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Ime - Lista De Limites (cálculo I)

Excelente coletânea com exercícios de alto grau de dificuldade.

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IME 2009 CÁLCULOI LISTA DE EXERCÍCIOS I Nenhum dos limites desta lista deve ser calculado usando a regra de L´Hospital. Só é permitido o uso dos limites fundamentais e das propriedades básicas de limites. 1. Exercícios de limites: Tom Apostol, volume I. Seção 3.6: todos Seção 3.8: todos 2. Calcule os limites: 2.1. lim x0 2.2. tg x x lim sen 3x x 2.19. tg x sen x 2.20. sen 3x sen 5x 2.21. x 0 2.4. lim x 0 2.5. lim x 0 2.6. 2.7. 2.8. 1−cos x lim x 0 x2 2.10. lim   n1− n  n∞     a ,∀ a n lim 1 2.23.       lim 1 n∞ 2.26. 1 n n∞ 2.11. 2.27. 2.12. lim senx 2x 2.28. lim 1 n∞ n 1 n 2.39. lim  2.41. 4 n9  2.42. sen 2 x lim x x 0 2.30. 1 lim 1 2 n∞ 2n 2.15. lim lim n n n 2.44. lim  n   na− n 2.45. 1 4 lim n a  −a 4 n n∞ 2.46. lim   n 21− 4 n1  2.47. lim n ∞ n ∞ [ 8 n∞ n∞ n ∞ 2.32. lim  ln n n ∞ 1 n a x −a −x x lim n   a−1 1 2.31. a x −1 x 2.43. 2n  lim x 0 n  lim x 0 3n 2.14. ln 1ax  x n n−2 2.29. 1 x x 0    lim 1ax x 0 2.13. −ax e −e lim x x0 2  1 lim 1 3n n∞ e x −1 x ax 2.40. senx lim x  − x 1 n e ax −1 x lim x0 2.38. 1 4 n2 1 lim 1 n ∞ 2.16. lim 2n 1 lim 1 2n n∞ lim 1 2.37. 2n   tg 3 x lim 2 x0 x x tg x x 0 sen x tg 3 x lim x 0 4 x 2.36. 1 n   n n e lim 2.35. x 0 1 lim 1 2 n ∞ n 2.25. x 0   ln n lim n n ∞ n ∞ 1 lim 1 2n n ∞  lim 3x tg x x ∞ x 0 2.34. x 0 2.22. 2.24. 2x2 2x sen 2x sen 2 x 3 x² x lim x cosec  3 x x ∞ 1 n n∞ n 1 x lim lim  n ln n 2.33. x 0 x 0 x 0 lim x sen lim x cotg3 x lim 2.18. lim tg 3x cosec 3x x ∞ 2.9. 2.17. lim x 0 2.3. 1−cos x x a n−b n a nb n ] IME 2009 3. Se CÁLCULOI n n n 0ab , mostre que lim  a b =b . n ∞ 4. Se a0, a seqüência recorrência:  a  a a ,  a  a , a, x 1= a ; x n1= ax n , para n1. Mostre que lim x n= n ∞ 5. Sejam limite. x 1=1 e 6. Mostre que se … pode ser definida pela seguinte regra de 1 14 a 2 x n1=1 x n , para n1 . Mostre que a seqüência {x n } é limitada e calcule seu lim x n= x , então a seqüência das médias aritméticas de n∞ x n também converge para x, isto é: lim xn= x , onde n∞ xn = x1 x 2...x n . n Use esses resultados para calcular os limites abaixo: 1 1 1 ... 2 n 6.1 lim n n∞ 7. Mostre que se {x n } 6.2. 1 23 3... n n n n∞ lim é uma seqüência tal que lim n∞ x n1 n =r , então lim  x n=r. Use esse resultado para n∞ xn n mostrar que lim n∞  n! = 1 . n e 8. A seqüência dos números de Fibonacci é definida pela seguinte regra de recorrência: F 0=0 ; F 1=1 F n2=F n1 F n , para n0. Mostre que lim n∞ F n1 1  5 = . Fn 2 9. Dados 0a 1b1, definimos a n1=  a n b n e b n1= a nbn  , para n1. Mostre que as seqüência 2 {a n } e {bn } convergem e têm o mesmo limite. 10. Seja f : [ 0,∞  ℝ uma função limitada em cada intervalo limitado. Se lim [ f  x1− f  x ]=L x ∞ f x então mostre que lim x = L. x ∞ Obs.: São considerados limites fundamentais os seguintes: sen x 1. lim =1 x x0 2. lim x 0 x a  ln x 3. lim 1 1  =e 5. lim =0, ∀ a , b0 x ∞ x x ∞ xb a 1 ln 1x  x =1 4. lim 1 x x =e 6. lim bx =0, ∀ a , b0 x x ∞ e x0