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Arquivo cedido por Alex Pereira Bezerra
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Principio da Indução Finita (PIF) 1) Axioma da Boa Ordem em N: Cada subconjunto não vazio de N possui um menor( ou primeiro) elemento O axioma da boa ordem em N afirma que se A é um subconjunto do conjunto N e A então existe um elemento n0 em A satisfazendo n0 a para cada inteiro a do conjunto A Teorema : 1. Não existe um inteiro n tal que 0 < n < 1; 2. Para cada inteiro m, não existe n tal que m < n < m + 1; 3. Se m e n são inteiros com m < n então m + 1 n. Reciprocamente, se m + 1 < n.
n então m
Demonstração: 1. Suponhamos que existe um inteiro n tal que 0 < n < 1. Tal n é um número natural, e, portanto o conjunto A de números naturais caracterizado por A {x N / 0 x 1} é um conjunto não vazio ( visto que n A ).Pelo axioma da boa ordem,A tem um menor elemento n0 .Porém 0. n0 1 0.n 0 n0 .n0 1.n0 ,ou seja ,
0
n02
n0 .Temos aí uma contradição ,pois 0
n02
1
n02
A , porém n 0 é o
menor elemento de A e n02 n0 . 2. Sejam m e n dois inteiros e suponhamos m < n < m +1.Então m n n , n>5. solução: a) (1) Para n = 1, 21 = 2 < 21 + 1 = 22 = 4, verdadeiro. (2) Hipótese: 2n < 2n + 1. (1) Provar 2n + 1 < 2n + 2. Demonstração:
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Por hipótese 2n < 2n + 1
2.2n < 2.2n + 1
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2n + 1 < 2 n + 2 .
(1) É verdade para n = 5, pois 25 = 32 e 52 = 25. (2) Hipótese: 2n > n2. (3) Provar 2n + 1 > (n + 1)2 Demonstração: - Provemos inicialmente que 2n > 2n + 1, para n > 5. Esta proposição é verdadeira para n = 5, pois 25 > 10 + 1 = 11. Supondo verdadeira para n, 2n > 2n + 1, devemos ter 2n + 1 > 2(n + 1) + 1 = 2n + 3. Ora, 2n > 2n + 1 e 2n > 2 para n > 1. Somando membro a membro, 2n + 2n > 2n + 1 + 2 +3 2n+1 > 2n + 3 ( i )
2.2n > 2n
Pela hipótese 2n > n2 e conforme demonstrado, 2n > 2n + 1. Somando membro a membro essas igualdades, concluímos: 2n + 2n > n2 + 2n + 1 2n + 1 > (n + 1)2. (expressão a ser demonstrada em (3).
Exercícios Propostos
1)Demonstrar que 10n + 1 9n
10 é um múltiplo de 81 para todo inteiro positivo n
2)Mostre que para cada inteiro n, n
0, o inteiro 9 n 1 é divisível por 8.
3)A seqüência de Fibonacci é um exemplo de um seqüência de inteiros definida indutivamente.Ela é definida como a 0 , a1 ,..., sendo a 0 a1 1 e, a n 1 a n a n n 0. [(1 5 ) / 2] n [(1 5) / 2] n a) Prove por indução sobre n que a n 5 a 1 5 b)Mostre que lim n 1 n an 2 4)prove que o conjunto S 5)Para n
{m
0,mostre que a n
11n
Z :7 2
m
R,
12 2 n 1 é um número divisível por 133.
2k e n 1,mostre que
sen sen(i )
i 1
7)Para n
para cada
8} é vazio.
n
6)Para
1
sen
n 2
. sen
n 1 2
2
3,mostre que 2 n 1 é um número composto se n não é uma potência de 2.
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8)Seja A
cos
sen
sen
.Determine A n para n 1.
cos
n
9)Para n 0 e x
1,mostre que S n ( x) i 0
( x i)
i
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i! ( x i) i
x x 1
( x 1).( x 2)...( x i )
10)Prove que
n5 5
n4 2
n3 3
n é um inteiro para n = 0,1,2,.. 30
11)Tome a, b, p1 , p 2 ,..., p n como números reais onde a f ( x)
( p1
x)( p 2
x)...( p n
x) .Prove que
p1
a
a
a
a
a
b
p2
a
a
a
a
b
b
p3
a
a
a
det b b
b
b
p4
a
a
b
b
b
b
pn
b
b
b
b
b
12)Se A1 ... An 13)Tome f ( x)
,0
Ai
1
2a 2
a pn
,i = 1,2,...,n,então sen A1
sen An
n sen
n
a1 sen x a 2 sen(2 x) ... a n sen(nx). ,onde a1 ,..., a n são números reais e
... na n
14)Prove que
b .Defina
bf (a ) af (b) b a
onde n é um inteiro positivo.Sabendo que f ( x) a1
(n 1)! onde ( x 1)( x n) ( n )
sen x , x
R ,prove que
1.
1 a ( a b)
1 1 ... (a b)(a 2b) (a (n 1)b)(a nb)
15)Prove que para x1 , x 2 ,..., x n inteiros não negativos
x1 ... x n n
a a (a nb) n
x1 ....x n
OBS: Alguns exercícios foram colocados apenas a título de conhecimento, que estão além do nível IME e ITA.
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Bibliografia: 1)Mathematical Circles Dmitri Fomin 2)Manual de Indução Matemática Luiz Lopes 3)Introdução à Álgebra Adilson Gonçalves 4)Fundamentos de Matemática Elementar- Gelson Iezzi 5)Curso de Análise- Elon Lages
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