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IME 2009
CÁLCULOI LISTA DE EXERCÍCIOS I
Nenhum dos limites desta lista deve ser calculado usando a regra de L´Hospital. Só é permitido o uso dos limites fundamentais e das propriedades básicas de limites.
1. Exercícios de limites: Tom Apostol, volume I. Seção 3.6: todos Seção 3.8: todos 2. Calcule os limites: 2.1.
lim x0
2.2.
tg x x
lim
sen 3x x
2.19.
tg x sen x
2.20.
sen 3x sen 5x
2.21.
x 0
2.4.
lim x 0
2.5.
lim x 0
2.6.
2.7.
2.8.
1−cos x lim x 0 x2
2.10.
lim n1− n n∞
a ,∀ a n
lim 1
2.23.
lim 1 n∞
2.26.
1 n
n∞
2.11.
2.27.
2.12.
lim
senx 2x
2.28.
lim 1 n∞
n
1 n
2.39.
lim
2.41.
4 n9
2.42.
sen 2 x lim x x 0
2.30.
1 lim 1 2 n∞ 2n
2.15.
lim
lim n n
n
2.44.
lim n na− n
2.45.
1 4 lim n a −a 4 n n∞
2.46.
lim n 21− 4 n1
2.47.
lim
n ∞
n ∞
[
8
n∞
n∞
n ∞
2.32.
lim ln n n ∞
1 n
a x −a −x x
lim n a−1
1
2.31.
a x −1 x
2.43.
2n
lim x 0
n
lim x 0
3n
2.14.
ln 1ax x
n
n−2
2.29.
1 x
x 0
lim 1ax
x 0
2.13.
−ax
e −e lim x x0
2
1 lim 1 3n n∞
e x −1 x
ax
2.40.
senx lim x − x
1 n
e ax −1 x
lim x0
2.38.
1 4 n2
1 lim 1 n ∞
2.16.
lim
2n
1 lim 1 2n n∞ lim 1
2.37.
2n
tg 3 x lim 2 x0 x
x tg x x 0 sen x tg 3 x lim x 0 4 x
2.36.
1 n
n n e
lim
2.35.
x 0
1 lim 1 2 n ∞ n
2.25.
x 0
ln n lim n n ∞
n ∞
1 lim 1 2n n ∞
lim 3x tg x x ∞
x 0
2.34.
x 0
2.22.
2.24.
2x2 2x sen 2x
sen 2 x 3 x² x
lim x cosec 3 x
x ∞
1 n
n∞
n
1 x
lim
lim n ln n
2.33.
x 0
x 0
x 0
lim x sen
lim x cotg3 x
lim
2.18.
lim tg 3x cosec 3x
x ∞
2.9.
2.17.
lim x 0
2.3.
1−cos x x
a n−b n a nb n
]
IME 2009 3. Se
CÁLCULOI n
n n 0ab , mostre que lim a b =b . n ∞
4. Se a0, a seqüência recorrência:
a a a ,
a a ,
a,
x 1= a ; x n1= ax n , para n1. Mostre que lim x n= n ∞
5. Sejam limite.
x 1=1 e
6. Mostre que se
… pode ser definida pela seguinte regra de
1 14 a 2
x n1=1 x n , para n1 . Mostre que a seqüência {x n } é limitada e calcule seu
lim x n= x , então a seqüência das médias aritméticas de n∞
x n também converge para
x,
isto é:
lim xn= x , onde n∞
xn =
x1 x 2...x n . n
Use esses resultados para calcular os limites abaixo:
1 1 1 ... 2 n 6.1 lim n n∞ 7. Mostre que se {x n }
6.2.
1 23 3... n n n n∞ lim
é uma seqüência tal que lim
n∞
x n1 n =r , então lim x n=r. Use esse resultado para n∞ xn
n
mostrar que lim
n∞
n! = 1 . n
e
8. A seqüência dos números de Fibonacci é definida pela seguinte regra de recorrência:
F 0=0 ; F 1=1 F n2=F n1 F n , para n0. Mostre que
lim
n∞
F n1 1 5 = . Fn 2
9. Dados 0a 1b1, definimos
a n1= a n b n e b n1=
a nbn , para n1. Mostre que as seqüência 2
{a n } e {bn } convergem e têm o mesmo limite. 10. Seja
f : [ 0,∞ ℝ uma função limitada em cada intervalo limitado. Se lim [ f x1− f x ]=L x ∞
f x então mostre que lim x = L. x ∞ Obs.: São considerados limites fundamentais os seguintes:
sen x 1. lim =1 x x0 2. lim x 0
x
a
ln x 3. lim 1 1 =e 5. lim =0, ∀ a , b0 x ∞ x x ∞ xb
a 1 ln 1x x =1 4. lim 1 x x =e 6. lim bx =0, ∀ a , b0 x x ∞ e x0