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- LISTA EXERCÍCIOS 1 PEA 2522 – MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO 1. a)
MAX 3X1 + 5X2 SUBJECT TO X1 <= 4 X2 <= 6 3X1 + 2X2 <=18 END
Solução ótima encontrada: Z = 36,0000 X1 = 2,0000 X2 = 6,0000
Interpretação geométrica do problema e de sua solução: X2
X1
b)
MAX 3X1 + 5X2 SUBJECT TO X1 <= 4 X2 <= 6 3X1 + 2X2 >=18 END
Solução ótima encontrada: Z = 42,0000 X1 = 4,0000 X2 = 6,0000
Interpretação geométrica do problema e de sua solução: X2
X1
2. Utilizando o software OTIMIZA, módulo de Programação Linear: a.
b) Corrente de contribuição de 1 Capacitor(300.0 kVA) = 0.030 Barra B.2 B.4 B.3
Icap 0,000 0,000 0,217
Num.Cap 0 0 8
c) MIN N2 + N3 + N4 SUBJECT TO 0.05789N2 + 0.05789N4 + 0.05789N3 >= -1,20267 0.05789N2 + 0.05789N4 + 0.05789N3 <= 2,13067 0.05789N2 + 0.15272N4 + 0.05789N3 >= -0,955 0.05789N2 + 0.15272N4 + 0.05789N3 <= 2,3783 0.05789N2 + 0.05789N4 + 0.33837N3 >= 2,447 0.05789N2 + 0.05789N4 + 0.33837N3 <= 5,7803 END ! !---------------------------------------------------------------------! descrição das variáveis: !---------------------------------------------------------------------! N2: Número de Capacitores na barra B.2 ! N3: Número de Capacitores na barra B.4 ! N4: Número de Capacitores na barra B.3 Solução ótima encontrada: Z = 7,2317 N2 = 0,0000 N3 = 7,2317 N4 = 0,0000
3.
Resposta:
Perdas: ---------------------------------------------------------------------SEs ---------------------------------------------------------------------SE Snom(MVA) Geração(MVA) SE.1 5,00 1,17 SE.2 5,00 2,35 ---------------------------------------------------------------------Trechos ---------------------------------------------------------------------Trecho Capacidade(MVA) Fluxo(MVA) L12 9,56 0,70 L14 9,56 0,47 L24 9,56 0,00 L23 9,56 0,00 L34 9,56 0,00 ---------------------------------------------------------------------Custos ($/ano) ---------------------------------------------------------------------Trecho Custo perdas Trechos: L12 17,15 L14 23,50 L24 0,00 L23 0,00 L34 0,00 TOTAL 40,65 Formulação PL MIN 24.50F1 + 24.50F2 + 50.00F3 + 50.00F4 + 40.13F5 + 40.13F6 + 118.70F7 + 118.70F8 + 80.00F9 + 80.00F10 SUBJECT TO ! restrições de geração das SEs: G1 <= 5.00 G2 <= 5.00 ! restrições de fluxo nos trechos: F1 + F2 <= 9.56 F3 + F4 <= 9.56 F5 + F6 <= 9.56 F7 + F8 <= 9.56 F9 + F10 <= 9.56 ! restrições de fluxo nas chaves: ! restrições definidas pela lei de Kirchoff nas barras: - F1 + F2 - F3 + F4 + G1 = 0.00 F1 - F2 + F5 - F6 - F7 + F8 = 0.70 F7 - F8 - F9 + F10 + G2 = 2.35 F3 - F4 - F5 + F6 + F9 - F10 = 0.47 END ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
G1: geração da SE SE.1 G2: geração da SE SE.2 F1: fluxo no trecho L12 (sentido b1:b.1 ==> b2:b.2) F2: fluxo no trecho L12 (sentido b2:b.2 ==> b1:b.1) F3: fluxo no trecho L14 (sentido b1:b.1 ==> b2:b.4) F4: fluxo no trecho L14 (sentido b2:b.4 ==> b1:b.1) F5: fluxo no trecho L24 (sentido b1:b.4 ==> b2:b.2) F6: fluxo no trecho L24 (sentido b2:b.2 ==> b1:b.4) F7: fluxo no trecho L23 (sentido b1:b.2 ==> b2:b.3) F8: fluxo no trecho L23 (sentido b2:b.3 ==> b1:b.2) F9: fluxo no trecho L34 (sentido b1:b.3 ==> b2:b.4) F10: fluxo no trecho L34 (sentido b2:b.4 ==> b1:b.3)
4. Planejamento da expansão: Sistema candidato:
Sistema Otimizado:
Custos: ---------------------------------------------------------------------SEs existentes na rede inicial ---------------------------------------------------------------------SE existente Capacidade(kVA) Geração(kVA) SE.10 30000,00 12000,00 ---------------------------------------------------------------------SEs candidatas incorporadas à rede ---------------------------------------------------------------------SE candidata Capacidade(kVA) Geração(kVA) SE.11 25000,00 16002,00 SE.12 30000,00 14005,00 ---------------------------------------------------------------------Trechos existentes na rede inicial ---------------------------------------------------------------------Trecho existente Capacidade(kVA) Fluxo(kVA) T.12 20000,00 5000,00 T.1-10 20000,00 -10000,00 T.3-10 20000,00 2000,00 ---------------------------------------------------------------------Trechos candidatos incorporados à rede ---------------------------------------------------------------------Trecho candidato Capacidade(kVA) Fluxo(kVA) T.4-12 20000,00 -5000,00 T.7-8 20000,00 -6000,00 T.8-11 20000,00 11000,00 T.5-12 20000,00 -4000,00 T.6-12 20000,00 5000,00 T.9-11 20000,00 5000,00 ---------------------------------------------------------------------Custos ($/ano) ---------------------------------------------------------------------Equipamento Custo fixo Custo perdas TOTAL SEs: SE.10 0,00 0,00 0,00 SE.11 150000,00 0,00 150000,00 SE.12 200000,00 0,00 200000,00 Trechos: T.12 0,00 20000,00 20000,00 T.1-10 0,00 80000,00 80000,00 T.3-10 0,00 16000,00 16000,00 T.4-12 40000,00 20000,00 60000,00 T.7-8 40000,00 24000,00 64000,00 T.8-11 40000,00 44000,00 84000,00 T.5-12 40000,00 16000,00 56000,00 T.6-12 40000,00 20000,00 60000,00 T.9-11 40000,00 20000,00 60000,00 TOTAL 590000,00 260000,00 850000,00
Formulação PL MIN 150000.00Y1 + 200000.00Y2 + 100000.00Y3 + 40000.00Y4 + 80000.00Y5 + 40000.00Y6 + 40000.00Y7 + 40000.00Y8 + 40000.00Y9 + 40000.00Y10 + 40000.00Y11 + 40000.00Y12 + 40000.00Y13 + 40000.00Y14 + 40000.00Y15 + 4.00F1 + 4.00F2 + 8.00F3 + 8.00F4 + 8.00F5 + 8.00F6 + 10.00F7 + 10.00F8 + 4.00F9 + 4.00F10 + 8.00F11 + 8.00F12 + 4.00F13 + 4.00F14 + 4.00F15 + 4.00F16 + 4.00F17 + 4.00F18 + 4.00F19 + 4.00F20 + 4.00F21 + 4.00F22 + 4.00F23 + 4.00F24 + 4.00F25 + 4.00F26 + 4.00F27 + 4.00F28 + 4.00F29 + 4.00F30 + 4.00F31 + 4.00F32 SUBJECT TO ! restrições de geração das SEs existentes: G3 <= 30000.00 ! restrições de geração das SEs candidatas: G1 - 25000.00Y1 <= 0.00 G2 - 30000.00Y2 <= 0.00 ! restrições de fluxo nos trechos existentes: F1 + F2 <= 20000.00 F3 + F4 <= 20000.00 F5 + F6 <= 20000.00 ! restrições de fluxo nos trechos candidatos: F7 + F8 - 20000.00Y3 <= 0.00 F9 + F10 - 20000.00Y4 <= 0.00 F11 + F12 - 20000.00Y5 <= 0.00 F13 + F14 - 20000.00Y6 <= 0.00 F15 + F16 - 20000.00Y7 <= 0.00 F17 + F18 - 20000.00Y8 <= 0.00 F19 + F20 - 20000.00Y9 <= 0.00 F21 + F22 - 20000.00Y10 <= 0.00 F23 + F24 - 20000.00Y11 <= 0.00 F25 + F26 - 20000.00Y12 <= 0.00 F27 + F28 - 20000.00Y13 <= 0.00 F29 + F30 - 20000.00Y14 <= 0.00 F31 + F32 - 20000.00Y15 <= 0.00 ! restrições definidas pela lei de Kirchoff nas barras: - F1 + F2 - F3 + F4 - F27 + F28 = 5000.00 F1 - F2 - F11 + F12 = 5000.00 F5 - F6 - F9 + F10 - F13 + F14 = 2000.00 F13 - F14 - F15 + F16 = 5000.00 F7 - F8 - F21 + F22 + F27 - F28 = 4000.00 F11 - F12 + F23 - F24 - F31 + F32 = 5000.00 F9 - F10 - F17 + F18 = 6000.00 F17 - F18 + F19 - F20 = 5000.00 F29 - F30 + F31 - F32 = 5000.00 F3 - F4 - F5 + F6 - F7 + F8 + G3 = 0.00 - F19 + F20 - F25 + F26 - F29 + F30 + G1 = 2.00 F15 - F16 + F21 - F22 - F23 + F24 + F25 - F26 + G2 = 5.00 END ! variáveis inteiras: INT Y1 INT Y2 INT Y3 INT Y4 INT Y5 INT Y6 INT Y7 INT Y8 INT Y9 INT Y10 INT Y11 INT Y12 INT Y13 INT Y14 INT Y15
5. Resposta: MIN CF1Y1 + CF2Y2 + CF3Y3 + CF4Y4 + CF5Y5 + CF6Y6 + CF7Y7 + CF8Y8 + CF9Y9 + CF10Y10 + CP1F1 + CP2F2 + CP3F3 + CP4F4 + CP5F5 + CP6F6 + CP7F7 + CP8F8 + CP9F9 + CP10F10 + CP11F11 + CP12F12 + CP13F13 + CP14F14 + CP15F15 + CP16F16 + CP17F17 + CP18F18 + CP19F19 + CP20F20 + CP21F21 + CP22F22 SUBJECT TO ! restrições de geração das SEs existentes: G2 <= CapSE2 ! restrições de geração das SEs candidatas: G1 – CapSE2Y1 <= 0.00 ! restrições de fluxo nos trechos existentes: F1 + F2 <= 1000.00 F19 + F20 <= 1000.00 ! restrições de fluxo nos trechos candidatos: F3 + F4 - 1000.00Y2 <= 0.00 F5 + F6 - 1000.00Y3 <= 0.00 F7 + F8 - 1000.00Y4 <= 0.00 F9 + F10 - 1000.00Y5 <= 0.00 F11 + F12 - 1000.00Y6 <= 0.00 F13 + F14 - 1000.00Y7 <= 0.00 F15 + F16 - 1000.00Y8 <= 0.00 F17 + F18 - 2000.00Y9 <= 0.00 F21 + F22 - 2000.00Y10 <= 0.00 ! restrições definidas pela lei de Kirchoff nas barras: - F1 + F2 - F3 + F4 - F17 + F18 - F19 + F20 - F21 + F22 + G1 + G2 = 0.00 F1 - F2 - F15 + F16 + F17 - F18 = 0.00 F3 - F4 - F5 + F6 - F13 + F14 = 4000.00 - F9 + F10 - F11 + F12 + F13 - F14 + F15 - F16 + F19 - F20 + F21 - F22 = 3000.00 F5 - F6 - F7 + F8 + F9 - F10 = 5000.00 F7 - F8 + F11 - F12 = 6000.00 ! restrições econômicas:
END ! descrição das variáveis:
! F5: fluxo no trecho T.3-5 (sentido b1:b.4 ==> b2:b.5)
! CFn: custo fixo da variável de decisão n (n de 1 a 10)
! F6: fluxo no trecho T.3-5 (sentido b2:b.5 ==> b1:b.4)
! CPn: custo das perdas do fluxo n (n de 1 a 22)
! F7: fluxo no trecho T.5-6 (sentido b1:b.5 ==> b2:b.6)
! Y1: variável de decisão: constrói ou não a SE SE.2
! F8: fluxo no trecho T.5-6 (sentido b2:b.6 ==> b1:b.5)
! Y2: variável de decisão: constrói ou não o Trecho T.1-4
! F9: fluxo no trecho T.4-5 (sentido b1:b.3 ==> b2:b.5)
! Y3: variável de decisão: constrói ou não o Trecho T.3-5
! F10: fluxo no trecho T.4-5 (sentido b2:b.5 ==> b1:b.3)
! Y4: variável de decisão: constrói ou não o Trecho T.5-6
! F11: fluxo no trecho T.4-6 (sentido b1:b.3 ==> b2:b.6)
! Y5: variável de decisão: constrói ou não o Trecho T.4-5
! F12: fluxo no trecho T.4-6 (sentido b2:b.6 ==> b1:b.3)
! Y6: variável de decisão: constrói ou não o Trecho T.4-6
! F13: fluxo no trecho T.3-4 (sentido b1:b.4 ==> b2:b.3)
! Y7: variável de decisão: constrói ou não o Trecho T.3-4
! F14: fluxo no trecho T.3-4 (sentido b2:b.3 ==> b1:b.4)
! Y8: variável de decisão: constrói ou não o Trecho T.2-3
! F15: fluxo no trecho T.2-3 (sentido b1:b.2 ==> b2:b.3)
! Y9: variável de decisão: constrói ou não o Trecho R.1-2
! F16: fluxo no trecho T.2-3 (sentido b2:b.3 ==> b1:b.2)
! Y10: variável de decisão: constrói ou não o Trecho R.1-3
! F17: fluxo no trecho R.1-2 (sentido b1:b.1 ==> b2:b.2)
! G1: geração da SE SE.2
! F18: fluxo no trecho R.1-2 (sentido b2:b.2 ==> b1:b.1)
! G2: geração da SE SE.1
! F19: fluxo no trecho T.1-3 (sentido b1:b.1 ==> b2:b.3)
! F1: fluxo no trecho T.1-2 (sentido b1:b.1 ==> b2:b.2)
! F20: fluxo no trecho T.1-3 (sentido b2:b.3 ==> b1:b.1)
! F2: fluxo no trecho T.1-2 (sentido b2:b.2 ==> b1:b.1)
! F21: fluxo no trecho R.1-3 (sentido b1:b.1 ==> b2:b.3)
! F3: fluxo no trecho T.1-4 (sentido b1:b.1 ==> b2:b.4)
! F22: fluxo no trecho R.1-3 (sentido b2:b.3 ==> b1:b.1
! F4: fluxo no trecho T.1-4 (sentido b2:b.4 ==> b1:b.1)
6. Solução: a)
Disponibilidade Orçamentária: R$ 100.000,00
MAX 5000.00obra_1 + 30000.00obra_2 + 80000.00obra_3 + 30000.00obra_4 SUBJECT TO ! restrições do orçamento: 5000.00obra_1 + 20000.00obra_2 + 50000.00obra_3 + 50000.00obra_4 <= 100000.00 ! restrições de obras excludentes: obra_1 + obra_2 <= 1 ! restrições de obras interdependentes: -obra_2 + obra_3 >= 0 END ! variáveis binárias INT obra_1 INT obra_2 INT obra_3 INT obra_4 ! !---------------------------------------------------------------------! descrição das variáveis: !---------------------------------------------------------------------! obra_1: inclusão da obra 'Obra 1' ! obra_2: inclusão da obra 'Obra 2' ! obra_3: inclusão da obra 'Obra 3' ! obra_4: inclusão da obra 'Obra 4' ---------------------------------------------------------------------obras priorizadas: ---------------------------------------------------------------------obra_3: Obra 3 obra_4: Obra 4 ---------------------------------------------------------------------Custo total = 100000,00 Beneficio total = 110000,00 ----------------------------------------------------------------------
b) Disponibilidade Orçamentária: R$ 50.000,00 MAX 5000.00obra_1 + 30000.00obra_2 + 80000.00obra_3 + 30000.00obra_4 SUBJECT TO ! restrições do orçamento: 5000.00obra_1 + 20000.00obra_2 + 50000.00obra_3 + 50000.00obra_4 <= 50000.00 ! restrições de obras excludentes: obra_1 + obra_2 <= 1 ! restrições de obras interdependentes: -obra_2 + obra_3 >= 0 END ! variáveis binárias INT obra_1 INT obra_2 INT obra_3 INT obra_4 ! !---------------------------------------------------------------------! descrição das variáveis: !---------------------------------------------------------------------! obra_1: inclusão da obra 'Obra 1' ! obra_2: inclusão da obra 'Obra 2' ! obra_3: inclusão da obra 'Obra 3' ! obra_4: inclusão da obra 'Obra 4' ---------------------------------------------------------------------obras priorizadas: ---------------------------------------------------------------------obra_3: Obra 3 ---------------------------------------------------------------------Custo total = 50000,00 Beneficio total = 80000,00 ----------------------------------------------------------------------
c)
Disponibilidade Orçamentária: R$ 10.000,00
MAX 5000.00obra_1 + 30000.00obra_2 + 80000.00obra_3 + 30000.00obra_4 SUBJECT TO ! restrições do orçamento: 5000.00obra_1 + 20000.00obra_2 + 50000.00obra_3 + 50000.00obra_4 <= 10000.00 ! restrições de obras excludentes: obra_1 + obra_2 <= 1 ! restrições de obras interdependentes: -obra_2 + obra_3 >= 0 END ! variáveis binárias INT obra_1 INT obra_2 INT obra_3 INT obra_4 ! !---------------------------------------------------------------------! descrição das variáveis: !---------------------------------------------------------------------! obra_1: inclusão da obra 'Obra 1' ! obra_2: inclusão da obra 'Obra 2' ! obra_3: inclusão da obra 'Obra 3' ! obra_4: inclusão da obra 'Obra 4' ---------------------------------------------------------------------obras priorizadas: ---------------------------------------------------------------------obra_1: Obra 1 ---------------------------------------------------------------------Custo total = 5000,00 Beneficio total = 5000,00 ----------------------------------------------------------------------
PEA 2522 – MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO LISTA EXERCÍCIOS 1
1. Utilizando o software OTIMIZA, resolva os problemas de P.L.: Max Z = 3x 1 + 5 x 2 a) x1 ≤ 4 s.a.
x2 ≤ 6 3 x1 + 2 x 2 ≤ 18
Resultados: x1 =
x2 = Z = Apresente a interpretação geométrica do problema e de sua solução: X2
X1
b)
Max Z = 3x 1 + 5 x 2 x1 ≤ 4 s.a. x2 ≤ 6 3 x1 + 2 x 2 >= 18
Resultados: x1 =
x2 = Z = Apresente a interpretação geométrica do problema e de sua solução:
X2
X1
2. Utilizando o software OTIMIZA, módulo de Programação Linear: a.
Montar a rede da figura abaixo, sabendo-se que a subestação apresenta tensão 1,02 pu (Vn=13,8 kV e Sn=10 MVA) e que todos os condutores apresentam impedância (0,6+j0,45) Ω/km. 3
(2+j1,24)MVA
L23=11,87km
2 L24=4,013km
L12=2,45km 1
4
(0,6+j0,37)MVA
(0,4+j0,25)MVA
b.
Resolver o problema de locação de bancos de capacitores, de modo a levar as tensões entre 0,95 e 1,05 pu, minimizando a somatória das correntes de capacitores.
c.
Idem ao item anterior, porém com bancos padronizados de 300kVAr, utilizando programação linear inteira mista e minimização do número de bancos instalados. DICA: a partir da formulação de P.L., criar formulação equivalente de P.L.I.M. introduzindo variáveis inteiras de forma a minimizar o número de bancos de 300 kVAr em cada barra da rede: Função objetivo: Min Z = N2 + N 3 + N 4 Restrições: substituir termos do tipo Z ij I k por Z ij .( N k .0,03) (equações em p.u., com SB=100 MVA).
3.
-
Determine a melhor configuração para minimização das perdas no sistema da figura abaixo, utilizando o software OTIMIZA, módulo Algoritmo de Transporte. Utilize os seguintes dados: Linhas: cabo 336 MCM, r = 0,2 ohm/km, x = 0,4 ohm/km, Iadm = 400 A Subestação 1: 5MVA, 13,8 kV Subestação 3: 5MVA, 13,8 kV Custo das perdas: cp = 10 R$ / (MVA . km) 3
(2+j1,24)MVA
L23=11,87km
L34=8,00km
2 L12=2,45km
L24=4,013km 4
(0,6+j0,37)MVA
1
L14=5,00km (0,4+j0,25)MVA
4. Resolva o problema ilustrado na figura abaixo, utilizando o software OTIMIZA. Os dados do problema estão apresentados nas tabelas abaixo. BARRA DEMANDA (kVA) BARRA DEMANDA (kVA)
1 5000 7 6000
2 5000 8 5000
3 2000 9 5000
4 5000 10 0
5 4000 11 2
6 5000 12 5
TRECHO CAPACIDADE CUSTO FIXO CUSTO PERDAS ou SE (kVA) (*) (R$) (R$/kVA) 1-2 20000 0 4 1-10 20000 0 8 3-10 20000 0 8 5-10 20000 100000 10 3-7 20000 40000 4 2-6 20000 80000 8 3-4 20000 40000 4 4-12 20000 40000 4 6-9 20000 40000 4 7-8 20000 40000 4 8-11 20000 40000 4 9-11 20000 40000 4 5-12 20000 40000 4 1-5 20000 40000 4 6-12 20000 40000 4 11-12 20000 40000 4 SE 10 30000 0 0 SE 11 25000 1500000 0 SE 12 30000 2000000 0 (*) Para calcular a corrente admissível, considerar sistema trifásico, tensão nominal 13,8 kV.
10
1 2
5
SE existente SE candidata
4 3
6 12
trecho existente trecho candidato
8 7
9 11
5. Para o sistema da figura, apresentar a formulação do problema de planejamento (com minimização dos custos de investimentos e de perdas), considerando: - possível expansão da SE 1 - 2 estágios (anos 1 e 2) - possível recondutoramento dos trechos 1-2 e 1-3 para o cabo #3 ou cabo #4 As seguintes restrições devem ser consideradas: - balanço de demanda (1a Lei de Kirchoff) - capacidade máxima de alimentadores e de SEs - restrição financeira: máximo investimento anual 1
#1 #1
#1 4
#1,2
2 #1,2 3 D3,t
D4,t #1,2 #1
5 D5,t
#2 #1,2
6 D6,t
Linhas cheias: elemento existente Tracejado: elemento candidato
6. Considere o problema: “ Para um dado conjunto de obras, definidas pelo usuário, deve-se selecionar aquelas a serem priorizadas de tal forma a se maximizar o Benefício Global, respeitando-se uma determinada restrição orçamentária assim como relações de exclusão ou de obrigatoriedade entre obras. Para cada obra, são conhecidos os valores de Benefício e de Custo correspondentes. Também são dados do problema as obras que não podem ser feitas simultaneamente (excludentes) e aquelas para as quais existe uma relação de dependência (solidárias), ou seja, uma delas só pode ser feita se a outra também for selecionada “. Formalmente, tem-se: n
max ∑ y i Bi i =1
s.a. n
∑C i =1
i
y i <= INVmax
(restrição orçamentár ia)
y j + y k <= 1 , para obras j e k excludente s y m − y n ≥ 0 , para obra n dependente da obra m y i = 0 ou 1 , i = 1, 2, ...., n
onde: n : Bi : yi : INVmax : B
número total de obras consideradas; benefício da obra i, em R$; variável de decisão referente à obra i (1: constrói, 0: não constrói); orçamento total disponível, em R$;
Resolva um problema deste tipo utilizando o software OTIMIZA, módulo Programação Inteira, com os seguintes dados: -
Obra 1: Custo R$ 5.000,00 ; Benefício R$ 5.000,00 Obra 2: Custo R$ 20.000,00 ; Benefício R$ 30.000,00 Obra 3: Custo R$ 50.000,00 ; Benefício R$ 80.000,00 Obra 4: Custo R$ 50.000,00 ; Benefício R$ 30.000,00
-
Obras 1 e 2: excludentes Obras 2 e 3: solidárias (obra 3 dependente da obra 2)
a) Disponibilidade Orçamentária: R$ 100.000,00 b) Disponibilidade Orçamentária: R$ 50.000,00 c) Disponibilidade Orçamentária: R$ 10.000,00
