significa que kg (a) para linear que um Ca); ter " o mesmo momento ? J ? km/h e (b) para ter a dillac de - kg viajando a
? G ? ? V ? mesma energia cin´etica?
(a) O momento ser´a o mesmo se 9 f donde tiramos que
? Isolando-se obtemos ?
? G
? W I);"7%DI 1% - %&' 7%
);" q-
V G);"7%DI)( % 4 W
?
f "10
4
m
?
. E ´ estritamente neObserve que usamos I
cess´ario fazer-se isto? Se n˜ao for, qual a vantagem de se faze-lo?... Al´em de uma escolha conveniente dos pontos de referˆencia, perceba que um? passo ? crucialV neste exerc´ıcio
foi estabelecer o fato que W .
f
); - " 0(
H 1%
- /
f ,
km/h
)
(b) Desconsiderando o fator # O , igualdade de energia # cin´atica implica termos 9 f f , ou seja, f
\
); - " 0(
f;Z
\
= 7%
);0: 01
km/h
E 9-26 ( na 6 ) Qual o momento um "( / /1linear )>de /7< !"el´ 1e+ tron viajando a uma velocidade de (
m/s)?
9.2.3 O Momento Linear
Como a velocidade do el´etron n˜ao e´ de modo algum pequena comparada com a velocidade da luz, faz-se E 9-23 ( na 6 ) necess´ario aqui usar a equac¸a˜ o relativistica para o moQual : "1" " o momento linear de 0 0 um autom´ovel que pesa mento linear, conforme dada pela Eq. 9-24: N e est´a viajando a km/h?
A “moral” deste problema e´ cuidar com as unidades empregadas:
f
1" " "
010 ,"
/( 0
1 " "
Ww sE A I/(J ,"> &% I)( /< ," +&%
E
1 1) 0(
f
kg m/s
na direc¸a˜ o do movimento. E 9-24 (9-21/6 )
0 "
f
f
H "1"1%D= *)8 !" I0 "7%D'1 "1"1%
%
( 7
m/s
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kg m/s
Sem o fator relativ´ıstico ter´ıamos achado U¡
EwA
I/(J ¢ !"
)(*;" - !" Y#3#
Chamando de e f a massa e a velocidade do car 8 ro, e de e f a “sua” massa e velocidade temos, grac¸as ou seja, um valor
a` conservac¸a˜ o do momento linear, E
A
1 /:t8 ," U#
Suponha que sua massa e´ de kg. Com que velocidade teria que correr para ter o mesmo momento linear "1" 1 ) que um autom´ovel de kg viajando a km/h?
'": /1/1% # W
O
W
%DG)> /7 ," + %
kg m/s
'"( / /7% # %
vezes menor:
F¡
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9.2.4 Conservac¸a˜ o do Momento Linear
E 9-33 (9-27/6 )
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velocidade final (ap´os o homem haver pulado fora). Seja ¤ a massa do homem. Sua velocidade inicial e´ a mesma do carrinho e sua velocidade final e´ zero. Portanto a conservac¸a˜ o do momento nos fornece
" "
¤ % Um homem de kg, de p´e em uma superf´ı"(cie f f S" de atrito desprez´ıvel, d´a um chute em uma pedra de : /1kg, " fazendo com que ela adquira uma velocidade de m/s. de onde tiramos a velocidade final do carrinho: ¤ % Qual a velocidade do homem depois do chute? f
f
G)> 1%D -c /7% Como nenhuma forc¸a com componente horizontal atua ( 1/
m/s no sistema homem-pedra, o momento total e´ conservado. Como tanto o homem como a pedra est˜ao em repou :* )> W
4 4 so no in´ıcio, o momento total e´ zero antes bem como A velocidade da carrinho aumenta por m/s. Para reduzir sua velocidade o homem faz com que depois do chute, ou seja o carrinho puxe-o para tr´as, de modo que o carrinho seja Q£ f £ ¤ f ¤ " impulsionada para a frente, aumentando sua velocidade.
onde o sub´ındice refere-se a` pedra e o sub´ındice N refere-se ao homem. Desta express˜ao vemos que f ¤ W
Q£ f £ ¤
W
W
'":*;"1%&'( / "7% "1"
"( "1)7
m/s
onde o sinal negativo indica que o homem move-se no sentido oposto ao da pedra. Note que o sentido da pedra foi implicitamente tomado como positivo. Note ainda que a raz˜ao das massas coincide com a raz˜ao dos pesos. E 9-36 (9-29/6 )
Um homem de - )(kg est´a viajando em um carrinho, cuja / massa e´ kg, a m/s. Ele salta para fora do carrinho de modo a ficar com velocidade horizontal zero. Qual a variac¸a˜ o resultante na velocidade do carrinho? NOTA: na 4 edic¸a˜ o do livro esqueceram de fornecer a massa do carrinho, no enunciado do exerc´ıcio. Al´em disto, traduziram chart como sendo “carroc¸a”, termo que tamb´em aparece nas edic¸o˜ es mais antigas do livro. O enunciado da 6 edic¸a˜ o est´a correta. Dificilmente uma carroc¸a poderia ter METADE da massa do passageiro, n˜ao e´ mesmo? NOTA: na 4 edic¸a˜ o do livro brasileiro [bem como em algumas da edic¸o˜ es anteriores], erroneamente n˜ao apa1/ rece a massa do carrinho ( kg) no enunciado. Na edic¸a˜ o a massa aparece. Todas as edic¸o˜ es originais do livro (em inglˆes) fornecem a massa do carrinho.
E 9-38 (9-33/6 ) O u´ ltimo est´agio de um foguete est´a viajando com uma S 1" " velocidade de m/s. Este u´ ltimo est´agio e´ feito de duas partes presas por uma trava: um tanque de com) / " bust´ıvel com uma massa de kg" e uma c´apsula de instrumentos com uma massa de - kg. Quando a trava e´ acionada, uma mola comprimida faz com que as duas /:" partes se separem com uma velocidade relativa de m/s. (a) Qual a velocidade das duas partes depois que elas se separam? Suponha que todas as velocidades tˆem a mesma direc¸a˜ o. (b) Calcule a energia cin´etica total das duas partes antes e depois de se separarem e explique a diferenc¸a (se houver).
(a) Suponha que nenhuma forc¸a externa atue no sitema composto pelas duas partes no u´ ltimo est´agio. O momento total do sistema e´ conservado. Seja ¥ a massa do tanque e a massa da c´apsula. Inicialmente ambas est˜ao viajando com a mesma velocidade f . Ap´os a trava ser acionada, ¥ tem uma velocidade f ¥ enquanto que tem uma velocidade f . Conservac¸a˜ o do momento fornece-nos ¥
% ¦ f
¥ f ¥
f
Ap´os a trava ser solta, a c´apsula (que tem menos massa) viaja com maior velocidade e podemos escrever ¥¨ f §f
f Rs©ª
onde f Rs©ª e´ a velocidade relativa. Substituindo esta exO momento linear total do sistema homem-carrinho press˜ao na equac¸a˜ o da conservac¸a˜ o do momento obtee´ conservado pois n˜ao atuam forc¸as externas com com- mos ponentes horizontais no sistema. Chamemos de a ¥B % ¥ ¥B Rs©ª massa do carrinho, f a sua velocidade inicial, e f sua f¦ f f f
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part´ıcula mais pesada. Os dois outros momentos s˜ao re-A presentados por vetores P apontando num aˆ ngulo u no primeiro quadrante e u # no quarto quadrante, de moA /1"1k # do que u (condic¸a˜ o do problema). u
Como a componente vertical do momento deve conservar-se, temos com as convenc¸o˜ es acima, que
de modo que f
¥
¥ Rs©ª B ¥ f
fW S "1"
% f W f R$©ª ¥Y
W
);/1"
- "
f sen u A W I/("7%
- "
);/ "
m/s
f Rs©ª
);/ "
/("
01) " "
m/s
(b) A energia cin´etica total antes da soltura da trava e´ «
A
#
#
A
¥Y I) / "
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- "7%DG; "1"1% #
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A energia cin´etica total ap´os a soltura da trava e´ A A # # # ¥ f ¥ # f A I) / "1%&G );/ "7% # #
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do pedac¸o maior e´
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no sentido negativo do eixo . O aˆ ngulo entre o vetor velocidade do pedac¸o maior e qualquer um dos pedac¸os menores e´ 0 " k
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onde f e´ a velocidade dos pedac¸os menores. PortanA # e, como toA devemos/1"1necessariamente ter que u ®
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Conservac¸a˜ o da componente do momento produz
A velocidade final da c´apsula e´ f df ¥
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9.2.5 Sistemas de Massa Vari´avel: Um Foguete
A energia cin´etica total aumentou levemente. Isto devese a` convers˜ao da energia potencial el´astica armazenada E 9-48 (9-41/6 ) na trava (mola comprimida) em energia cin´etica das par " /1" Uma sonda espacial de " kg, viajando para J´upiter tes do foguete. com uma velocidade 0 de m/s em relac¸a˜ o ao Sol, acio" na o) motor, ejetando kg de gases com uma velocidade E 9-39 (9-39/6 ) de - m/s em relac¸a˜ o a` sonda. Supondo que os gases Uma caldeira explode, partindo-se em trˆes pedac¸os. s˜ao ejetados no sentido oposto ao do movimento inicial Dois pedac¸os, de massas iguais, s˜ao arremessados em da sonda, qual a sua velocidade final? trajet´orias perpendiculares entre si, com a mesma velo- Ignore a forc¸a gravitacional de J´upiter e use a Eq. (9 " cidade de m/s. O terceiro pedac¸o tem uma massa 47) do livro texto. Se f e´ a velocidade inicial, L e´ a trˆes vezes a de um dos outros pedac¸os. Qual o m´odulo, massa inicial, f e´ velocidade final, L e´ a massa final, direc¸a˜ o e sentido de sua velocidade logo ap´os a ex- e ¯ e´ a velocidade do g´as de exaust˜ao, ent˜ao plos˜ao?
f df
¯±°²
L
Suponha que n˜ao haja forc¸a externa atuando, de modo L que o momento linear do sistema de trˆes pec¸as seja con "1/ " "1/ " servado. Como o momentum antes da explos˜ao era zero, Neste problema temos L
kg e L
W 01" ":" ele tamb´em o e´ ap´os a explos˜ao. Isto significa que o vekg. Portanto
tor velocidade dos trˆes pedac¸os est˜ao todos num mesmo "1/ " b " -³ ) - "10 plano. ":" m/s f
°² a
Escolha um sistema de coordenadas XY, com o eixo vertical sendo o eixo C , positivo para cima. A partir da origem deste diagrama, desenhe na direc¸a˜ o negativa do eixo X o vetor P¬ , correspondente ao momento da E 9-49 (9-43/6 ) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
2 de Dezembro de 2004, a` s 13:08
Um foguete em repouso no espac¸o, em uma regi˜ao em que)(a forc ¸ a gravitacional e´ 0(desprez´ ıvel, tem uma massa 8" ´ 8" ´ de -1kg, da qual kg s˜ao combust´ ıvel. 0 " O consumo de combust´ıvel do motor e´ de (4 *)1 kg/s e a velocidade de escapamento) dos km/s. O " gases e´ de motor e´ acionado durante - s. (a) Determine o empuxo do foguete. (b) Qual e´ a massa do foguete depois que o motor e´ desligado? (c) Qual e´ a velocidade final do foguete?
)> " 0 ,"
E
m/s
E 9-56 (9-47/6 )
Duas longas barcac¸as est˜ao viajando na mesma direc¸a˜ o e no mesmo sentido" em a´ guas tranq¨uilas; uma com uma) " velocidade de km/h, a outro com velocidade de km/h. Quando est˜ao passando uma pela outra, (a) Como se ve no texto logo abaixo da Eq. 9-46, o oper´arios jogam " "1" carv˜ao da mais lenta para a mais r´apida, kg por minuto; veja a Fig. 9-38. Qual a ` raz˜ a o de empuxo do foguete e´ dado por µ d6¶¯ , onde 6 e´ a taxa a forc ¸ a adicional que deve ser fornecida pelos motores de consumo de combust´ıvel e ¯ e´ a velocidade0 do " gas das duas barcac¸as para que continuem a viajar com as E kg e exaustado. (*)1 !No " presente problema temos 6· 4 mesmas velocidades? Suponha que a transferˆencia de ¯
m/s, de modo que E carv˜ao se d´a perpendicularmente a` direc¸a˜ o de movimen 0 "7%D': )7 ," % - !" 5 to da barcac¸a mais lenta e que a forc¸a de atrito entre as µ ]6¶¯P
4
N embarcac¸o˜ es e a a´ gua n˜ao depende do seu peso. (b) A massa do combust´ıvel ejetado e´ dada por L k 6¢¸ - -
k
W
*);"7%j ," ´
E 9-60 (9-55/6 )
Uma mulher de -1- kg se agacha e depois salta para cima na vertical. Na posic¸a˜ o agachada, seu centro de massa " seus p´es deixam o (c) Como a velocidade inicial e´ zero, a velocidade final est´a 4 cm acima do piso; quando /1" ch˜ao, o centro de massa est´a t);" cm acima do piso; no e´ dada por ponto mais alto do salto, est´a cm acima do piso. (a) L Qual a forc¸a m´edia exercida sobre a mulher pelo piso, f
¯±°² L enquanto h´a contato entre ambos? (b) Qual a velocida)( -1- ," ´ E b I(*)1 !" % de m´axima atingida pela mulher?
- ," ´
kg
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