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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA - DEM
FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS HISTOGRAMAS MEDIDAS DE LOCAÇÃO E VARIABILIDADE ÍNDICES DE CAPACIDADE DO PROCESSO
David Roza José Matheus Luchese Sguissardi
Joinville, Santa Catarina Março de 2011
DAVID ROZA JOSÉ MATHEUS LUCHESE SGUISSARDI
FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS HISTOGRAMAS MEDIDAS DE LOCAÇÃO E VARIABILIDADE ÍNDICES DE CAPACIDADE DO PROCESSO
Resumo da utilização das ferramentas estatísticas histograma, medidas de locação e variabilidade e índices de capacidade do processo dentro do contexto de controle de qualidade.
Professor: André Olah Neto
Joinville, Santa Catarina 17 de Março de 2011
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Sumário 1. Introdução……………………………………………………………………………..
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2. Histograma…………………………………………………………………………….
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Tipos e interpretação dos histogramas .....................................................................................6 3. Medidas de locacão e variabilidade…………………………………………………..
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Exemplo ...................................................................................................................................11 4. Índices de capacidade do processo………………………………………………….
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Índices Cp ................................................................................................................................ 13 Índices Cpk .............................................................................................................................. 13 5. Referências……………………………………………………………………...........
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Introdução
A qualidade de um produto pode ser avaliada de várias maneiras. Em geral, é muito importante distinguir entre essas varias dimensões da qualidade. Os consumidores em potencial usualmente avaliam um produto para determinar se ele desempenhará certas funções específicas, quão bem ele às desempenhará, qual o período de tempo satisfatório, se há confiabilidade, enfim, se o produto apresenta exatamente as especificações a ele destinadas. Na fabricação de um produto é praticamente inevitável a variabilidade de características devido à variação sofrida pelos fatores que compõem o processo produtivo e nesse trabalho é apresentado como são utilizados os histogramas, as medidas de locação e variabilidade e alguns índices de capacidade do processo como ferramentas estatísticas no controle de qualidade nas empresas.
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Histograma
Na estatística, um histograma é uma representação gráfica da distribuição de frequências de uma massa de medições, normalmente um gráfico de barras verticais. A construção de histogramas tem caráter preliminar em qualquer estudo e é um importante indicador da distribuição de dados. (Wikipedia, 2011) O histograma permite visualizar facilmente três propriedades: 1. Forma 2. Posicão ou tendência central 3. Espalhamento ou dispersão.
Algumas diretrizes são úteis na construção de histogramas. Quando os dados são numerosos, agrupá-los em classes ou celas é bastante útil. Em geral: 1. Usar entre 4 e 20 classes. Escolher um número de classes aproximadamente igual à raiz quadrada do número de observações costuma ser uma boa opção. 2. Usar classes de mesmo comprimento. 3. Iniciar o limite inferior da primeira classe ligeiramente abaixo do menor valor dos dados. Agrupar os dados em classes condensa os dados originais e, como resultado, algum detalhe é perdido. Na Figura 1, um exemplo de histograma, contendo como dados as futuras notas de Controle de Qualidade da turma que cursou em 2011/01.
Frequência
Notas de QUA 14 12 10 8 6 4 2 0 7
8
9
10
More
Notas
Figura 1. Notas de QUA
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Tipos e interpretação dos histogramas (Adriana Barbosa Santos, 2011)
Figura 2. Histograma simétrico, tipo distribuição normal Característica: a freqüência é mais alta no centro e decresce gradualmente para as caudas de maneira simétrica (forma de sino). A média e a mediana são aproximadamente iguais e localizam-se no centro do histograma (ponto de pico). Quando ocorre: forma usualmente observada em processos padronizados, estáveis, em que a característica de qualidade é contínua e não apresenta nenhuma restrição teórica nos valores que podem ocorrer.
Figura 3. Histograma assimétrico e com um pico Características: a freqüência decresce bruscamente em um dos lados de forma gradual no outro, produzindo uma calda mais longa em um dos lados. A média localiza-se fora do meio da faixa de variação. Quando a assimetria é à direita a mediana é inferior a média. Quando a assimetria é à esquerda a mediana é superior à média. Quando ocorre: possivelmente a característica de qualidade possui apenas um limite de especificação e é controlada durante o processo, de modo que satisfaça a essa especificação.
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Figura 4. Histogramas do tipo "despenhadeiro" Característica: o histograma termina abruptamente de um ou dos dois lados, dando a impressão de faltar um pedaço na figura. Quando ocorre: possivelmente foram eliminados dados por uma inspeção 100%; nesse caso o “corte” coincide com os limites de especificação.
Figura 5. Histograma com dois picos Característica: ocorrem dois picos e a freqüência é baixa entre eles Quando ocorre: em situações em que há mistura de dados com médias diferentes obtidos em duas condições distintas. Por exemplo, dois tipos de matérias primas, duas máquinas ou dois operadores. A estratificação dos dados segundo esses fatores poderá confirmar ou não tais conjecturas.
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Figura 6. Histograma do tipo platô Característica: classes centrais possuem aproximadamente a mesma frequência. Quando ocorre: aspecto possível quando há mistura de várias distribuições com médias diferentes
Figura 7. Histograma com uma pequena "ilha" isolada Característica: algumas faixas de valores da característica de qualidade observada ficam isoladas da grande maioria dos dados, gerando barras ou pequenos agrupamentos separados. Quando ocorre: possivelmente ocorreram anormalidades temporárias no processo, erros de medição, erros de registro ou transcrição dos dados, produzindo alguns resultados muito diferentes dos demais.
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Medidas de locacão e variabilidade
Estas medidas processam a informação de modo a fornecer um sumário dos dados sob a forma numérica. Este sumário quantifica a locação (onde se localiza o centro da distribuição dos dados) e a variabilidade (dispersão dos dados em torno do centro). O cálculo destas medidas é o ponto de partida para a avaliação da capacidade de um processo em atender às especificações estabelecidas pelos clientes internos e externo. A locacão é definida matematicamente por: ̅=
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Equação 1 A variabilidade, ou dispersão, é a variância amostral, definida como: ∑
=
(
− ̅) −1
Equação 2 Existem outras maneiras de definir a variabilidade, e aqui estão listadas as mais comuns, ilustradas com um exemplo. É dado o seguinte grupo de dados: Subgrupo (i)
Elemento (j) do subgrupo (i) Xi2 Xi3 Xi4 1006.7 1002.7 1005.4
1
Xi1 992.9
Xi5 998.3
1001.2
Ri 13.8
Si 5.6
2
1008.2
1009.3
1010.8
1008.4
1010.8
1009.5
2.6
1.3
3
1001.2
1001.4
999
997.8
994.2
998.7
7.2
2.9
4
993.3
1002.1
998.7
993.6
996.6
996.9
8.8
3.7
5
996.8
1006.4
1006.9
994.5
998.4
1000.6
12.4
5.7
6
1000.9
1004.2
999.2
997.8
997.9
1000.0
6.4
2.7
7
1000.2
1002.6
998.3
1006.4
1005.8
1002.7
8.1
3.5
8
1003.3
996.1
1000.5
995.2
1005.8
1000.2
10.6
4.6
Tabela 1. Grupo de dados de exemplo (1) O estimador SA é dado de maneira parecida com a Equação 1, substituindo-se por , que é a média das médias dos subgrupos (média global). A letra “m” é o número de
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subgrupos e “n” é a quantidade de elementos dos subgrupos. A equação fica definida por:
=
1
∑
∑
(
− )
−1 Equação 3
(2) O estimador SB , baseado no desvio-padrão das médias dos subgrupos é dado por:
=
1
∑
(
− ) −1
√
Equação 4
(3) O estimador SC , baseado nos desvios-padrão amostrais Si dos m subgrupos, é dado por: = Equação 5 (4) O estimador SD , baseado na amplitude amostral R, é dado por: = Equação 6 Onde = Equação 7
Os fatores de correção estão diretamente ligados ao número de elementos da amostra. Para amostras maiores do que listadas na Tabela 2, considera-se c4=1, e tabelas mais detalhadas para d2 devem ser consultadas.
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n c4 d2
2 0.798 1.128
3 0.886 1.693
4 0.921 2.059
5 0.94 2.326
6 0.952 2.534
7 0.959 2.704
8 0.965 2.847
n c4 d2
9 10 11 12 13 14 0.969 0.973 0.975 0.978 0.979 0.981 2.97 3.078 3.173 3.258 3.336 3.407 Tabela 2. Valores dos fatores de correção
15 0.982 3.472
As dispersões, calculadas para os dados da Tabela 1, têm para cada um dos diferentes métodos os seguintes resultados: SA SB SC SD Tabela 3. Resultados das
5.1 8.4 3.9 3.8 diferentes dispersões
As estimativas SA e SB são muito afetadas pela causa especial (superestimam o desvio-padrão). Já as estimativas SC e SD são mais robustas (menos sensíveis ao efeito de causas especiais), de modo que esses estimadores devem ser preferidos. Para escolher qual deles usar, devem-se avaliar suas eficiências. Um estimador não tendencioso é tanto mais eficiente quanto menor for a variância das estimativas que ele fornece. Para subgrupos grandes, SC é mais eficiente que SD, pois usa mais informacão. Contudo, para subgrupos pequenos (n<10), SD é praticamente tão preciso quanto SC, com a vantagem da simplicidade de cálculo.
Exemplo Análise da capacidade de um processo utilizando um histograma e medidas de locação e variabilidade. Para ilustrar o uso de um histograma na estimacão da capacidade de um processo, consideremos a Figura 8, que apresenta um histograma de resistência à ruptura de 100 garrafas de vidro de 1 litro de refrigerante. Os dados constam na Tabela 4.
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Histograma 35 30
Frequência
25 20 15 10 5 0 190
210
230
250
270
290
310
330
350
Figura 8. Histograma de forças de resistência à ruptura
265 205 263 307 220 268 260 234 299 215
Forças de resistência à ruptura para 100 garrafas de refrigerante 197 346 280 265 200 221 265 286 317 242 254 235 176 262 274 242 260 281 246 248 271 243 258 321 294 328 263 245 231 276 228 223 296 231 301 267 300 250 260 276 334 208 281 208 299 308 264 280 274 265 187 258 235 269 265 253 214 264 267 283 235 272 287 318 271 293 277 290 283 258 Tabela 4. Forças de resistência à ruptura
261 248 260 274 337 250 278 254 274 275
278 250 265 270 298 257 210 280 269 251
A análise das 100 observações dá ̅ = 264,06 e S = 32,02 Conseqüentemente, a capacidade do processo seria estimada como ̅ ± 3 Ou 264,06 ± 96 [psi] Além disso, a forma do histograma implica que a distribuição de força de resistência à ruptura é aproximadamente normal. Assim, podemos estimar que aproximadamente 99,73% das garrafas fabricadas por este processo romperão entre 168 e 360 psi. Note que pode-se estimar a capacidade do processo independentemente das especificações sobre a força de resistência à ruptura.
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Índices de capacidade do processo. Os índices de capacidade de processo (ICPs) são parâmetros adimensionais que indiretamente medem o quanto o processo consegue atender às especificações provenientes dos clientes internos e externos. Não há uma relação fixa entre o seu valor e a porcentagem de itens que o processo é capaz de produzir dentro das especificações.Contudo, para grande parte dos índices, quanto maior o seu valor, melhor o processo consegue atender às especificações. Existem vários índices de capacidade do processo. Dentre eles, os índices Cp e Cpk são os mais usados. Índices Cp Freqüentemente convém termos uma forma simples, quantitativa, de expressar a capacidade de um processo. Para tanto, uma forma é a razão da capacidade de um processo (Cp). − 6 Equação 8 =
Onde: LSE = limite superior de expecificação. LIE = limites inferior de expecificacão. σ = desvio padrão A capacidade de um processo (Cp) não leva em conta onde a média do processo está localizada em relação às especificações. Cp mede simplesmente a dispersão das especificações em relação à dispersão seis-sigma no processo. Através do resultado de Cp, o processo pode ser avaliado em:
Processo capaz: Cp > 1,33 Processo aceitável: 1 ≤ Cp ≤ 1,33 Processo incapaz: Cp < 1 Índices Cpk O índice Cpk é uma nova razão da capacidade do processo que leva em conta a centralização do processo. Esta grandeza é dada por: Cpk = mín (Cps, Cpi) 13
ou ,
Cpk = mín
Equação 9
Onde: LSE = limite superior de expecificação. LIE = limites inferior de expecificacão. σ = desvio padrão µ = média do processo De modo geral, se Cp=Cpk, o processo está centrado no ponto médio das especificações, e quando Cpk < Cp, o processo está descentrado. A magnitude de Cpk em relação à Cp é uma medida direta de quão fora de centro o processo está operando. Costuma-se dizer que Cp mede a capacidade potencial no processo, enquanto Cpk mede a capacidade efetiva. Na Figura 9, abaixo, estão ilustrados vários casos encontrados comumente. Por exemplo, as duas primeiras distribuições têm ambas Cp = 2,0, mas o processo no painel b da figura tem claramente capacidade inferior à do processo do painel a, porque não esta operando no ponto médio do intervalo entre as especificações. Nota-se que no painel c Cpk=1,0 enquanto Cp=2,0, tendo uma capacidade mais inferior ainda. O painel d ilustra o caso em que a média do processo é exatamente igual a um dos limites de especificação conduzindo Cpk=0. Conforme ilustra o painel e, quando Cpk < 0, a implicação e que a media do processo esta fora das especificações. Obviamente, se Cpk < -1, todo processo esta fora dos limites de especificação. Alguns fatores definem Cpk como não-negativa, de modo que os valores inferiores a zero são definidos como zero. Para especificações unilaterais, o Cp é definido como: −
=
3 Equação 10. Cp para especificação superior =
− 3
Equação 11. Cp para especificação inferior Como Cpk mede o quão centrado está o processo, não há razão ou lógica em se falar na centralização do processo quando se trata de processos com especificações unilaterais. Algumas bibliografias invertem a nomenclatura para especificações unilaterais, dizendo que o Cpk é o índice que se aplica, que o Cp o que não se aplica. De maneira geral, só um dos dois índices se aplica em especificações unilaterais. 14
Figura 9. Relação entre Cp e Cpk
Assim como o índice Cp, o índice Cpk é classificado como: Processo capaz: Cpk > 1,33 Processo aceitável: 1 ≤ Cpk ≤ 1,33 Processo incapaz: Cpk < 1 Um processo razoavelmente capaz e sujeito a freqüentes ocorrências de causas especiais deve ser rigidamente controlado, pois, nesse caso, a ocorrência de uma causa especial sempre leva à produção de um grande número de itens que não atendem às especificações. Um processo incapaz produz uma porcentagem razoável de itens fora das especificações, mesmo com um processo em controle. A ocorrência de uma causa especial nesse caso é dramática. Um processo capaz é como um motorista solitário que trafega em uma estrada com várias vias. Se ele cochila por alguns segundos, o máximo que acontece é ele mudar de pista. Um processo razoavelmente capaz é o equivalente a uma estrada de uma única via, porém com acostamento. Se o motorista cochila, sai para o acostamento e, se não acordar logo, cai no abismo. Um processo incapaz é igual a uma estrada de uma única via, sem acostamento. Imagine o que acontece se o motorista dormir.
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Referências Wikipedia, 2011. Histogramas. [online] Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma> [Acessado em 16 de Março de 2011]. Adriana Barbosa Santos, 2011. Interpretação de histogramas. [online] Disponível em: < http://www.dcce.ibilce.unesp.br/~adriana/ceq/Material%20de%20aula/histograma.doc> [Acessado em 16 de Março de 2011]. The Quality Toolbok, 2011. How to understand the process capability. [online] Disponível em: [Acessado em 16 de Março de 2011]. Costa, A.F.B.; Epprecht, E.K.; Carpinetti, L.C.R.; 2008. Controle Estatístico de Qualidade. 2ª ed. São Paulo: Editora Atlas S.A. Montgomery, D.C.; 2004. Controle Introdução ao controle estatístico da qualidade. 4ª ed. Rio de Janeiro: LTC.
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