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SALA: 214
Cálculo Diferencial e Integral B Sexta Feira
9a Aula
Integrais definidas Definição e interpretação das Integrais definidas
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 Turma:
MEC108AN
Prof. HANS-ULRICH PILCHOWSKI
Versão: 1o Semestre de 2009
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski
Notas de aula
Cálculo Diferencial e Integral B
Integral Definida (Integral de Riemann) A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos, para isso introduzimos o conceito de somatório ( ∑ ). Exemplos: n
1+ 2 + 3 + 4 +L+ n = ∑k = k =1
n(n + 1) 2 n
12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + L + n 2 = ∑ k 2 = k =1
~
soma de inteiros sucessivos
n(n + 1)(2n + 1) 6
~
soma de quadrados
sucessivos A integral de Riemann de uma função f ( x ) num intervalo [a, b] , é equivalente à soma de todos os elementos de área sob a curva f ( x ) , ou seja:
[c n , f (cn )] [ck , f (ck )]
Y
............................. ...................... ck
cn X
Ak
x k − x k −1
x n − x n −1
Fig.1.1- Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a curva. onde:
c k coordenada entre x k −1 e x k f (c k ) ordenada de c k ∆x k = x k − x k −1
(altura do retângulo) (base do retângulo)
A área do k − ésimo retângulo é dada por Ak = f (c k ) ⋅ ∆x x Somando todas as áreas dos retângulos sob a curva f ( x ) , tem-se uma aproximação (devido às quinas dos retângulos) da área sob a curva. Quanto menor for ∆x k , melhor é a aproximação.
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Definição e interpretação das integrais definidas
Assim: n
lim
|| ∆xk || →0
∑ f (c
k
)∆x k = área sob a curva f ( x ) = A .
k =1
Definição: Integral definida de Riemann: Seja f ( x ) uma função contínua num intervalo
[a, b] , então se o limite n
lim
|| ∆xk || →0
∑ f (c
k
) ∆x k
k =1
existe, a função f ( x ) é integrável em [a, b] no sentido de Riemann, e é definida por n
lim
|| ∆xk || →0
∑ k =1
b
f (c k )∆x k = ∫ f ( x)dx , a
onde a integral definida de f ( x ) , no intervalo [a, b] , dará uma nova função g ( x ) calculada no intervalo
[a, b] ,
o que é escrito na forma
g ( x ) ba , ou seja,
g ( x) ba = g (b) − g (a ) , assim: b
∫ f ( x)dx = g (b) − g (a) a
Exemplo: Encontre a área limitada pela equação da elipse
x2 y2 + =1 a2 b2
Y
( 0, b ) ( a, 0 )
X
Solução: Resolvendo a elipse para y , tem-se que y2 x2 a2 − x2 = 1 − = b2 a2 a2
⇒
y=±
b a2 − x2 a
e como a elipse é simétrica em relação a ambos os eixos a sua área A será igual a quatro vezes a área da parte da elipse contida no primeiro quadrante, isto é,
b y = a2 − x2 a
para 0 ≤ x ≤ a
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Ou seja,
A b b 2 = ∫ a − x 2 dx . 4 a a Para avaliar essa integral substitui-se x = a sen (θ ) . Então, dx = a cos (θ )dθ . Para mudar os limites de integração, note-se que quando x = 0 ⇒ sen (θ ) = 0 ⇒ θ = 0 e quando x = a ⇒ sen (θ ) = 1 ⇒ θ = π 2 . Também,
a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sen 2 (θ ) = a 2 cos 2 (θ ) = a cos (θ ) = a cos (θ ) , já que 0 ≤ x ≤
A=4
π 2
. Por tanto
π 2 b b 2 b π2 a − x 2 dx = 4 ∫ a cos (θ ) ⋅ a cos (θ )dθ = 4ab ∫ cos 2 (θ )dθ ∫ 0 a a a 0
π 2
θ 1 π A = 4ab + sen (θ ) = 2ab + 0 − 0 = π a b . 2 4 0 2
Exemplo: Calcule a área compreendida entre o eixo X e a curva f ( x ) =
1 2 x − 2x + 8 8
(
)
entre [− 2 , 4] .
O gráfico da curva é:
Y
−2
−1
0
1
2
3
4
X
3 2 4 1 43 1 4 2 1 x3 x2 42 ( − 2) ( − 2) x − x − 8 dx = − 2 + 8( x) = − 2 + 8(4) − −2 + 8(− 2) ∫ − 2 8 8 3 2 2 3 2 −2 8 3
(
)
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3 2 1 64 1 43 42 ( − 2) ( − 2) 16 8 4 + 8(4 ) − −2 + 8(− 2 ) = − 2 + 32 + − 2 − 16 −2 8 3 2 3 2 2 3 2 8 3
2 3 16 16 2 3 16 + 2 − 3 15 = . 6 − 2 + 4 + 6 − 6 − 2 = 6 + 6 − 6 = 6 6
Observação: Seja f ( x ) uma função integrável em [a, b] no sentido de Riemann, então a integral definida de Riemann é numericamente igual à área "com sinal" sob o gráfico de f ( x ) , entre x = a e x = b . A1
y
x=a
x=b
f(x) x A2 (A1 e A2) é a soma algébrica de todas as áreas (positivas e negativas) Assim, a integral definida corresponde à soma algébrica das áreas, onde aquelas acima do eixo das abcissas são positivas e aquelas abaixo dos eixo das abcissas serão precedidas de sinal negativo, ou seja: b
∫ f ( x)dx = A
1
− A2
a
Exemplo: Resolver a Integral definida da função f ( x ) = Y
f (x )
0
1
1 3 x entre [− 1, 2] . 3
−1
1 2 3 1 x4 x dx = 3 ∫−1 3 4
2
= −1
2 X
4 1 2 4 (− 1) 1 16 1 1 15 5 − − = = = 3 4 4 3 4 4 3 4 4
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Definições: a) Se f ( x ) é uma função contínua no intervalo fechado [a, b] , então f ( x ) é Riemann integrável em [a, b] . b) Se f ( x ) é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado
[a, b] , então f (x ) é Riemann – integrável em [a, b] .
Exemplos: 1 para x ≤ 0 f (x )= 2 x + 2 para x > 0
1 para x ≤ 0 f (x )= 1 x para x > 0
f (x)
Y
f (x)
Y
2
f (x)
f (x)
1
1
x 0
a
b
0
a
X
Fig. a -Função limitada seccionalmente e Contínua em [a, b ] , é R - integrável
b
X
Fig. b - Função ilimitada seccionalmente em [a, b ] , não é R - integrável
Propriedades da Integral Definida 1) Integral de uma função constante Se f ( x ) = k , k constante, então b
b
∫ f ( x)dx = ∫ kdx = kx a
b a
= k (b − a) ,
a
como mostra a Figura 4.4
Y
f (x ) = k A 0
a
X b
b− a Fig.4.4 - Área sob uma função constante.
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Definição e interpretação das integrais definidas
2) Homogeneidade b
b
a
a
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx , onde k é uma constante
3) Aditividade b
b
b
a
a
a
∫ [f ( x ) + g( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx
4) Linearidade b
b
b
a
a
a
∫ [Af ( x ) + Bg( x )]dx = A ∫ f ( x )dx + B ∫ g ( x )dx , com A e B constantes.
5) Comparatividade Se f ( x ) e g ( x ) são Riemann - integráveis em [a, b] e se f ( x ) ≤ g ( x ) para todo x no intervalo [a, b] , então b
b
a
a
∫ f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
Y
y = g(x )
máx de g ( x ) mín de g ( x )
y= f (x) X
b−a
a
b
6) Aditividade de Intervalos Se f ( x ) é Riemann - integráveis no intervalo [a, b] , bem como no intervalo [b, c ] , então
f ( x ) é também Riemann - integráveis no intervalo [a, c ] , ou seja: c
b
c
a
a
b
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
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7) Valor Absoluto b
b
a
a
∫ f ( x )dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx
Prova: Assumindo que f ( x ) e f ( x ) são Riemann - integráveis no intervalo [a, b] . Temos que - | f(x) | ≤ f(x) ≤ | f(x) |
( -|x| ≤ x ≤ |x| )
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
Então ∫ − | f ( x ) | dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx ; isto é: − ∫ | f ( x ) | dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx b
b
a
a
Logo ∫ f ( x )dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx
Definições: Se f ( x ) é uma função qualquer e a é um número no domínio de f ( x ) ,
(i)
definimos: a
∫ f ( x )dx = 0
a
Se a > b e f ( x ) é Riemann - integráveis em [b, a ] , então definimos:
(ii)
b
a
a
b
∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx Teorema do Valor Médio para Integrais Se f ( x ) é contínua em [a, b] , então existe um número c em [a, b] tal que b
f ( c ) ⋅ (b − a ) = ∫ f ( x )dx a
ou
f (c )=
Y
f (x)
f (c )
b 1 f ( x )dx b − a ∫a
a mín f ( x ) ≤ c ≤ máx f ( x )
c
b
X
Ponto c do teorema do valor médio
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Definição e interpretação das integrais definidas
obs: A área sob a curva y = f ( x ) entre x = a e x = b é igual a área do retângulo cuja base é
(b − a ) e altura f (c ) . Ex: Seja f ( x ) = x 2 , achar c no intervalo [1,4]
f (c ) =
1 4 2 1 x 3 4 1 4 3 13 = − = x dx = 4 − 1 ∫1 3 3 1 3 3 3
Logo f (c ) = c2 = 7 → c =
7 = 2,65
1 64 − 1 1 = (21) = 7 3 3 3
(1 ≤ 2,65 ≤ 4)
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) A primeira parte deste teorema afirma que as operações de diferenciação (derivação) e integração são inversas uma da outra, isto é, diferenciação desfaz a integração e viceversa. O enunciado do TFC é composto de duas partes. Assim, se f ( x ) é contínua num intervalo I tal que a ∈ I e b ∈ I , e seja x ∈ I , então: x
dy d = f (t )dt = f ( x) dx dx ∫a
1a parte:
"a derivada da integral é o integrando"
x
onde y = ∫ f (t )dt a
2a parte: Se g ( x ) é uma primitiva (anti-derivada) de f ( x ) , de tal forma que
g ′( x ) = f ( x ) , então b
∫ f ( x )dx = g(b) − g(a ) , para todo x em [a, b]
a
Exemplos: (1a parte) Calcular x
a) Se y = ∫ (2t 2 − t + 1)dt , calcular 0
dy . dx
x
dy d = (2t 2 − t + 1)dt = 2 x 2 − x + 1 dx dx ∫0 x
1 dy dt , calcular . dx 0 t +1
b) Se y = ∫
3
x
dy d 1 1 = dt = 3 3 ∫ dx dx 0 t + 1 x +1
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x2
dy . 0 dx du Fazendo u = x 2 ⇒ du = 2 xdx ⇒ = 2x dx dy Por tanto, pode-se calcular du u dy d = (5t + 7) 25 dt = (5u + 7) 25 = (5 x 2 + 7) 25 (voltando o valor u = x2) ∫ 0 du du dy logo: = (5 x 2 + 7) 25 du
c) Se y = ∫ (5t + 7) 25 dt , calcular
Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
dy dy du = . = (5 x 2 + 7) 25 ⋅ (2 x ) → dx du dx
[
]
dy = (5 x 2 + 7) 25 (2 x ) dx
Exemplos de Integrais Definidas (2a parte do TFC)
a)
b)
x3 1 13 ( 0) 3 4 4 2 + x = + 1 − + 0 = -0= ∫ ( x + 1)dx = 0 3 3 3 3 0 3
1
41 − x
∫
1
4 1 4 − 1 1 x dx = ∫ − dx = ∫ x 2 − x 2 dx x x 1 x 1 3 12 x x 2 − = 3 12 2
4 12 2 3 2 4 = 2 x − x 3 1 1
1 2 3 1 2 3 = 2.4 2 − .4 2 − 2.1 2 − .1 2 3 3 16 2 4 4 8 = 4 − − 2 − = − − = − 3 3 3 3 3
Observações: 1 •
•
x x x
•
=
=
1 x
1/ 2
x x
1/ 2
= x 0 −1 / 2 = x −1 / 2
(1 = x0)
= x 1−1 / 2 = x +1 / 2
4 1/2 = (22 (1/2) ) = 2
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•
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4 3/2 = (22 (3/2) ) = 23 = 8
4.3 - A integral definida para cálculo de área A integral definida de uma função f(x), num intervalo entre a curva de f ( x ) e o eixo dos x .
Y
f
fi ( x )
∆x
X
a
∆x
a + 2 ∆x
a + ∆x
∫ f ( x) dx = ∫ f
é igual à área
(x)
fi ( x )
b
[ a, b ]
1
∫f
dx +
2
dx + L = f1 ∫ dx + f 2 ∫ dx + L
a + ∆x
a
pois, f i ( x ) para um dado retângulo é constante, isto é, = f 1 ( x ) ∆x + f 2 ( x ) ∆x + L + f n ( x ) ∆x = A1 + A2 + L + An = A b
∫
f ( x ) dx = A e a área sob a curva.
a
Exemplo: Dada a função y = x calcular a área sob o gráfico de x = 0 a x = 3 . Y 3
A =
∫
3
f ( x ) dx =
0
∫ 0
x2 x dx = 2
3
0
32 02 9 = − = 2 2 2
Por geometria A=
4,5
0
3X
1 1 9 base × altura = × 3 × 2 2 2
que é o mesmo resultado obtido por integração.
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Exemplo: Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva y = x 2 − 3 x + 2 e o eixo x que é y = 0 . Nos dois pontos y = 0 ⇒
x 2 − 3 x + 2 = 0 fornece x1 = 1 e x 2 = 2 . Y
b
∫ f ( x) dx = A ,
f (x )
a
então
0
A2 =
b
∫ f (x )dx a
=
2
X
2
x3 3x 2 x − 3 x + 2 dx = − + 2 x 2 3 1
∫( 1
2
1
)
2
2 5 1 8 3× 4 1 3 A2 = − + 4 − + − + 2 = − = u.a. 2 3 6 6 3 3 2
4.4 - A integral definida para cálculo de área de funções pares e impares Quando uma função é par ou impar o cálculo de sua área é feito dobrando a área calculada no primeiro quadrante, isto é, quando se possui uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existe uma simetria da função que permite que a área a
a
A =
∫
f ( x ) dx
seja e dada por A = 2 ∫ f ( x ) dx . 0
−a
Exemplo: Se tivermos uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existirão simetrias do tipo Y
−a
0
x 2 dx =
x3 3
2
∫ −2
f (x ) = x 3
a
2
= −2
a
a
−a
0
∫ f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx
X
8 8 16 + = 3 3 3
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x3 2 ∫ x dx = 2 × 3 0 2
= 2× 0
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8 16 = 3 3
Observação: Note que a curva é simétrica em relação a y. No entanto, a função a seguir é ímpar e gera um gráfico assimétrico. Y f (x ) = x 3 2
A área total
-2
A = 2 ∫ x 3 dx 0
2
X
2
A integral
∫ f ( x) dx = 0
porque a curva é assimétrica, e portanto, de sinal contrário
−2
em relação à origem. 2
x4 A = 2 ∫ x dx = 2 4 0
2
3
2
ou
x4 x dx = ∫ 4 −2
0
x4 = 2
2
= 8 − 0 = 8 u .a. 0
2
3
= 4 − 4 = 0 (integral nula) −2
“A área deve ser considerada sempre positiva.”
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