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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
16 de Setembro de 2004, a` s 14:07
Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo 7
7.2.2
Trabalho e Energia Cin´etica 7.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . 7.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . 7.2.1 Trabalho: movimento forc¸a constante . . . . .
. . . . . . . . com . . . .
2 2 2 2
7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6
Trabalho executado por forc¸a vari´avel . . . . . . . . . . . . . Trabalho realizado por uma mola Energia Cin´etica . . . . . . . . Potˆencia . . . . . . . . . . . . . Energia Cin´etica a Velocidades Elevadas . . . . . . . . . . . .
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para
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3 4 4 5 7
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7 Trabalho e Energia Cin´etica
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(a) A forc¸a aplicada e´ constante e o trabalho feito por ela e´
3
7.1
Quest˜oes
Q 7-13
4&576
"98%:7;<>= =
onde 4 e´ a forc¸a, 6 e´ o deslocamento do caixote, e e´ o aˆ ngulo entre a forc¸a 4 e o deslocamento 6 . Portanto,
3
?'@
0 *A' 2 *
:A;B<
0 1
/C0 J D
As molas A e B s˜ao idˆenticas, exceto pelo fato de que A e´ mais r´ıgida do que B, isto e´ . Qual das duas molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem o mesmo deslocamento e (b) quando elas s˜ao distendidas por forc¸as iguais.
(b) A forc¸a da gravidade aponta para baixo, perpendicular ao deslocamento do caixote. O aˆ ngulo entre esta :A;< forc¸a e o deslocamento e´ C0 1 e, como C0 1E 0 , o trabalho feito pela forc¸a gravitacional e´ ZERO. (c) A forc¸a normal exercida pelo piso tamb´em atua per pendicularmente ao deslocamento, de modo que o tra(a) Temos e , onde balho por ela realizado tamb´em e´ ZERO. representa o deslocamento comum a ambas molas. Por(d) As trˆ e s forc ¸ as acima mencionadas s˜ao as u´ nicas que tanto, atuam no caixote. Portanto o trabalho total e´ dado pela
soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma
das trˆes forc¸as, ou seja, o trabalho total e´ /C0 J.
ou seja, . (b) Agora temos e ! , P 7-9 (???/6 . ) onde e representam os delocamentos provocados pela forc¸a idˆentica que atua sobre ambas as molas e que A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento de um peso F . Suponha que o implica ter-se, em magnitude, atrito seja desprez´ıvel e que as duas polias de baixo, a` s " quais est´a presa a carga, pesem juntas 0 N. Uma car #$ %
ga de GH0 N deve ser levantada m. (a) Qual a forc¸a m´ınima 4 necess´aria para levantar a carga? (b) Qual o donte tiramos & % . Portanto trabalho executado para levantar a carga de m? (c)
Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d) Qual o trabalho executado pela forc¸a 4 para realizar esta
(' )! * ,+ tarefa? ou seja,
. + (a) Supondo que o peso da corda e´ desprez´ıvel (isto e´ , que a massa da corda seja nula), a tens˜ao nela e´ a mesma ao longo de todo seu comprimento. Considerando as duas polias m´oveis (as duas que est˜ao ligadas ao peso F ) vemos que tais polias puxam o peso para cima com 7.2 Problemas e Exerc´ıcios " uma forc¸a aplicada em quatro pontos, de modo que a - " 7.2.1 Trabalho: movimento com forc¸a constan- forc¸a total para cima aplicada nas polias m´oveis e´ H . " te Se for a forc¸a m´ınima para levantar a carga (com velocidade constante, i.e. sem acelera-la), ent˜ao a segunda lei de Newton nos diz que devemos ter E 7-2 (7-7/6 . edic¸a˜ o) "JILKJM
H 0 Para empurrar um caixote de /0 kg num piso sem atrito, um oper´ario aplica uma forc¸a de 0 N, dirigida 01 aciKJM representa o peso total da carga mais polias ma da horizontal. Se o caixote se desloca de 2 m, qual onde KJM m´ o veis, ou seja, N' GHB0%O 0 * N. Assim, encontrao trabalho executado sobre o caixote (a) pelo oper´ario, mos que (b) pelo peso do caixote e (c) pela forc¸a normal exercida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total " GP0 / N D executado sobre o caixote? H
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KJMQ8
(b) O trabalho feito pela corda e´ , A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por H 8 onde e´ a distˆancia de levantamento da carga. Portanto, ^ ` MfIL" = o trabalho feito pela corda e´ sen * bdc ebdcV' Z N' GP0 *7' *R
`
02 0 J D
(A resposta na traduc¸a˜ o do livro est´a incorreta.) (c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento da corda entre o conjunto superior e inferior de polias diminui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da corda abaixo de H metros. Portanto, no total a extremidade livre da corda move-se ' H *A' *! HG m para baixo. (d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela "98 KJMQ8 8 extremidade livre e´ H , onde e´ a distˆancia que a extremidade livre se move. Portanto,
N' GP0 *
HBG H
onde o valor de foi obtido da segunda equac¸a˜ o acima. ^ Substituindo o valor de na primeira das equac¸o˜ es acima e resolvendo-a para b c encontramos sem problemas que b c
=
:7;< / 1 ' TQD PG * I ' 2>D /BT 7* ' CSD G * ' TQD PG * sen / 1
0>D D
P 7-16 (???/6 . )
Um bloco de 2SDUT/ kg e´ puxado com velocidade constante por uma distˆancia de HD 0P m em um piso horizontal por uma corda que exerce uma forc¸a de TVD PG N fazen do um aˆ ngulo de /1 acima da horizontal. Calcule (a) o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b) o coeficiente de atrito dinˆamico entre o bloco e o piso.
(a) A forc¸a na corda e´ constante, de modo que o traba"98%:A;B<>= lho e´ dado por 4$5W6 , onde 4 e´ a forc¸a exercida pela corda, 6 e´ a distˆancia do deslocamento, e = e´ o aˆ ngulo entre a forc¸a e o deslocamento. Portanto N' TVD PG *7' HD 0P *
:7;<
/ 1
20>D
JD
(b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro) forc¸as aplicadas. Desenhe um ponto X representando o bloco. Em X , desenhe a forc¸a normal Y apontando para cima, a forc¸a peso ZE[ apontando para baixo. Apontando horizontalmente para a esquerda desenhe a forc¸a \ de atrito. Desenhe a forc¸a 4 que puxa o bloco apontando para a direita = e para cima, fazendo um aˆ ngulo com a horizontal, Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equil´ıbrio tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece as equac¸o˜ es, respectivamente, O
sen
7.2.2 Trabalho executado por forc¸a vari´avel
P 7-12 (???/6 . )
`
Z
"$:A;B<>= MgI$"
02 0 J D
Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d) devem coincidir, o que n˜ao ocorre com as respostas fornecidas no livro.
"$:A;<=]I_^ " =aI M sen Z
0
"
"lk
k9I
A forc¸a exercida num objeto e´ 'hi*j 'mi *. Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de " k n 0 at´e &o (a) fazendo um gr´afico de 'hi* e determinando a a´ rea sob a curva e (b) calculando a integral analiticamente. "
(a) A express˜ao de 'hi* diz-nos que a forc¸a varia lik nearmente com . Supondo p0 , escolhemos dois pontos convenientes para, atrav´es deles, desenhar uma linha reta. " Ir" k k Para q 0 temos enquanto que para sJ " " k temos , ou seja devemos desenhar uma linha rek " k Ir" k ta que passe pelos pontos ' 0 * e '@ * . Fac¸a a figura! Olhando para a figura vemos que o trabalho total e´ dado pela soma da a´ rea de dois triˆangulos: um que vai de k k k E 0 at´e q , o outro indo de Ee at´e q . Como os dois triˆangulos tem a mesma a´ rea, sendo uma positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total e´ ZERO. (b) Analiticamente, a integral nos diz que t
vuw " kyx I -z 8 1 " k{x I z}| v u w k 0 D |k S |
k
0SD
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7.2.3 Trabalho realizado por uma mola E 7-22 (7-1/6 . )
E 7-18 (7-21/6 . )
Uma mola com uma constante de mola de / N/cm est´a presa a uma gaiola, como na Fig. 7-31. (a) Qual o trabalho executado pela mola sobre a gaiola se a mola e´ distendida de TVD P mm em relac¸a˜ o ao seu estado relaxado? (b) Qual o trabalho adicional executado pela mola se ela e´ distendida por mais TQD P mm?
(a) Quando a gaiola move-se de Eey~ para E o trabalho feito pela mola e´ dado por t
u- I 8 ' i* u
I
|u | | u I 'h ~ *
~ Um el´etron de conduc¸a˜ o (massa Z CSD 0S# kg) do cobre, numa temperatura pr´oxima do zero absoluto, tem uma energia cin´etica de P>DT( 0Q ~ J. Qual a velocidade do el´etron? A energia cin´etica e´ dada por Zq , onde Z e´ a massa do el´etron e a sua velocidade. Portanto
Z
S' PSDUTf C>D
0 ~ * 0 # ~
D
0 m/s D
E 7-29 (???/6 . )
Um carro de 000 kg est´a viajando a P0 km/h numa es trada plana. Os freios s˜ao aplicados por um tempo suficiente para reduzir a energia cin´etica do carro de /0 kJ. onde e´ a constante de forc¸a da mola. Substituindo (a) Qual a velocidade final do carro? (b) Qual a reduc¸a˜ o adicional de energia cin´etica necess´aria para fazˆe-lo pa0S# m encontramos ~ 0 m e TQD P rar? I I ] i
0 0SD 0HB2 J D ' /00 *7' TVD P
* (a) A energia cin´etica inicial do carro e´ Zs , onde Z e´ a massa do carro e (b) Agora basta substituir-se y~ TVD PL 0S# m e P0f 0 /QD 0S# m na express˜ao para o trabalho: P 0 PSDUT m/s km/h
I I
I
' /00 *>@' /QD *
I
' TVD P *
' 0 i *
2P00
e´ a sua velocidade inicial. Isto nos fornece
0SD 2 J D
0 00 *7' P>DT * N'
D 2C
0 JD
Ap´os reduzir em /0 kJ a energia cin´etica teremos Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho reaa I lizado e´ mais do que o dobro do trabalho feito no priD 2C
0 /0
0 GSD C 0 J D meiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido idˆentico em ambos intervalos, a forc¸a e´ maior durante Com isto, a velocidade final do carro ser´a o segundo intervalo. a
7.2.4 Energia Cin´etica
E 7-21 (7-???/6 . )
Z
0 * S' GSD C 000
2>D 2 m/s
HVTQD G km/h D
(b) Como ao parar a energia cin´etica final do carro ser´a ZERO, teremos que ainda remover GSD C! 0 J para fazelo parar.
Se um foguete Saturno V com uma espac¸onave Apolo acoplada tem uma massa total de D C] 0 kg e atinge P 7-35 (7-17/6 . ) uma velociade de D km/s, qual a sua energia cin´etica Um helic´optero levanta verticalmente um astronauta de neste instante? T kg at´e / m de altura acima do oceano com o aux´ılio M Usando a definic¸a˜ o de energia con´etica temos que de um cabo. A acelerac¸a˜ o do astronauta e´ 0 . Qual o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo he lic´optero e (b) pelo seu pr´oprio peso? Quais s˜ao (c) a Zs 0 *A' D 0 * '@ D C energia cin´etica e (d) a velocidade do astronauta no mo ~ mento em que chega ao helic´optero? DT/f 0 JD http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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"
(a) Chame de a magnitude da forc¸a exercida pelo (b) A forc¸a da gravidade aponta no mesmo sentido cabo no astronauta. A forc¸a do cabo aponta para cima e que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho M K MV8 J o peso Z do astronauta aponta para baixo. Al´em disto, . M a acelerac¸a˜ o do astronauta e´ 0 , para cima. De acordo (c) O trabalho total feito sobre o bloco e´ com a segunda lei de Newton, "JI Z
M
Z
M
0
I 2 KJMV8 O H
KJMQ8
KJMQ8
H
D
" M o valor acima coincide modo que Z 0 . Como a forc¸a 4 e o deslo- Como o bloco parte do repouso, de com sua energia cin´ e tica ap´ o s haver baixado uma camento 6 est˜ao na mesma direc¸a˜ o, o trabalho feito pela 8 distˆ a ncia . forc¸a 4 e´ 8 (d) A velocidade ap´os haver baixado uma distˆancia e´ M
3
"98
8
Z
0
C D G A* ' / * ' T *A' S 0 D P
0 J D
N
K
MQ8
D
M
(b) O peso tem magnitude Z e aponta na direc¸a˜ o oposta do deslocamento. Ele executa um trabalho 7.2.5 Potˆencia
I Z
MV8
I
I
' T *7' CSD G *7' / *)
D 0Pg
0 JD
P 7-43 (???/6 . )
(c) O trabalho total feito e´
I
P00
0P00
Um bloco de granito de HB00 kg e´ puxado por um guindaste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do constante de D 2H m/s (Fig. 7-38). O coeficiente de atrito Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cin´etica final dinˆamico entre o bloco e a rampa e´ 0SD H . Qual a potˆencia do guindaste? dever´a ser igual a (d) Como Zq , a velocidade final do astronauta Para determinar a magnitude " da forc¸a com que o ser´a guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de cor po livre. >' 000 * ^ G>D C km/h D /QD T m/s Chamemos de a forc¸a de atrito, no sentido oposto ao " Z T de . A normal Y aponta perpendicularmente a` ramM pa, enquanto que a magnitude Z da forc¸a da gravidade aponta verticalmente para baixo. P 7-36 (7-19/6 . ) Da figura dada vemos que aˆ ngulo do plano inclinado Uma corda e´ usada para fazer descer verticalmente um vale K bloco, inicialmente em repouso, de massa com uma M ~ x 20 z acelerac¸a˜ o constante H . Depois que o bloco desceu tan 2VT 1 D 8 H0 uma distˆancia , calcule (a) o trabalho realizado pela corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado sobre o Tomemos o eixo na direc¸a˜ o do plano inclinado, aponbloco pelo seu peso, (c) a energia cin´etica do bloco e (d) tando para cima e o eixo apontando no mesmo sentido a velocidade do bloco. da normal Y . " Como a acelerac¸a˜ o e´ zero, as componentes e da se(a) Chame de a magnitude da forc¸a da corda sobre " gunda lei de Newton s˜ao, respectivamente, o bloco. A forc¸a aponta para cima, enquanto que a
000 J D
KJM
, aponta para baiforc¸a da gravidade, de magnitude M xo. A acelerac¸a˜ o e´ H , para baixo. Considere o sentido para baixo como sendo o sentido positivo. A segunda KJMfI$" KJM lei de Newton diz-nos que H , de modo " KJM que 2 H . A forc¸a est´a direcionada no sentido oposto ao deslocamento de modo que o trabalho que ela faz e´
3
Ir"98
I 2 KJMQ8 D H
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"JI_^aI M Z sen `oI M:7;< Z
0
0SD `
M:7;<
, de Da segunda^ equac¸a˜` o obtemosMque Z :A;< . Substiutindo esmodo que b c b c Z " te resultado na primeira equac¸a˜ o e resolvendo-a para obtemos "
Z
M x
sen O bdc
:A;<
z D
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A forc¸a do guindaste aponta no mesmo sentido que a ve- P 7-48 (7-35/6 . ) locidade do bloco, de modo que a potˆencia do guindaste Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa e´ total de 00 kg e deve subir /H m em 2 min. O con" trapeso do elevador tem uma massa de C/0 kg. CalcuX le a potˆencia (em cavalos-vapor) que o motor do elevaM x :7;< z dor deve desenvolver. Ignore o trabalho necess´ario para Z sen (O b c colocar o elevador em movimento e para fre´a-lo, isto :A;B< x z e´ , suponha que se mova o tempo todo com velocidade 2BT 1 ' H00 *7' CSD G *7' D 2H * sen 2BT 1 O0SD H constante. T kW D O trabalho total e´ a soma dos trabalhos feitos pela gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravidade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre P 7-47 (???/6 . ) o sistema: $¤Oe ¥%Oe ¦ . Como o elevador move-se com velocidade constante, sua energia cin´etica Uma forc¸a de / N age sobre um corpo de D/ kg inicialn˜ a o muda e, de acordo com o teorema do Trabalhomente em repouso. Determine (a) o trabalho executado Energia, o trabalho total feito e´ zero. Isto significa que pela forc¸a no primeiro, segundo e terceiro segundos e
$¤RO $¥)O ¦ 0 . (b) a potˆencia instantˆanea aplicada pela forc¸a no final O elevador move-se /H m para cima, de modo que o trado terceiro segundo. balho feito pela gravidade sobre ele e´ " e o trabalho feito (a) A potˆencia e´ dada por X I MV8 I I
¤r Z ¤ PSD 2/f 0 JD ' 00 *7' CSD G *7' /H *l por 4 entre o instante ~ e e´ t
X
8
t
"
8
O contrapeso move-se para baixo pela mesma distˆancia, de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele e´
D
MQ8
e´ a forc¸a total, a magnitude da acelerac¸a˜ o e´
$¥ E Z ¥ 0 JD N' C/0 *A' CSD G *7' /H * /QD 02
Z e a velocidade em func¸a˜ o do tempo e´ dada " Como 0 , o trabalho feito pelo motor e´ por ¡ Z . Portanto
Como 4 ^ ¡
t
Para ~
0 se
"
I
Z
~
z D
' 0 * £
0SD G2 J D
e s temos
I x / zR¢ '@* /
' * £ D / J D
I x / R z ¢
H D JD '2 * @' * £ / " " (b) Substitua Z em X obtendo ent˜ao " X Z para a potˆencia num instante qualquer.
Ao final do terceiro segundo temos X
'/ * '2 * /
I
¦J
I ¤
/ WD
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I
' PSD 2/
¥§
D2
/QD 02 *
0
0 JD
Este trabalho e´ feito num intervalo de tempo ¨f 2 min G0 s e, portanto, a potˆencia fornecida pelo motor para levantar o elevador e´ X
2 s temos
s temos
I x / z)¢ ' * /
Para ~e s e
x
se
8 Z
~
Para ~
"
¦ ¨f
D2 G0
0
T2/ W D
Este valor corresponde a T 2/ W THP W/hp
0SD CC hp D
P 7-49 (???/6 . ) A forc¸a (mas n˜ao a potˆencia) necess´aria para rebocar um barco com velocidade constante e´ proporcional a` veloci dade. Se s˜ao necess´arios 0 hp para manter uma velocidade de H km/h, quantos cavalos-vapor s˜ao necess´arios para manter uma velocidade de km/h? P´agina 6 de 7
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Como o problema afirma que a forc¸a e´ proporcional Como a velocidade da luz e´ e D CCG( a` velocidade, podemos escrever que a forc¸a e´ dada por " D 0H ?© , onde e´ a velocidade e © e´ uma constante de 0>D PGD D CCG proporcionalidade. A potˆencia necess´aria e´ X
"
0 ¬ m/s, temos
e© D
(b) Como a velocidade do el´etron e´ pr´oxima da velocidade da luz,devemos usar express˜ao relativ´ıstica para a Esta f´ormula nos diz que a potˆencia associada a uma energia cin´etica: velocidade ~ e´ X ~ ª© ~ e a uma velocidade e´ X «© . Portanto, dividindo-se X por X ~ podemos I -z x ZE ® I nos livrar da constante © desconhecida, obtendo que X
Para X ~r
x
z X ~ D ~
' CSD
~
2>D 0
0
~
0 ¬-*
x
0 hp e 2 ~ , vemos sem problemas que x z X ' 0 ! * N' 2 * ' 0 *) C0 hp D H
0 *7'@ D CCG
®
I
I
z
' 0>D PG *
JD
Observe que e´ poss´ıvel determinar-se explicitamente o Este valor e´ equivalente a valor de © a partir dos dados do problema. Por´em, tal ~ soluc¸a˜ o e´ menos elegante que a acima apresentada, onde 2SD 0
0Q D C0
0 determinamos © implicitamente, chegando ao resultado D P0
0 ~¯ final mais rapidamente.
C0 keV D
(c) Classicamente a energia cin´etica e´ dada por 7.2.6 Energia Cin´etica a Velocidades Elevadas E 7-50 (???/6 . )
Zq
' CSD
0
~ 0 # A* '° D 0H±
0 ¬-*
~
JD Um el´etron se desloca de /QD cm em 0SD / ns. (a) Qual e´ a relac¸a˜ o entre a velocidade do el´etron e a velocidade da Portanto, o erro percentual e´ , simplificando j´a a potˆencia ~ luz? (b) Qual e´ a energia do el´etron em el´etrons-volt? comum Q 0 que aparece no numerador e denomina(c) Qual o erro percentual que vocˆe cometeria se usas- dor, se a f´ormula cl´assica para calcular a energia cin´etica do I 2SD 0 DC el´etron? erro percentual 0SD 2BT 2SD 0 (a) A velocidade do el´etron e´ 8
/ D S 0 J D 0H 0>D g / 0
0¬ m/s D
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D C0f
ou seja, 2BT² . Perceba que n˜ao usar a f´ormula relativ´ıstica produz um grande erro!!
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