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Princ´ıpio da Incerteza O desvio RMS na medida de toda observ´avel ´e dada por: D
D E
(∆A)2 = ψ (Aˆ − Aˆ )2 ψ D E
D
E
(1)
E
(2)
E
onde Aˆ e ψ Aˆ ψ com similar express˜ao para: D E
D
ˆ ˆ )2 ψ − B (∆B)2 = ψ (B
Desde que estamos tratando com grandezas observ´aveis supomos que amˆ s˜ao hermiteanas. bas Aˆ e B NB1/ Usando a mesma trilha como na prova da Desigualdades de Schwarz, definimos o estado “ket” dado por: D E
D E
ˆ− B ˆ )ψ η = (Aˆ − Aˆ )ψ + iλ(B
(3)
onde λ ∈ R E o mesmo para o “BRA”: D D D E D ˆ η = ψ(Aˆ − Aˆ ) −iλ ψ(B
D E ˆ ) − B
O produto interno hη |ηi ´e ent˜ao uma f (λ) e n˜ao negativa, hη |ηi ≥ 0. Logo: D E
D
D E
0 ≤ I(λ) ≡ hη|ηi = ψ(Aˆ − Aˆ ) (Aˆ − Aˆ )|ψ D
D E
D E
D E
D
D E
ˆ ˆ ) |ψi − iλ ψ(B ˆ− B ˆ ) (Aˆ − Aˆ ) |ψi +i λ ψ(Aˆ − Aˆ ) (B − B D D E D E ˆ− B ˆ ) (B ˆ− B ˆ ) |ψi +λ2 ψ(B D E
D E
ˆ s˜ao hermiteanos e que Aˆ e ˆb s˜ao NB2/ Lembrando o fato que Aˆ e B portanto, REAIS, para mover todos os termos: D
D E
D
D E
ˆ ˆ )2 |ψi I(λ) = ψ(Aˆ − Aˆ )2 |ψi + λ2 ψ (B − B D
D E
D E
D E
D E
ˆ ˆ ) |ψi − (B ˆ− B ˆ )(Aˆ − Aˆ ) |ψi +i λ ψ(Aˆ − Aˆ ) (B − B
NB3/ Os segundos termos podem ser escritos como: (∆A)2 − λ2 (∆B)2
1
(4)
NB4/ O terceiro termo pode ser escrito como: D E
D E
D E
D E
ˆ− B ˆ ) − (B ˆ− B ˆ )(Aˆ − Aˆ ) = AˆB ˆ −B ˆ Aˆ = [A, ˆ B] ˆ (Aˆ − Aˆ )(B
(5)
Com a simplifica¸ca˜o em vista do fato que um comutador de um operador ˆ = 0, logo, o termo resultante tem a com todo n´ umero complexo anular [c, A] forma:
D
E
ˆ ˆ B] ψ = λ hψ |F |ψi (6) λ ψ [A,
ˆ B] ˆ ´e um operador hermiteano e que tem necessariamente Em que Fˆ ≡ i[A, esperan¸cas matem´aticas (valor esperado) REAIS. Logo, I(λ) ´e reescrito em termos de quantidades REAIS, tal que: D
E
I(λ) = (∆A)2 + λ2 (∆B)2 + λ ψ Fˆ ψ ≥ 0
(7)
Desde que isto, por constru¸c˜ao, ´e n˜ao negativo para todos os valores de λ, ser´a ent˜ao no m´ınimo, ie para λ determinado por: 0=
D E dI (λmin ) = 2λmin (∆B)2 + ψ Fˆ ψ dy
ou D
E
ψ Fˆ ψ
λmin = −
(8)
2(∆B)2
NB5/ A desigualdade para este valor de λ pode ent˜ao ser escrito na forma de um PRODUTO DE INCERTEZA, desde que, de (7):
D
I(λmin ) = (∆A)2 + −
ψ Fˆ ψ
E 2
2(∆B)2
(∆B)2 + −
D
ψ Fˆ ψ
E
2(∆B)2
D
E
ψ Fˆ ψ ≥ 0
(9) Que implica em:
D
(∆A)2 +
ψ Aˆ ψ
E2
4(∆B)2
D
E
ψ Fˆ ψ D E − ψ Fˆ ψ ≥ 0 2(∆B)2
(10)
E, multiplicando tudo por (∆B)2 , fica: D
(∆A)2 (∆B)2 +
E2 ψ Fˆ ψ
4
E2 ˆ D E ψ F ψ − ψ Fˆ ψ D
2
2
≥0
D
(∆A)2 (∆B)2 +
ψ Fˆ ψ
E2
4 D
(∆A)2 (∆B)2 −
D
−
ψ Fˆ ψ
E2
2
ψ Fˆ ψ
≥0
E2
≥0 (11) 4 Em que o lado e claramente real e positivo (apesar de explic´ıto E ´ D direito ˆ “i”) desde que ψ F ψ ´e real. Este resultado sempre mostra que: ´ em pricn´ıpio, poss´ıvel ter autovalores simultˆaneos, isto ´e, ESTADOS i) E, ˆ B] ˆ = para o qual ambos ∆A e ∆B sejam anulados (vanishing), desde que [A, 0. O PRODUTO DO PRINC´IPIO DA INCERTEZA pode ser escrito como:
D
∆A∆B ≥
E
ˆ B] ˆ ψ | | ψ i[A,
(12) 2 NB6/ O famoso princ´ıpio da incerteza de Heisemberg (para posi¸ca˜o/momentum) ˆ ≡ xˆ, pois: ´e simplesmente um caso especial em que Aˆ ≡ pˆx e B ˆ B] ˆ = i[pˆx , xˆ] = i(−i¯ Fˆ = i[B, h) = h ¯
(13)
Logo: h ¯ h ¯ hψ|ψi = (14) 2 2 Por esta demonstra¸c˜ao, podemos ver que o princ´ıpio da incerteza de Heisemberg ´e apenas um caso particular de uma rela¸c˜ao de incerteza maior e mais geral. ∆x∆px ≥
Fonte: Notas de aula do Professor Aurino Ribeiro, (Mecˆanica Quˆantica 1 - FIS512) UFBA.
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