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Integral - 9 Integrais Definidas

Integral

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SALA: 214 Cálculo Diferencial e Integral B Sexta Feira 9a Aula Integrais definidas Definição e interpretação das Integrais definidas Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 Turma: MEC108AN Prof. HANS-ULRICH PILCHOWSKI Versão: 1o Semestre de 2009 Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B Integral Definida (Integral de Riemann) A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos, para isso introduzimos o conceito de somatório ( ∑ ). Exemplos: n 1+ 2 + 3 + 4 +L+ n = ∑k = k =1 n(n + 1) 2 n 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + L + n 2 = ∑ k 2 = k =1 ~ soma de inteiros sucessivos n(n + 1)(2n + 1) 6 ~ soma de quadrados sucessivos A integral de Riemann de uma função f ( x ) num intervalo [a, b] , é equivalente à soma de todos os elementos de área sob a curva f ( x ) , ou seja: [c n , f (cn )] [ck , f (ck )] Y ............................. ...................... ck cn X Ak x k − x k −1 x n − x n −1 Fig.1.1- Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a curva. onde: c k coordenada entre x k −1 e x k f (c k ) ordenada de c k ∆x k = x k − x k −1 (altura do retângulo) (base do retângulo) A área do k − ésimo retângulo é dada por Ak = f (c k ) ⋅ ∆x x Somando todas as áreas dos retângulos sob a curva f ( x ) , tem-se uma aproximação (devido às quinas dos retângulos) da área sob a curva. Quanto menor for ∆x k , melhor é a aproximação. 1 9a Aula Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Definição e interpretação das integrais definidas Assim: n lim || ∆xk || →0 ∑ f (c k )∆x k = área sob a curva f ( x ) = A . k =1 Definição: Integral definida de Riemann: Seja f ( x ) uma função contínua num intervalo [a, b] , então se o limite n lim || ∆xk || →0 ∑ f (c k ) ∆x k k =1 existe, a função f ( x ) é integrável em [a, b] no sentido de Riemann, e é definida por n lim || ∆xk || →0 ∑ k =1 b f (c k )∆x k = ∫ f ( x)dx , a onde a integral definida de f ( x ) , no intervalo [a, b] , dará uma nova função g ( x ) calculada no intervalo [a, b] , o que é escrito na forma g ( x ) ba , ou seja, g ( x) ba = g (b) − g (a ) , assim: b ∫ f ( x)dx = g (b) − g (a) a Exemplo: Encontre a área limitada pela equação da elipse x2 y2 + =1 a2 b2 Y ( 0, b ) ( a, 0 ) X Solução: Resolvendo a elipse para y , tem-se que y2 x2 a2 − x2 = 1 − = b2 a2 a2 ⇒ y=± b a2 − x2 a e como a elipse é simétrica em relação a ambos os eixos a sua área A será igual a quatro vezes a área da parte da elipse contida no primeiro quadrante, isto é, b  y = a2 − x2  a  para 0 ≤ x ≤ a 2 Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B Ou seja, A b b 2 = ∫ a − x 2 dx . 4 a a Para avaliar essa integral substitui-se x = a sen (θ ) . Então, dx = a cos (θ )dθ . Para mudar os limites de integração, note-se que quando x = 0 ⇒ sen (θ ) = 0 ⇒ θ = 0 e quando x = a ⇒ sen (θ ) = 1 ⇒ θ = π 2 . Também, a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sen 2 (θ ) = a 2 cos 2 (θ ) = a cos (θ ) = a cos (θ ) , já que 0 ≤ x ≤ A=4 π 2 . Por tanto π 2 b b 2 b π2 a − x 2 dx = 4 ∫ a cos (θ ) ⋅ a cos (θ )dθ = 4ab ∫ cos 2 (θ )dθ ∫ 0 a a a 0 π 2 θ 1  π  A = 4ab + sen (θ ) = 2ab  + 0 − 0 = π a b . 2 4 0 2  Exemplo: Calcule a área compreendida entre o eixo X e a curva f ( x ) = 1 2 x − 2x + 8 8 ( ) entre [− 2 , 4] . O gráfico da curva é: Y −2 −1 0 1 2 3 4 X 3 2   4 1  43 1 4 2 1  x3 x2 42 ( − 2) ( − 2) x − x − 8 dx =  − 2 + 8( x) =  − 2 + 8(4) − −2 + 8(− 2) ∫ − 2 8 8 3 2 2 3 2  −2 8  3  ( ) 3 9a Aula Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Definição e interpretação das integrais definidas 3 2  1  64 1  43 42 ( − 2) ( − 2) 16 8 4  + 8(4 ) − −2 + 8(− 2 ) =  − 2 + 32 + − 2 − 16  −2 8 3 2 3 2 2 3 2   8 3 2 3 16  16 2 3 16 + 2 − 3 15 = .  6 − 2 + 4 + 6 − 6 − 2 = 6 + 6 − 6 = 6 6   Observação: Seja f ( x ) uma função integrável em [a, b] no sentido de Riemann, então a integral definida de Riemann é numericamente igual à área "com sinal" sob o gráfico de f ( x ) , entre x = a e x = b . A1 y x=a x=b f(x) x A2 (A1 e A2) é a soma algébrica de todas as áreas (positivas e negativas) Assim, a integral definida corresponde à soma algébrica das áreas, onde aquelas acima do eixo das abcissas são positivas e aquelas abaixo dos eixo das abcissas serão precedidas de sinal negativo, ou seja: b ∫ f ( x)dx = A 1 − A2 a Exemplo: Resolver a Integral definida da função f ( x ) = Y f (x ) 0 1 1 3 x entre [− 1, 2] . 3 −1 1 2 3 1  x4  x dx =   3 ∫−1 3 4  2 = −1 2 X 4 1  2 4 (− 1)  1 16 1  1 15  5 − − = =  = 3 4 4  3  4 4  3  4  4 4 Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B Definições: a) Se f ( x ) é uma função contínua no intervalo fechado [a, b] , então f ( x ) é Riemann integrável em [a, b] . b) Se f ( x ) é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado [a, b] , então f (x ) é Riemann – integrável em [a, b] . Exemplos: 1 para x ≤ 0 f (x )=  2  x + 2 para x > 0 1 para x ≤ 0 f (x )=  1 x para x > 0 f (x) Y f (x) Y 2 f (x) f (x) 1 1 x 0 a b 0 a X Fig. a -Função limitada seccionalmente e Contínua em [a, b ] , é R - integrável b X Fig. b - Função ilimitada seccionalmente em [a, b ] , não é R - integrável Propriedades da Integral Definida 1) Integral de uma função constante Se f ( x ) = k , k constante, então b b ∫ f ( x)dx = ∫ kdx = kx a b a = k (b − a) , a como mostra a Figura 4.4 Y f (x ) = k A 0 a X b b− a Fig.4.4 - Área sob uma função constante. 5 9a Aula Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Definição e interpretação das integrais definidas 2) Homogeneidade b b a a ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx , onde k é uma constante 3) Aditividade b b b a a a ∫ [f ( x ) + g( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx 4) Linearidade b b b a a a ∫ [Af ( x ) + Bg( x )]dx = A ∫ f ( x )dx + B ∫ g ( x )dx , com A e B constantes. 5) Comparatividade Se f ( x ) e g ( x ) são Riemann - integráveis em [a, b] e se f ( x ) ≤ g ( x ) para todo x no intervalo [a, b] , então b b a a ∫ f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx Y y = g(x ) máx de g ( x ) mín de g ( x ) y= f (x) X b−a a b 6) Aditividade de Intervalos Se f ( x ) é Riemann - integráveis no intervalo [a, b] , bem como no intervalo [b, c ] , então f ( x ) é também Riemann - integráveis no intervalo [a, c ] , ou seja: c b c a a b ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx 6 Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 7) Valor Absoluto b b a a ∫ f ( x )dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx Prova: Assumindo que f ( x ) e f ( x ) são Riemann - integráveis no intervalo [a, b] . Temos que - | f(x) | ≤ f(x) ≤ | f(x) | ( -|x| ≤ x ≤ |x| ) b b b b b b a a a a a a Então ∫ − | f ( x ) | dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx ; isto é: − ∫ | f ( x ) | dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx b b a a Logo ∫ f ( x )dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx Definições: Se f ( x ) é uma função qualquer e a é um número no domínio de f ( x ) , (i) definimos: a ∫ f ( x )dx = 0 a Se a > b e f ( x ) é Riemann - integráveis em [b, a ] , então definimos: (ii) b a a b ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx Teorema do Valor Médio para Integrais Se f ( x ) é contínua em [a, b] , então existe um número c em [a, b] tal que b f ( c ) ⋅ (b − a ) = ∫ f ( x )dx a ou f (c )= Y f (x) f (c ) b 1 f ( x )dx b − a ∫a a mín f ( x ) ≤ c ≤ máx f ( x ) c b X Ponto c do teorema do valor médio 7 9a Aula Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Definição e interpretação das integrais definidas obs: A área sob a curva y = f ( x ) entre x = a e x = b é igual a área do retângulo cuja base é (b − a ) e altura f (c ) . Ex: Seja f ( x ) = x 2 , achar c no intervalo [1,4] f (c ) = 1 4 2 1  x 3  4 1  4 3 13    =  − = x dx = 4 − 1 ∫1 3  3  1 3  3 3  Logo f (c ) = c2 = 7 → c = 7 = 2,65 1  64 − 1  1   = (21) = 7 3 3  3 (1 ≤ 2,65 ≤ 4) Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) A primeira parte deste teorema afirma que as operações de diferenciação (derivação) e integração são inversas uma da outra, isto é, diferenciação desfaz a integração e viceversa. O enunciado do TFC é composto de duas partes. Assim, se f ( x ) é contínua num intervalo I tal que a ∈ I e b ∈ I , e seja x ∈ I , então: x dy d = f (t )dt = f ( x) dx dx ∫a 1a parte: "a derivada da integral é o integrando" x onde y = ∫ f (t )dt a 2a parte: Se g ( x ) é uma primitiva (anti-derivada) de f ( x ) , de tal forma que g ′( x ) = f ( x ) , então b ∫ f ( x )dx = g(b) − g(a ) , para todo x em [a, b] a Exemplos: (1a parte) Calcular x a) Se y = ∫ (2t 2 − t + 1)dt , calcular 0 dy . dx x dy d = (2t 2 − t + 1)dt = 2 x 2 − x + 1 dx dx ∫0 x 1 dy dt , calcular . dx 0 t +1 b) Se y = ∫ 3 x dy d 1 1 = dt = 3 3 ∫ dx dx 0 t + 1 x +1 8 Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B x2 dy . 0 dx du Fazendo u = x 2 ⇒ du = 2 xdx ⇒ = 2x dx dy Por tanto, pode-se calcular du u dy d = (5t + 7) 25 dt = (5u + 7) 25 = (5 x 2 + 7) 25 (voltando o valor u = x2) ∫ 0 du du dy logo: = (5 x 2 + 7) 25 du c) Se y = ∫ (5t + 7) 25 dt , calcular Aplicando a Regra da Cadeia, temos: dy dy du = . = (5 x 2 + 7) 25 ⋅ (2 x ) → dx du dx [ ] dy = (5 x 2 + 7) 25 (2 x ) dx Exemplos de Integrais Definidas (2a parte do TFC) a) b)  x3  1  13   ( 0) 3  4 4 2 + x  =  + 1 −  + 0 = -0= ∫ ( x + 1)dx =  0  3   3  3 3 0  3      1 41 − x ∫ 1 4 1 4 − 1 1  x  dx = ∫  − dx = ∫  x 2 − x 2 dx x x  1 x 1 3  12 x x 2 − = 3  12 2    4  12 2 3 2  4  =  2 x − x  3 1  1  1  2 3   1 2 3  =  2.4 2 − .4 2  −  2.1 2 − .1 2  3 3     16   2 4 4 8  = 4 −  − 2 −  = − − = − 3  3 3 3 3  Observações: 1 • • x x x • = = 1 x 1/ 2 x x 1/ 2 = x 0 −1 / 2 = x −1 / 2 (1 = x0) = x 1−1 / 2 = x +1 / 2 4 1/2 = (22 (1/2) ) = 2 9 9a Aula Prof. Hans-Ulrich Pilchowski • Definição e interpretação das integrais definidas 4 3/2 = (22 (3/2) ) = 23 = 8 4.3 - A integral definida para cálculo de área A integral definida de uma função f(x), num intervalo entre a curva de f ( x ) e o eixo dos x . Y f fi ( x ) ∆x X a ∆x a + 2 ∆x a + ∆x ∫ f ( x) dx = ∫ f é igual à área (x) fi ( x ) b [ a, b ] 1 ∫f dx + 2 dx + L = f1 ∫ dx + f 2 ∫ dx + L a + ∆x a pois, f i ( x ) para um dado retângulo é constante, isto é, = f 1 ( x ) ∆x + f 2 ( x ) ∆x + L + f n ( x ) ∆x = A1 + A2 + L + An = A b ∫ f ( x ) dx = A e a área sob a curva. a Exemplo: Dada a função y = x calcular a área sob o gráfico de x = 0 a x = 3 . Y 3 A = ∫ 3 f ( x ) dx = 0 ∫ 0 x2 x dx = 2 3 0 32 02 9 = − = 2 2 2 Por geometria A= 4,5 0 3X 1 1 9 base × altura = × 3 × 2 2 2 que é o mesmo resultado obtido por integração. 10 Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B Exemplo: Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva y = x 2 − 3 x + 2 e o eixo x que é y = 0 . Nos dois pontos y = 0 ⇒ x 2 − 3 x + 2 = 0 fornece x1 = 1 e x 2 = 2 . Y b ∫ f ( x) dx = A , f (x ) a então 0 A2 = b ∫ f (x )dx a = 2 X 2  x3 3x 2  x − 3 x + 2 dx =  − + 2 x 2 3 1 ∫( 1 2 1 ) 2 2 5 1  8 3× 4   1 3  A2 =  − + 4 − + − + 2 = − = u.a. 2 3 6 6  3   3 2 4.4 - A integral definida para cálculo de área de funções pares e impares Quando uma função é par ou impar o cálculo de sua área é feito dobrando a área calculada no primeiro quadrante, isto é, quando se possui uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existe uma simetria da função que permite que a área a a A = ∫ f ( x ) dx seja e dada por A = 2 ∫ f ( x ) dx . 0 −a Exemplo: Se tivermos uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existirão simetrias do tipo Y −a 0 x 2 dx = x3 3 2 ∫ −2 f (x ) = x 3 a 2 = −2 a a −a 0 ∫ f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx X 8 8 16 + = 3 3 3 11 9a Aula Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 2 2 x3 2 ∫ x dx = 2 × 3 0 2 = 2× 0 Definição e interpretação das integrais definidas 8 16 = 3 3 Observação: Note que a curva é simétrica em relação a y. No entanto, a função a seguir é ímpar e gera um gráfico assimétrico. Y f (x ) = x 3 2 A área total -2 A = 2 ∫ x 3 dx 0 2 X 2 A integral ∫ f ( x) dx = 0 porque a curva é assimétrica, e portanto, de sinal contrário −2 em relação à origem. 2 x4 A = 2 ∫ x dx = 2 4 0 2 3 2 ou x4 x dx = ∫ 4 −2 0 x4 = 2 2 = 8 − 0 = 8 u .a. 0 2 3 = 4 − 4 = 0 (integral nula) −2 “A área deve ser considerada sempre positiva.” 12