Hílder Goes E Ubaldo Tonar - Matemática Para Concurso - 7º Edição - Ano 2004

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HÍLDER GÓES Licenciatura plena em Matemática pela Universidade Estadual do Ceará - UECE Autor dos livros A Matemática do Vestibular e Elementos Básicos de Estatística UBALDO TONAR Licenciatura plena em Matemática pela Universidade Estadual do Ceará - UECE e Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Ceará Professor concursado do Estado do Ceará MATEMÁTICA PARA CONCURSO 7 -. Edição Rio - São Paulo - Fortaleza 2004 © 2 0 0 4 Hilder Góes e Ubaldo Tonar © 2 0 0 4 desta edição cedidos à Editora e Gráfica ABC Fortaleza Ltda. P r ojeto G ráh c o Carlos Alberto A; Dantas Roberta de Oliveira R e v is o r T é c n ic o Fernando Antônio Saraiva de Araújo C apa Heron Cruz P edidos: Editora e Gráfica ABC Fortaleza Ltda, Rua Vergueiro, 439 - Loja 27 - Bairro: Aclimação CEP: 01504-001 - São Paulo - São Paulo *** Rua Eduardo Salgado, 156 - Bairro: Aldeota Fone: (0**85) 264-3540; Fax: (0**85) 264-3606 E-mail: [email protected] CEP: 60150-140 - Fortaleza - Ceará Dados Internacionais de Catalogação na Publicaçao (CIP) G 598m Góes, Hilder Bezerra. Matemática para concurso. Por Hilder Bezerra Góes e Ubaldo Teixeira Góes. Rio — São Paulo - Fortaleza: ABC Editora, 2004. 6 3 2 p. 1. Matemática. I. Título. II. Góes, Ubaldo Teixeira. CDD: 5 1 0 Para nossa querida filha e neta Deísy com amor e carinho do seu pai Ubaldo e do seu avô Hilder. A PRESEN TA Çà O Animados, pela aceitação que tiveram as quatro primeiras edições cleste livro, resolvemos, após profundas modificações, tanto em seu conteúdo, como em sua explanação, trazer a lume a quin­ ta edição deste clespretencioso trabalho no qual tentamos reunir toda a matéria que achamos necessária aos candidatos a concurso público de nível médio. Lembramos, contudo que o enrequecimento deste trabalho, não invalida, obviamente, as edições anteriores, as quais serão sempre aproveitáveis. Dividido em duas partes: a primeira, contendo um conjunto de conhecimentos básicos e indispensáveis, que reputamos de grande importância para um bom desempenho e compreensão quando cio estudo da segunda parte, por isso aconselhamos uma especial atenção à mesma; na segunda parte inserimos, pratica­ mente, todo o conteúdo da maioria dos concursos, como TRT, TRF, TJC e tantos outros. Na publicação desta quinta edição, ainda não nos moveu o interesse pecuniário, nem a vaidade de ser autor mas tão somen­ te, aníma-nos o desejo e a esperança de havermos trazido uma modesta contribuição com algo que venha facilitar o aprendizado de todos aqueles que pretendem aumentar seu conhecimento nessa tão fascinante matéria, em especial, aos interessados em ingressar na carreira pública; eis o nosso propósito maior. Como também, dizíamos então - e agora repetimos - não haver feito trabalho notável ou original. A aceitação deste livro será por certo, um estímulo e uma imposição para que continuemos em nosso propósito. Muito grato seremos a quantos nos queiram apontar falhas que certamente encontrarão. O S AUTORES SUM ÁRIO PRIMEIRA PARTE 0 1 N úmero ................................................................................................................ 13 0 2 S istema de N umeração .................................................................................. 27 0 3 N úmeros Inteiros ............................................................................................ 35 0 4 N úmeros F racionários .................................................................................. 48 0 5 N úmeros D ecimais .......................................................................................... 66 0 6 N úmeros C omplexos .................................................................... ................. 79 0 7 N úm ero s R elativo s ......................................................................................... 89 0 8 E q u a ção d o Prim eiro G 93 r au ....................................................................... 0 9 S istema de E quação do P rimeiro G r a u ...................................................1 0 0 1 0 Inequaçào do P rimeiro G r a u ............ .........................................................1 0 6 1 1 S istem a de In equaçào do P rimeiro G rau ............................................ . 1 1 1 1 2 E quação do S egundo G r a u .........................................................................1 1 4 1 3 S istema de Equação do S egundo G r a u ..................................................1 2 4 1 4 P o t e n c ia ç ã o ..................................................................................................... 1 2 6 1 5 R adiciação ...........................................................................................................1 4 2 1 6 Q uestões de C oncursos ............................................................................. 1 5 7 SEGUNDA PARTE *‘ 1 7 N úmeros Inteiros ............................................................................................. 1 6 3 1 8 Q uestões de C o n c u r so s .................................................................................2 1 0 1 9 N úmeros F racionários ................................................................................... 2 2 2 2 0 Q uestões de C o n c u r so s ................................................................................2 5 7 2 1 R e g ra 22 Q de T r ê s ................................................................................................. 2 6 4 u e st õ e s de C o n c u r s o s .................................................................................2 8 5 *23 R a z ã o ....................................................................................................................2 9 5 2 4 Q uestões de C o n c u r so s ................................................................................ 3 0 5 2 5 P roporção .......................................................................................................... 3 0 8 2 6 Q u e stõ e s de C o n c u r s o s .................................................................................3 3 1 2 7 D iv is ã o P r o p o r c i o n a l ............................... .................................................... 3 3 4 / 28 M í d i a s ................................................................................................................... 3 5 9 2 9 N úmeros P roporcionais ................................................................................ 3 6 5 3 0 Q uestões de C oncursos ............................................................................ 3 ó 7 3 1 R egra 32 Q de S o c i e d a d e .................................................................................................. 3 7 3 u e st õ e s dh C o n c u r s o s ......................................................................................... 3 8 2 3 3 P o rc en tag em .......•............................................................................................ 3 8 7 '3 4 Q C o n c u r s o s .......................................................................................... 4 1 8 u e st õ e s de 3 5 J u r o s S imples .................................................................................................... 4 3 2 3 6 P r a z o , T a x a k C a pital M 37 Q u e st õ e s de 38 D e sc o n t o 39 Q u e st õ e s de 69 C o n c u r s o s ............................................................................................. 4 7 5 S imples ....................................................................................................... 4 8 4 C o n c u r s o s ....................................................................... ..................... 5 0 4 4 0 S istem a M étrico D 41 Q é d i o s ..................................................................4 u e stõ e s de ecim a l ...................................................................................... 5 0 9 C o n c u r s o s ............................................................................ ............ 5 4 2 ■ 42' E s c a l a .........................:v .............., ....................................................................................5 5 1 43 Q u e st õ e s de 4 4 F un ção 45 Q do u e stõ e s de 4 6 F un çào Q C o n c u r s o s ............................................................................................. 5 5 4 P rimeiro G rau uadráttca 47 Q u e stõ e s de 48 D ivisibtlidade ...................................................................................................... 5 6 8 C o n c u r s o s .............................................................................................5 7 8 ........ ............................................................................................................5 8 0 4 9 N ú m e r o s P r im o s , M ú ltiplo s tÇO ....................................................................................... 5 5 6 C o n c u r s o s .................................: ...................................................... 5 6 6 e D iv t s o r e s ......................................................... 5 M á x im o D iv is o r C o m u m ................................................................................. * 5 1 M ín im o M 52 Q ú u h plo u e st õ e s de 5 3 P r o b le m as 94 603 C o m u m ..........................................................................................6 1 4 C o n c u r s o s ............................................................................................6 2 2 do S e ç ijn d o G rau ............................................................................... 6 2 4 PRIMEIRA PARTE Númi-ho - 1 S is te m a d e N um era ção - 2 N ú m e ro s I n t e ir o s ~ 3 N ú m e ro s F r a c io n á r io s - 4 N ú m e r o s D e c im a is - 5 N ú m e r o s C o m p le x o s - 6 N ú m e ro s R e la tiv o s - 7 E q u a ç ã o d o P rím e íro G r a u - 8 9 - S íst e m a de Equação 1 0 - I ne q u a ç ã o 11 - S do do P r im e ir o G P r im e ir o G 1 3 - S i st em a do de S egundo G Equação do 1 4 - P o t e n csação 15 - P is t e m a de í n e q u a ç ã o d o 1 2 - Eq uação RADI Cia ç ã o 1 6 - Q u e stõ e s de C o n c u rso s rau rau r im e ir o G ra rau S egundo G rau 1 NÚMERO DEFINIÇÃO: E o resultado da comparação de uma grande2a com a unidade. GRANDEZA: E tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado. As grandezas se classificam em: a) Contínuas: São as grandezas que podem ser aumentadas ou diminuí­ das de uma quantidade qualquer. Exemplos: Uma peça de pano, um rolo de barbante. b) Descontínuas: São as grandezas que só podem ser aumentadas ou diminuídas de uma quantidade determinada. Exemplos: Uma porção de bolas, um grupo de meninos. c) Homogêneas: São as grandezas da mesma espécie. Exemplos: 3 lápis e 5 lápis ou 4 bolas e 7 bolas. d) Heterogêneas: São as grandezas de espécies diferentes. Exemplos: 2 lápis e 3 cadernos ou 5 bolas e 6 laranjas. UNIDADE: É uma grandeza que serve para medir outras grandezas da mesma espécie. A grandeza escolhida para unidade é arbi­ trária, mas é necessário que seja perfeitamente definida. CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: Os números se classificam em: I) POR SUA NATUREZA: a) Concreto: E o número que determina a espécie de unidade a que se refere. Exemplos: 3 bolas; 5 cadernos MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 13 b) Abstrato: É o número que nào determina a espécie de unidade a que se refere. Exemplos: 6, 4, 7. II) POR SUA ESPÉCIE a) Homogêneo: E o número que indica coisas da mesma espécie. Exemplos: 2 lápis e 3 lápis. b) Heterogêneo: E o número que indica coisas de espécies diferentes. Exemplos: 2 lápis e 4 livros. III) PELAS PARTES QUE INDICAM a) INTEIRO: E o número que consta só de unidades. Exemplos: 3 cadernos, 6 livros. Os números inteiros podem ser: i) Simples: E o número formado de um só algarismo. Exemplos: 3, 5, 7. ALGARISMOS sào os símbolos que representam os números. ii) Composto: É o número formado por dois ou mais algarismos. Exemplos: 26,138, 1435. b) FRACIONARIO: é o número que indica uma ou mais partes da unidade. Exemplos: 2 1 3 3’ 5’ 7 Os números frandonários se dividem em: Decimais 14 Exatos: 0,2: 0,85 f Simples: 0,333 .. Periódicos < i Compostos: 0,4222... HILDER GÓES * UBALDO TONAR Próprios: 2 3 5* 4 r Puros Ordinários 1 Impróprios: 7 ? 8^ 3 5 t Aparentes: 5 20 c) MISTO: É o número formado por um número inteiro e um número fracionário. Se classificam em: Decimais: 5,3; 9,3535... 1 2 Ordinários: 2- ; 43 5 O número abstrato, isto é, aquele que nào determina a espécie de unidade, é o verdadeiro número, pois o concreto é constituído do número abstrato, ligado à natureza da unidade escolhida. O conjunto de processos empregados para se representar os nú­ meros constitui o que se chama de SISTEMA DE NUMERAÇÃO. Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base, isto é, pelo número de unidades de uma ordem que formam uma unidade de ordem imediatamente superior. O número de algarismos de um sistema de nu­ meração é igual à base. O sistema universalmente adotado é o decimal. Nesse sistema, dez unidades de uma ordem, formam uma unidade de ordem imediatamente superior. Assim, dez unidades formam uma dezena; dez dezenas formam uma centena. A numeração escrita, tendo como base esse sistema, se norteia no seguinte princípio: “Qualquer algarismo escrito à esquerda de outro, vale dez vezes esse outro algarismo”. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS: Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são denominados significativos. Um algarismo significativo tem dois valores: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 15 Valor Absoluto: É o valor que o algarismo possui quando escrito isoladamente. O algarismo 5, como valor absoluto, vale sempre 5; o alga­ rismo 7, sozinho, vale sempre 7; e assim por diante. Valor Relativo: E o valor que o algarismo possui de conformidade com o lugar que ele ocupa no número. Assim, no número 327, o 7 vale sete unidades, o 2 vaie duas dezenas e o 3 vale três centenas. OX- De 345 a 789 incluídos esses números, quantos números inteiros e consecutivos existem. Solução: Basta subtrairmos do maior número o menor, e somar­ mos uma unidade. ' 789 —345 = 444 - » 444 + 1 = 445 números 02 - De 480 a 720 incluídos esses números, calcule quantos números intei­ ros e consecutivos existem. Solução: 720 —480 = 240 240 + 1 = 241 números 03 - De 371 a 840 incluídos esses números, calcule quantos números intei­ ros e consecutivos existem. R; 470 04 - De 31 até 700, calcule quantos números inteiros e consecutivos exis­ tem, incluindo esses números. R: 670 05 - De 345 a 789 excluídos esses números, calcule quantos números in­ teiros e consecutivos existem. Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor e diminuir­ mos uma unidade. 789 —345 —444 —> 444 1 = 443 números 16 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 06 - De 132 a 186 excluídos esses números, calcule quantos números inteiros c consecutivos existem. R: 53 07 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 20 até 251, excluindo esses números. R: 230 08 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 243 excluído c 527 incluído. Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor 527 - 243 = 284 09 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem quando se escreve de 180 excluído e 320 incluído. R: 140 10 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 130 incluído e 780 excluído. R: 650 11 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os.. —— números de 1, 2 e(3)ilgarismos. ^ |^ „ i\) - / ~ 3~ B ~§ .3 Solução: Os números de um algarismo, começam~3õTevão até ao 9 incluídos; são, portanto: 9 —1 ~ B —> 8 + 1 —9 I -ogo, são 9 números de um algarismo e são necessários 9 x 1 = 9 algarismos para escrevê-los. • Os números de dois algarismos começam no 10 e vão até o 99 incluídos; são, portanto: 99 ~ 10 = 89 —*■89 + 1 = 90 Então, são 90 números de dois algarismos, sendo necessários 90 x 2 —180 algarismos para escrevc-los. * Os números de três algarismos começam no 100 e vão até ao 999 incluídos; há, portanto*. 999 —100 = 899 —» 899 + 1 900. Então, sào 900 números de três algarismos, sendo necessários 900 x 3 ~ 2.700 algarismos para escrevê-los. Concluímos que, para se escrever todos os números de 1, 2 e 3 algarismos, serão necessários: 9 + 180 + 2.700 = 2.889 algarismos. MATÍ m ÁTíCA PARA CONCURSO - NÚMERO 17 12 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números naturais de 1 até 88. Solução: • De 1 a 9, temos 9 —1 = 8 —>8 -í- 1 = 9 números de um algaris­ mo, logo serão necessários 9 x 1 = 9 algarismos. • De 10 a 88, temos 88 —10 = 78 —» 78 + 1 ~ -9 números de dois algarismos, sendo, portanto, necessários 79 x 2 = 158 algarismos. Logo serão necessários 9 + 158 = 167 algarismos. ~ 13 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever to­ dos os números naturais de 30 a 176. . R : 371 14 - Calcular o número de algarismos necessários/para se escrever desde 31 até 245. R: 576 15 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de 30 até 91. R: 124 16 - Calcule o número de algarismos necessários para se escrever de 37 até 239. R: 546 17 - Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­ meros de 1 a 934, inclusive. R: 2.694 18 - Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­ meros de 7 a 32.427, inclusive. R: 151.023 19 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever tddos os números de três algarismos. R: 2.700 18 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 20 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de cinco algarismos. C-. 16 ; -■ R: 450.000 21 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de sete algarismos. R: 63.000.000 22 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números pares de 6 até 281 inclusive. Solução: Entre os números 6 e 9 existem dois números pares de um algaris­ mo, que são o 6 e o 8. • De 10 até 99 existem: '99 - 10 = 89 + 1 = 90 números, dos quais 45 são pares, de dois algarismos. • De 100 até 281 existem: 281 - 100 = 181 + 1 = 182 números, dos quais 91 são pares, de três algarismos. Então, para escrevermos os números pares de 6 até 281 utilizaremos: 2 x 1- 2 -■> f. • - ! J ( - r ■: v " • C -r 4 5 x 2 = 90 '* /. 91 x 3 =273 . J ; 365 algarismos 23 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive. ' R: 207 (■24"- Um aluno escreveu do menor número par de 3 algarismos significati­ vos desiguais até o maior número ímpar de 6 algarismos desiguais, incluí­ dos esses números. Calcule quantos algarismos escreveu. R: 5,814.552 í ^ O 25 - Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algaris­ mos foram necessários. Solução: • Da página 1 até a 9 foram utilizados 9 —l ~ 8 - - » 8 + l = 9 números de um algarismo. Logo, 9 x 1 = 9 algarismos. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 19 • Da página 10 até a 99 foram utilizados 99 —10 = 89 —>89 + 1 = 90 números de dois algarismos. Logo, 90 x 2 = 180 algarismos. • Da página 100 até a 126 foram utilizados 126 —100 = 26 —» —» 26 + 1 = 27 números de três algarismos. Logo, 27 x 3 = 81 algarismos. Então, ao todo, foram necessários 9 + 180 + 81 = 270 algarismos. 26 - Em um cinema há 150 poltronas. Calcule quantos algarismos serão necessários paira enumerá-las. R: 342 27 - Em um teatro há 130 cadeiras. Calcule quantos algarismos serão ne­ cessários para enumerá-las. R: 282 28 - Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários para enumerá-las? R: 9.265 29 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algaris­ mos. Calcular quantas páginas tem esse livro, j g _ \ Solução: • Para enumerar as 9 primeiras páginas usaram-se: 9 x 1 = 9 algarismos. • Para enumerar as 90 páginas seguintes usaram-se 90x2 = 180 algarismos. Veja que, até agora, já usamos 180 + 9 = 189 algarismos. Temos: 270 ~ 189 = 81 algarismos, que serão utilizados para enu­ merar páginas de três algarismos. Logo, 81 3 = 27 páginas. O total de páginas será, portanto de: 9 + 90 27 = 126. ' s30\ Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 570 algaris­ mos. Calcule quantas páginas tem esse livro. R: 22$jp 31 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 1.296 algaris­ mos. Calcule quantas páginas tem esse livro. R: 468 20 HEUDER GÓES * UBALDO TONAR 32 - Para enumerar as páginas de um E v t o foram necessários 3.421 alga­ rismos. Calcule quantas páginas tem esse livro. R: 1.132 . 33 - Uma pessoa, para numerar as páginas de um álbum, cobrou $ 15,30. Quantas páginas tinha o álbum, sabendo-se que cobra $ 0,05 por algarismo? R: 138 34 - Um artista foi contratado para enumerar as páginas de um álbum, devendo ganhar $ 5,00 por algarismo desenhado. Recebeu por esse traba­ lho $ 1.710,00. Calcule quantas páginas tinha o álbum. R: 150 35 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, obtém-se: 1234567891011121314151617... Determine o alga­ rismo que ocupa o 117 3Ü-lugar. Solução: • De 1 a 9 escreve-se: 9 x 1 = 9 algarismos. • De 10 a 99 escreve-se 90 x 2 = 180 algarismos. Então, até o número 99 escreve-se 189 algarismos. A partir do 100, os números são de três algarismos. Logo: 1173 - 189 = 984 Então, 984 -s- 3 = 328 números de. três algarismos. Conta-se, pois, até o número 99 + 328 = 427. Logo, o algarismo que ocupa o 1173” lugar é o 7. 36 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos. Determinar o algarismo que ocupa o 12002 lugar. R: 6 37 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­ rismos, calcule o algarismo que ocupa o 1536a lugar. R :X 38 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­ rismos, qual será, o algarismo que ocupa o 3456Ulugar. R: 8 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 21 39 - Escrevendo-se a sucessào dos números naturais, sem separar os alga­ rismos, determine o algarismo que ocupa o 2342a lugat Solução: • De 1 a 9 são 9 números de um algarismo. Logo, vocâutiliza 9 algarismos. • De 10 a 99 são 90 números de dois algarismos. Logo, você utiliza 180 algarismos. Veja, que até agora, utilizamos 189 algarismos. Como são 2342 al-' garismos, ainda faltam 2342 —189 = 2153. Então: 2153 3, temos: 2153|_3__ 05 717 23 2 717 números de 3 algarismos. Logo, até agora, temos: 9 + 90 + 717 = 816 Mas veja que, na divisão, que não é exata, sobraram 2 algarismos para você escrever o número 817. Se o resto tivesse sido 1 você só poderia escrever o 8, mas como sobraram 2 algarismos; do número 817 você.pode escrever o 8 e o 1. Então, o algarismo que ocupa o 2342- lugar, é o 1. 40 - Escrevendo-se a sucessào dos números naturais sem separar os alga­ rismos, determine o algarismo que ocupa o 985" lugar. R: 3 41 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­ rismos, determine o algarismo que ocupa o 1234s lugax. R: 4 42 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, determine o 60ü algarismo escrito. R: 3 43 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, qual é o 500ü algarismo escrito. R: 0 • 22 HIIJDER GÓES * UBAJLDO TONAR 44 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os algarismos, determine o 1800'- algarismo escrito. R: 6 45 - Determinar o número de vezes que o algarismo 8 ocupa a posição das unidades; das dezenas; das centenas, na sucessão natural dos números in­ teiros de Xaté 10". Solução: Como algarismo das unidades, o número 8 aparecerá de 10 em 10. Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", ele deverá aparecer 10“ 10 = 1Ò"'5vezes como algarismo das unidades. Como algarismo das dezenas ele aparecerá nos 10 números de cada centena terminados em 80, 81, 82,..., 89. Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10w, ele deverá aparecer 10 x 10“'-=- 102 = 10“+í -h 102 = IO11'1vezes como algarismo das dezenas. Como algarismo das centenas o número 8 aparecerá nos 100 nú­ meros de milhares terminados por 800, 801, 8 0 2 , 8 9 9 . Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", e como existe 10" •*- 10J —IO”'3milhares elé aparecerá 100 x 10"'3 = 102x IO"'3 = 10“' 1vezes como algarismo das centenas. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 23 46 - Determinar o número de vezes que o algarismo 3 aparece na suces­ são dos números de 1 até 100.000. Solução: De 1 até 100.000 eqüivale a de 1 até 10\ Como algarismo das unidades aparece 10"‘!, isto é, 10vl = 104. Como algarismo das dezenas aparece 10”'5, isto é, 10'"1 = 104. Como algarismo das centenas aparece 10"'’, isto ê, IO5*' = IO4. Como algarismo de milhar também aparece 104. Conclui-se que, de 1 até 105, o algarismo 3 aparece 5 x 104 = 5 x 10.000 —50.000 vezes. 47 - Determine o número de vezes que o algarismo 8 aparece na sucessão dos números de 1 até 1.000. R: 300 48 - Determine o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão dos números de 1 até 10.000. R: 5.000 49 - Determinar o número de vezes que o algarismo 2 aparece na sucessão dos números de 1 até 100.000. R: 50.000 50 - Determinar o número dèVtóès que o algarismo 7 ocupa a posição das dezenas na sucessão dos números de 1 até 10.000. R: 1.000 51 - Escrevendo-se os números de 1 até 537, determine quantas vezes aparecerá o algarismo 8Solução: Decompondo-se o número 537, podemos escrever: 537 = 500 + 37. Na parte relativa a 37, o algarismo 8 aparece três vezes, senão veja­ mos: 508 - 518-528. Na parcela relativa a 500, isto é, cinco centenas, o algarismo 8 figu­ rou 10 vezes como unidade em cada dezena e 10 vezes como dezena em cada centena. Figurou, portanto: 5 x (10 + 10) = 100 vezes. 24 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAS Nas centenas nào figurou nenhuma vez, isto porque, ao escrever­ mos o último número 537, nào havíamos chegado a empregar o algarismo 8, como algarismo das centenas. Concluímos, então, que o algarismo 8 aparece 3 + 100 = 103 vezes quando se escreve de 1 até 537. 52 - Determinar o número de vezes que .o algarismo 5 aparece quando se escreve de 1 até 537. R: 142 ^55j- Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparecerá quando se escreve de 1 até 327. . R:óX~A ÍB4j- Um aluno escreveu todos os números inteiros desde 1 até 2.850. 'Determine quantas vezes ele escreveu o algarismo sete. R :'8 6 5 '-H ^ 55 - Que alteração sofre o número 23.486 quando se introduz um zero entre os algarismos 3 e 4. Solução: 23.000 x 9 = 207.000, aumento sòÊrido. Senão vejamos: 230.486 —23.486 = 207.000. 56 Que alteração sofre o número 34.567 quando se introduz dois zeros entre os algarismos 5 e 6. Solução: 34.500 x 99 = 3.415.500, aumento sofrido. Senão vejamos: 3.450.067 —34.567 = 3.415.500. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 25 57 - Que alteração sofre o número 2.548 quando se introduz um zero entre os algarismos 5 e 4. R: 22.500 58 - Que alteração sofre o número 1957 quando intercalamos dois zeros entre os algarismos 9 e 5. R: 188.100 59 - Que alteração sofre o número 678, quando se intercala um zero entre os algarismos 6 e 7. R: 5,4.00^ 60 - Qual a 1732uletra da seqüência: ABCDEABCDEABCDEABCD.I. Solução: Veja que a seqüência é formada por ABCDE seguido de ABCDE, isto é, de 5 em 5 letras. Logo, se dividirmos 1732 por 5, teremos: 1732 [ 23 32 2 5 346 De onde se conclui, que escrevemos a seqüência ABCDE, 346 ve­ zes. Mas, veja que a divisão não foi exata: sobraram 2 letras, então você só poderá escrever da próxima seqüência as letras AB. Logo, a letra que ocu­ pa 17321 é a letra B. 61 - Qual a 2080- letra da seqüência: DCABDCABDCABDCA... R: B 62 - Qual a 1993a letra da seqüência: ABCDEDCBABCDEDCBABCDE DCBABCD... R: A 63 - Qual a 1039aletra da seqüência: ABCDEDCABCDEDCABCDEDC AB... R: C 64 - Determine a letra que ocupa a 1473a da seqüência: CDEFGHCD EFGHCDEFGHCD... R: E 26 HILDER GÓES * UBALDO TONAR SISTEMA DE NUMERAÇÃO Como já vimos, Sistema de Numeração, é o conjunto de processos empregados para se representar os números. Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base. O número de algarismos de úm sistema é igual a base. Veremos, a seguir, como se passa um número escrito em um certo sistema, numa base para outro sistema, em outra base. P assar um N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e 1 0 para um S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r 01 - Escrever o número 370 no sistema de base 8. Solução: • 37° [_ $ 50 . 46 t____ 6 (562), 02 ~O número 584 está escrito no sistema decimal, escrevê-lo no sistema de base 6. Solução: 584 I 6 44, 97' 6 2, 37 16 6 T 4 2 Veja como fizemos: Dividimos o número, pela base desejada, a seguir, dividimos o quociente obtido pela base; continua-se dividindo-se os quocientes obtidos até encontrarmos um quocíente menor que a base. O número esaáto na nova base, será então formado pelo último quociente seguido dos restos MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 27 encontrados, escritos em sentido contrário, isto é, do último resto até o primeiro. 0 3 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base decimal, escreva-o no sistema de base 7. Solução: 83452 7 13 11921 49 64 21 15 0 12 5 7 1703 [7 30 243 33 23 5 2 7 34 6 7 4 R: (465205), 0 4 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no sistema de base 4. R: (0113330)4 0 5 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no sistema de base 5. R: (231342). 06 - Escreva o número 288 no sistema de base 3. R: (31200)} 07 - Escreva o número 43456 no sistema de base 6. R: (533103) 6 P assar um N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r para o S is t e m a d e B a s e D e c im a l 0 8 - 0 número (562) Hestá escrito no sistema de base 8. Escreva-o no sistema de base decimal. 28 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR Solução: (5 6 2 )g = 2 x = 2 8“ + 6 x 8 ' +48 + + 5 x 8 2 320 = 370 0 9 - 0 número (2412)6 está escrito no sistema de base 6. Escreva-o no sistema de base 10. Solução: (2412) 6 = 2 x 6 ° + l x ó 1+ 4 x 6 2 + 2 x 63 = 2 + 6 + 144 + 432 = 584 Veja como se faz: Escreve-se uma SOMA, onde as parcelas sao: —O algarismo da unidade, vezes à base elevada a zero; —O algarismo das dezenas, vezes à base elevada a um; —O algarismo das centenas, vezes à base elevada a dois; —O algarismo das milhares, vezes à base elevada a três; E assim por diante ... 10 - Escreva o número (213)4 na base 10. R: 39 11 - Escreva o número (2416) na base 10. k :9 9 1 2 - 0 número (465205)? esta escrito no sistema de base 7. Escreva-o no sistema de base 10. R: 8 3 4 5 2 13 - O número (2001), está escrito no sistema de base 2. Escreva-o no sistema de base 10. R: 17 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 29 P assar um Núm ero Escrito em uma B a se Q u a l­ qu er para O u tra B ase D ife ren te da D ecim al 14 - Escrever o número (213) 4 para um sistema de base 5. Yeja como se faz: Passamos o número dado para a base decimal e, em seguida, passamos o número resultante para a base desejada. Solução: i) Passando (213)4 para a base decimal, temos: (213), — 3x4° + 1x4' + 2 x 42 = 3 + 4 + 32 = 39 ii) Agora, passaremos o número 39, que está escrito na base 10, para a base pedida, no caso, a base 5. 39 | 5 4 7 2 1 R: (124)s 15 - Escreva o número (2132)3 na base 4. R: (4z2)4 16 - Escreva o número (1212). na base 2. R: (510102), 17 - Escreva o número (102). na base 4. R: (122)4 18 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 23 do sistema decimal se escreve 32. 30 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Solução: Seja x a base desejada, então temos: (32) x = 23 2 x* x° + 2 3x 3 + = x x ! = 3x 21 23 = x 23 = 7 19 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 45 do sistema decimal se escreve 63. R: 7 20 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 3.8 do sistema de base 10, se escreve 46. R: 8 21 ~Calcule a base do sistema de numeração em que o número 223 do sistema decimal se escreve 337. Solução: Seja x a base desejada, então temos: (337) ^ = 223 7 x xü + 3 x x1 + 3 x x’ = 223 7 +3x-+ 3x2 = 223 3x2 +3x = 216 3x2 +3x — 216 = 0 Resultou uma equação do 2- grau que resolvida nos dá: x’ = —9 e x” = 8. Desprezamos a raiz negativa, então a base procurada será 8. 22 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 38 do sistema decimal se escreve 123. R: 5 23 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 122 do sistema decimal, se escreve 145. R: 9 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 31 24 - Em que base está escrito o número 57 sabendo que no sistema de base decimal se escreve 72. R: 13 25 - Qual é a base do sistema de numeração em que o número 144 na base 10, se escreve 100. R: 12 26 - Qualé a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16. R i 11 27 - Um número de dois algarismos, escrito na base 7, escreve-se na base 9 com os mesmos algarismos em ordem inversa. Determinar esse número na base 10; correspondente ao número na base 7 e na base 9. Solução: Seja ab o número. Então temos: (ab)7 = (ba), b x 7o + a x 71 = a x 9o + b x 91 b + 7a = a + 9b 6a = 8b 3a = 4b Para que a igualdade desses dois produtos exista, deveremos ter: a = 4 e b = 3. O número será: (43)7 ou (34) Na base 10 teremos: (43), = 3 x 7Ü + 4 x T = 3 + 28 = 31 (34), = 4 x 9o + 3 x 91 = 4 + 27 = 31 28 - Um número de dois algarismos, escrito na base 3, escreve-se na base 5 com os mesmos algarismos escritos em ordem inversa. Determine esse número na base 10; correspondente ao número na base 3 e na base 5. R: 7 29 - Certo número de dois algarismos escrito no sistema decimal tem 7 para soma dos seus algarismos. Com a base 6, o número formado pelos mesmos algarismos, vale 16 unidades menos do que o primeiro. Achar esse primeiro número. R: 43 32 HODER GÓES * UBALDO TONAR 30 ~O número 23 se acha escrito em dois sistemas de numeração cujas bases diferem de duas unidades. Achar essas bases, sabendo que a soma dos dois números é 34. R: 6 e 8 37 na base 8. 31 - Escrever a fracão — J 51 Solução: Passa-se separadamente, o numerador e o denominador, para a base 8. 37 | 8 5 4 => 37 = (45), 51 j 3 8 6 => 51 = (63), No que resulta: — = — (8) M 51 63 32 - Escreva a fracão — na base 9. J 22 R: ~47( 9 ) 24 ' 33 - Escreva a feacão — na base 5. ' 27 R: Z i (5) 52 1 ; 34 - Efetuar a divisão de (21374) s por 5. Solução: . (2 1 . 3 7 4), [ 5 (21), = 17 3377 (23), = 19 (47), = 39 (44), = 36 1 (21)g = 1 x 8o + 2 x8‘ = 1 + 16 = 17 (23), = 3 x 8a + 2 x 8l = 3 + 16 = 19 (47) g = 7 x 8Ü+ 4 x 81 = 7 + 32 = 39 (44)s = 4 x 8° + 4 x81 = 4 + 32 = 36 R: Quociente = 3377 e Resto = 1 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 33 35 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (3414) por 6. R: Quociente = 4548 e Resto = 4 3 6 -0 número {7513)a está escrito na base 8. Calcule o resto da sua divisão por 3. R :0 37 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (2632)fi por 4. R: Quociente = 435 e Resto = 0 34 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 3 NÚMEROS INTEIROS As operações fandamentais com os números inteiros sâo quatro: Adição Subtração Multiplicação Divisão PROPRIEDADES DA ADIÇÃO: a) Elemento Neutro: O zero é o elemento neutro da adição nos números naturais. 2 + 0 = 2 0 + 5 = 5 b) Fechamento: A soma de dois ou mais números naturais é sem­ pre um número natural. 2 + 3 = 5 4 + 2 + 3 = 9 c) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma. 2 + 3 + 5 = 10 3 + 2 + 5 = 10 5 + 3 + 2 = 10 d) Associativa: Numa soma indicada de várias parcelas, podemos substituir várias de suas parcelas pela sua respectiva soma. 3 + 4 + 6 + 2 —( 3 + 4) + (6 + 2 ) = 7 + 8 = 15 3 + 4 + 6 + 2 = ( 3 + 4 + 2 ) +6 =9 + 6 = 1 5 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 35 OBSERVAÇÕES: Prim eira: Quando se aumenta uma parcela de uma certa quantida­ de, a soma fica aumentada dessa quantidade. 10 —> 10 + 5 = 15 +6 +6 16 2 1 -» 2 1 -1 6 = 5 Segunda: Quando se diminui uma parcela de uma certa quantida­ de, a soma fica diminuída dessa quantidade. 10 10- 3 = 7 +6 H- 6 16 13 .-> 1 6 -1 3 = 3 01 - Numa adição de duas parcelas, uma delas é 900 e a soma 1.860. Calcu­ le a outra parcela. R: 960 02 - Numa adição de 5 parcelas, a Ia e a 2- são, respectivamente, 600 e 700; a 3* é igual à diferença entre as duas primeiras; a 4a é igual à soma da Ia com a 3a, e a 5a é igual à diferença entre a 4- e a 3a. Calcule a soma. R: 2.700 03 - Uma pessoa ao escrever as duas parcelas de uma soma, enganou-se e escreveu a primeira com um erro de 650 unidades para mais e a segunda com 165, também para mais. Calcule o erro total cometido. R: 815 04 - Uma pessoa, ao escrever as três parcelas de uma adição, cometeu três erros para menos: de 123, na primeira, de 2 na segunda e de 35, na terceira. Calcule a. verdadeira soma, sabendo-se que ela encontrou 2.490. R: 2.650 05 - Ao efetuar uma adição de duas parcelas, uma pessoa obteve o número 3.260. Ao confrontá-la com o original, verificou seus erros iniciais quando havia copiado as parcelas: na Ia foi de 180, para mais, e na 2a, de 20, para menos. Calcule a soma exata. R: 3.100 36 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 06 - Se acrescentarmos 15 centenas a um número e de outro tirarmos 743 unidades, a soma desses números fica sendo 4.139. Se o menor deles é 1.639. Calcule o maior. R: 1.743 07 - Se tirarmos 757 de um número e 348, de outro, a soma torna-se 293. Sendo 1.049 o maior número, calcule o menor. R: 349 08 - Numa soma de três parcelas, soma-se 3 unidades à primeira, 2 unida­ des à segunda e subtrai-se 9 unidades à terceira. Calcule de quantas unida­ des ficou alterado o resultado. R: 4 SUBTRAÇÃO; :E a^opeíãçàô MKNQR^-;çtiám.ado^áÍD^ •número;^ !& Í 0 ^ Te.suIi:ádo';(^^^^ DO je. pxitr'8 ÍT \r)O j*e!ç^|i ou RESilÒjjj OBSERVAÇÕES: Primeira: A subtração não é comutativa, nem associativa e nem possui elemento neutro. Segunda: O minuendo é igual ao subtraendo somado com o resto. 8 minuendo —5 subtraendo 8=5+3 3 —> resto Terceira:A soma do minuendo com o subtraendo e com o resto, é igual ao dobro do minuendo. 7 —> minuendo —3 —> subtraendo => 7 + 3 + 4 = 14 =^>14 —2 x57 4 resto MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 37 Q uarta: Somando-se ou subtraindo-se o mesmo número do minuendo e do subtraendo o resto não se altera. 18 -» 18 — 6 —> + 3 = 6 + 21 3 — — 9 12 12 2 0 -> 20 — 3 — 7 —> 7 — 3 13 = 17 — — 4 13 Quinta: O resto varia no mesmo sentido que varia o minuendo, isto é: a) Somando-se qualquer número ao minuendo, o resto ficará au­ mentado desse número. 1 8 —> 1 8 + 5 = 23 -A ~A 14 19 -» 19 = 14 + 5 b) Diminuindo-se qualquer número do minuendo, o resto ficará diminuído desse número. 1 4 —>1 4 - 2 -A 10 = 12 -_4 8 —» 8 = 10 - 2 Sexta: O resto varia em sentido contrário ao que varia o sub­ traendo, isto é: a) Somando-se qualquer número ao subtraendo, o resto ficará di­ minuído desse número. 12 • —A 8 12 4 + 2 => 6 —_6 6= 8-2 b) Diminuindo-se qualquer número do subtraendo, o resto ficará aumentado desse número. 16 — 6 —> 6 — 2 = > 10 16 — 4 12 -> 1 2 = 1 0 + 2 Sétim a: Somando-se certo número ao minuendo e diminuindo-se outro número do subtraendo, o resto ficará aumentado da soma desses números. 38 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 20 - » 20 + -6 = 26 — 8 —» 8 — • o — —3 12 23 - » (23 - 12) = 11 = 6 + 5 Oitava: Diminuindo-se certo número do minuendo e aumentan­ do-se de outro número o subtraendo, o resto ficará diminuído da soma desses números. 30 30 - 10 =20 -Já 14 + 3 = - 17 16 3 (1 6 - 3 ) = 13 = 10 + 3 09 - Calcule o minuendo de uma subtração, sabendo que o resto é 15 e o subtraendo 115. R: 130 10 - Numa subtração, o dobro -do minuendo é 160. Calcule o resto, saben­ do que o subtraendo vale 20. ~R: 60 11 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 120. Houve, porém, 110 minuendo um erro de 20, para mais e no suba-aendo um erro de 10 para mais. Calcule a diferença exata. ' R: 110) 12 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 180. Houve, porém, no minuendo urrr erro de 50 para mais, e no subtraendo um erro de 30 para mais. Calcule a diferença esata. R: 160 13 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 250, Houve, porém, no minuendo um erro de 70, para mais e no subtraendo um erro de 30 para menos. Calcule a diferença exata. R: 150 1 4 - 0 resto encontrado em uma diferença foi 280. Verificou-se, entretan­ to, que o minuendo havia sofrido um erro de 150, para menos e no subtraendo houve um erro de 70 para menos. Calcule o resto exato. R: 500 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 39 15 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 80. Houve, porém no minuendo um erro de 70 para menos e no subtraendo um erro de 20 para mais. Calcule a diferença exata. R: 270 16 - Somando-se 72 ao minuendo e 15 ao subtraendo, calcule que altera­ ção sofre o resto da subtração. R: Fica aumentado de 57 unidades 17 - Somando-se 54 ao minuendo e subtraindo-se 12 ao minuendo, calcule de quantas unidades o resto fica alterado. R: 66 18 - Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é igual a 90. O resto é inferior ao subtraendo em 19 unidades. Calcule os termos dessa subtração. R: 45, 32 e 13 19 - São dados dois números dos quais o maior é 380. Tirand©~se 180 de um e 160 de outro, a soma dos restos obtidos é igual a 240. Calcular o número. R: 200 2 0 - 0 minuendo de uma subtração é 346. O subtraendo e o resto são números pares e consecutivos, sendo o resto o maior desses números, calcule o subtraendo. R: 172 21 - Á soma dos três números que figuram em uma subtração é 7492. O resto excede o subtraendo de 3438. Calcule os três números. R: 3746,154 e 3592 22 - Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é ígual a 516. O subtraendo é igual ao resto. Calcule o minuendo e.p resto. R: 258 e 129 40 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 23 - A soma dos três números qúe figuram numa subtração é igual a 948. Calcular esses três números, sabendo-se que o subtraendo e o resto são iguais. R: 474, 237 e 237 24 - Em uma subtração a soma do minuendo, subtraendo e resto é 1344; o subtraendo sendo 621, determine o minuendo e o resta R: 672 e 51 25 - Numa subtração a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é 1686. O resto excede o subtraendo de 253 unidades. Calcular o minuendo, o subtraendo e o resto. Rx 843, 295 e 548 26 - A soma dos três números que figuram numa subtração é 842. O resto excede o subtraendo de 145 unidades. Determinar esses três números. R: 421,138 e 283 MULTIPLICAÇÃO: PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO a) Elemento Neutro: O um (1) é o elemento neutro da multiplicação. 3 x 1 = 3 4 x 1 = 4 b) Fechamento: O produto de dois números naturais é sempre um número natural. 2x3 = 6 4 x 5 = 20 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 41 c) 3 2 5 Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto. x 2 x 5 = 30 x 5 x 3 —30 x 3 x 2 = 30 d) Associativa: Num produto de vários fatores podemos substituir dois ou mais deles pelo seu produto. 4 x 3 x 5 x 2 = 12 x 5 x 2 = 12 x 10 = 120 e) Distributiva em Relação a Adição: Para se multiplicar uma soma por um número, multiplica-se cada uma das parcelas pelo número dado e soma-se os produtos. (4 + 6) x 3 = 4 x 3 + 6 x 3 = 12 + 18 = 30 £) Distributiva em Relação a Subtração: Para se multiplicar uma di­ ferença por um número, basta multiplicar cada termo da diferença por esse número e, a seguir, subtrair os produtos. (12 - 10) x 2 = 12 x 2 - 10 x 2 = 24 - 20 = 4 g) Elemento Nulo: Quando um dos fatores é zero, o produto é zero. 3 x 0 =0 2 x 5 x 0 x 6 = 0 h) Quando se soma um certo número a um dos fatores, o produto fica aumentado de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo outro fator. 2-> 2 + 5 7 x_3 2 1 —*>21—6 = 15 = 5 x 3 6 i) Quando se subtrai um certo número de um dos fatores, o produ­ to fica subtraído de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo outro fator. 2 = 3 x_4 x4 12 - » 20 —12 = 8 = 2 x 4 20 42 HILDER GÓES * UBALDO TONAR j) Quando se multiplica um dos fatores por um número, o produ­ to fica multiplicado por esse número. 10 10 x 3 = 30 x 4 x 4 40 120 = 40 x 3 1) Quando se divide um dos fatores por um número, o produto fica dividido por esse número 20 20 - 2 - 10 x 3 x __3 60 30 = 60 4-2 2 7 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o multiplicando, o produto será 96. Calcule o multiplicando e o multiplicador. R: 15 e 8 2 8 - 0 produto de dois números, que é 594 será 429 se diminuirmos 5 do multiplicador. Calcule o primeiro e o segundo fatores. R: 18 e 33 2 9 - 0 produto de dois números é 120, aumentando-se de 5 unidades o multiplicador, o produto será 160. Calcule o multiplicador. R: 8 3 0 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o multiplicador, o produto será 75. Calcule o multiplicador. R; 15 3 1 - 0 produto de dois números é 248. Multiplicando-se um deles por 2 e o outro por 3, calcule o produto desses dois novos números. R; 1.488 3 2 - 0 produto de dois números é 4.176. Subtraindo-se 7 de um dos números o produto se reduz a 3.770. Calcule esses números. R: 1.488 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 43 3 3 - 0 produto de dois números é 630. Somando-se 4 ao multiplicador, o produto dos dois fatores fica igual a 798. Determinar os dois fatores. R: 42 e 15 3 4 - 0 produto de dois números é 96.. Qual é o produto de um número 3 vezes maior do que o primeiro por outro número 5 vezes maior do que o segundo? R: 1.440 3 5 - 0 produto de dois números é 2496. Determinar esses números, sabendo-se que, juntando-se 4 ao multiplicador, o produto passa a ser 2688. R: 48 e 52 3 6 - 0 produto de dois números é 1026. Subtraindo-se 2 a um dos núme­ ros o produto se reduz a 950. Determinar esses números. R: 38 e 27 DIVISÃO a) Dividendo: É o número que há de ser dividido. . b) Divisor: É o número que indica em quantas partes iguais deverá ser dividido o dividendo. c) Quociente: É o resultado da divisão. d) Resto: É o que sobra da divisão, no caso dela não ser exata. i) DIVIDENDO = DIVISOR x QUOCIENTE + RESTO ii) O maior resto de uma divisão, é o divisor menos uma unidade. 44 HIIJDER GÓES * UBALDO TONAR OBSERVAÇÕES: Prim eira: Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo e o divisor por um mesmo número (diferente de zero) o quociente não se altera, mas o resto ficará multiplicado ou dividido por esse número. 19 L i. 4 3 / 19 x 2 = 3838 1 10 -> 8 = 4 x 2 \ 5 x 2 = 10 83 Segunda: O quociente varia no mesmo sentido do dividendo, isto é: a) Multiplicando-se o dividendo por um número, o quociente fica multiplicado por esse número. 32 0 4 8 -* 32 x 2 = 64 0 4 16 =í>16 = 8 x 2 b) Dividindo-se o dividendo por um número, o quociente fica dividido por esse númera 32 1 8 0 4 32 4- 2 = 16 0 2 => 2 = 4 - 2 Terceira: O quociente varia em sentido contrário ao que -varia o divisor, isto é: a) Multiplicando-se o dividor por um número, o quociente fica divi­ dido por esse número. 64 8 => 8 x 2 = 16 => 64 16 08'' 0 4 = > 4 = 8-r2 b) Dividindo-se o divisor por um número, o quociente fica multi­ plicado por esse número. 40 8 0 5 84 2 =4 =>40 4 0 10^10 = 5x2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 45 37 - Calcule o maior numero que dividido por 11 dê um resto igual ao quodente. R: 120 38 - Calcule o quodente de uma divisão, sabendo que, aumentando 52 unidades ao dividendo e 4 unidades ao divisor, o quodente e o resto não se alteram. R: 13 39 - Numa divisão o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior possível. Sabendo que a soma do divisor e do quociente é igual a 6, calcule o dividendo. R: 11 4 0 - 0 dividendo de uma subtração é 237, o resto é 16 e o divisor é o menor possível, calcule o quociente. R: 13 41 - Numa divisão, o divisor é 257, o quodente é 59 e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo. R: 15.419 42 - Numa divisão, o divisor é 12, o quodente é 10 e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo. R: 131 43 - Numa divisão, o divisor é 28, o quodente é o quádruplo do divisor e o resto é o maior possível Calcular o dividendo. R: 3.163 44 - Numa divisão, o quociente é 48, o resto é a terça parte do quodente e é o maior possível. Calcular o dividendo. R: 832 45 - Numa divisão, o quodente é 12; o divisor é o dobro do quociente e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo. R: 311 46 HILDER GÓES * UBAJUDO TONAR 46 - Em uma divisão, o dividendo é 5043, o quociente é 14 e o resto é 185. Calcule o divisor. R: 347 47 - Numa divisão, o divisor é 298, o quociente é o triplo do divisor e o resto é o maior possível. Determine o dividendo. R: 266.709 48 - Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 16, e o resto é o maior possível. Calcular o -dividendo. R: 254 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 4? 4 NÚMEROS FRACIONÁRIOS INTRODUÇÃO Poderemos dizer que: a) a criança comeu 3 das 5 partes, isto é, três quintos da barra de chocolate. b) a criança deixou de comer 2 das 5 partes, isto é, dois quintos da barra de chocolate. Observe que os três quintos que a criança comeu da barra de cho­ colate e os dois quintos que deixou de comer, foram tirados da unidade que era uma barra de chocolate. Os números três quintos e dois quintos, são chamados N úm eros Fracionários ou Frações Ordinárias. Daí a definição. Ilustrando o exemplo dado, temos: a barra de chocolate a barra de chocolate três quintos dois quintos NOTAÇÃO: Pata representarmos uma fração, são necessários dois números chamados termos da fração. Sejam a e b números, com b ^ 0. t â / Daí: — ou /. Onde a é o numerador e b é o denominador, b /b 48 HILDER GÓES * UBALDO TONAR a) O numerador indica o número de partes tomadas da unidade b) O denominador indica em quantas partes a unidade foi dividida. A fração 3/5 da barra de chocolate que a criança comeu, indica que a unidade foi dividida em 5 partes e ela comeu 3 dessas partes. CLASSIFICAÇÃO: As frações se classificam em: a) Própria: Numerador MENOR do que o denominador. j>, 4 3 ’ 7* 5 b) Imprópria: Numerador MAIOR do que o denominador. 7, 8 , 4 2’ 5’ 3 c) Aparente: Numerador IGUAL ou MÚLTIPLO do denominador. 4 , 1§ 6 * 2’ 5 d) Homogêneas: São as frações que possuem o mesmo denominador 1 3 - 7 5* 5’ 5 e) Heterogêneas: São as frações que possuem denominadores diferentes: 3 2 4 4’ 5’ 9 f) Inversas: Duas frações se dizem inversas quando o numerador e o denominador de uma for o denominador e o numerador da outra. le i 5 2 Ae _í 4 3 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 49 g) Equivalentes: Duas ou mais -frações são ditas equivalentes, quando representam a mesma parte da unidade ou do inteiro:^ 2 e 3 _ 254 ó’ Veja graficamente < CLASSE DE EQUIVALÊNCIA DE UMA FRAÇÃO: Chamamos de Classe de E quivalência de uma fração, aoxonjunto formado por todas as frações equivalentes a uma fração dada. Exemplo: Calcule a classe de equivalência da fração Solução: 2 4 6 .6 ’ ' 9 5 01 - Assinale as frações próprias: 1 2 7 8 7 02 - Assinale as frações impróprias: 1 50 .11 ,— > — j 'h 4 7 HILDER GÓES * UBALDO TONAR JS 1 2 ’ 3 10 12 ' 14 15 * 18 ’ 21 03 - Assinale as frações aparentes. 3 5 8, 4 _3 j 5 , 1 5 8 —, 3 14 —, 7 4 — 3 04 - Dentre as frações seguintes, destaque as homogêneas entre si. 3 -J 5 J5 -J -1 J 7 3 (*--2 > ?-4 5 5 5 --7 > 7 4 -- 3 05 ~Dentre as frações seguintes, destaque as heterogênas 1 rl 45 3’ 1 4 Jl 75 1 4* 1 4’ 1 4 3 06 - Escreva anco frações equivalentes à fração — > PROPRIEDADES DAS FRAÇÕES: a) Quando multiplicamos, os dois termos de uma fração, por um número diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada. 1 Seta a fração —>multiplicando o numerador e o denominador por 2 2 3 2, resulta —• por 3 resulta—. 4 ’ 6 1 2 3 As frações — e — são equivalentes. 2 4 6 M b) Quando dividimos os dois termos de uma fração, por um núme­ ro diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada. Seja a fração — >dividindo o numerador e o denominador por 2, resulta — >por 3 resulta ™. As frações — » — e -=- são equivalentes. 15 10 ' 30 15 10 M MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 51 c) Multiplicando o numerador de uma tração por um aúmero dtferente de zero, a fração fica multiplicada por esse número. 2 6 Multiplicando o numerador da fração — por 3, teremos —- que é 8 8 três vezes a fracão ~ . Visualize, graficamente/ d) Dividindo o numerador de uma fração por um número diferente de zero, a fração fica dividida por esse número. 4 2' Seja a fração — , dividindo o numerador por 2, temos: -y - . Visualize, graficamente< e) Multiplicando o denominador de uma fração, por um número diferente de zero, a fração fica dividida por esse número. 1 3 Visuaiize, graficamente 1 „1 3x26 f) Dividindo o denominador de uma fração, por um número dife­ rente de zero, a fração fica multiplicada por esse número. Visuaiize, graficamente 52 1 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 2 4 SIMPLIFICAÇÃO DE UMA FRAÇÃO Quando os termos deumafraçào admitemum divisor comum, pode-se substituir essa fraçãopor outraequivalente, com ostermos com menores valores. BI 27 Seja a fração ~ ~ >dmdindo-se ambos os termos por 3, resulta: — 108 36 que é uma fração equivalente a 81 porém, com os termos mais simplificados. OBSERVAÇÃO: . .ssfr Na fraçào 81 -T iín a c lò r^ , ao dividirmos os seus termos pelo máximo divisor 3 comum de 81 e 108 que é 27, teremos a fraçào ~ , que é a forma irredutível 81 fração — . REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR 3 1 7 Seiam as frações —, —e — • ' 5 4 10 a) Calculamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores, o qual será o denominador comum das frações dadas. O m.m.c. (5, 4,10) = 20. b) Dividimos o denominador comum 20, pelo denominador de cada fraçào. 20 - 5 = 4, 20 -r 4 = 5, 20 * 10 = 2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 53 c) Multiplicando esses quocientes pelos respectivos numeradores, i r obtemos os numeradores das frações. 12 5 14 e^ 07 - Reduza, os conjuntos de frações abaixo, ao mesmo denominador. 3 3 a) — 5 7 2 31 25 1 1 ,.2 1 1 3 b) — 5 7 2 8 2 2 1 3 3 7 t\ >6 , 4 , 2 ^ 7 ’ 8 ’ 3 ’ 4 7 1 2 1 c) — 11 3 5 9 8 1 ’ 2 3 2 ’ 5’ COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES a) Frações com o mesmo denominador Exemplo: 4 2 —- é maior do que — 5 5 5 3 - é maior do que ~ 7 / 08 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior: 2 1_ 9 7 10 4_ 8 3 3 3 3 3 3 3 09 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor: 4 3 5 9 2 1 8 s V s V s V s b) Frações com o mesmo numerador Exemplos: ■2 , . , — é maior do que 5 54 2 — 7 HILDER GÓES * UBAJLDO TONAR 1 1 —é maior do que — 2 4 1 10 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior: 1 1 1 1 7 ’ 8 ’ 9 ’ 4 11 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior: 3 3 _3_ i V l l 12 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor. I I 1 i 5’7 ’8 ’ 9 13 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor. i i I 2’ 4 ’ 3 c) Frações com numeradores e denominadores diferentes ■''Dçyerôos jréduzii:;^ détionun < >d<>r. rei^ürido sxo;\ Exemplo: 2 1 8 3 —, — =>— , — 3 4 12 12 2 , 1 => —e maior do que — 3 4 14 - Colocar em ordem decrescente: 4 3 2 1 9 15 - Pôr em ordem decrescente: i 11111 8 ’ 8 5 8 ’ 8 *8 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 55 16 - Pôr em ordem crescente: 2 2 2 2 2 5’ 7J4 ’ 3 ’ 9 17 - Pôr em ordem crescente: i i 1 1 _! 4 >3 ’ 8 ’ 7 >10 18 - Escrever em ordem crescente: 5’ 5*3’ 7 ’ 2 19 - Escrever em ordem crescente: 1 1 1 1 1 3 V 4 ’ 7’ 2 NÚMERO MISTO 2+ 1 3 +1 4 <)lhe ConiumeiUe o nmrie.tpíiítíÃtp eltpjrésínínaq s'eüi;b,'?íi\rJ.dcràt%ão; Bn V/.-:' '^ .^ C V # ' -Y f ..■:-2-tTí;='-2-:-:-&\o t . . - - - v a . . v\ ■ . - "■■ TRANSFORMAÇÃO DE UM NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA Hicarsé o-ii/^ero/iíifeii'». pelp: se o nun aõ\rés.ultátip sõ fraoío dada 56 HILDER GÓES * UBALDO TONAR -' Exemplos: 0 1 = 2x3 +1 _ 7 “3 3 3 1 _ 4x2 +l _ 9 2 2 ~2 20 - Transformar em frações impróprias, os números mistos abaixo relacionados. 1 a) 3 - 1 d) 1- 1 g) l i b) 2 j 4 e) 4-1 5 h) 2 j 5 C) 3 3 f) 2 5 9 52 - OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ADIÇÃO a) Frações com o mesmo denominador ..!v r• ■ ■v-; r! àenam in^ dot/ cònilim ::r':'r:y rí v ; \:A■ ?■ vV ü 5 h— 3 H---7 —— 15 E x e m pi lo s:---17 17 17 17 Efetue as seguintes adições: ^22 - 4 !----! 1 —2 5 5 3 2 2 4 ------ + - + — 6 6 6 25 5 5 ™ 2 l-----1 3 1— 23 - — 7 7 7 3 1 3 2 _1 3 7 8 ---- !----- i------i---- 26 - — l----------1---- h— 11 11 11 11 9 9 9 9 ™ 2 3 5 1 2 4 7 11 27 - -----1------1------1---- 28 - — + — + — + — 15 15 15 15 12 12 12 12 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 57 d) Frações com denominadores diferentes ... 2 3 8 9 Exemplos: — 1— = — -í---- = — r 3 4 12 12 12 1 4— 3 —--5 —9 — 3 5 15 15 Efetue as adições abaixo: 2 9 1 3 2 4 - 1 + Í - + 1 3 3U - 1 5 . , 2 1 5 3 4 6 3 1 “ — i— 3 7 — - 3 2 ~ 7 35 ----------- 3 + __ 2 + _1 — 10 5 6 SUBTRAÇÃO: a) Frações com o mesmo denominador ';:;-;:;íÍ:S,úbLrai'‘Se os numeiradoíesvêjíão ^'esiiitádo, dá^stí-lh^.-eí-' ü „ A - i L 15 15 _ 15 í-1 -1 8 8~8 E etue as seguintes subtrações: 0 3 3 - - - - 8 J L _ 6 , 3 « 7 9 --------------------- 1 5 58 — - /C 3 7 - 4 0 5 3 8 7 7 2 1 3 3 -------------- 4 1 4 HILDER GÓES * UBÀÍJDO TONAR ----------- - 1 7 1 4 2 8 - 9 3 - 5 7 1 5 2 9 - 3 4 4 3 . Í _ 3 9 - 8 S 1 3 3 4 - 1 1 3 3 2 5 5 - b) Frações com denominadores diferentes llcd 4 5 ;se.‘ja$Vfí'açoes-ao;íiíésm^ 8 Ei.S6 ^i^BS#Si_9_85iiliS 3 _ 16 4 ~ 20 15 _ 1 20 ~ 20 21 Efetue as subtrações abaixo: 42-Í-í 5 3 3 2 45 - ~ ~ - 43- 44- 46- - - 47 24 A 12 MULTIPLICAÇÃO: a) Multiplicação de uma fração por um número ". '‘ "" ' ’ ' ^pum £rrfèí>rn iofíiiíiiiíèíifdái 2 -v - 6 —x 3 = — 7 7 ' 3 15 5x —= — 4 4 b) Produto de duas ou mais frações 1 1 12 - 3 ' 4 ~~12 . i 1 1 - lí 3 5 2 ~~30 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS Efetuar as seguintes multiplicações: 2 48--x2 5 2 49 - - x 5 7 ^ 3 0 50- - x 2 7 51- 7 x 9 52-12xi 8 53- 7 x - 54 ~ — x 8 15 55 - 9 x — 5 56- 2 1 x 1 4 5„ 7 ----2 x —8 4 16 ^ 8 3 1 6 0 ---- x —-x— 4 7 2 co ca 2 5 8 ----X”2 3 9 2 3 1 61- —x —x — 5 2 4 59 - 7—x2 — 5 8 1 3 2 62- —x —x~~ 2 2 3 OBSERVAÇÕES: i) O inverso de um número Exemplos: O inverso de 3 é — 3 ^ O invetso de 13 é — 13 ii) O inverso de uma fração. 1 Exemplos: 3 4 O inverso de — é — 4 3 2 7 O inverso de — é — 7 ' 2' DIVISÃO: a) Divisão de uma fração por um número r.; 60 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 3 T? 1 3 . .3 T 3 Exemplos: —-h 5 = —x —= — . 4 . 4 5 ' 20 2 2 1 2 — -i- 3 = - x — = — 55315 Efetuar as divisões abaixo: 3 63- ——3 5 64- 66- 67- 12 69- 1 , 6 8 8 6 5 - —+5 9 14 68- 1 , 2 9 3 -s-5, 70- — 14 71- - - 5 7 b) Divisão de um número por -uma fração í : -o ! Exemplos: 2* íu 1tijpiicíí 3 = 2 „x — 4=— 8 — 4 v 3 3 2= 3x — 5= — 15 3- — 5 2 2 Efetuar as divisões abaixo: 72 - 2 -r-i 5 73-3-1 7 74-3*- 75 - 8-5-3 76-4-™ 3 77-8-- 78- 164 2 3 - - 7 9 _ 9 ^ 4 7 _ 5 9 7 80-7- — 15 c) Divisão de uma fração por outra fração MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS FRACIONÁRIOS 6l Exemplos: — — 1 ' 1 - Z L 4 7 4 5 ” 20 2 .^ 1 -! 5 ’ 3~5 3 _ 6 4 _ 20 Efetuar as divisões abaixo: O 4*-O ( 81- i OO 3 _2 5 ‘ 5 82- 2 , 3 4 *7 83- 8 . 3 12 ’ 6 1 . 3 5 ’ 5 85- 7 , 2 8 ’ 5 86- 1 . 2 6 ‘ 7 2 t3 5 ’8 88- 3 ,5 7 ‘ 8 89- 3 . 1 9 ‘ 7 OBSERVAÇAO: t, , 2 1 2 3 4 9 13 Exemplos: — h 1 — —— H----- = — 1— = — 3 2 3 2 6 6 6 EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS É a reunião de números fracionários, unidos entre si, pelas opera­ ções de adição, subtração, multiplicação e divisão. Na solução de uma expressão fracionária, devemos efetuar as ope­ rações na seguinte ordem de prioridade a) Divisão b) Multiplicação c) Adição e subtração, simultaneamente ;::Vejá: .Qítt ndó,'iiumfèxp.íréss íiç--fracLphávíí\j^gúra£,."ós) nais dè ;i;eüxiÍ2ó,' ■''•Y;tãísi£çii»p:;C^^ cS^íeí&dó/Yv;' 62 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Exemplo: Calcule a expressão: —h i + l - í 3 15 5j\ _2|M ,5 + 6 3 j 1 2 " í 15 Solução : *{—+ 2 3 + 1 5 3 J ” 3 0 * 3 0 3 0 ~ 3 0 MÁXIMO DIVISOR COMUM DE FRAÇÕES O m.d.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o m.d.c dos numeradores das frações dadas e para denominador o m.m.c. dos denominadores das mesmas frações. Exemplo: Calcular o maior divisor comum das frações: 6 3 12 7 * 5 C 15 m.&c. (6, 3, 12) = 3 m.m.c. (7, 5,15) = 105 Então, o M.D.C. será -1 — 105 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE FRAÇÕES O m.m.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o m.m.c. dos numeradores das frações dadas e para denominador, o m.d.c. dos denominadores das mesmas frações. Exemplo: Calcular o menor múltiplo comum das frações: 7 6 5 * 3 15 6 1 2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 63 m.m.c. (7, 5, 15) = 105 m.d.c. (6, 3,12) = 3 . 105 Logo, o m.m.c. seta ----- FRAÇÃO EQUIDISTANTE DE DUAS OUTRAS Para se calcular uma fração equidistante de duas outras frações, re­ duzimos as frações ao mesmo-denominador, sorriamos as frações resul­ tantes e dividimos por dois. 1 1 Exemplo: Calcule a fração equidistante das fracoes — e S1 . 1 1 3 5 Solução: —e —=i> — , — 5 3 15 15 A JL -A 15 15 “ 15 ' 5 3 - ^ 2-A ~ ± 15 ' ~ 30 ~ 15 Olhe: 1 5 4-3 15 l_4_ 3 15 5-4 4_ — 15 15 15 _5_ 15 Calcule as expressões abaixo relacionadas: 7 90 - 64 1 3— -JL 91 _ _3. 34 2o 16 HILDER GÓES * UBAJLDO TONAR 2 92. 1 - +- 5— 3 3 1 ------4 7 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS NÚMEROS DECIMAIS DEFINIÇÃO ínero aeciii^^^ partes; Parte Inteira: É a que fica à esquerda da vírgula Parte D ecim al: E a que fica à direita da vírgula Exemplo: No número 34,285 temos: 34 é a parte inteira e 285 é a parte decimal. PROPRIEDADES DOS NÚMEROS DECIMAIS Prim eira: Um número decimal não se altera quando se acrescen­ tam ou se suprimem um ou mais zero à direita de sua parte decimal Exemplos: 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000 ... 0,5000 “ 0,500 = 0,50 = 0,5 Segunda: Para se multiplicar um número dedmal por 10,100,1000,..., basta deslocar a vírgula para a direita; uma, duas, três,..., casas decimais.„ Exemplos: Efetuar as seguintes operações: a) 3,42 x 10 b) 0,165 x 100 Solução: a) 3,42 x 10 —34,2 b) 0,165 x 100 = 16,5 66 HILDER GÓES * UBALDO TONAR c) 1,5 x 1000 c) 1,5 x 1000 = 1500 Terceira: Para se dividir um número decimal por 1 0,100,1000,..., basta deslocar a vírgula para a esquerda; uma, duas, t r ê s , c a s a s decimais. Exemplo: Efetuar as seguintes divisões: a) 35,4 5 10 b) 228,72 + 100 c) 23,4 - 1000 - - Solução: a) 35,4 +. 10 = 3,54 b) 228,72 - 100 = 2,2872 c) 23,4 + 1000 = 0,0234 COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS a) As partes inteiras são diferentes: "'; ■.¥>.‘m aio r Exemplos: 3,2 é maior do que 1,879 2,1 é maior do que 1,32274 b) As partes inteiras são iguais á f ' :ys '.!'30■-■V'*% r ^v-':-'0. 'r.‘;,:;'Iguála;mo§;-ó/nú^ v; - .Q tn^òt tiiunié^s'é'i^'ir<âüd^ ^ í :' ^eros.-■. r Gtídmal .-1 Exemplo: Sejam os números 2,42 e 2,523 Igualando as casas decimais, resulta: 2,420 e 2,523. Como 523 é maior do que 420, então: 2,523 é maior do que 2,42. Exemplo: Sejam os números 2,6 e 2,542 Igualando as casas decimais, resulta: 2,600 e 2,542. Como 600 é maior do que 542, então 2,6 é maior do que 2,542. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 67 OPERAÇÕES COM N Ú M ERO S DECIMAIS ADIÇÃO: Exemplos ^yírgijíà^dçíiaí^; cle: yí 1,25 + 3,2 + 0,412 0,27 + 21,412 + 322,4 0, 21, 322, 344, 1, 25 3, 2 0, 412 4, 862 27 412 4 082 Efetuar as adições abaixo: 01 - 43,21 + 3,423 + 0,59 02 - 39,04 + 431,2 + 9,007 03 - 4,932 + 27,3005 + 74,007 04 - 9,007 + 0,53 + 0,92 + 40,009 05 - 7,95 + 1,8 + 9,82 + 8,2 06 - 9,4 + 0,28 + 0,074 + 9,0 07 - 2,8 + 13,24 + 29,35 08 - 9,78 + 3,09 + 5,36 + 0,0019 Respostas: 01 - 47,223 02 - 479,247 03 - 106,2395 04 - 50,466 05 - 27,77 06 - 18,754 07 - 44,69 08 - 18,2319 SUBTRAÇÃO; iC o iò á í^ s ç ^ g ^ Exemplos: 68 2,6 — 1,234 2,600 _ 1,234 1,366 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 32,4 - 13,27 32,40 13,27 19,13 Efetue as subtrações abaixo: 09 - 43,2 - 21,234 10 - 19,378 - 8,6 11 - 0,533 - 0,2 12 - 37,25 - 9,8762 13 14 . 15 16 - Respostas: 13 - 1,88562 14 - 1,2505 15 - 0,884 16 - 0,91544 09 - 21,966 10 - 10,778 11 - 0,333 12 - 27,3738 3,84 - 1,95438 3 _ 1/7495 2,784 - 1,9 8,005 - 7,08956 M ULTIPLICAÇÃO : Exemplos: 4,08 x 0,18 4,08 x 0,18 3264 408 0,7344 3,84 x 2,5 3,84 x 2,5 1920 768 9,600 Efetue as multiplicações abaixo: 21-47,845 x 1,035 22 - 0,844 x 3,5 23 - 12,8 x 3,2 24 - 10,52 x 0,015 1 7 -4,6 x 2,8 18 -2,4 x 0,6 19 - 31,2 x 4,2 20 -4,74 x 0,39 Respostas: 17 - 12,88 18 - 1,44 19-131,04 20-1,8486 21-49,519575 22 - 2,954 23-40,96 24-0,1578 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 69 Exemplos: '5,580 4- 2,5 0,16 h- 0,0025 5,580 0,1600 2,500. 5800 800 5000 000 0,0025 2,232100 64 000 Efetue as divisões abaixo: 25 - 37,78 -r 1,6 26 - 48,7 4- 0,8 27-0,84816 + 0,72 28-0,648 - 0,036 29 - 8,4 + 280 30 -0,16 + 0,0025 31-7,56 -s- 3,6 3 2 -0 ,8 4 + 1,4 Respostas: 29-0,03 30 - 64 31-2,1 32- 0,6 25-23,6125 26 - 60,875 27-1,178 28-18 CONVERSÃO DE FRAÇÃO ORDINÁRIA EM DECIMAL Para obtermos o número decimal equivalente à fração dada, dividi­ mos o numerador pelo denominador. Vejamos, agora, algumas divisões separadas por casos: 1* CASO: ~ = 3,5 2 í$.à£es'íjjtados;':ebÜ^ 70 HILDER GÓES * UBALDO TONAR “ = 2,5 2 - =. 1,75 4 2Q CASO: 5 16 — = 0,4545... — = 1,77... - = 1,66...—= 0,33. 11 9 3 3 . 2 11 = 1,166... -— = 0,1333... — = 1,833... 15 6 • Observe que a parte decimal do quociente é formada por algaris­ mos que se repetem indefinidamente. . Os resultados obtidos são chamados de Números D ecim ais Pe­ riódicos ou D ízim as Periódicas. *erí(ido:' e- á' par té; ^úa,í.e’;repeí-.e; iadéfíhidaiiiontc nunrhi : Olhe: À pe^òdÍGid.adé cjé um número ^^im^LijD^de 0,333 ... = 0,(3) = 0,3 = 0,3 0,41666 ... = 0,41(6) = 0,416 = 0,416 Converter as frações ordinárias abaixo, em números decimais: 1 33 - — 2 3 34- — 5 36 - — 35- Respostas: 3 3 - 0,5 37 - 0,41666... 11 34 - 0,06 35 - 0,625 38 - 3,88 . . . . 37 - — 12 38 - — 18 36 - 0,3636. DIZIMAS PERIÓDICAS SIM PLES E COMPOSTA Observe as seguintes divisões: 5 —= 1,66... 3 1 —=0,33... 3 5 --= 0,4545... 11 16 — = \77... 9 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NtJMEROS DECIMAIS 71 Veja que os quocientes obtidos não são números decimais exatos. Isto porque os números 6, 3, 45 e 7 se repetem indefinidamente. Números como 1 , 6 6 — ; 0,33... ; 0,4545... e 1,7 7 ... são chamados de Dízimas Periódicas Simples. Veja as seguintes divisões: — -0,133... 15 — = 0,4166... 12 “ = 1,833... 6 Observa-se, também, ,que nào são números decimais exatos. Nú­ meros como 0,133...; 0,4166... e 1,833... são chamados de D ízim as Periódicas Compostas. Dízima Periódica Simples: 1,666...: Dízima Periódica Composta: 1,933... parte inteira: 1 período: 6 parte inteira: 1 parte nào periódica: 9 período: 3 Você deve ter observado que, tanto as dízimas periódicas simples como as compostas, se originaram da divisão do numerador pelo denomi­ nador de certas frações. Essas frações que deram origem, que geraram as dízimas, sao cha­ madas de GERATRIZ da dízima periódica. Então, Geratriz da Dízima Periódica é a fraçao que deu origem à dízima. Vejamos, agora, as regras para calcularmos a geratriz das dízimas, isto é, as frações que deram origem às dízimas. 72 HILDER GÓES * UBÀLDO TONAR a) Cálculo da Geratriz de u m a D ízim a Periódica Simples É a fração que tem como numerador o período e como denomina­ dor um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplo: Calcular a geratriz das dízimas: 0,33...; 0,4545... e 1,666... Solução: 0,333... = —= — 9 3 0,4545... = — = — 99 11 6 15 5 1,666... = 1 + 0,666... = 1 + - = — = 9 9 3 b) Cálculo da Geratriz de um a D ízim a Periódica Composta E uma fração que tem como numerador a parte não periódica se­ guida de um dos períodos, menos a parte nào periódica; e, para denomina­ dor, um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplo: Calcular as geratrízes das dízimas: 0,133...; 0,41666... e 1,833... 13~1 12 2 Solução: 0 ,1 3 3 3 .--—— = — = — * 90 90 15 0>4 i 6 6 6 . . . i í ^ = ^ = Í 900 900 12 * „ 83 —8 „ 75 165 11 1,833...—1 + 0,833...-1 "i---------—H ----- —— -- — 90 90 90 6 Calcular as geratrízes das seguintes dízimas periódicas simples. 39-0,4242... 40 - 0,7272... 43-0,611611... 44 - 0,135135... MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 73 41 - 0,711711 42 - 0,036036... 45 - 0,234234... 46 - 8,513513.., Respostas: 39 - 14/33 40 - 8/11 41- 79/111 42- 4/111 43 - 611/999 44 - 5/37 45 - 26/111 46 - 945/111 Calcular as gera triz es das seguintes dízimas periódicas compostas. 51 - 0,2355... 52 - 0,488... 53 - 0,38222... 54 - 2,210303... 47 - 0,34848... 48 - 0,45888... 49 - 0,344... 50 - 0,566... Respostas: 47 - 23/66 48 - 413/900 49 - 31/90 50 - 17/300 51 - 53/225 52 - 22/45 53 - 86/225 54 - 3647/1650 Calcular as seguintes expressões: 1 7 5 6 2 7 55 - l — 0 ,666 ...-^ -~+— 56 - 0,1313...-5- —x — 57- 58 - l,333...x —-~-—+ 0,111. 4 3 7 0 ^ | -0 3 3 3 „ jx | -I Respostas: 55 - 22/35 56 - 91/891 a 57 - 5/16 9 58 - 3 1/4 59 - Se -g- = 0,37272..., sendo a e b primos entre si, calcule b —a. R: 69 74 HII-BER GÓES ❖ UBAIDO TONAR 60 - Se 0,4333... é escrito como fração irredutível, calcule a soma do numerador com o denominador desta fração. R :4 3 3 + 1 —1 2 — p . , 4 2 61 - Seja a forma irredutível do número --------------------- + 1,2336... * A 4 Calcule a valor de p —q. 1 -----------1 1 4 1 2 R: 98 CARACTERES DE CONVERTIBILIDADE Primeiro: Uma fração ordinária irredutível, que não contém no denominador outros fatores diferentes de 2 e de 5, converte-se em um número decimal exato. O número de algarismos decimais é dado pelo maior expoente que tiver um dos fatores 2 e 5. 5 5 Exemplo: — = —r como o denominador não contém outro fator r 16 24 diferente de 2, a fração se converte num número decimal exato e terá 4 algarismos decimais, pois o expoente do fator 2 é 4. Veja: A = 0,3125 16 Exemplo: 7 7 —....— - y - converte-se em um número deamal exato, pois não contém outros fatores além do 2 e do 5; e terá 3 casas decimais já que o 3 é o maior expoente dentre os fatores 2 e 5. Veja: ^ = 0,028 MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS DECIMAIS 75 Segundo: Uma fração irredutível, cujo denominador nào contém o fator 2 nem o fator 5, converte-se em uma Dízima Periódica Simples. Exemplo: C on verter as frações 2/3, 5/3 e 5/11 em números decimais Solução: como os denominadores das frações nào contém os fato­ res 2 e 5, concluímos que o resultado será uma Dízima Periódica Simples: 2 —= 1,666... 3 5 — = 0,4545... 11 Terceiro: Uma fração irredutível, cujo denominador contiver os fatores 2 ou 5 juntamente com fatores primos diferentes, converte-se em uma Dízima Periódica Composta. O número de algarismo da partè nào periódica é dado pelo maior expoente que tiver um dos fatores 2 ou 5. Exemplo: Converter a fração 7/12 em um número decimal Solução: Converte-se em uma Dízima Periódica Composta pois, 7 7 — _ ------- além do fator 2 aparece o fator 3; e a parte nào periódica terá 12 2" x 3 dois algarismos que é o expoente 2 do fator 2. Veja: 7/12 = 0,58333... Em que espécie de número decimal se convertem as frações. R: 76 62 - Decimal exata 63 - Dízima periódica composta 64 - Dízima periódica simples 65 - Dízima periódica simples 66 - Dízima periódica composta HILDER GÓES * UBALDO TONAR Relembre: 0,3333... = 0,(3) = 0,3 = 0,3 _ 0,2454545 ... = 0,2(45) = 0,245 = 0,245 67 - Calcular, exatamente, a operação: 2,555... + 0,6363... 19 'R :.3-99 68 ~3,(18) + 1,(45) +0,27 + 5,(09) R: 10 6 9 - (0,5 + 0,333... x 0,25) * (0,833... ~ 0,25) R; 1 7 0 -(0,75 + 0,833...) + (0,166... + 0,625) R; 2 71- 0,35 + 0,0(6) ™------------~~ 0,(3) + 0,2 — — R: 1 72 - Com base nos denominadores, dizer a espécie de números decimais que geram as frações: 5/8 e 4/13 R: Decimal' exato; dízima periódica simples 73 ~Determine, com base nos denominadores, que espécie de números decimais geram as frações: 19 e 7 R: Dízima periódica simples; decimal exato MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 77 74 - Convertendo-se as frações 5/16 e 7/250 em números decimais, ob­ tém-se números decimais exatos. Com base nos denominadores, quantos algarismos decimais tem cada número. R: 4 e 3 75 - Convertendo-se as frações 17/54 e 19/48 em números decimais, obtém-se dízimas periódicas compostas. Calcule, com base nos denomi­ nadores, quantos algarismos tem cada parte não periódica. R: 1 e 4. 78 HILDER GÓES * UBALDO TONAR NÚMEROS COMPLEXOS Num sistema de medir, quando a unidade fundamental e as suas unidades secundárias, isto é, múltiplos e submúltiplos, não estiverem em relação decimal, o sistema é denominado não-decímal ou complexo. Chamamos, então, de núm ero complexo, ao número que repre­ senta a medida de uma grandeza aferida num Sistem a Complexo, ou Sistem a não D ecim al. Em nosso estudo, veremos as medidas de tem­ po, ângulo e velocidade. UNIDADE DE TEMPO A unidade fundamental do tempo é o SEGUNDO, representado por seg. que é o intervalo de tempo igual à fração ~ ~ 86400 do dia solar médio, definido de acordo com as convenções da Astronomia. Os seus múldplos mais-usuais, são: • minuto (min.) = 60seg. • hora (h) = 60min. —3.600seg. • dia (d) = 24h = 1.440min. = 86.400seg. UNIDADE DE ÂNGULO A unidade fundamental de ângulo é o GRAU, representado por (°) que é o ângulo equivalente a — do ângulo reto que mede 90°. Os seus múltiplos mais usuais, são: • o minuto, representado por (’) MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 79 • o segundo, representado por (”). Veja: a) Um grau é equivalente a 60 minutos (Io = 605) b) Um minuto é equivalente a 60 segundos (1’ ~ 60”) c) Um grau é equivalente a 3.600 segundos (1° = 3.600”) OBSERVAÇÕES: a) Não se pode representar as unidades de tempo usando a vírgula da representação decimal. Desse modo, nunca se deve, para representar 8h e lOmin., escrever 8,1 Oh pois na realidade estaríamos representando 8 horas e 6 minutos (um décimo de hora). Deve-se, pois, escrever: 8hl0min. b) Não se pode confundir o minuto e o segundo das unidades de tem­ po com o minuto de ângulo ou segundo- de ângulo e muito menos usá-las simultaneamente na representação do mesmo número complexo. Assim, 8hl5min23seg não pode ser representado por 8h l5723”. UNIDADE DE VELOCIDADE A unidade fundamental da velocidade é o metro por segundo, re­ presentado por m/seg. Se na unidade m/seg substituirmos o medro por qualquer unidade de comprimento e o segundo por qualquer unidade de tempo, obteremos outras unidades de velocidade, tais como: km/h, m/min, etc. MUDANÇAS DE UNIDADES COM NÚMEROS COMPLEXOS Temos dois tipos de mudanças a considerar: Primeiro: Transformar um número complexo em unidades inferiores. 80 HILDER GÓES * UBAIJDO TONAR 01 - Exprimir 5h lOmin 20seg, em segundos: Solução: Valendo 1 hora 60 minutos, temos que: 5h x 60 = 300min. Somando os 300min com os lOmin dados, resulta: 300min + lOmin = 310min. Como lm in vale 60 segundos, vem: 310min x 60 ~ 18.600seg. Adicionando-se os 20seg dados, temos: 18,600seg -r 20seg = 18.620seg. Logo, 5h lOmin 20seg = 18.620seg. 02 - Exprimir, em segundos, o intervalo de tempo de 5h 20min 32seg. R: 19.232seg 03 - Converter: 2d 12h 15min, em minutos. R: 3.615min 04 ~Converter 36R12730” em segundos. R: 130.350” Segundo: Transformar um número expresso em unidades inferi­ ores em um número complexo. 05 - Exprimir 15.674 segundos a uma unidade complexa. Solução: Como cada 60 segundos eqüivalem a 1 min, temos 15674 1 60 367 261min 74 14seg Òu seja: 15.674seg = 261min + 14seg. Dividindo-se os 261 min. por 60, encontraremos o número de horas. 261 | 60 21 4h ^ —min Por tanto: 26 lm in = 4h 4- 21min. Logo: 15.674seg = 4h21minl4seg. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 81 06 - Reduzir a segundos 89"36'7”. R: 322.567” 07 - Reduzir a segundos 7d 7h 7seg. R: 630.007 seg. 08 - Converter 35°5’18”. R: 126.318” 09 - Converter 72t,48’52” em segundos. R: 262.132” 10 - Calcule quantos minutos tem o dia. R: 1.440min 11 - Calcule quantos minutos tem os 3/4 do dia. R: 1.080min 12 - Exprimir a velocidade de 180km/h em m/seg. Solução: Devemos, tão somente, transformar km em metro e hora em segunda Então, temos: 2 i 0kro = 1?L 0-00m = 50m/Seg h 3.600seg 13 - Exprimir em cm/seg a velocidade de 5,2m/seg. R: 520cm/seg 14 - Exprimir em m/seg a velocidade de 372cm/seg. R: 3,72m/seg 15 - Exprimir em km/h a velocidade de 2m/seg. R: 7,2km/h Veja: a) Para transformar km/h em m/seg, basta dividir a velocidade dada por 3,6. b) Para transformar m/seg em km/h, basta multiplicar a velocidade dada por 3,6. 82 HILDER GÓES * ÜBAJLDO TONAR 16 - Um automóvel desenvolve uma velocidade média de 90km/h. Ex­ primir essa velocidade em metros por segundo. R: 25m/seg 17 - Um ciclista fez uma excursão desenvolvendo uma velocidade média de 20m/ seg. Exprimir essa velocidade em quilômetros por hora. R: 72km/h OPERAÇÕES COM N Ú M ERO S COMPLEXOS AD I ÇÃO: ^Soníàtii^se;; sè j^ a $ a ^ ^ddn: .áparíir 18 - Calcule (27“10’20”) + (10“2’15”). Soíuçao: 27" 10’ 20” + 10° T 15” 37° 12’ 35” 19 - Calcule (52°35’42”) + (19“50’28”). Soiução: 52“ 35’ 42” + 19° 50’ 28” 71" 85’ 70” Veja que 70” =' V + 10”. Esse V soma~se com os 85’, no que resulta 86’ = Io + 26’. Esse 1" soma-se aos 71°, no que resulta 72". Então, temos: 72°26’10”. MATEMÁTICA PA.RA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 83 20 - Efetue a subtração (76°38’45”) - (25''18’40’0Solução: 76u 38’ 45” - 25° 18’ 40” 51° 20’ 5” 21 - Efetue a subtração (14h 30min 20seg) —(8h 40min 50seg). Solução: . 14h 30min 20seg - 8h 40min 50seg - Na subtração dos segundos, veja que o minuendo 20seg é menor que o subtraendo 50seg Toma-se, então, emprestado dos 30min —29min + 60seg os óOseg para se adicionar aos 20seg, no que resulta 80seg. Agora podemos operar; - 80seg —50seg = 30seg. Agora temos 14h 29min, veja que foi tirado um minuto dos 30. Desses 29min você também não pode subtrair os 40min. Então, toma-se emprestado Ih = 60min das 14 horas e se adiciona aos 29min, resultando 60min + 29min = 89min - 40min = 49min. Como das 14h eu tirei lh , sobraram 13h, Então: 13h - 8h = 5h. Logo: (14h 30min 20seg) —(8h 40min 50seg) = 5h 49min ,30seg. 22 - Efetue a subtração: (18h 25min 53seg) - (12h 30min 41seg). R: 5h 55min 12seg 23 - Calcule a diferença entre 3ó°40? e 12°455, R: 23055’ 24 - Calcule (90°) - (70°10’29”). R: 19°49’31” 84 HILDER GÓES * UBALDO TONAR MULTIPLICAÇÃO 25 - Calcule o quádruplo de 7"10’13”. Solução: T 10’ 13” ____ x 4 28“ 40552” 26 - Calcule o triplo da medida do ângulo dc 10< > 25’30”. Solução: 10" 25’ 30” x 3 . 30" 755 90” Os 90” eqüivalem a 1’ + 30” Somando-se 1’ aos 75\ temos: 30“76I30” Os 76’ eqüivalem a 1“ + 16’. Somando-se l u aos 30", teremos: 31 °16*30”. 27 - Calcule o quádruplo da medida do ângulo de 7°30’17”. R: 30‘T18” 28 - Calcule os produtos indicados: a) 2 x (7°10’40”) b) 4 x (10(117’1'2”) c) 3 x (20**10’32”) d) 3 x (16“18’25^ R: a) 14£’21’20”; b) 41t,8,48”; c) 60“31’36”; d) 48"55’15” 29 - Calcule o produto: 5 x (3h 53min 8seg). R: 19h 25min 40seg MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 85 DIVISÃO: '13rvJ<3e-se -cída*unidade do^touiplcxo^j^elo‘QÔa mtum v cLiIuã-m. as rvucoijs sun pu cs ic j.otuc aecxásam&T -• 30 - Determinar o valor da quinta parte do ângulo 23”18’45”. Solução: 23° [_5__ 30 40 Sobraram 3o. Então, 3o x 60 = 180’ + 18’ = 198’ 1985 l_5___ 48 38’ 3’ Sobraram 3’. Então, 3’x 60 = 180” + 45” = 225” 225” [__5__ 25 45” 0 Logo, como resultado temos: 4°38’45”. 31 - Calcule os quocientes: a) (24°18’20”) * 2 R: a) 12t>9,10” b) (25°6’30”) - 3 b) 8°22510” 32 - Um homem tem 36 anos, 9 meses e 21 dias e seufilho tem um terço de sua idade. Calcule a diferença entre as idades do pai e do filho. R: 24 anos, 16 meses e 14 dias 33 - Um automóvel fez 3/4 de uma viagem em 3h 48min. Viajando com a mesma velocidade, calcule em quanto tempo fará o resto da viagem. R: lh lómin .34 - As 9 horas da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 minutos em cada 24 horas. Calcule que horas são, na verdade, quando o relógio marcar 5 horas da tarde. R: 4h 58min 86 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 35 - Uma pessoa saiu de casa, para fazer compras, às 14h 30min 20seg, e voltou às 17h 20min lOseg. Calcule o tempo que ela passou fora de casa. • R: 2h 49min SOseg 36 - Um carro parte de uma cidade A às 21 horas e 45 minutos e chega a uma cidade B às 23 horas e 36 minutos/ parando uma só vez durante 6 minutos. A distância entre as cidades À e B é de 105km. Calcule, em km/h, a velocidade média desenvolvida pelo carro. R: 60km/h 37 - Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano. R: 7 meses e 15 dias 38 - Numa viagem de trem, um viajante consulta o relógio no momento exato em que o trem passa no marco quilométrico 237. Eram 8 horas e 17 minutos. As 8 horas e 25 minutos, o trem passa no marco 249. Calcule a velocidade do trem em km/h. R: 90km/h 39 - Um relógio atrasa-se 22min 30seg em 5 dias e 5/8 do dia. Calcule quantos minutos ele se atrasa por dia. Solução: Transformando todas as unidades para segundo, temos: . 22min = 22 x 60 - 1.320seg + 30seg ” 1.350seg. 5d ~ 5 x 24 = 120h, que deverá ser somado com 5/8 do dia., isto é, 5/8 x 24h = 15h. Então: 120h + 15h = 135h Logo, 135h x 60 = 8.100min x 60 = 486.000seg. Armando-se uma regra de três, resulta: Se em 486.000seg em ld = 86.400seg atrasa 1.350 seg atrasará x => 86.400x1.350 x = ----------------- = 240seg 486.000 240seg -f- 60 = 4 minutos MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 87 40 - Certo automobilista percorreu determinada distância em três etapas de 2h 20min 32seg; lh 47mÍp50seg e 3h 38min 46,9seg, respecdvamente. Fez duas paradas de 25min 34,1 seg e de 31 min 29seg entre essas etapas. Calcule quanto tempo gastou para percorrer essa distância. R: 8h 44min 12seg 41 - Sabe-se que um relógio adianta-se por dia Imin lOseg. Corrigido numa certa hora, determine de quanto deveremos atrasar o relógio após 7 dias e 6 horas da última correção. R: 8min e 27,5seg 42 - Um relógio adianta-se 3 minutos por dia. Se ele for acertado ao meio-dia, calcule quantos dias transcorrerão para que ele esteja certõ no­ vamente. R: 20 dias 43 - Por estar mal fechada a torneira de um reservatório, perdem-se 3 gotas d’água por segundo. Calcule quantos litros de água serão perdidos entre 7h 45min e 16h 15min, sabendo que 1.500 gotas de água eqüivalem a um litro. R: 612 litros 88 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 7 NÚMEROS RELATIVOS DEFINIÇÃO: Exemplos: +3, —2, —6, +1/2, + 0,2. CLASSIFICAÇAO: Os números relativos sào classificados em: I) Positivos: Sào os números precedidos do sinal -h Exemplos: +2, + 8, + 1,2. II) N egativos: São os números precedidos do sinal Exemplos: —1, ~4, —3/4. Observações: a) Os sínais + e —fazem parte integrante do número, não signifi­ cando, portanto, as operações da adição e da subtração. b) O zero é neutro, nem é positivo nem é negativo. VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO Valor absoluto ou módulo de um número relativo é o número sem o sinal. Exemplos: O valor absoluto de +3 é 3, o valor absoluto de —4 é 4. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS RELATIVOS 89 NÚM ERO RELATIVOS OPOSTOS OU SIM ÉTRICO S Dois números relativos são opostos ou simétricos, quando possu­ em o mesmo vaior absoluto e sinais contrários. Exemplos: O oposto de —3 é + 3. O oposto de +5 é —5. COMPARAÇÃO DE NÚMEROS RELATIVOS a) O zero é maior que qualquer número negativa 0 >~ 3 0 > - 18 b) O zero é menor que qualquer número positivo. 0 < +1 0 < +20 c) Qualquer número positivo é maior do que qualquer número negativo. +1 > - 8 +2 > - 7 d) Entre dois números posiüvos, o maior é o que possui maior valor absoluto. +3 > +1 +7 > +2 e) Entre dois números negativos, o maior é o que possui menor valor absoluto. - 2 >- 8 - 1 >- 6 OPERAÇÕES COM NÚM EROS RELATIVOS ADIÇAO Prim eiro Caso: Os números possuem o mesmo sinal. Calcule as adições abaixo: 01) (+2) + (+3) 02) (+5) + (+4) 90 05) (+2) + (+1) + (+3) 06) (-4) + (-2) + (-3) HILDER GÓES * UBALDO TONAR 03) (—2) + (-5) 04) (-3) + (-1) 07) (+2) + (+3) + (+4) 08) (-2) + (-1) + (-2) + (-3) Respostas: 01) +5 05) +6 02) +9 t)6) -9 0 3 )-7 ' 07) +9 ’ 0 4 )-4 08) - 8 Segundo Caso: Os números possuem sinais contrários. JDá-sè^o^sin^I do ■miraeJL,o cle'maíç*r vaíoíWli^oltfto^e súbtfèii-sé/'. . 1 Calcule as adições abaixo: 13) (+4)+(-8) 14) (_7) + (+2) 15) (-9) + (+3) 16) (-12) + (+8) 09) (+7) + (-2) 10) (—8) + (+6) 11) (+3) + (—7) 12) (_4) + (+8) Respostas: 09) +5 13)-4 10) -2 14)-5 12) +4 16) -4 11) ^ - 15) -6 SUBTRAÇÃO Efetuar as subtrações abaixo: 17) (+7)-(-2) 18) (-2) - (-5) 19) (-4 ) - (+7) 20) (+3)-(+5) 21) (-5) 22) (+8) 23) (+8) 24) (+4)- (-5) (+5) (+3) (-2) Respostas: 17) +9 21) 0 18) +3 22) +3 19) -11 23) +5 2 0 )-2 24) +6 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS RELATIVOS 91 M ULTIPLICAÇÃO Sinal do produto Sinais dos fatores + X — X + X — X 4- ■f* + ~ + - - Efetue as multiplicações abaixo: 2 5 ) (+ 2 ) x (+ 3 ) 29 ) (-4 ) x (-2 ) 2 6 ) ( - 5 ) x (+ 2 ) 3 0 ) (+ 3 ) x (- 3 ) 2 7 ) (+ 1) x (-3 ) 3 1)(+ 2 )x (~ 3 ) 2 8 ) (+ 4 ) x (+ 2 ) 32) ( - 2 ) x (—3 ) Respostas: 25) + 6 26) -1 0 27) -3 28) + 8 29) + 8 30) - 9 31) - 6 32) + 6 DIVISÃO fááíivo -p õ ^ :V v c iitò 'to s/ d ^ 'slpáis -iguais.;: ■ ■irénre.s, rçsültaüo -négatí^a 'Efetue as divisões abaixo: 3 3 ) (+ 9 ) - 3 7 ) (+ 6 ) - (-3 ) 3 4 ) (+ 8 ) + (+ 4 ) (-3 ) 3 8 ) (-6 ) - (-2 ) 3 5 ) (-3 ) - (+ 1) 3 9 ) (+ 6 ) -f (+ 3 ) 3 6 ) (-8 ) - (-4 ) 4 0 ) (-4 ) - (+ 2 ) Respostas: 33) -3 ; 92 34) + 2; 35) -3 ; 36) + 2; HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 37) -2 ; 38) + 3; 39) + 2; 40) - 2 EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU Quando duas expressões algébricas estiverem ligadas pelo sinal de igualdade teremos, o que chamamos em matemática, uma igualdade algé­ brica. Poderemos ter, também, uma igualdade, quando tivermos uma ex­ pressão algébrica unida, pelo sinal de igualdade, a um número. Exemplos: lOx —5 = 9x + 4 e 3x + 2x = 10 Há duas espécies de igualdades algébricas: a identidade e a equação. IDENTIDADE E a igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às letras que a compõem. Assim, a igualdade (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 é uma identida.de, porque qualquer que sejam os valores atribuídos às letras x e y, resultará uma igualdade numérica. Exemplo: Se a = 2 e b = 3, calcule (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (2 + 3)2 = 22 + 2.2.3 + 32 52 = 4 + 12 + 9 => 25 = 25 EQUAÇÃO E a igualdade que só se verifica para determinados valores atribuí­ dos às letras que a compõem. Assim, a igualdade 5x —6 = 2x + 3 é uma equação, porque ela só será verdadeira pára x = 3 porque, para x = 3, as expressões algébricas 5x —6 e 2x + 3 possuem o mesmo valor numé­ rico que será 9, ao passo que, para qualquer outro valor atribuído à x, seus valores numéricos serão diferentes. Toda equação possui dois membros, que são os membros da igual­ dade que a constitui. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 93 Na equação 5x —6 = 2x + 3 temos: 5x —6 primeiro membro e 2x + 3 segundo membro. / Chamamos de raiz de uma equação, ao valor encontrado para a variável ou incógnita x, que torna a equação uma igualdade. No exemplo dado, a raiz da equação 5x —6 —2x + 3 é 3. Resolver uma equação do primeiro grau é determinar a sua raiz, que será o conjunto verdade ou conjunto solução da equação. Na solução de uma equação, ela sofre sucessivas transformações mas sempre resultando em equações equivalentes à equação inicial. Estas trans­ formações são baseadas em alguns princípios .qüe passaremos a estudá-los. PRIMEIRO PRINCIPIO Exemplo: Seja a equação: 5x - 8 = 3x. Somando-se 8 a ambos os membros da equação $ada, teremos: 5x —8 + 8 = 3 x + 8. Aplicação do Prim eiro Princípio ' : -v 5 ^ ‘í'-tt? sin-áí. deèse’ Eetino. \ . ■ Exemplo: Seja a equação: 5x —8 = 3x. Passando-se —8 para o segundo membro e 3x para o primeiro, resulta: 5x —3x = 8 que é uma equação equivalente à inicial. SEGUNDO PRINCÍPIO íia/cqüiiÇfiQjiao sfèaíreríi c^Vaúdof;ps.AVèúk-dQÍ^m^ ^■licadqs;\Òu''d^^^ 2x Exemplo: Seja a equação — —8 Multiplicando-se, por 4, os dois membros da equação, resulta: 2x = 32. 94 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Prim eira A plicação do Segundo Princípio Este princípio nos permite eliminar os denominadores de uma equa­ ção, quando multiplicamos os dois membros da equação pelo menor múl­ tiplo comum dos denominadores. R egra Prática a) determina-se o m.m.c. dos denominadores; b) divide-se o m.m.c. pelo denominador de cada fração, obtendo-se, assim,- quocientes; c) multiplica-se esses quocientes pelos respectivos numeradores. Observação: Um termo inteiro deverá ser considerado como uma fração, cujo denominador seja a unidade. 3x 2x _ Exemplo: Seja a equação: —----- -- —x —1 2 3 a) o m.m.c. de 2 e 3 é 6; b) dividindo-se 6 por cada denominador teremos 3, 2, 6 e 6 por quocientes; c) multiplicando-se esses quocientes pelos respectivos numerado­ res, resulta: 9x —4x = 6x —6 que é uma equação equivalente à equação dada. Segunda Aplicação do Segundo Princípio Uma equação não,se altera, quando trocamos os sinais de todos os seus termos, porque, isso, eqüivale a multiplicar os dois membros da equa­ ção por —1. Exemplo: Seja a equação: 3x - 9x = -12. Multiplicando-se toda a equação por —1 vem: —3x + 9x — 12 que é uma equação equivalente à equação dada. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 95 RESOLUÇÃO DE UM A EQUAÇÃO DO Ia GRAU Baseados nos princípios estudados, devemos proceder da seguinte maneira: l 2) Elimina-se os denominadores* se houverem; 2-) Efetua-se as multiplicações indicadas; 3a) Transpõe-se para o primeiro membro, todos os termos que contive­ rem a incógnita, que estiverem no segundo membro; 4-) Transpõe-se para o segundo membro, todos os termos.independentes que estiverem no primeiro membro; 5a) Reduz-se os termos semelhantes; 6a) Divide-se toda a equação, pelo coeficiente da incógnita. 01) Resolver a equação: 8x —5 = 3x + 10 Solução: Passando 3x para o primeiro membro e ~5 para o segundo, vêm: 8x ~ 3x = 10 + 5 n a siãVi tf ' ;.-yvv1.'■ W.-. Reduzindo os termos semelhantes, temos: 5x = 15. Dividindo toda equação, pelo coeficiente daincógnita, resulta: x = 15/5, donde x = 3. Logo; V = {3}. * 6 02) Resolver a equação: 5x + 8-= 7x + 4 Solução: Passando 7x para o primeiro membro e 8 para o segundo membro, resulta: 5x - 7x = 4 - 8. Reduzindo" a termos semelhantes, vem: —2x = -4. Multiplicando toda equação por (—1), temos: 2x = 4. Dividindo toda equação, pelo coeficiente da variável, resulta: x = 4/2, donde x = 2. Logo: V = {2}. 96 HCUOER GÓES * UBALDO TONAR Resolver as equações abaixo relacionadas: 08) 2x —3 = 0 09) 3 x - 2 5 = - x - 9 10) 5x —5 = 2x + 4 11) 2x + 5 = 4x + 3 12) 2x +.3 = 3 x - 4 Respostas: . 03) V = {4} 06) V = {3} 04) V = {6} II > a? o 10) V = {3} 05) V = {- 4} o OO <5 ll II 3x = 12 6x —36 ~ 0 2x + 8 = 0 3x —6 = 3 7x - 28 = 0 o ~ — r =2^ “ 7x + 4 — --- x = — — 36) Respostas: 27) V = {24} 30) V = {14} 33) V = {20} ■36) V = {7} 28) V —{8} 31) V ={3} 34) V = {14} i =x - 2 ~ - 31) ; 3 x -5 x +2x - 3 *x~ l 2 29) V = {z} 32) V = {4} 35) V = {2} MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 99 SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU Chamamos de sistem a de equação, ao conjunto-formado por duas ou mais equações. O nosso estudo se restringirá apenas, aos sistemas de duas equações. As equações que entrarão na sua formação, serão da forma: ax + by —c, onde: x e y são as variáveis; a e b os coeficientes e c o termo independente. Como estudaremos apenas os sistemas formados por duas equa­ ções, a sua forma geral será: Equações do tipo ax + by = c, isto é, do primeiro grau com duas variáveis, possuem uma infinidade de soluções. Resolver um sistema de duas equações é achar os valores das variá­ veis x e y, que satisfaçam, ao mesmo tempo, cada uma das equações. Logo, as equações que constituem um sistema deverão admitir a mesma solução. Equações desse tipo são chamadas de equações sim ultâneas. Na resolução de um sistema de duas equações simultâneas do pri­ meiro grau, empregamos os processos de Adição, Substituição e Compa­ ração, os quais passaremos a estudá-los separadamente. ADIÇÃO a) Multiplicam-se, ambos os membros de uma ou de cada uma das equações, por números, tais que, a incógnita que se deseja elimi­ nar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de sinais contrários; b) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando, assim, uma única equação com uma incógnita; c) Resolve-se esta equação, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita; 100 HILDER GÓES * UBALDO TONAR d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das èquações do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita, conseqüentemente, a solução do sistema. ÍX4- 2y = 11 01) Resolver o sistema: 1 > [x —y = 5c Solução: Como a variável y já possui sinais contrários, basta multiplicarmos a segunda equação por 2, no que resulta: fx +-2y = l l |2x-2y=10 Somando, membro a membro, as duas equações, vem: 3x = 21, logo: x = 7. Substituindo o valor de x na primeira equação, resulta: 7 + 2y = 11, que resolvida dará: y = 2. Logo, V = (7, 2) que é o conjunto verdade da equação. 2x + 3y - 8 02) Resolver o sistema: < (5x - 2y = 1 Solução: Multiplicando-se a primeira equação por 2 e a segunda Somando, membro a membro, teremos: I9x = 19, onde x = 1. Substituindo na primeira equação, o valor de x, vem: 2 + 3y = 8, que resolvida dará: y = 2. Então, o conjunto solução será: S = {1,2}. Resolver os sistemas abaixo, pelo método da ADIÇÃO: MATEMÁTICA PARA CONCURSO -SISTEMADE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 1 0 1 Respostas: 03) S= (21,11) 06) S = (2-2) 09) S = (5,1) 12) S= (5,1) 04) S = (7,10) 07) S = (6,1) 10) S = (2,1) 05) S = (1,1) 08) S = (1,2) 11) S = (3,2) SUBSTITUIÇÃO a) Resolve-se uma das equações, em relação à incógnita que se de­ seja eliminar; b) Substitui-se, na outra equação, a incógnita pelo seu valor obtido na primeira; c) Resolve-se a equação resultante dessa substituição; encontran­ do-se, dessa forma, o valor dessa incógnita; d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equa­ ções do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita e, em conseqüência, a solução do sistema. Solução: Resolvendo a primeira equação, em relação a x,' temos: x = 1 —2y. Substituindo, na segunda equação, o valor de x, isto é, 1 - 2y, vem: 2x —y = 7. 2(1 - 2y) —y —7 que resolvida, dará: y = —1. Substituindo o valor de y em x = 1 —2y, temos: x = 3. Logo: S = (3, —1) que é o conjunto verdade da equação. HILDER GÓES * UBALDO TONAR Solução: Tirando o valor da variável x na primeira equação, temos: x = 10 - y. Substituindo, na segunda equação, o valor de x, vem: 10 —y - y = 2, que resolvida, resulta: y = 4. Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações do siste­ ma ou na expressão x = 10 —y, encontraremos o valor da variável x que serã: x = 6. Então, o conjunto solução será: S = (6,4). Resolver os sistemas abaixo, pelo método da SUBSTITUIÇÃO: Respostas: 15) S = (6,5) 18) S = (3,6) 21) S - (4,3) 16) S = (30,16) 19) S = (5,1) 22) S = ( 2 - lV f 17) S = (2,1) 20) S = (1,2) 23) S - (6,1) MATEMÁTICA PARA CONCURSO -SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 103 COMPARAÇÃO a) Resolve-se as duas' equações, em relação à incógnita que se dese­ ja eliminar; b) Compara-se os dois valores desta incógnita e resolve-se a equa­ ção resultante, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita; c) Substitui-se o valor dessa incógnita, em qualquer uma das equa­ ções do sistema, obtendo-se o valor da outra incógnita e, em conseqüência, a solução do sistema 25) Resolver o sistema: Solução: Tirando-se o valor de x em cada equação, temos: x = 5 - y e x=1+y Comparando-se os dois valores e resolvendo a equação resultante, temos: 5 —y = 1 + y, que resolvida nos dá y = 2. Substituindo o valor de y em x + y = 5, resulta x = 3. Logo: S - (3,2). 26) Resolva o sistema: Solução: Tirando-se o valor de x, em cada equação, temos: x ~ 15 —y e x = 1+y Comparando-se os dois valores resultantes, vem: 15 —y = 1 + y Resolvendo-se a equação, temos: y = 7. Substituindo-se o valor de y em qualquer uma das equações ou nas expressões x = 15 - y ou x = 1 + y, encontraremos x = 8. Logo, o conjunto solução será: S = (8,7). Resolver os sistemas abaixo, pelo método da COMPARAÇAO: 10 4 HILDER GÓES * UBALDO TONAR * - 1= 2 3 2 31) 32) j2x + 3y = 23 15x - 3y = 5 34) |2x + 3y=5 [7x-3y= 4 2 3 33) Jx + y=7 l3x-y= 5 35) |2x + 4y =16 [5x~y = 7 Respostas: 27) S = (7,-1) 30) S = (2,11) 33) S = (3,4) 36) S = (4,2) 28) S = (5,2) 31) S = (6,0) 34) S = (1,1) 29) S = (3,-1) 32) S = (4,5) 35) S = (2,3) MATEMÁTICA. PARA CONCURSO -SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 1 0 5 ' 10 INEQUAÇÀO DO PRIMEIRO GRAU DESIGUALDADES As desigualdades são indicadas da seguinte forma: Sejam a e b números: a > b —» a é maior do que b a < b —> a é menor do que b a > b —» a é maior ou igual a b a < b —> a é menor ou igual a b âe huiijérps- e-letra Exemplo: 3x - 12 > 2x + 3 OBSERVAÇÕES a) A letra que figura numa inequaçào é denominada incógnita ou variável; b) Os valores da incógnita que verificam a desigualdade são cha­ mados de Raízes; ^ c) Resolver uma inequação e determinar as suas raizes; d) Uma inequação possui dois membros, ou sejam: o primeiro que fica a esquerda do sinal da desigualdade e o segundo, que fica a direita desse sinal. e) As desigualdades 3x + 7 > 2x + 12 e 2 x - 3 > 9 - x possuem o mesmo sentido; f) As desigualdades 3x + 7 > 2x-+ 12 e 3 - 2x < x —9 possuem sentidos contrários. A resolução de uma inequação será feita tendo-se como base algu­ mas propriedades das desigualdades a seguir especificadas: 10 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Prim eira: Uma inequação não muda de sentido quando se soma aos seus dois membros ou deles se subtrai uma mesma quantidade. Segunda: Uma inequação não muda de sentido quando se multi­ plicam ou dividem seus dois membros por uma mesma quantidade dife­ rente de zero e positiva. Terceira: Uma inequação muda de sentido quando se multiplicam ou dividem seus dois membros por uma mesma quantidade negativa. 01 - Resolver a inequação: 3x — 12 > 2x + 3 Solução: Passando 2x para o primeiro membro e —12 para o segundo, temos: 3x ~ 2x > 3 + 12 Reduzindo os termos semelhantes, resulta: x > 15 02 - Resolver a inequação: 7x — 4 < 5x + 2 Solução: Transpondo 5xpara o primeiro membro e -4 para o segundo, temos: 7x - 5x < 2 + 4 Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 2x < 6 Dividindo a inequação pelo coeficiente da incógnita, vem: x < 3 03 - Resolver a inequação: —10 + 3x < —20 + 5x Solução: Passando 5x para o primeiro membro e —10 para o segundo, vem: 3x — 5x < —20 + 10 Reduzindo os termos semelhantes, temos: —2x < —10 Dividindo toda inequação por - 2, resulta: x > 5 Resolver as inequações abaixo: 04-2x + 4 > x - 2 09 - 4x - 7 < 3x + 2 05 - x —1 < 3x — 5 10 - 5x — 12 < 3x — 4 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 10 7 06 - 3x - 1 < 2x + 4 11 - x - 6 > 21 - 8x 07 - 5x + 25 < O 12^ 3x - 14 > 7x - 2 08 - x - 5 < 2x ~ 613 - 2x - 3 > 3x Respostas: 04) x > - 6 08) x > 1 12) x < —3 05) 09) 13) x > 2 06) x < 5 x <9 10) x < 4 x < —3 07) x < - 5 11) x > 3 14 - Resolver a inequaçâo: 3(2x + 2) > 2(9 —3x) Solução: Efetuando as multiplicações indicadas, temos: 6x + 6 > 18 —6x Transpondo - 6x para o primeiro membro e 6 para o segundo, vem: 6x + 6x > 1 8 - 6 Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 12x > 12 Dividindo toda inequaçâo por 12, coeficiente da variável, vem: x >1 15 - Resolver a inequaçâo: 5(x - 3) < 6(2x.+ 1) Solução: Efetuando as multiplicações indicadas, resulta: 5 x - 1 5 < 1 2 x + ó Transpondo 12x para o primeiro membro e —15 para o segundo, vem: 5x - 12x < 6 + 15 Reduzindo os termos semelhantes, temos: ~7x < 21 Dividindo toda inequaçâo por -7 , vem: x > -3 Resolver as inequações abaixo: 16 - 6(x —2) - 3x > 0 17 - 2x - 5(3x + 1) > 19 —x 18 - 2(4x + 3) > 2(x + 6) 19 - 3(x - 2) - 2(x - 4) < 5 20 - 4(x - 1) + 2(x + 3) > 14 21 - 5(x —2) > 2(x. - 2) 22 - 3 < - 2(x - 2) + 3(x - 1) 23 - 4(x + 1) - 3(2x + 2) > 6(—x + 3) 24 - 5(2 + x) - 7(x + 2) > 0 25 - 3(x - 4) < 2(x —2) 108 HILDER GÓES 4- UBALDO TONAR Respostas: 16) x > 4 17) x < —2 18) x > 1 19) x < 3 21) x > 2 22) x > 2 24) x < ~ 2 25) x < 23) x > 5 3x —1 20) x > 2 34-x 26 —Resolver a inequação:------- > ------- 2 4 Solução: O m.m.c. (2,4) = 4, g o que resulta: 2(3x — 1) > 3 + x Efetuando a multiplicação, temos: 6x —2 > 3 + x Transpondo x para o primeiro membro e - 2 para o segundo, vem: 6x —x > 3 + 2 Reduzindo os termos semelhantes, obtemos: 5x > 5 Dividindo toda inequação pelo coeficiente da variável, resulta: x > 1 27 - Resolver a inequação: —- —————> 1 3 2 Solução: O m.m.c. (3,2) —6, no que resulta: 2(5x + 2) —3(x —3) > 6 Efetuando as multiplicações indicadas, temos: 10x + 4 —3x + 9 > 6 Reduzindo os termos semelhantes, vem: 7x + 13 > 6 Transpondo 13 para o segundo membro, temos: 7x > —7 Dividindo toda inequação por 7, vem: x > 1 x 28 - —+ 2 > x 3 33 - — -f 3 < 5x — x +2 2 9 - -------4- 2 > x 5 1 x —2 x —1 3 4 - - < -------- +-----2 3 2 3x 1 3 0 - — +- < 5 x - 3 2 2 3x + 7 5x + l 17 35 - x + -------- < -------- + — 9 18 6 4 6 x 2 3x 2 3 4 3x o r 2 3x + 7 9 1 9 1 2 15x + l 18 17 6 3 1 _ ------------------< ---------------- 3 6 _ ------------------+ ---------------------------- < ------------- x x - 3 5 + 2x 3 32 . ------+--------- > 3x + — 4 3 2 x +1 37 - 1-------- > 0 2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 10 9 Respostas: 28) x < 3 29) x < 3 30) x ^ 1 31) x < 0 32) x < - 7 33) x > 1 34) x > 2 35) x < 2 36) x < 4 37) x < 1 110 HILDEE GÓES * UBALDO TONAR 11 SISTEMA DE INEQUAÇÀO DO PRIMEIRO GRAU . Um sistema de inequação é formado por duas ou mais inequações. Esta daremos apenas o sistema constituído de duas inequações. Resolver um sistema de inequação é determinar os valores da variável que satisfaçam simultaneamente as duas inequações. A esses valores damos o nome de conjunto solução ou conjunto verdade do sistema. í 2x + 2 > 6 01 —Resolver o sistemax J3x - 1 > 2 Solução: Resolvendo a primeira inequação, temos: 2x + 2 > 6 2x > 4 x>2 Graficamente: ................. . 0 1111 i i IHH-M-H1 2 Resolvendo a segundo inequação, temos: 3x —1 > 2 3x > 3 x>1 Graficamente: OHH 11 i 111 í H -H H -B -1+ 1 Reunindo os dois gráficos, resulta: ' Primeiro: ................ - o j I I i HH-Hl H I t f 2 Segundo: QIU I Hl III l l ílll 111II 1 : i Interseção: ■ ói l i n m i M H)} MATEMÁTICA PARA CONCURSO -SISTEMA DE INEQUAÇÀO DO PRIMEIRO GRAU 111 íx -y l >1 02 - Resolver o sistema: i |3x + l > 2 x - 2 Solução: Resolvendo a primeira inequaçâo, temos: x —2 > 1 x>3 Graficamente: - o i l l ] H11II 1 fr-H i 3 Resolvendo a segunda inequaçâo, temos: 3x + 1 > 2x + 2 3x —2x > 2 —1 x>1 ...— OH-H-H1 111 H1 1II i 1111 1 Graficamente: Reunindo os dois gráficos, resulta: Primeiro: -------------O11 H-Hl UH-H) l3 Segundo: ------ 0H4HH f H-HI l lH+l H' 1 i Interseção:------------- ó Ml l l l l l i i I I III 3 V".- .-.-—. . ' A --r'v.•'ir:.■*•"" ; * ■ ................... ■v** ■vs Í3x - 2 < 10 03 - Resolver o sistema: i |3x - 2 > 1 Solução: Resolvendo a primeira inequaçâo, temos: 3x —2 < 10 3x < 12 x<4 Graficamente: M-H 111 i i 1 1 1 1 I I O 4 Resolvendo a segunda inequaçâo, temos: 3x —2 > 1 3x > 3 x>1 Graficamente: ------ Ql lM 11II 1*1 IH f W l t l' 1 112 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Reunindo os dois gráficos, resulta: Primeiro: U l I l i U l i l i ll I i 11 i o 4 Segundo: Interseção: 1 ..I l i l l N H Í M I 1 4 Resolver os sistemas abaixo relacionados: x +1> 4 J2x —3<5x~15 04- 09- 05 10 [ôx - 1 0 > 25 : 2x —6 < 3x +1 [3x + 1 > 2x 4- 2 3(x - 3) > 2^x - 2x + 2 > x + 6 06- 4x ~~2 > 3x +1 2x - 3 <1 07- 2x ~ 3 > - 9 Í5x. - 2 < 18 08 ’ [2x + 1 > 3 Respostas: 04) x > 3 08) 1 < x < 4 12) 2 < x < 3 3x + 1 < 5x —3 112(x - 1) < 3(x + 2) 12 3(x - 2) - 2(x - 4) < 5 : 5(x - 2) > 2(x - 2) x -2 4 — <— x —1 5 13 _ |x +1 1 — >— x-2 2 06) x > 4 05) x > 4 10) x > 2 09) x > 4 13) —4 < x < 6 07) - 6 < x < 1 11) x > 6 MATEMÁTICA PARA CONCURSO-SISTEMA DE INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 113 1 EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU Uma equação é do segundo grau quando se apresenta sob a forma ax2 + bx + c = 0 para quaisquer valores atribuídos a a, b e c, mas a =£0. Na forma ax2 + bx + c — 0, temos: x é a incógnita ou variável a e b os coeficientes c o termo independente. Exemplo: Na equação x2 —3x + 2 = 0, temos a = 1; b- - 3 e c —2 Uma equação do segundo grau é dita incompleta se, pelo menos b = 0 o u c = 0 o u b = c = 0, Logo, as equações incompletas serão da forma: para c =0 temos ax2 + bx = 0 para b =0 tem os ax2 + c = 0 para b =c = 0 temos ax2 = 0 Resolveremos, a seguir, os dois primeiros tipos de equações incom­ pletas do segundo grau. EQUAÇÃO DA FORMA: ax2 + bx = 0 Solução: Colocando x em evidência, temos: x(ax + b) = 0 Observe que temos um produto igual a zero, mas para que um produto seja igual a zero, é necessário que pelo menos um de seus fatores seja igual a zero, isto é: x = 0 ou ax + b - 0. De ax + b —0, temos ax = —b, logo: x = ------a Então, as raízes da equação da forma ax2 + bx —0 são: x’ = 0 e 11 4 HILDER GÓES ❖ UBAUDO TONAR 01 - Resolver a equação: 3x2 —18x = 0. Solução: Colocando-se x em evidência, temos: x(3x - 18) = 0 Então ou x = 0 ou 3x —18 = 0 Resolvendo-se a equação 3x —18 = 0, resulta: 3x - 18 = 0 3x = 18 x = 6 Logo, as raÍ2és da equação são: x!—0 e x”= 6 Resolver as equações abaixo relacionadas: 07 - 2x2 - 4x = 0 02 - x3 - 9x = 0 08 - 9x2~ 4x = 0 03 - 2x3 + 8x = -0 09 - 4x2 - 20x = 0 04 - 25x2 - lOOx = 0 10 - 3x2 + 18x = 0 05 - x 2 - 7x = 0 11 — x2 + 3x = 0 06 - x2 —óx = 0 ■ o li o (1 O 03-x ’ e x’ = _ 4 05 - x’ = 0 e x’ = 7 = o e x’ = 2 09 - x’ = 0 e x’ = 5 11 - x’ = 0 e x" = 3 i o 02 0406 08 - Respostas: e xJ = 9 x> xJ = 0 e x5 _= 4 xJ = 0 e x’ = 6 2/ x* = 0 e x5 - 73 = 0 e x’ —- 6 EQUAÇÃO DA FORMA: ax2 + c = 0 Solução: Transpondo a constante c para o segundo membro, resulta: ax2 = —c Dividindo ambos os membros da equação pelo coeficiente a, temos: 2 c x = ----a Extraindo a raÍ2 quadrada de ambos os membros, vem: x = ± MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÁO DO SEGUNDO GRAU 115 c b) Se —~ < 0, isto é, negaüvo, a equação não terá solução no 3 conjunto dos números reais, estando fora, portanto, do objetivo desse livro. 12 - Resolver a equação: x2 —49 = 0. Solução: Passando - 49 para o segundo membro, temos: x2 = 49 Extraindo a raiz quadrada, vem: x = ± VÍ9, portanto x ~ ± 7 Assim: x’ = —7 e x” = 7 são as raizes da equação. Resolver as equações abaixo relacionadas: = 0 0 21 2 2 - X2 - II o 5 = 0 o = II 1 0 ii 0 3) - o = + 1 25 3 )(x 16 VO 1 9 - 25x2 - >'3- 17 - 9x2 - 0 18 - i - = 3 0 o CO 1 5 - x 2 1 6 - (x - = l 14 - 3x? - 32 i 13 - 2 x 2 - Respostas: 13 - x ? ---- 4 e x” = 4 15 - x’ = - 5 e x>} —5 17 -x ’ = -1 1 3 e x” = 1/3 19 - x ’ = —6 e x” = 6 2 1 - x’ = - 75 e x” = V5 116 14 - x* = —1 e x” = 1 16 - x’ = —3 e x” = 3 1 8 - x ’ = - 4 / 5 e x” = 4/5 2 0 - x 5= - 2 e x” = 2 22 - x’ = - 3 / 2 e x” = 3/2 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR EQUAÇÃO COMPLETA DO SEGUNDO GRAU Como já vimos, é toda equação da forma ax- + bx + c = 0. A sua fórmula resolutiva é 23 - Resolver a equação: x2 ~ 8x + 15 = 0. Solução: Aplicando a fórmula, vem: 8 + ^64 - 4(1) (15) x— 2x l 8 ± Vó4 - 60 8 ± s[à 8±2 2 2 2 no que resulta: f 8 - 2 x = ---------= 3 2 e M 8 +2 c x —--------~5 2 24 - Resolver a equação: x2 — 9x + 18 = 0. Solução: Aplicando a fórmula, temos: x= 9 ± a/B1 - 7 2 9 ± -y/ õ 9 ± 3 2 no que resulta: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 117 Resolver as equações abaixo relacionadas: / 25 - x2 —3x + 2 — 0 26 - x2 - 5x + 6 — 0 30 - x(x —3) + 2 — 0 31 - x(x —2) = 3(x —2) x2 3x 3 2 - — .=------ 3 6 2 27 - x 2 - 7x + 12 = 0 28 - — x2 + 6x - 5= 033 - 2 "1 2x2 - ™ + - = 0 4 2x2 1 4x 12x 1 3 4 - ------------ + ------------ = x ----5 6 3 5 2 29 - x 2 + 2x - 8 = 0 Respostas: 25 - x> = 1 27 - x’ = 3 29 - x’ = 31 - x’ = 2 e x” e e 4 =3 1 1 33 - x* =- e x” = 4 2 x” = 2 2 6 - x ’ = 2 e x" = 3 x” = 4 28 - x’ = 1 e x” = 5 e x” = 2 3 0 - x ’ = l ex” = 2 32 - x’ = 3 e x” = 6 1 34 - xs = - e x” = 5 6 Veja Com Atenção: Quando numa equação do segundo grau o coeficiente do termo do 2a grau, isto é , o a for igual a 1, como por exemplo:x2 —7x + 12 — 0 Devemos, paramaior facilidade, aplicar afórmula: x2 —Sx + P = 0 onde P representa o produto das raízes e —S, o simétrico da soma das raízes. No caso da equação x2 —7x + 12 = 0, você deverá tentar desco­ brir dois números que multiplicados dê 12 e somados dê 7. Siga o seguinte roteiro: Primeiramente, olhe para o sinal do produto, se ele for positivo você deverá concluir que as raízes possuem o mesmo sinal, isto porque: 118 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Se ele for negativo, é porque as raízes possuem sinais contrários, isto porque: Em seguida veja o sinal da soma das raízes, se ele for positivo é porque a soma das raízes deverá ser-negativa; e se ele for negativo é por­ que a soma das raízes deverá ser positiva pois —S indica o simétrico da soma das raízes da equação. Então, na resolução de uma equação do tipo x2—7x + 12 = 0 não há necessidade 0 a equação terá duas raízes reais e disdntas; para Á = O.a equação terá duas raízes reais e iguais; para Á < 0 a equação não possui raiz real 36 - Determine os valores de m para que a equação abaixo admita raízes reais e desiguais. 3x2 —6x + m = 0 Solução: Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter b2 - 4ac > 0. Como a = 3; b = ~ 6 e c = m, temos: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 119 (—6)1 - 4 x 3 x m > 0 36 —12m > 0 —t2 m > —36 => m < 3 Logo, m deverá ser menor do que 3, para que a equaçào admita raízes reais e distintas. 36 - Determine o valor de m para que a equação x2 - 6x + 3m = 0 admita raízes reais e iguais. Rj 3 37 - Determinar os valores de m na equação x2 —lOx + 2m —1 = 0 para que suas raízes sejam reais e desiguais. R: m > 13 38 - Qual o valor de k para que a equação x2—4x + k —3 = 0 tenha raízes reais e desiguais. R: k < 7 39 - Dada a equaçào 3kx2 —2x —1 = 0 determinar k para que eía tenha raízes reais iguais. 40 - Determinar k na equaçào 4x2 —8x + 2k = 0, para que a equaçào possua raízes desiguais. R: k < 2 41 - Determinar o valor de m para que a equação abaixo admita raízes iguais, x2 + 2x 4- 2mx + m2 = 0 R: m = - -1 42 - Calcular m na equação mx3 —2mx + 3 de modo que ela possua duas raízes reais e iguais. R: m = 4 120 HILDER GÓES * UBALDO TONAR RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES Soma das Raízes => x’ ■+' x” = Produto das Raízes xJ X x” Diferença das Raízes x’ - x” = Vb2 - 4 a c 43 - Achar a soma, a diferença e o produto das raízes da equação: x* + x —12 = 0. R; x> + x” = - 1 x’ _ x” = 7 x’ x x” = - 12 44 - Determinar o valor de k para que as raízes da equação 2x2- 5x + k —0 sejam inversas. Solução: Se as raízes sào' inversas é claro que o produto das raízes é igual a 1. Como xJ c k x” —“ , temos x5>r x” = —. a k _ X^ogo^ ^ ■ 1 -— ^ k 2 2 45 - Determine o valor de m para que as raízes daequação (m + 4)x2 + 7x + 3m = 0 sejam inversas. R: 2 46 - D eterm inar m, de modo que uma das raízes daequação (m - l)x 2 —8x + 3 “ 0 seja o inverso da outra. R: 4 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 121 47 - Calcular n de modo que a soma das raízes da equação: x2 - (2m —l)x + nr —n —12 = 0 seja 9. R: 5 48 - Determine k na equação (k + 2)x2—5x + 2k = 0 para que suas raízes sejam inversas. R: 2 49 - Calcule o valor de m na equação 2x2 + (4m - 8)x + 50 = 0 de modo que as raízes sejam simétricas. R: 2 50 - Dada a equação x2 —2(a —b)x + (a + b)2 = 0, calcule a média aritmética e a média geométrica de suas raízes. R: Ma = a - b Mg = a + b 51 - Determinar m na equação (m —2)x2 —(2m —1) 4- m + 2 = 0 para que a soma das raízes seja 1 52 - Calcule h na equação (h + 3)x2 —(2h —2)x + h + 4 —0 de modo que 1 a soma dos inversos das raízes seja igual a —R: 2 53 - Sendo R e S as raízes da equação 2x2 ~ 4x —7 = 0calcule o valor da expressão (R + S + 1) (R + S —1). R: 3 54 - Determine k na equação x2 —4x + k —0, sabendo que R e S são as raízes da equação e que Ss x RRx SRx Rs = 16. R: k = 2 122 HILDER GÓES ❖ UBAUDO TONAR 55 - Determinar k na equação x2 + kx + 36 —Q, de modo que entre suas 1 1 _ 5 raízes exista a relação ” + — ~rz. x 12 R: - 15 56 - Calcular m de modo que a média harmônica das raízes da equação 2x2 —x + m —0 seja igual a 10. R: 5 57 - Determinar k na equaçào x2 —4x + k = 0 sendo R e S as suas raízes e Ss* RR x SR x Rs = 256 R: 4 58 - Dada a equação x2 —5x + m = 0, achar m de modo que a soma dos inversos das raízes sè:ja —. R: 4 59 - Determinar k na equação x2 —lOx + k = 0, de modo que uma raiz seja o quádruplo da outra. R: 16 60 - Determinar k na equação x2 - 7x + k = 0, de modo que suas raízes sejam números inteiros positivos e consecutivos. R: 12 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 123 13 SISTEMA DE EQUACAO DO SEGUNDO GRAU É todo sistema de equações formado por uma equação do pri­ meiro grau e uma equação do segundo grau. Podemos também dizer que é todo sistema de equação no qual aparece uma equação do segundo grau ou no qual a sua resolução nos conduz a uma equação do segundo grau. Todo sistema de equação do segundo grau deverá ser resolvido pelo processo da substituição. Isolamos o valor de uma das variáveis na equação do primeiro grau e substituímos esse valor na equação do segundo grau, que resolvida, nos dá a solução do sistema. 1 01 - Resolver o sistema: Solução: Tirando o valor de x na primeira equação, vem: x = 3 _ y. ' Sübstituindo na segunda equação, temos: (3 - y)y = 2 _y2 + 3 y _ 2 = 0 y2 - 3y + 2 = 0 Equação do segundo grau, que resolvida nos dá: y x = 1 e y, = 2 124 HILDER GÓES * UBAI-DO TONAR Substituindo esses valores na equação x + y = 3, resulta: Para y{ —1 :=> x + 1 = 3 => x? = 2 Para y, = 2 x +2 =3 x, = 1 Então: o seu conjunto solução será: S = {(2,1)(1,2)}. Observe que uma solução de um sistema com duas variáveis é um par ordenado. No exemplo acima, o sistema possui duas soluções. Resolver os sistemas abaixo relacionados: jx -y = l 02 - 1(xy= 30 ,n íx “-3y= --ll 0 4 -1[xy- 2O0A fx + y = - l 06 - 1( x y - y =1, x +2y~5 y2 =7~~3x J 6x + 3y = l l 1 0 ’ [xy = 1 fx + y = 6 03 - [xy i = 5, fx + y = -1 5 0 5 -1(xy= 56 íx + y = 3 07 - !x~ i , + y 2=5, fx -2 y -~ 1 7 09" 1y2 + 5 x = -2 9 f x - 2y - 1 0 11~|x2 _ y2 =„ 33 Respostas: . 0 2 - ( - 5 , - 6) (6, 5) 0 3 -(5 ,1 ) (1,5) 04 - (4,5) (-14, - Í ) 05 - (- 7, - 8) ( - 8 , - 7 ) 06 - (0, - 1) 08 - (1, 2) (- 3, 4) 07 - (2,1) (1, 2) 09 - (~ 45, - 14) (- 9, 4) MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 125 POTENCIAÇÃO Sejam os produtos 3 x 3 x. 3 x 3 ou 2 x 2 x 2, onde todos os fatores são iguais. Esses produtos especiais, como também esses outros 4 x 4 x 4 e 5 x 5 onde todos os fatores sao iguais, podem ser escritos de uma maneira mais simplificada como: 34, 23, 43 e 52 dando lugar a uma nova operação chamada “Potenciação” que é a operação pela qual po­ demos elevar um número a qualquer outro número. De um modo geral, se tivermos a x a x a . . . a x a podemos escrever a x a x a x a ... a = am. Produto este com m fatores, onde a é a BASE da potência, isto é, o fator que se repete e m o EXPOENTE, número que indica quantas vezes a base será tomada como fator. Daí a definição: fiírpi*tD'cI\atánios;;i^à:e^JgiihÍí; f . bás;é;qu- 4~2. Resultado este que não se enquadra na definição de potência, visto que não poderá haver. .um. produto com um número negativo de fatores. Mas, por outro lado, tem-se que: A3 43 + 45 - 4x4x4 4x4x4x4x4 Como 4J ~ 4'* = 4 2 e 4J 43 4x4 4‘ e tendo como base o mesmo princípio, enunciado anteriormente podemos escrever que: 4 - De onde se conclui que: Exemplos: 5 3) Potência de Outra Potência Seja (23y . Observe que a base relativa ao expoente 4 é 23. Logo, pela definição de potência e pela regra de multiplicação de potências de mes­ ma base, tem-se: (23)4 = 23 x 23 x 23 x 2i = 23+3+3+3 = 212. Então: Exemplos: (23)2 = 2f‘ (34)5 = 32í) MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTENCIAÇÂO 129 OBSERVAÇÃO: 7 Veja que (23)2 23 , pois (2Í)2 = 26 = 64 e 23 = 2!’ = 512. Neste caso, quem está elevado a 2 é somente o 3. De um modo geral, tem-se: (a"1)1’ ^ a”1 . 4) Potência de um a Fração: Seja a potência J ” j • Por definiçào, temos que: 2 V 2 2 2 _ 23 — - - x - x - = — . De onde podemos concluir que: 37 3 3 3 3' ' Exemplos: \~ j {3 \ \^2 J 3 r Veja!! Quando se tratar de um número misto, devemos primeira­ mente transformá-lo numa fração imprópria para, em seguida, aplicarmos a regra anterior. Exemplos: = g l =.!■ Í2 ± ] = í | ] 5) Uma Fração Elevada a um Expoente N egativo Seja ~ elevado ao expoente —2, isto é, 2' 2 j . De acordo com a regra do expoente negativo, vem: ----- -. De acordo com a regra da 130 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 6) Potência de Um Produto Seja o produto (2 x 4)J. Aplicando a definição de potência, podemos escrever: (2 x 4}3 = 2 x 4 x 2 x 4 x 2 x 4 = 2 x 2 x 2 x 4 x 4 s 4 = 23 x 4 l De. onde se conclui que: Exemplos: ( 3 x 2 x 4 )3 = 3 3 x 2 3 x 4 J (2* x 4 2)5 = 2 '5 x 4 íf) (22 x 3 ) 4 = 2 S x 3 4. 7) Potência de Base Dez Sejam as seguintes potências 10', 102,103,104. Aplicando-se a defi­ nição de potência, temos: 101= 10 102= 10 x 10 = 100 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTÊNCIAÇÂO 131 103 = 10 X 10 X 10 - 1.000 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000. Pelos exemplos expostos, é fácil concluir que; Exemplos: 107 = 10.000.000, 105 = 100.000, 10_i = 103 1.000 8) Potência de um N úm ero D ecim al Sejam as potências (0,2)\ (0,5)2 e (0,25)2. Aplicando-se a definição de potência, obteremos os seguintes re­ sultados: (0,2)3 = 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,008 (0,5)2 = 0,5 x 0,5 = 0,25 (0,25)2 = 0,25 x 0,25 = 0,0625 Pelos resultados obtidos, podemos concluir que: ' "párã a csqueúí a ^tàri e ;ii?üs decimais quantas ;.f<^ do’ expoçníc pelo íiuiiierò/de caá decíiriíiis: :,e^s;té;ntes :n.Q;fiúmçroX^ " Exemplo: Seja calcular (2,14)3. Deveremos elevar o número 214 à terceira potência, sem nos preocupar com a vírgula e encontraremos 9.800.344. Mas veja que, no número resultante, deverá existir 6 casas deci­ mais decorrentes do produto de 2 (duas casas decimais existentes no nú­ mero dado) por 3 (expoente da potência). Logo, temos: (2,14)3 = 9,800344. 132 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 9) Potência De N úm eros Relativos Ia CASO: Potência de um número positivo. ;^>òsi.üvt Exemplos: (+2)2 —+4 (+2)3 = +8 ' (+2y = +16 (+2)5 = +32 2fl CASO: Potência de um número negativo. Exemplos: (—2)2 —+ 4 (-2)^ -8 (_ 3 y = +81 („ 3y = _ 27 Veja: Pata n par, teremos: (—a)u - a 11. Pois no primeiro membro, a base da potência é —a, logo o sinal pertence à base, ao passo que, no segundo membro, o sinal nào pertence à base. Então: (- 2)4 -£~ 24 pois ( - 2)4 = +16, enquanto que - 24 = - 16. 10) Soma e Subtração de Potência Não existem regras especiais para o caso de soma e subtração de potências. Em taís casos, calcula-se o valor de cada potência e efetua-se as operações indicadas. Exemplos: 23 + 25 = 8 + 32 = 40 3^ 3 + 42 = ç_ 3 + Í6 = 22 11) Comparação De Potências Sejam a, m e p números quaisquer diferentes de zero, onde a e a base e m e p os expoentes. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTENCIAÇÃO 133 Ia CASO: A base é maior do que um, isto é, a > 1. j a m > a^ se m > p [a 01 < a^ se m < p Exemplos: 104 > 102, 3’ > 32, 22 < 23 2fl CASO: A base está compreendida entre zero e um, isto é: 0 < a < 1. ^p a ixi > arp se m < { a m <. arp se m > p 1 Exemplos: iv W i'» 01) Calcular as potências abaixo relacionadas: a) 34 b) O5 c) V d) (0,13)° e) (1>5)2 f) 104 1 g) h) (0,12)“2 i) ( 1 - n) 2 - 2~ P) 23 + 2 ' Respostas: a) 81 f) 10.000 1) 512 134 m) 1) j) b) 0 g) - 64 1 m) 4 c) 1 d) 1 e) 2,25 1 ______ h) 0,0144 A l) 27 D9 63 65 o) 3 4 P) 7T HILDER GÓES * UBALDO TONAR 02) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as igualdades onadas: a ) 3 J x 3 : = 3'' ( ) f) 2J x 3 = ó3 b) (2 + 3)2 = 22 + 33 () g) 2_l - 3~1= 6~1 c )(4 2)J = 4‘ ( ) h) 52 —4: = 3’ d ) 2 -3 = - 8 e) ( ) i ) 2 - 1+ 3 “ i = 3 x 3" 1 = 1( ) j) ( 2^ = (21)3 Respostas: a) F b) F c) V d) F e) V f)F g )V h )V i) F j)v abaixo relaci­ ^ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 03) Calcule o número natural x sabendo a) x = 2> - 53 b) x = 42 - 16’ c) x = 32 - 9” d) x = 31- 3° e) x = 10“ - 2--’ f) x = 8° + 2* - 32 que: Respostas: a) 7 b) 0 c) 8 d) 3 2e)~ í) 0 04) Transforme em potência de 10: a) 0,001 b) 1.0005 c) 0,013 Respostas: a) 10“3 b) 10li c) 10" 05) Efetuando a operaçào (2"1 + 5 l) x 52 ^ 10 10 ^ 13 13 ^ 160 ^ -1 , , obteremos: 4. 13 ^ 10 R: d MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTENCIAÇÃO 135 06) Qual das igualdades abaixo é verdadeira: a) (a2)mx (a3)“ = (as)ra +n / b) (a2)mx (a3)" = (a6)mx ■ c) (a2)mx (a3)" = a3m+2u d) (a2)mx (a3)n = a2m+3n R: d 07) Sendo a e b dois números naturais, diferentes de zero, e sabendo que a = b, pode-se concluir que a expressão verdadeira é: a) a x b —0 b) a x b = 2a c) a x b = 1 d) a x b = a2 R: d 3° -K -2f 08) Seja A a) 1 , o valor de A b) 2 c) 3 é: d) 4 R: b 09) A expressão (0,25) a) 0,0625 R: a b) 0,5 é equivalente a: c) 5 10) O valor do produto a*+r x ax~y é: a) a19 b) a* c) ay Rx d d) 6,25 d) a3* a-U b "1 11) Ao simplificar a expressão - — = —=— obtém-se: (ab f1 a) a + b R: a 136 b) a ~ b c) a HILDER GÓES * UBALDO TONAR d) b 12) A expressão 3*+3 x 3X 3 é igual a: a) 3 x2 b) 9* c) 81 d) 27 R: b 13) O valor da expressão E = —~ , onde: a = 2 c 0 -1 , c —3 + 2 e: a) 1 b) 2 4 , b = 4 —2 * e c) 3d) 4 R: b 8 °+(-4)2 - í i 14) O valor da expressão-------------^ —~— é igual a: 'l '' 2 2 22 *> 7 b) T 7 c )2 13 d) T R: c 15) Efetuando-se a soma (0,1)’ + (0,1)2 + (0,1)3 obtemos: a) 111 b) 11,1 c) 1,11 d) 0,111 R: d 16) Somando-se 256aM x 2560,09 com 6250,17 x 625ü'üíi, temos: a) 4 b) 256 c) 9 d) 625 R: c 17) O valor da expressão j —J + - q-x 2 a) | b) 2 c) 1 é igual: d) 3 R: b MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTENCIAÇÃO 137 18) Verificar se IO20 é menor que 90“' R: Falso 5 ° x l 5 c-2 . 19) O valor de A na expressão —õ ~ ^ e: 5 xA a) 1 b) 5 c) 25 d) 3 R: a 20) Sabendo-se que a2 = 56, b3 = 57 e c4 = 58, então temos que (a. b. c)9vale: a) 521 b ) 5u c ) Sm d) 566 R: d 21) Sabendo-se que “n” é um número par e “a” é diferente de zero, a an + ( - a f expressão------ §n— pode ser escrita como: 2a a) a" b) a~" c) a2'1 d) zero R: b 22) Calcule o valor de k = — , onde a ~ 2 + 2 ,b~~3 +3 e c - 2 1 R: k = ~ 4 23) Sendo x e y diferentes de zero, é falsa a igualdade: a) 10* x 10> - ~ 10x+>' b) 10" + 10»’ = 10* ^ c) (10<)5 = (10v)x d) (10*)* = IO2* R: d 24) A expressão (3~2)3 é igual a: c) (- 6)2 R: b 138 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 1 |00 1 a ) -----' 81 d) 3° +3 6x10 3 xlO 4 xlGs 25) Simplificando a expressão ---- ~—lO ^ xT tf J temos: a) 10° b) 101 c) IO"- d) IO’3 R: c 26) Calcule o valor de x na igualdade lOx — \ 2) 2 2~~l R: 2 x+5 x —1 2 27) Sabendo que * eLXíi”7" _— *•5t“7” >calcule x —3x. R: 10 _ a J + a 2 + ( a “)3 + (a3)2 28) Calcule y sabendo que y ------------- 5----- 5--------------a + a +2 R: a 3 _ (0,1X0,001) x 10” 1 29) Se x = 10 , determine M ' 10 x 0,0001 R: lOx 30) Se 10u = a, então IO4 vale: a) 100a b) 10a c) 10a2 R: c d) 2a 31) Se K é um número inteiro e positivo, então y = (—l) k + (—1) a) 2 b) 1 c) 0 d) depende de I< R: c , 32) Simplificando (2 ) , obtemos: a) 8à b) 22í c)ló8 R: d d) 2M' MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ POTENCIAÇÃO 33) Se A = ( ■ OPERAÇÕES COM RADICAIS a) Adição e Subtração: Só podemos somar e subtrair radicais semelhantes, isto é, aqueles que possuem o mesmo índice e o mesmo radicando. erice;6^;ogc'Rdéj^ - ■■■ Exemplos: i) 2^fã + 6^/1 ~3j~& =5^[ã ii) 3^b - 2 V ã + 2 Vb —4 Vã"=5 Vb —óVã b) M ultiplicação e Divisão: Só podemos multiplicar ou dividir radicais de mesmo índice. Se os radicais forem de índices diferentes deve­ mos reduzi-los a um índice comum. ; ftirá ■mãi s:'radíça í5: cie;mêsmò "ifijdííev e- bVsb||§ .colocai: "è prqdul^^bpdo sob. tfiilfp ... í;'V; / - ':íafficáhdè'iiTtèsTno.ix)dice;dq's radícais/tiosnitores?. ' Exemplos: i)V 2xV 4xV 5= 74Õ ii)V 2xV 3xV 4= V 24 146 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Exemplos: i) ^ 8 1 + ^3=V27=3 Ü)VÍ6 - ^ 4 = 7 4 =2 Olhe: Qualquer radical pode ser transformado em uma potência de expoente fracionário e vice-versa. Veja com atençao. Exemplos: 2 __ 3^ = J , V ? = a RACIONALIZAÇÃO DE RADICAIS Fração Irracional: É toda fração em que pelo menos um de seus termos é constituído por um radical. Exemplos: 2 2 . fí Í5 Ê3 Racionalizar uma fração em cujo numerador ou denominador figu­ ra um radical, é encontrar outra fração equivalente à fração dada em cujo numerador ou denominador não contenha mais o radical. O mais comum é racionalizar o denominador. Estudaremos os casos mais simples da Racionalização: Primeiro Caso: O denominador contém um só radical. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RADICIAÇÃO 147 Relembre que: ^/ã"~=a 7 íl £i Generalizando, temois: ~j~ . . 1r ■ ? Multiplicamos ambos os ter­ mos da fração por ^/b. ~4^=> Multiplicamos ambos os temos da fraçào por yb porque ^ bxV bT =^/b? =b. 3 01 - Racionalizar a fração — j= . Solução: Multiplicando-se ambos os termos da fraçào por 3 V5 3V5 obteremos: ——x —— V5 V5 V25 , 3V5 -----5 0 2 - R a c io n a f e a r a f r a ç ã o ^ . Solução: Multiplicando-se ambos os termos da fração por 2 V? 21& 6 03 - Racionalizar a fração ' Solução: 6 ^ 2 _ 6 V 2 _ 6 V 2 _3V2 5 V 2 J V2 148 5VÍ 5.2 5 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAR #obtemos: 04 - Racionalizar as frações abaixo relacionados: 15 7 a) 4 1 C ) 2 fi b) 7 5 5 d) V í 10 6 5 e) M 2 h) 9 òS g) 5 S a) 3^5 2^3 ”> 3 c ) ^ 2 d) V 2 e) ----2 0 ^ } 3 , 2& 8) 5 h) Respostas: 2# 5 Segundo Caso: O denominador é formado pela soma ou diferen­ ça de dois termos dos quais um, pelo menos, é um radical. 01he:i) Chama-se conjugado da soma (a + b) a diferença (a —b). u) Chama-se conjugado da diferença (a - b) a soma (a + b). iü) Relembre que: (a + b)(a —b) = a: —b2. 05 - Seia racionalizar: - 7=---V5 +•v2 Solução: Multiplicando-se os dois termos da fração pelo conjugado -J$ —-J~2 , obteremos: 3 Vs - - (V?+V4/5 -&Y í[S-'Í2]_3(V5-V2) g- ^ 5-2 3 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RADICIAÇÃO 149 06 - Racionalizar a fraçào ___^ Solução: ^ Multiplicando-se os doxs termos da fração pelo conjugado ■J7 + 7 3 , obteremos: 2 v 7 7 + 7 3 __ r— I~“~XV V7-V3 T- V7+V3 2(77-t-V3) SiíTT— (V 7 -V 3j(y7+ V 3j _ 2(77+73) ^2(77+7?) _ 77+73 7 -3 4 2 2 07 - Racionalizar a fração 2___ r** r~* Solução: ” 2 7 2 ~ V3 f_ _, i \ 272 + 73 _ 2(272+ 73) /— y— 2^ 2 + 7 3 5 08 - Racionalizar as frações abaixo: 1 5 a>Ts-VI 4 b> c) 77+7? 3 4 5 d) 3 - V 2" e) 273 - 7 2 $ 4V2 +2V3 Respostas: 75+77 a) — b) sfTs+Ts) ----- * „ 3(3 + V2*)n 2(27 3+ 72 ) d ) “^ — £) 5— 150 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAR r- rc) 7 7 - 7 3 272 - 73 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 01) Reduzir os radicais ao mesmo índice: a) b) d) ^,477,*4à e) c) 47,47,47 -,,f2,iÍ2,'-'Í2 f> 47,47 Respostas: ay V ^ . V F a) b) 47,477,‘M e) '47,'47,'47 '47:47:47 c) W .^ .^ 2 í) ,V T \ 1V I 7 ’ 02) Simplificar os radicais:' a) V6 b) $ í c) V ií d) 4 7 7 e) ! ^ V f) V í b 7 Respostas: a)V3 b)V3 c)3 d ) Çí\fb e) 4 7 7 0 :ib"iab2 03) Introduzir sob o radicai os fatores de cada uma das expressões abaixo: a) 3V2 b) 2^5 c) 2^2 d) 3V3 e) 2V2 í) a 2bVc Respostas: a) V S b) $JÕ c) */l 28 d) VÜ e) \/32 0 V aV c 04) Colocar fora do radical os fatores dos radicandos: a) V 75 b) VÍ8Õ c) Vgg" d) ^32 e) ^ a V 0 VaV" MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ RADICIAÇÃO 151 Respostas: a) b S t>) óVs c) 7V2 d) W ã ç) a 3b4Vã f) ab2í ? b 05) Efetuar as operações abaixo: a) 3V2+4V2-Í-2V2 b) 2V5+3V5+3V5 c) 5 ^ 5 -2 ^ 5 4-3^5' d) 6 ^ 2 +V2 —4^/2^—2^/2 'b^J~2. c) V 32-V 50 +V98 “ a/18 f) VÍ35-V 4Õ +V320-V5 g) V24~V81+Vl92+V3 h) V12+2V27 +5V75-2-\/4g Respostas: a) 9V2 b) 8-n/s c) <5^5 d) 2V2 e) 3V2 í) 4^5 g) 4^3 b) 25s/3 06) Efetue as multiplicações a seguir: a) V5xV3 b) V2xV8 d) 2^3 x3->/4 x4-s/s e) s\lã2b x3Vãb x 4 í\/a3b4 f) 4 ^ V x 5 l^ V c) x 2 ^ Respostas: 152 a) VÍ5 b)V Í6 :) 4\/24 d) 24 VóÕ -) í) 40i^ V r HILDER GÓES * UBALDO TONAR 07) Efetue as divisões abaixo: a) V 8 -hV2 b) l/ is d) \ fii + a/ó"e) Vãb Va2b 2 c) V36+V9 í) 18^/a2y + 6\jxzy Respostas: a) 2 b) Vã c) V? Q 2 12 a y 08) Simplificando a expressão 2^/3 - ^/zf'+3J l S , obteremos: H: 14^3 09) Simplificando a expressão >obteremos: R :^ 10) Simplificando a expressão ^ 0,0625 —8 3 >obtém-se: R; 0 11) Efetuando-se ^12 + ^12 + ^12 +~52 >obtém-se: R: 2 / .--- ---12) Simplificando-se a expressão 1^/25 x v 2 2 / >obtém-se: R: 16^2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RADICIAÇÂO 13) O valor da expressão (x*)'-5' x, para x = , é: R: 3 / ^/-n/225 —7 14) Simplificando a expressão 4^3^ ^ —7 >obtém-se: ■1 R: 1 15) Simplificando a expressão tJ 2-\j2-J~2-j2 >obteremos: 15 R: 2 16 16) Simplificando a expressão 3^2 —2-JíS + 3-^72> obteremos: R: 5V2 ■ . j V l7 -V 2 2 5 17) Determine o valor de V17 + V225 1 R: ~~ 4 18) Se a e b são números reais estritamente positivos, simplificando W b 4/expressão j -^=- xvd ? obteremos: R: Va 19) Se x - ^2 e y = ^98 - ^32 - VÊ, então: R: y = x 154 HILDER -GÓES * UBALDO TONAR /—1= , temos: VW x 20) Simplificando a -expressão V4x V8xf yjsjà 21) Calcular o valor de K —— R: 8 ^axa22) Simplificar a expressão _ . VVa R: a í2 23) Simplificar a expressão + ^6a4 ■ R: 2a 24) Simplificando a expressão ^31 -f ^10 - -^83 - sfÃ- >obtém-se: R: 2 25) Resolver e simplificar i j l + -Jé R: 2 26) Calcule o valor da expressão -^9-y]16^256 ■ R: 12 27) Calcule o valor da expressão y y i j y y s 2411 R: 25 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RAJDICIAÇÂO a/3+V27+5VÍ2 &J 3 28) Calcule 7 4 R: - / 29) Calcule ..... “*9-\/9-\/9^ «1/9^ \/Á j V16 V> 6 R: 64 30) Calcule: 2V2 4V2 V32 j —x ~x ^ R: 7 2 31) Calcule o valor da expressão: 2>/3x3V3 + 5^ 2x~~j= m R: 28 32) Simplificando as somas abaixo: a) V8Õ + V2Õ b) 3-\/5 + V45 - 2V2Õ c) 2VlSO ~ 4-\/54 + 6a/24 Respostas: a) óV5 b) 2-v/5 c) 10V6 33) Determine o valor da expressão . ^ 2 ^ 9 R: a) 1/8 156 b) 1/6 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR c) - 1/8 d) - 1/6 16 QUESTÕES DECONCURSOS 01) TRT - Resolva a inequação, sendo U =Q a) | x e Q/x<“ “ | b) { * e Q / x > - j j } C) j x e Q / x < - j j j d)|xeQ /x>^-| X—2x 6 —3x 1 —x “ + ~ > r : 5 ti z e) NDR 02) TRT - Resolva a equação, sabendo que o conjunto universo é Q. 3x+l 13 a )V = j!| 2 —x _ 4x—1 2x—5 2 ~~ 5 3 b)V ={4} c ) V = { - 2 } d )V = | -| | e) NDR _2 + _1 03) AFRE - O valor de J — ~ é: 2 5 a) — 4 3 b) — } 2 3 22 c) ---} 35 7 d) — 9 13 e) ---15 04) BNB - Resolva a seguinte equação exprimindo o resultado na sua forma mais reduzida: 5 (x + 2a) - 7a = 2 (a + x) 05) BB - Valor de x na expressão x — (4,8 - 1,02) -r 0,4 é: a) 2,25 b) 4,15 c) 5,75 d) 9,45 e) 9,7 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 157 A +B 1 1 06) BEC - Resolver: --------- sendo A = —; B = ~ ; 1 —AB 2 3 07) BEC - Efetue: 6 ■*- (—3) + 2(~ 1) - 20 ^ (- 4 ) é igual 08) BEC - Resolva: 0,2 x 0,3 3 ,2 - 2 0 ,0 1 5 09) TRT - Simplificando-se a expressão: I Q a) 0,025 b) 0,11 c) 0,25 ( -0 ,0 1- V 0 ,5 + Q0q2 J : q d) 1,1 , obtém-sf-: e) 2,5 10) TRE - Efetuando-se ^ ~ -0 ,0 2 5 ^ 0 ,0 4 obtém-se: 25 15 a) — 35 b) — c) T 25 d) — e) d) 12,45 e) 35 — 11) PRF - O valor de - Ü - M i é de: 0,12 a) 0,75 b) 1,245 0,2 c) 1,25 12,5 12) TRT - Sabendo que a, x e y são números inteiros positivos quaisquer, assinalar a expressão equivalente a 2 ( ax + y): a) 2ax 4- 2y b) 2a . 2x + 2y c) 2ax + y d) ax + 2y e) 2a + 2x + 2y 1 72R 13) TRT - O valor de —----- é: x 0,12 a) 144 b) 14,4 c) 1,44 d) 0,144 e) 0,0144 14) TRT - A expressão —í — + — 1 é idêntica a: 6 U o 15; a 1 a) — f*— } 4 9 158 15a 2 3a 10 b ) -------1"— c ) ----- 1----J 6015 ; HILDER GÓES * UBALDO TONAR a 1 d) — !■” 10 13 e) — 90J 23} 36 15) TRE - Se a = - , b = - e c = - , então: 4 2 3 a) a : b ^ c b) a —b + c c) a = b : c d) a —b . c e) a ~ b = c 16) TRT - Na expressão abaixo, o traço horizontal sobre o número indica o período da dízima periódica: 0,222.0,0404-*-2,166... +0,4166... x 0,2666... Resolvendo essa expressão, obtêm-se: a) 3 4/9 b) 29/9 c) 0,84 d) 3,2 e) 0,1666... 17) DNER - A dízima periódica 0,1454545... é igual a: a) 29 11 c) ISO *>) 55 29 d) 198 18) BNB - Calcule o valor da expressão: 19) BB - ( - 1)2 a) 2 145 e) ----> 999 + (- 4)2 -{ 1/3) 1 } . (l/2) l)? - 14 - ( - 1)7 + ( - l f - (+ l) ü - 15 - ( - í f é igual a: b) 0 c) 6 d) —4 e) —1 20) CEF - Se x - ( - 2)3 - ( - 1)2 + ( - 3)2 - ( - 2 f , então: a) x < - 8 b) —8 < x < - 5 c) -5 < x < -1 d) -1 < x < 7 e) x > 7 21) CEF - O valor da expressão x3 - 3x2y + 3xy2 ~ y3 , para x = 1/2 e y =• —112 é: a) - 1b) - 1/5 c) 0 d) 1/8 22) TRT - Resolver a seguinte expressão: a) 3 b) 4 11 à) e) 1 !_ I +i 3 6 ) 2 16 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 159 0,0525.10 23) TRT - Calcular ------ ------- : 10 ' J a) 52,5 b) 5,25 c) 525 d) 5.250 10 ' 24) TRT - Reduzir a uma única potência: a) 102 b) 10J c) 104 e) 52.500 10 d) 105 e) IO6 D 25) TRT - Efetuar os cálculos: '(2-1,5)*' —2,5 + ~x 1,56; a) 5,35 b) 2,6 26) BM - Efetuando-se a) - 8 b) - 4 c) 1,81 d) 0,6 e) 0,35 + [(~2)2]\ obtém-se: c) - 1 d) 1 e) 8 27) TRE - Efetue as operações indicadas na expressão: ( 2~3 + 5° 2 x 2~2 V 1 20 3 - 4 a) 7/8 b) 8/7 c) 5/7 d) 7/5 e) NDR i 01) A 02) B 03) C 07) 1 13) B 19) B 25) E 08) 1/20 14) A 20) C 26) A 09) D 15) C 21) E 27) B 160 HILDER GÓES * UBAIJDO TONAR a 04> t 10) C 16) A 22) A 05) D 06) 1 11) D 17) B 23) D 12) A 18)7/2 24) C SEGUNDA PARTE -1 7 18 N ú m e r o s F r a c i o n á r i o s - 19 QUESTÔES di: C oncaiusos ~ 20 R e g r a d e T r ê s - 21 Q u e s t õ e s o u C o n c u r s o s ~ 22 R a z ã o ~ 23 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s - 24 P r o p o r ç ã o - 25 Q u e s t õ e s d i: C o n c u r s o s - 26 D i v i s ã o P r o p o r c i o n a l - 27 M é d i a - 28 N ú m e r o s P r o p o r c i o n a i s — 29 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s - 30 R k g r a d e S o c i e d a d e - 31 Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s — 32 P o r c e n t a g e m - 33 N ú m e ro s I n te ir o s Q u e stõ e s de C o n c u rso s - Q u e stõ e s de C o n c u rso s - 3 4 J u r o s S im p le s — 35 36 - P r a z o , T a xa k C a p ita l M édios 37 - Q uestões de C oncursos 38 - D esconto S im pi.es 39 - Q uestões de C oncursos 40 - S istema M étrico D ecimal 41 - Q uestões de C oncursos 42 —E sc a ia 43 - Q uestões de C oncursos 4 4 - F unção do P rimeiro G rau 45 — Q uestões de C oncursos 46 - F unção Q u adrãtica 47 - Q uestões de C oncursos 48 - D i v is ib ilid a d e 49 — N ú m e r o s P rimos , M últiplos f. D ivisores 50 - M á x ím o D ívisor C o m u m 51 - M ín im o M ú ltiplo C o m u m 52 - Q uestões de C oncursos 53 — P roblemas do S e g u n d o G.rau 17 NÚMEROS INTEIROS Comumente, os livros de matemática destinados à preparação para concursos, tratam da resolução de problemas referentes a núme­ ros inteiros baseados nas regras de aritmética. Como essas são o resul­ tado da solução dos problemas generalizados da álgebra, preferimos marchar para a solução dos problemas de números inteiros através da própria Álgebra, diretamente, por nos parecer de mais fácil entendi­ mento por parte do aluno. Não pretendemos, com isso, ser diferente ou mesmo inovar, mas simplesmente seguir o desenvolvimento orde­ nado do nosso trabalho. Outra razão da conveniência do modelo aqui proposto, é ligado à generalização dos fatos que, na aritmética, requer um raciocínio diferente para cada problema, enquanto que, na Álgebra, basta a formulação de uma equação ou de um sistema de equações e sua simples resolução. As­ sim, os problemas aqui propostos deverão ser vistos como questões algé­ bricas, em que se apresentam uma ou mais quantidades conhecidas - que são os DADOS DO PROBLEMA - e se busca a identificação de uma ou mais quantidade desconhecidas, que são as INCÓGNITAS. A solução algébrica de um problema qualquer consta de três partes: Ia) a formulação da equação ou do sistema de equações; 2a) a resolução propriamente dita da equação ou do sistema de equações; 3a) a discussão da solução. A primeira parte consiste em se expressar, em linguagem algébrica, através de símbolos matemáticos, a relação que existe entre as quantidades conhecidas e as incógnitas, de modo que, a equação formulada, satisfaça as condições do problema. Na segunda parte, procede-se à solução da equação ou sistema anteriormente formulado. A formulação da equação ou sistema de equações é a etapa mais importante para a solução dos pro­ MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 163 blemas. O estudante deverá saber traduzir e interpretar sob a forma de equaçào o enunciado do problema, o que nem sempre é facilmente conse­ guido, exigindo, às vezes, um esforço de raciocínio lógico capaz de dispor os elementos do problema. A terceira parte consíste em verificar se os resultados encontra­ dos na solução da equação ou do sistema são, de fato, as soluções do problema. Somente o exercício constante levará o aluno'a desenvolver esta habilidade, com a vantagem adiciònal de estimular cada vez mais o seu raciocínio. 01 - Adicionando-se a um número, a sua metade e em seguida a sua quinta parte, resulta 34. Calcular esse número. Solução: Seja x o número procurado. Pelo enunciado do problema podemos x x escrever: x + —+ ——34 . Resolvendo a equação, temos: x = 20. 02 - Qual o número cuja metade mais a terça parte é igual a 25. Solução: XX Se a x este número, de acordo com o enunciado, temos: — i— —25 . J 5 ’ 2 3 Que resolvida, nos dá: x = 30. 03 - Qual o número que, somado com o triplo de si mesmo, resulta 52. Solução: Seja x o número procurado, então podemos escrever; x + 3x ~ 52. Logo, x = 13. 0 4 - 0 dobro de um número; mais cinco unidades é 27. Qual é esse número. R: 11. a < i x; / y - }}■ 0 5 - 0 triplo de um número aumentado de sua terça parte é igual a 60. Calcule esse número. R: 18. 164 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 06 - Determinar o número cujo dobro aumentado da metade do mesmo número é igual ao triplo do número diminuído de .4R: 8. 07 - Qual é o número que somado com a sua terça parte resulta 12. R: 9. ' 08 - O dobro de um número diminuído de 8 é igual à sua quarta parte aumentada de 13. Calcule esse número. R: 12. 09 - Qual é o número cujo dobro somado com 5 é igu.al ao seu triplo menos 19. Solução: ■ Seja x o número. Então, temos: 2x 4- 5 = 3x —19, que resolvida nos dá: x = 24. 10 - Acrescentando-se a um número a sua metade, e em seguida, a sua terça parte e depois a sua duodécima parte, obtém-se por soma 46. Calcu­ le esse número. Solução: Seja x o número procurado, nos dá: x = 24. 11 - Qual é o número que, se for multiplicado por sete, e ao produto se adicionar três e depois dividir tudo por dois e desse quociente subtrair quatro, resultará 15. >• -r "i Z 1S R: 5 ' 12 - A metade do triplo de um número, menos o dobro de sua terça parte, é uma unidade menos que o número dado.'Calcule esse número. R: 6 13 - Dividiu-se um número por quatro e o resultado por 6. Somando-se os dois quocientes obtém-se 35. Calcular o primeiro dividendo. R: 120 ^ -s ^ H 1 ^ : 2 ^42-5^ fr '_________________ X- X ~ MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 1Ó5 14 - Dividiu-se um número por 5, o resultado por 9 e o novo resultado por 7. A soma dos dois últimos quocientes é 24. Calcular o número. R: 945 \ ^ - -v " /15yi O dobro da minha idade, aumentada de 1/2, dos 2/5, dos 3/10 dela e de 40 anos, resulta 200 anos. Achar a minha idade. R: 50 anos * 16 - Depois de duplicar um número e diminuí-lo de duas unidades, duplica-se de novo o resultado, para, em seguida,.subtrair duas unidades. Duplicando-se o novo resultado, encontramos 68 para resultado final. Calcule esse número. R: 10 : ?..K ~ z • ...I ~ - Sj 17 - Uma pessoa possui um certo número de laranjas. Cada vez que se dobrar esse número ela dará 80 laranjas aos amigos. Dobraram-no três vezes, e, depois da terceira vez a pessoa ficou sem nenhuma laranja. Calcu­ le quantas laranjas essa pessoa tinha no princípio. \ _ go i ,2 " R: 70 18/ Uma pessoa para dar esmola, disse: Se me duplicarem o que possuo, 'darei $ 60,00 e cada vez que duplicarem acrescentarei $ 10,00 à esmola precedente. Mias para dar a quarta esmola faltam $ 50,00. Calcule quanto essa pessoa possuía no início. R: $ 60,00 19 - Dentre três números, calcule o segundo, sabendo que a soma do pri­ meiro com o segundo é 70; a soma do primeiro com o terceiro é 90 e a soma do segundo com o terceiro é 120. Solução: Sejam a, b e c o primeiro, segundo e terceiro números. Então, temos: a + b = 70; a + c —90; b + c = 120. Somando-se membro a membro as três equações, resulta: 2a + 2b -7- 2c = 280. Dividindo-se a equação resultante por 2, temos: a + b + c = 140. Como a + c = 90, temos que 90 + b = 140. Logo, b —50. 166 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR 20 - Dentre três números, calcule o primeiro, sabendo que a soma do primeiro com o segundo seja 200; a do primeiro com o terceiro seja 208 e a do segundo com o terceiro seja 216. ■?- ' l 2 0 R: 96 - ç ' '' ’ 21 - As idades de Roberto e Deisy somam 9 anos: a deDeisy e José 13 anos; a de José e Roberto 12 anos. Calcule a idade de Deisy. %^ p ='*' R: 5 o - •' • > 22 - Dentre três. números, calcule o terceiro, sabendo que a soma do pri­ meiro com o segundo é 50; a soma do primeiro com o terceiro é 60 e a soma do segundo com o terceiro é 70. f * ? ' V- ^ R: 40 ír ^ z"1 ,^23^- Numa compra, três homens gastaram certa quantia. O primeiro e o segundo gastaram $ 200,00 mais do que o terceiro; o primeiro e o terceiro juntos gastaram $ 600,00 mais do que o segundo; enfim, o segundo e o terceiro juntos gastaram $ 100,00 mais do que o primeiro. Calcule quan­ to gastou o primeiro. R: $ 400,00 24 - Três pessoas possuem certa quantia. A primeira e a terceira juntas têm $ 4.000,00 mais qúe a segunda. A segunda e a terceira juntas têm $ 6.000,00 mais que a primeira. A primeira e a segunda juntas têm $ 2.000,00 mais que a terceira. Calcule quanto possui a segunda pessoa. R: %4.000,-00 * 25 - O peso total de três caixas cheias de certa mercadoria é 60 kg. As caixas vazias pesam: a primeira com a segunda 7 kg; a primeira com a terceira 10 kg; a segunda com a terceira 11 kg. Calcule o peso da mercado­ ria das três caixas. ? j- j .. r í ; - ' R: 46 kg : 26 - Dentre quatro números, a soma dos três primeiros é 8.500; a soma dos três últimos é 12.500; a soma dos dois primeiros e do último é 10.500,00 e a soma do primeiro com os dois últimos é 12.000. Calcule o primeiro número. R: 2.000 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 167 27 - Calcular a idade da terceira pessoa, num grupo de quatro pessoas, sabendo-se que a soma das idades das três primeiras é 73 anos; das três últimas é 60 anos; que, das duas primeiras e da última, vale 68 anos; e da primeira com as duas últimas vale 63 anos. p + -R: 20 anos :^- --: 28 - A soma de dois números inteiros e consecutivos é 45. Calcule o pri­ meiro número. Solução: Os números inteiros consecutivos são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Veja que a diferença entre eles é constante e sempre igual a 1. En­ tão, chamando-se de x o primeiro número, o segundo será x + 1. Temos: x + x + l = 4 5 = > 2 x = 44=>x —22 29 - Determinar o maior, dentre três números inteiros e consecutivos, cuja soma é 102. •■ R: 35 ' • 3 30 - A soma de dois números intekos e consecutivos é igual a 17 vezes a sua diferença. Qual o maior dos números. r. ^ R: 9*' 31 - Calcule o menor dentre dois números pares e consecutivos, cuja soma é 106. Solução: Os números pares e consecutivos são: 0, 2, 4, 6, 8, 10,... Observe que a diferença entre eles é constante e sempre igual a 2. Chamando-se o primeiro número de x, o outro será x + 2. Então, temos: x + x + 2 = 106 => 2x = 104 :=> x = 52. / 32 - Calcule o menor dentre três números pares e consecutivos cuja soma é 366. R: 120 33 - Calcule dois números pares è consecutivos cuja.soma seja igual a 11 vezes a sua diferença. > +,, v. . , R: 10 e 12 168 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 34 - Calcular dois números pares e consecutivos cuja soma é 65 vezes a sua diferença. x .. vC . R: 64 e 66 35 - Calcule o menor dentre três números ímpares e consecutivos cuja soma é 33. Solução: Os números ímpares são: 1, 3, 5,7, 9 ,11,... A diferença entre eles é constante e sempre igual a 2. Logo, se o primeiro designarmos por x, os outros serão x + 2 e x + 4. Então, teremos: x + x + 2 + x + 4 = 33 3x + 6 = 33 3x = 27 36 - Dentre quatro números ímpares e consecutivos, calcular o terceiro, sabendo que a soma do primeiro com o quarto é 76. R: 39 ^ x^ .s • - = ;; ’ -■■■. , . 37 - Dois números pares e consecutivos mais o ímpar subsequente so­ mam 95. Calcule o número ímpar. R: 33 > ^ x-v v 4 > 3 8 -A soma de três múltiplos consecutivos de 5 é 195. Calcule o segundo múltipla x - -.> • •• " - - . ; •' ■; R: 65 ' ■" MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 169 39 - Achar três múltiplos consecutivos de 7, cuja soma seja igual a 273. R: 84,91 e 98 * ; ; J ; 40 - A soma de três múltiplos de 4 com quatro múltiplos de 3 é igual a 144. Calcule o primeiro múltiplo desses números. R: 12 41 - Uma pessoa possui galinhas e coelhos, ao todo 20 cabeças e 58 pés. Calcular o número de animais de cada espécie Solução: Faça: x ~ número de galinhas y = número de coelhos Então: x + y = 20 (cabeças). Como as galinhas possuem dois pés e os coelhos quatro pés, vem: 2x + 4y = 58 (pés) x + y = 20 Juntando-se as duas equações resulta o sistema:' 2x + 4y = 58 Que resolvido, nos dá: 11 galinhas e 9 coelhos* 42 - Num jardim há cisnes e coelhos contando-se.ao todo 58 cabeças e 178 pernas. Calcule o número de cisnes. { % -• \ R: 27 ' ■' ' ' " ' 43 - Tenho marrecos e cabritos, num total de 39 cabeças e 104 pés. Calcule o número de aves e caprinos. R: 26 e 13 . /•* c - \ ■' . -- ~ 44 - Num depósito há 85 viaturas, sendo umas de oito rodas e outras de três. Calcule o número de veículos de oito rodas, sabendo que o total de rodas é 320. ■' ^ VVi _r %c R: 13 . < . ^ „=i ' >• 45 - Em um depósito há viaturas de 4 e de 6 rodas num total de 39 viaturas e 190 rodas. Calcule quantas viaturas há de cada espécie. R: 22 e 17 q, o 170 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 46 - Num caderno estào desenhados triângulos e quadrados, num total de 35 figuras e 125 lados. Calcule o número de quadrados. R: 20 r T-r $ r / mS ^ \ ■> 47 - Num livro encontramos triângulos e pentágonos, num total de 40 polígonos e 156 lados. Calcule o número de pentágonos. R: 18 -i-irs. 48 - Uma. pessoa comprou galinhas e coelhos num total de 48 cabeças e 130 pés. Calcule quantos coelhos existem. J> a .vC ~ R: 17 ?^ Mc 49 - Num quintal existem galinhas e porcos, ao todo, 135 cabeças e 352 pés. Calcule quantos animais existem de cada espécie. R: 94 galinhas e 41 porcos " .; f = t V'50 - Num caderno estao desenhados triângulos, quadrados e pentágonos. Ao todo, 18 figuras e 74 lados. Calcule onúmero de quadrados, sabendo que o número deles é o dobro do número detriângulos. R: 8 r ( 5 1 -! Um aluno ganha 5 pontos por cada exercício que acerta e perde 3 '^pontos por exercício que erra. Ao fim de 20 exercícios, lem 36 pontos. Quantos exercícios acertou. Solução: Seja: x o número de exercícios que acerta y o número de exercícios que erra. Entao temos o seguinte sis tema: í x + y =20 _ 3 y —3ó Que resolvido, nos dá: x = 12. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 171 52 - Um aluno ganha 5 pontos por exerddó que acerta e perde 3 pontos por exercício que erra. No fim de 30 exercícios tinha 110 pontos. Calcule quantos exercícios errou. •, .,5 R: 5 1 í V ~;.:3 53 - Um atirador ganha 4 pontos por tiro acertado no alvo e paga a metade, por multa, cada vez que erra. Após 32 tiros, tinha 86 pontos. Calcule quanto tiros acertou. í- „ ■?.. R: 25 * ^ ~ 54 - Um professor promete a um aluno 10 pontos por resposta certa e tira-lhe 6 pontos por resposta errada. Sobre 24 respostas, calcule quantas certas houve se o aluno não recebeu nenhum ponto. R: 9 i , • • ‘ 55 - Um professor promete a um aluno 10 pontos por resposta certa, e tira-lhe 6 pontos por resposta errada. Sobre 24 respostas, calcule quantas certas houve se o aluno ficou devendo 32 pontos. R: 7 f io c '{?(:- ~M ' c .. •; 56 - Um aluno ganha 6 pontos por cada exercício que acerta e perde 4 por exercício que erra. Ao fim de 30 exercícios tinha 60 pontos. Calcule quantos exercícios ele acertou. R: 18 57 - Achar uma fração tal que, somando-se 4 a cada um de seus termos, ela torna-se igual a 2/3, e subtraindo-se 1 de cada um de seus termos, tornase igual a 1/2. x x+ 4 Solução: Seja ” a fiação. Então, temos: . Preparando, resulta o sistema: 172 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR 2 x -1 e 1 J3x - 2y=—4 [2x - y= l Que resolvido, nos dá: x —6 e y = 11.' 6 Então, a fração procurada é ~ • 58 - Se subtrairmos 3 de ambos os termos de uma fração, ela ficará igual a 1/4; mas se juntarmos 5 a ambos os termos, ela ficará igual a 1/2. Calcule a fração. R: 7/19. H ^ ^ c- 'L 59 - Se juntarmos 8 ao numerador de uma fração, ela ficará igual a 2; mas se subtrairmos 5 do denominador, a fração ficará igual a 3. Calcule ■a fração. ><.+•? r- £ R: 6/7. "i ? 6 0 - 0 denominador de uma fração excede ao numerador de 5 unida­ des. Se ao denominador se adiciona 7, o valor da fração fica sendo igual a 1/2. Determinar a fração. R: 12/17 6 1 - A soma dos termos de uma fração é 34. Substituindo-se o numera­ dor pelo seu sucessivo a fração resultante eqüivale a 4. Escrever essa fração. R: 27/7. 62 ~Se dividirmos as idades de A e B aumentadas de um ano, encontra­ remos uma fração igual a 1/2 e, se dividirmos diminuídas de um ano, encontraremos uma fração igual a 1/3. Calcule a idade de A e B. R: 3 e 7 anos. 63 - Achar os números que devem ser adicionados aos termos da fração 5/13 para que se obtenha uma fração que seja o dobro dela e na qual a soma dos termos seja 46. R: 15 e 13. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 173 64 - Calcule uma fração sabendo que somando-se uma unidade ao seu numerador ela fica equivalente a 18/30, e somando-se uma unidade ao denominador da fração anterior ela fica equivalente a 5/10. R: 2/5. . 65 - Achar um número de dois algarismos, sabendo que a soma desses algarismos é 6 e que subtraindo 36 unidades do número, ele fica escrito na ordem inversa. Solução: Observe que qualquer número de dois algarismos-pode-ser escrito como uma soma de um certo número de dezenas com um certo número de unidades. Veja por exemplo: 25 = 2 x 10 + 5 38 = 3 x 10 + 8 76 = 7 x 10 + 6 Voltemos ao problema. Como o número é formado de dois algarism os podem os simbolizá-lo como xy. Pelos dados fornecidos temos: x + y = 6 e xy —36 “ yx. Vamos, agora, trabalhar somente com a segunda equação, isto é, com xy - 36 = yx. Aplicando nessa equação, o que foi visto nos exemplos numéricos acima, temos: xy - 36 = yx lOx + y —36 = lOy +x que é igual a: lOx + y —lOy —x = 36 Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 9x —9y —36 Dividindo toda a equação por 9, temos: x - y = 4 Que, com a primeira equação, resulta o sistema: íx + y=6 1 / |x-y = 4 Resolvendo-o, temos: x = 5 e y = 7 1 Então, o número será 51. Veja: Quando invertemos os dois algarismos de um número a diferença entre os dois números resultantes formados pelos dois algaris­ mos, é sempre múltiplo de 9. 21 - 12 = 9; 72 - 27 = 45; 82 - 28 = 54 174 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 66 - á soma do algarismo das dezenas e do algarismo das unidades de um número é 15; se ao número se subtraí 9, os algarismos se invertem. Determinar o número. r / S ' R : 1 8 7 , o * - " ^ - ' " • 67 - Um número é formado de dois algarismos cuja soma é 10. Somando-se 54 ao número, ele fica escrito em ordem inversa. Calcule esse número. Q í - n ~ i*-'; ' ' R : 2 8 " 68 - A soma dos dois algarismos de um número é 7. Diminuindo-se 27 unidades deste número, resulta o número primitivo invertido. Calcular esse número. ;' a. t s - 7 R : 5 2 / j £ * * ' x 69 - Um número é tal que a soma de seus dois algarismos é 7. Calcule este número sabendo que, invertendo os seus algarismos, o número resultante vale duas vezes o primeiro, mais duas unidades. R : 2 5 * + ' N? " \ ' i • 70 - A soma dos dois algarismos de um número é 15. Invertendo-se a ordem destes algarismos, forma-se. um segundo número que vale 23/32 do primeiro. Calcule esse número. R : 9 6 . 71 - Um número é composto de dois algarismos cuja diferença é 3. Escrevendo-se o número em ordem inversa, obtém-se os 4/7 do número dado. Calcule esse número. R : 6 3 72 h Achar um número de dois algarismos, no qual 5 vezes o algarismo das dezenas, menos duas vezes o algarismo das unidades é igual a 7; e, invertendo-se a ordem dos algarismos, obtém-se um número que excede ao primeiro de 36. í x ^ - "VR: 59 :. . v , > MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS ESTEIROS 175 7 3 - 0 total de pontos obtidos por uma duna é um número de dois algarismos. Invertendo-se a ordem dos algarismos, encontra-se um novo número que somado ao primeiro número resulta 187. O primeiro núme­ ro dividido pelo segundo dá quociente 1 e resto 9. Calcule o número de pontos alcançados pela aluna/ [ox * vi f 'to'j t x -=i ^■~l R: 98 1 l [ ü l 1 74 - Um número de dois algarismos é tal que, dividido pela diferença entre seus algarismos, dá o quociente 12; invertendo-se os algarismos, somando 9 ao número assim formado e dividindo o resultado pela soma dos algarismos, obtém-se 8 por quociente. Calcule esse número, saben­ do-se que o algarismo das unidades é o dobro do algarismo das dezenas. R: 36 75 - Um número tem 3 algarismos cuja soma dos valores absolutos é 12. O algarismo das unidades é 5. Se este algarismo das unidades se coloca na posição do algarismo das centenas, conservando-se a ordem dos outros dois, o número diminui de 54 unidades. Calcule esse número. R: 615 Olhe: Escrever um número em sua forma polinomial, é escrever esse número como uma soma. Generalizando-se, temos: Número de dois algarismos: xy = lOx + y Número de três algarismos: xyz —lOOx + lOy + 2 Número de quatro algarismos: xyzt = lOOOx + lOOy + lOz + t 76 - Um número tem três algarismos cuja soma dos valores absolutos é 21. O algarismo das dezenas é 9. Substituindo-se os outros algarismos pelos seus su­ cessivos e invertendo-se a ordem dos mesmos, conservada a posição dos alga­ rismos das dezenas, o número aumenta de 497 unidades. Calcule esse número. R: 498 77 - Um certo número é composto de três algarismos, cuja soma é 18. O algarismo das unidades é o dobro do das centenas e quando se juntam ao número 297 unidades, obtém-se o mesmo número invertido. Calcule esse número. * R: 396 17 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 1 78 - Um número é formado de quatro algarismos cuja soma é 13. A soma dos dois últimos algarismos é igual ao segundo e a soma dos alga­ rismos extremos é igual à metade desse segundo algarismo. Subtraindo-se o número dado, do mesmo número escrito em ordem inversa, a diferen­ ça será 819. Calcule esse número. R: 1.642 79 - A data da invenção da imprensa por Gutemberg é expressa por um -número de quatro algarismos. Achar este número sabendo-se que a soma dos valores absolutos dos algarismos é 14 e o valor absoluto do algarismo das dezenas é a metade dos das unidades; o valor absoluto dos algarismos das centenas é igual a soma dos valores absolutos dos algarismos das dezenas e o das milhares.- Somando-se 4.905 a este número, obtém-se o número escrito em ordem inversa. Encontre esse número. R: 1.436 80 - Em 1938, uma moça tinha tantos anos quantos expressavam os dois últimos algarismos do ano em que nascera. Ao contar isso a sua avó, ambas espantaram-se ao perceberem que o mesmo ocorria com a velha senhora. Calcule quantos anos tinha cada uma. R: Moça: 19 anos Avó: 69 anos 81 - Um número de seis algarismos começa, à esquerda, por 1. Levando-se este algarismo para o último lugar, à direita, o novo número é o triplo do número inicial Calcular o número inicial. R: 142.857 82 - Um carro com movimento uniforme passa, num dado momento, num marco quilométrico de uma estrada, que tem escrito um número formado de dois algarismos. Uma hora depois, passa num outro marco com os algarismos escritos em ordem inversa. Uma hora mais tarde, passa num terceiro marco que tem os mesmos algarismos do primeiro marco, porém, com um zero intercalado. Determinar os algarismos dos três marcos. R: 16, 61 e 106 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 177 83 - Um pai deu 5 laranjas a cada filho e ficou com 30 laranjas. Se tivesse dado 7 laranjas a cada um, teria ficado cpm apenas 4 laranjas. Calcule o número de filhos. Solução: Seja x o número de filhos. 5x + 30 = 7x + 4. Que resolvida nos dá: x = 13. 84 - Dei 15 laranjas a cada menino e fiquei com 30 laranjas. Se tivesse dado 20 a cada um, teria ficado com apenas 20. Calcule o número de meninos. 85 - Se eu colocar 8 laranjas em cada caixa que possuo, sobram 4 laranjas. Se eu colocar 10, uma das caixas ficará faltando 2 laranjas. Calcule quantas sào as caixas e as laranjas. Solução: Seja x o número de caixas. Temos: 8x + 4 = lOx —2. Que resolvida nos dá x = 3, isto é, o número de caixas. O número de laranjas será: 8 x 3 + 4 = 28. Que deve ser igual ao segundo membro da equa­ ção, isto é: 10 x 3 - 2 = 28. 86 - Se eu colocar 9 laranjas em cada caixa que possuo, sobrarão 14 laranjas; mas, se eu colocar uma dezena em cada caixa, em uma dessas caixas ficarão faltando 4 laranjas. Calcule quantas são as caixas e as laranjas. R: 18 e 176 /q c v r - : \.V " 87 - Se uma pessoa colocar 8 abacates em cada cesto, sobrarão 4 abacates; se, porém, colocar 10, faltarão 4 abacates em um dos cestos. Calcular o número de cestos e de abacates. •• # , R : 4 e 36 io 0 " " 88 - Se uma pessoa guardar 12 pêssegos em cada caixa que possui, sobram 10 pêssegos; mas se guardar 15, ficam faltando 8 pêssegos em uma das caixas. Calcular o número de caixas e de pêssegos. Solução: Seja x o número de caixas. Então, temos: 12x + 10 —15x —8 Que resolvida nos dá x = 6, isto é, o número de caixas. O número de pêssegos será: 12 x 6 + 10 = 82. 178 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 89 - Se uma professora desse 2 lápis a cada um dos seus alunos, sobrarIhe-iam 14 lápis. Tendo, porém, faltado 5 alunos, verificou que se desse 4 lápis a cada um dos que compareceram, não sobrariam nenhum lápis. Cal­ cular o número de lápis e o número de alunos, f 2 A x 1‘v‘ ' ~ 90 - Num vagão de um trem viaja determinado número de pessoas, 42 das quais em pé. Por determinação do chefe do trem, em cada banco passa­ ram a sentar-^e 3 passageiros, ao invés de 2. Mesmo assim, duas pessoas ficaram em pé. Gi’rular o número de passageiros no vagão. R: 122 J l 91 - Num microônibus, cada banco está ocupado por dois passageiros, havendo ainda dois passageiros em pé. Para que nào existissem nenhum em pé}um dele teve a idéia de mandar que seus companheiros de viagem se sentassem três em cada banco, ficando assim dois bancos desocupados. Calcular o número de passageiros. Solução: Seja x o número de bancos. Então, temos: 2x + 2 = 3x ~ 6 Por que menos ó? Olhe! Quando passaram a sentar-se 3 em cada banco, sobraram 2 bancos desocupados e, nesses dois bancos, se sentariam 2 x 3 = 6 passageiros. Resolvendo-se a equação, encontramos: x = 8, isto é, o número de bancos. Então, o número de passageiros será: 2 x 8 + 2 =1 8 . Como tam­ bém poderia ser calculado usando-se o segundo membro da equação, as­ sim: 3 x 8 - 6 —18. 92 - Em um ônibus viajam 35 passageiros em pé quando dois passageiros sentavam em cada banco. Se três passageiros sentassem em cada banco, sobrariam 5 bancos vazios. Determine o número de bancos e quantos passageiros viajavam no ônibus. ^ •. R: 50 bancos e 135 passageiros „ r~ ; 93 - Certa quantidade de pacotes, precisa ser transportada em caixas. Se colocarmos dois pacotes em cada caixa, sobram treze pacotes; mas, se MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 179 colocarmos três pacotes em cada caixa, sobram crês caixas desocupadas. Calcule quantos pacotes devem ser transportados. R: 57 94 - Numa árvore pousam pássaros. Estando 4 pássaros em cada galho, sobram 2 galhos sem pássaros. Se pousassem 2 pássaros em cada galho, dois pássaros ficariam voando. Calcule o número de galhos e o número de pássaros. „ R: 5 galhos e 12 pássaros ^ 95 - Comprei certo número de pássaros e gaiolas. Se eu pusesse um pássa­ ro em cada gaiola, 18 pássaros ficariam sem gaiola; porém, se eu pusesse três pássaros em cada gaiola, haveria lugar para mais 6 pássaro?. Quantos pássaros e quantas gaiolas comprei? ^ i , Ç! & R: 30 pássaros e 12 gaiolas _ / ■=.- f 96 - Um professor de uma ciasse mandou que seus alunos se sentassem S em cada banco do jardim da escola e ficaram ainda 4 alunos em pé. Mas, verificou que se se sentassem 9 alunos em cada banco, ficavam no último banco apenas 7 alunos sentados. Calcule quantos alunos há na classe e quantos são os bancos do jardim. , 3 >u ~ y R: 52 alunos e 6 bancos . - <) t 7 1' r 97 - Distribuiu-se certa quantidade de bombons pata um grupo de crian­ ças, recebendo cada uma 5 bombons. Entretanto, se resolvêssemos dar 7 bombons para cada criança, ficariam 4 crianças com um bombom cada uma. Calcule quantas crianças eram e quantos bombons foram distribuídos. R: 12 crianças e 60 bombons ' S - ~ 98 - Certo número de bolas foi repartido entre várias crianças, cabendo a cada uma 5 bolas. Se tivéssemos dado apenas 2 bolas a cada uma, poderí­ amos ter presenteado a mais 31 crianças e ainda sobraria uma bola. Calcu­ le o número de crianças e o número de bolas distribuídas. R: 21 crianças e 105 bolas - o ^ ! I; ^ 99 - Uma doceira vendeu todos os doces que levava a dois clientes: ao primeiro, vendeu a metade mais um doce; ao segundo, vendeu a 180 HILDER GÓES * UBALDO TONAR metade do resto mais dois doces. Calcule quantos doces ela levava inicialmente. y • •• ' / .• -- - : - " R: 10 ' ? . 100 - Uma pessoa levava limões para vender. Ao primeiro freguês vendeu a metade do que possuía e deu cinco limões. Ao segundo, vendeu a metade do resto e deu três. Ao terceiro, vendeu a metade do novo resto e deu um, ficando assim, sem nenhum limão. Calcule quantos limões essa pessoa levava inicialmente R: 30 a-** 101 - Uma pessoa levava objetos ao mercado para vendê-los ao preço de $ 100,00. No caminho, porém, quebraram-se 10 objetos. Para não ter prejuízo, teve que vender o restante ao preço de %150,00 cada um. Calcu­ le quantos objetos essa pessoa levava a princípio. R: 30 . / •102 - Uma pessoa levava objetos para vender por $ 100,00 cada um. Tendo quebrado, na viagem 15 objetos, vendeu o restante por $ 120,00 cada um, obtendo assim, uma vantagem de $ 4.200,00 em relação à -venda de todos que levava para vender. Calcule quantos objetos levava essa pessoa. R: 300 fy ' , ' 103 - Uma pessoa levava objetos para vender. Se vender a $ 150,00 cada um, lucrará $ 1.380,00. Mas, se vender a %60,00 cada um, perderá $ 690,00. Calcular quantos objetos essa pessoa levava. R: 23 ' ’ /$. , •• - v 104 ~Com o dinheiro que tinha, comprei certo número de entradas a $ 130,00 cada uma e sobraram-me $ 800,00. Se cada entrada me ti­ vesse custado a importância de $ 190,00, ter-me-iam faltado $ 160,00. vCalcule quantas entradas comprei'e quanto em dinheiro possuía. R: 16 entradas e $ 2.880,00 j í 5^ £ t %'J" ' 105 - Se eu receber o que me é devido* eu pagarei o que devo e ainda me sobram 2/9 do que me devem. Sabendo que o que eu devo e o que me é devido somam $ 3.840,00, calcular o quanto devo e quanto me devem. R: Devo: $ 1.680,00. e devem-me:'$ 2.160,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 181 106 - Comprei um certo número de laranjas; deram-me uma laranja a mais em cada dúzia e eu recebi 351 laranjas. Calcule quantas dúzias comprei. ^ ^ ^ '' R: 27 107 - A diferença entre dois números é 6.289; a divisão do maior pelo menor dá 23 de quociente e 41 de resto. Determine o maior número. Solução: j x - y —6.289 Faça: x e y os números, comx > y. Temos o sistema: 1 x „ 23y + 41 que resolvido, resulta: x = 6.573. 108 - Determinar dois números, sabendo-se que têm por soma 59, por quociente' 8 e o resto é o maior possível, c R: 53 e 6 / ! ? * ■ C Vej a: O maior resto possível em uma divisão é o divisor menos uma unidade. 109 - A diferença entre dois números é 84. Se cada um fosse uma unidade maior, o produto deles cresceria de 379. Calcule esses dois números. R: 231 e 147 > * - M-- ? ,n ■ f 110 - Se o produto de dois números inteiros e positivos aumenta de 10 unidades quando os mesmos são substituídos pelos seus consecutivos, calcule a soma desses números, r x ,m ~ f ^ ^ /V_ Í•K- i í) í) - Ç 4 . 111 - A diferença de dois números é 4. Sabendo-se que cinco vezes o maior mais três vezes o menor é igual a 84, calcule -o número maior. Solução: Faça: x = número maior e y - número menor fx - y = 4 Armando o sistema, temos: < [5x+3y=84 Que resolvido, resulta: x —12. 182 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 112 - Achar um número que dá o mesmo resultado somando-se a ele 5 unidades ou multiplicando-o por 5. ^ +_ c, ' c,x R: 5/4 113 - Um número é composto de três algarismos cuja soma dos valores absolutos é 6. O valor absoluto do algarismo das unidades é a soma dos valores absolutos do algarismo das centenas e o das dezenas. O valor ab­ soluto do algarismo das centenas é igual ao dobro do das dezenas. Escreva .-~ esse numero. c j• ■ - ; ••- - - •^ é- i. -> R: 213 ^i 114 - Um copo cheio’de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, o peso do conjunto se reduz a 180g. Calcule o peso do copo vazio. Solução: Seja: x = peso do copo vazio e y —peso da água x + y =325 Armando-se o sistema, temos: x + Z —}go 2 Que resolvido, nos dá: x = 35g, 115 - Um vaso cheio de água pura pesa 14 kg; tirando-lhe os 3/4 da água, nào pesa mais que 5 kg. Calcule o peso da água e do vaso. R: 12 kg e 2 kg. 116 - Doze pessoas fazem uma excursão e devem pagá-la em comum, porém três pessoas não puderam pagar e cada uma das restantes teve que acrescentar mais $ 200,00 ao valor a ser pago. Calcule o valor da excursão. R: $ 7.200,00 itj - r (Hf^d r 100) f . 117. - Um grupo de 30 alunos entre rapazes e moças alugou um ônibus por $ 3.000,00. Os rapazes não permitiram que as moças pagassem. Com isto, a parte de cada rapaz ficou aumentada de $ 50,00. Calcule o número de moças. R: 10 118 - Calcular dois números cuja soma seja 50 e que os resultados sejam iguais quando se retira 5 unidades do maior para se acrescentar ao menor. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 183 Solução: Como existe um número maior do que outro, façamos: x = número maior e y = número menor Podemos, então, escrever o sistema: Que resolvido, nos dará: x = 30 e y = 20. 119 - Dois números são tais que: se tirarmos uma unidade do primeiro e adicionarmos ao segundo, este ficará sendo o dobro do primeiro; e se tirarmos uma unidade do segundo e adicionarmos ao primeiro, eles ficam iguais. Qual é ò segundo número? r - i) v ^ r ' R: 7 J 120 - Dividir 32 em duas partes de modo que seja igual a 6 a soma dos quocientes que resultam, dividindo a primeira parte por 6 e a segunda parte por 5, Solução: Como existem primeira e segunda parte, façamos: x ==primeira párte e y - segunda parte x 4- y = 32 Podemos, então, escrever o sistema: j JE. + X —<5 .6 5 Que resolvido, nos dá: primeira parte 12 e segunda parte 20; 121 - Dois jogadores entram em um jogo, o primeiro com $ 2.900,00 e o segundo com $ 3.100,00. Depois de uma partida ganha pelo segundo, este tem o quádruplo do dinheiro do primeiro. Calcule o valor da partida. R: $ 1.700,00 ; 'J - ' ■v 122 - Duas pessoas economizam por dia $ 350,00. A primeira possui atu­ almente $ 31.500,00 e a segunda $ 6.300,00. Calcule daqui a quantos dias a quantia da primeira será o quádruplo da quantia da segunda. R: 6 dias 184 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 123 - A diferença entre as quantias que duas pessoas possuem é de $ 5.000,00. A cada dia essas quantias aumentam em $ 200,00 e no fim de cinco dias, uma pessoa possui o dobro da outra. Calcule a quantia primitiva de cada pessoa. K Y - v.-OP R: $ 9.000,00 e $ 4.000,00 _, - , ' . X- - -' 124 - Dois grupos de operários, com o mesmo salário por dia, receberam: cf primeiro $ 8.100,00 e o segundo $ 5.700,00 por um trabalho feito em comum. Calcule o preço do dia de trabalho do segundo grupo, sabendo que o primeiro grupo possui 40 operários mais do que o segundo grupo. R: $ 60,00 125/- Por 12 dias de trabalho, dos quais 7 com o filho, uma pessoa rece­ beu a importância de $ 222,00. Outra vez, ganhou $ 150,00 por 8 dias de trabalho, durante 5 dos quais fez-se ajudar pelo filho. Calcule quanto rece­ be por dia essa pessoa. R: $ 15,00 126 - Um fazendeiro promete a seu empregado $ 1.400,00 e 4 ovelhas por doze dias de serviço. Depois de quatro dias, o empregado é despedido e recebe três ovelhas e $ 50,00. Calcule o preço de cada ovelha. Solução: Seja x o preço de uma ovelha. O empregado tem direito a receber, 1.400,00+ 4x por dia: ------- ~ ------- . Despedido, deram-lhe para cada dia dos quatro que trabalhou: 3x + 50,00 4 1.400,00+ 4x__3x + 50,00 Temos, pois a equaçao: -------“ --------------- ------Que resolvida, nos dá: x = $ 250,00. 127 - Por 10 dias de serviços prestados, uma pessoa deveria rece­ ber $ 1.200,00 e um presente. Retira-se depois de 6 dias e então recebe o presente devolvendo, porém, $ 400,00. Calcule o preço do presente. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 185 Solução: Chame x o preço do presente, então temos: 1 .2 0 0 ,0 0 + x _ x ~ 4 0 0 ,0 0 10 ~~ 6 Que resolvida, nos dá: x = $ 2.800,00. 128 - Por um ano de ordenado, um empregado deve receber a soma de $ 2.400,00 e um temo de roupa. Retira-se depois de 4 meses, e então recebe o terno, devolvendo %400,00. Calcule o preço do^terno. R: $ 1.800,00 129 -Josérecebeu por 15 dias de serviços $ 700,00 mais 5.000 tijolos. João recebeu por 45 dias do mesmo serviço 6.000 tijolos mais %3.000,00. Cal­ cule o preço de um djolo e de um dia de serviço. R: $ 0,10 e $ 80,00 130 - Em uma cesta há 135 laranjas, em outra há 85. Tirando-se quantida­ des iguais de ambas as cestas, a primeira passa a ter o dobro da segunda. Calcule quantas laranjas foram tiradas de cada cesta. Solução: Seja x o número de laranjas redradas. Então, temos: 135—x = 2 (85 —x) Que resolvida, nos dá: x = 35. 131 - Em um cesto e numa caixa existem 23 laranjas. Se tirarmos 5 laranjas do cesto e pusermos 2 na caixa, ficarão com o mesmo número de laranjas. Calcule quantas laranjas há no cesto e na caixa. ( x 4 V - 2 < > R: No cesto : 15. Na caixa: 8 . ~: v - " 132 - Dois irmãos tinham áo todo 1.800 selos. O mais velho vendeu 500 selos e o mais novo 300. O mais velho ficou com o quádruplo dos selos do mais novo. Calcule quantos selos tinha o irmão mais novo. R: 500 '' -1 1 4 133 - Uma pessoa possui um certo número de bolas em cada mão; se ela passasse 4 bolas da mão esquerda para a direita, teria nesta o quádruplo das que teria naquela. Se, ao contrário, isto é, passasse 2 bolas da mão 18 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR direita paia a esquerda teria então, na esquerda o quádruplo das que teria na direita. Calcule quantas bolas essa pessoa possui em cada mão. R: 6 bolas na mão esquerda e 4 bolas na mão direita ( ^ í ' - :: 134 - Em uma estante tem-se 80 livros em cada prateleira. Séaumentarmos 3 prateleiras, ficará com 50 livros em cada uma. Calcule o número de livros. f. o , f - íR: 400 L 135 - João diz a Pedro: se me derem 15 bolas terei tantas quantas tens; mas se me derem 28, terei sobre as que tu tens um excedente igual à metade das que tens. Calcule quantas bolas possui Pedro. R: 26 136 - Tenho certo número de bolas; se me dererfi mais 24, então esse novo número de bolas excederá 80, tanto quanto 80 excede ao número primiti­ vo, Calcule o número de bolas. R: 68 137 - De uma caixa tiram-se algumas bolas. Se dvessem tirado mais 5, teria ficado na caixa o triplo das bolas redradas, mas se tivessem tirado menos 8, teria ficado o quádruplo das bolas retiradas. Calcule o número de bolas que havia na caixa e quantas bolas foram retiradas. K - C^i - 9 ) ~ 3 R: Número de bolas: 260 Bolas retiradas: 60 x, - (_v - ? ) =H'-'1 138 - Fernando Filho e Fernando Vinícius possuem cada um, certo nú­ mero de laranjas. Porém, se o Ia der 5 laranjas ao 2-, eles ficariam com igual número de laranjas; se pelo contrário, o 2- der 5 laranjas ao Ia, este ficaria com o quíntuplo de laranjas do 2~. Calcule quantas laranjas cada um possui. Solução: Faça: x = número de laranjas do l fl e y —número de laranjas do 2a íx~5=y+5 Armando-se o sistema, temos: j 5( y _ 5)~ x + 5 Que resolvido, nos dá: x = 20 e y —10. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 187 139 - Um fazendeiro tinha dois cavalos que lhe custaram certo preço cada um; depois comprou uma sela por $ 1.000,00. Quando ele colocava a sela no primeiro cavalo, este com a sela valia o dobro do segundo; e quando colocava a sela no segundo cavalo, este valia o triplo do primeiro. Calcule quanto lhe custou cada cavalo. ' =3 - - r: R: $ 600,00 o primeiro e ? 800,00 o segundo ; 140 - Uma balança ficou em equilíbrio colocando-se no primeiro prato 3 moedas de 50 centavos e 2 moedas de 10 centavos; e, no segundo prato, 2 moedas de 50 centavos, 3 moedas de 10 centavos e um peso de duas gra­ mas. Passando uma moeda de 50 centavos do segundo prato para o pri­ meiro, restabeleceu-se o equilíbrio colocando-se um peso de 10 gramas no segundo prato. Calcular o peso de cada moeda. » Ç ' R: Moeda de 50 centavos: 5g. Moeda de 10 centavos: 3g7? Hc " 141 - Uma construtora tem que colocar postes telegráficos ao longo de uma estrada. Se os colocar a 25 metros de 'distância uns dos outros, fal­ tam-lhe 150 postes; se os colocar a 30 metros, sobram-lhe 70 postes. Cal­ cule o número de postes e qual o comprimento da estrada. R: 1.170 e 3.300m 142 ~Uma pessoa percorre 44 km, uma parte com velocidade de 4 km/h e o resto a 5 km/h. Se tivesse caminhado 5 km por hora durante o tempo que caminhou 4, e 4 km por hora durante o tempo que caminhou 5, teria percorrido 2 km a mais no mesmo tempo. Calcule por quanto tempo essa pessoa caminhou. R: 10 horas 143 - Em um arrozal voavam muitos pássaros, não eram 100. Mas se a eles se juntassem outros tantos, mais metade, mais a quarta parte de seu núme­ ro e mais um, seriam 100. Calcule o número de pássaros. Solução: Faça: x = número de pássaros. Então, temos; x x x + x + ™+ — + 1 = 1 0 0 . Que resolvendo-se a equaçào, temos: x = 36. 188 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR 144 - Em um viveiro haviam muitos pássaros, nào eram 80. Entretanto, se a eles se juntassem outros tantos, mais a terça parte, mais a quinta parte e mais quatro, seriam 80. Calcule o número de pássaros. R: 30 ^ % v . — > :v 145 - Em uma lagoa havia alguns patos, não eram 65. Mas se a eles se juntasse a sua metade, mais o dobro e mais o triplo deles, seriam 65. Cal­ cule o número de patos na lagoa. R: 10 ; ^ > , > • - - 3. > - ^ •' 146 - A soma das idades de três irmãos é 60 anos. Sabendo-se que a idade do mais velho é o triplo da do maís novo e que a idade do segundo é igual a diferença entre a do mais velho e a do mais novo, pede-se as idades de cada um. Solução: Como não houve referência à idade do mais novo, vamos designála por x. Então, teremos: Idade do mais novo = x. Idade do mais velho = 3x. Idade do segundo = 3x —x = 2x. Armando-se a equação, temos: x + 2x + 3x = 60. Que resolvida, nos dá: x = 10. Então, as idades são: 10, 20 e 30 anos. 147 - Repartiu-se 80 bolas entre três meninos, de tal forma que o primeiro recebeu 10 bolas a mais que o segundo, e este 20 bolas a mais que o tercei­ ro. Calcule quantas bolas o primeiro e o segundo receberam juntos. f R: 70 f - -• * -- r w . r - 7o 148 - Repartiu-se 400 bolas entre três meninos de forma que o primeiro recebeu o triplo do que coube ao segundo, e o terceiro recebeu o quádru­ plo do que coube aos dois primeiros. Calcule quantas bolas o primeiro e o segundo receberam juntos. f - ' ;" R: 60 S.' - :' 149 - Repartiu-se 120 bolas entre três meninos de forma que o primeiro recebeu o dobro do que coube ao segundo e o terceiro recebeu o triplo do que coube aos dois primeiros. Calcule quantas bolas recebeu o segun­ do menino. R: 20 s • .. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 18 9 150- José tem o dobro do que tem Augusto e Carlos tem tento quanto os dois anteriores. Calcule quanto José possui, se os três juntos possuem $ 6.240,00. R: $ 2.080,00 5* £ > ^ ' 11 151 - Um mastro está dividido em três partes: a primeira tem 9 metros; a terceira vale a primeira mais a metade da segunda e a segunda vale tanto quanto as duas outras reunidas. Calcule o comprimento do mastro. R: 72 metros 152 - Em três caixas há 161 limões: na primeira há o quádruplo da segunda mais sete limões; na terceira há tanto quanto nas duas primeiras, menos três limões. Calcular quantos limões há na primeira caixa. Solução: Como não houve referência à segunda caixa, faça: Segunda —x. Primeira = 4x + 7. Terceira = x +• 4x +*7 —3 —5x + 4. Armando-se a equação: x + 4x + 7 + 5x + 4 = 161. Resolvendo, temos: x = 15. Logo, a primeira caixa terá portanto: 4 x 15 + 7 —67 limões. 153 - Quatro rapazes compraram um objeto por %60,00. O primeiro rapaz pagou a metade da soma do. valor pago pelos outros rapazes; o segundo rapaz pagou um terço da soma do valor pago pelos outros rapazes; o terceiro rapaz pagou um quarto da soma do valor pago pelos outros rapa­ zes. Calcule quanto pagou o quarto rapaz. R: $ 13,00 154 - Um pichador escalou um prédio pelo lado de fora e alcançou o topo em 2 horas e meia, tendo sido preso logo em seguida. Se ele tivesse escalado o prédio subindo 2 metros a mais. em cada minuto, ele teria gasto apenas 50 minutos. Calcule a altura do prédio. R: 150m *V • x 155 - Pedro e José têm juntos $ 450,00. Pedro gastou 1/6 do que possui e José ganhou de seu pai 1/4 do que tinha. Sabendo-se que após essas ocorrências, ambos passaram a ter a mesma importância, calcule quanto José ganhou de seu pai. p \ R: $ 45,00 190 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 156 - Repartiu-se 550 boias entre três meninos. Sabendo-se que o segun■do recebeu 30 bolas a mais que o primeiro e 40 a menos que o terceiro, calcule quantas bolas recebeu o terceiro menino. Solução: Seja x o número de bolas que o primeiro recebeu. Como o pro­ blema nos diz que o segundo recebeu 30 bolas mais que o primei­ ro, entào o segundo recebeu x + 30. Se o segundo recebeu x.+ 30 bolas e recebeu 40 boias menos que o terceiro é porque o terceiro recebeu 40 bolas mais que o segundo, então o terceiro recebeu x + 70Então, temos: Primeiro = x. Segundo = x + 30. Terceiro = x + 70 Armando-se a equaçào, resulta: x + x + 30 + x + 70=: 550Resolvendo-se, encontramos: x = 150. Logo, o terceiro recebeu 150 + 70 ~ 220 bolas. 157 - Repartiu-se 770 bolas entre quatro pessoas, de sorte que a segunda recebeu 50 bolas mais do que a primeira e 70 menos do que a terceira; e esta recebeu 80 menos do que a quarta. Calcule quantas bolas recebeu a segunda pessoa. f R: 150 1...-"■>•N^ ó. - ' 158 *- Repartiu-se 1 157.000,00 entre quatro pessoas, de sorte que a segun­ da receba $ 5.000,00 mais do que a primeira e receba $ 7.000,00 menos do que a terceira; e esta receba $ 8.000,00 menos do que a quarta. Calcule quanto recebeu a terceira pessoa. f- R: $ 42.000,00 1 T : N- ' : ’ '■á~ 7 159 - Um pai dividiu $ 450,00 entre seus sete filhos, de modo que cada um dos dois primeiros recebeu cinco vezes o que cada um dos cinco últimos receberam. Calcular quanto recebeu o primeiro filho. ' R: $ 150,00 y - 160 - A, B, C e D receberam $ 219.000,00 e repartiram entre si de maneira que A recebeu $ 27.000,00 menos do que B; este recebeu $ 34.000,00 menos do que C e D recebeu $ 47.000,00 mais do que C. Calcule quanto o B recebeu. R: $ 32.900,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 191 161 - Quantos dias já se passaram do ano, se os dias transcorridos são iguais à.terça parte dos que faltam Veja com atenção: Para esses tipos de problemas, faça sempre assim: chame x os dias, horas ou minutos que já passaram. r j Se jáse passaram x dias do ano, faltam 360 —x. ; Se jáse passaram x dias do mês, faltam 30 - x. p ~X Se jáse passaram x dias da semana, faltam 7 —x. Se jáse passaram x horas do dia, faltam 24 —x. Se jáse passaram x minutos da hora, faltam 60 - x. Solução: Voltando ao problema, temos: seja x o número de dias já transcor360--x ridos, então faltam 360 —x. Logo: x= — - — }que resulta x = 90. 162 - Se à metade dos dias decorridos desde o princípio do ano, juntar­ mos 1/3 do que resta, obtém-se o número de dias decorridos. Calcule quantos dias já se passaram. ' {■- :• - V. R: 144 dias ; „ ; 163 - Se aos dias decorridos desde o princípio do mês, juntarmos a metade dos que restam, teremos o dobro dos dias decorridos. Calcule quantos dias já se passaram. f" i s' ' ?; -R: 10 dias . . V' " 164 - Quantos dias já se passaram da semana, se os dias quefaltam são iguais aos 2/5 dos que já passaram, f ^ f R: x2-días ^í Xy v - ' r ^ 165 - Que horas sao, se ashoras decorridas do diasãoiguais das horas que faltam ;f 4 f ; • R: 6 horas ' t' 166 - Que horas são, seas horas que jápassaram do metade das que faltam passar. { 1 r R: 8 horas ^ . ;; 192 HHJDER GÓES * UBAIJDO TONAR à terça parte dia são iguais à 167 - Que horas são, se 1/4 do tempo que resta do dia é igual ao tempo decorrido. Pí r ■ /'■ R: 4hH8min Y’ ~ 168 ~ Que horas são, quando os 2/5 da parte do dia que já passou igualam aos 2/3 da que está para passar. R: 15 horas '> f f f 7 .. x f 169 - Que horas são, se as horas "que passam do meio dia são iguais à metade das horas que faltam para meia noite. C p + p - \'L ! R: 16 horas. / p • " '7 170 - Que horas são quando 1/3 das horas que faltam para a meia noite é igual às que passam do meio dia. R: 15 horas 171 - As horas que passam do meio dia são 3/5 das horas que faltam para a meia noite. Calcule que horas são. R: 16h 30min 172 - Que horas são, se o número de horas decorridos a partir do meio dia excede 5 unidades o sêxtuplodo número de horas restantes até meia noite. R: 11 horas 173 - Dois carros partiram ao mesmo tempo dos extremos de uma estrada de 300km de extensão; um, com velocidade de 70 km/h e outro com a velocidade de 80 km/h. Calcule quantashoras gastaram para se encontrar. Solução: Divide-se a extensão da estrada, pela soma das velocidades: 300 km 4-150 km/h = 2 horas. Isto é, se encontraram depois de 2 horas. 174 - A distância entre as cidades A e B é de 180 km. Um carro parte da cidade A com uma velocidade de 40 km/h e, no mesmo instante, outro carro parte da cidade B com uma velocidade de 20 km/h. Calcule quantas horas gastaram para se encontrar. £ p u r, i? -í 1 - 1 S R: 3 horas 1 -------— ! r r % MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 193 175 - A distância entre duas cidades é de 480 km. Dois carros partiram dessas cidades, ambos com uma velocidade de óO km/h. Calcule depois de quantas horas haverá o encontra '• ... -• ; - - ■ R: 4 horas •• '< 176 - De uma cidade partiram dois carros em sentidos opostos. Um, com uma velocidade de 80 km/h e o outro com uma velocidade de 70 km/h. Calcule depois de quantas horas a distância que os separa será de 600 km. Solução: * Divide-se a distância pela soma das velodd^.cs, no que resulta: 600 km +150 km/h = 4 horas. Isto é, depois de 4 horas. Veja com atenção: Nos dois casos estudados os móvds se movimentam em SENTI­ DOS OPOSTOS. Em ambos os casos, divide-se a distância que os separa, pela soma das veloddades. 177 - De um local partem dois dclistas em sentidos opostos. Um, com uma veloddade de 30 km/h e o outro com uma veloddade de 40 km/h. Calcule depois de quantas horas a distânda que os separa será de 350 km. R: 5 horas l-z? 1 ’ : ' " ;; ' T' - 178 - Dois carros partiram ao mesmo tempo dos extremos de uma estra­ da de 210 km de extensão; um com a velocidade de 40 km/h e o outro com a velocidade de 30 km/h. Calcule depois de quantas horas haverá o encontro. " , . •• .. r v >c R: 3 horas 179 ~De uma estação parte um trem com uma veloddade de 50 km/ h. Depois de três horas saiu um carro no mesmo sentido, com uma velo­ ddade de 80 km/h. Calcule em quantas horas o carro alcança o trem. Solução: Quando o carro partiu, o trem já havia percorrido: 50 km/h x 3 h = 150 km. Como o carro anda a 80 km/h e o trem a 50 km/h, em cada hora, o carro tira 80 km —50 km = 30 km da distância que o separa do trem. Logo, os 150 km serão tirados em 150 + 30 = 5 horas. 19 4 HHJDER GÓES * UBALDO TONAR 180 - De uma cidade parte um ônibus com uma velocidade de 50 km/ h. Depois de duas horas parte um carro, no mesmo sentido, com uma velocidade de 70 km/h. Calcule em quantas horas o carro alcançará o ônibus. R: 5 horas £>o. ? 1 %(, ~- 1 ~181 - De uma estação parte um trem com uma velocidade de 20 km/h. Depois de 3 horas saiu outro no mesmo sentido, andando 25 km/h. Cal­ cule em quantas horas o segundo trem alcançará o primeiro. R: 12 horas / ■ " -• - * c . . - - ? . . ' .. -.w 182 ~As cidades A e B distam 700 km. Um trem, cuja velocidade é de 50 km/h, sai de A às jr horas; outro sai do mesmo lugar às 7 horas e percorre 60 km/h. Calcule a que distância da cidade A se encontrarão e a que horas. /.í o ' R: 600 km e às 17 horas jí r - - • 1 : 183 - Dois homens saem ao mesmo tempo das cidades A e B e caminham um de encontro ao outro. O que sai da cidade A^ caminha 5 vezes mais ligeiro do que aquele que sai da cidade B. Se a distância entre as cidades é de 180 km, calcule a que distância da cidade A se dará o encontro. R: 150 km 184 - De uma cidade A parte um trem com uma velocidade de 70 km/h e de uma cidade B parte um automóvel com uma velocidade de 110 km/h. Sabendo-se que a distância entre as duas cidades é de 540 km, calcule, depois de quantas horas eles irão se encontrar e a que distância da cidade A. ‘ ^ 7 .■ " R: 3 horas e a 210 km de A ’ - : ~ 185 - Duas cidades A e B distam 200 km. Âs 8 horas parte de A para B um trem com a velocidade de 30 km/h e duas horas depois, parte de B para A um outro trem com a velocidade de 40 km/h. Calcule a que distância de A dat-se-á o encontro dos dois trens. ^ — 1nR: 120 km J ' - :W " ; • . 'éj3c> f~ -!ç.~ 186 ~A distância entre as cidades A e B é de 240 km. Um ciclista parte da cidade A com uma velocidade de 50 km/h e, no mesmo instante, outro MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 195 ciclista parte da cidade B com uma velocidade de 30 km/h. Calcule quantas horas gastaram para se encontrar e a que distância da cidade B. R: 3 horas e a 90 km de B '2 w£> 187 - A distância entre as cidades A e B é de 740 km. Um automóvel parte de A em direção a B, às 6 horas, com uma velocidade média de 70 km/h e outro parte de B em direção a A com uma velocidade média de 80 km/h, às 8 horas. Calcule a que hora se dará o encontro e a que distân­ cia dos pontos de partida. R: 12 horas, a 420 km de A e a 320 km de B 188 - Dois rapazes A e B começam, no mesmo instante, uma corrida entre duas cidades distantes 60 km uma da outra. A corre 4 km/h mais devagar do que B. Sendo B mais rápido, completa o percurso de ida e inicia imediatamente a volta. Depois de percorrer 12 km de volta, cruza com A que ainda está no percurso de ida. Calcule a velocidade de A. R: 8 km/h 189 - A distância entre as cidades A e B é de 300 km. Carlos sai às 8 horas da cidade A para a cidade B em seu carro que desenvolve 70 km/h. No mesmo instante, Pedro sai da cidade B para a cidade A com a velocidade de 80 km/h. Quando se encontram foram juntos para a cidade B. Calcule a que horas chegaram à cidade B, sabendo-se que ambos voltaram com uma velocidade de 40 km/h. R: 14 horas 190 - Um pedestre tem que percorrer certa distância. Depois de percor­ rer 20 km, acelerou a marcha de 1 km por hora. Se üvesse andado sem­ pre com esta última velocidade, teria percorrido a distância em 40 minutos menos; se tivesse conservado a velocidade primitiva, chegaria 20 minutos mais tarde. Que distância percorreu. a) 30 km b) 20 km c) 15 km d) 10 km 191 - Um pai tem 49 anos e seu filho 15 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho. 19 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Solução: Faça x = número de anos. Veja que, daqui a x anos, o pai que tem 49 anos, terá 49 + x; e o filho que tem 15 anos, terá 15 + x. Como o problema nos diz que o pai terá o triplo da idade do filho, resulta a seguinte equação: 49 + x —3(15 + x) Resolvendo, encontramos: x = 2, isto é, daqui a 2 anos. 192 - Um pai tem 32 anos e o filho 4 anos. Depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho. ? Z-1 \ .z- 1 4 v y ' R: 10 anos 193 - Um filho tem 11 anos e sua mãe 35 anos. Daqui a quantos anos a idade da mãe será o triplo da idade do filho. R: 4-2 a-nos i i ? •' ; : " ■" v 194 ~ Há 6 anos eu tinha a metade da idade que terei daqui a 12 anos. Calcule a minha idade. - >. rr Kjr_±Z R: 24 anos 195 - Uma pessoa tem 31 anos e outra 13. Há quantos anos a idade da mais velha foi igual ao quádruplo da idade da mais nova. Solução: Faça x = número de anos. Veja que, há x anos a mais velha que tem 31 anos, tinha 31 - x e a mais nova, que tem 13 anos, tinha 13 —x. O problema nos dÍ2 que a idade da mais velha há x anos era o quádruplo da idade da mais nova. Então, temos a seguinte equação: 31 —x = 4(13 - x) Resolvendo-a, temos: x = 7. Portanto, foi há 7 anos. 196 ~ Uma pessoa tem 35 anos e outra 15 anòs. Há quantos anos a idade da primeira foi igual ao quíntuplo da idade da segunda. R: 10 anos - >• " /r ~ 197 - Tenho 42 anos e meu filho 15 anos. Há quantos anos a idade do meu filho foi igual a quarta parte da minha idade. R: 6 anos ; ; ' ... v ^ ' ’ '; - '■ MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 19 7 198 - Um pai tem 55 anos e seus filhos, 9,11 e 13 anos. No fim de quanto tempo a idade do pai será igual à soma das idades dos filhos. Solução: Seja x o número de anos. Veja que, daqui a x anos, o pai terá 55 + x e os filhos terão, cada um: 9 + x, 11 + x e 13 + x, respectiva­ mente. Como a idade do pai será igual a soma das idades dos filhos, temos: 55 + x = 9 + x + l l 4- x + 13 + x. Resolvendo a equação, resulta: x = 11. Isto é, daqui há l l anos. 199 - Um pai tem .48 anos e seus; três filhos; 30, 20 e 6 anos, respectiva­ mente. Há quantos anos a idade do pai foi igual à soma das idades dos filhos. 2~>- x 4-< ■>- x_ 11$ " v R:14 anos 200 - Três irmãos têm, respectivamente, 15, 24 e 22 anos e o pai 53. Há quantos anos a idade do pai era igual à soma das idades dos três filhos. R ^ a io s iS-x i v i , ... , - ç - > 201 - Uma pessoa tem 53 anos e seus quatro filhos têm: 33,32,31 e 29. Há quantos anos a idade dessa pessoa foi igual à soma das idades dos filhos. 24 anos ? - *4 ■. ■: .. y. '/a: - x, ~ 9 1 -K R : 202 - Dois irmãos têm juntos 21 anos; se a íd,ade do mais moço fosse triplicada, ela excederia de 3 anos a idade do mais velho. Calcular a idade dos dois irmãos. Solução: Faça x = idade do mais velho e y = idade do mais moço Podemos,7 então, escrever o si 5 —- v f y =21 , -L Resolvendo-o, teremos: x = 15 e y —6. 203 - Um pai e seu filho têm juntos 96 anos. Tirando-se 22 anos da idade do pai e acrescentando-os à idade do filho, elas tornam-se iguais. Calcule a idade do pai. p .r R: 70 anos 19 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 204 - As idades de duas pessoas somam 120 anos. Subtraindo-se 10 anos da idade da mais velha e acrescentando-os à da mais nova, as idades tor­ nam-se iguais. Calcule a idade da mais nova. R: 50 anos Cx.f v n o 205 - A diferença entre as idades de um pai e de um filho é de 24 anos. Daqui a 5 anos a idade do pai será o triplo da do filho. Calcule a idade do pai. Solução: Faça: x = idade do pai. e y - idade do filho. Armando-se o sistema, temos: fx —y = 24 + 5 = 3(y + 5) Resolvendo-se, temos;,x = 31. 206 - A soma das idades de um pai e a do filho é hoje 78 anos. Há 9 anos, a idade do pai era 3vezes a idade do filho.Calcule a idade do pai. R: 54 anos 'p -t- f ^ £ ■ 207 - Um pai disse ao filho: há 7 anos a minha idade era igual a 7 vezes a sua; dentro de 3 anos será o triplo. Calcule a idade do filho. R: 12 anos f - 1 - Ií r-^) ? \ l = ■> C. ? + ? ) 208 - Há 7 anos a idade de Samuel era três vezes a idade de Elias e de hoje à 7 anos, será o dobro. Calcule a idade de Elias. R: 21 anos 5 " ^r ^te ^ 1 5 H7 ~ Z( r 209 - Um pai tem atualmente o dobro da idade do filho. Há 10 anos a idade do pai era o triplo da idade do filho. Calcule a idade d.o pai. R: 40 anos í f - ? P 1 3( f ■ 210 - José, há 18 anos, tinha o dobro da idade de Paulo. Daqui a 9 anos José terá 5/4 da idade de Paulo. Calcule a idade de José. R: 36 anos ~ w *■£ ) 211 - Um pai tem o quíntuplo da idad e do filho. Daqui a 5 anos ele terá o triplo da idade do filho. Calcule a idade do filho. R: 5 anos x $ rs f t ; ? Cf MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 199 212 - Qual a idade de uma pessoa que, há dez anos tinha 3/5 da idade que terá daqui a dez anos? [/>-- '<{ K \o ) R; 40 anos 213 - Calcular a idade de uma pessoa, sabendo que, dentro de 20 anos essa ídade será igual ao dobro da idade que essa pessoa tinha há 20 anos. R: 60 anos K+ Z&) 214 - Um pai tem 30 anos a mais que o filho; mas se triplicássemos a idade do filho, esta excederia de 50 anos a idade do pai. Calcule a idade do pai. f ~^ v \ 6 R: 70 anos ^ r" i 215 - As idades de duas pessoas estão entre si como 2 está para 3. Há 10 anos esta relação era igual a 1/4.Achar as idades de cada uma. R: 12 e 18 anos I.-7. _ 216 - Numa família há 5 pessoas sucedendo-se com 5 anos de intervalo. Calcular a soma das suas idades, sabendo-se que o primogênito tem o dobro da idade do mais novo. * y„ - s 4 ^ ‘ i > t - " ^ -7 R: 150 anos * - U*■■ 217 - Um pai tem 30 anos mais do que o filho. Se este tivesse nascido dois anos mais tarde, sua idade seria, atualmente, a terça parte da Ídade do pai. Calcule a idade atual do filho. r ; r 4- \ c R: 18 anos _ •; 218 - Meu irmão nasceu 2 anos antes de mim e minha irmã é mais nova 4 anos do que eu. Quando a soma das idades desses meus dois irmãos for 30 anos, que idade teria minha írmã. I : A > l ■ - > R: 12 anos 219 - O produto das idades de dois irmãos é tal que o seu 1/20 iguala a 3/5 da idade do irmão mais velho, e os seus 4/5 valem o quadrado da idade do irmão mais novo. Calcule quantos anos tem o irmão mais velho. R: 15 anos 200 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 220 - Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, íi diferença entre nossas idades será de 5 anos. Calcule nossas idades. Solução: Façamos um quadro onde estarão representados o passado, o pre­ sente e o futuro, bem como, Eu e Tu. O problema diz: a) Eu tenho (presente) o dobro da idade que Tu tinhas (passado). Então, se Tu tinhas x anos Eu tenho 2x. ■ . . , Presente Passado Eu Tu Futuro 2x X b) Quando Eu tinha (passado) a idade que Tu tens (presente). En- s . tão, se Tu tens y anos eu tinha y anos. Passado Eu Tu y X .. Presente 2x Futuro y c) Quando Tu tiveres (futuro) a minha idade (presente), que já sa­ bemos ser 2x, então Tu terás 2x. Mas, como não sei a minha idade no futuro, chamo-a de uma letra qualquer “A”. Preenchendo o restante do quadro, temos: Eu Tu Passado Y ' X Presente 2x . y Futuro A 2x Observe com atenção que: Se uma pessoa tiver hoje 40 anos e uma outra, 35 anos; é claro que essa diferença, hoje, é de 5 anos. Relacionando o presente com o passado, por exemplo, há 10 anos, quanto era essa diferença? E claro que era de 5 anos. Há 17 anos, de quanto era essa diferença? Era também de 5 anos. A diferença será sempre constante. Então, podemos escrever: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 201 2x - y = y - x 2x + x —j + y 3x = 2y 2 * - - y . Relacionando, agora, o futuro com o presente. Como a diferença das idades hoje, é de 5 anos, no exemplo dado, daqui a 10 anos ou a 20 anos ou a 40 anos, será, sempre, de 5 anos. Então, podemos escrever: A —2x = 2x —y Mas, A - 2x = 5, substituindo na equação anterior, teremos: 5 = 2x - y 2 _ Mas, veja que x é igual a ~~J que, substituído na equação anterior 3 2 resulta: 5 = 2 x ~ y —y Que resolvida, nos dá: y = 15, que é tua idade no presente. 2 Se y = 15, então: x = ~ x 15 x = 10. J 3 Então, no presente, a minha idade é 20 anos. 221 - Eu tenho quatro vezes a idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, terei 9 anos a mais que tu. Calcule as nossas idades. %-Ai » - S - - ■ ; • gi R: Eu = 24 e Tu = 15 ~ : • ....■^ \ ' 222 - Eu tenho o triplo da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, a diferença de nossas idades será de 20 anos. Calcule as nossas idades. _ R: Eu = 60 e Tu ~ 40 { ' 223 - Eu tenho o triplo da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, a diferença de nossas idades será de 10 anos. Determine nossas idades. '\j R: Eu = 30 e Tu —20 202 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 224 - Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, teremos juntos 54 anos. Calcule nossas idades. f íí - H> R: Eu —24 e Tu = 18 r > 225 - Uma raposa está adiantada 60 pulos sobre um cão que a perse­ gue. Enquanto o cão dá 4 pulos a raposa dá 5; mas 3 pulos do cão valem 6 da raposa. Calcule quantos pulos tem que dar o cão para alcan­ çar a raposa. Sohjção: Se 3 pulos do cão valem 6 pulos da raposa, então os 4 pulos do cão vão corresponder a 8 pulos da raposa. Senão, vejamos: 3 pulos do cão 6 pulos da raposa 4 pulos do cão xo x= 4 x 6 __0 - —8 Veja que quando o cão dá 4 pulos a raposa dá 5, mas os 4 pulos do cão correspondem a 8 pulos da raposa. Então, quando o cão dá 4 pulos tira 3 pulos da dianteira, isto é: 8 - 5 = 3. Então, se para tirar 3 pulos da dianteira foi necessário dar 4 pulos, para tirar os 60, teremos: Se para tirar 3 foram preciso dar 4, para tirar 60 será preciso dar x. 60x4 x = --------= 80 pulos. 3 ' 6- 226 - Um cão está perseguindo uma lebre, que tem 50 pulos de diantei­ ra. Enquanto o cão dá 4 pulos, a lebre dá 5; porém, 6 pulos do cão valem 9 pulos da lebre. Calcule quantos pulos deverá dar o cão para alcançar a lebre. £ : ' R: 200 pulos. u v r _ , 227 - Uma raposa tem 60 pulos de dianteira sobre um cão que a perse­ gue. A raposa dá 9 saltos enquanto o cão dá 6; mas 3 saltos do cão valem tanto como 7 saltos da raposa. Calcule quantos saltos dará o cão para alcançar a raposa. ^ -j j ■,- í r c. R: 72 saltos. L * " > MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 203 228 - Uma raposa perseguida por um cão, tem 63 pulos de dianteira. En­ quanto o cão dá 3 pulos a raposa dá 4; porém, 6 pulos do cão valem 10 pulos da raposa. Calcule quantos pulos deverá dar o cão para alcançar a raposa. : R: 189 pulos _ ' ■ ■■ ^ '• < ' c. --229 - Um cão persegue uma lebre que tem 63 pulos de dianteira. Enquan­ to o cão dá 11 pulos, a lebre dá 14; porém, 5 pulos do cão valem 8 pulos da lebre. Calcule quantos pulos o cão deverá dar para alcançar a lebre- _ R: 192,5 pulos z /■ • U l^ L ílL Z —230 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 16 horas. Vej a: Para resolução desse tipo de questão observe o seguinte: a) a circunferência se divide em 360°. b) entre uma determinada hora e a outra consecutiva, isto é, entre 2h e 3h ou entre 6h e 7h, existe 30°. Solução: Graficamente, temos: í \ É fácil de se concluir, que o ângulo x será de 4 x 30° = 120" 231 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 15 horas. Oi / R: 90" 232 - Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um reló­ gio, quando ele marca 18 horas. x - sç R: 180° 233 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 20 horas. R: 120° f.: 2 04 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 234 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 12h 20 minutos. Solução: Para a resolução desse üpo de questão, devemos fazer duas figuras. Primeira: 12 h (hora exata) Segunda: 12h 20 min (hora dada) Veja que, nas 12 h, os ponteiros estão superpostos (primeira figu­ ra); mas quando o relógio estiver marcando 12h e 20 min (segunda figura), o ponteiro grande estará no 4, isto é, percorreu 120", enquanto o ponteiro pequeno percorreu um ângulo a (alfa) desconhecido até agora, isto é, não estará mais em correspondência com o 12. Olhe: Quando o ponteiro grande percorre 360°, o ponteiro pequeno percorre 30°. j, ^ ■„. Então, temos a seguinte regra de três: " 360° 30° 120° a z ^ a = 10° Veja que, entre 12h e 4h, existe 120°. Então: 120l! menos o ângulo a , que é de 10°; o ângulo x será de 110°. 235 - Calcuie o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca lhora e 30 minutos. v : . '• R: 135° -r• / ’ , : ; 236 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 2h e 20min. fc. -.tc- ; ■ Rr-83,511 C, q ° 0 *■ 237 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando ele marca 20h 20min. R: 130° z MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 205 238 - A que horas exatas, entre 4 e 5 horas, os ponteiros de um relógio estarão superpostos? Leia com atenção o seguinte raciocínio: Quando o relógio marca 12 horas, é claro que os ponteiros estão superpostos. Quando o relógio for marcar 1 (uma) hora, o ponteiro grande per­ correrá 360“, enquanto o ponteiro pequeno, apenas 30°. Você deve observar também que, entre 12h e lh , o ponteiro grande não fica superposto ao ponteiro pequeno; pelo fato de ambos partirem no mesmo instante e a velocidade ;dò ponteiro grande ser maior do que a do ponteiro pequeno pois, enquanto o grande percorre doze espaços o pe­ queno só percorre um. Somente entre lh e 2h e as demais, até lOh e l l h é que haverá a superposição. Vejamos a situação quando for uma hora. r Í9 / v 3j V8 v V 4 3 / Paxa dax 2 horas, 0 ponteiro grande vai sair do 12 e, é claro, chegar novamente no 12 percorrendo portan­ to, 360° ou 12 espaços; enquanto que 0 ponteiro pe­ queno, vai sair do 1 e chegar no 2 percorrendo 1 espaço. Será somente nesse intervalo, entre lh e 2h que haverá a primeira superposição dos ponteiros, isto é, haverá um instante em que 0 ponteiro grande estará em cima do ponteiro pequeno. Veja a situação nessa nova figura. fm +9 V8 K 3j J Observe que 0 ponteiro grande percorreu lh mais 5 minutos (entre 12 e 1) e mais x segundos entre (1 e 2); enquanto que 0 ponteiro pequeno percorreu 5 minutos entre (12 e 1) mais x segundos entre (1 e 2). Então, podemos escrever: Grande Pequeno 60 + 5 + x 5+x 20Ó HILDER GÓES v UBAUDO TONAR Como a velocidade do ponteiro grande é 12 vezes a do pequeno; para que haja a igualdade, multiplica-se pbr 12 a expressão relativa ao ponteiro pequeno, no que resulta: 60 + 5 + x =■ 12(5 + x) Resolvendo, temos: 65 + x = 60 + 12x 65 - 60 = 12x - x 5 = llx llx = 5 x —5/11 seg. Então, para o primeiro encontro,' temos o seguinte resultado: lh 5min 5/11 seg. Esta expressão, resolve qualquer tipo de problema dessa natureza, isto é, de superposição de ponteiros. Se o problema pedir a que horas os ponteiros de um relógio estarão superpostos entre 3h e 4h ou entre 6h e 7h, para resolvê-lo, basta multipli­ car a expressão lh 5min e 5/11 seg pela menor hora, no que resultaria: 3(lh 5min 5/11 seg) ou 6(lh 5min 5/11 seg). No nosso problema, que pede entre 4 e 5 horas a sua resolução será: 4(lh 5min 5/11 seg) = 4h 20min 20/11 seg. Mas veja que 20/11 seg = 11/11 + 9/11 que é igual a Imin e 9/11 seg. Somando lmin com os 20min, teremos: 4h 21min 9/11 seg. 239 - A que horas exatas entre 2 e 3 horas, os ponteiros de um relógio estarão superpostos. ^ ; -s ■- : R: 2h lOmin 10/11 seg. 240 - A que horas exatas entre 6 e 7 horas os ponteiros de um relógio estarão superpostos. • ^ . . - .• % R: 6h 32min 8/11 seg 241 - Que horas são quando os dois ponteiros de um relógio estão superpostos entre 7 e 8 horas. • R: 7h 38min 2/11 seg. 242 - A que horas exatas entre 19 e 20 horas os ponteiros de um relógio estarão superpostos. R: 19h 38min 2/11 seg. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 207 243 “ Um grupo de garotos,, colegas do mesmo bairro, resolveu se reunir para comprar uma bola no valor de $ 120,00, com a participação igual de todos. Após o acordo, dois garotos não puderam contribuir forçando um aumento de $ 2,00 na cota de cada um dos demais. Quantos garotos compunham o grupo inicial. ( U ^ O - ? 7 -3 R: 12 ' . „- , o : }‘ 244 - Quatro irmãos possuem juntos $ 450,00. Se a quantia do primeiro fosse aumentada de $ 20,00 e a do segundo retirado $ 20,00, enquanto que a. quantia do terceiro fosse duplicada e a do quarto, reduzida à meta­ de; todos ficariam com igual im portância, e m dinheiro. Determine quanto possui cada um dos irmãos. R: l ü) % 80,00 2a) $ 120,00 3“) $ 50,00 4Ü) %200,00 245 - Um grupo de jovens é formado por rapazes e mocas. Dois meses após a formação do grupo, 15 moças abandonaram o grupo e ai, se observou que cada rapaz podia abraçar exatamente duas moças. Decor­ ridos mais seis meses 45 rapazes deixaram o grupo e ai, cada rapaz pode­ ria ser abraçado exatamente por 5 moças. Calcule o número de rapazes e moças quando o grupo foi formado. ^ R: Rapazes = 75 e Moças = 165 M :" 246 ~ Pai e filho têm 100 fichas cada um, começaram um jogo. O pai passava 6 fichas ao filho, a cada partida que perdia e recebia dele 4 fichas quando ganhava. Depois de 20 partidas o número de fichas do filho era três vezes a do pai. Calcule quantas partidas o filho ganhou. R: 13 247 - Qual é o número que dividido por 2 dê o resto 1, dividido por 3 dê o resto 1 e dividido por 4 dê o resto 3; se a soma desses quocientes inteiros vale o próprio número. R: 19 248 - Quatro rapazes compraram um objeto por $ 60,00. O primeiro rapaz pagou a metade da soma do valor pago pelos outros rapazes; o segundo rapaz pagou um terço da soma do valor pago pelos outros rapazes; o terceiro rapaz pagou um quarto da soma do valor pago pelos outros rapazes. Calcule quanto pagou o quarto rapaz. R: % 13,00 208 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 249 - Um grupo de abelhas, cujo número era igual à raiz quadrada da metade de todo enxame, pousou sobre um jasmim havendo deixado para trás 8/9 do enxame. Somente uma abelha do mesmo enxame volteava em torno de um lótus atraída pelo zumbido de uma de suas amigas que, imprudentemente, havia caído no cálice da linda flor de doce fragância. Determine o número de abelhas do enxame. R: 72 'A ? ■v 250 - Um fazendeiro tem milho para alimentar 15 galinhas durante 20 dias. No fim de 2 dias, compra 3 galinhas; 4 dias depois dessa compra, uma raposa mata várias galinhas. O fazendeiro pode alimentar as que res­ tam durante 18 dias. Calcule quantas galinhas a raposa matou. Solução: Supondo-se uma ração para cada dia, teremos: ’ r' v 15 (galinhas) x 20 (dias) = 300 (total de ração). V No fim de 2 dias foram consumidos: 1■' r '> 2 (dias) x 15 (galinhas) = 30 rações Restam, portanto: 300 —30 = 270 rações. Comprou mais 3 galinhas, ficando com 15 + 3 = 18 galinhas. Nos 4 dias, as galinhas consumiram 18 x 4 = 72 rações. Restando: 270 - 72 = 198 rações. 198 (rações) ^ 18 (dias) = 11 galinhas. 18 (galinhas) —11 (galinhas) —7 galinhas. Logo, a raposa matou 7 galinhas. 251 - Em um acampamento de 500 soldados, há víveres para 80 dias. Após 28 dias de acampamento chegam mais 150 soldados. Calcule durante quantos dias poderão permanecer os soldados acampados mantendo a mesma ração para todos eles. - •> V7 R: 40 dias . * 252 - Um navio tem víveres para uma tripulação de 250 soldados durante uma viagem de 90 dias. Após 15 dias de viagem, desembarcaram em um porto 30 soldados e 20 dias depois o navio recolhe a tripulação de um barco naufragado, consdtuída de 67 homens. Calcule durante quantos dias poderá ainda navegar, mantendo a mesma quantidade de ração para os tripulantes e para os náufragos. R: 50 dias MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 209 1 QUESTÕES DE CONCURSOS 01) CJF - Numíi eleição em que dois candidatos disputaram o mesmo cargo, votaram 2.150 eleitores. O candidato vencedor obteve 148 votos a mais que o candidato derrotado. Sabendo-se que houve 242 votos nulos, quantos votos obteve cada candidato. ? J a) 1.149 e 1.001 b) 1.100 e 952 c) 1.223 e 1.075 d) 1.028 e 880 e) 1.001 e 907 x 02) AFRE - Uma fábrica dispõe de duas máquinas que produzem diaria­ mente um total de 1.600 peças, sendo que a primeira máquina produz 200 peças a mais que a segunda. Examinando-se a produção de certo dia, veri­ ficou-se que havia 80 peças defeituosas no total, tendo a primeira máqui­ na, 10 peças defeituosas a mais que a segunda. Neste dia, o total de peças boas, produzidas pela primeira máquina foi de: í ' a) 900 peças b) 885 peças c) 855 peças d) 825 peças e) 700 peças 03) AFRE - Num jogo disputado entre Alfredo e Mário, combinou-se que Mário receberia $ 100,00 por partida ganha e pagaria $ 40,00 cada vez que perdesse uma partida. Após 30 partidas Mario recebeu $ 2.160,00. Pode-se afirmar que Mário errou: a) 8 partidas b) 5 partidas c) 6 partidas d) 2 partidas e) 4 partidas 04) AFRE - Os ingressos para um teatro custam $ 400,00 mas os estu­ dantes pagam $ 250,00. Num dia foram vendidos 120 ingressos e foi arre­ cadado um total de $ 43.200,00. O número de ingressos vendidos para estudantes, foi de : a) 108 b) 72 c) 64 d) 54 e) 32 210 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAR 05) AARE - Um negociante, num dia, recebeu 108 ovos, que os colocou em duas cestas. A um freguês vendeu 1/3 dos ovos da primeira cesta e a outro freguês vendeu 1/6 dos ovos da segunda cesta. As duas cestas têm agora o mesmo número de ovos. Quantos ovos havia em cada cesta. - A * a) 65 e 43 b) 60 e 48 c) 50 e 58 d) 70 e 38 e) 55 e 53 06) TCC - Se uma nave espacial partiu da terra às 8h 13 min 15s do dia 24 de março e retomou às 14h 05min 23s do dia 28 do mesmo mês, pergun­ ta-se: o tempo de duração da viagem foi de: a) 4d 5h 52min 8s b) 4d 13h 22min 38$ ; c) 3d 22h 13min 38s d) 3d 14h 05min 23s e) 4d 5h42m inl8s 07) TRE - Qual o número que, somado a um quarto deie próprio, mais dois quartos dele próprio, mais três quartos dele próprio, dá 100. í v ■ a) 40 b) 30 c) 25 d) 732 e) 122 08) BB - O carro A, movido a gasolina, consumiu 20 litros em 300 Km e o carro B, movido a álcool, consumiu 24 litros em 288 Km. O litro do álcool custa $ 360,00 e o da gasolina, $ 600,00. Supondo serem constantes os níveis de consumo de combustíveis, após 30.000 Km de percurso: a) o carro B gastou $ 300.000,00 a menos que A b) o carro A gastou $ 180.000,00 a menos que B c) o carro A e o carro B gastaram a mesma quantia d) o carro A gastou $ 250.000,00 a mais que B e) o carro B gastou $ 200.000,00 a mais que A 09) BB - Um atirador ganha $ 10,00 por tiro acertado e perde §15,00 por üro errado. Se num total de 100 tiros, lucrou $ 250,00 quantos tiros errou, a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20 - ? ! ': »c.-; - ■ ' ■? 10) BB - A soma dos dois algarismos de um número é 12. Se trocarmos a ordem' desses algarismos, o número aumenta em 18 unidades. Determine á terça parte desse número: . ^ 1 - ~ ': a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 ■ 11) BB - O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando este indica lOh 10 min, é: . /T-'- * a) 85° b) 95° c) 105° d) 115° e) 125° NIaÕÊm ÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 211 12) BEC - As idades de um pai e de um Slho hoje são de 60 e 21 anos. Há quantos anos a idade do pai era o quádruplo da idade do filho. 13) BEC - Comprei 12 dúzias de canetas e 15 dúzias de chaveiros por $ 2.760,00. Uma dúzia de chaveiros é mais cara do que uma dúzia de canetas $ 40,00. Qual o preço de um chaveiro. 14) BEC - Qual é o número que somado a sua metade mais sua quinta parte é igual ao próprio número menos 12. ^x _ ^ * 5-" 15) BEC - A terça parte de um número somado com outro dá 7. A meta­ de do primeiro menos 1/3 do segundo é igual a 3 1/6. Quais os números. A 4 v * 7- . > & 16) BEC - Em um local existem homens e mulheres. A quantidade de mulheres era 3/5 dos homens, se 5/12 dos homens e duas mulheres saís­ sem ficariam quantidades iguais. Quantos homens e mulheres existiam. 17) BEC - Em uma classe 4/3 das mulheres é igual a quantidade de ho­ mens. Se tirasse 8 homens e duas mulheres ficariam quantidades iguais. Quantos homens e mulheres existiam. 18) CEF - Os preços dos ingressos de certo baile eram $ 500,00 para mulheres e $ 800,00 para homens. Se 154 pessoas pagaram ingressos, arre­ cadando-se o total de $ 101.000,00. O número de ingressos vendidos para mulheres foi de: a) 70 b) 72 c) 74 d) 76 e) 78 19) CEF - Após meia hora de trabalho, dois caixas de um banco verifica­ ram que o total de cheque que ambos tinham recebido, era 28. Se o produ­ to do número de cheques que cada um recebeu era 192, então o número de cheques recebidos, nessa meia hora, por um dos caixas foi: a) 20 b) 19 c) 18 d) 17 e) 16 20) MPU - Numa divisão o divisor é 14, o quociente é 26 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo. a) 496 b) 378 c) 377 d) 376 e) 372 212 HRDER GÓES * UBAUDO TONAR 21) MPU - Pedro, João e Antônio têm juntos 1.500 figurinhas. Pedro tem 254 figurinhas. João tem o triplo das figurinhas de Pedro. Quantas figurinhas tem Antônio: a) 1210 b) 1014 c) 762 d) 686 e) 484 22) MPU - Os professores e alunos de uma escola somara 3.841 pessoas. O número de professores é 64. O total de meninos é o dobro do total de meninas. Quantos são os meninos. a) 2518 b) 2045 c) 1859 d) 1259 e) 1184 23) M PU - Uma pessoa comprou dois caminhões carregados de cocos da Bahia a $ 14.000,00 a unidade; a carga de um dos caminhões custou $ 630.000,00 a mais que a do outro. Retirando-se do primeiro 5/13 do conteúdo e do segundo 1/5, o resto, nos dois, torna-se igual. A quantida­ de de cocos em cada caminhão é de: a) 1.500 e 1.545 b) 350 e 395 c) 250e 295 d) 150 e 195 e) 2.500 e 2.545 24) MPU - Que horas são agora, se 1/4 do tempo que resta do dia é igual ao tempo já decorrido. a) 8 horas b) 4 horas c) 4h 48 min d) 6h 48min e) 5h 48min 25) TRT -U m comerciante pretendia vender as laranjas de seu estoque a $ 3.000,00 a dúzia. Entretanto, -estragaram-se 3 dúzias e, para não ter prejuízo, resolveu vender o restante a $ 3.200,00 a dúzia. Quantas dúzias de laranjas ele tinha inicialmente. a) 42 b) 48 c) 50 d) 56 e) 58 26) TRT - As idades de doís irmãos somam,hoje 22 anos. Se, há 4 anos, o produto de suas idades era 48, atualmente o mais velho tem: a) 8 anos b) 9 anos c) 10 anos d) 11 anos e) 12 anos 27) TRT - A velocidade de um veículo é 72 Km/h. Essa velocidade é equivalente a: a) 0,02 Km/seg b) 0,2 Km/seg c) 1,2 Km/seg d) 2 Km/seg e) l^K m /Seg MATEMÁTICA PAEA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 213 28) TRT - Um setor de uma repartição recebeu um lote de processos. Desse lote, cada funcionário arquivou 15 processos, restando 5 processos. Se cada funcionário tivesse arquivado &processos, restariam 33. O núme­ ro de funcionários desse setor é: a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 29) TRT -N o alrnoxarifado de uma empresa há um estoque de lápis e borracha, num total de 750 unidades. Se o número de lápis é o triplo do número de borrachas menos 450, o número de lápis é: a) 300 b) 400 * c) 450 d) 500 e) 550 30) TRE - Dividindo-se u m número natural X por 5, obtém quociente 33 e o resto é o maior possível. Esse número X é: a) menor que 1centena b) maior que 2 centenas c) igual a 3 centenas d) quadrado perfeito e) cubo perfeito 31) TRE - Um comerciante comprou 20 dúzias de camisetas peio preço de $ 62.400,00. Vendeu-as em oferta ao preço de 3 por $ 1.100,00. O íucro obtido nessa venda foi de: c) $10.200,00 a) $ 1.280,00 b) %3.600,OO5 d) $16.800,00 e) $25.600,00 32) TRE - João e Cláudio receberam um total de 180 documentos para pro­ tocolar Se João desse a Cláudio a metade do total de documentos que rece­ beu, Cláudio ficaria com 130 documentos. Nestas condições, é verdade que: a) Cláudio recebeu a metade do número de documentos que Joao recebeu b) João recebeu 120 documentos c) Cláudio recebeu 80 documentos d) João recebeu 10 documentos a mais que Cláudio e) João recebeu 40 documentos a mais que Cláudio 33) TRE - Numa seção de uma repartição pública trabalham 20 atendentes judiciários a menos que o número de auxiliares judiciários. Se o número de auxiliares correspondem a 3/4 do número total de funcionários dessa se­ ção, o número de atendentes é: a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 22 214 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR 34) TRE - De 50 pessoas que trabalham mima empresa, os 0,4 desse número recebem salário mensal de $ 15.000,00 cada e as restantes rece­ bem $ 22.000,00 cada. A folha de pagamento desses'funcionários perfaz um total de: a) %660.000,00 b) $ 820.000,00 c) $ 890.000,00 d) $ 930.000,00 e) ? 960.000,00 35) TRE - Dispõe-se de um pacote de balas que devem ser distribuídas entre algumas crianças, de modo que cada uma recebaigual númerode balas. Sabendo-se que, se cada criança receber 20 balas, restarão 12 balas no pacote. Entretanto, se cada uma receber 15 balas, restarão 42- Quantas existem nesse pacote. a) 102 b) 132 c) 148 d) 164 e) 180 36) TRE - Numa reunião, o número de mulheres excede o número de homens em 20 unidades. Se o produto do número de mulheres pelo nú­ mero de homens é 156, o total de pessoas presentes nessa reunião é: a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 36 37) TJC - "Domjuanito" é comerciante e comprou 36 bonecas por $ 9.360,00. Deu 6 bonecas para seis crianças pobres. As restantes, vendeu-as pelo preço total de compra. Então, "Dom Juanito” vendeu cada boneca por %. a) 260,00 b) 312,00 c) 1.560,00 d) 520,00 e) 624,00 38) TTN - A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade que ele terá daqui a 20 anos e a terça parte dá que teve 5 anos atrás. Podemos então afirmar que atualmente. a) Carlos é uma criança de menos de 12 anos b) Carlos é um jõvem de mais de 12 anos e menos de 21 anos c) Carlos tem mais de 21 anos e menos de 30 anos d) Carlos já passou dos 30 anos e não chegou aos 40-anos e) Carlos tem mais de 60 anos 39) TTN - Que horas são, se 4/11 do que resta do dia é igual ao tempo decorrido. a) 7h e 40 min b) 7h c) 4hd) 5h e) 6h e 24 min MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 215 40) TTN -U m negociante comprou alguns bombons por % 720,00 e vendeu-os a $ 65,00 cada um, ganhando, na venda de todos os bombons, o preço de custo de um deles. O preço de custo de cada bombom foi de: a) $ 12,00 b) $ 75,00 c) 9 60,00 d) $ 40,00 e) $ 15,00 41) TTN - Para passar totalmente uma ponte de lOOm de comprimento, um trem de 200m, a 60 Km/h, leva: a) 6s b) 8s c) lOs d) 12s e) 18s 42) TTN ~Duas estações, A e B, de uma linha férrea, distam 180 Km. Um trem parte da estação A para B com a velocidade de 10 m/s; no mesmo instante, parte de B para A, um segundo trem, com velocidade de 5 m/s. A que distância de A se encontrarão. a) 100 Km b) 110 Km c) 115 Km d) 120 Km e) 125 Km 43) TTN - Há 8 anos a idade de A era o triplo da de B e daqui a 4 anos a idade de B será os 5/9 da de A. Achar a razão entre as idades de A e B. a) 1/2 b) 2/1 c) 3/2 d) 2/3 e) 3/1 44) TTN - Certa quanddade de sacos precisa ser transportada e para isto dispôem-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, so­ bram treze sacos; se colocarmos três sacos em cada jumento sobram três jumentos desocupados. Quantos sacos precisam ser carregados. a) 44 b) 45 c) 57 d) 22 e) 30 45) TTN - Comprou-se vinho a $ 4,85 o litro e chope a $ 2,50 o litro. O número de litros de chope ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de $ 19,75 a mais do que a paga pelo chope. A quantidade de litros de vinho comprada foi de: a) 60 b) 40 c) 65 d) 35 e) 25* 46) TTN - Uma pessoa, ao fazer um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de $ 270,00. Sabendo-se que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2, o algarismo, no cheque, que está na casa das dezenas é o: a) 6 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4 21 6 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 47) TRE - Um fabricante de palitos de fósforos acondicionou uma certa quantidade de palitos em 5 dúzias de caixas, cada uma contendo 80 pali­ tos. Se, como medida de economia, resolvesse colocar 96 palitos em cada caixa, a quantidade de caixas que economizaria é: a) meia dezena b) meia dúzia c) uma dezena d) uma dúzia e) uma dezena e meia 48) TRE ~Uma seção de uma Repartição recebeu um lote de processos para arquivar. Foram dados 12 processos a cada funcionário da seção, res­ tando 8 processos do lote; se fossem dados 8 processos a cada funcioná­ rio, restariam 24. O total de processos do lote era: a) 46 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56 49) TRE - A soma de 100 números inteiros de um conjunto é igual a S. Se cada número do conjunto é aumentado de 3 unidades e o resultado multi­ plicado por 3, então a soma dos números do novo conjunto é igual a: a) 3S b) 3S + 300 c) 3S + 900 d) S + 100 e) S + 300 50) PRF - Para numerar as páginas de um livrode 468 páginas quantos algarismos são escritos. a) 468 b) 936 c) 1.296 d) 1.324 e) 1.428 51) PRF - A casa de João, fica a 10 Km da rodoviária. João chegou à rodoviária às 17 horas, e sua mulher saiu às 17 horas para buscá-lo. João impaciente, pôs-se a andar. Encontrou sua mulher no caminho e foram juntos para casa. Á que horas chegaram, se João anda a 5 Km/h e sua mulher dirige a 45 Km/h. a) 17h b) 17h 12min c) 17h 24min d) 17h 36min e) 17h 48min 52) PETROBRAS - As estações A e B d e uma ferroviária distam entre si 700 Km. Em A, há carvãb disponível ao preço de 50 URVs por tonelada, e em B, há carvão ao preço de 40 URVs por tonelada. O transporte de uma tonelada de carvão custa 0,2 URV por quilômetro. O ponto da ferro­ via, no qual é indiferente comprar carvão em A ou em B, se situa a quantos quilômetros de A. a) 250 b) 275 c) 300 d) 325 e) 350 MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 217 53) CPRM - Daqui a 140 meses estaremos em: (OBS.: A prova foi realiza­ da no mês de maio). ; a) dezembro b) janeiro c) fevereiro d) março e) abril 54) CPRM - Em uma prova de 25 questões, cada. acerto vale +4 pontos, e cada erro vale —1 ponto. Se Eduardo obteve 60 pontos, a diferença entre o número de acertos e o número de erros de Eduardo é igual-a: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 55) TRT ~Um digitador ganha %800,00' por página digitada e calcula que leva 12 minutos para digitar uma página. Se ele trabalhar durante 15 dias das 14h 40min às 18h 16min., ele vai receber: a) $ 376.000,00 b) $ 225.600,00 c) $ 201.600,00 d) $ 336.000,00 e) $ 216.000,00 56) TRF - Dois programadores compraram disquetes, gastando um total de $ 36.000,00. Se o mais novo deles gastou f 10.000,00 a menos que o outro, então o mais velho gastou: a) $ 21.000,00 b) $ 21.500,00 c) $ 22.000,00 d) $ 22.500,00 e) %23.000,00 57) TRF - Um período de 4.830 segundos corresponde a: a) 1 hora, 2 min e 3 seg b) 1 hora, 20 min e 30 seg c) 3 horas, 6 min e 6 seg d) 3 horas, 21 min e 6 seg e) 6 horas, 42 min e 12 seg 58) BM - Em uma agência bancária trabalham 82 funcionários, entre ho­ mens e mulheres. Se o número de mulheres excede de 16 unidades a metade do número de homens, quantos homens trabalham nessa agência. a) 36 b) 38 c) 42 d) 44 e) 48 í > " ’ ' 59) BM - Passadas 170 horas das 14 horas de uma segunda-feira estare­ mos em: a) um domingo às 10 horas b) uma outra segunda-feira às 16 horas c) uma outra segunda-feira às 18 horas d) uma terça-feira às 2 horas e) uma terça-feira às 8 horas 218 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 60) DNER - Quantos inteiros há entre —13,25 e 27,42? a) 37 b) 38 c) 39 d) 40 61) DNER - A solução da inequação 2x + 9 < 4x + 5 é: a) —2 < x < 2 b) x < —2 c) x > —2 d ) x < 2 e) 41 e ) x >2 62) DNER - Raimundo comprou rádios e vendeu-os todos por $ 371,00 com lucro total de $ 35,00. Se tivesse vendido cada rádio por $ 46,00 teria tido um prejuízo de $ 14,00. Cada rádio custou a Raimundo: a) $47,00 b) $ 48,00 c) $ 53,00 d) $ 55,00 e) $ 60,00 63) TRT - Um motorista está fazendo uma viagem entre duas cidades. Saiu às 6h 40min e percorreu 350 Km até as l l h 20min.Faltam ainda 230 Km para percorrer; se ele mantiver a mesma velocidade, chegará às: a) 13h 55min b) 14h 24min c) 14h 35min d) 15h 15min e) 15h 4min 64) TRT - Um trem, de 400m de comprimento, tem velocidade de 10 Km/h. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente uma ponte de 300m de comprimento. a) lm in 48s b) 2min 24s c) 3mín 36s d) 4min 12s e) 5min 65) TRE - Em uma viagem 1/3 da distância foi percorrida a 60 Km/h e 2/3 da distância, a 80 Km/h. O tempo gasto na viagem seria o mesmo se a distância toda fosse percorrida a: a) 68,8 Km/h ' b) 70 Km/h c) 72 Km/h d) 73,3 Km/h e) 75 Km/h 66) TRE - Em uma mesa de um restaurante estavam a família Silva (um casal e duas crianças) e a família Costa (um casal e uma criança). A conta de | 75,00 foi dividida de modo que cada adulto pagasse o triplo de cada crianças. Quanto pagou a família Silva. a) $40,00 b )$ 42,00 c) $ 43,00 d) $ 44,00 e) $ 45,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 219 67) TJCE - Pedro gastou § 540,00 na compra de certo número de rádios portáteis. Se ele aumentasse a sua compra em mais 5 unidades teria gasto | 690,00. Nessas condições, a quantidade de rádios que Pedro comprou: a) 24 b) 22 ' c) 19 d) 20 e) 18 . —/2 68) TJCE - Na Páscoa, foram distribuídos 60 bombons da seguinte for­ ma: a primeira pessoa ficou com mais 02 bombons que a segunda e esta com mais 05 que a terceira. Sobraram 03 bombons que foram dados ao entregador. Quantos bombons coube à pessoa que mais ganhou. < x 5 a) 30 b) 22 c) 15 d) 20 e) 25 j: X 69) TJCE - Hortência, Paula e Marta, em um jogo de basquete, fizeram a maioria das cestas. Juntas Hortência e Paula fizeram 45 pontos; Paula e Marta, 42 pontos; Hortência e Marta, 57 pontos. Quantos pontos Paula fez. a) 27 b) 35 c) 10 d) 15 e) 30 70) TJCE - Uma sacola de moedas é dividida entre algumas pessoas, fi­ cando cada uma com 24 moedas. Se uma das pessoas distribuir a sua parte entre as demais, cada uma fica com 4 moedas a mais. Quantas moedas continha a sacola. ' q u ,y z a) 144 b) 168 c) 240 d) 112 e) 120-í r ^ n 'n\ ( . f - í Í 71) TJCE - Se um menino faltar, as meninas da classe serão o dobro dos meninos. Se, em vez disso, faltarem 11 meninas, haverá um mesmo número de meninos e meninas na classe. O número de meninos nessa classe é de: a) 25 b) 11 c) 13 d) 20 e) 22 72) TJCE - Foi elaborada uma prova com 39 questões. Na primeira parte da prova havia X questões valendo 3 pontos cada; na. segunda parte, havia Y questões valendo 2 pontos cada. A prova toda valia 100 pontos. A quan­ tidade de questões da primeira parte era de: a) 17 b) 22 c) 21 d) 20 e) 19 220 HILDER GÓES * UBALDO TONAR RESPOSTAS 01) D 06) A 11) D 16) 120 e 72 21) E 26) E 31) E 36) D 41) E 46) D 51) C 56) E 61) E 66) A 71) C 02) C 03) C 07) A 08) A 12) 8 13) 10 17) 24 e 18 18) C 22) A 23) D 27) A 28) A 33) A 32) C 37) B 38) B 42) D 43) B 48) E 47) C 53) B 52) D 58) D 57) B 62) B 63) B 67) E 68) B 72) B 04) E 09) C 14)40 19) E 24) C 29) C 34) E 39) E 44) C 49) C 54) D 59) B 64) D 69) D 05) B 10) D 15) 9 e 4 20) C 25) B 30) D 35) B 40) C 45) D 50) C 55) E 60) E 65) C 70) B MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - QUESTÕEÍS DE CONCURSOS 221 19 NÚMEROS FRACIONÁRIOS Antes de iniciarmos a resolução dos problemas de números fracio­ nários, devemos atentar para algumas observações muito importantes que facilitarão a resolução desses problemas. Primeira: . A unidade é o número básico para resolvermos proble­ mas de números fracionários. Segunda: Para maior facilidade de cálculos, devemos escrever a unidade como uma fração aparente, isto é, na qual o numerador seja igual ao denominador, isto dependen­ do da situação de cada problema. Olhe: a) Se você perdeu 2/5 do que possuía, era porque você possuía 1, mas você escreve 5/5. 5 , 2 3 ~ (possuía) —“ (perdeu) — ~ (resto) 5 5 5 b) Se você deu 3/7 do que tinha, era porque você tinha 7/7 7 3 4 ~ (tinha) - — (deu) - “ (resto) Terceira: Para se saber quanto é uma fração de um número ou de outra fração, multiplica-se a fração pelo número ou pela outra fração. 222 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Veja: 3 a) Quanto é ~ de 20. 4 3 60 faca: "7 x 20—“7 —15 4 4 2 4 b) Quanto é - d e - , 2 4 8 faça: “ X— Q uarta: Quando se tem uma fração que eqüivale ou corresponde a um número ou a uma quantia, e se deseja saber o TO­ TAL, multiplica-se o número ou a quantia pela fraçào invertida. Olhe: a) 2/3 de um número corresponde a 60. Calcule esse número. Éaca: 6 0 x - = — =90 2 2 b) Se 3/4 do que possuo eqüivale a $ 1.200,00. Calcule quanto possuo. A faca: $ 1.200,00 x —= $ 1.600,00 3 Q uinta; Na resolução da maioria dos problemas de números fracionários é de fundamental importância, você encon­ trar uma fração que corresponda a um número ou a uma quantia em dinheiro, por exemplo. Depois de achada essa fraçào, resta-lhe apenas, aplicar a quarta observação vista anteriormente. Veja com Atenção: Nunca some ou subtraia fração com qualquer outra coisa, por exemplo, com ovos, com laranja, com dinheiro, etc.; a não ser com fração. 01—Uma criança perdeu 3/5 dos bombons que possuía. Calcule que fra­ ção de bombons ainda lhe resta. MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 223 Solução: Se ela perdeu 3/5, é porque possuía 5/5, isto é, a unidade. Então temos: 5 3 — (total) 5 5 dos bombons. 2 ” (perdeu)= 5 ~ (resto). Logo, a criançaficou com 2/5 02 —Uma pessoa percorreu 3/8 de uma estrada. Calcule que fração ainda lhe resta para percorrer. Solução: Se ela percorreu 3/8 da estrada, era porque a estrada toda era 8/8, isto é, a unidade. 8 3 5 ~ (aestrada toda) —“ (que percorreu) — ~ o que resta da estrada para ser percorrido. Veja: Nos dois exercícios anteriores, substituímos a unidade, que representa o total de qualquer coisa, pelas fraçòes 5/5 e 8/8; para maior facilidade de cálculo. 03 —Uma pessoa deu 3/7 do que possuía. Com que fração ficou? R: 4/7 04 —Uma pessoa emprestou os 5/6 da quantia que possuía, a um amigo; a outro emprestou 1/9. Calcule com que parte ficou. . R: 1/18 05 ~ De uma peça de tecido foi retirado 1/3 e depois 2/5. Calcule que fração restou. R: 4/15 06 —Depois de gastar a metade de um quarto do meu dinheiro, com que parte ficarei? R: 7/8 224 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 07 —Depois de gastar a terça parte da metade do que tenho mais a metade da terça parte. Calcule com que parte ficarei. R: 2/3 08 —Numa cesta há 80 ovos. Calcule quantos ovos correspondem a 3/4. Solução: Basta efetuarmos a multiplicação: 3 x 80 = 60. 4 09 —Um objeto custa $ 320,00; calcule o valor dos seus 3/8. Solução: Como desejamos saber quanto é 3/8 de $ 320,00; basta efetuarmos 3 a multiplicação. — x 320,00 = $ 120,00 8 10 —Um filho tem 2/5 da idade do pai. Se o pai tem 40 anos, calcule a idade do filho. R: 16 anos. 11 - Numa prova de 30 questões, um aluno acertou 4/6. Calcule quantas questões o aluno acertou. R: 20 12 —Numa classe de 60 alunos 1/5 não compareceu. Calcule quantos alunos não compareceram. R: 12 13 - Em minha biblioteca existe 1.335 livros. Quantos livros corresponde a 2/5. R: 534 14 —Um avião tem 40 lugares. Estando ocupados mais de 1/4 e menos de 3/10. Calcule quantos lugares vazios ainda existem. R: 29 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 225 15/- Por 3/5 de uma coleção paguei mais 18 livros do que se tivesse com■^írado 3/7. Calcule quantos livros tem essa coleção. R: 105 fl<| —Por 3/4 de uma coleção, paguei mais 10 livros do que se tivesse xcomprado 2/3. Calcule quantos livros tem essa coleção. R: 120. 17 —Dos 120 alunos de uma classe 2/3 foram aprovados. Calcule o núme­ ro de alunos reprovados. Solução: Se 2/3foram aprovados éporque o total ê 3/3. Então, temos: 3 2 (total) —~ (aprovados) ó 3 1 —~~ (reprovados). Basta agora cal3 1 1 cular — de 120. isto é, — x 120 = 40. 3 3 18 —Dos 6.000 candidatos inscritos em um concurso, 2/10 foram aprova­ dos. Calcule o número de alunos reprovados. R: 4.800 19 —Num concurso público, os 2/5 dos candidatos inscritos foram apro­ vados. Foram reprovados 120 candidatos. Calcule o número total de can­ didatos inscritos. R: 200 20 —Os 4/5 dos alunos de uma classe passaram de ano e 20 ficaram para recuperação. Calcule o número de alunos dessa classe. R: 100 21 ~ Se 2/3 de um número eqüivale a 60, calcule esse número. Solução: 226 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR Gomo temos uma fração correspondente a um número e deseja­ mos saber o total, isto é, qual é esse numero, basta multiplicarmos o nú­ mero pela fração invertida. 6 0 /k ^ = 9d / ' 22 —A quinta parte dos alunos de uma classe corresponde a 9 alunos. Calcule quantos alunos há nessa classe. R: 45 23 —Uma pessoa gastou 3/5 do seu dinheiro, correspondente a $ 150,00. Calcule quanto possuía essa pessoa. R: $ 250,00 24 ~ Os 3/5 do que possuo corresponde a $ 426,00. Calcule quanto possuo. R: $ 710,00 25- Para ladrilhar os 7/25 de uma sala foram gastos 84 ladrilhos. Calcule quantos ladrilhos serão necessários para ladrilhar a sala toda. R: 300 26 —Os 2/5 de um número eqüivale a 64. Calcule os 7/16 desse número. Solução: Devemos inicialmente, calcular o número, isto é, o total, para em seguida, calcular os 7/16 desse número. Senão vejamos: Se 2/5 do número vale 64, para obter o número todo, basta multi­ plicar 64 pelo inverso da fração. No que resulta: 5 64 x — = 160 2 Como agora temos o todo, no caso 160 e queremos saber quanto é 7/1-6 desse todo, basta efetuar a multiplicação. Isto é: ~ x 160 = 70 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 227 27 —Os 4/9 dos operários de uma fábrica e o 128 pessoas. Calcular o número de operários correspondentes a 1/6. R: 48 28 —Os 3/5 dos alunos de um colégio são 360 alunos. Calcular os seus 7/12. R: 350 29 - Os 3/4 das aves de um galinheiro são 420 aves. Calcular os 4/7 das aves desse galinheiro. R: 320 30 —A soma dos 2/5 e dos 7/5 de um número vale 180. Calcule esse número. Solução: 2_ 5 7_ = ~ 5 fração correspondente a 180. Entao temos: 5 180 x —' = 100 9 3 1- A soma dos 3/8 e dos 6/8 de um número vale 630. Calcule esse número. R: 560 32 - Numa fábrica os 2/3 dos operários são homens e 1/4 são mulheres, esses operários eqüivalem a 110 do total de operários. Calcule quantos operários existem na fábrica. R: 120 33 —Para ladrilhar os 3/11 mais os 2/5 de uma sala, são necessários 518 ladrilhos. Calcule quantos ladrilhos serão necessários para ladrilhar a sala toda, R: 770 228 HILDER GÓES * UBAIDO TONAR 34 - Os 2/3 dos 3/5 de um número são 312. Calcule esse número. Solução: Primeiramente, vamos calcular 2/3 dos 3/5. Basta efetuarmos a 2 3_2 muldpEcação. Entao temos: ^ X 5 _ 5 clue corresPon^e a 312. Para saber­ mos o total, multiplicamos o número pela fração invertida. Logo 5 312 x -2 = 780. 35 —Os 3/7 dos 4/11 de um número são 480. Calcule esse número. R: 3.080 36 —Os 2/5 dos 4/9 do comprimento de uma peça de fazenda são 840 metros. Calcule quantos metros mede a peça toda. R: 4.725 37 - Em um colégio os 2/3 dos 4/5 dos alunos matriculados são 560 alunos. Calcule o número total de estudantes deste colégio. R: 1.050 38 —Somando a um número 4/11 dos mesmo número, o resultado é 195. Calcule esse número. Solução: Como somamos 4/11 do número é porque o número é 11/11.. En~ '4 11 15 , tão tem os:----!— = — que corresponde a 195. Para se calcular o numero, 11 11 11 M ^ ' basta multiplicar 195 pela fração invertida. Então, vem: 195 x ~ - i43. 39 —Subtraindo-se de um número, 3/7 do mesmo número, o resultado é 160. Calcule esse número. R: 280 MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 2^ 9 40 - Diminuindo-se de um número os 5/9 do mesmo número, restam 320. Calcule esse número. R: 720 41 - Tinha dinheiro para comprar 9 objetos de mesmo valor. Gastei 1/3, depois 1/5, depois 2/5 e fiquei com $ 72,00; Calcule quanto custa cada objeto. R: $ 120,00 42 —A metade de um número mais a quinta parte é igual a 35. Calcule esse número. R: 50 43 —A terça parte de um número diminuída da oitava parte é igual al5. Calcule esse número. R: 72 44 —Uma pessoa que ganha $ 1.080,00 por mês, faltou 4 dias. Calcule quanto deve receber no fim do mês se, em cada falta, perdeu 2/3 do ordenado diário. R: $ 984,00 45 —Se num galinheiro tivesse mais 1/5 das aves que tem, ficaria com 360 pés de aves. Calcular quantas aves há no galinheiro. R: 150 46 - Calcular o número de funcionários de uma empresa, sabendo-se que se do número deles diminuirmos a sua metade, a sua terça parte e em seguida acrescentamos ao resto a sexta parte, resulta 800 funcionários. R: 2.400 ' 47 —Há bananas num cesto e num saco. Os 6/7 do número de bananas contidas no cesto são iguais a 42 bananas e os 9/14 das bananas contidas no saco sào iguais a 36 bananas. Determine onde há mais bananas, se no cesto ou no saco e quantas. R: No saco, 7 bananas. 230 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 48 - Num dia, um tear tece 1/4 de uma encomenda. No dia seguinte, tece mais 3/8. Desse modo, o tear completou 540 metros. Calcuie quantos metros tem a encomenda toda. R: 864m 49 —Num dia um viajante percorreu 3/8 de uma estrada, no dia seguinte percorreu mais 1/4. Nesses dois dias o viajante percorreu 20 km. Calcule quantos quilômetros falta percorrer. R: 12 km 50 - Calcule quanto eu possuía se, numa feira, gastei 2/7 em frutas, 1/5 em verduras e 3/7 em mantimentos e ainda voltei com $ 90,00. Solução: Somando-se as fracÕes, temos: 2 1 3 10+7 + 15 32 * 1 — : ”T 7 5 7 35 35 Observe que 32/35 é a fraçào que representa o que foi gasto. Como foi gasto 32/35 35 32 3 Logo: ~~ (total) - ~ (gasto) = ~ (resto) que corresponde 35 35 ' 35 a $ 90,00 que sobraram. Então, para se calcular o total, vem: 35 90,00 x ” = $ 1.050,00 3 51 —Um homem esteve 1/4 de sua vida, solteiro. 3/5 casado e 12 anos viúvo. Calcule a idade que tinha quando morreu. R: 80 anos 52 - Achar o número de alunos de uma sala, se 1/3 deles está lendo; 1/4 escrevendo e os 20 restantes fazendo contas. R: 48 alunos MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 231 ' 53/- Numa sala de aula, 3/8 das carteiras estão ocupadas por rapazes; 'por moças e ainda existem 6 carteiras vazias. Calcule quantas carteiras existem nessa sala. R: jt-8 carteiras *■ L?-li 54 - Um viajante fez uma viagem de 240 km. Os 3/4 do percurso foi feito de trem; 1/6 de automóvel e o resto a cavalo. Calcule quantos quilôme­ tros ele andou a cavalo. R:.20..km 55 - Uma pessoa gastou, num dia 3/5 do seu dinheiro e depois, durante três dias, 1/8 em cada dia e ainda ficou com $ 20,00, Calcule quanto essa pessoa possuía. R: $ 800,00 56 —Um certo número de laranjas foi dividido em três partes. A primeira 1/8; a segunda 1/3 e a terceira as 65 laranjas restantes. Calcule o total de laranjas. R: 120 laranjas 57 —Num quintal, 1/5 das aves são galinhas; 2/3 sao pombos. Calcule o total de aves, sabendo que existe 32 perus. Solução: 1 2 3+10 13 T + - - — ---- --- fração equivalente ao número de galinhas e 5 3 15 15 pombos. 15 13 ' 2 ~ (total) - ~ (galinhas e pombos) = ~ ‘(perus). 15 Logo: 32 x ~ —240 232 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 58 - Numa indústria 2/3 dos operários são homens e 1/4 são mulheres. Os 30 restantes são meninos. Calcular o número de mulheres. R: 90 mulheres 59 —Pitágoras interroga a respeito do número de seus alunos, respondeu: metade estuda matemática; um quarto, os mistérios da natureza; um séti­ mo medita em silêncio e há ainda, meia dúzia que nào sabe o que quer. Calcule o número de alunos de Pitágoras. R: 56 alunos 60 —A obra de determinado escritor foi classificada exn romances, contos e poemas. 1/5 dos volumes de sua obra é constituída de romances e 2/3 de contos. Sabendo-se que ele escreveu de poemas, 4 volumes, pede-se calcular o número de volumes de contos por ele escrito. R: 20 volumes 61 —Uma pessoa repartiu o seu dinheiro entre três outras. A primeira recebeu 1/3; a segunda 1/9 e a terceira o restante que é 2/7 de $ 350,00. Calcule quanto possuía essa pessoa. R: %180,00 62 —Dividiu-se certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 1/3; a segunda 1/4 e a terceira o restante. Calcule quanto recebeu a terceira pes­ soa, se os 5/6 da quantia dividida valem $ 540,00. R: $ 270,00 63 —Os alunos de um colégio foram separados em três grupos. No pri­ meiro grupo ficaram 2/5 mais 30 alunos; no segundo, 3/8 mais 50 e no terceiro os 100 alunos restantes. Calcular o número total de alunos. Solução: Somando 2 3 com —, temos: 5 8 MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 233 2 3 164-15 _ 31 —!—=---------—~— fracão correspondente as partes fracionárias 5 8 40 ; 40 r do primeiro e do segundo grupo. 180 40 31 9 — (total) - —* = — (resto). Fração que corresponde a 40 40 40 = (30 + 50 + 100) restante dos alunos. Só nos resta calcular o total de alunos; multiplicando-se o número 40 pela fração invertida: 180 x “ —800 R e l e m b r e : Nunca some ou subtraia fração com outra coisa a não ser com fração. / 64 —Uma pessoa repartiu certa quantia entre três outras: a primeira rece­ beu 1/8 mais $ 100,00; a segunda recebeu 5/20 mais %400,00 e a terceira recebeu $ 500,00. Calcule quanto recebeu a primeira pessoa. $ 300,00 R : 65 —A comprou 1/6 de certo terreno. B e C compraram, respectivamente, 2/5 e 2./15 do resto. Calcular a área primitiva, do terreno, sabendo que sobraram 1.470 m2 após a última venda. 3.780 m2 R ; 66 —Uma peça de fazenda foi dividida entre três pessoas. A primeira ficou com 2/5 da peça menos 4 metros; a segunda com 1/3 mais 5 metros; a terceira com os 7 metros restantes. Calcular quantos metros recebeu a segunda pessoa. 15m R : 67 —Três irmãos devem dividir certa importância de modo que: o primei­ ro, receba 2/3 menos $ 200,00; o segundo, receba 1/3 menos $ 400,00 e o terceiro receba 1/2 menos $ 500,00. Calcule a quantia dividida. $'2.400,00 R 234 : HILDER GÓES * UBALDO TONAR 68 —Indicar as menores frações equivalentes a 9/10 e 7/12 onde o numerador da primeira seja igual ao denominador da segunda.Solução: Calcula-se o M.M.C do numerador da primeira com o denomina­ dor da segunda _ 36 M.M.C (9,12) = 36—> 36^9=4x10=40 e 36-^12=3x7=21 36 21 No que resulta: — , — H 40 36 69 —Apresente uma fração equivalente a 3/8 e outra a 7/11, de tal modo que o numerador da primeira e o denominador da segunda sejam iguais. R: 33/88, 21/33 70 —Escreva três frações equivalentes a 1/3, 4/5 e 1/6 de modo que o denominador da primeira, o numerador da segunda e o denominador da terceira, sejam todos iguais. ' R: 4/12,12/15e 2/12 71 —Calcule as menores frações equivalentes a7/ 10el5/ 16 onde o deno­ minador da primeira seja igual ao numerador da segunda. R: 21/30 e 30/32 72 —Indicar as menores frações equivalentes a 4/3 e 5/2 nas quais os numeradores sejam iguais. R: 20/15e 20/8 73 —Escreva duas frações equivalentes, respectivamente a 2/9 e 4/5 tais que o denominador da primeira seja o sêxtuplo do numerador da segunda. R: 48/216e 36/45 MATEMÁTICA PARA CONCURSO- NÚMEROS FRACIONÁRIOS 235 74 —Escreva três frações respectivamente equivalentes a 1/3, 2/5 e 1/2 tais que, o denominador da primeira seja igual ao numerador da segunda e o denominador desta; igual ao numerador da terceira. 2/6, 6/15,15/30 R : 75 - Escreva três frações equivalentes, respectivamente, a 7/9,11/42 e 1/21, de modo que o numerador da primeira seja a terça parte do denominador da segunda e este o quíntuplo do denominador da terceira. 70/90, 55/210 e 2/42 R : 76 —Calcule quatro frações respectivamente equivalentes a 4/7s 8/11, 5/12 e 13/16, tais que os numeradores das duas primeiras sejam iguais aos denominadores das duas últimas. 48/84,48/66, 20/48 e 39/48 R : 77 —Gastei 2/5 do que tinha. Depois 1/3 do resto e ainda fiquei com % 640,00. Calcule quanto eu possuía. Solução: Se gastei 2/5, era porque possuía 5/5. 5 2 3 ' Então: ~~(total) — ~ (que gastei) — ~~(resto) 5 5 5 Como depois gastei 1/3 do resto, então gastei: 1 3 1 ~ x “ = —. Omeu resto era3/5 , menos 3 5 5 com 3 1 2 5 5 5 1/5 que gastei, fiquei Resto final, que corresponde a $ 640,00. Para o cálculo 5 do total, temos: 640,00 x — = $ 1.600,00 7 78 —Calcule quantos alunos há em um colégio, se 1J l foi reprovado, 1/3 do resto ficou para a segunda época e 256 foram aprovados. 448 alunos R 236 : HILDER GÓES * UBALDO TONAR 79 —Um fazendeiro vendeu 1/3 da sua colheita de café, depois 4/7 do resto. Calcule quantas sacas de café ele colheu, se ficou ainda com 120 sacas. R: 420 sacas 80 - Uma pessoa gastou 2/7 do que possuía, depois emprestou 1/5 do resto e ficou com $ 800,00. Calcule quanto essa pessoa possuía. R: 1 1.400,00 81 —Um jardineiro deixa a um amigo 1/2 dos pêssegos que colheu; dá 1/4 do resto a outro amigo, e ficou ainda com 6 pêssegos. Calcule quantos pêssegos ele colheu. R; 16 pêssegos 82 —Um jardineiro propôs-se de trazer 16 laranjas para os seus filhos. Quer dar a um amigo 1/3 do que colher e 1/5 do resto a uma família pobre. Calcule quantas laranjas deverá colher. R: 30 laranjas 83 —Uma pessoa gastou 2/5 do que possuía. Deu 3/5 do resto e perdeu 1/5 do novo resto e ainda ficou com $ 480,00. Calcule quanto essa pessoa tinha inicialmente. R: %2.500,00 84 “ Uma pessoa despendeu a sétima parte do que possuía; deu a um amigo 3/8 do que restou; gastou 2/5 do novo resto e ainda ficou com $ 900,00. Calcule quanto essa pessoa tinha inicialmente. R: $ 2.800,00 85 —Um corpo cada vez que é mergulhado na água, perde 1/3 de seu peso. Depois do terceiro mergulho, pesava 16 kg. Calcule o peso inicial do corpo. R: 54 kg MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 237 86 —Um rebanho de ovelhas foi atacado por lobos, 3/7 das ovelhas fugi­ ram, mas depois, 2/3 das que fugiram voltaram. Calcule quantas ovelhas tinha o rebanho, se agora existe 36 ovelhas. R: 42 ovelhas 87 - Depois de gastar a metade do meu dinheiro, em seguida 3/4 do que me sobrou, recebi uma quantia igual a 7/5 da que me restara. Como agora tenho ? 300,00, calcule quanto eu tinha a princípio. R: $ 1.000,00 88 - Uma pessoa perdeu 2/7 do que possuía. Em seguida ganhou $ 320,00 e ficou com o triplo do que possuía inicialmente. Calcule quanto possuía esta pessoa. Solução: Se perdeu 2/7 era porque possuía 7/7 7 2 • 5 Então ~ (possuía) - ~ (perdeu) = ~(quanto ficou) 5 21 “ (quanto ficou) + $ 320,00 (quanto ganhou) => Olhe: 21/7 é o triplo do que possuía inicialmente, que era 7/7, 7 21 senão vejamos: 3 x — —~ 21 5 16 Então, temos: ~ ~~ ~ ~ ~ que é a fração correspondente a $ 320,00. Logo, a quantia total que essa pessoa'possuía; será dada por: " 7 320 x — = $ 140,00 16 89 - Uma pessoa emprestou 2/5 do seu dinheiro. Ganhou, em seguida, $ 140,00 e ficou como dobro do que possuía inicialmente. Calcule quanto possuía essa pessoa. R :$ 100,00 238 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 90 —Um número foi subtraído dos seus 3/5. Acrescentaram-lhe 120 unidades e ele se tornou o dobro do seu valor primitivo. Calcule esse número. R: 75 91 —Das laranjas de um saco apodreceram 3/7. As laranjas que sobraram, juntaram-se 153 e a quantia primitiva triplicou. Calcule quantas frutas ha­ via no saco. R: 63 frutas 92 —Uma pessoa tinha um certo número de livros. Emprestou 1/3. Rece­ beu 120 exemplares e ficou com o dobro do que possuía. Calcule quantos eram os livros. R: 90 livros 93 - Uma pessoa pagou somente 3/15 de sua dívida. Todavia, se possu­ ísse mais $ 900,00 teria pago a metade da dívida. Calcule quanto essa pes­ soa devia. R: %3.000,00 94 —Se, após ter vendido 3/7 dos ovos que levei ao mercado, acrescentar 52 ao que me resta, o número primitivo se encontrará aumentado da me­ tade. Calcule quantos ovos levei ao mercado. R; 56 ovos 95 —Um tanque contém 2/ 9 de sua capacidade de água; se receber mais 800 litros, ele ficará com os 6/7 cheios. Calcule a capacidade do tanque, em litros. $ R: 1.260 / 96 - De um número foram subtraídos 2/5 da metade. Acrescentaram-lhe 160 unidades e o número quadruplicou. Calcule esse número. R: 50 V MATEMÁTICA PARA CONCURSO -.NÚMEROS FRACIONÁRIOS 239 97 —Perdendo-se 2/9 das ovelhas de um rebanho, um pastor comprou mais 15 e ficou com 365 ovelhas. Calcule, de quantos animais compunha o rebanho. R: 450 animais 98 —Os 5/6 das laranjas que possuo diminuídos de 30 eqüivalem a 260 laranjas. Calcule o total de laranjas. R: 345 laranjas 99 —Com a sexta parte do dinheiro que possui, um menino compra 2 sorvetes. Quantos sorvetes poderá comprar com a metade do que possuí? R: 6 sorvetes 100 —Com $ 1.200,00 comprou-se certo número de objetos; 1/2 a $ 20,00 cada um; 1/5 a $ 30,00 cada um e o restante a $ 40,00 cada um. Quantos objetos de cada espécie foram comprados? R: 30, 8 e 9 101 —Uma pessoa ficou com os 2/7 das frutas de uma caixa e repartiu o resto em partes iguais entre amigos recebendo, cada um, 5/35. Calcule quantos amigos essa pessoa possui. Solução: Se a pessoa ficou com 2/7 é porque possuía 7/7. 7 2 5 Mas: ~ (total) —~ (que ficou) = ~ (resto) Veja que, dividindo-se o que restou pela parte que cada amigo rece­ beu, teremos o número de amigos. Então: 5 5 __5 35 7"IT7X7 =5 102 - Um pai comprou um melão, guardou 1/4 para si e repartiu o resto em partes iguais entre seus filhos, cabendo 3/20 a cada um. Calcule quantos filhos ele tem. R: 5 filhos 240 HILDER GÓES * UBAXDO TONAR 103 —Calcule quantos dias demorou um viajante para percorrer certa dis­ tância, sabendo-se que no primeiro, dia andou 1/10, no segundo 1/15 e depois 5/72 em cada dia. R: 14 104 —Uma família gasta por dia 1/3 'de 1/4 de quilo de manteiga. Calcule 1 quantos dias duram 2 ~ kg. R: 30 dias 105—Um recipiente tem 1/3 de sua capacidade cheia de água. Após se retirarem 5 litros, ele fica com apenas 1/4 de sua capaddade. Deseja-se dekar o redpiente completamente cheio. Quantos litros de água devem ser acrescentados? Soíução: 1 l_4-3_ 1 A diferença entre as frações------ —--------—— eqüivale aos 5 litros. 3 4 12 12 H ' , 12 Então a capacidade total será 5 x “ =60 litros. 1 ^ 1 Veja que ~ de 60 é: ~ x 60 = 15 litros. 4 4 Logo, para que o recipiente fique cheio devemos acrescentar 60 —15 = 45 litros. 106 —Uma mãe distribuiu em partes iguais entre seus quatro filhos os 4/5 das pêras contidas numa cesta, ficaram-lhe, ainda, os 3/8 das pêras menos 7. Quantas pêras recebeu cada um dos quatro filhos. R: 8 pêras 107 - Dividiu-se uma quantia entre três pessoas. A primeira ficou com 1/3; a segunda com 2/5 e a terceira, que ficou com o resto, recebeu $ 60,0Òy. menos do que a primeira. Calcule a quantia dividida. R: %900,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 241 108 —De uma estrada 1/4 está asfaltada; 1/3 está apenas preparando para receber o asfalto. Sabendo-se que a terceira parte que não está preparada excede em 30 km a parte que está apenas preparada para receber o asfalto, calcule a extensão da estrada que está asfaltada. R: 90 km 109 —Um pastor, interrogado sobre o número de ovelhas, responde: somai a metade; o l/ 3 eo 1/5 do meu rebanho e achareis 3 ovelhas a mais do que tenho. Calcule quantas ovelhas tem o pastor. R: 90 110 ~ Um homem bebe 1 /3 de um copo de vinho. Encheu de água e bebe a metade do copo cheio; enche-o a segunda vez de água e bebe a metade do copo cheio. Calcular que fraçào de vinho Eca no copo. R: 1/6 111 —Uma pessoa verifica que, durante 10 dias, seu dinheiro aumenta, cada dia, 1/4 do que tinha no princípio do primeiro dia. Verifica então que, se seu dinheiro tivesse aumentado 3/4, cada dia, no mesmo período e na mes­ ma condição, teria mais § 2.000,00. Calcule quanto essa pessoa tinha no início. R: $ 400,00 112 - Um trem parte de uma estação com certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7 do número de passageiros e na estação seguinte entraram 40. Na penúltima estação saltaram 5/8 dos passageiros. Calcule com quantos passageiros ele saiu da estaçào inicial, sabendo que chegou à estaçào final com 36 passageiros. R: 98 passageiros 113 —Dois objetos de mesmo custo foram vendidos, com lucros respecti­ vos de 2/7 e 1/4, por %852,00. Calcuie o preço de venda dos dois objetos. Solução: Se o primeiro foi vendido com 2/7 de lucro o seu custo era de 7/7. 242 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Então: 7 2 9 ~ (custo) + — (lucro) = ~ ■(por quanto foi vendido). Se o segun­ do foi vendido.com 1/4 de lucro o seu custo era de 4/4. Logo: 4 1 5 — (custo) --- (lucro) = ~ (por quanto foi vendido). Como o 4 4 4 problema diz que os dois foram vendidos por $ 852,00, a fração que re­ presenta $ 852,00, será: I a 2a l u 2y Total 9 5 _ 36+ 35__71 7 4 ~~ 28 ~ 28 Como as frações possue^o^ mesmo denominador, podemos eliminá-los. Então o número que representa $ 852,00 será 71. Basta, então, dividir $ 852,00 por 71 e multiplicar o quociente obddo por 36 e 35 que são os números que representam a venda do primeiro e do segundo obje­ to, respectivamente $ 852,00 + 71 —$ 12,00 $ 12,00 x 36 = $ 432,00 primeiro $ 12,00 x 35 = | 420,00 segundo 114 —Uma pessoa vendeu dois objetos. No primeiro lucrou 1/5 e no segundo perdeu 1/3. Recebeu pela venda $ 224,00. Calcule por quanto vendeu cada objeto. Solução: Se o primeiro foi vendido com 1/5 de lucro, o seu custo era de 5/5. Então: 5 1 6 ~ (custo) + —(lucro) — ~~(por quanto foi vendido) 5 5 5 Se o segundo foi vendido com 1/3 de prejuízo, o seu custo era de 3/3. Entào: 3 1 ^ 2 ~ (custo) —~ (prejuízo) ——(por cjuanto foi vendido) 3 3 3 MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 243 Io 2o Io 2o Total 6 2 18 10 28 —I— _ -----1--- _ — . j?ntào, temos: $ 224,00 4- 28 = $ 8,00 5 3 15 15 15 Primeiro: $ 8,00 x 18 = $ 144,00 Segundo: $ 8,00 x 10 = $ 80,00 115 - Dois objetos do mesmo custo foram vendidos um com prejuízo de 1/5 e o outro com lucro de 2/3. Calcule por quanto foi vendido cada objeto, sabendo que os dois foram vendidos por $ 1.850,00 $600,00 e $ 1.250,00 R : 116 - Uma pessoa vendeu dois objetos iguais com prejuízos de 1/7 e 1/8 res'pectívamente, por $ 2.910,00. Calcule o valor real de cada objeto. $ 1.440,00 e $ 1.470,00 R : 117 - Um vestido foi vendido com'lucro de 2/5 e uma saia com prejuízo de 1/4, ambos por $ 215,00. Calcule por quanto foi vendido cada peça. 1 140,00 e$ 75,00 R : 118 - Uma pessoa vendeu três objetos do mesmo valor. Dois deles com lucro de 1/5 e l/ 3 e o outro com prejuÍ2o de 1/4, recebendo pela venda $ 630,40. Calcule por quanto foi vendido cada objeto. $ 230,40; $ 256,00 e $ 144,00 R : 119 —Quatro objetos do mesmo custo foram vendidos da seguinte manei­ ra. O primeiro e o segundo com prejuízo de 1/5 e 2/5; e o terceiro e o quarto com lucros de 1/3 e 2/3. Todos por $ 6.600,00. Calcule por quan­ to foi vendido o segundo objeto. R: $ 90,00 120 —Quatro objetos de mesmo custo foram vendidos do seguinte modo: o primeiro e o segundo com prejuízo de 2/9 e 3/9; e o terceiro e o quarto 244 HILDER GÓES * UBALDO TONAR com lucro de 4/9 e 5/9. Todos por § 2.400,00. Calcule por quanto foi vendido o quarto objeto. R: $ 840,00 121 —Em um orfanato há 104 crianças; 1/3 do número de meninas é igual a 1/5 do número de meninos. Calcule quantos são as meninas e os meninos. Solução: ..1 l_5+ 3__ 8 3 5 15 15 Como elas possuem o mesmo denominador, podemos eliminá-los. Então temos: 5 + 3 = 8. Veja que o 8 representa o total; logo, para achar­ mos o número de meninos e de meninas, fazemos assim: Meninos —>104 4- 8 = 13 x 5 = 65; Meoinas|^-> 104 -r- 8 = 13 x 3 = 39 Somándo-se as frações, temos: 122 —Um vendedor vai ao mercado levando laranjas e bananas, num total de 152 frutas. Os 3/5 do número de laranjas são iguais aos 2/3 do núme­ ro de bananas. Calcule o número de laranjas e de bananas. R: 80 e 72 123 ~ Em uma fábrica há 132 operários. Os 2/5 do número de trabalhado­ res do sexo masculino são iguais a 1/3 do número de mulheres. Calcule quantos operários há do sexo masculino e do sexo feminino. R: 60 e 72 124 —Em dois reservatórios há 320 litros de vinho. Os 2/3 do que há no primeiro são iguais aos 2/5 do segundo. Quantos litros de vinho há no primeiro reservatório? R: 200 í 125 —Um avicultor tinha 153 aves entre galinhas e perus. Vendeu 2/3 das galinhas e 1/5 dos perus e agora o número de galinhas e perus é o mes­ mo. Calcule quantos eram as galinhas e perus. R: 45 e 108 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 245 126 - Duas pessoas tinham, juntas $ 504,00. A primeira gasta os 3/4 de seu dinheiro e a segunda os 4/5 de sua importância. Tendo ambas ficado com quantias iguais, caicule quanto possuía a primeira e a segunda, inicialmente. R: $ 280,00 e $ 224,00 127—Um professor dividiu 9 folhas de papel em quartos, deu a cada aiuno 1/4 de cada folha e conservou 3/4 de uma folha. Calcule quantos alunos há na classe. Solução: Cada folha dividida em quartos resulta 4 pedaços; como são 9 fo­ lhas, teremos um total de 36 pedaços. Mas veja que o professor conservou 3/4 de uma folha para ele e, 3/4 de uma folha são 3 pedaços. Então, o número de alunos será: 36 —3 = 33 128 —Um professor dividiu 8 folhas de cartolina em quintos, dando a cada um de seus alunos 1/5 de uma folha e ficando com 2/5 de cinco folhas. Calcule quantos alunos ele possuía. R: 30 alunos 129 —Um professor possui 10 folhas de papel. Seis delas ele repartiu em quintos, dando a cada um dos seus alunos 1/5 de uma folha e ficando com 3/5 de duas folhas; e as quatro folhas restantes ele repartiu em quartos, dando 1/4 de uma folha a cada aluno e ficando com 1/4 de duas folhas. Calcule quantos alunos possui esse professor. R: 38 alunos 130 —Um negociante obteve no primeiro mês de trabalho um lucro de 2/5 do seu capital inicial. No segundo mês teve um prejuízo de 1/5 do seu novo capital. No fim desse tempo verificou que havia tido um lu­ cro de $ 9.000,00. Calcule o seu capital inicial. Solução: Se no primeiro mês ele ganhou 2/5, então o seu capital inicial era , 5 2 7 5/5, logo: — (capital inicial) + — (lucro) = — (novo capital) 246 HILDER GÓES * UBALDO TONAR No segundo mês perdeu 1/5 do seu novo capital, isto é, de 7/5. _—7 . Então, ele perdeu 1 7— 7 7 Como tinha — e perdeu — , ficou com: 7 7 3 5 -7 28 (capitd ^ Como o capital final foi de 28/25 era porque o capital inicial era de 25/25, obtendo, assim um lucro de 3/25. Senão, vejamos: 25 3 28 — (capital inicial) + — (lucro) = ” (capital final) Logo, 3/25 corresponde a $ 9.000,00. Então o seu capital inicial era: $ 9.000,00 x 25 = $ 75.000,00 3 131 —Um negociante ganhou no primeiro mês de negócio, 1/3 do seu capital No segundo mês ganhou 1/4 do novo capital, obtendo assim um lucro de %2.000,00. Calcular o capital inicial do negociante. R: $ 3.000,00 132 - Um negociante obteve no primeiro ano de trabalho um lucro de 2/5 do seu capital inicial. No segundo ano perdeu 2/3 do seu novo capital e no terceiro ano obteve um lucro de 2/3 do novo capital. No fim desse tempo, verificou que havia tido um prejuízo de % 10.000,00. Calcule o capital inicial. R: $ 45.000,00 133 —Um negociante, no primeiro ano, teve um lucro de 3/4. No segun­ do ano, ganhou metade do novo capital. No terceiro ano perdeu 1/3 do MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 247 que possui atualmente. No quarto ano, teve um prejuízo de 3/8 do capitai inicial. Deu balanço e verificou que estava com um lucro de %45.000,00. Calcule com quanto o negociante começou o negócio. R: %120.000,00 134 - Em um tanque há duas torneiras. A primeira enche o tanque em 3 horas, e a segunda em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo, em quantas horas o tanque estará cheio? Observações: a) Na solução desses tipos de questões, deveremos sempre levar a produção para o dia, a hora ou o minuto. b) Se uma torneira enche um tanque em 5 horas, em uma hora encherá 1/5. c) Se um operário faz um serviço em 7 dias, em um dia ele fará 1/7. Solução: Voltando ao problema, temos: A primeira torneira enche o tanque em 3 horas, logo em uma hora encherá 1/3. A segunda que enche o tanque em 6 horas,' em uma hota encherá 1/6. Então: 1 1 2+1 3 fração do tanque que é cheio pelas duas torneiras —+- =-----3 6 6 6 em uma hora e é claro que o tanque todo será 6/6. 6 lh — x-2h oras 6 135 - Um homem faz um trabalho em 8 horas e um rapaz faz o mesmo trabalho em 12 horas. Se trabalharem juntos, em quanto tempo fariam o serviço? R: 4h 48 min 248 HILDER GÓES * UBALDO TONAR —Uma torneira enche um tanque em 4 horas e uma outra em 6 horas. Em quanto tempo se enche o tanque, abrindo-se as duas torneiras simul­ taneamente? R: 2h 24 min 136 137 —Um homem cava um buraco em 10 horas e um outro em 14 horas. Trabalhando juntos, em quanto tempo cavarão o buraco? R: 5h 50 min —Uma turma de operários seria capaz de fazer um serviço em 12 hòras e uma outra o faria em 6 horas. Trabalhando juntas, em quanto tempo o serviço será feito? R :4 h 138 —Uma torneira enche um tanque em 2 horas e outra seria capaz de esvaziá-lo em 3 horas. Estando o tanque vazio, em quanto tempo as duas torneiras seriam capazes de enchê-lo? Solução: Se uma enche em duas horas, em uma hora enche 1/2 do tanque. Se uma esvazia em três horas, em uma hora esvazia 1/3 do tanque. 139 Então, juntas em uma hora encheriam 1 1_3-2_1 ~—^ d o tanque. Olhe: Subtraímos 1/3 porque a torneira está esvaziando o tanque: i 6 ih — x=ó horas 6 140 —Um tanque é cheio por uma torneira em 4 horas. Existe um ralo capaz de esvaziar o mesmo tanque em 5 horas. Estando o tanque vazio, em quanto tempo estará cheio se a torneira e o ralo trabalharem conjun­ tamente? R: 20h MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS FRACIONÁRIOS 249 141 —Um reservatório possui duas torneiras que conseguem enchê-lo em 15 horas e 12 horas respectivamente; e um ralo que o esvazia em 10 horas. Se abríssemos, simultaneamente, todo o conjunto, em quanto tempo o reservatório ficará cheio? R: 20h 142 —Uma torneira enche um tanque em 8 horas; uma segunda tornei­ ra o encheria em 9 horas e uma válvula seria capaz de esvaziar em 6 horas. Abrindo-se as três, depois de quanto tempo o tanque ficará cheio? R; 24h 143 —Uma torneira enche um tanque em 12 horas, outra pode enchê-lo em 8 horas. Em quanto tempo, funcionando conjuntamente, poderão en­ cher 2/15 do tanque? R: 38 min 24 seg 144 —Um tanque tem duas torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas e a segunda o esvazia em 8 horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo, e estando o tanque vazio, em quantas horas o tanque ficará cheio? R: 13 h 20 min 145 —Uma torneira enche um tanque em 10 horas; òutra torneira o vasa em 15 horas. Vazio o tanque, que tempo levarão as duas torneiras abertas para enchê-lo? R: 30 h 146 —Duas pessoas juntas cavariam uma vala em 6 días. A primeira, sozi­ nha, cavaria em 15 dias. Calcule em quantos dias, a segunda pessoa cavaria a vala sozinha. Solução: Se a primeira cavaria em 15 dias; em um dia cavaria 1/15. Nos 6 . 1 6 dias cavaria 6 x — —— 15 15 250 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 15 ^ (serviço todo) 6 9 serviço que o 2- fez n o s 6 dias). Logo: _9_ 15 15 15 6d x= ^ 1 = 1 0 d ia s 9 147 —Dois pedreiros fazem um trabalho em 9 dias; o primeiro faria em 15 dias. Calcule em quanto tempo o segundo pedreiro faria o trabalho sozinho. 1 R: 22 — dias 2 148 —Dois operários levam 12 horas para fazer um trabalho, o primeiro sozinho levaria 20 horas. Calcule em quanto tempo o segundo levaria para fazer o trabalho sozinho. R: 30 horas 149 —Uma torneira “A” enche um tanque em 3 horas. Duas torneiras “A” e “B” juntas enchem o mesmo tanque em 2 horas. Calcule em quanto tempo a torneira “B ”, sozinha, encheria o tanque. R: 6 horas 150 —Três operários fazem um trabalho em 4 dias. O primeiro e o segun­ do seriam capaz de fazê-lo sozinho em 9 dias e 12 dias respectivamente. Em quantos dias o terceiro executaria o trabalho sozinho? R: 18 dias 151 —Uma pessoa dá 6 pulos em 2 minutos; outra dá 8 pulos em 4 minu­ tos. Em quanto tempo, pulando juntas, poderão dar 60 pulos? R: 12 minutos MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 251 152 - Uma pessoa faz 1/4 de um trabalho em 10 dias; outra faz 1/3 em 8 dias. Trabalhando juntas, em quanto tempo farão o trabalho. Solução: 10 dias 1 — (do trabalho) 4 1 dia 1 x = ”“ 40 8 dias . 1 dia 1 ~~ (do trabalho) 3 1 ' x ——24 1 1 3+5 8 ---- 1-----—------ —----- fracão do trabalho feito pelas duas em 1 dia 40 24 120 120 J r ---120 120 ---120 ld 120 x=------=15 dias 8 153 —Uma pessoa faz 1/5 de um trabalho em 12 dias, outra faz 1/3 do resto em 6 dias. Em quanto tempo, poderão fazer o serviço todo, traba­ lhando juntas? R: 16 dias, 21 min e 36 seg 154 —Um pai e um filho cavariam um poço em 15 dias. Depois de traba­ lharem juntos durante 6 dias, o filho acabou sozinho em 30 dias. Calcule quantos dias precisaria o filho para, sozinho, cavar esse poço. R: 50 dias 155 —Três pessoas podem fa2er um trabalho: a primeira em 10 dias, a segunda em 8 dias. Depois de dois dias a primeira abandonou o trabalho; após 3 dias do acontecido, a segunda também abandonou o trabalho. Em quanto tempo a terceira pessoa poderá fazer o trabalho todo, se fez o restante em 14 dias? R: 80 dias 252 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 156 —Três turmas de trabalhadores podem fazer um trabalho: a primeira em 15 dias, a segunda em 8 dias e a terceira em 4 dias. Se fizermos uma nova turma com 1/4 da primeira, 2/3 da segunda e 1/4 da terceira, em quanto tempo ficará pronto o trabalho? 2 R: 6 — dias 13 157 —Duas turmas de trabalhadores podem fazer um trabalho. A pri­ meira em 15 dias e a segunda em 8 dias. Se fizermos uma turma com 1/4 da primeira e 2/3 da segunda, em quanto tempo o trabalho será feito? R: 10 dias 158 —Havia 9 dias que “A” trabalhava e tinha realizado 3/8 de uma certa obra; quando chegou “B” para auxiliá-lo e, juntos, gastaram ainda 3 dias para terminá-la. Calcule em quantos dias “B” teria realizado o trabalho sozinho. R: 6 dias 159 —Três torneiras enchem um tanque. A primeira e a segunda em 12 horas; a primeira e a terceira em 15 horas e a segunda e a terceira com 20 horas. Estando o tanque vazio, em quanto tempo as três torneiras enche­ riam o tanque se funcionassem simultaneamente? Solução: Chamando as torneiras de primeira, segunda e terceira, respectiva­ mente de A, B e C, temos: 1 A e B —> 12 h /. em uma hora — 12 A e C —> 15 h 1 em uma hora — 15 B e C —>20 h 1 em uma hora — MATEMÁTICA PASACONCURSO~NÚMEROS FRACIONÁRIOS 253 1 1 Somando-se, temos: ^ + 1 5+4+3 12 ^ Veja que: 12/60 é a fraçãodo tanque que foi cheio pelas 6 tornei­ ras, visto que cada uma delasentrou duas vezes. Dividindo, portanto, 12 12 12/60 por 2 temos -^-+2 ——— que é a fração do tanque que foi cheio 12 120 •pelas três em uma hora. Logo: 120 120 lh 120 x=------- —lOhoras 12 160 —Três operários fazem um serviço: José e Paulo em 4 dias; José e Pedro em 3 dias e Paulo e José em 6 dias. Calcule em quantos dias os três operários trabalhando juntos fariam o serviço, se o dia de trabalho é de 9 horas. R: 2 dias e 6 horas 161 —Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as torneiras A, B e C enchem o tanque em 10 horas;B, C eD em 15 horas; A, B e D em 20 horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque vazio, em quantas horas as quatro torneiras encheriam o tanque se funcionassem conjuntamente? R: 12 horas 162 - Uma máquina A produz 1.200 peças em uma hora, outra máquina B produz 800 peças em 1 hora e 20 minutos. Calcule em quanto tempo as máquinas A e B , trabalhando juntas, produzirão 2.500 peças. R: lh 23 min e 20 seg 163 - Uma turma de operários faz um trabalho em 4 dias. A metade dessa turma juntamente com a metade de outra turma, faria em um dia 13/72 254 HILDER GÓES * UBALDO TONAR do mesmo trabalho. Calcule em quantos dias a segunda turma sozinha faria o trabalho todo. R: 9 164 —Uma torneira “A” enche um tanque em 20 minutos e outra “B” enche o mesmo tanque em 30 minutos. Funcionaram juntas durante 5 minutos, quando então 20 min—>— x5= — 20 20 1 5 B~»30minH>— x5= — 30 30 A 5 154-10 _ 25 20 30 ~ 60 ~ 60 ■^-(tanque todo)--^-=-— (o que falta para encher) 60 60 60 . 1 — 20 , . Imin . —3 mm 60 lm in :r£> 35 35 x = 35 60 60 3 R: 11 min e 40 seg 165 — Uma torneira “A” enche um tanque em 6 horas e uma torneira “B” enche o mesmo tanque em 8 horas. A torneira “A” começa a en­ cher o tanque sozinha, mas depois de 2 horas de funcionamento, para por causa de um defeito. A torneira “B” então começa a trabalhar, porém depois de 3 horas funcionando, também para por causa de um defeito. Depois de ambas consertadas recomeçam a funcionar juntas. MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 255 Calcule em quanto tempo as duas torneiras encheram o restante do tanque. R: 6 horas 166 —Uma torneira “A” enche um tanque em 6 horas e uma torneiras “B” em 12 horas. A torneira “A” trabalha duas horas e para. Em seguida a torneira “B" trabalha 3 horas e para. Logo após as duas funcionam con­ juntamente. Calcule em quanto tempo elas gastaram para encher o restan­ te do tanque. R: 6 horas e 40 minutos 167 - Um tanque é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchêlo em 5 horas e a segunda em 4 horas. Em que tempo as duas torneiras poderão encher esse tanque, se abrirmos a segunda torneira uma hora após a primeira. R: 2 horas 46 min. 20 seg. 168 - Um tanque é alimentado por 4 torneiras. A primeira demora 15 horas para encher sozinha o tanque, a segunda gasta 20 horas, a terceira 30 horas e uma quarta 60 horas. Após ficarem abertas juntas durante 4 horas, fecharam as duas primeiras. Calcule quanto tempo demorarão as duas úl­ timas ficando abertas, para terminar de encher o tanque. R: 6 horas 40 minutos ^ •.■:> - i j. - L' > 256 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 4 '5 NÚMEROS FRACIONARIOS - Questões de Concursos 01) CJF —Numa certa cidade, 3/12 dos moradores são de nacionalidade estrangeira. Sabendo-se que o total de habitantes é 11.760, o número de brasileiros nessa cidade é: a) 8.250 b) 9.600 c) 10.780 d) 8.500 e) 8.820 02) TST —Depois de gastar a metade do meu dinheiro, gastei 3/4 do que sobrou e recebi uma quantia igual a 7/5 do que restava. Quanto tinha se agora tenho %30.000,00? a) $ 50.000,00 b) $ 60.000,00 c) $ 80.000,00 d) | 90.000,00 e) $ 100.000,00 03) AFEB - Se %1.100.000.000,00 é o valor de 2/3 de uma obra, então o valor de 3/11 dessa mesma obra é: a) $ 430.000.000,00 b) $ 435.000.000,00 c) $ 440.000.000,00 d) $ 445.000.000,00 e) $ 450.000.000,00 04) TTN - Em uma amostra retirada de um lote de feijão constatou-se que 3/7 dele era feijão branco e o resto de feijão preto. Sabendo-se que a diferença entre as quantidades de sacos de um e outro tipo de feijão é 120, os sacos de feijão branco eram, portanto, em número de: a) 840 b) 480 c) 360 d) 240 e) 120 05) BB —Retirei, inicialmente, uma quinta parte de minha conta bancária. Depois saquei uma quarta parte do resto e ainda sobraram $ 7.500,00. Qual era o saldo. a) 12.750,00 b) 12.500,00 c) 12.250,00 d) 10.200,00 e) 9.600,00 06) BB - Um pai faleceu deixando uma herança para ser dividida em partes iguais por 5 filhos, um dos quais é viúvo e possui 4 filhos. SabendoMATEMÁTTCA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 257 se que a parte que cabe ao viúvo é metade dele e metade dividida em partes iguais entre seus filhos, podemos afirmar que cada filho do viúvo receberá: a) 1/40 b) 1/25 c) 1/11 d) 1/10 e) 1/9 07) BB —Gastei 5/12 do-que tinha com gasolina; 3/8 com compras de mercadorias; 1/9 com despesas de hotel; com o restante saldei uma divida de $ 35.000,00. Quantos quilômetros percorri sabendo-se que o litro de gasolina estava a $ 75,00 e meu carro fazia 10 Km/litro. a) 200 b) 2.000 c) 2.200 d) 20.000 e) 22.000 08) BB —Uma quantia foi dividida entre três pessoas. A primeira recebeu 3/4 desta quanda menos $ 23.000,00. A segunda recebeu a sexta parte da quantia, mais $ 18.000,00 e a terceira recebeu os $ 16.000,00 restantes. Qual o valor da quantia. a) 213.000,00 b) 162.000,00 c) 156.000,00 d) 132.000,00 e) 123.000,00 09) BB - Fui às compras e gastei 1/6 do meu salário; depois paguei uma dívida $ 16.000,00 e ainda sobraram % 54.000,00. Qual o meu salário. a) %48.000,00 b) $ 72.000,00 c) $ 84.000,00 e) $ 90.000,00 d) $ 86.000,00 10) BB —Num escritório, 3 funcionários receberam 400 fichas cada um, para datilografar. Na hora do lanche o primeiro já havia cumprido 5/8 de sua tarefa, o segundo 3/5 e o terceiro 6/10. Quantas fichas restavam para ser datilografadas. a) 470 b) 500 c) 610 d) 730 e) 950 11) MPU ~ Um comerciante vendeu 4/7 de uma peça de tecido e ainda restavam 450 cm. Quantos metros tinha a peça a) 1050 m b) 150,5 m c) 105 m d) 45,50 m e) 10,50 m 12) MPU - Uma bola de tênis é abandonada de uma altura de 1,2 m. Sabendo-se que ela volta até os 3/8 da altura de onde caiu, pergunta-se 258 HILDER GÓES * UBALDO TONAR quantos metros percorreu essa bola desde que foi abandonada até bater no chão pela segunda vez. a) 1,56 m b) 1,65 m c) 2,10 m d) 2,2 m e) 3,2 m 13) MPU - Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos levaria 25 dias. Os dois começam a trabalhar juntos, mas após 6 dias João deixa o trabalho; 2 dias após a saída deste, Carlos também abandona. Antônio, sozinho, consegue terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção do muro, sozinho, Antônio levaria: a) 48 dias b) 60 dias c) 12 dias e 12 horas d) 75 dias e) 50 dias 14) TST —Dois trabalhadores fazem juntos um serviço em 10 dias. Se um deles sozinho realiza a mesma tarefa em 15 dias, o outro seria capaz de realizar a mesma tarefa em: a) 18 dias b) 20 dias c) 25 dias d) 27 dias e) 30 dias 15) TRT - Do total de ingressos para um espetáculo, 2/5 foram compra­ dos por homens e 3/8 por mulheres. Se ainda restam 135 ingressos para serem vendidos, o número de ingressos comprados por homem foi: a) 240 b) 270 c) 320 d) 450 e) 600 16) TRE —Um certo número X de relatórios foi distribuído entre 3 pes­ soas, sabendo que a primeira recebeu 1/5 do total; a segunda 1/3 do nú­ mero restante; a terceira,-as 96 restantes. O número X é: a) 150 b) 180 c) 195 d) 210 e) 240 17) TRE ~ Para revestir com azulejos 1/4 de uma parede, seria necessários 80 azulejos iguais* Depois de revestida toda a parede, notou-se que 1/10 do número total de azulejos estavam defeituosos. O número de azulejos nào defeituosos era: a) 353 b) 320 c) 310 d) 288 e) 32 18) TRE ~ De 50 pessoas que trabalham numa empresa, os 0,4 desse número recebem salário mensal de $ 15.000,00 cada e as restantes recebem %22.000,00 cada. A folha de pagamento desses funcionários perfaz um total de: a) $ 660.000,00 b) $ 820.000,00 c) ■$ 890.000,00 d) $ 930.000,00 e) $ 960.000,00 MAXEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 259 19) TJC —Um motorista oficial do 1J/CE abasteceu seu carro com 60 litros de combustível e gastou 3/5 do mesmo. Então sobraram: a) 24 litros de combustível b) 3/5 do combustível c) 48 litros de combustível d) 5/3 do combustível e) 2/3 do combustível \ 20) TTN —Três irmãos devem dividir uma determinada quantia, de modo que o primeiro receba 2/3 menos $ 600,00; o segundo 1/4 e o terceiro, a metade menos $ 4.000,00. O valor que o primeiro irmão deve receber é de: a) $ 6.760,00 b) $ 1.520,00 c) $ 2.760,00 d) $2.520,00 e ) $ 11.040,00 21) TRE —Uma pessoa recebeu como tarefa conferir um certo número de requerimentos. Conferiu 1/3 do total de requerimento pela manhã e 1/5 do número restante à tarde. A fração que corresponde aos números de reque­ rimentos não conferidos é: a) 1/5 b) 4/15 c) 2/5 d) 7/15 e) 8/15 22) PETROBRAS - Um tanque é abastecido por três torneiras A, B e C. Juntas, A e B, enchem o tanque em 18 minutos; A e C, em 12 minutos; B e C, em 9 minutos. Em quantos minutos A, B e C juntas encherão o tanque. a) 4 min b) 5 min . c) 6 min d) 7 min e) 8 min 23) TRT —Um tanque é alimentado por duas torneiras. Se apenas a pri­ meira torneira for aberta, o tanque ficará cheio em 2 horas. Se apenas, a segunda torneira for aberta, o tanque ficará cheio em 3 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, o tanque ficará cheio em: a) 1 hora b) 1 hora e 2 minutos c) 1 hora e 12 minutos d) 1 hora e 20 minutos e) 1 hora e 30 minutos 24) BM - Ao encerrar-se o expediente de uma agenda bancária, diversas pessoas aguardavam, na fila, para serem atendidas por três caixas: A, B e C. Se A atender ao dobro do número de pessoas de B, B atender à metade de C e este atender à terça parte do total de pessoas da fila, a fração que representa o número de pessoas que ainda aguardam na fila é: a) 1/6 b) 1/3 c) 1/2 d) 2/3 e) 5/6 260 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR 25) TTN —O s2/3de5/3do preço de uma moto eqüivalem a 3/2 de 2/5 do preço de um automóvel, avaliado em $ 9.600,00. O preço da moto é de: a) %5.760,00 b) $ 8.640,00 c) % 6.400,00 d) $16.000,00 e) 15.184,00 26) AFRE —3 torneiras quando abertas sozinhas, enchem um reservató­ rio em 36h,-6h e 18h, respectivamente. Abertas simultaneamente, a piscina estará cheia em: a) 9h b) 7h c) óh d) 4h e) 3h 27) AFRE —Uma pessoa comprou dois objetos pagando preços iguais e vendeu-os por $ 4.900,00 no total. Um dos objetos foi vendido pelo preço de compra e no outro obteve-se um lucro de 1/3 sobre o preço da com­ pra. O custo do primeiro objeto foi: a) ? 2.100,00 b) $ 1.900,00 c) % 1.750,00 d) $1.690,00 e)$ 1.850,00 28) AFRE ~ Na planilha de previsão orçamentária de uma empresa para um certo mês, consta um total de gasto equivalente a $ 216.000,00. Deste total, 1/2 destina-se ao pagamento de funcionários, 1/4 a pagamento de impostos e 1/6, a gastos com documentação. O restante, que se destina a despesas miúdas, é de: a) $ 108.000,00 b) $ 54.000,00 c) $ 36.000,00 d) $ 18.000,00 e) $ 16.000,00 ' 29) MPU - Uma costureira confecciona 40 blusas em 3 dias de 7 horas de trabalho; outra costureira confecciona o mesmo número de blusas em 2 dias de 9 horas. Trabalhando juntas, em quantos dias de 7 horas farão 260 blusas, a) 7 b) 36 c) 12 d) 9 e) 8 30) TTN —Uma caixa d’água com capacidade para 960 m3 possui uma tubulação que a alimenta e que a enche em 7 horas. Possui também um “ladrão” que a esvazia em 12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa e o “ladrão” funcionando simultaneamente, em que tempo a caixa d’água ficará cheia. b) 14h 8min c) 16h 28min a) 16h 8min d) 16h 48min e) 14h 48min MATEMÁTICA PARA CONCURSO- QUESTÕES DE CONCURSOS 261 31) PRF - joão faz um muro em 20 dias e Pedro faz o mesmo muro em 30 dias. Tendo trabalhado juntos durante 5 di is, passaram a ser ajudados por Carlos e terminaram o muro em 3 dias. Em quantos dias, Carlos cons­ truiria o muro sozinho. a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 32) TRF —Seja X o número de fichas cadastrais recebidas para arquivo. Dois funcionários, A e B, trabalhando juntos, arquivaram 3/5 de X em 8 horas. Se A, trabalhando sozinho, consegue arquivar 1/4 de X em 10 ho­ ras, quantas horas levará B para arquivar a metade de X. a) 15 b) 14 c) 12 d) 11 e) 10 33) TRE —A máquina Á tira 800 cópias em 1 hora e a máquina B tira 800 cópias em 1 hora e 20 minutos. Em quanto tempo, as máquinas A e B, juntas, tirarão 2.100 cópias. a) lh 15min b) lh 20min c) lh 25min d) lh 30min e) lh 40min 34) TTN - Um tanque é alimentado por duas torneiras; a primeira pode enchê-lo em 5 horas e a segunda em 4 horas. Em que tempo se pode encher esse tanque, sé abrirmos a segunda torneira uma hora após a primeira. a) 3h lOmin b) 3h 15min c) 3h 15min lOs d) 2h 46min 40s e) 2h lOmin lOs 35) TRE —O tanque de gasolina de um carro tem a capacidade fjara>65 litros. No momento, ele apresenta apenas 2/5 de gasolina. Quantoè litros de gasolina há nesse tanque. a) 30 litros b) 32 litros c) 18 litros d) 26 litros e) NDR 36) TRE —Numa viagem entre duas cidades, fiz uma parada após percor­ rer 4/9 do percurso. Faltaram 150 quilômetros para o final. Qual a distân­ cia entre essas cidades. a) 180 km b) 240 km c) 270 km d) 140 km e) NDR 37) TJCE —Em 4 horas duas torneiras enchem um tanque. Sozinha, uma delas encheria o tanque em 7 horas. Quanto tempo seria necessário para a segunda torneira encher o tanque. a) 9h 30min b) 9h 40min c) 9h 50min d) 9h e) 9h 20min 262 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 38) TJCE —Joao fez 5/8 de um trabalho em 15 dias. O resto do trabalho fê-lo com o auxílio de Pedro em 5 dias. Em quantos dias Pedro, trabalhan­ do só, poderia fazer esse trabalho. a) 18 b) 35 ' c) 30 d) 24 e) 20 39) TJCE —7/8 de certa quantia valem $ 910,00. Essa quantia foi reparti^da entre 3 pessoas. A Ia recebeu 1/4; a 2a, 2/5 e a 3a pessoa, o resto. A terceira pessoa recebeu a importância de: a) $ 227,50 b) $ 416,00 c) $ 364,00 d) $ 318,50 e) $ 260,00 40) TJCE —Dois trabalhadores podem fazer um trabalho em 15 dias e 18 dias, respectivamente, trabalhando sozinhos. Com o auxílio de um tercei­ ro podem fazê-lo em 6 dias. Em que tempo o terceiro trabalhador pode fazer o serviço, trabalhando só. a) 24 dias 22 horas b) 20 dias 12 horas c) 20 dias 22 horas d) 22 dias 12 horas e) 22 dias 22 horas 41) TJCE —Uma caixa d’água tem um vazamento que a esvazia em 8 horas. A torneira que a abastece pode enchê-la em 6 horas. Com a torneira aberta, em quanto tempo a caixa dJágua ficará cheia. a) óOh b) 12h c) 24h d) 3óh e) 48h RESPOSTAS 01) E 06) A 11) E 16) B 21) E 26) D • 31) D 36) C 02) E 07) D 12) C 17) D 22) E • 27) A 32) E 37) E 03) E 08) D 13) E 18) E 23) C 28) D 33) D 38) C 04) C 09) C 14) E 19) A 24) A . 29) D 34) D 39) C 05) B 10) A 15) A 20) A 25) E 30) D 35) D 40) D MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 263 1 REGRA DE TRÊS Chama-se "regra de três" a certos problemas nos quais, sendo da­ dos valores de várias grandezas, sempre em número ímpar de, no mínimo, três, podendo, entretanto, ser 5, 7, 9 , propôs-se determinar o valor de uma, e somente uma, grandeza desconhecida. No método a seguir, não levaremos em consideração o que seja regra de três simples ou composta, bem como regra de tirês direta ou inversa. MÉTODO DE RESOLUÇÃO a) Escrevemos, em duas linhas horizontais, os dados do problema; b) Devemos sempre colocar as grandezas correspondentes, uma debaixo da outra, isto é, dia debaixo de dia, hora debaixo de hora, metro debaixo de metro, etc..., e um x debaixo daquela grandeza correspondente à que se deseja determinar; c) Depois de havermos escrito em duas linhas horizontais ps dados do problema, deveremos, sem exceção, proceder da seguinte maneira: Es­ crever o x, igual a um traço de fração e, em cima desse traço, isto é, no numerador, escrever o número que está em correspondência com o x. d) Veja que os problemas de regra de três são compostos de pares de números e, em cada par, existe um número maior e outro menor. Deve­ remos então, com perguntas convenientes, comparar cada "par de núme­ ro" com o par no qual figura a incógnita x; isto é, independente dos valores que constituem os outros pares. Importante: í) Se o resultado da pergunta der m ais, o número m aior irá para onumerador e o menor para o denominador. ii) Se o resultado da pergunta der menos, será o número menot que irá para o numerador e o maior para o denominador. 264 HILDER GÓES *1* UBALDO TONAR 01 - Um homem percorreu 30 km em 5 horas. Quantos quilômetros per­ correrá em 18 horas. Solução: 5h 30 km 18 h x Se em 5 horas um homem percorre 30 km, em 18 horas ele percor­ rerá mais. Como deu mais, o número maior, no caso o 18 irá para o nume__ 30x18 rador e o menor, o 5, para o denominador. Então fica: x - 108 02 - Se em 5 dias uma máquina produz 12.000 pregos, quantos pregos produzirá em 3 dias. Solução: 5 dias 12.000 3 dias x Se em 5 dias uma máquina produz 12.000, em 3 dias ela vai produ­ zir menos. Como deu menos, o 3 que é menor do que o 5 irá para o _12.000 x 3 _n nrin numerador e o 5 para o denominador. Então fica: x — 7.200 03 - Uma olaria fabrica 1.200 tijolos em 5 dias. Quantos tijolos seriam fabricados em 3 dias/ R: 720 tijolos 0 4 - 8 pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quantas horas levarão 6 pedreiros para fazer outro muro igual. R: 96h 05 - Um carro faz um percurso entre duas cidades em 4 horas, com uma velocidade de 120 km/h. Se a velocidade fosse de 80 km/h, quantas horas gastaria. . R: 6h MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 265 06.- Na construção de uma casa, 6 operários gastam 18 dias. Quanto tem­ po levariam 12 operários para construir a mesma casa. R: 9 dias 07 - Um automóvel com velocidade média de 60 km/h percorre uma certa distância em 4 horas. Quantas horas levaria se tivesse uma velocidade média de 80 km/h. Solução: 60 km/h 4h 80 km/h x Se desenvolvendo 60 km/h percorre a distância em 4 horas, desen­ volvendo 80 km/h percorrerá ém menos horas. Como deu menos o 60 que é menor do que o 80 vai para o numerador e o 80 para o denominador. 4 x 60 3„ x —---------80 08 - Um automóvel com velocidade de 75 km/h faz um percurso em 6 horas. Qual seria o tempo gasto se a sua velocidade fosse de 90 km/h. R: 5h 09 - Um parafuso penetra 3,2 mm a cada 4 voltas. Quantas voltas deverá dar para penetrar 16 mm. R: 20 voltas 10 - 40 pintores pintam um edifício em 10 dias. Querendo fazer o mesmo serviço em 8 dias, quantos pintores seriam necessários. R: 50 pintores 11 - Üm relógio atrasa 4 minutos em cada 24 horas. Quantos minutos atrasará em 60 horas. R: lOmin. 12 - Um muro terá 40 metros de comprimento. Em 3 dias foram construídos 12 metros do muro. Supondo que o trabalho contínua a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias ò restante do muro será construído. 266 HILDER GÓES * UBAI£>0 TONAR Observação: Quando num problema aparecer expressões como: "terá", "pretende fazer", "deseja realizar" ou qualquer outra semelhante; o número que a elesse relaciona, não entra na formulação do problema; serve, apenas, de base para, dele, se tiraroutro número Solução: O muro terá 40 metros. Como já foram feitos 12 metros, o restante . é de 28 metros: 12 m 3d 28 m x Para se fazer 12 metros foram necessários 3 dias, para. se fazer 28 metros serão necessários mais dias. Logo) o 28, que é maior do que o 12, vai para o numerador e o 12 para o denominador. 3x28 „ x ~ --------= 7 12 13 ~Uma roda de automóvel dá 1.500 voltas em 3 minutos. Quantas voltas dará em 10 minutos, supondo-se que a velocidade permaneça constante. R: 5.000 voltas 14 - Se 15 operários fazem uma.obra em 16 dias. Quantos dias levarão 24 operários para fazerem a mesma obra. R: 10 dias 15 - Uma árvore de 4 metros de altura projeta no solo uma sombra de 6 metros de comprimento. Qual deve ser a altura de uma torre que no mes­ mo instante projeta uma sombra de 21 metros de comprimento. R: 14m 16 - A sombra de uma torre mede ó,5m e a de uma vara l,4m quando colocadas verticalmente no mesmo momento. Calcule a altura da torre, sabendo que a vara tem 4,2m de comprimento. R: 19,5m 17 - Se 10 operários fazem em 8 dias 2/5 de um serviço, em quantos dias 12 operários farão o resto do serviço. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 267 Solução: Se foram feitos 2/5 do serviço, é porque o serviço todo é 5/5. Logo, o resto será ^ . Para maior facilidade de cálculos, não trabalhamos com os denomi­ nadores das frações, o que não alterará o resultado; isto porque esses de­ nominadores são iguais. Ficando portanto, 2 serviços e 3 serviços. No que resulta: 10 op. 8 d 2 s 12 op. x 3s Se 10 operários fazem um serviço em 8 dias, 12 operários farão o mesmo serviço em menos dias. Então, o 10, que é menor que o 12 vai para o numerador, e o 12 para o denominador Se 2 serviços são feitos em 8 dias, 3 serviços serão feitos em mais dias. Logo, o 3 que é maior que o 2 vai para o numerador e o 2 para o __ 8 x 1 0 x 3 __1A denominador. Então temos: x ------ ——- —10 12x2 18 - Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas. Se houvesse 30 linhas em cada página, quantas páginas teria o mesmo livro. R: 300 páginas 19 -'Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas e cada linha com 60 letras. Se houvesse 90 linhas em cada página e cada linha com 40 letras, quantas páginas teria o mesmo livro. R: 150 páginas 20 - Em uma máquina existem 2 rodas engrenadas uma na outra* A pri­ meira tem 40 dentes e a segunda 30. Sabendo-se que a primeira deu 450 voltas em um determinado tempo; quantas voltas deu asegunda no mes­ mo tempo. R: 600 voltas 268 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 21 - Um tear, trabalhando com certa velocidade, dá 60 batidas para produ­ zir em 90 minutos um metro de tecido. Quantas batidas precisará dar para, em 40 minutos, produzir a mesma quantidade de tecido. 135 batidas R : 22 - Para fazer um serviço em 4 horas foram necessários 15 homens. Quantos homens seriam necessários para fazer o mesmo serviço em 12 horas. Observação: Quando no problema surgirem grandezas como ho­ mens e horas, é conveniente colocar op. .(abreviatura de operário) em vez de h (abreviatura de homem) para nào confundir com o h (abrevia­ tura de hora). Solução: ^ ^ Armando-se o problema, temos: 4h 15 op. 12 h x * Se para fazer o serviço em 4 horas foram necessários 15 operá­ rios, para fazer em 12 horas serão necessários menos operários. Logo, o 4 que é menor do que o 12 irá para o numerador e o 12 para o denominador. 15 x 4 12 c X —: ------------- = 5 23 - Para fazer 180 metros de um muro, foram necessários 15' homens, trabalhando 18 dias de 10 horas. Quantos dias, de 6 horas, serão necessá­ rios para 30 homens fazerem 60 metros do mesmo muro? Solução: Armando-se o problema, temos: 180 m 15 op. 18 d 10 h 60 m 30 op, x 6h • Se para fazer 180 metros foram necessários 18 dias de trabalhos, pará fazer 60 m, serao necessários menos dias. Como deu menos, o núme­ ro menor, no caso o 60, irá para o numerador e o maior, o 180, para o denominador. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA PE TRÊS 269 • Se 15 operários fazem determinado serviço em 18 dias, 30 operá­ rios farão esse serviço em-menos dias. Como deu menos, o número me­ nor, no caso o 15, irá para o numerador e o maior, o 30, para o denominador. * Trabalhando-se 10 horas por dia, foram necessários 18 dias para se fazer determinado serviço, trabalhando-se 6 horas por dia serão neces­ sários mais dias para se fazer esse mesmo serviço. Nesse caso deu mais, então o número maior, o 10, irá para o numerador, e o menor, o 6, irá para o denominador. Entao temos: _ 18x60x15x10 180 x 30 x 6 24 - Se 15 operários gastam 3 horas para transportar 3.000 tijolos numa distância de 2 km; quantas horas gastarão 10 operários para transportarem 2.000 tijolos, numa distância de 3 km? R: 4 horas e 30 minutos 25 - Uma turma de trabalhadores fez um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade é 0,2 em 8 dias. Em quantos dias a mesma turma faria o mes­ mo trabalho, se o coeficiente de dificuldade fosse, agora, de 0,25? R: 10 dias 26 - Para construir 300 metros de um muro, 12 homens, trabalhando 5 horas por dia, trabalharam 6 dias. Trabalhando 4 horas por dia, 18 homens durante 5 dias, quantos metros construirão? . R: 300m 27 ~8 operários desejam construir um muro de 20 metros de comprimen­ to. Depois de 6 horas *de trabalho fizeram apenas 12 metros. Quantos operários serão necessários para, trabalhando 16 horas por dia, termina­ rem o serviço. Relembrando: Em regra de três, os dados contidos em expressões como "desejam fazer", "pretendem construir", "queriam realizar" ou ou­ tras de igual sentido, não entram na solução do problema, servem apenas de base para que possamos tirar dados reais e concretos para se armar o problema. 270 HILDER GÓES * UBALDO TONAR No nosso exemplo, os.operários "desejavam construir" 20 metros mas, de fato, só fizeram 12, restando, portanto, 8 metros para serem construídos. Teremos então: 8 op. 6h 12 m (fizeram) x 16.h ■8m (resto) Solução: • Trabalhando-se 6 horas, foram necessários 8 operários para fazer determinado serviço; trabalhando-se 16 horas, serão necessários menos operários- Então, o número menor, no caso o 6, irá para o numerador, o 16 para o denominador. • Se, para construir 12 metros de muro, são precisos 8 operários; para se construir 8 metros serão precisos menos operários. Então, o 8 que é menor que o 12 irá para o numerador e o 12 para o denominador. No que resulta: 8x6x8 x =---------- —2 16x12 2 8 - 8 operários fizeram em 5 dias de trabalho 2/3 de uma obra. Em quantos dias, 15 operários poderão fazer o serviço todo. Solução: • Se foram feitos 2/3 é porque a obra toda é 3/3. Como os denominadores são iguais podemos desprezá-los ficando 2 serviços e 3 serviços. Armando o problema, temos: 8 op.. 5 d2s 15 op. x .3 s • Se 8 operários gastam 5 dias para fazer um serviço, 15 operários gastarão menos dias. Como deu menos, o 8 que é menor do que o 15, irá para o numerador e o 15 para'o denominador. • Se para fazer 2 serviços foram precisos 5 dias, para fazer 3 servi­ ços serão necessários mais dias. Como deu mais, o 3 que é maior do que o 2 irá para o numerador e o 2- para o denominador. Então resulta: 5x8x3 x = ----------- —4 15x2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 271 Em 28 dias, 12 operários fizeram a metade de certa obra. Quanto tempo levam ainda para terminá-la com 4 operários a menos? R: 42 dias \ - 2 operários produzem, em 5 dias, 300 peças de um certo produto. Quantas peças serão produzidas por 5 operários em 12 dias? R: 1.800 peças ‘ 31/- Uma máquina funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas, por dia, deveria funcionar, para fabricar 20.000 pregos em 20 dias? R: 2 horas V ‘■ s32 \ 20 operários de capacidade 4, fazem uma obra em 15 dias. Quantos operários de capacidade 5 fariam a mesma obra em 20 dias? R: 12 operários ’ 33 r Num haras, são consumidos 210 kg de alfafa na alimentação de 3 cavalos durante 7 dias. Para alimentar 8 cavalos durante 10 dias, quantos quilos de alfafa serão necessários? R: 800kg 34 - Um ciclista percorre 75 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 200 km, pedalando 4 horas por dia? R: 4 dias Relembrando: 1) Devemos armar o problema em duas linhas horizontais, colo­ cando natureza debaixo de natureza; 2) Escrever x, igual a um traço de fração e no numerador o número que está em correspondência com o x; 3) comparar cada par de número, independente dos outros pares, com o par em que figura o x. Quando der mais o número maior vai para o numerador e, quando der menos, o número menor vai para o numerador. Observação: Se um par for constituído de números iguais, pode­ mos eliminar esse par sem alterar o resultado do problema. 272 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 3 5 - 6 operários, em 15 dias, fizeram metade do trabalho de que fo­ ram encarregados. No fi.tn desse tempo, 4 operários abandonaram o trabalho. Em quanto tempo os operários restantes poderão terminar o trabalho? R: 45 dias 3 6 - 1 0 operários em 16 dias de serviços, fizeram 2/5 de uma obra. Se 16 operários, em 20 dias, fizeram o restante do serviço; qual a dificuldade desse segundo grupo, se a do primeiro é 3. R: 4 37 - Sabendo-se que 8 operários trabalharam 15 dias, de 10 horas, para abrir um canal de 48 metros de comprimento, em um terreno de dureza 5. Calcular quantos dias de 9 horas seriam necessários para 7 operários abrirem outro canal de 252 metros de comprimento, num terreno de dureza 2. R: 40 dias 38 - Um datilografo com capacidade para 150 toques por minuto, traba­ lhando 3 horas por dia, em 16 dias, datilografa 15 livros. Quantos dias ques por minuto, trabalhatído 4 horas por dia. R: 20 dias 39 - Uma máquina trabalhando 6 horas por dia, produz 20.000 pregos em 10 dias. Em quantas horas, outra máquina que é duas vezes mais ativa do que a primeira, precisará trabalhar por dia, para produzir 36.000 pregos em 12 dias? Observação: Cuidado com as expressões: duas vezes e duas vezes mais ou tres vezes e três vezes mais. Pois, duas vezes indica que uma é 1 e a outra é 2. Enquanto que duas vezes mais, indica q ue é uma 1 e a outra é 3; pois existe entre 1 e 3 uma diferença de 2. Em três vezes temos: 1 e 3. E, em três vezes mais, temos: 1 e 4. E assim por diante: Armando-se o problema, temos: 6h 10 d 1 cap. 20.000 p x 12 d 3 cap. 36.000 p MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 273 Solução: • Se para fabricar 20.000 pregos foram necessários 6 horas de tra­ balho; para se fabricar 36.000, serão necessárias mais horas. Logo, o 36.000, que é maior do que o 20.000, irá para o numerador e o 20.000 para o denominador. • Se em 10 dias, para se fazer certo serviço, foi preciso trabalhar 6 horas por dia; trabalhando-se 12 dias para fazer o mesmo serviço, será preciso menos horas. Logo, o 10 que é menor do que o 12 irá para o numerador e o 12 para o denominador. • Se com uma capacidade 1, foram necessárias 6 horas de trabalho para se fazer certo serviço; com uma capacidade 3 será preciso menos horas. Se deu menos, o 1 que é menor que o 3 irá para o numerador e o 3 para o denominador. No que resulta: x = M 6x36.000x10x1 rrTTT—71 ~ 20.000x12x3 40 - 14 homens gastam 20 dias para fazer 45 metros de um muro. Quanto tempo levará a metade desses homens para fazer 18 metros de outro muro, cuja dificuldade é três vezes maior que a anterior. R: 64 dias 4 1 - 1 0 operários, trabalhando 6 horas por dia durante 5 dias, realizaram certo serviço. Em quantos dias, 12 operários trabalhando 10 horas por dia, poderão fazer outro serviço, cuja dificuldade é quatro vezes a dos primeiros. R: 10 dias 42 - No revestimento de um muro de 16 metros de comprimento e 2,5 metros de altura, foram gastos 84 kg de reboco. Quantos quilos serão necessários para revestir outro muro de 30 metros de comprimento e 1,8 metros de altura. Temos: 16 m/c 2,5 m/a 84 kg 30 m/c 1,8 m/a x 274 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR Solução: • Se para 16 metros foram gastos 84 kg, para 30 metros serão gas­ tos mais quilos. Como deu mais, o 30 é maior do que o 16, irá para o numerador. • Se para 2,5 metros foram gastos 84 kg, para 1,8 metros serão gastos menos quilos. Como deu menos, o 1,8 que é menor do que o 2,5 é quem irá para o numerador. No que resulta: 84x30x1, 8 16x2,5 43 - 20 operários cavam 400 metros de um poço, em 15 dias de 8 horas. Em quantos dias de 9 horas, 15 operários cuja capacidade de trabalho é três vezes a dos primeiros, poderão fazer 900 metros de outro poço, cuja dificuldade seja 3/5 da do primeiro. R: 8 dias 4 4 - 5 0 homens têm provis^s para 20 dias, à razão de 3 rações diárias. Se as rações diminuem de 1/3 e se o número de homens aumenta de 10. Quantos dias durarão os mantimentos. X, di S R: 25 dias ? Veja Com M uita Atenção: a) Se foram feitos 2/7 de um serviço temos: Í) o serviço todo é 7/7 ü ) o resto será 5/7 b) Se uma velocidade aumenta de 1/5, é porque eia era 5/5, fican­ do portanto em 6/5; c) Se uma vd.ocidade diminui em 4/7, é porque ela era 7/7 ficando, portanto, em 3/7; d) Se a dificuldade ou habilidade de uma segunda turma é 5/8 da primeira turma, é porque a dificuldade ou habilidade dessa primeira turma é de 8/8; sendo portanto a segunda turma 5/8 de 8/8 que é 5/8. e) Quando os denominadores forem iguais, devemos eliminá-los. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 275 45 - 15 homens cavaram um poço em 10 dias, trabalhando 8 horas diárias. Em quantos dias, 40 homens cavarão outro igual, trabalhando 12 horas por Hia/sabendo que a dificuldade da segunda obra aumentou em 3/5. R: 4 dias 46 - Em 10 dias, um homem percorre 150 km, à razão de 5 horas diárias de marcha. Qual será a distância que percorrerá em 8 dias à razão de 6 horas de marcha, se diminui a velocida.de de 1/8. R: 126km 47 - Em 20 dias, um viajante andando 12 horas por dia, faz 1.440 km. Quantas horas deverá andar por dia, para viajar 1.890 km, se caminhar 25 dias, e se diminuir a sua veloddade de 3/10. R: 18 horas 48 - Viajando 6 horas por dia, um avião percorre, em 4 dias, 5.750 km. Aumentando de 1/10 a sua velocidade e viajando 8 horas por dia, em 9 dias, que distânda percorrerá. R :^ e 08-km I ^ 49 - Um viajante andando 12 horas por dia, durante 20 dias, faz 1.440 km; quantas horas deverá andar, por dia, para fazer 1.890 km, se andar 15 dias com a velocidade diminuída de 1/10. R: 23 horas e 20 minutos 50 - Se um ciclista aumentasse de 1/5 a sua velocidade, quantas horas por dia deveria pedalar para fa2er em 4 dias o caminho que havia feito em 5 dias, pedalando 6 horas por dia. R: 6 horas e 15 minutos 51 - 1/3 de uma turma faz 4/5 de um serviço em 2/3 de uma hora. Calcular em quanto tempo o restante da turma fará o serviço todo. R: 25 minutos 276 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 52 - Verificou-se que 3/5 de certo trabalho foram feitos por 20 operários, em 9 dias de 9 horas. Quantas horas deverá trabalhar 27 operários para executar a metade do resto do mesmo trabalho, em 5 dias. R: 4 horas Observação: Quando o problema solicitar de quanto foi o acrésci­ mo ou de quantos homens teriam de ser reforçados, atente para: i) Se o número resultante for maior do que o dado no problema, a resposta será a diferença, isto é, se no problema for 10 e você encontrou 15, então a resposta será 5. ii) Se o número resultante for menor do que o dado no problema, a resposta será esse número, isto é, se no problema for 10 e você encontrou 1, então a resposta será 7; iü) Se o número resultante for igual ao dado no problema, isto é, se no seu problema for ó e você encontrou 6, a resposta será "nenhum". 53 - Uma turma de 15 operários pretende terminar em 14 dias, certa obra. Ao cabo de 9 dias somente fizeram 3/9 da obra. .Com quantos homens essa turma teria de ser reforçada para concluir a obra no tempo fixado. R: 39 homens ■54 - 10 homens se comprometeram a realizar em 24 dias certa obra. Trabalharam 6 dias à razao de 8 horas diárias. A fim de acabar a obra 8 dias antes do prazo marcado, aumentou-se o número de operários, que passaram a trabalhar todos, 12 horas por dia. De quantos operários foi o acréscimo.^ R: ^operários 55 - Sabendo-se que 3/4 de certa obra foram feitos por 33 pessoas em um ano de trabalho, calcular quantas pessoas seriam necessárias para fazer a obra na metade do tempo. MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 277 Solução: Se foram feitos 3/4 da obra, isso indica que a obra toda é 4/4. Um ano, fazemos igual a 12 meses. Logo, a metade será 6 meses. Relembre que podemos desprezar os denominadores. Armando-se o problema, temos: 3s 33 op. 12 meses 4s x 6 meses * Se para fazer 3 obras ou serviços, foram necessários 33 pessoas, para fazer 4, serão necessários mais pessoas. Logo, o 4 vai para o numera­ dor e o 3 para o denominador. • Se para fazer uma certa obra em 12 meses foram necessários 33 pessoas, para fazer em 6 meses, serão necessários mais pessoas. Logo, o 12 vai para o numerador e o 6 vai para o denominador. x = 3 3 * 4 x l 2 =g8 3x6 56 - Uma rua de 50 metros de comprimento e 8 metros de largura foi pavimentada com 20.000 paralelepípedos. Quantos seriam necessários para pavimentar outra rua com o dobro de comprimento e cuja largura é igual a 3/4 da largura da rua anterior. R: 30.0000 paralelepípedos 57 - Em 50 dias, com 15 homens que trabalham 8 horas por dia,-foram feitos 3/5 de um serviço. Tendo sido empregados mais 5 homens e fa­ zendo-os trabalhar 2 horas a mais por dia, em quantos dias terminarão o serviço. R: 20 dias 58 - Um terço de certa obra foi feito em 12 dias por 21 operários traba­ lhando 8 horas por dia. Quantos dias levariam para terminar a obra, 24 operários trabalhando 7 horas por dia. R: 24 dias 278 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR 5 9 - 8 homens, trabalhando durante 12 dias, à razão de 8 horas por dia ftzefam 2/5 de uma obra. Admitindo-se mais 4 homens e traba­ lhando agora à razão de 6 horas diárias, em quanto tempo a obra ficará pronta. R: 16 dias 60 - 5 operários deveriam fazer uma obra em 17 dias. Depois de 12 dias de 10 horas de trabalho, haviam feito 2/3 da obra. Quantas horas devem trabalhar por dia, daí por diante, para terminar a obra no prazo fixado. Solução: Se deveriam fazer em 17 dias e já trabalharam 12 dias, então faltam 5 dias. Se já fizeram 2/3, a obra toda é 3/3, logo falta 1/3 para ser conclu­ ída. Armando-se o problema, temos: 12 d 10 h 2 ob. 5d x 1 ob. • Se trabalhando 12 dias foi n ecessá rio- trabalhar 10 para se fazer determinada obra, trabalhando apenas 5 dias será necessário mais horas por dia. Logo, o 12 no numerador e o 5 no denominador. • Se para fazer 2 obras foram necessários 10 horas de trabalho, para se fazer 1 obra será necessário menos horas. Então o 1 no numerador e o 2 no denominador. 10x12x1 x =------------- = 12 5x2 61 - Um estudante resolve 6 problemas em meia hora, mas fuma 3 cigar­ ros e bebe uma xícara de café. Se considerarmos que o cigarro diminui a eficiência e o café a estimula, quantos exercícios resolverá fumando 8 ci­ garros e bebendo 4 xícaras de café, em 2 horas. R: 36 exercícios 62 - Com 30 operários, trabalhando 8 horas por dia, certo engenheiro poderá concluir a construção de uma casa em 45 dias. Desejando, poMATFAÍÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 279 rém, terminá-la 15 dias antes, contrata mais 6 operários. Quantas ho­ ras por dia deverão todos trabalhar para que a obra fique terminada nesse prazo. R: 10 horas 63 - Uma tropa de campanha com 380 animais, tem forragem, para 30 dias, dando a cada um 8kg por dia. De quanto deverá ser diminu­ ída a ração diária para que &mesma quantidade de forragem possa durar 48 dias. R: 3kg 64 - Com 12 lâmpadas de igual intensidade, acesas durante 5 horas por dia o consumo de energia elétrica de certa residência, em 39 dias, atinge a 26 quilowatts. Conservando acesas 9 lâmpadas, durante 4 horas por dia, quanto se consumirá em 30 dias. R: 12 quilowatts 65 - Uma turma de 10 operários faz um serviço em 16 dias. Calcule em quantos dias uma turma de 8 operários faria o mesmo serviço, sabendo que a dificuldade da segunda turma esta para a da primeira como 3 está para 5. Observação: Dizer que a dificuldade da segunda turma está para a da primeira como 3 está para 5, ou na razão de 3 para 5, é a mesma coisa de se dizer que a dificuldade da segunda turma é 3/5 da dificuldade da primeira. Solução: Pela observação anterior, temos que: a dificuldade da pri5 3 5 3 meira turma e — e da segunda é ~ de ~ que e ~ . Devemos, como você 5 5 5 5 já sabe, eliminar os denominadores. Armando-se o problema, temos: 10 op. 16 d 5 dif. 8 op. x 3 dif. • Se 10 operários fazem um serviço em 16 dias, 8 operários farão o serviço em mais dias. Logo, 10 para o numerador e 8 para o denominador. 280 HILDER GÓES * UBALDO TONAR • Se com a dificuldade 5, foram necessários 16 dias para se fazer um serviço, com uma dificuldade 3 serão necessários menos dias. Então 3 para o numerador e o 5 para o denominador. 16x10x3 x - ------------- =12 8x5 66 - Em 18 dias de 10 horas, 7 operários abriram uma vala de 30 metros de comprimento. Trabalhando 11 horas por dia, quantos dias gastarão 15 operários para abrir outra vala, de 55 metros de comprimento, se a habili­ dade da primeira turma está para a da segundycomo 3 está para 4 e a dificuldade dos serviços, como 7 está para 4. R: 6 dias 67 - Cinco operários preparam 30 jardins em 6 dias de 8 horas. Quantos dias de 12 horas levarão 9 operários para preparar 90 jardins se a dificuldade do segundo trabalho está para o primeiro como 4 está para 5 e a habilidade dos operários da segunda turma está para a da primeira co m o 2 está para 3 R: 8 dias • 68 t 48 operários, que trabalham 9 horas por dia, gastaram 24 dias para .abrir uma vaia, que mede 32 m de comprimento; 1,2 m de largura e 1,5 m de profundidade. Trabalhando 8 horas por dia, quantos dias, 30 operários; levarão para abrir outra vala, que mede 25 m de comprimento; 1,4 m de largura e 1,6 m de profundidade, sabendo-se que as atividades dos operá­ rios estão na razão 3/4 e que as dificuldades dos trabalhos sao inversa­ mente proporcionais aos números 6 e 5. R: 37,8 dias 69 - Um carro, desenvolvendo a velocidade de 50 km/h, faz um percurso entre as cidades "A" e "B" em 8 horas. Depois de percorrer 100 km, permanece parado uma hora. Que velocidade deve desenvolver daí por diante para chegar na cidade "B" na hora prevista. R: 60 km/h MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 281 70 - Um trem, correndo com a velocidade de 42 km por hora, deve, per­ correr uma distância em 9 horas. Depois de haver percorrido 126 km hou­ ve um defeito na locomodva e o trem teve que parar 45 minutos. Com que velocidade deve continuar a viagem para chegar à estação terminal à hora fixada. R: 48 km/h 71 - Um gato corre 100 metros à frente de um cão que o persegue. En­ quanto o gato anda 9 metros, o cão anda 10. Que distância tem que per­ correr o cão para cobrir 1/4 da distância que o separa do gato. R: 25 Om 72 - Se 15 operários levam 5 dias, trabalhando 8 horas por dia, para fazer 180 metros de uma certa obra, sendo a capacidade de cada um e a dificul­ dade do serviço equivalentes, respectivamente a 6 e 3, quantas horas por dia terão de trabalhar 12 operários para, em 8 dias, fazerem 360 metros da mesma obra, porém com operários de capacidade equivalente a 5 e sendo a dificuldade do serviço apenas equivalente a 2. R: 10 horas ^4 73 - Um acampamento com 60 operários tem mantimentos para 4 me­ ses, os operários comendo 6 rações diárias. Depois de 2 meses chegam mais 20 operários e o chefe do acampamento verifica que os trabalhos devem durar mais 2 meses do que se previa. Quantas rações diárias de­ vem comer. R: 4 rações diárias 74 - Trinta operários, trabalhando 8 hora por dia, fizeram 150 metros de certo tecido, em 12 dias. Quantos operários, de capacidade de trabalho 8/5 da dos primeiros, serão necessários, trabalhando 9 horas por dia, para fazer 153 metros do mesmo tecido, cuja largura é 5/3 da largura do pri­ meiro em 10 dias. R: 34 operários 282 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 75 - Quinze operários, trabalhando 15 dias, 8 horas por dia, abriram um fôsso de 240 metros de comprimento e 5 metros de largura. Qual será o comprimento de um outro fôsso da mesma largura, aberto por 60 operá­ rios, cuja advidade é 3/4 da dos primeiros, em 30 dias, a 10 horas por dia, em um terreno 2 vezes mais difícil de trabalhar. R: 600m 76 - 64 operários, trabalhando 4 horas diárias, durante 18 dias, abriram uma vala de 36 metros de comprimento, em terreno de dureza 4. Determi­ nar o comprimento de outra vala, aberta por 56 operários que trabalham 5 horas por dia, durante 16 dias, em terreno de dureza 2. R; 70m 77 - Se 3/5 de uma turma faz 3/4 de um serviço em 2/3 de uma hora* calcule, em quanto tempo, o restante da turma faria o serviço todo, saben­ do que a dificuldade da segunda turma aumentou em 1/2. R: 2 horas 78 - Em 30 dias, 36 operários, trabalhando 10 horas por dia, cavaram um buraco com 60 metros de comprimento; 2,5 metros de largura e 4 metros de profundidade. Quantos operários serão precisos, trabalhan­ do 12 horas por dia, para cavarem, em 18 dias, um buraco com 75 metros de comprimento, 3 metros de largura e 3,2 metros de profundi­ dade; sabendo que a dificuldade do primeiro trabalho está para a do segundo como 5 está para 6 e a força de um operário da primeira tur­ ma está para a força de um operário da segunda turma como 1 está para 4. R: 18 operários 79 - Um livreiro imprimi suas obras: uma de 25 volumes, tendo cada um 14 folhas de impressão, com 33 linhas de 48 letras por linha, foi composta por 5 operários em 18 dias de trabalho de 11 horas por dia; a outra, tendo cada volume 18 folhas de impressão, com 42 Hnhas de 50 letras por linha, MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 283 foi composta por 9 operários, em 15 dias, trabalhando 13 horas por dia. Calcule o número de volumes da segunda obra. R: 26 volumes 80 - Uma turma de operários pretende fazer certa obra em 30 dias, traba­ lharam 10 dias a razão de 8 horas diárias. Quantos dias terao de trabalhar para fazer o restante da obra, trabalhando 5 horas por dia. R: 32 dias 81 - Uma turma de 20 operários pretende realizar um serviço em 18 dias. Trabalharam 6 dias à razão de 6 horas por dia. Com quantos operários teriam de ser reforçados, para terminar o serviço na época pactuada, tra­ balhando 10 horas por dia. R: 12 operários 82 - Numa gráfica uma certa encomenda pode ser feita em 5 dias por 8 máquinas funcionando ininterruptamente 6 horas diárias. Se três dessas máquinas quebrarem, em quanto tempo as restantes poderão realizar essa tarefa. R: 8 dias 284 HILDER GÓES * UBALDO TONAR REGRA DE TRÊS - Q u estõ es de C oncursos 01) CJF - Uma torneira despeja 180 litros de água em 9 minutos. Quantos litros despejará em 2 horas e um quarto. a) 2.345 b) 1.800 c) 1.890 d) 2.360 e) 2.700 02) CJF - Se cada passo que você dá eqüivale a 0,6m; quantos passos você dará para andar 2,4 km. a) 4.000 b) 400 c) 40.000 d) 3.600 e) 400.000 03) CJF —Percorri de carro 300 Km em 4 horas. Quanto tempo gastarei para percorrer 450 Km, se aumentar a velocidade do carro em 1/5. a) 5 horas b) 4 horas e 30 minutos c) 5 horas e 30 minutos d) 5 horas e 10 minutos e) 4 horas 04) CJF - Se 8 homens, trabalhando 10 dias, durante 8 horas diárias, fa­ zem 2/5 de uma obra, quantos dias serão necessários para 10 homens trabalhando 6 horas por dia, terminarem o resto da obra. a) 16 b) 12 c) 14 d) 13 e) 9 05) TST O motorista de um automóvel deseja fazer em 8 dias um trajeto já feito anteriormente em 10 dias de 5 horas com a velocidade de 60 Km/h. Quantas horas por dia deverá fazer, se aumentar a velocidade da quarta parte da anterior. a) 8h por dia b) 7h por dia c) 4h por dia d) 5h por dia e) 6h por dia 06) TRE —Um motociclista, mantendo velocidade constante, percorre a ‘ distancia de 1.080 Km em 2 dias, viajando 8 horas por dia. Nas mesmas condições, quantos quilômetros ele poderá percorrer se viajar 6 horas por dia, durante 3 dias. 'a ) 1.215 b) 1.420 c) 915 d) 540 e) 1.315 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 285 07) TRE —Um carro percorre uma distância de 240 Km. Quantos quilô­ metros percorrerá se quadruplicarmos sua velocidade média e reduzir­ mos a 1/3 o tempo do percurso. a) 360 b) 320 c) 350 d) 280 e) 275 08) AFRE —Se 8 homens, trabalhando 8 horas por dia, levam 8 dias para fabricar 8 unidades de um artigo, então, em 12 dias, o número de unidades do mesmo artigo fabricado por 12 homens de mesma capacidade de tra­ balho que os primeiros, trabalhando 12 horas por dia, é: a) 12 b) 24 c) 27 d) 32 e) 35 09) AFRE —Uma creche tem alimentos suficientes para alimentar 18 crian­ ças durante 45 dias. Após 30 dias recebe mais 12 crianças. Quantos dias durará o alimento. a) 7 dias b) 6 dias c) 12 dias d) 9 dias e) 5 dias 10) AFRE - Um grupo de 10 pessoas foi acampar, levando alimentação suficiente para 16 dias com três refeições diárias. Chegando ao local, mais dez pessoas se juntaram ao grupo. Fazendo apenas duas refeições diárias, os alimentos deverão durar: a) 10 dias b) 12 dias c) 14 dias d) 16 dias e) 18 dias 11) ARRE —Uma artesã deve fazer dois tipos de tapetes, tais que a dificul­ dade de confeccionar o primeiro está para o segundo, assim como 4 está para 6. Quantos metros do segundo tapete poderá ela fazer em 60 horas, supondo-se que fez 180 metros do primeiro em 90 hõras? a)180m b) 160m c) 120m d) 80m e) ÓOm 12) TCC —Seis pedreiros constroem uma parede de 40m de comprimento, em 20 dias. Quantos dias 10 pedreiros levarão para construir 50m de uma parede do mesmo tipo. a) 18 b) 15c) 14 d) 10 e) 22 13) TCC —Se 50 operários produzem 150 automóveis em 30 dias traba­ lhando 8 horas por dia, quantos automóveis produzirão 60 operários tra- . balhando6 horas por dia,durante 50 dias. a) 200 b) 215 c) 150 d) 180 e) 225 286 h ild e r gó e s ❖ u b a ld o t o n a r 14) TGC —18 máquinas impressoras imprimiram certa quantidade de li­ vros em 10 dias, trabalhando 6 horas por dia. Tendo quebrado 1/3 das máquinas, quanto tempo levarão as demais máquinas para imprimir a mes­ ma quantidade de livros, trabalhando 9 horas por dia. a) 12 dias b) 11 dias c) 13 dias d) 10_çiias e) 14 dias 15) TRE - Uma refinaria de petróleo produz 500 litros de gasolina a cada período de 10 minutos. Quantos litros produzirá ao fim de 24 horas. a) 720.000 b) 72.000 c) 50.000 d) 12.000 e) 7.200" 16) TRE —Um navio cargueiro, com 30 homens de tripulação, encontrou uns .náufragos durante a viagem, e reduziu a ração de cada homem de 96 dag para 576 g Quantos eram os náufragos. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 17) TRE —Certa máquina produz 90 peças trabalhando durante 50 minu­ tos. Quantas peças produzirá em 1 hora e 20 minutos. a) 120 . b) 144 c) 180 d) 190 e) 201 18) TRE —Uma torneira jorra 10 litros d’água por minuto, enchendo um tanque em 8 horas. Sabendo-se que a torneira lança 25 litros d5água por minuto, o tempo necessário para encher o mesmo tanque é de: a) 2h 35min b) 2h 46min c) 3h lOmin d) 3h 12min e) 3h 15min 19) BB - Uma indústria dispõe de 15 máquinas produzindo, cada uma, 120 peças por dia. Quantas peças a empresa produzirá diariamente, se aumentar em 20% o seu parque de máquina. a) 1.920 b) 2.160 . c) 2.196 d) 2.220 e) 2.232 20) BB - Com 210 sacos de farinha, de 60 quilos cada um, podem-se fazer 180 sacos de paes com 40 Kg cada um. Quantos quilogramas de farinha serão necessários para produzir 120 sacos de paes, pesando 80 Kg cada um: ’ \ a) 9.450 b) 9.600 c) 16.800 d) 20.800 e) 21.600 21) BB - Quinze operários, trabalhando 8 horas por dia, em 30 dias ma­ nufaturam 900 pares de sapato. Quantos pares serão manufaturados por 8 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 287 operários, trabalhando 40 dias de 6 horas, sabendo-se que os novos sapa­ tos apresentam o dobro da dificuldade dos primeiros: a) 85 b) 135 c) 240 d) 480 e) 960 22) BB —Uma linha de produção de 100 operários funciona 12h/dia, cinco dias por semana. A direção da empresa resolve diminuir o número de empregados em 20% e aplicar a semana de trabalho em mais um dia. Para que a produção seja mantida, a jornada diária passará a ser de: a) 12h 15 min b) 12h 30 min c) 12h 45 min d) 13h OOmin e) 13h 15 min 23) BEC - 1 2 animais durante 20 dias comeram 400 Kg de farelo. Quantos animais comeriam 600 Kg de farelo durante 24 dias. a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 24) CEF - Numa gráfica, 8 máquinas executam um c e r to serviço em 5 dias, trabalhando 5 horas por dia. Se somente 5 dessas máquinas trabalha­ rem 8 horas por dia, executarão o mesmo serviço em: a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias 25) MPU — Para se pintar a metade de um muro foram necessárias 2h 30 min 45s. Quanto será necessário para se pintar o muro todo. a) 6h 2 min 15s b) 5h 1 min 30s c) 5h 5 min 30s d) 4h 30 min 15s e) 3h 1 min 40s 26) MPU —Um carro percorre 45 Km em meia hora. Quantos quilôme­ tros percorrerá em 148 minutos. a) 276 • b) 222 c) 254 d) 216 e) 180 27) MPU —Alguns operários devem terminar certo serviço em 36 dias, trabalhando 8 horas por dia. O encarregado, após 20 dias, verifica que só 0,4 da obra estavam prontos. Pãra entregar o serviço na data fixada, quantas horas por dia devem'os operários trabalhar nos dias restantes. a) 10 horas b) 15 horas c) 9h 36 min d) 16 horas e) 12 horas 28) MPU - 540 operários, cuja capacidade de trabalho está avaliada pelo número 5, construíram 18 Km de uma estrada, trabalhando 300 dias de 8 288 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR horas cada um. Qual a capacidade de trabalho de 270 operários que cons­ truíram outro trecho de 27,720 Km da mesma estrada, em 640 dias, traba­ lhando 8h e 45 min por dia. a) 9,6 b) 3,6 c) 6,6 d) 7,2 e) 2,8 % 29) TST —Dois lavradores plantam em 5 dias 320 mudas de pinheiros. Quantas mudas serão plantadas por 5 lavradores trabalhando 8 dias. a) 1.280 mudas b) 1.360 mudas c) 1.600 mudas d) 1.800 mudas e) 1.900 mudas 30) TST —Uma equipe de 10 datüógrafos prepara 5.000 páginas datilografadas, em 20 dias de trabalho, trabalhando 4 horas por dia. A equipe recebeu a incumbência de datilografar 6.000 páginas em 15 dias, mas teve dois de seus datilógráfos afastados por motivo de saúde. Nessas condições, para poder atender o pedido no prazo determinado, a jornada de trabalho deve ser prorrogada em: a) 2 horas b) 2h 30 mine) 3 horas d) 3h 30 mine) 4 horas 31) TRT - Uma certa quantidade de ração é suficiente para alimentar 50 cavalos durante 2 meses. A mesma quantidade de ração alimentaria 40 cavalos em: a) 48 dias b) 70 dias c) 72 dias d) 75 dias e) 90 dias 32) TRT —Para revestir um muro de 3,2m de comprimento por 0,5 metro de altura, sào usadas 16,8 K!g de reboco. Quantos quilos de reboco serão necessários para revestir outro muro que tem 9m de comprimento por 2m de altura. a) 150 b) 189 c) 190 d) 192 e) 200 33) TRT - Quinze impressoras, todas de igual rendimento, produzem durante um certo período de tempo 51.000 impressos. Se 7 daquelas má­ quinas forem desligadas, o número de impressos que serão produzidos pelas restantes, no mesmo período de tempo é: a) 27.200 b) 26.400 c) 25.800 d) 24.500 e) 23.800 34) TFR —Uma turma dè 12 operários deveria executar certa obra. De­ pois de 5 dias de trabalho, 2 operários adoecem e abandonaram o serviço. / ______________________ ______________________ MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 289 Em quantos dias os operários restantes poderão concluir o trabalho, se, quando os 2 operários se retiraram, a turma completa já havia feito a me­ tade da obra. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 35) TFR - Cinco datilógrafos preparam 2.500 páginas em 21 dias, traba­ lhando 6 horas por dia. Um trabalho de 4.000 páginas, com 7 datilógrafos, trabalhando 8 horas por dia, será feito em: a) 15 dias b) 17 dias c) 18 dias d) 20 dias e) 21 dias 36) TRE —Uma máquina, funcionando ininterruptamente, produz 1.200 peças em lh 30 min. Quantas peças produzirá em 2h 45 min, trabalhando nas mesmas condições: a) 1.500 b) 1.850 c) 1.960 d) 2.080 e) 2.200 37) TRE - Um escriturário datilografou um texto usando 160 páginas, tendo cada páginas 35 linhas e cada linha, em média, 50 letras. Se tivesse datilografado o mesmo texto em 280 páginas, com 20 linhas em cada uma, quantas letras teria usado, em média, por linha? a) 42 b) 46 c) 48 d) 50 e) 52 38) TJC —Sabendo-se que 6 operários constroem um muro em 120 dias, 13 trabalhadores constroem a mesma obra em exatamente: a) 55d 9h 13 min 50. 10/13s b) 55d 9h 13 min 53. ll/ 1 3s c) 55d 9h 13 min 54. ll/ 1 3 s d) 55d 9h 13 min 56. ll/ 1 3 s e) 55d 9h 13 min 58. 10/13s 39) TTN —24 operários fazem 2/5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias estará a obra terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora por dia. a) 8 b) 11 c) 12 d) 21 e) 18 40) TTN -N o transporte de areia para a construção de um prédio foram utilizados 18 caminhões de 4m3 cada um. Quantos caminhões de 6m3 cada um seriam necessários para fazer o mesmo transporte. a) 10 b) 9 c) 18 d) 27 e) 12 290 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 41) TTN —20 operários, trabalhando 6 horas por dia, constroem uma casa em 40 dias. 30 operários, trabalhando 8 horas por dia, farão a mesma obra em quantos dias. a) 80 b) 40 c) 30 d) 20 e) 15 42) TTN - Um automóvel, com velocidade de 80 Km/h, percorre uma estrada em lh 30min. Em qiianto tempo o mesmo automóvel percorrerá . 3/5 da mesma estrada com 25% da velocidade inicial. a) 3h 36 min b) 3h c) 3h 30 min d) 2h 16 min e) 2h 36 min 43) TTN 12 pedreiros, constroem 27 m2 de um muro em 30 dias, de 8 horas. Quantas horas deverão trabalhar por dia 16 pedreiros, durante 24 dias, para construírem 36 m2 do mesmo muro. a) 7 b) 8 c) 10 d) 12 e) 17 44) TTN —Um navio, com uma guarnição de 300 homens, necessita de 120.000 Etros de água para efetuar uma viagem de 20 dias. Aumentando a guarnição em 50 homens e a água em 6.000 litros, determine qual poderá ser a duração da viagem: a) 24 dias b) 22 dias. c) 20 dias d) 18 dias e) 16 dias 45) TTN —Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operákios, trabalhando10 horas por dia em: a) 7 dias b) 6 dias c) 2 dias d) 4dias e) 3 dias 46) TRE —Uma pessoa realiza um trabalho em 12 horas. Uma outra pessoa, 40% menos eficiente que a primeira, realiza o mesmo trabalho em: a) 15 horas b) 16 horas c) 18 horas d) 20 horas e) 21 horas 47) TRE —Em uma fábrica, 5 máquinas, de igual capacidade de produção, levam 5 dias para produzir 5 peças, se operarem 5 horas por dia. Quantas peças seriam produzidas por 10 máquinas iguais às primeiras, trabalhando 10 horas por dia, durante 10 dias. a) 10 b ) 15 c) 20 d) 25 e) 40 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 291 48) PETROBRAS - 6 homens, trabalhando 6 horas por dia, constroem 6 muros em 6 dias. Em quantos dias 12 homens, trabalhando 12 horas por dia, construirão 12 muros? a) 3 b) 6 c) 12 d) 36 e) 48 „^ 49) PETROBRAS —Em um acampamento, havia comida para alimentar 10 pessoas presentes, durante 5 dias. Após uma permanência de 3 dias , 2 pessoas foram embora. A comida restante pode alimentar as 8 pessoas que ficaram durante alguns dias mais. Quantos, a) 13 b) 15 c) 16 d) 18 e) 24 50) CPRM —Um ônibus faz 2/3 de uma viagem em três horas. Em quan­ to tempo ele fará 4/9 dessa viagem. a) lh b) 2h c) 3h d) 4h e) 9h 51) TTN - Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada será concluída em: a) 90 dias b) 84 dias c)72 dias d) 128 dias e) 60 dias 52) TRF - Um motorista fez um certo percurso em 5 dias, viajando 6 horas por dia com a velocidade média de 70 Km/h. Se quiser repetir o percurso em 4 dias, viajando 7 horas por dia, a velocidade média deverá ser de: a) 48 Km/h b) 65 Km/h c) 75 Km/h d) 80 Km/h e) 102 Km/h 53) TRT —Uma família de 4 pessoas gasta $ 350.000,000 a cada 7 dias, de mercado. Se a família tiver 5 pessoas e a compra for a cada 10 dias, qual será a despesa. . a) $ 700.000,00 b) $ 625.000,00 c) $ 500.000,00 d) $ 437.500,00 e) $ 300.000,00 54) TRT —Um serviço é feito por duas pessoas, em 5 dias se elas traba­ lharem 6 horas, por dia. Se apenas uma pessoa trabalhar 10 horas, por dia, quantos dias serão necessários para fazer o mesmo serviço. a) 10 dias b) 8 dias c) 6 dias d) 3 dias e) 2,5 dias 292 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 55) TTN —Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias, iniciando a obra com 12 operários, trabalhando 6 horas por dia. Decorri­ dos 10 dias, quando já havia realizado 1/3 da obra, a empresa teve que deslocar 4 operários para outro projeto. Nessas condições, para terminar a obra no prazo pactuado, a empresa deve prorrogar o turno por mais: a) 2 h 30 min ’ b) 2 h ,c)3h d) 1 h e) 1 h 30 min 56) TJCE ~ Doze (12) trabalhadores cavam uma vala em. 24 dias, em um turno de 6 horas por dia. Pretende-se construir uma nova vala igual à primeira, mas devido ao menor grau de compactação do solo, o trabalho apresenta um grau de dificuldadeigoai a 3/4 do anterior. Nessas condições, em 18 dias, com iim’turao de 8 horas diárias, o número de trabalhadores necessários é de a) 11 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 57) TJCE —Um automóvel percorre 12 Km em 2 minutos. Aumentandose em 25% sua velocidade, em quanto tempo percorreria a mesma distância, a) 1 min. 36 s b) 1 min 3,6 s c) 1 min 0,06 s d) 1 min 6 s e) 1 min 0,6 s 58) TJCE —Um pneu de boa qualidade roda em média 40.000 Km/ano e custa $ 56,00. Um pneu de qualidade inferior roda 32.000 Km/ano. Nes­ sas condições, é interessante adquirir o pneu de qualidade inferior até o preço máximo de: a) $46,80 b )$ 44,79 c) $ 45,00 d) $ 45,20 e) $ 50,00 59) TJCE - Para alimentar 30 porcos durante40dias preciso de certa quantidade de ração balanceada. Quanto tempo duraria a metade da raça o se tivesse,,que alimentar 20 porcos. a) 28 d b) 30 d c) 20 d d) 25 d e) 35 d 60) TJCE - Um empreiteiro contratou a construção de 200 metros de calça­ da para ser efetuada em 30 dias. Ao final de 16 dias constatou que tinha sido construídos, apenas, 60 metros de calçada, com 7 operários, em um túmo de 6 horas por dia. Para terminar a obra no prazo pactuado resolve prolongar o turno por 8 horas diárias e aumentar o número de operários. Nessas condi­ ções, o empreiteiro deve aumentar o número de operários em mais: a) 6 b) 7 c) 8 d) 4 e) 5 MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 293 RESPOSTAS 01) E 06) A 11) D 16) A 21) C 26) B 31) D 36) E 41) D 46) D 51) C 56) D 294 02) A 07) B 12) B 17) B 22) B 27) B 32) B 37) D 42) A 47) E 52) C 57) A 03) A 08) C 13) E 18) D 23) E 28) C 33) A 38) A 43) C 48) A 53) B 58) B HILDER GÓES * UBALDO TONAR 04) A 09) D 14) D 19) B 24) C 29) A 34) B 39) D 44) D 49) B 54) C 59) B 05) D 10) B 15) B 20) C 25) B 30) E 35) C 40) E 45) C 50) B 55) C 60) B RAZÃO RAZÃO DE DOIS NÚMEROS Chama~se razão de dois números, dados numa certa ordem com o segundo número diferente de zero; a expressão que indica uma relação entre o primeiro e o segundo número. Notação: Sejam a e b números, com b s* 0. A razão entre eles será indicada a por ~ ou a : b; e que se lê: a dividido por b, ou razão de a para b, ou ainda a está para b. , 8 __2 a razão entre 8 e 4 é ~ —— 4 1 , 0,18 _ 0,06 a razão entre 0,18 e 3 é -------------3 1 1 1 —s a razao entre 3 a razão entre 6 e —1 e, ó, + —l = 6 x5~ = —30 5 5 1 1 MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ RAZÃO 295 TERMOS DA RAZÃO Chamamos de termos de uma razão, os números que a constituem. Na â razão ~ , a é o primeiro termo ou antecedente e b é o segundo termo ou conseqüente. Na razão ~ 2 é o antecedente e 5 é o conseqüente. 5 RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS Chama-se razão entre duas grandezas, expressas numa mesma uni­ dade, a razão dos números que exprimem as suas medidas. A razão entre duas grandezas, será sempre um número abstrato, isto é, a razão não determina a espécie de unidade a que se refere. Assim, por exemplo, dados dois segmentos AB = 10 cm e CD = 5 cm; que poderia ser em metros ou em qualquer outra unidade, a razao 2 entre esses dois segmentos, será de — e não 2 cm ou 2 m. PROPRIEDADES DAS RAZÕES As- razões gozam das mesmas propriedades das frações. Veja com atenção: Embora as razões tenham a mesma forma que as frações, e gozem das mesmas propriedades, elas se diferenciam em todos aspectos. Senão vejamos: a) Os termos de uma fração são sempre números inteiros, já os de uma razão podem ser inteiros, fracionários ou decimais; b) Se numa classe de 20 alunos, faltaram 5, vamos determinar a razao entre os que comparecem para o total de alunos. Se o total são 20 alunos e faltaram 5 é porque 15 estão presentes. 15 _ 3. Logo, a razão será — —— . & 20 4 296 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Como razão, este quociente lhe indica que: para cada 4 alunos do total, 3 estão presentes e nunca a expressão três quartos. Então, nunca leia uma razão como se fosse uma fração. RAZÕES IGUAIS OU EQUIVALENTES: Duas razões são ditas iguais ou equivalentes, quando os quocientes por elas indicados são iguais. As razpes 12 15 e ~g— são iguais pois possuem o mesmo quociente 3. PROPRIEDADES DAS RAZÕES IGUAIS OU EQUIVALENTES O produto do antecedente da primeira razão, pelo conseqüente da segunda; é igual ao produto do conseqüente da primeira pelo antecedente da segunda. 4 8 A razão ~ é igual a razão ~ por terem o mesmo quociente igual 8 jfó a 0,5. Aplicando-se a propriedade das razões iguais, teremos: 4 x 16 = 64 (antecedente da l 3 pelo conseqüente da 2a). 8 x 8 = 64 (conseqüente da Ia pelo antecedente da 2a). RAZÕES INVERSAS OU RECIPROCAS Duas razões são ditas inversas oü recíprocas, quando o antecedente da primeira for igual ao conseqüente da segunda; e o conseqüente da pri­ meira for igual ao antecedente da segunda. 3 5 As razões ~ e — são inversas pois, o 3, antecedente da primeira razão é igual a 3, conseqüente da segunda e o 5, conseqüente da primeira é igual a 5, antecedente da segunda. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RAZÃO 297 PROPRIEDADE DAS RAZÕES INVERSAS OU RECÍPROCAS Oproduto de duas razoes inversas é igual a unidade. 2 5 Como — e — sao 5 2 . 2 5 razões inversas, temos:~ x ~ —i 5 2 01 - Qual o antecedente de uma razão igual a 3/4, cujo conseqüente é 20. Solução: x __ 3 ~ ~~. Aplicando a proíXj priedade das razões iguais, obtemos: 4x = 20 x 3 => x = 15. Chamamos de x o antecedente, temos: 02 ~ Qual o conseqüente de uma razão igual a 8/16, cujo antece­ dente é 2 . R: 4 0 3 - 0 triplo do conseqüente de uma razão igual a 2/3 é 18. Qual é o seu antecedente. Solução: Como 18 é o triplo do conseqüente, ele é igual a 6. x 2 _ _ Chamando de x o antecedente, teremos: — =>3x~12 ^ x = 4 6 3 0 4 - 0 dobro do antecedente de uma razão igual a 12/15 é ígual a 8. Calcule o seu conseqüente. R: 6 05 - Numa classe há 30 alunos dos quais 16 são moças. Escreva as razões: a) entre os números de rapazes e os de moças; b) entre os números de moças e os de rapazes. R: 7 / 8e 8/7 298 HEUDER GÓES * UBALDO TONAR 06 - A razão entre os volumes de dois recipientes é de 2 para 3 e o menor deles tem 12 litros. Determinar o número de litros do maior. R: 18 litros 07 - Numa prova de 20 questões, um aluno acertou 12 questões. Determi­ ne a razão do número de questões que ele errou para o número de ques­ tões da prova. R: 2/5 08 - A razao entre dois números pares e consecutivos é igual a 7/8. Calcu­ lar esses números. Solução: Como os números são pares e consecutivos, podemos representáx 7 los por x e x + 2. Logo, teremos: ------ = ~~=> 8x = 7x +14 x 4* 2 8 Então os números são: 14 e 16. x —14 0 9 - A razão entre dois números pares e consecutivos é igual a 3/4. Calcu­ le o produto desses dois números. R: 48 10 - A razão entre dois números ímpares e consecutivos é igual a 10/14. Calcular a soma desses números. Solução: Como os números são ímpares e consecutivos, podemos representálos por x e x + 2. Logo, teremos: x 10 ------ ~ — =>14x = lOx + 20 => 4x = 20 => x = 5 x-f.2 14 Os números são: 5 e 7 então a soma será 12. 11 - A razão entre dois números ímpares e consecutivos é igual a 39/45. Determine a diferença entre o conseqüente e o antecedente dessa razão. R: 17 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RAZÃO 299 12- A razão entre um número par e o impar subsequente é igual a 24/27. Calcule a soma desses dois números. R: 17 13 - Em uma sala há uma porta e uma janela cujas larguras sào, respectiva­ mente: l,5m e 200 cm. Calcule a razão entre a largura da porta e a da janela. Solução: Nas razoes, os seus termos devem estar expressos numa mesma 150 cm 3 unidade. Então, temos: 1,5 m = 150 cm. De onde resulta: ~ r — 200 cm 4 Veja que poderíamos fazer da seguinte maneira, também. 200 cm — 2 m. 1,5 m 1,5 No que resulta: -------- ------- . O resultado é o mesmo pois as'razões 2 m 2 3 1,5 _ e ____ s^0 porque possuem o mesmo quociente 0,75. Obser­ ve, também, que os resultados foram dados sem levarmos em conta a unidade, isto é, se em centímetros ou em metro, pois ra2ào é, como você já sabe, é um número abstrato. 14 - Pedro ganha $ 8,00 por hora e Paulo ganha $ 160,00 por jornada de 10 horas, então, qual a razão entre o que ganha Pedro e o que ganha Paulo. R: 1/2 15 - Ana ganha 16 bombons e Deisy 18. Ana chupou 6 e Deisy 8. Estabe­ lecer as razões entre os bombons recebidos e chupados por Ana e Deisy, respectivamente. R: 8/3 e 9/4 16 - Que horas são se a razão das horas que já passaram, para as que faltam é igual a 3/7. 300 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR Solução: Seja x as horas que já passaram. Como o dia tem 24 horas e já passaram x horas, faltam, portanto, 24 — x. Então, temos. x 3 : —=>7x ~ 72 - 3x 72-"lOx = 72 => x = — => x —7,2 horas Veja que, 7,2 — 7 — horas. Logo, são 7h 12 minutos. Os doze minutos, foram calculados de 1/5 da hora, isto é, de 60 minutos. 17 - Que horas são se a razão entre a metade das horas que já passaram para os 2/3 das que faltam é igual a 3/4. R: 12 horas 18 ~Gastei 2/5 do que possuía. Qual a razão entre o que eu tinha para o que me restou. Solução: Se gastei 2/5 é porque tinha 5/5. Logo o que restou é 19 - Uma pessoa deu 2/5 do que possuía e, em seguida, emprestou 1/3 do resto. Calcule a razão entre o que ela possuía e o resto final. R: 5/2 i 20 - Um funcionário desconta do seu salário bruto, 1/4 para o Imposto de Renda e 1/8 para a sua Associação. Calcule a razão entre os seus descon­ tos e o seu salário líquido. R: 3/5 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - Bã^ZÃO 301 21 - Dos 120 alunos de uma classe, 1/3 não compareceu às provas. Saben­ do que 7/10 foram aprovados; calcular a. razão entre os reprovados e os que não compareceram às provas, R: 3/5 22 - Admitindo-se que a razão ideal do número de habitantes de uma cidade para cada metro quadrado fosse de 2 para 5; calcule a população máxima que deveria ter uma cidade de 400.000 n r de área. Solução: x 2 Chamando de x o número de habitantes, temos: ------------ = — 400.000 5 que resolvida, resulta: 160.000 habitantes. 23 - Um menino e uma menina têm juntos 27 anos. Calcule a razão entre a idade dele daqui a 8 anos e a idade dela há 5 anos, sabendo que ela tem hoje 15 anos. R: 2/1 24 - Um viajante percorreu 2/3 de uma estrada A e outro, falta percorrer 1/^. de uma estrada B. Calcule a razão entre o que falta ser percorrido na estrada A, pelo já percorrido na estrada B. R: 4/9 25 - Os 2/5 dos pássaros de um viveiro correspondem a 120 aves. O dono vendeu 1/6 e soltou 1/10 das que ficaram. Caícule a razão entre as aves que foram soltas para as que foram vendidas. R: 5/3 26 - Um cubo A tem 64 cm3 de volume; um outro cubo B possui aresta igual à metade da aresta do cubo A. Calcule a razao entre os volumes dos cubos B e A. R: 1/8 302 HILDER GÓES * UBALDO TONAJR 27 - Escreva uma razão na qual a soma de seus termos vale 60 e o conse­ qüente menos o triplo do antecedente, vale 32. R: 7/53 28 - A soma dos termos de uma razão é 96 e o antecedente é a terça parte do conseqüente. Escreva a razão. R: 24/72 29 - Numa razão, a diferença entre o antecedente e o conseqüente é 9 e o dobro do conseqüente mais o antecedente é 57. Então a razào é: R: 25/16 30 - Qual a razão entre 3 litros de vinho para 0,006 m3 do mesmo vinho: Solução: No estudo do Sistema Métrico Decimal, você vai saber que um decímetro cúbico corresponde a um litro. Como os termos de uma ra­ zão devem estar expressos em uma mesma unidade; vamos transformar 0,006 m5 em dmJ. Temos 0,006 mJ = 6 dm3 que é igual a 6 litros. Logo, a 3 litros 1 razão será: —------- —— . 6 litros 2 31 - Num ano letivo de um colégio, deveria haver 180 dias úteis de aula para a oitava série, sendo que, em cada dia, haveria 5 aulas. Um estudante faltou 30 dias úteis e houve 10 feriados. Calcule a razão entre o número de aulas que o aluno faltou para o número de aulas realmente havidas. R: 3/17 32 - Seja uma razão equivalente a 3/7. Se aumentarmos o antecedente e diminuirmos o conseqüente de uma mesma quantidade a razão resultante é equivalente a 2/3. Achar a razão resultante. R: 4/6 MATEMÁTICA PARA CONCURSO —RAZÃO 303 33 - Numa caixa existem bolas brancas e bolas pretas. Se tirarmos 16 bolas brancas, a razao entre as bolas brancas e as pretas será de 1 para 3. Em seguida, retiram-se 7 bolas pretas, restando na caixa a razão entre 1 bola branca para 2 bolas pretas. Determine quantas bolas de cada cor havia inicialmente na caixa. R: 23 brancas e 21 pretas. 304 HILDER GÓES * UBAUX) TONAR RAZÃO - Q u estõ es de C oncursos - Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60 nào foram vacinadas e 92 vacinadas morreram* Entre as galinhas vacinadas, qual a razão do número de mortas para o número de vivas. 0 1 ) B N B - Uma mistura apresenta 0,5 dal de água e 100 dl de álcool. Dentre as razões apresentadas, a ra^ão falsa é: a) água emistura = 1/3 b) álcoole água = 2/1 c) água eálcool = 1/2 d) mistura e água = 1/3 e) álcool e mistura = 2/3 0 2 ) A A R E 03) - Um certo número de impressos deve ser preenchido por dois funcionários e eles os dividem entre si, na razão inversa de seus tempos de serviços na empresa. A razão entre os números de impressos que caberão ao funcionário que trabalha há 8 meses e àquele que trabalha há 3 anos, nessa ordem, é: a) 11/2 b) 9/2 c) 8/3 d) 3/8 e) 2/9 C E F - Uma funcionária recebeu um relatório para datilografar. No primeiro dia datilografou 1/5 do número total de páginas e no segundo dia o dobro do que havia datilografado na véspera. A razão entre o número de páginas já datilografadas e o número de páginas do relatório é: a) 5/3 b) 3/5 c) 1/2 d) 2/5 e) 3/10 0 4 ) T R E - Em uma Repartição Pública, o número de funcionários do sexo masculino eqüivale a 5/8 do número total de funcionários. A razão entre o número de homens e o de mulheres que trabalham nessa reparti­ ção é, nessa ordem: a) 3/8 b) 2/5 c) 1/2 d) 5/3 e) 4/5 0 5 ) T R E MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 305 Um funcionário tinha um lote de documentos para proto­ colar. Se já. executou a quinta parte de sua tarefa, então a razão entre o número de documentos já protocolados e o número restante, nessa ordem é: a) 1/20 b) 1/5 c) 1/4 d) 4 e) 5 0 6 ) T R E ) - Uma jarra contém uma mistura de suco de laranja com água, na proporção de 1 para 3, e outra jarra contém uma mistura de suco de laranja com água na proporção de 1 para 5. Misturando partes iguais dos conteúdos das jarras, obteremos uma mistura de suco de laranja com água na proporção de: a) 1 para 4 b) 3 para 11 c) 5 para 19 d) 7 para 23 e) 25 para 32 0 7 ) P E T R O B R A S - A razão entre os números 0,125 e 2,5; nessa ordem é: a) 1/20 b) 1/4 c) 1/2 d) 20 e) 40 0 8 ) T R F - Se a razão entre o valor bruto e o líquido de certo salário é de 6/5, a fração do salário líquido que foi descontada é: a) 1/5 b) 1/6 c) 2/5 d) 2/6 e) 5/6 0 9 ) B B - Para obter tinta azul claro, um pintor misturou tinta branca com tinta azul-marinho, na razão de 6 partes da primeira para 1 parte da segunda. Usando 15 litros de tinta branca, quantos litros da tinta azul claro ele obterá, a) 16 b) 16,5 c) 17 d) 17,5 e) 18 1 0 ) 1 1 ) T T R R E T 6 a) 1' 8 - Qual das seguintes razões não corresponde a 1,75. - 7 b) ~ ' 4 49 c) — 28 92 d) — 52 175 e) -------7 100 12 - Num teste com 20 questões, uma pessoa acertou 12 questões. Determine a razão do número de questões erradas para o número total de questões: a) 2/5 b) 3/4 c) 2/3 d) 4/6 e) NDR ) 306 T R E HILDER GÓES * UBALDO TONAR - Um lote de terreno tem 8.000 m2 de área. Sabendo que a área construída é de 1.200 n r, determine a razão da medida da área livre para a medida da área do terreno. a) 15/13 b) 7/9 c) 17/20 d) 14/11 e) NDR 1 3 ) T R E R E S P 0 1 ) 1/4 0 3 ) B 0 5 ) 0 7 ) 0 9 ) 1 1 ) 1 3 ) D C A D C O S T A 0 2 ) 0 4 ) 0 6 ) 0 8 ) 1 0 ) 1 2 ) S D B C A D A MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 307 PROPORÇÃO DEFINIÇÃO: Chamamos de proporção, a igualdade entre duas razões equivalentes, isto é, duas razões de mesmo quociente. a c _ = b d sendo k um número real a —= f e .e b qualquer. c , —= k d Notação: De uma maneira geral, sendo dados quatro números a, b , c e d com b ^ 0 e d =£0 poderemos ter as seguintes notações: • a_ c ——— ■' a : b = c : d b d a:b::c:d Se a, b, c e d formam uma proporção, isto é, se a_ c , dizemos b d que: a está para b assim como c está para d. TERMOS DE UMA PROPORÇÃO Toda proporção é formada por quatro números que são chamados de termos da proporção. Na proporção 1) 2) 3) 4) 308 a é o primeiro termo b é o segundo termo c é o terceiro termo d é o quarto termo a __ c >temos: 5) a e c são os antecedentes 6) b e d são os conseqüentes 7) b e c são os meios 8) a e d são os extremos HILDER GÓES * UBALDO TONAR PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. a_ c —— ~ b d bxc = axd PROPRIEDADE RECIPROCA A recíproca da propriedade fundamental é válida; veja por exem­ plo: 4 x 9 = 3 x 1 2 , como esses produtos são iguais, eles nos permite escrever: 4 12 a De um modo geral se: b x c = a x d => “ b ■' l .......... .... ,. c r ou seja: d ■*f k' 01 - Tendo-se a igualdade 7a = 8b, escrever a relação entre a e b. Solução: a . 8 A relação entre a e b, isto é, — deve ser igual a ~ , pois se a 8 tivermos “ = —, poderemos escrever 7a = 8b. 02 - Dada a igualdade 2x = 5y, escreva as relações entre y e x e entre x e y. R: 2/5 e 5/2 0^ - Formar uma proporção e calcular o valor de x, com os fatores 7x x —42 x 2. R: 12 ' _ MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 309 T R A N S F O R M A Ç Õ E S D E U M A P R O P O R Ç Ã O Qualquer proporção pode ser escrita de oito maneiras diferentes sem, contudo, alterá-la. São as trocas de posições dós seus termos, mas que não modificam a propriedade fundamental. Consiste em e A I n v e r t e r T l t e r n a r , r a n s p o r . a_ c Seja a proporção ------b d a ) Alternar: É trocar a posição dos meios ou dos extremos. i) Meios: a __ c a_ ~ => — r b d c d b a_ c ii) Extremos:----—=>——— b d b ) Inverter:E a troca, em cada razão, do antecedente pelo conse­ qüente. a _ c b d c ) b _d a c Transpor: É trocar a posição das razões, a __ c —— b d d ) d %c b a c __ a (Proporção transposta) d b Alternar a Transposta: c a i) Meios: ------- ^ d b c —------a d b c a b a ii) Extremos: ——— —----d b d c e ) 310 c_ a d __ b Inverter a Transposta: "7 - — => —----d b c a HILDER GÓES * UBALDO TONAR C Á L C U L O D E U M T E R M O D E S C O N H E C I D O Baseado na propriedade fundamental, poderemos calcular o valor de um termo qualquer de uma proporção, quando são conhecidos os ou­ tros três. 1) Cálculo de um dos meios: 04 - Calcular o valor de x na proporção 1 ~ 1 í 2~S Solução: Como x é um dos meios, temos: _ 2- i 1+ 1 05 - Calcular o valor de x na proporção -----ÍL- 2.— á. x 15 R : 2 0 2) Cálculo de um dos extremos: ' í/V VVn''érnò.-élguíií àq.biodúfi 3 _ 1 2 06 - Calcular o valor de x na proporção ~ — 2 x Solução: 2 x12 Como x é um dos extremos, podemos escrever x — ~ x 07 - Calcular o valor de x na proporção ^ R : x 5 4 . 4 MAIEMÁTíCA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 311 1^ 1 08 - Calcular o valor de x na proporção ^ _ j. ^ =— - x 3 R: 1/4 QUARTA PROPORCIONAL De um modo geral, designando-se por x a quarta proporcional ena_ c tre os números a, b e c, teremos- —, onde x é a quarta proporcional. O 09 - Determinar a quarta proporcional dos números 7, 2 e 14. 7 _ 14 Solução: Chamando-se de x a quarta proporcional, temos: ~ —— 2x14 Como x é extremo, podemos escrever: x = —~— => x = 4. 10 - Calcule a quarta proporcional dos números 3,4 e 12. R: 16 11 - Calcule a quarta proporcional dos números 4, 2 e 7. R: 7/2 PROPORÇÃO CONTÍNUA ........ : ..... Umàíjpropòi’K íp'^con^iíày-'^ü‘áncio eI^\^§ssl»:ò$:_ípeios ■:oú; ■’ 312 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Genéralizando-se temos: a _b . . . ------- (meios iguais) ou a _c ~ —~ (extremos iguais) 12 - Se 9, x e 49 formam uma proporção contínua, calcule o valor de x. R: 21 TERCEIRA PROPORCIONAL Sejam a e b número dados. A terceira proporcional dos números a a b e b será: — = — b X X —Terceira Proporcional < í b = Média proporcional ou geométrica, isto é, o número que se repete 13 - Calcular a terceira proporcional dos números 5 e 15. Solução: Chamando-se de x a terceira proporcional, temos: 5 15 = — 15 x — = 15x15 X 5 = 45 1 1 14 - Calcule a terceira proporcional dos números ~ £~ . R: 4/3 15 - Calcule a terceira proporcional dos números 0,2 e 0,4 R: 4/5 16 - Calcule a terceira proporcional dos números 4 e 8, sendo o 4 a média proporcional ou geométrica. R: 2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 313 17 - Calcule a terceira proporcional dos números 6 e 2, sendo o 6 a média geométrica. R: 18 PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES Primeira Propriedade: |odá--pM pqrç^.^ íi-irmiiro’çóü^segiVj^ "í.VJV.;..-.:';' ■■/■r.-v'e'stá^para rytérb£jrò;:jp íi^ ^ . \ ;/■ ^ís/ulrimós J .p r.:* ............... '■■:.}■-‘-'J'--:>» v>-•- '■ ,■; . 18 - Calcular dois números cuja soma seja 54 e estejam entre si como 2 está para 7. Solução: x + y = 54 e x 2 y v x Aplicando a propriedade na proporção 2 j teremos: x + y _ 2 +7 54 _ 954 x2 ------ --------- m^s x + —54 então — —~ donde x = --------- :=>x = 12 x 2 J ■x 2 ■ 9 Tendo-se o valor de x, poderemos encontrar o de y, substituindo o x 12; tanto em x + y = 54, como em 314 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 2 y . Nó que resulta: y 42 19 - Calcule um número cuja soma de seus dois algarismos é 9, sabendo que eles estão entre si na razão de 15 para 12. R: 54 20 - As idades de um pai e a de um filho, somam 55 anos e estão na ra2ão de 8 para 3. Calcule a idade do filho. R: 15 21 - Num número de dois algarismos, o valor absoluto do algarismo das dezenas está para o das. unidades como 3 está para 4. Calcule esse número, sabendo que a soma dos seus algarismos é 14. R: 68 22 - A soma de dois números é 60 e o menor está para o maior assim como 5 está para 7. Calcule esses números. R: 25 e 35 23 - Dada a fração 5/8, achar outra fração que lhe seja equivalente' e tenha para soma dos termos 39. R: 15/24 Segunda Propriedade: 24 - Calcular dois números cuja diferença é 50 e estejam entre si como 8 está para 3. / ' x _ 8 Solução: x —y =■50 e —“ T MATEMÁTICAPARACONCURSO- PROPORÇÃO 315 . , , x~ y_ _ 8-3 Aplicando-se, na proporção, a propriedade, terem os:----------—~ , X o 50 5 50x8 como x - y = 50 vem: — - — onde x = — -— => x = 80. x o o 80 _ 8 80 x 3 Substituindo o valor de x em y -j resulta y -j on d ey——~ g— =r>y = 30. 25 - Calcular dois números cuja diferença é 10 e estejam entre si na razão de 9 para 7. R: 45 e 35 x 26 - Calcular x e yf na proporção 5 9 , sendo x —y —21. R: 35 e 14 a 5 27 - Calcular a e b3 na proporção "— ~ , sendo a - b = 10. b 3 R: 25 e 15 y _ 12 28 - Achar os valores de x e y na proporção ~ “ >sabendo-se que y - x = 20. R: x = 10 e y = 30 29 - A soma de três números é 1.523. O primeiro está para o segundo como 9 está para 4 e a diferença entre estes dois números é 425. Calcular o terceiro número. R: 418 30 - A diferença de dois números é 104 e a sua razão 15/2. Achar esses números. R: 120 e 16 316 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 31 - Dividir o número 72 em duas partes que estejam entre si como 4 está para 5. R: 32 e 40 32 - A soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é. igual a 90°. Calcular esses ângulos sabendo-se que eles estão entre si como 2 está para 3. R: 36a e 54° Terceira Propriedade: : EiiV; l;ò:dá: prÔpürçâà (oja.diferencfi). • •' v : ...sòMâ-(ou:;.di'fel:en :do^çânsequéntes;,' ássiiii;;çó.mó-.^ •.. ■V•. 7;;' i;c^esira;p:Vrá’ ò seu'rcs.£è£tíyò;.ço^ ■;-a : ± G - ’ á ; :-:y i . $S% - 7 : 'Hví V-.: i a_ b 33 - Na proporção ~ —~ , s e a + b = 32, calcule o valor de a. Solução: a + b __ a Aplicando-se, na proporção, a propriedade resulta -™— ■- ~ mas 32 a + b = 32, então temos: ~ 8 3 ——-— 8 a a —12. 32 x 3 x_ y 34 - Calcular x e y na proporção ~ —~ sabendo-se que y ~ x = 5O R: 15 e 20 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 317 x_y 35 - Calcular x e y na proporção ~ ~ sendo x —y —21. R: 35 e 14 x _ y 36 - Calcular x e y na proporção ” —~ , sendo que x + y = 252. R : 119 e 133 37 - Calcular a e b na proporção a b ~ sendo a —b —28. R: 42 e 14 38 - Dada a proporção a __ b — , calcule a + b, sabendo que 3a + 2b = 22. 3 12 Solução: Veja que a relação que você tem é 3a + 2b = 22, então devemos fazer com que apareça o 3a e o 2b como antecedentes, para, em seguida, se aplicar a propriedade. Para tanto, multipliça-se a prkneira rázao por 3, 3a 2b no que resulta ~ ; e a segunda razão por 2, no que resulta ~ . Lembrese que as razoes gozam das mesmas propriedades das frações, logo essas duas razões são equivalentes as razões dadas. 3a 2b Podemos escrever: — - “ . Aplicando-se a propriedade, resulta: J 3a + 2b a 22 a 22 x 3 ~7— —~~. Como 3a 4- 2b = 22 temos: TT ——a ——~— =>a = 2. 9 + 24 3 33 3 33 Substituindo o valor de a na proporção inicial, temos: 2 b ,12x 2 —----- ;z>b —-------b —8. 3 12 3 Então: a + b = 10 318 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR a b 39 - Se ~ —~ e 5a —2b = 2, calcule a e b. 3 6 R: 2 e 4 x_y 40 - Se ~ ——■e 4x + 2y —20. Calcule o valor de x. 5 9 R: 2 x y 41 - Calcule o valor de x e y na proporção ~ = —, sabendo que 5x + 3y = 33. 4 8 R: 3 e 6 Quarta Propriedade: 2 42 - Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é — e o produto 150. Solução: x __ 2 - ~ J e x . y . = 150 Permutando-se os meios na proporção x_ 2 . x y temos: ——~ . Apli­ cando-se a propriedade, resulta: — —= — mas x . y - 150, então resulta 2 .3 4 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 319 x_2 , j£ _ 2 Substituindo-se o valor de x em y ~ o, temos: y —o yJ = 15. 43 - Calcule dois números cujo produto é 288 e estão entre si como 2 está para 9. R: 8 e 36 44 - Calcular dois números sabendo-se que o produto é 525 e estão entre si como 3 está para 7. R: 15 e 35 45 - Achar dois números cujo produto é 315 e que estão na razão de 7/5. R: 21 e 15 ^ 46 - Calcule dois números sabendo que a razão entre eles é 4/9 e o produ­ to vale 900. R: 20 e 45 Quinta Propriedade: a __ c Seja a proporção ~ ~ . Elevando-se os dois membros à potência b d mvem: |-| 320 - ( t I no que resulta ^ HILDER GÓES * UBALDO TONAR ^ Seja a proporção 2_ 4 >elevando-se ambos os membros à segun- 4 _ 16 da potência, por exemplo, resulta: ~ ~ . Como 9 x 16 ~ 4 x 36, concluí4 __ 16 mos que ~ —“ continua sendo uma proporção. Sexta Propriedade: Seja a proporção b a_ c Extraindo-se a raiz n de cada membro b d Vd °U V b “ ^/d‘ 4 _ 16 Seja a proporção —— Extraindo-se a raiz quadrada de todos os 41 4í 6 termos, vem: uma proporção, pois 3 x 4 = 2 4 -. ~~ ^“ no que resulta“ ~ ~ que continuasendo 2 x 6. a_ b 47 - Calcular a e b n a proporção ~ ~ ~ sabendo que a2 + b 2 - 125. / í *T a 2 _ bu2 Solução: Elevando-se cada razão ao quadrado, tem o s:----------- . * . • 49 196 ■a2 + b2 _ a2' Aplicando a terceira propriedade resulta:----------------- , mas a2 + b2 =125. r ^ F 49 + 196 49 125 _ a 2 . Então, temos: -^ 7 —— , simplificando os termos da primeira razão por MATEMÁTICA PARA CONCURSO —PROPORÇÃO 321 5 resulta: — . Como os conseqüentes são iguais, implica que os an­ tecedentes são iguais, logo a3 = 25 => a = 5. 5_ b Substituindo-se o valor de a na proporção inicial, temos “ —“ b = 10. x_ y 48 - Determinar os valores de x e y na proporção ~ - — , sabendo-se que x2 + f - 20. R: 2 e 4 a b 49 - Calcule os valores de a e b na proporção ------ - , sabendo-se que 3 12 a2 + b2 = 68. R: 2 e 8 a _ b 50 - Determinar a e b na proporção ~ ~ s sabendo-se que a2—b2 = 12. R: 4 e 2 a_b 51 - Calcular a e b na proporção ———, sabendo-se que a2 + b2 = 100. 3 4 R: 6 e 8 a_ b 52 - Calcular a e b na proporção ~ — sabendo-se que 2a2 + b2 = 44. R: 2 e 6 a_ b 53 - Calcular a e b na proporção ~ ~ , sabendo-se que 2a2 + b2 = 24. R: 2 e 4 322 HILDER GÓES * UBAXDO TONAR Sétim a Propriedade: a_c a_ d 54 - Sabendo-se que ~ —“ e “ —— , calcule a se c + d = 18. .1 3 9 Solução: Aplicando-sé a propriedade nas duas proporções, resulta: c d c+d c _ _ _ _ _ c omo c + d = 18, temos t---- - - — ^ 9 18 ’ 9 + 18 9 18 27 c 9 9x18 c = — —' 27 a_c => c = 6. Levando o valor de c = 6 para a proporção ” ~~ teremos: 6x3 a ——:— a —2 a_ m m __ b 55 - Calcular a e b nas proporções ------- e — —~ 5sendo a + b = 45. 7 3 38 R: 21 e 24 56 - Calcular x e y nas proporções x a- y __ a e ———5 sendo x + y = 33. R: 21 e 12 SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS a_ c_e_ g b~ d~~f ~"h"' MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 323 PROPRIEDADES DAS SERIES DE RAZÕES IGUAIS a c e a + c + e. a c e Sendo: ———~ ~~ temos: ----------- ------———— b d f b + d + f b d f 57 - Dadas as razões x _ Y_ 2 >calcular x, y e z, sabendo-se que x + y + z = 150. Solução: Aplicando-se a propriedade, temos: x + y +z __ x _ y _ z 2 + 5+8 2 ™5 _ 8 150 _ x 150 y 150 __ z Como x + y + z = 150, resulta: —~ —— ou -----—— ou ----- —— 7 15 2 15 5 15 8 que resolvidas nos dá: x = 20; y = 50 e z = 80. 58 - Calcular x, y e z em 1v - 1 - 1 sendo x + y + z = 60. x y z R: 20, 28 e 12 x_ y_ z 59 - Sendo ~ ————, calcular x, sabendo que x + y + z = 64. R: 8 a __ b __ c 60 - Sendo ~ ~~20 ~ *14 5 ca^cu^ar sabendo que a + b + c R: 40 7_ 2 5 ——~ e a+ b + c —70, calcule a + c, a b c R: 60 61 - Sendo 324 HILDER GÓES * UBALDO TONAR x_y y_2 62 - Calcule x nas proporções ~ ~ e ———s sendo x + y + z = 60. R: 15 x_ y_ z 63 - Dadas as razões ————— e sabendo-se que 5x + 2y + z =420, 2 5 8 ^ 1 calcule a quarta proporcional entre x, y e z. Solução: Como precisamos de 5x, 2y e z para empregarmos o valor de sua soma, isto é, 420, multiplicaremos os termos da primeira razao por 5 e os 5x _ 2y _ z da segunda por 2, no que resulta. “ —~ ~ . Aplicando-se a proprieda5x + 2y + z _ 5x _ 2y _ z de da série de razões iguais vem: ——~ ——— ~ ~~ —— no que resulta: 6 10 + 10+8 10 10 8 1 420 _ x 420 _ y — “ 2 * ~J e 420 _ z “ g ■Calculando x, y e z, encontramos: x = 30, y —75 e z = 120. Devemos agora, calcular a quarta proporcional dos números 30, 75 e 120. Então, temos: 64 - Se 30 120 , 75x120 ——■ — => k ~ — — => k ~ 300. 75 k 30 x_y_ z — — e x + 3y + 2z = 76. Calcule a terceira proporcional entre x e y. Solução: Como precisamos de x, 3y e 2z para empregarmos o valor de sua soma que no caso é 76; multiplicaremos os termos da segunda razão por 3 x _ 3y __ 2z e os da terceira por 2, no que resulta ~ —~ ” . Aplicando-se a propriex + 3y + 2 z _ x _ _ 3 y _ 2 z __ 76 _ x dade das séries, v e m :------------------- —~~ —~~~, então, temos: ~~~~~ e 2 + 9 + 82 9 8 19 2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 325 76 _ y , que nos dá: x = 8 e y = 12. Veja que nào há necessidade de calcularmos o z, pois o problema nos pede a terceira proporcional de x e 8 _ 12 y, isto é, de 8 e 12. Calculando-se, temos: ~ ~ T ~ => k = 18. 7 12 k a __ b _ c 65 - Calcule a -1- b em --------- ~ sendo 2a + 3b —c = 42. 6 3 7 R: 27 a_b_c 66 - Calcular a e b em ----------T , sendo a —b + c = 22. 5 3 9’ R: 10 e 6 a _ 2b 1,5 c 67 - Dadas as razões------------------ e a relação a + 3b —2c = 100. Calcule 5 6 3 v a + b + c. R: 100 3_ 5_ 7_ 4 68 - Calcular a e d na s é rie ---- -- --------- ~ sendo b 4- c = 60. a b c d R: 15 e 20 a _ b x 69 - Na série de razões ^ —“ , sabendo-se que a + b = 13 e y —x = 1. Calcular x e y. R: x —2 e y = 3 70 - Repartir 40 em três partes, de modo que a primeira dividida por 2, a segunda por 3 e a terceira por 5, resulte sempre o mesmo quociente. R: 8, 12 e 20. 326 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 71 - Sabendo-se que 5xy = 2yz = 8xz, calcule a quarta proporcional entre x, y e z, nesta ordem, se x + y + z = 150. Solução: Dividindo-se toda expressão 5xy = 2yz = 8xz por xyz, supondo 5xy _ 2yz _ 8xz que nenhum deles sei a igual a zero, resulta: ^ ; ’ xyz xyz xyz , aplicandor 5_2_8_ se a lei do cancelamento para efeito de simpliBcacão, temos: z - x “ .y 5 +2 +8 Aplicando-se a propriedade das séries, vem: 5 2 8 ~— “ 1 L - Í - -1 1 -1 15 _ 8 -i150 cn “ z ; k a~ i trn ~ y n que resolvidas, nosdá: z = 50; x 150 x e150 y = 80. Calculando-se a quarta ou =20e proporcional de x, yez; isto é, de20, 80 20 50 e 50; te m o s:-------~~ => k = 200. 80 k 72 - Sabendo-se que 2xy = 3yz.= 4xz. Calcule x x y x z, sendo que x + y + z = 18. R: 192 OBSERVAÇÃO IMPORTANTE A quarta propriedade pode ser aplicada numa série de razoes iguais, generalizada. 3 3 3 •x a _ c _ £ a x c x e _ a __ c _ e i) b “ d ~ ^ b x d x f ~ b3 ” dF ” f 3 a_c_e__g a x c x e x g a 4 _ c4 __e4 _ g 4 ^ b ~ â ~ l ~ h ~ * b x d x f x h ” br _ dT ”" " F _ h? De onde se conclui que: o antecedente e o seu respectivo conseqüente deverão ser elevados a um expoente igual ao número de raspes existente na série. MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 327 7 3 - 0 produto das idades de Paulo, Luiz e Roberto é 3.840. Sabendo que essas idades estão representadas pelas razões 3, 4 e 5 respectivamente. Calcule essas idades. Solução: Sejam x, y e z as idades de Paulo, Luiz e Roberto, respectivamente, x __ y _ 2 temos que: x x y x z —3.840 e ———— Baseado no que foi dito na x x y x z _ x3 __ y 3 _ zJ observação anterior, poderemos escrever--------------------------------v 3 x 4 x 5 27 64 125 3.840 _ x 3 3.840 _ y3 3.840 z3 -------------------------- — e ---------- ----- qUe resolvidas nos da: x = 12: 60 27 60 64 60 125 ^ y = 16 e z = 20. x __ y _ z _ w 7 4 - S e x ^ y x z x w = 384 e ---- ------- — calcule x . y . 2 e w. J 1 2 3 4 . R: 2, 4, 6 e 8 17 25 '26 30 7 5 - S e a x b x c x d = 26.851.500 e — —~ —-------- . Calcule a + b ■+c + d. a b c d R: 294 7 6 - S e a x b x c x d = 7.680 e 3 a 15 6 9 --- -----—— Calcule a. bc d R: 4 77 - Numa proporção a soma dos extremos é 12 e a soma dos meios é 9 e o produto dos quatros termos é 400. Calcule os quatro termos. Olhe: Qualquer problema que der o produto dos quatro termos da proporção, recorra sempre à propriedade fundamental. Solução: a_ c Seja 7" — ~ temos a + d = 12; b + c —9 e a x b x c x d = 400. b d 328 HILDER GÓES * UBALDO TONAR A propriedade fundamental nos diz que, a x d = b x c, então, substituindo em a x b x c x d = 400 a x d por b x c tem-se: b x c x b x c = 400 ou b2 x c2 = 400, logo b x c = 20 onde implica que a x d = 20 pois a x d = b x c. S e b x c = 2 0 e b + c = 9, vê-se facilmente que os números são b = 4 e c = 5. Por analogia se a x d = 20 e a + d = 12, conclui-se que os 10 _ 5 números são: a = 10 e d = 2. Logo — — & 4 2 Atente que essa proporção poderia ser escrita de outra forma. 78 - Numa proporção a soma dos extremos é 17, a soma dos meios é 13 e o produto dos quatro termos é 1.764. Achar a proporção. 79 - Determinar os quatro termos de uma proporção contínua, sabendose que o produto de seus quatro termos é 1.296 e que o primeiro termo é igual a 1/3 da soma dos meios. R: 4, 6, 6 e 9 8 0 - 0 produto de quatro termos de uma proporção é 14.400. Achar os conseqüentes sabendo que os antecedentes são 15 e 40. R: 3 e 8 8 1 - 0 produto dos quatro termos de uma proporção contínua é 10.000. O quarto termo é o dobro da média proporcional e o quádruplo do pri­ meiro termo. Escrever a proporção. 5 10 R: — = — 10 20 82 - A soma de três números é 39 e o produto 729. O segundo é média proporcional ou geométrica entre os dois outros. Calcule os três números. R: 3, 9 e 27 matemática . PARA. CONCURSO—PROPORÇÃO 329 83 - Escrever uma proporção, sabendo que a soma de seus termos é igual a 65 e que cada um dos três últimos termos é igual a 2/3 do seu respectivo precedente. 27 12 R; 18 “ s 84 - Dois números não nulos tais que o valor absoluto de sua diferença está para 1 assim como a sua soma está para 7 e assim como o seu produto está para 24. Calcule o produto destes números. Ri 48 85 - Achar dois números tais que a sua soma, sua diferença e seu produto sejam proporcionais a 5, 3 e 8, respectivamente. R: 2 e 8 86 - Achar dois números tais que a sua soma, sua diferença e o produto dos quadrados dos números sejam, respectivamente, proporcionais a 17,9 e 2.704. R: 4 e 13. 87 - Dividir 180 em três partes tais que a metade da primeira, a terça parte da segunda e um quarto da terceira, sejam iguais. R: 40, 60 e 80. 88 - Numa proporção a soma dos meios é 7 e a dos extremos é 8 e a soma dos quadrados de todos os termos é 65. Escrever a proporção. 6 4 R: - = 3 2 330 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 26 ' PROPORÇÃO - Q u estõ es de C oncursos 01) CJF —À sucessão x, yt z é formada com números inversamente proporcionais a 12, 8 e 6 e o fator de proporcionalidade é 24. O valor de x, y, z é: a) 2, 3, 6 b) 3, 5, 7 c) 2,4 , 6 d) 3, 6, 8 e) 2, 3, 4 02) TRE —A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como cinco está para dois. Calcule essas idades, sabendo que a diferença entre elas é de 21 anos. a) 37 e 16 anos b) 36 e 15 anosc) 49 e 28 anos d) 35 e 14 anos e) 33 e 12 anos X Y Z 03) AFRE - 1 = - ~ ~ a) 91 b) 93 e 2x + 3y —z = 42, então 3x + 2y + z é igual a: c) 95 d) 97 e) 99 04) TRE —Sabendo-se que 2 e 8 são antecedentes e 4 e 16 são conseqüen­ temente, a proporção assim formada é: 2 8 4 8 2 16 a) — —— b) ——— c) —_ — M 6 4 y 2 16 1 8 4 2 8 d) — ’ 4 16 16 4 e) — —~~ J 2 8 05) TRE —A razão entre dois números é de 2/3. Se o maior deles é igual a 24, então o menor é igual a: a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16 06) BB —Se dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles excede o menor em $ 25.000,00, então a soma desses capitais é de: a) $75.000,00 b) $ 70.000,00 c) $ 65.000,00 d) 160.000,00 e )$ 55.000,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 331 07) BEC —Qual a fração equivalente a 7/3, cuja diferença entre os ter­ mos é 16. 08) CEF —Sejam os números reais m e n tais que m/7 = n / 2 e m - n = 30. A soma m + n é um número a) quadrado perfeito b) múltiplo de 7 c) divisível por 9 d) menor que 47 e) maior que 70 09) TRT —Relativamente aos funcionários de uma empresa, sabe-se que o número de homens excede o número de mulheres em 30 unidades. Se a razão entre o número de mulheres e o de homens, nessa ordem, é 3/5, qual o total de funcionários dessa empresa. a) 45 b) 75 c) 120 d) 135 e) 160 10) TRT —Os salários de duas pessoas estão entre sí na razão de 3:4. Se o triplo do menor dos salários menos o dobro do outro é igual a $ 14.000,00, o maior salário é: a) %42.000,00 b) $ 48.000,00 c) $ 50.000,00 d) $ 52.0000,00 e) $ 56.000,00 11) TFR —Em duas caixas dJágua há 6.600 litros de água. Determine as capacidades das caixas, sabendo que as suas capacidades estão entre si, como três está para cinco. a) 3.125 litros e 3.475 litros b) 4.200 litros e 2.400 litros c) 4.225 litros e 2.375 litros d) 4.125 litros e 2.475 litros e) 4.175 litros e 2.425 litros 12) TJtE —Certo dia, das 24 pessoas que trabalham em um escritório, faltaram 6. Em outro escritório, onde trabalham 80 pessoas, se a fre­ qüência fosse na mesma razão, quantas pessoas teriam comparecido ao trabalho. a) 64 b) 60 c) 56 d) 48 e) 20 13) TRE —Numa seção do TRE trabalham 32 funcionários dando atendi­ mento ao público. A razão entre o número de homens e o número de mulheres, nessa ordem é de 3 para 5. E correto afirmar que, nessa seção, o atendimento é dado por: 332 HILDER GÓES *f* UBALDO TONAR a) 20 homens e 12 mulheres c) 16 homens e 16 mulheres e) 10 homens e 22 mulheres b) 18 homens e 14 mulheres d) 12 homens e 20 mulheres 14)' TRT - Se ~~~ ~ 71,8~ ~ 5,6 7 ~ e x + yJ + z = 37,1, então: 3,2 a) x - y = 4,9 d) x + y = 6,3 b) y + z = 17,5 e) z —x = 30,8 c) x + z = 25,9 15) TRT —As seguintes sucessões de números são, respectivamente, as medidas, em metros, da largura e do comprimento de dois terrenos. Se os terrenos são semelhantes, as medidas formam uma proporção, na ordem dada. Qual é o único caso dado, em que os terrenos não tem formatos semelhantes?. a) 8,16,24, 48 b) 10, 30, 20, 60 c) 12, 20,18, 30 d) 15, 25, 60,100 e) 20, 50, 50,120 16) TRT —Na ordem dada, qual sucessào de números não forma uma proporção. a) 40, 60, 80,100 b) 30, 50,45, 75 c) 50, 60, 60, 72 d) 45, 75, 36, 60 e) 35, 45, 56, 72 RESPOSTAS 01) E 05) E 09) C 13) D 02) D 06) E 10) E 14) A 03) B 07) 28/12 11) D 15) E 04) D 08) C 12) B 16) A MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 333 DIVISÃO PROPORCIONAL 0 estudo da divisão proporcional tem por finalidade a divisão, como o próprio nome indica, de um número ou quantia, em partes que sejam proporcionais a outros números dados. A esses outros números nós os chamaremos de N úm eros Proporcionais. Todo e qualquer problema de Divisão Proporcional será resolvido com auxílio de "Números Representativos" e de Regra de Três. Você deverá ter sem pre em mente que serão dos Números Pro­ porcionais, que você retirará o Número Representativo de qualquer nú­ mero ou valor dado no problema. Deveremos, sempre, comparar o total de qualquer coisa (número ou quantia) com a SOMA dos números proporcionais. Quando se tratar de uma diferença, devemos encontrar dentre os Números Proporcionais, uma diferença que corresponda à diferença dada no problema. Observe, também, que se um problema lhe der um valor que corresponda ao que, por exemplo a primeira e a segunda pessoa recebe­ ram de uma certa quantia; o Número Representativo que corresponderá a esse valor, será dado pela soma do primeiro com o segundo Número Pro­ porcional. TIPOS DE DIVISÃO PROPORCIONAL Os tipos, mais comuns, de divisão proporcional, sào: 1 - Direta 2 - Inversa 3 - Direta x Direta 4 - Inversa x Inversa 5 - Direta x Inversa 6 - Inversa x Direta 334 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Entretanto, poderá aparecer mais dc duas proporcionalidades, isto c, poderá surgir uma divisào que seja por exemplo: Direta x Direta x Inversa ou Inversa x Direta x Inversa, isto é, com três ou quatro proporcionalidades, mudando-se somente a ordem dessas proporcionalidades. Veja com atenção: Havendo mais de uma proporcionalidade, ha­ verá sempre uma multiplicação entre os números proporcionais. DIVISÃO PROPORCIONAL DIRETA 01 - Dividir 180 diretamente proporcional a 2, 3 e 4. Solução: 180 = total a ser dividido. 2 + 3 + 4 = 9, total dos números proporcionais. Veja, que você já possui dois totais, então você já pode compará-los. Resta, agora, formar tantas regras de três quantas forem necessárias. 9 180 180x2 9 =40 9 ISO 3a x 180x3 í-6c\0 =---------9 9 180 4, x 180x4 =30 OA ~---------- 02 - Dividir o número 200 em partes proporcionais a 2, 3 e 5. Solução: 200 —total a ser dividido. 2 + 3 + 5 = 10, soma dos números proporcionais. Então temos: 10 200 2o x 200x2 /n = -----------= 40 10 MATEMÁTICA PAKA CONCURSO - DIVTSÁO PROPORCIONAL 335 10 200 3 x 10 200 200x3 ^ ---------=60 10 5 x 10 Observação: Quando o problema mencionar apenas "em partes proporcionais” fica subtendido que é diretamente proporcional 03 - Dividir 540 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8. R: 120, 180 e 240 04 - Dividir 240 em partes proporcionais a 2, 4 e 6. R: 40, 80 e 120. 05 - Dividir 120 em partes proporcionais a 1, 2, e 3. R: 20, 40 e 60 06 - Dividir 135 em partes proporcionais a 2/3, 5/6 e 3/8 R: 48, 60 e 27. 07 - Três pessoas receberam $ 2.250,00. Sabendo-se que a primeira traba­ lhou 12 dias, a segunda 16 dias e a terceira 17 dias, calcule quanto recebeu a segunda pessoa. R: $ 800,00 08 - Um número foi dividido diretamente proporcional a 2, 3 e 5. Calcule esse número sabendo que a segunda parte é superior à primeira, em 20 unidades. Solução: 20 unidades foi quanto a segunda parte ficou maior do que a pri­ meira, logo, o seu número representativo será a diferença entre: 3 (segunda parte) — 2(primeira parte) = 1. 336 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Como o problema quer o número, isto é, o TOTAL, o seu número representativo será a soma dos números proporcionais, isto é, 2 + 3+ 5 —10. Então, temos: 1 20 10 x 20x10 _ --------- -2 0 0 Relembre: Será sem pre dos Números Proporcionais que você de­ verá tirar os Números Representativos para qualquer situação. 09 - Um pai dividiu certa quantia entre seus três filhos, em partes propor­ cionais as suas idades que sào 5, 7 e 8 anos. Calcuie quanto recebeu o filho mais velho, sabendo-se que aos dois mais novos coube $ 360,00. R: %240,00 10 - Dividiu-se um número em partes proporcionais a 2, 3 e 5. Verificouse que a parte correspondente a 2 era 180. Calcule esse número. R: 900 11 - Certo número de laranjas foi dividido entre três meninos diretamente proporcionais às suas idades que são: 1,4 e 9 anos. Sabendo-se que os dois mais novos receberam 10 laranjas, calcule quantas laranjas recebeu o mais velho. R: 18 laranjas 12 - Um número foi dividido em partes proporcionais a 3, 7 e 12. Saben­ do-se que a terceira é maior em 100 unidades do que a segunda; calcule a parte correspondente à primeira. R: 60 13 - Um número foi dividido em partes proporcionais a 1/2, 2/5 e 1/3. Calcule esse número, sabendo que a maior parte vale 300. Solução: Devemos reduzir as frações ao mesmo denominador. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DIVISÃO PROPORCIONAI. 337 1 2 I 111119. 2 ’? 3 30’ 3 0 ’ 30 Como as frações, agora, possuem o mesmo denominador, pode­ mos eliminá-los; no que resulta os números 15,12 e 10. Como o problema diz que a maior vale 300, então o número que representa 300 será 15 que é o maior dos três números. Como o problema nos pede o número, isto é, o total; o seu número representativo será a soma dos números proporcionais: 15 -f- 12 + 10 = 37. Então, temos: 15 300 37 x 300x37 _ =---------- =740 15 14 - Certo número de laranjas foi dividido entre 3 meninos diretamen­ te proporcionais as suas idades que são 1, 4 e 9 anos. Calcule quantas laranjas recebeu o mais novo, se o mais velho e o mais novo receberam 20 laranjas. R: 2 laranjas 15 - Uma quantia foi repartida em partes proporcionais a 3/5, 2/4 e 3/9. Calcule a terceira parte, sabendo que a primeira ficou maior que a se­ gunda em $ 300,00 R: %1.000,00 16 - Um número foi dividido em partes proporcionais a 3, 7 e 12. Calcule a parte relativa a terceira, sabendo-se que as duas primeiras correspondem a 200. ' Solução: Como o problema nos diz que a parte das duas primeiras eqüivale a 200; o seu número representativo será a soma dos dois primei­ ros números proporcionais, isto é, 3 + 7 = 10. A parte relativa a terceira será representada pelo terceiro número proporcional, no que resulta: 10 200 12 x 338 200x 12 =---------- =240 10 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR 17 - Um industrial reparte certa quantia entre três empregados na razão direta dos seus tempos de serviços, que são: 20, 8 e 3 anos. Sabendo-se que o primeiro recebe f 8.840,00 mais do que o último, calcule quanto recebeu o segundo empregado. R: $ 4.160,00 18 - Certa quantia foi dividida em partes iguais entre duas pessoas. Atualmente, a parte da primeira está aumentada de 2/7 e a parte da segunda, diminuída de-3/5 do valor primitivo. Sabendo que a primeira tem $ 930,00 mais do que a segunda, calcule a quantia da primeira presentemente. R: $ 1.350,00 19 - Dividiu-se certo número de laranjas entre três meninos, diretamente proporcional às suas idades que são 1, 4 e 9 anos. Sabendo-se que o mais velho recebeu 16 laranjas mais do que o mais novo, calcule o número de laranjas distribuído. R: 28 laranjas 20 - Calcule o número de frutas que foi dividido proporcionalmente a três pessoas de sorte que a segunda, recebeu 2/3 mais do que a primeira e a terceira recebeu o dobro da segunda; e que a terceira recebeu mais 21 frutas do que a primeira. R: 54 frutas 21 - Três pessoas receberam juntas certa importância. A primeira rece­ beu 3/5 da segunda; esta, 1/4 da terceira. Calcuie quanto recebeu a terceira pessoa, sabendo que a primeira recebeu menos $ 120,00 do que a segunda. R: $ 1.200,00 22 - Três operários fÍ2eram um serviço e receberam $ 300,00. Mas o se­ gundo só trabalhou a metade dos dias do primeiro enquanto o terceiro só m atem ática pa r a concur so - d iv is ã o p r o p o r c io n a l 339 fez 1/3 do trabalho do segundo. Calcule quanto recebeu o primeiro operário. R :$ 180,00 23 - Uma pessoa dividiu certa quantia entre outras três, recebendo a pri­ meira proporcional a 5, a segunda a 8 e a terceira a 10. Calcule quanto recebeu a terceira, sabendo que a primeira recebeu menos $ 900,00 do que a segunda. Solução: Em se dizer que a primeira recebeu menos do que a segunda, eqüivale a se dizer que a segunda recebeu mais do que a primeira. Logo, o número representativo de $ 900,00 será: 8(segunda) - 5(primeira) = 3. A terceira será representada pelo número 10. Então, resulta: 3 900,00 10 x 900,00x10 ^ =---------------------------- > -------=$3.000,00 24 - DÍvÍdiu-se $ 3.600,00 proporcionalmente a três pessoas de maneira que as duas últimas receberam, cada uma, 3/2 do que coube a primeira. Calcule quanto recebeu a primeira pessoa. R: %900,00 25 - Um pai distribuiu certa quantia entre seus quatro filhos, diretamen­ te proporcional às suas idades que são: 10, 13, 15 e 17 anos, respectiva­ mente. Calcular quanto o segundo recebeu mais do que o mais novo,, sabendo-se que os dois mais velhos receberam $ 900,00 mais do que os dois mais novos. R: $ 300,00 26 - Um pai repartiu entre seus quatro filhos a quantia de § 600,00 direta­ mente proporcional às suas idades. Sabendo-se que elas somam 30 anos e 340 HILDER GÓES * UBALDO TONAR que os três filhos mais'velhos receberam $ 560,00, calcule a idade do filho mais novo. R: 2 anos 27 - Um pai repartiu entre seus quatro filhos, a importância de %420,00 em partes proporcionais às notas obtidas em uma prova. Sabendo-se que os dois filhos que tiraram as maiores notas, receberam $ 280,00 e que a diferença das outras duas menores notas foi de 3 pontos. Calcule essas duas menores notas, sabendo que a soma das quatro notas foi de 30 pontos. R: 3,5 e 6,5 28 - Se 3/4 de um número corresponde a 120, dividir esse número pro­ porcional a 1, 2 e 5. R: 20,40 e 100 29 - Dividir 882 em quatro partes de maneira que a primeira seja o produ­ to da segunda por 3; a segunda, seja o produto da terceira por 6; e a tercei­ ra seja o produto da quarta por 5. R: 630,210, 35 e 7 30 - Dividiu-se um número em quatro partes proporcionais a 1, 2, 4 e 8. Calcule esse número, sabendo que o produto da segunda parte pela quarta, menos o produto da primeira parte pela terceira, corresponde a 1.200. R: 1.500 31 - Um número foi dividido em partes proporcionais a 3, 5 e 8. Sabendose que a parte relativa à segunda e à terceira corresponde a 2.600; calcule quanto corresponde a diferença entre a segunda e a primeira parte. R: 400 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DIVISÃO PROPORCIONAL 341 32 - Repartir $ 456,00 entre três pessoas, de maneira que a primeira receba tanto quanto as duas últimas e que estas são ditetamente proporcionais a 22 e 35. R: $ 228,00, %88,00 e $ 140,00 33 - Certa firma distribuiu proporcionalmente a três empregados a quan­ tia de $ 2.370,00 de acordo com a assiduidade ao trabalho, durante o mês de setembro. Sabendo-se que o empregado A faltou 3 dias no mes, que o B faltou 8 dias e C nao teve faltas; calcule quanto recebeu o empregado C. R: $ 900,00 DIVISÃO PROPORCIONAL INVERSA 34 - Dividir 80 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. Solução: Como a divisão é inversa, devemos trabalhar com os inversos dos números dados, isto é, com 1/2 que é o inverso de 2 e com 1/3 que é inverso de 3. 1 1 3 Somando-se os números proporcionais, temos: —^---2 3 6 2__5 6 6 Como, agora, as frações possuem o mesmo denominador, pode­ mos eliminá-los e os números proporcionais passam a ser 3 e 2. Sendo 5 o total desses números, deverá ser comparado com o total a ser dividido, isto é, com 80. Então, temos: 5 80 5 80 3 80 x 3 x =-------- = 48 2 80 x 2 x =--------- —32 35 - Dividir 420 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. R: 25 2 e 168 36 - Dividir 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6. R: 180,144 e 120 342 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 37 - Repartir 94 inversamente proporcional a 3, 4 e 5. R: 40, 30 e 24 38 - Dividir o número 234 em partes inversamente proporcionais aos seus algarismos. R: 108,72 e 54 39 - Dividir.440 em partes inversamente proporcionais a 2/3, 3/4 e 4/7 Solução: Devemos trabalhar com 3/2, 4/3 e 7/4 que são os inversos de 2/3, 3/4 e 4/7 Como 440 é um total a ser dividido, devemos somar os núme­ ros proporcionais 3/2, 4/3 e 7/4.para comparar os dois totais. 2.1 1 11+11 11-^1 - 2^3 4 _ 12 12 12 12 Eliminando o denominador 12, resulta os números 18,16 e 21 cuja soma é 55. Então, teremos: 55 18 55 16 55 21 440 440x18 x —---------- =64 55 440 x = 440x16 . =128 55 440 440x21 x = ---------- =168 55 40 - Dividir 1.090 em partes inversamente proporcionais a 2/3,4/5 e 7/8 R: 420, 350 e 320 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DIVISÃO PROPORCIONAL 343 41 - Dividix em partes inversamente proporcionais a 0,333...; 0,6 e 1“ , o número 246. R: 135, 75 e 36 42 - Dividir o número 69 inversamente proporcional a 1/3,1/4 e 3/2. R: 27, 36 e 6 43 - Dividir o número cujos 2/3 corresponde a 600, em partes inversa­ mente proporcionais a 0,111... e 0,333... R: 150 e 450. 44 - Dividir 720 inversamente proporcionai a 0,333... e a 0,555.... R: 270 e 450 45 - Três pessoas receberam uma quantia que foi dividida em partes inver­ samente proporcionais aos graus de parentescos, que são, respectivamen­ te, o terceiro, quarto e quinto. Sabendo que o primeiro recebeu $ 896,00 mais do que o terceiro, calcule quanto recebeu o segundo. R: %1.680,00 DIVISÃO PROPORCIONAL DIRETA x DIRETA 46 - Dividir 290 em partes diretamente proporcionais a ó e 5 e a 3 e 8 a o mesmo tempo. Solução: Cada divisão desta, chamamos de coluna. Portanto, neste proble­ ma, temos duas colunas. Como são do mesmo tipo, isto é, diretamente proporcionais, podemos obter somente uma coluna; multiplicando os números na seguinte ordem. 6 x 3 = 18 5 x 8 = 40 344 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Os números 18 e 40 passam a ser os números proporcionais e o número 58 = 18 + 40 é o total dos números proporcionais logo, deve­ rá ser comparado com o total a ser dividido, que no caso é o 290. Cada resultado das multiplicações, ou seja, 18 e 40, deverá ser comparado com o x. Então, vem: 58 290 a8 x 58 290 40 =^0x18=90 58 x == 2? 290 x 48 = 200 58 47 - Dividir 115 em partes proporcionais a 2 e 3 e a 4 e 5 respectivamente. R: 75 e 40 48 - Dividir o número 540 em partes diretamente proporcionais a 3 e 5 e a 4 e 3 ao mesmo tempo. R: 240 e 300 49 - Ao se dividir $ 15.500,00 diretamente proporcional aos números 2, 3 e 4 e ao mesmo tempo diretamente proporcional aos números 1, 3 e 5; calcule o valor da segundã parte R: %4.500,00 50 - Um número foi dividido em partes proporcionais a 3, 3 e 4 e a 4 ,6 e 5 ao mesmo tempo. Calcule esse número sabendo que a terceira parte ficou maior do que a segunda em 150 unidades. R: 3.750 51 - Um pai prometeu aos seus três filhos, dividir $ 476,00 proporcional às suas idades e às notas que cada um lograsse na prova final de matemática. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DIVISÃO PROPORCIONAL 345 Sabendo-se que as idades dos filhos são 12,13 e 15 anos; e que obtiveram notas iguais a 6, 7 e 5 respectivamente. Calcule quanto recebeu o filho mais velho. R: $ 150,00 52 - Um pai deixou a três herdeiros um patrimônio líquido de $ 1.320.000,00 a ser repartido entre seus três filhos proporcional as suas idades e ao nú­ mero de filhos dos mesmos. Sabendo-se que o primeiro tinha 50 anos e 3 filhos; o segundo 40 anos e 6 filhos e o terceiro 25 anos e 2 filhos, calcule quanto o primeiro filho recebeu. R: $ 450.000,00 53 - Certa quantia foi dividida entre três pessoas. A primeira recebeu na razão direta de 3 e 5; a segunda na razão direta de 5 e 6 e a terceira recebeu na razão direta de 2 e 5. Calcule quanto a segunda pessoa recebeu, saben­ do que a primeira recebeu $ 500,00 mais do que a terceira. R: $ 3.000,00 54 - Duas pessoas A e B remuneradas na razão direta da produtividade e da assiduidade, receberam $ 4.176,00. Sabendo que A obteve 7 de produ­ tividade e 96% de assiduidade, enquanto B alcançou 8 e 90% respectiva­ mente. Calcule quanto ganhou B. R :$ 2.160,00 DIVISÃO PROPORCIONAL INVERSA x INVERSA 55 - Dividir o número 5.400 em partes inversamente proporcionais a 2/3 e 4/5 e a 5/2 e 5/3 simultaneamente. Solução: O processo de solução é idêntico ao que usamos para a divisão proporcional Direta x Direta; apenas, devemos trabalhar com os inversos das frações, isto é, com 3/2 e 5/4 e com 2/5 e 3/5. Então, temos: 346 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 2 1 -2 2 5~5 2 2=2 4 5 4 •3 Somando, teremos: ~ 5 3 12 15 _ 27 —~~ + — -----4 20 20 20 Olhe: Lembre-se que podemos eliminar os denominadores. No que resulta os números proporcionais 12 e 15 e o total 27 que deverá ser com­ parado com o total, isto é, com 5.400. Armando-se as regras de três, temos: 27 5-400 U x ■ 5.400 x 1 2 . 27 27 5.400 15 x 5-400x15 -3-000 o aaa = -----------27 56 - Dividir o número 390 inversamente proporcional a 2 e 4 e a 3 e 5 a o mesmo tempo. R: 300 e 90 57 - Dividiu~se $ 4.500,00 em três partes, ao mesmo tempo inversamente proporcional a 2, 1/4 e 3; e inversamente proporcional a 2/3, 4 e l/ó. Calcule a terceira parte. R: $ 2.400,00 58 ~Um pai dividiu entre seus três filhos um certo número de bolas, inver­ samente proporcionais as suas idades que sào 10,12 e 15 anos e; inversa­ mente proporcionais às notas obtidas em uma prova, que foram 6, 5 e 8 MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - DfVISÃO PROPORCIONAL 347 pontos simultaneamente. Calcule quantas bolas recebeu o segundo filho, sabendo que o primeiro e o último receberam 30 bolas. R: 20 bolas DIVISÃO PROPORCIONAL DIRETA x INVERSA Neste caso, você trabalha diretamente com os primeiros números ou frações e, inversamente com os segundos números ou frações; pois a ordem é Direta x Inversa, 59 - Dividir 200 diretamente proporcional a 2 e 3 e inversamente propor­ cional a 1/3 e 3/4 simultaneamente. Solução: Multiplicando-se os primeiros números, pelos inversos das frações, temos: 3x — 3 Os números proporcionais agora, são 6 e 4 cuja soma é 10. Então, resulta: 10 200 6 x 10 200 4 348 x 10 200 x 4 _ 10 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 60 - Dividir o número 360 diretamente proporcional a 2/3 e 3/4 e inver­ samente proporcionai a 5/3 e 3/2 ao mesmo tempo. R: 160 e 200 61 - A quantia de $ 20.650,00 foi dividida entre duas pessoas. A primeira recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3; a segunda, recebeu na razão direta de 9 e na razão inversa de 4. Calcule quanto recebeu a primei­ ra pessoa. R: $ 11.200,00 62 - Dividir 216 em duas partes que sejam, ao mesmo tempo, propordo1 'e 5—. c5 nais diretamente a 3 / 4 e 7 //9 e inversamente a 4„ — 2 6 R: 120 e 96 63 - Dividir o número 33, ao mesmo tempo, diretamente proporcional a 1, 3 e 5 e inversamente proporcional a 2, 3 e 4. R: 6,12 e 15 64 - Dividir 690 em duas partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2/3 e 3/4 e inversamente proporcionais a 5/6 e 1/2. R: 240 e 450 65 - Um pai dividiu, entre seus três filhos, $ 219,00 em partes proporcio­ nais às suas notas e inversamente proporcionais às faltas em determinado período de aula. Sendo as notas 5, 9 e 3 e as faltas 7, 3 e 2, calcule quanto recebeu o terceiro filho. R: $ 63,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DIVISÃO PROPORCIONAL 349 DIVISÃO PROPORCIONAL INVERSA x DIRETA O método de resolução é idêntico ao anterior, apenas você tomará os inversos dos primeiros números ou frações e conservará os segundos números ou frações, pois a ordem é Inversa x Direta. 66 - Dividir 60 inversamente proporcional a 3 e 4 e diretamente proporci­ onal a 6 e 12 respectivamente. Solução: 1 6 — x6 = —= 2 3 3 1 _ 12 . —x l 2 ~ — - 3 4 4 Os números proporcionais agora, são 2 e 3 cujo total é 5. En­ tão, temos: 5 2 60 x 60x2 = ------ =24 5 . 3 60 x 60x3 = __= 36 67 - Dividir o número 210 inversamente a 2/3 e diretamente a l/ 6 e l/ 2 ao mesmo tempo. R: 60 e 150 68 - Dividir 88 em partes inversamente proporcionais a 3/5 e 2/7 e dire­ tamente proporcionais a 0,2 e 2 simultaneamente. R: 4 e 84 350 HILDER GÓES * UBALDO TONAR V e j a m o s o u t r o s t i p o s d e q u e s t õ e s : 69 - Dividiu-se 560 em três partes e verificou-se que quando a primeira for 2 a segunda será 4; e quando a primeira for 3 a terceira será 5. Calcule a terceira parte. S o l u ç ã o : |0 2 3 l â Linha: 2a Linha: 2e 4 3“ 5 Numa divisão proporcional não poderá haver mais de um número representando uma pessoa ou uma parte, como é o caso desse problema em que a primeira parte está sendo representada pelos números 2 e 3. Devemos, então multiplicar a primeira linha por 3 e a segunda linha por 2, senão, vejamos: lü 2Ü 3a 2a 23a 3x23x4 => 6 12 2x3 2x5 6 10 Eliminando-se um dos seis, resulta os seguintes números: 6,12 e 10 representativos da primeira, segunda e terceira partes, respectivamente. Então, temos: 6 + 1 2 + 1 0 = 28 28 (to tal) 560 n 10 (33 parte) x 10x560 =----------- = 200 28 Observação: Expressões como: "quando a primeira for 3 a segun­ da será 5” ou "a primeira está para a segunda como 3 está para 5" ou ainda "a primeira está para a segunda numa razão igual a 3/5 O processo de resolução é idêntico ao do problema anterior. 70 ~Dividir 684 em três partes tais que, a primeira esteja para a segun­ da, como 3 está para 5 e a segunda esteja para a terceira, como 4 está para 8. R: 114; 190; 380 MATEMÁHCA PARA CONCURSO - DIVISÃO PROPORCIONAL 351 71 - Dividir $ 830,00 entre três pessoas de modo que, quando a primeira tiver $ 300,00 a segunda tenha %500,00; e quando a segunda tiver $ 600,00, a terceira tenha $ 700,00. R: 1 180,00; %300,00 e $ 350,00 72 - Dividir $ 8.800,00 entre três pessoas de modo que, quando a primeira tiver %400,00 a segunda tenha $ 500,00; e quando a segunda tiver $ 100,00 a terceira tenha $ 700,00. R: $ 800,00; %1.000,00 e $ 7.000,00 73 - Um pai ao dividir $ 282,00 entre seus três filhos verificou que: a parte do primeiro estava para a do segundo na razão de 4 para 5, e a parte do segundo estava para a do terceiro na razão de 6 para 8. Calcular quanto recebeu o terceiro filho. R: $ 120,00 74 - Dividir 1.072 em quatro partes, de maneira que a primeira esteja para a segunda, assim como 5 está para 7; a segunda esteja para a terceira como 3 está para 4; e a terceira esteja para a quarta como 2 está para 5. R: 120,168, 224 e 560 75 - Um pai dividm $ 830,00 entre seus 4 filhos de tal forma que a parte do primeiro esteja para a do segundo como 2 está para 3; a parte do segundo esteja para a do terceiro como 4 está para 7 e a parte do terceiro esteja para a do quarto como 3 está para 6. Calcule quanto recebeu o segundo filho. R: $ 120,00 76 - Um número foi dividido em partes proporcionais a 2 e 8. Se tivesse sido dividido em partes proporcionais a 3 e 9; a segunda parte ficaria dimi­ nuída de 18 unidades. Calcule esse número. Solução: Seja 1 esse número. Então, vamos dividir 1 proporcional a 2 e 8 e, em seguida, a 3 e 9 trabalhando, entretanto somente com os segundos números proporcionais, pois o problema se refere à segunda parte. 352 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 10 1 12 8 x =— 8 10 9 1 9 x =— 12 a) divisão do 1, proporcional a 2 e 8: lO(total) l(total) 8 (2a parte) x 8 ~— 10 b) divisão do 1, proporcional a 3 e 9: 12(total) l(total) 9 (2a parte) x 9 =— O problema diz que a segunda parte ficaria diminuída de 18 unida­ des. Logo, 9/12 é menor do que 8/10. 8 9 _ 4 8 45_ 3 _ 1 A diferença -- --------- _ _ _ _ _ _ _ ffaç^0 equivalente a 18. v 10 12 60 60 60 20 v M 20 Logo, 18 x — = 360 77 - Certo número foi dividido na razão direta dos números 2 e 4; porém, se o fosse na razão direta dos números 8 e 10, a segunda parte ficaria diminuída de 84 unidades. Calcule esse número. R: 756 78 - Um número foi dividido em partes proporcionais a 2, 3 e 4. Se tivesse sido dividido em partes inversamente proporcionais aos mesmos núme­ ros, a última parte ficaria diminuída de 1.750 unidades. Calcule esse número. R: 8.190 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DIVISÃO PROPORCIONAI 353 79 - Certo número foi dividido na razão direta dos números 3, 5 e 7; depois, na razão direta dos números 4, 9 e 12. Sabendc que, na segunda divisão, a terceira parte ficou aumentada de 20 unidades. Calcule esse número. R: 1.500 80 - Um número foi dividido diretamente proporcional a 7 e 2 e, em segui­ da, a 5 e 4. Calcule esse número, sabendo que a diferença entre as diferen­ ças de cada proporcionalidade eqüivale a 160. R: 360 81 - Dividindo-se a2 em partes inversamente proporcionais aos números a a a a, ~ ~ e ~ ; calcule a primeira parte. 82 - Dividiu-se um número em três partes proporcionais a 2 / 3 e a l/ 5 e verificou-se que; a terceira parte é inferior à primeira em 3.200 unidades. Calcule o terceiro número proporcional e a segunda parte. R: 2/15 e 1.200 83 - Dividiu-se um número em três partes diretamente proporcionais a l/ 2 e l/ 3 e verificou-se que; a primeira e a terceira parte correspondem a 800 unidades. Calcule o terceiro número proporcional e a segunda parte. R: 1/6e 400 84 - Dividiu-se um número em quatro partes proporcionais a 1, 2, 4 e 8. Calcular esse número, sabendo que o produto da segunda parte pela quar­ ta, menos o produto da primeira parte pela terceira corresponde a 1.200. R: 1.500 354 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 85 - Um número foi dividido em quatro partes proporcionais a 2, 3,4 e 5. Calcular esse número, sabendo que: uma vez a primeira, mais duas vezes a segunda, menos três vezes a terceira, mais duas vezes a quarta, resulta 180. R: 420 86 - Certa quantia foi dividida entre três pessoas diretamente proporcio­ nal a 5 e 7 para as duas primeiras e inversamente proporcional a 1/10 para a terceira. Sabendo que a terceira recebeu $ 360,00 mais do que a segunda, calcule quanto recebeu a primeira pessoa. R: $ 600,00 87 - Duas peças de fazenda de qualidades, larguras e comprimento dife­ rentes, valem juntas $ 3.120,00. As duas peças medem 320 metros. As qualidades sào inversamente proporcionais a 1/6 e 1/5; as larguras sào diretamente proporcionais a 5 e 4 e os comprimentos diretamente pro­ porcionais a 7 e 9. Calcule os preços de um metro de cada peça. R: $ 12,00 e $ 8,00 88 - Duas peças de fazenda custaram $ 1.275,00. Sabendo-se que as quali­ dades sao diretamente proporcionais a 5 e 7; as larguras diretamente pro­ porcionais a 4 e 5 e os comprimentos inversamente proporcionais a 7 e 9. Calcule o preço de um metro de cada peça, sabendo que as duas peças juntas medem 320 metros. R: $ 3,00 e $ 5,25 89 - A quantia de %5.400,00 deve ser dividida entre três pessoas de modo que a parte da primeira corresponde a 1/5 da parte da segunda e a parte da segunda corresponde aos 2/3 da terceira Calcule quanto deve receber a segunda pessoa. S o l u ç ã o : Se a parte da segunda é 2/3 da terceira, é porque a terceira é 3/3. Logo, a segunda será 2/3 de 3/3 que é 2/3. A primeira é 1/5 da segunda. 1 2 2 Entào: -* x ~ = — . Concluímos que: 5 3 15 M MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - DIVISÃO PROPORCIONAL 355 2 2 . 3 Primeira = ~ , Segunda = ~ , Terceira — ^ 2 2 3 _ 2 10 15 _ 27 Somando-se, temos: — + - + —— + — + — 15 3 3 15 15 15 15 Eliminado-se os denominadores, resulta os números 2, 10 e 15 e o total 27. Logo, a segunda pessoa que está representada pelo número 10 deverá receber: 27 5.400,00 10 x = 5 .4 0 0 ,0 0 x 1 0 = 27 90 - A quantia de $ 9.200,00 deve ser dividida entre três pessoas de tal forma que, a primeira eqüivale a 2/5 da segunda e a segunda corresponde a 3/5 da terceira. Calcule quanto receberá a primeira. R: $ 1.200,00 91 - A quantia de $ 10.150,00 deve ser dividida entre três pessoas de modo que a parte da primeira corresponde aos 2/5 da parte da segunda e aos 3/4 da parte da terceira. Calcule quanto deve receber a primeira pessoa. Solução: Veja que esse problema é completamente diferente dos dois anterio­ res, pois da primeira, parte para a segunda e para a terceira simultaneamente. Faça sempre assim: Considere a primeira 1, a segunda’ e a terceira 5/2 e 4/3, isto é, os inversos das frações dadas. Então, temos: 1* 2 3Ü - 1 356 5 - 4 6 15 8 29 — =>-+ — + - = — . 2 3 6 6 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 6 Eliminando-se os denominadores, resulta os números: 6, 15 e 8, cujo total é 29. Armando-se a regra de três, vem: 29 (total) 6 (Ia parte ) 10.150,00 (total ) x =» x = iilO JSO flO = m 0 0 i0 0 29 92 - A quantia de $ 3.000,00 deve ser repartida entre três pessoas de modo que a parte da segunda corresponde aos 2/3 da parte da primeira e aos 4/ 5 da parte da terceira. Calcule quanto deve receber a segunda pessoa. R: $ 800,00 93 - Uma firma distribuiu certa quantia entre seus três sócios diretamente proporcional aos tempos de serviços que são: 15, 5 e 2 anos respectiva­ mente Calcular a quantia total distribuída e quanto o sócio de menos tem­ po de firma recebeu menos do que o sócio de mais tempo, sabendo-se que: dividindo-se a quantia recebida pelo sócio de mais tempo de firma, pela quantia recebida pelo sócio dé tempo intermediário e o resultado multiplicando-se pek quantia recebida pelo sócio de menos tempo de firma, resulta em $ 1.200,00. R: $ 4.400,00 e $ 2.600,00 . 94 - Um pai distribui $ 300,00 entre seus três filhos do seguinte modo. Proporcionalmente as idades que são 2, 3 e 6 anos; e as notas obtidas numa prova que foram 6, 4 e 5; e inversamente proporcional às séries que eles freqüentam que são 3-, 4a e 5a e às distâncias dos colégios que eles estudam que são 2 km, 3 km e 2 km. Calcule quanto recebeu o filho mais velho. R: $ 150,00 95 - Um matemático dividiu certo número de frutas em partes diretamen­ te proporcionais as idades de três meninos, que tinham 5, 6 e 7 anos; e deu MATEMÁTICA PARA CONCURSO —DIVISÃO PROPORCIONAL . 3 5 7 a cada um a sua parte. Em seguida, verificou que errara no cálculo, toman­ do as idades como 3, 4 e 5 anos. Para corrigir o erro cometido, mandou que o menino mais velho, desse 2 frutas ao menino mais moço. Calcule quantas frutas foram distribuídas. R: 72 frutas 96 - Certa quantia deve ser repartida entre duas pessoas. O total que elas desejam receber, indevidamente, excede à quantia primitiva em $ X.000,00. Fez-se a divisão proporcionalmente às suas reclamações e uma pessoa recebeu $ 1.600,00 e a outra recebeu $ 2.400,00. Cálcule quanto deve rece­ ber, realmente, cada pessoa. R: $ 1.200,00 e $ 1.800,00. 97 - Uma quantia deve ser dividida entre duas pessoas. O total que recla­ mam excede a essa quantia de $ 2.000,00. Fez-se a divisão proporcional às suas reclamações e uma pessoa recebeu $ 5.000,00 e a outra $ 3.000,00. Calcule quanto deve receber, realmente, cada pessoa. R: $ 3.750,00 e %2.250,00. 358 HILDER GÓES * UBALDO TONAR MÉDIAS NOÇOES GERAIS A média entre várias quantidades (valores ou números), é uma quan­ tidade que estará sempre compreendida entre a menor e a maior. Na ex­ pressão a < b < c poderíamos dizer que b é uma média entre a e c. Poderíamos dizer, também, que as médias são "Números resumos" de um conjunto de vários números. A seguir estudaremos as médias mais comuns, que sào: a) Média Aritmética b) Média Aritmética Ponderada c) Média Geométrica d) Média Harmônica M édia Aritm ética - M a 01 - Calcular a média aritmética dos seguintes conjuntos de números: 02 - Um conjunto de números é composto de 1 zero, 2 um, 3 dois e 4 três. Calcule a média aritmética desses números. R: 2 MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - MÉDIAS 359 03 - A média aritmética de x e y é 30. Se z —15, qual a média aritmética de x, y e z. R: 25 04 - A média aritmética de 11 números é 12. Retirando-se um dos núme­ ros a média aritmética dos 10 números restantes é 12,4. Calcule o número retirado. $_r \Z ; 5 ^ - - P R: 8 ‘ ’ _ j_ .JZV 05 - A média aritmética de 11 números é 38. Retirando-se o número 8, calcule a média aritmética dos 10 números restantes. R : 41 a->, i j* ' M g = VÍ44 => Mg = 12 17 - Calcular a média geométrica dos números 4, 6 e 9. Solução: Mg = V íx 6 x 9 ==>Mg = V iló ” =>Mg = 6 Observação: Veja que, no problema 16, trabalhamos com uma raiz quadrada, pois se tratava de dois números, enquanto que, no problema 17, por se tratar de três números, trabalhamos com raiz cúbica 18 - Calcule a média geométrica ou proporcional dos seguintes conjuntos de números (4,16, 27) e (2,4, 27). R: 12 e 6 19 - Calcular a diferença entre a média aritmética e a média geométrica dos números 3 e 27. R: 6 20 - Sendo a média geométrica de dois números igual a 12; determine o primeiro, sabendo que o segundo é igual a 36. R; 4 21. - Calcular a média geométrica dos números 4/7 e 9/28. R: 3/7 362 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 22 - Calcular dois números, sabendo que a média aritmética entre eles é 25 e' a média geométrica é 15. R: 45 e 5 23 - Calcular dois números, sabendo que a média aritmética entre eles é 5 e a média geométrica é 4. R :2 ^ S 24 - Numa família há três moças e dois rapazes. As idades das moças sào 10,15 e 20 anos; e as idades dos rapazes são 16 e 25 anos. Calcule a razão entre a média aritmética das idades das moças e a média geométrica das idades dos rapazes. R: 3/4 M édia H arm ônica - Mh '■.':Çh'amàm'os d e'iji^ ^ )i| ^ o m caíd è' vnftds^núfrúí^^^ 'dá diedin;^tíb^ííça ,dÓ£ ... £Íess^,iTu^ 25 - Calcular a média harmônica dos números 3 e 4. Solução: Mh 2 2 „ 2 ™24 1 + 1 ~ ±+±~~ Z ~ 7 3 4 12 12 12 26 - Calcular a média harmônica dos números 3, 6 e 18. R: 5,4 27 - Calcular a diferença entre a média geométrica e harmônica dos núme­ ros 4 e 6. R: 1,6 28 - Calcule a diferença entre a média aritmética e harmônica dos núme­ ros 6 e 12. R: 1 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - MÉDIAS 363 Veja com atenção: Para calcularmos a velocidade média de um móvel, que percorre com velocidades diferentes, percursos iguais; calculase a média harmônica dessas velocidades. Vmédia Vb Vc 1 1 1 + — + . Va bV. c V 29 - Um trem vai de uma cidade A para uma cidade B com uma velocidade de 80 km/h, e da cidade B para uma cidade C com uma velocidade de 60 km/h. Calcule a velocidade média desse trem, sabendo que as distancias entre as cidades A e B e B e C são iguais. R: 68,75 km/h 30 - Um carro vai de uma cidade A para uma cidade B, com uma velodda­ de de 60 km/h e volta com veloddade de 40 km/h. Calcular a velocidade média desse carro. R: 48 km/h 31 - Um carro faz o percurso de uma ddade A para a ddade B com uma veloddade de 60 km/h, e regressa com uma veloddade de 30 km/h. Cal­ cular a distância entre as duas ddades, sabendo-se que foi gasto ao todo 7 horas nos dois percursos. R: 140 km RELAÇÃO ENTRE AS MÉDIAS a) A média aritmética é m aior do que a média geométrica: Ma > Mg b) A média geométrica é m aiot do que a média harmônica: Mg > Mh c) A média geométrica é a m édia geom étrica entre a média arit­ mética e a média harmônica. Mg = VM ax Mh 364 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 9 NÚMEROS PROPORCIONAIS a) Números diretamente proporcionais: Assim, se forem diretamente proporcionais, as sucessões (a, b, c, d) e (x, y, z, t) teremos: a_ b_ c_ d x. y z t 01 - Se a sucessão de números 5, 2 e 6 é diretamente proporcional à suces­ são 10, x e y, Calcule os valores de x e y. Solução: O enunciado do problema nos permite escrever A - i- A ~x ~y • Então, temos: 5 -----' 10 X Vn 1 ««V A T f> V _L = ! 10 y < fA TT“ 19 ^ — — y y 02 - Determinar os valores de m e n nos seguintes grupos de números diretamente proporcionais: (5, 6,7) e (75, m}n). R: 90 e 105 03 - Tem-se duas grandezas A e B. Quando A toma os valores 2, 3 e 5, a grandeza B toma os valores 26, x e y respectivamente- Quais devem ser os valores de x e y para que A e B sejam diretamente proporcionais. R: 39 e 65 MATEMÁTICA PARA CONCURSO —NÚMEROS PROPORCIONAIS 365 b) Números inversamente proporcionais: Assim, se forem inversamente proporcionais as sucessões (a, b, c, d) e (x, y, z, t) teremos: ax = by = cz = dt 04 - Calcule os valores d e m e n nos seguintes grupos de números inver­ samente propordonais: (4, 6,12) e (3, m, n). Solução: O enunciado do problema nos permite escrever: 4 x 3 ~ 6 x m = 12 xn. Logo 6m = 12 => m ~ 2 12n = 12 => n = 1 05 - Se o conjunto de números (20, 5 e y) é inversamente proporcionado ao conjunto (3, x e 6). Determine x + y. R: 22 06 - Sabe-se que z é diretamente proporcional a x e inversamente propor­ cional a y. Se z = 5 quando x = 2 e y = 3. Determine o valor de z quando \ ~ 96 e y = 10. R: 72 366 HILDER GÓES * UBALDO TONAR DIVISÃO PROPORCIONAL - Questões de Concursos 01) A FRE —Numa disputa hípica entre dois cavaleiros, o prêmio de | 280.000,00 vai ser dividido em partes inversamente proporcionais ao número de.obstáculos que cada um derrubar. O primeiro derrubou 6 obs­ táculos e o segundo, 8 obstáculos. O primeiro recebeu: a) $ 120.000,00 b) $ 160.000,00 c) $ 180.000,00 d) $ 200.000,00 e) $ 220.000,00 02) BB - Certa herança foi dividida de forma diretamente proporcional às idades dos herdeiros, que tinham 35,32 e 23 anos. Se o mais velho recebeu $ 525.000,00, quanto coube ao mais novo. a) %230.000,00 b) $ 245.000,00 c) $ 325.000,00 d) $ 345.000,00 e) $ 350.000,00 03) BB —Jorge, Franz e Salim fizeram em conjunto, uma aposta na Ioteca e ganharam f 1.500,000,00. Sabendo que suas contribuições fo­ ram de $ 15,00, $ 25,00 e $.35,00 respectivamente e que o prêmio foi distribuído proporcionalmente à contribuição de cada apostador, podese dizer que Franz recebeu: a) $ 300.000,00 b) $ 400.000,00 c) $ 500.000,00 d) $ 600.000,00 e) %700.000,00 04) BB - Certa quantia foi repartida em três partes proporcionais a 2, 5 e 8. Se a soma das duas primeiras partes é $ 280-000,00 qual o valor da terceira parte. a) $ 80.000,00 b) $ 140.000,00 c) % 200.000,00 d) $ 300.000,00 e) %320.000,00 05) BB —Dividindo-se um número em partes proporcionais a l/ 2 e l/ 6 , respectivamente, obteremos que: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 367 a) A primeira será o triplo da segunda b) A primeira será a terça parte da segunda c) A segunda será o triplo da primeira d) A primeira parte será o dobro da segunda e) A primeira parte será a metade da segunda 06) BB —165 balas foram distribuídas entre três irmãos, cujas idades, somadas, totalizam 33 anos. Sabendo-se que a distribuição foi diretamente proporcional à idade de cada um; e que o mais moço recebeu 40 balas e o do meio, 50. Calcular suas idades. a) 13 e 14 b) 9 e 17 c ) 1 2 e l8 d) 11 e 6 e) 10 e 8 07) MPU —Se dividirmos 2.840 entre três partes, tais que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5, e a segunda esteja para terceira como 4 está para 7, o valor da terceira parte é de: a) 1.400 b) 800 c) 1.440 d) 710 e) 1.243 08) MPU —Uma peça de certo tecido foi dividida em 4 partes proporcio­ nais aos números 10,12,16 e 20. Sabendo-se que a peça tinha 232 metros, o comprimento do menor corte foi de: a) 20m b) 40m c) 30m d) 48m e) 64m 09) TRT —Três funcionários, A, B e C, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 420 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus respectivos tempos de serviços na empresa. Se A, B e C trabalham há 3, 5 e 6 anos, respectivamente, o número de formulá­ rios que B deverá conferir é: a) 100 b) 120 c) 200 d) 240 e) 250 10) T F R —Paulo, Antônio e Francisco, ganham juntos o prêmio da loteria esportiva, que foi dividido em partes inversamente proporcio­ nais aos números 1/2; 0,25 e 0,75, respectivamente. Sabendo-se que Paulo recebeu $"30,00 mais do que Francisco, o total do prêmio ratea­ do foi de $. a) 300,00 b) 310,00 c) 320,00 d) 330,00 e) 350,00 368 HIUDER GÓES * UBALDO TONAR 11)TJC —O TJ do Ceará verificou, em pesquisa de opinião pública, que, em cada 13 eleitores, 5 votem no PFL, 4 mo PMDB, 3 no PT e 1 no PDS. Então, para 6.539.000 eleitores, a distribmçao dos votos seria, respectiva­ mente, para o PFL, PT, PDS e PMDB deV a) 2.650.000; 1.590.000; 530.000 e 2.120.000 b) 2.515.000; 2.012.000; 1.509.000 e 503.000 c) 265.000; 159.000; 53.000 e 212.000 d) 2.650.000; 2.120.000; 1.239.000 e 530.000 e) 2.515.000; 1.509.000; 503.000 e 2.012.000 12) TTN —Um prêmio de $ 152.000,00 será distribuído aos cinco partici­ pantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcio­ nai às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1, 2, 2, 3 e 5 ($). a) 60.000; 30.000; 30.000; 22.000; 10.000 b) 60.000; 30.000; 30.000; 20.000; 12.000 c) 58.100; 35.800; 23.200; 23.200; 11.700 d) 42.000; 40.000; 40.000; 20.000; 10.000 13) T T N —Um comerciante deseja premiar, noprimeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses quechegarem ao seuestabeleci­ mento, dividindo $ 507.000,00 em partes inversamente proporcionais 1 2 a 2 — 1~ e 1,2. Nessas condições, o prêmio de menor valor a ser 4 3 pago será de: a) $ 110.000,00 b) $ 118.905,40 c) $ 225.000,00 d) %222.947,88 e) $ 120.000,00 14) TTN —A família A, de cinco pessoas, e a família B, de quatro pessoas, combinaram passar férias numa casa de campo, com despesas em comum, distribuídas de acordo com o número de pessoas de cada uma. Termina­ das as férias, verificou-se que a família A gastara $ 842.400,00 e a família B, $ 934.200,00, razão pela qual tiveram que fa2er um acerto de contas. Que quantia a família À teve que dar à família B. a) $ 91.800,00 b) $ 144.600,00 c) $ 197.400,00 d) $ 240.000,00 e) $ 475.200,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 369 15) TTN —Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crian­ ças, em partes que sejam ao mesmo tempo proporcionais diretamente a 2/3 e4/7 e inversamente a 4/9 e 2/21. Quantas balinhas cada crian­ ça receberá. a) 27 e 108 b) 35 e 100 c) 40 e 95 d) 25 e 110 e) 30 e 105 16) T T N —Duas pessoas devem dividir entre si a im portância de $ 180.000.000,00. A primeira pretende receber 2/3 da importância total e a segunda acha que tem direito a receber %72.000.000,00. Por Em concor­ daram em dividir a importância total proporcionalmente às respectivas pretensões. Quanto recebeu cada uma. a) $ 120.000.000 e $' 60.000.000 c) $ 112.500.000 e $ 67.500.000 b) $ 115.500.000 e $ 64.500.000 d) $ 108.000.000 e %72.000.000 e) %96.000.000 e %84.000.000 17) TTN —Marlene dividiu uma certa importância entre os seus três filhos em partes diretamente proporcionais a 12, 8, 10 e inversamente proporcionais a 8, 6 e 9, respectivamente. Qual o valor da terceira parte que tocou a um dos filhos, se a primeira parte é maior do que a segunda em $ 4.500,00. a) $ 27:000,00 b) $ 45.000,00 c) $ 34.500,00 d) $ 30.000,00 e) %36.000,00 18) TTN - Divide-se 315 em três partes A, B e C que são ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 3, 2 e 5 e inversamente proporcionais a 5, 3 e 6, respectivamente. O maior valor dessas partes é: a) 225 b) 150 c) 145 d) 100 e) 125 19) TTN - Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceira parte como 6 está para 12. Nessas condições, a terceira parte vale: a) 120 b) 150 c) 320 d) 300 e) 250 20) TTN —Uma herança de $ 200.000,00 foi dividida entre três irmàos, de acordo com suas idades e de tal forma que ao mais velho caberia a maior parcela e ao mais novo a menor parcela. Juntos, os irmàos mais velhos 370 HDUDER GÓES * UBAIDO TONAR receberam $ 150.000,00. Sabendo-se que a soma das idades dos três ir­ mãos é de 40 anos, a idade do irmão mais moço, contada em anos é de: a) 11 b) 9 c) 10 d) 12 e) 13 21) PETROBRÁS —Dividindo-se $ 3.800,00 em partes inversamente proporcionais a 1, 3 e 4 a menor parte corresponderá a: a) $ 475,00 b) $ 520,00 c) $ 600,00 d) $ 620,00 e) $ 650,00 22) TRT —Três rapazes, Ronaldo, Marcelo e Paulo, fizeram um trabalho em conjunto. Ronaldo fez 2/5 do trabalho, Marcelo fez 3/7 do trabalho e Paulo fez o resto. O trabalho foi pago por quem o encomendou e cada um dos rapazes recebeu uma quantia proporcional à parte realizada. Ronaldo recebeu $ 336.000,00, o que significa que Paulo recebeu: a) $ 696.000,00 b) $ 490.000,00 c) %350.000,00 d) $ 280.000,00 e) $ 144.000,00 23) TRF —Um abono de $ 81.200,00 deve ser repartido entre as funcio­ nárias Ana e Beatriz, na razão direta de seus respectivos tempos de servi­ ços. Se Ana trabalha no setor há 24 meses e Beatriz há 32, a quantia que caberá a Ana é: a) 146.400,00 b) $ 34.800,00 c) $ 32.400,00 d) | 28.600,00 e) $ 27.800,00 24) BM —Três amigos cujas idades somam 60 anos, dividiram as despesas de um jantar em partes diretamente proporcionais às suas respectivas ida­ des. Se a despesa importou em $ 42.000,00 e dois deles pagaram, respec­ tivamente, 1 14.000,00 e $ 15.400,00, então a idade do mais novo era: a) 16 anos b) 18 anos c) 20 anos d) 21 anos e) 22 anos 25) BM ~ O modesto lucro de $ 150.000,00 da ML Empreendimentos será dividido entre os sócios Mauro e Luiz em partes diretamente proporcionais ao capital investido e ao tempo de trabalho diário de cada um dos dois. Mauro investiu $ 200.000,00 e Luiz $ 400.000,00; Mauro trabalha 4 horas por dia e Luiz 8 horas por dia. Nessas condições, a parte de Mauro será: a) $ 27.500,00 b) %30.000,00 c) $ 37.500,00 d) %45.000,00 e) $ 50.000,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 371 26) DNER —Dividindo f 1.584,00 em partes inversamente proporcio­ nais a 2, 3 e 6, a menor parte será igual a: a) $ 204,00 b) 1275,00 c) $ 288,00 d) $ 299,00 e) f 300,00 27 TJCE Antônio, Carlos e Paulo ganharam na loteria o prêmio de 1 12.600,00. O prêmio deverá ser rateado diretamente proporcional à con­ tribuição de cada um no jogo. Tendo Antônio desembolsado % 400,00, Carlos $ 300,00 e Pedro %200,00, ao primeiro caberá o valor de $. a) 5.500,00 b) 5.300,00 c) 5.600,00 d) 5.400,00 e) 5.800,00 28) TJCE - Um fazendeiro vendeu sua propriedade por f 74.000,00 e pretende distribuir esse valor entre seus três filhos: Pedro, Maria e Ana, na ra2ào inversa da idade de cada filho e na razão direta do número de depen­ dentes que cada filho possui. Pedro tem 64 anos e 8 dependentes; Maria tem 60 anos e 6 dependentes; e Ana 48 anos e 4 dependentes. Nessas condições, o maior quinhão distribuído foi de $ a) 28.000,00 b) 29.000,00 c) 30.000,00 d) 26.000,00 e) 27.000,00 29) BC —Um número foi dividido em quatro partes de tal modo que a primeira parte está para a segunda assim como 5 está para 7; a segunda está para a terceira assim como 2 está para 5 e a terceira está para a quarta assim como 2,5 para 3. Sabendo que o quíntuplo da primeira menos o dobro da segunda mais o triplo da terceira menos o triplo da quarta dá o resultado 4, qual é esse número. a) 404 b) 510 c) 315 d) 218 ' e) 405 R E S P O ST A S 01) B 06) E 11) E 16) C 21) C 26) A 372 02) D 07) A 12) B 17) D 22) E 27) C 03) C 08) B 13) E 18) E 23) B 28) C HILDER GÓES *f* UBALDO TONAR 04) E 09) B 14) B 19) D 24) B 29) A 05) A 10) D 15) A 20) C 25) B 31 REGRA DE SOCIEDADE Ao ser formada uma sociedade, nada mais justo do que o lucro ou o prejuízo, advindo dos negócios dessa sociedade, sejam distribuídos en­ tre os sócios que a constituem; em partes proporcionais aos capitais em­ pregados por cada sócio, como também aos tempos durante os quais esses capitais permaneceram empregados na constituição dessasocieda­ de. Portanto, a Regra de Sociedade, tem por finalidade adistribuição em partes proporcionais, dos lucros ou prejuízos de uma sociedade, sendo, por isso, uma aplicação prática da Divisão Proporcional. A Regra de Soci­ edade pode ser: ( Capitais iguais e tempos iguais Simples < Capitais iguais e tempos diferentes ^ Capitais diferentes e tempos iguais Composta: Capitais diferentes e tempos diferentes. Tenha sempre em mente que você deverá comparar Total com To­ tal e Diferença com Diferença seja de capital com lucro, capital com preju­ ízo, lucro com prejuízo com tempo de aplicação e mais ainda, a Regra de Sociedade é resolvida com o auxílio de Números Representativos e de uma simples regra de três. Senão, vejamos: l ô CASO: Os capitais sào iguais e estiveram aplicados durante tem­ pos iguais. 01 ~Três pessoas se associaram num certo negócio entrando, cada uma, com um capital de $ 2.000,00. No fim de 5 meses de atividade verificou-se um lucro de $ 3.600,00. Calcule o lucro de cada sócio. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE SOCIEDADE 373 Solução: Como os capitais e os tempos sào os mesmos, divide-se o lucro pelo número de sócios, no que resulta: | 3.600,00 + 3 = $ 1.200,00 Então, cada sócio receberá $ 1.200,00 de lucro. 02 - Cinco pessoas fundaram uma sociedade, cujo capital de $ 8.000,00 foi realizado em partes iguais. No fim de sete meses verificou-se um lucro de $ 9.000,00. Calcule o lucro de cada pessoa. R: $ 1.800,00 03 - Três pessoas ao fundarem uma sociedade, verificaram que haviam tido um prejuízo de $ 6.000,00. Calcule o prejuízo de cada pessoa. R: $ 2.000,00 2a CASO: Capitais iguais empregados em tempos diferentes. s. tímpòs-.," 04 - Três sócios formaram uma sociedade com capitais iguais, permane­ cendo o primeiro durante 12 meses; o segundo, 8 meses e o terceiro por 10 meses. Calcule quanto ganhou o segundo sócio, se a sociedade apre­ sentou um lucro de $ 9.000,00. Solução: Como os capitais são iguais, o lucro deverá ser dividido proporcio­ nalmente aos tempos. Então temos: 30 (total dos tempos) 9,000,00 (total do lucro) 8 (tempo do segundo) x (lucro do segundo) 9.000,00x8 -$2.40 0,0 0 30 05 ~Três amigos associaram -se, entrando cada um com o capital de $ 1.500,00 mas tiveram um prejuízo de $ 750,00. O primeiro ficou na sociedade, 8 meses; o segundo, 7 meses; e, o terceiro, 9 meses. Determinar o prejuízo do terceiro. R: %281,25 374 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 06 - No final de uma sociedade, três sócios verificaram que haviam tido prejuízo de $ 18.000,00. Sabendo-se que o primeiro permaneceu durante 1 mês; o segundo, 2 meses e o terceiro, 3 meses. Calcuie o prejuízo do primeiro sócio. R: $ 3.000,00 07 - Três amigos assodaram~se, entrando cada um com o mesmo capital, mas tiveram um prejuízo de $ 7.500,00. O primeiro ficou na sociedade durante 8 meses; o segundo, 7 meses e o terceiro, 9 meses. Determinar o prejuízo do terceiro. R: | 2.812,50 08 - Três sócios formaram uma sociedade, com os capitais iguais. Perma■necendo o primeiro durante 12 meses; o segundo, 8 meses e o terceiro 10 meses. Calcule quanto ganharam os dois primeiros sócios sabendo que a sociedade apresentou um lucro no valor de $ 9.000,00. Solução: O lucro será dividido proporcionalmente aos tempos, pois os capi­ tais são iguais. Como o problema pede o lucro dos dois primeiros sócios, o seu número representativo será: 12 + 8 = 20, isto é, a soma dos tempos dos dois primeiros sócios. Então, temos: 30 (total dos tempos) 9.000,00 (lucro total) 20 (tempo dos dois primeiros) x (lucro dos dois primeiros) 9.000,00x20 30 :$ 6.000,00 09 - Quatro sócios fundaram uma sociedade; o primeiro demorou 2 me­ ses; o segundo, 5 meses; o terceiro, 7 meses e o quarto 11 meses. Sabendose que aos dois primeiros sócios foi destinado um lucro de $ 14.000,00, calcule quanto o quarto sócío ganhou mais do que o terceiro. R: $ 8.000,00 10 - Três pessoas A, B e C associaram-se, mas no final houve um prejuízo de $ 5.400,00. Sabendo que A permaneceu na sociedade durante 3 meses. B, 2 meses e C permaneceu 4 meses. Calcule a soma dos prejuízos de A e B. R: $ 3.000,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE SOCIEDADE 37 5 11 - Numa sociedade, o lucro foi distribuído diretamente proporcional às idades de cada sócio, que são 28, 32 e 40 anos respectivamente. Calcule o lucro total da sociedade, sabendo que o sócio de 40 anos recebeu mais $ 2.400,00 do que o sócio que tem 28 anos. R: $ 20.000,00 12 - A, B e C formaram uma sociedade, entrando com capitais iguais e obtiveram um lucro de $ 13.600,00. B permaneceu na sociedade, 3/4 do tempo de A; e C permaneceu metade do tempo de B. Calcule o lucro do primeiro sócio. R: %6.400,00 13 - Ao permanecerem durante 2, 3, 6 e 10 meses, respectivamente, numa sociedade, os quatro sócios verificaram que; no finai da sociedade, o lucro obtido pelos dois últimos sócios foi de $ 16.000,00. Calcule a soma do lucro obtido pelo primeiro e terceiro sócios. R: $ 8.000,00 14 - Numa sociedade, os direitos dos cinco sócios A, B, C, D e E; ao lucro total obtido exprime-se, respectivamente pelos números 2, 5,13,17 e 33. Sabendo-se que o sócio A recebeu menos $ 2.348,50 do que o sócío C; calcule quanto o sócio E recebeu mais do que o sócio D. R: | 3.416,00 3QCASO: Capitais diferentes empregados num mesmo tempo. 15 - Dois sócios fundam uma sociedade; o primeiro com um capital de $ 3.000,00, e o segundo com $ 2.000,00. No fim de certo tempo, a socieda­ de apresentou um lucro de $ 1.500,00. Calcule o lucro a que teve direito o primeiro sócio. Solução: Como o tempo foi o mesmo, o lucro será dividido proporcional­ mente aos capitais. Então, temos: 376 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 5.000.00 (total dos capitais) 3.000.00 (capital do primeiro) 1.500,00x3.000,00 5.000,00 1.500,00 (total do lucro) x (lucro do primeiro) $ 900,00 16 - Dois sócios lucraram $ 2.769,00. O primeiro entrou para a sociedade com um capital de $ 1.800,00 e o segundo com $ 2.100,00. Calcule o lucro do segundo sócio. R: $ 1.491,00 17 - Duas pessoas se uniram e formaram uma sociedade e lucraram $ 2.500,00. A primeira entrou com $ 700,00 e a segunda com $ 550,00. Calcule o lucro da primeira. R: 1 1400,00 18 - Três sócios formaram uma sociedade. O primeiro entrou com um capital de $ 10.000,00; o segundo com % 15.000,00 e o terceiro com $ 20.000,00. Calcule o lucro do segundo sócio, sabendo que no fim de certo tempo a sociedade apresentou um lucro de %90.000,00. R: $ 30.000,00 19 - Três pessoas A, B e C formaram uma sociedade com capitais de %2.000,00, $ 3.000,00 e $ 5.000,00 respectivamente. No final a sociedade apresentou um prejuízo de %4.000,00. Calcule os prejuízos dos sócios B e C respectivamente. R: B = % 1.200,00 e C = | 2.000,00 42 CASO: Capitais diferentes empregados em tempos diferentes. 20 - Duas pessoas constituíram uma sociedade. A primeira entrou com um capital de $ 2.000,00 pelo espaço de 5 meses. A segunda, com um capitai de § 3.000,00 pelo espaço de 6 meses. Calcule o lucro da segun­ MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE SOCIEDADE 377 da pessoa sabendo que, ao findar a sociedade, houve um lucro de % 5.600,00. Solução: Como os capitais e os tempos sào diferentes, o lucro ou prejuízo será dividido proporcionalmente ao produto dos capitais pelos tempos. Senão, vejamos: 2.000.00 x 5 = 10.000,00 (representativo da 1- pessoa) 3.000.00 x 6 = 18.000,00 (representativo da 2a pessoa) 28.000,00 (representativo do lucro total) 28.000.00 18.000.00 5.600,00 x 5.600,00 x 18.000,00 * „ ^ => x =---------------------- -— = %3.600,00 28.000,00 21 - Três negociantes fundaram uma sociedade. O primeiro entrou com um capital de $ 30.000,00 permanecendo 12 meses. O segundo, com um capital de $ 40.000,00 durante 8 meses e o terceiro com um capital de $ 50.000,00 durante 6 meses. No final, a sociedade deu um lucro de | 98.000,00. Calcule o lucro do terceiro sócio. R: $ 30.000,00 22 - Duas pessoas reúnem $ 8.500,00 para efetuar um negócio. A primeira coloca 5 6.000,00 por 2 meses e a outra, o restante durante 3 meses. Tendo havido um lucro de % 1.365,00, calcule o lucro da primeira pessoa. R: .$ 840,00 23 - Três pessoas formaram uma sociedade. A primeira permaneceu du­ rante 1 ano; a segunda 7 meses mais do que a primeira e a terceira 8 meses mais do que a segunda. A primeira entrou com $ 80.000,00; a segunda com um capital de $ 20.000,00 mais do que a primeira e a terceira com %40.000,00 menos do que a segunda. Se o lucro final foi de $ 22.400,00; calcule quanto deve receber a segunda pessoa. R: $ 9.500,00 378 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 24 - A inicia um negócio com um capital de %2.000,00. Dois.meses depois B entra no negócio com um capital de $ 3.000,00. Dois meses após B haver entrado na sociedade, C entra com um capitai de $ 2.000,00. Oito meses depois de iniciada a sociedade, houve um lucro de $ 12.600,00. Calcule o ganho de A. R: %4.800,00 25 - Três sócios obtiveram um lucro de $ 4.416,00. O primeiro sócio em­ pregou um capital de $ 1.000,00 e permaneceu durante 1 ano e 6 meses, o segundo empregou $ 1.200,00 por 1 ano e 4 mesés e o terceiro, $ 1.500,00 durante 1 ano. Calcule o lucro do segundo sócio. R: ? 1.536,00 26 - Três sócios constituem uma sociedade. O primeiro entrou com um capital de % 3.000,00 durante 2 meses. O segundo com um capital de $ 4.000,00 durante 3 meses e o terceiro entrou com %2.000,00 durante 4 meses. Sabendo-se que, ao findar a sociedade, o segundo sócio recebeu $ 3.200,00 de lucro mais do que o terceiro. Calcule o lucro do primeiro sócio: Solução: 3.000.00 x 2 = 6.000,00 (representativo do l ü sócio) 4.000.00 x 3 = 12.000,00 (representativo do 2Üsócio) 2.000.00 x 4 — 8.000,00 (representativo do 3Üsócio) De acordo com o enunciado do problema, o segundo sócio rece­ beu mais do que o terceiro, a importância de $ 3.200,00. Logo, o número representativo de %3.200,00, será a diferença entre o número representa­ tivo do segundo menos o do terceiro sócio. Isto é: 12.000.00 - 8.000,00 = 4.000,00; No que resulta: 4.000.00 (diferença) 3.200,00 (diferença de lucro) 6.000.00 (representativo do 1~) x (lucro do Ia) x = ^ 00.00x6.000;00 = t 4 4.000,00 27 - Duas pessoas organizaram uma sociedade, entrando cada uma res­ pectivamente com $ 5.000,00 e $ 4.000,00. Quatro meses depois de inicia­ MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE SOCIEDADE 379 da a sociedade, a primeira pessoa diminuiu seu capital de $ 2.000,00 e dois meses depois, a segunda aumentou seu capital para $ 6.000,00. No final de dez meses houve um lucro de % 43.000,00. Calcule o lucro da primeira pessoa. R: $ 18.000,00 28 - José e Pedro constituíram uma sociedade, José entrou com $ 2.000,00 e Pedro com $ 2.500,00. Após 8 meses, José aumentou seu capital para % 3.500,00 e Pedro diminuiu seu capital para $ 1.500,00. No ftm de 18 meses, houve um lucro de $ 34.400,00. Calcuie o lucro de José. R: $ 20.400,00 29 - Dois sócios fundaram uma empresa com capitais proporcionais a 3 e 5, e permaneceram por períodos de tempos proporcionais a 4 e 7, respec­ tivamente. calcular o lucro do primeiro sócio, sabendo-se que o lucro total foi de $ 9.400,00. R: $ 2.400,00 30 - Três sócios formaram uma sociedade com capitais proporcionais a 3, 5 e 8 permanecendo durante tempos proporcionais a 6, 4 e 4. Determinar o lucro que teve direito o segundo sócio, sabendo que a sociedade apre­ sentou um lucro total de $ 21.000,00. R: %6.000,00 31 - Três pessoas formaram uma sociedade com capitais proporcionais a 3, 5 e 10 permanecendo na sociedade durante tempos proporcionais a 6, 4 e 3. O capital social da sociedade era de $ 36.000,00 e o lucro foi de $ 34.000,00. calcular o lucro da segunda pessoa, e qual a diferença dos capitais da terceira e da primeira pessoa. R: $ 10.000,00 e $ 14.000,00 32 - Três comerciantes colocaram $ 60.000,00 em uma sociedade. A parte do segundo sócio é 5/6 da do primeiro, e a parte do terceiro os 4/5 da do segundo. O terceiro entregou a sua parte no ato da formaçào da socieda­ de, o segundo 6 méses depois e o primeiro 5 meses depois do segundo. 380 HILDER GÓES * UBALDO TONAR No fim de 3 anos obdveram $ 21.312,00 de lucro. Calcular o lucro que obteve o primeiro sócio. R: $ 7.200,00 33 - Na distribuição do lucro de uma sociedade, os dois sócios verificaram que o primeiro havia recebido 1/3 a mais, e o segundo havia recebido 2/5 a menos do que realmente deveriam ter recebido. Calcule quanto recebeu o segundo sócio, se o primeiro recebeu $ 2.200,00 a mais do que o segundo. R: $ 1.800,00 34 - Três pessoas obtiveram um lucro de $ 6.000,00. A terceira recebeu pek aplicação de seu capital, um lucro de $ 1.500,00. A primeira e a segun­ da retiraram capital mais lucro de $ 5.400,00 e $ 8.100,00 respectivamen­ te. calcular o lucro da primeira e o capital da terceira. R :$ 1.800,00 e $ 3.000,00 35 - Dois sócios formaram uma empresa para a qual entraram respectiva­ mente com $ 15.000,00 e $ 17.000,00. O trabalho do primeiro sócio está avaliado, além do seu capital, nos 3/4 do capital social. O trabalho do segundo está avaliado além do seu capital, na metade do capital social. No fim de um ano o lucro da empresa foi de % 12.000,00. calcular o lucro do primeiro sócio. R: $ 6.500,00 36 - Três sócios fundaram uma sociedade. O primeiro entrou com um capital de $ 2.000,00, durante 1 ano; o segundo com $ 3.000,00, durante 2. anos; e, o terceiro, com um capital de $ 4.000,00. O lucro total foi de $ 8.000,00, dos quais 3/5 são destinados ao terceiro sócio. Determine o lucro dos dois primeiros sócios e quanto tempo ficou rendendo o capital do terceiro sócio. R: $ 800,00; %2.400,00 e 3 anos. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE SOCIEDADE 381 3 REGRA DE SOCIEDADE - Q u estõ es de C oncursos 01) TRE —Três amigos compraram um terreno de 10.800 m?. Qual é a porçãó de cada um se o primeiro entrou com $ 16.000,00, o segundo com $ 20.000,00 e o terceiro com $ 24.000,00. a) 3.000m2; 3.800nr e 4.000m2 b) 3.880m2; 2.600m2 e 4.320m2 c) 2.880m2; 3.700m2 e 4.220m2 d) 3.000m2; 3.680m2 e 4.120m2 e) 2.880m2; 3.600m2 e 4.320m2 02) AFRE —Carlos e Daniel são sócios de uma Erma. Carlos iniciou a firma entrando com um capital de $ 65.000.000,00, enquanto Daniel foi admitido 2 meses depois entrando com um capital de $ 26.000.000,00. Se, no final de um ano de atividade, a firma obteve lucro de $ 72.800.000,00, então a parte do lucro que coube a Daniel foi de: a) $ 14.600.000,00 b) $ 16.400.000,00 c) %18.200.000,00 d) $ 20.800.000,00 e) $ 22.500.000,00 03) AFRE —André e Raul formaram uma sociedade para uma transação financeira e lucraram $ 250.000,00. André participou com %700.000,00 e Raul com $ 550.000,00. O lucro correspondente a André e a Raul, respec­ tivamente, foi de: a) %140.000,00 e %110.000,00 b) $ 145.000,00 e $ 105.000,00 c) $ 150.000,00 e $ 100.000,00 d) $ 135.000,00 e $ 115.000,00 e) 1 125.000,00 cada um 04) AFRE —Três rapazes formaram uma sociedade com o capital de $ 200.000,00 e lucraram $ 80.000,00. Sabendo-se que ao primeiro coube $ 24.000,00; ao segundo $ 36.000,00 e ao terceiro $ 20.000,00; a entrada de cada sócio foi, respectivamente, de: a) $ 65.000,00; %90.000,00 e $ 45.000,00 b) $ 65.000,00; $ 85.000,00 e $ 50.000,00 382 HILDER GÓES * UBALDO TONAR c) | 60.000,00; $ 95.000,00 e %45.000,00 d) | 70.000,00; $ 80.000,00 e $ 50.000,00 e) $ 60.000,00; $ 90.000,00 e $ 50.000,00 05) ARRE - Carlos, Alberto e Jorge associaram-se entrando cada um com $ 9.000,00; I 10.000,00 e $ 12.000,00, respecdvamente. O primeiro permaneceu na sociedade durante um ano, o segundo durante 8 meses e o terceiro 6 meses. As operações sociais causaram um prejuízo de $ 13,000,00. Qual a parte do prejuízo de Alberto para ressarcimento aos credores. a) $ 3.600,00 b) $ 6.400,00 c) $ 3.000,00 d) $5.400,00 - e )$ 4.000,00 ' 06) TCC —Três pessoas associaram-se para fundar uma empresa; a pri­ meira participou com $ 300.000,00; a segunda com $ 350.000,00 e a ter­ ceira com | 280.000,00. Tiveram um lucro de $ 465.000,00 no primeiro ano em que a empresa funcionou. O lucro de cada pessoa foi, respectiva­ mente de $: a) 170.000,00; 175.000,00; 120.000,00 b) 150.000,00; 160.000,00; 155.000,00 c) 170.000,00; 150.000,00; 145.000,00 d) 150.000,00; 175.000,00; 140.000,00 e) 175.000,00; 155.000,00; 135.000,00 . 07) TRE ~ Alberto, Bráulio e Célio formaram uma sociedade comercial. Alberto entrou com $ 2.000,00; Bráulio com $ 3.000,00 e Célio com | 5.000,00. Ao final de um ano de trabalho, a empresa teve lucro de $ 3.000,00 que deverá ser distribuído entre os 3 sócios, proporcionalmen­ te ao capital empregado. BráuEo, CéEo e Alberto receberão, de lucro, res­ pectivamente, $. ■ a) 600,00; 900,00 e 1.500,00 b) 1.500,00; 900^0 e 600,00 c) 900,00; 1.500,00 e 600,00 d) 900,00; 600,00 e 1.500,00 e) 600,00; 1.500,00 e 900,00 S 08)BB —Em primeiro de janeiro Flávio iniciava atividade em sua empresa com capital de $ 125.000,00. Três meses depois, Paulo ingressava na socie­ dade com $ 80.000,00 e no dia primeiro de julho, Nicoiau é admitido com MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 383 $ 115.000,00. Em 31 de dezembro do mesmo ano houve lucro de $ 116.400,00. Quanto coube a Paulo. a) $ 27.600,00 b) $ 28.600,00 c) $ 28.800,00 d) %29.100,00 e) $ 60.000,00 09) TST —Três sócios constituíram uma sociedade: o primeiro com % 160.000,00, e o segundo com $ 200.000,00. Sabendo-se que, na divisão do lucro de $60.000,00, coube ao terceiro sócio $ 24.000,00 a participação no capital da empresa deste sócio era de: c) %220.000,00 a) $ 200.000,00 . b) $ 210.000,00 d) %230.000,00 e) $ 240.000,00 10) TRT —Fábio fundou uma empresa com $ 500.000,00 de capital e , após 8 meses, admitiu um sócio com %250.000,00 de capital. Se, após um ano de atividade da empresa, houve um lucro de $ 630.000,00 a ser repar­ tido entre os dois, a parte que coube a Fábio foi. a) $ 480.000,00 b) $ 500.000,00 c) $ 540.000,00 d) %565.000,00 e) $ 580.000,00 11) T FR —Uma empresa foi constituída com o capital de dois sócios. O primeiro participou com $ 500,00 e o segundo com $ 300,00. Saben­ do-se que na distribuição do lucro anual coube ao sócio m ajoritário S 300,00 a mais do que o outro, o lucro auferido pelo sócio minoritário foi de $. a) 30,00 b) 35,00 c) 40,00 d) 45,00 e) 50,00 12) TRE —Uma pessoa X fundou uma empresa com um certo capital e, após 4 meses de atividades, admitiu um sócio Y, com o mesmo capital. Se após um ano de sua formação, a empresa teve um lucro de $ 2.500.000,00, a parte desse lucro que coube a Y foi: a) $ 750.000,00 b) $ 1.000.000,00 c) $ 1.250.000,00 d) $ 1.500.000,00 e) $ 1.750.000,00 13) TTN —Três pessoas formaram uma sociedade entrando com a mes­ ma quantia, sendo que o capital da primeira pessoa esteve aplicado duran­ te 2 anos, o da segunda pessoa durante 3 anos e o da terceira pessoa durante 384 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 20 meses. Se o lucro auferido foi de $ 400.000.000,00, quanto receberá a primeira pessoa, sabendo-se que ela ainda tem mais 10% do lucro, confor­ me o contrato. a) $ 108.000.000,00 b) $ 120.000.000,00 c) % 148.000.000,00 d) $ 160.000.000,00 e) $ 200.000.000,00 14) TTN - Distribuir o lucro de $ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou $ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo apEcou § 20.000,00 durante 11 meses. a) %18.000,00 e $ 10.200,00 b) $ 21.000,00 e $ 7.200,00 c) $ 20.000,00 e $ 8.200,00 d) $ 18.200,00 e $ 10.000,00 e) $21.600,00 e $ 6.600,00 15) T TN ~ Certa sociedade constituída por três sócios, com o capital de $ 180.000,00, teve $ 25.200,00 de lucro. Sabendo-se que o sócio A entrou com 1/3 do capital, que o sócio B entrou com 2/5 e que o sócio C entrou com o restante, determinar o lucro de cada sócio. a) $ 7.200,00; $ ‘ 9.500,00 e $ 8.500,00 b) $ 8.200,00; $ 8.500,00 e $ 8.500,00 c) $ 9.000,00; $ 10.200,00 e $ 6.000,00 d) %8.400,00; $ 10.080,00 e $ 6.720,00 e) $ 9.200,00; $ 10.000,00 e $ 6.000,00 16) TTN —Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de $ 28-000,00. O sócio A empregou % 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou $ 15.000,00 durante 1 ano. O lucro do sócio A foi de: a) %8.000,00 b) $ 10.000,00 c) $ 12.000,00 d) $ 14.000,00 e) $ 16.000,00 17) TRE —Duas pessoas, A e B, constituíram uma empresa com o capital total de $ 2.100.000,00 e, apôs um ano, tiveram o lu cro de $ 600.000,00. Se ao sócio A coube a quarta parte do lucro de B e mais $ 50.000,00, o capital de A era: a) $ 520.000,00 b) $ 560.000,00 c) $ 580.000,00 d) $ 760.000,00 e) $ 780.000,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 385 18) TTN —Dois amigos constituem uma sociedade, participando o pri­ meiro com % 10.000,00 e o segundo com $ 8.000,00. Apôs 10 meses de existência da empresa, o primeiro sócio aumentou seu capitai em mais $ 5.000,00. Decorridos 2 meses dessa data, o segundo sócio retirou $ 2.000,00 de sua cota inicial. Sabendo-se que ao final de 2 anos apurou-se um lucro de $ 23.900,00, ao segundo sócio coube a participação no lucro de $: a) 8.800,00 b) 8.700,00 c) 9.200,00 d) 8.400,00 e) 8.900,00 19) TJC E —Mário e João constituíram uma empresa, com capitais de $ 50.000,00 e $ 70.000,00, respectivamente. Sabendo-se que, na distribui­ ção do lucro anual apurado, um recebeu $ 2.500,00 mais que o outro, coube a Mário a quantia de f. a) 7.700,00 b) 6.100,00 c) 6.250,00 d) 6.500,00 e) 6.750,00 20) TJCE - O lucro de $ 40.000,00 foi distribuído entre três sócios em partes proporcionais ao capital de cada um. A parte que coube ao primei­ ro foi $ 15.000,00; e ao terceiro $ 5.000,00. Sabendo-se que o capital social é de $ 8.000,00, que parte deste corresponde o capital do segundo sócio, a) | 4.000,00 b) $ 4.500,00 c) $5.500,00 d) $ 6.000,00 e) $ 1.500,00 21) TJCE —Três amigos “A”, “B” e “C” constituíram uma empresa com o sócio “B” íntegralizando $ 60.000,00 e “C” $ 40.000,00. Apurou-se, ao final do exercício, o lucro de $ 36.000,00, cabendo a “A” a parcela no lucro de $ 16.000,00. Nessas condições, o valor do capital integralizado pelo capitalista “A” foi de $: a) 80.000,00 b) 90.000,00 c) 100.000,00 d) 60.000,00 e) 70.000,00 RESPOSTAS 01) E 08) C 15) D 386 02) C 09) E 16) C 03) A 10) C 17) B 04) E 11) D 18) D HILDER GÓES + UBALDO TONAS 05) E 12) B 19) C 06) D 13) D 20) A 07) C 14) E 21) A 33 PORCENTAGEM DEFINIÇÃO: Chamamos de porcentagem a parte de um todo, que dele se retira ou a ele se junta. Também podemos dizer que: ■:-V-:;':^'Porçér^ag^ NOTAÇÃO: Usa-se o sinal % que se lê "por cento" para se indicar a porcentagem. 1% - lê-se um por cento. 20% - lê~se vinte por cento. 300% - lê-se trezentos por cento. NÚMERO BÁSICO: O número básico para o cálculo da porcenta­ gem é o 100%. PRINCIPAL OU TOTAL: É o número sobre o qual a porcenta­ gem deve ser calculada. TAXA: E o número de unidades que se tem de tomar em cada 100. PORCENTAGEM: É a soma de todos os números que se retira ou se junta em cada 100. Olhe: Se calcularmos 5% de 200 laranjas, encontraremos 10 laran­ jas, nesse exemplo temos: Totai: 200 laranjas Taxa: 5% 10 laranjas Porcentagem: Observe que, quando dizemos, por exemplo, 20% de um certo va­ lor, queremos dizer que em cada 100 partes desse valor, tomamos 20 partes. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 387 Como porcentagem é toda razão na qual o conseqüente é 100, en30 . 20 tão 30% pode ser escrito -----, assim como 20%-= ----- . p 100 ’ 100 A porcentagem, nem sempre, é um número inteiro, muitas vezes é um número decimal, uma fração ou um número misto, como nos exem3 pios: 0,3%, — % e o2 -1% . 4 3 Veja com muita atenção, as duas observações que se seguem: Primeira: Qualquer TOTAL, quantidade ou valor, deverá ser com­ parado cora 100%. Segunda: A TAXA deverá ser comparada com o desconto, abati­ mento, comissão, etc. Veja, também, a definição de algumas expressões muito comuns em certos problemas de porcentagem. Valor Nominal: E o escrito no contrato ou título, isto é, no che­ que, na Nota Promissória, na Duplicata, etc. P Ü ^ P il Valor Líquido: É o valor nominal menos o desconto, abatimento, comissão, taxa, etc. Valor Atual: É o valor pelo qual um contrato é liquidado. Veja: O Valor Atual poderá ser maior ou menor do que o Valor Nominal, no caso de o título haver sido pago após o vencimento estabele­ cido no contrato, ou antes desse vencimento. TRANSFORMAÇÃO DE PORCENTAGEM EM FRAÇÃO Como porcentagem pode ser definida como sendo uma razão na qual o conseqüente é 100, podemos transformar qualquer porcentagem em uma fração, onde o numerador da fração é a própria porcentagem e o denominador 100. 388 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 01 - Transformar em fração irredutível as porcentagens abaixo: a) 35% b) 4% c) 20% d) 45% Solução: 35 7 35% = -----= — 100 20 4 1 4% = — =— 100 25 20 1 20% = ----- = 100 5 45 9 45% = -----= — 100 20 02 - Exprimir sob a forma de fração irredutível: a) 5% b) 8% c) 60% d) 50% 1 R :a ) i í 2 b> ã 3 C )? 1 d )2 TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM PORCENTAGEM Para se transformar qualquer fração em porcentagem, basta formar uma proporção na qual, a primeira razao é igual a própria fração e a segunda razão é igual a x . Donde x será a porcentagem procurada. 03 - Transformar em porcentagem as frações abaixo relacionadas: a) 1/4 b) 9/10 c) 1/2 d) 2/25 Solução: Basta igualarmos cada fração à razão x e, em seguida, calcular­ mos o valor de x. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 389 Senào, vejamos: ^ 1=: J L =>4x = ioo.-.x = 25% ' 4 100 9 — ' 10 x 100 ;=>10x:= 900.\x-90% c\ 2 ~ _ J L =í>2x==100.‘. x = 50% } 2 100 2 x d) — =---- ^ 25x = 2 0 0 x = 8% ' 25 100 04 - Um operário reduziu de 2/5 a sua produção no serviço. Calcule de quanto por cento foi essa redução. R: 40% 05 - Vendi um objeto por 9/8 do preço de compra. Calcule a porcentagem do lucro. R: 12,5% 06 - Transforme a expressão If 1“ + i“\J_+,~1 em porcentagem. R: 250%. 07 - Exprimir sob a forma de porcentagem as frações a seguir relacionadas: a) 3/5 b) 1/8 c) 3/4 ' d) 2/5 e) 5/4 ‘ í)3/25 R: a) 60% b) 12,5% c) 75% d) 40% e) 125% f)12% 08 - Um negociante obteve, em determinado negócio, lucro correspondente a 1 1~ . Calcule a porcentagem do lucro. 5 R: 180%. 390 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR OPERAÇÕES COM PORCENTAGEM Vejamos, agora, as operações com os números percentuais. O seu aprendizado é muito importante, pois facilita sobremaneira a resolução dos problemas de porcentagem. MULTIPLICAÇÃO 09 - Efetuar as multiplicações abaixo relacionadas: a) 2% x 7% b) 1,5% x 4 c) 2% x 4% x 3% Solução: a) 2% x 7% = 14%% b) 1,5% x 4 = 6% c) 2% x 4% x 3% = 24%%% Veja: Para se eliminar cada sinal (%), volta-se duas casas da direita para a esquerda, isto é, divide-se o número por 100. 10 - Dar o resultado das multiplicações abaixo, sem o sinal de porcentagem. Solução: 3% x 1% = 21%% = 0,21% = 0,0021 0,3% x 1,2% = 0,36%% = 0,0036% = 0,000036 11 - Dê o resultado de 30% x 40% x 20% com apenas um sinal de por­ centagem. R: 2,4% MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 391 12 - Em um colégio, 45% dos alunos são rapazes, e 25% dos rapazes cursam o segundo grau. Calcular a porcentagem dos rapazes que cursam o segundo grau. R: 11,25% 13 - Em uma ddade 52% dos habitantes são mulheres e 40% das mulheres votam. Calcule a porcentagem das mulheres que votam. R: 20,8% 14 - Em uma cidade, 58% dos habitantes são homens e 30% dos homens são rapazes." Calcule a porcentagem de rapazes dessa ddade. R: 17,4% 15 - (10%)2 é igual a: R: 1% 16 - Calcule (20%)z R: 4% DIVISÃO 17 - Efetuar as divisões abaixo rdadonadas: a) 18% * 3% b) 10% - 5- 2 c) 8%% - 2% Solução: a) 18% -s- 3% = 6 b) 10% + 2 = 5% c) 8%% * 2% = 4% Olhe: Para que apareça mais um sinal (%) no resultado, aumenta­ mos duas casas da esquerda para a direita, istoé, multiplicamos o resultado por 100. 392 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 18 - Dividir 8% por 2% aparecendo no quociente: a) um sinai de porcentagem b) dois sinais de porcentagem Solução: a) 8% - 2% = 4 ^ 4 x 100 = 400% b) 8% -s- 2% = 4 => 4 x 100 = 400% s 100 = 40.000%% Olhe: Você deve observar, com atenção, que: 6% 3 é diferente de 6 -h 3%. Senão, vejamos: . e % +3= 6 6 1 6 2 6 + 3%= 6 + — = 6 x — = — = 200 = 20.000% 100 3 3 19 - Calcule os quocientes abaixo indicados: a) 10% h- 2% b) 8%% - 4% c) 6% - 2 R: a) 5 b) 2% c) 3% d) 4 * 2% d) 20.000% 4% x 3% 2% 20 - Calcule a expressão percentual: R: 6%. 21 - Um acertador da loteria ficou apenas com 20% do prêmio total. Se o prêmio foi repartido em partes iguais para cada acertador, calcule o núme­ ro deles. R: 5. SOMA E SUBTRAÇÃO ii^ijèrds /psrçjin túais,'.- ■. MATEMÁTICA PAJRA CONCURSO - PORCENTAGEM 393 22 - Efetuar as operações abaixo relacionadas: b) 5% + 4% - 3% - 2% a) 7% - 4% + 3% Solução: a) 7% - 4% + 3% = 10% - 4% = 6% b) 5% + 4% - 3% - 2% = 9% - 5% = 4% 23 - Ao efetuar dois negócios de mesma quantia, um negociante obteve no primeiro, um lucro de 10% e, no segundo, um prejuízo de 4%. Verificar se houve lucro ou prejuízo. Solução: Basta efetuarmos a operação: 10% (lucro) —4% (prejuízo) = 6%. Então, houve um lucro de 6%. 24 - Ao se vender dois objetos de mesmo valor, um com lucro de 30% e outro com prejuízo de 10%, em porcentagem, verifique se houve lucro ou prejuízo, e de quanto. R: Lucro de 20% 25 - Calcule a expressão percentual: 3% x 12% 4-15,64% 4% R: 4 26 - Uma pessoa emprestou a mesma quantia a três outras. Com a primei­ ra ganhou 20% e com as outras duas perdeu 15% para cada uma. Verifique se houve lucro ou prejuízo, e de quanto. R: Prejuízo de 10% 27 - Uma pessoa emprestou a mesma quantia em dinheiro a três outras. Com a primeira ganhou 15% e com as outras duas perdeu 6% para cada uma. Verifique se houve lucro ou prejuízo, e de quanto. R: Lucro de 3% 394 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 28 - Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em ações de três empresas. Na primeira lucrou 50% e, em cada uma das outras duas, perdeu 20%. Verifique se houve lucro ou prejuízo sobre o capital inicial, e de quanto. R: Prejuízo de 4% 29 - Sobre uma mercadoria comprada e vendida sucessivamente por qua­ tro negociantes, os dois primeiros tiveram, cada um 10% de lucro e os outros dois 10% de prejuízo. Calcule por quanto foi vendida esta merca­ doria pelo primeiro negociante, se o quarto a vendeu por $ 2.450,25. R: $ 2.750,00 30 - Uma pessoa percorreu 12% de uma estrada. Se andasse mais 1.200 metros percorreria 16%. Calcule a extensão da estrada. Solução: A diferença 16% —12% = 4% corresponde aos 1.200 metros. En­ tão, temos: 4% (diferença) 1.200 (diferença) 100% (total) x (total) 100%x 1.200 4% =30 km. De uma estrada prepararam os 2/5 e mais 30% do restante e ainda raltam 1.200 metros. Calcule a extensão da estrada. R: 3km 32/- Uma pessoa andou 1/2 de uma estrada, em seguida, 20% do resto e há ainda 320 km a serem percorridos. Calcule a extensão da estrada. R: 800 km 33 - Dos 2.000 alunos de um colégio, 35% são rapazes. Calcule o número de rapazes desse colégio. Solução: 2.000 representa o TOTAL de alunos, então ele deverá ser compa­ rado com 100%. Logo: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 395 100% (total) 35% 2.000 (total) ' x 35% x2,000^ nn 100% x — ------------* —/UU 34 - Se 30% de um número corresponde a 450, determine esse número. Solução: Observe que, nesse problema, os 30% eqüivalem a 450 e desejamos calcular o número todo, isto é, o TOTAL. Então o 100%, que representa o TOTAL, deverá ser comparado com o x. Senão, vejamos: 30% (parte) 450 (parte) 100% (total) x (total) 100%x450 „ cnA _ ---------------=>x =1.500 30% 35 - Num colégio com SOO alunos, 36% são rapazes. Calcule o número de rapa2es desse colégio. R: 288 36 - Numã classe de 50 alunos faltaram 6. Calcule a taxa de porcentagem dos alunos presentes. R: 88% 37 - Um colégio tem 40% dos seus alunos externos e 480 alunos são internos. Calcule quantos alunos há no colégio. R: 800 38 - Calcule o número que aumentado de seus 10%, resulta 77. R: 70 39 - Calcule o número que aumentado de seus 20%, resulta 144. R: 120 40 - Calcule o número que diminuído de seus 40%, resulta 900. R: 1.500 396 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 41 - Uma duplicata sofreu um desconto de %200,00 à taxa de 5%. Calcule o valor nominal da duplicata. Solução: 5% (taxa) 200,00 (desconto) 100% (total) x (total) - 100%x 200,00 ^ = $4.000,00 5% 42 - Um comerciante pagou uma dupEcata no valor de $ 5.000,00 com um desconto de 30%. Calcule o valor do desconto. Solução: 100% (total) 5.000,00 (total) 30% (taxa) x (desconto) 30%x 5.000,00 ^ x = --------------— =>x = $ 1.500,00 100% 43 - Uma duplicatí£s.ofreu um desconto de 25% e ficou reduzida a $ 2.550,00. Calcule o seu valor nominal. £c, ^ '■> R: $ 3.400,00 i •; c 44 - Paguei uma duplicata de $ 12.000,00 com 20% de abatimento. Calcule o valor líquido pago. (£ , " „• •• '• -. (? € ^ R: $ 9.600,00 " : " ' ^ * 4 $ _ Com 20% de desconto paguei $ 640,00 por um objeto. Calcule o preço do objeto sem o desconto. ^ v „ 4 M0 ' ' R :$ 800,00 ^ ~ iy;\ ' * 5 46 - Um objeto foi comprado por $ 1.500,00 e vendido por $ 1.350,00. Calcule de quanto por cento foi o prejuízo. f úo '>- - R: 10% ; ; ; " "T ^ 47 - Um comerciante recebeu um desconto de $ 300,00 numa compra cujo valor era de $ 2.400,00. Calcule a taxa do desconto. R: 12,5% MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 397 48 - Comprei um objeto por $ 2.000,00 e o vendi por $ 2.500,00. Determi­ ne de quanto por cento foi o lucro. R: 25% 49- Determine por quanto deve ser vendido um objeto que custou $ 510,00, se a pessoa pretende obter um lucro de 30%. R: | 663,00 50 - Uma pessoa vendeu um objeto por $ 900,00 com um prejuízo de 25%. Calcule o preço de custo desse objeto. R: 1 1.200,00 51 - Em um colégio, 25% dos alunos são rapazes e 35% são moças. Saben­ do-se que existem 600 crianças, calcule o número de alunos do colégio. Solução: 25% + 35% = 60%, porcentagem que representa o número de ra­ pazes e moças. Então, 100% (total) - 60% (rapazes + moças) = 40%, porcentagem que representa o número de crianças, isto é, 600. Resta, ago­ ra, formar a seguinte regra de três: 40% 100%x 600 100%x600 =>x= -----------------—---- =>x=1.500 40% 52 - Num quintal, 25% dos animais são galinhas; 35% são patos. Saben­ do-se que há 80 perus, calcule quantos animais existem no quintal. R: 200 animais 53 - Em um Banco, 10% dos funcionários são chefes, 30% são escriturários, havendo 12.000 auxiliares. Calcule o número de funcioná­ rios do Banco. R: 20.000 funcionários 54 - Numa cidade, 30% da população são homens, 40% são mulheres e existem 4.500 crianças. Calcule o número de mulheres. R: 6.000 mulheres 398 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 55 - Num quartel, 20% dos militares são oficiais, 70% são soldados. Sa­ bendo-se que há 200 sargentos, calcule o número de soldados. R: 1.400 soldados 56 - Num quintal, 30% dos animais sao galinhas, 20% são patos, 35% sao marrecos; havendo ainda 30 perus. Calcule quantos animais há no quintal. R: 200 animais 57 - Numa indústria, 70% dos operários são homens, 20% são mulheres e existem 40 menores. Calcule quantos homens há mais do que mulheres. R: 200 homens 58 - Uma duplicata sofreu um desconto de 10% e, em seguida, um des­ conto de 5%. Calcule a taxa única de desconto e a quanto ficou reduzida. Solução: O primeiro desconto de 10% foi sobre 100%, isto é, sobre o valor nominal da duplicata., então, 10% de 100% = 10% x 100% = 1.000%% = 10%. Observe que, agora, pois a duplicata sofreu um desconto de 10%, ela ficou reduzida a 90%, isto é, 100% - 10% = 90%. O segundo desconto, que foi de 5%, será sobre os 90% restantes. Então, temos: 5% de 90% = 5% x 90% = 450%% = 4,5%. Veja que a taxa única do desconto será de 10% + 4,5% —14,5% e a duplicata ficou redu­ zida a 100% - 14,5% = 85,5%. 59 - Calcular a taxa única que deverá substituir as taxas de 8%, 10% e 20% nos abatimentos sucessivos, sobre uma fatura. R: 33,76% 60 - Uma duplicata sofreu descontos sucessivos de 20% e 10% e ficou reduzida a $ 720,00. Calcule o valor nominal dessa duplicata. R: $ 1.000,00 61 - Sobre uma compra no valor de $ 5.000,00 concederam-me um desconto de 20% e, em seguida, um desconto de 10%. Calcule quanto paguei. R: $ 3.600,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 399 62 - Uma fatura de f 8.000,00 sofre os descontos sucessivos de 10%, 5% e 3%. Calcule o valor líquido dessa fatura. R: %6.634,80 63 - Uma duplicata sofreu os descontos sucessivos de 10% e 5% e ficou reduzida a um líquido de $ 4.275,00. Calcule o seu valor nominal. R: % 5.000,00 64 - Ao sofrer os descontos sucessivos de 10%, 5% e 2%, uma duplicata ficou reduzida a um valor líquido de $ 16.758,00. Calcule o seu valor nominal R: %20.000,00 65 - Uma duplicata ao sofrer descontos sucessivos de 20% e 10% Ecou reduzida a $ 21.600,00. Calcuíe o seu valor nominal R: $ 30.000,00 66 - Sobre uma duplicata de $ 6.000,00 um comerciante obteve um des­ conto de 10%. Sobre o restante, obteve um outro desconto que reduziu a duplicata a um valor líquido de $ 4.320,00. Calcule a taxa do segundo desconto. Solução: O primeiro desconto foi de 10% sobre $ 6.000,00. Então, temos: 100% 6.000,00 10% x 10% x 6.000,00 x —------ iqqo/ $600,00 A duplicata ficou, reduzida a: %6.000,00 —$ 600,00 = $ 5.400,00 Veja que, sobre esse valor de $ 5.400,00 houve um segundo des­ conto de x% que reduziu a duplicata a $ 4.320,00. Então, a diferença % 5.400,00 - $ 4.320,00 = $ 1.080,00 eqüivale ao desconto de x% sobre o total de $ 5.400,00. Logo, podemos escrever: 5.400.00 (total) 100% (total) 1.080.00 x 1.080,00100% 5.400,00 400 HILDER GÓES 4* XJBAIDO TONAR 67 - Sobre uma fatura de $ 4.000,00 obtive um desconto de 10% e, em seguida, outro desconto que reduziu minha fatura a um líquido de $ 2.880,00. Calcule a taxa do segundo desconto. R: 20% 68 - Uma duplicata no valor de $ 1.000,00 sofreu os descontos sucessivos de 10%, x% e 20% e ficou reduzida a um valor líquido de $ 648,00. Calcular a taxa do segundo desconto. R: 10% 69 - Uma duplicata no valor de $ 4.000,00 sofreu os descontos sucessivos de x%, 10% e 5% e ficou reduzida a um valor líquido de $ 3.078,00. Calcular a taxa do primeiro desconto. R: 10% 70 ~Um objeto foi vendido com lucros sucessivos de 5% e 20%. Calcule a taxa única de lucro. Solução: Veja a seguinte seqüência: l ü) 5% sobre 100% resulta: 5% x 100% = 500%% = 5% 2e) 100% (total) + 5%(primeiro lucro) = 105% 3a) 20% sobre 105% resulta: 20% x 105% = 2100%% = 21% 4°) 105%(total) + 21%(segundo lucro) = 126% Concluímos, então, que a taxa única de lucro foí de: 126% - 100% = 26%. 71 - Se a inflação de um país é de 10% ao mês, calcule a taxa acumulada de dois meses. R: 21% 72 - Se os preços aumentam 10% ao mês, calcule a porcentagem de au­ mento em três meses. R: 33,1% 73 - Um objeto após aumentos sucessivos de 20% e 10% foi vendido por $ 2.640,00. Calcule o custo inicial desse objeto. R: $ 2.000,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 401 74 - A população de um município é de 800 habitantes. Se a cada ano ela aumenta 25%, calcule qual será essa população no fim de 2 anos. R: 1.250 habitantes 75 - Uma duplicata Ecou reduzida a $ 1.410,00 após sofrer um desconto. Se dvesse sofrido uma multa à mesma taxa, importaria em $ 1.590,00. Calcule a taxa. R: 6% 76 f Por qual fração se deve multiplicar um número, para aumentá-lo de 20%? Solução: Basta transformarl^ò^ em fração, no que resulta: 2 fts1 ioc> . U ito \S#T% 77 - Por qual fração se deve multiplicar um número, para aumentá-lo de 30%? R: 3/10. 78 - A e B venderam um terreno com um lucro de $ 1.560,00. O lucro de A foi de 40% e o lucro de B corresponde a 30% do lucro de A. Calcular o valor inicial do terreno. Solução: Lucro de A = 40%. Como o lucro de B foi de 30% do lucro de A, então o lucro de B foi de 30% x 40% = 1200%% = 12%. 40%(lucro de A) + 12%(lucro de B) — 52%. Lucro total, que corresponde aos $ 1.560,00. Então, temos: 52% (lucro) 1.560,00 (lucro) 100% (custo) x (custo) 100%xl.560,00_ •ri>x=$ 3.000,00 52% 79 - Duas pessoas A e B ganham, num negócio, $ 6.600,00. Sabendo que A deve receber mais 20% de que B, calcule o lucro de A. R: %3.600,00 402 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 80 - Os ordenados de A, B e C juntos somam $ 6.760,00. Sabendo que A ganha mais 60% do que B, e que C percebe 30% da soma dos proventos de A e B, calcule o ordenado de B. Solução: Veja a seqüência: l 2) Ordenado de B = 100%, pois 100% é o número básico. 2a) Ordenado de A —160%, pois A ganha 60% mais do que B. 32) Ordenado de C = 30% (100% + 160%), isto é, 30% x 260% = 7800%% = 78% 4a) Os ordenados de A, B e C somam 100% + 160% + 78% = 338%, que corresponde a $ 6.760,00. Então, temos: 338%(total) 6.760,OO(total) 100%(ordenado de B) x x— 100%x 6.760,00 + ^ >:+■*. * K + ^ *- 100 'X 4-áCv>>’ 83'- Dividiu-se $ 2.560,00 entre três pessoas de tal forma que a primeira recebeu 20% do que recebeu a. segunda; e a terceira recebeu 40% da pri­ meira. Calcule quanto recebèu a segunda. ■ R: $ 2.000,00 ' v 'l£~x - 3 - r ^ é x ' xao \ x?*•>.x ' 84 - A vendeu um objeto a B ganhando 20%; em seguida, B vendeu a C ganhando 10%; e C vendeu a D por $ 2.904,00, ganhando 10%. Calcule por quanto B comprou esse objeto. R: $ 2.400,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 403 85 - Quatro objetos foram vendidos por $ 592,80. O segundo foi vendido por 80% do preço do primeiro; o terceiro foi vendido por 60% do preço do segundo e o quarto foi vendido por um valor correspondente a 30% do preço dos três primeiros. Calcule por quanto o segundo objeto foi vendido a mais do que o terceiro. R: $ 64,00 86 - Um comerciante vendeu um objeto com 40% de lucro. So^re r vvtlor total da venda, pagou 10% de imposto e sobre o lucro resultante, pagou 5% pelo transporte. Calcule o preço inicial do objeto, sabendo que seu custo final foi de f 2.394,00. R: %2.000,00 87 - Possuo certa quanda para comprar um objeto. Se eu arranjar mais 30% do que possuo, ainda fica faltando $ 500,00. Porém, se eu arranjar mais 50% do que possuía inicialmente, me sobrará $ 500,00. Calcule quan­ to possuo e qual o valor do objeto que pretendo comprar. R: $ 5.000,00 e $ 7.000,00 88 - Uma pessoa vendeu um objeto por $ 600,00, ganhando 20%. Quem o comprou, vendeu com um prejuízo de 20%. Calcule por quanto foi vendido. Solução: Não pense que foi vendido pelos mesmos $ 600,00. Senao, vejamos: Primeira venda: 20% de lucro sobre %600,00 100%(total) 600,00(totai) 120%(custo + lucro) x 120%x 600,00 x = -------------- ™=>x=$720,00 100% Segunda venda: 20% de prejuízo sobre $ 720,00 100%(total) 720,00(total) 80%(custo - prejuízo) x 80%x 720,00 x = ------------ — =>x = $ 576,00 100% 404 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 89 - Uma pessoa perde 20% do seu salário. Calcule que porcentagem de­ verá ter sobre o novo salário, para voltar ao salário inicial. R: 25% 90 - Uma pessoa comprou um objeto com 20% abaixo do preço de custo e o revendeu com 20% acima do preço de custo. Calcular, em porcenta­ gem, o lucro nessa transação. R: 24% 91 - Uma pessoa comprou um objeto com 40% abaixo do preço de custo e revendeu com um lucro de 40% sobre o preço de compra. Calcule, em porcentagem, o lucro nessa transação. R: 40% 92 - Comprei 12 objetos por preços iguais. Oito deles foram vendidos com um lu cro de 40%'em cada um, e os quatro restantes foram vendidos com um prejuízo de 20% em cada um. Em relação ao capital investido, calcule se houve lucro ou prejuízo, de quanto, em porcentagem. Solução: Como o número básico da porcentagem é 100%, é claro que o custo de cada objeto é de 100%, então os 12 objetos custaram: 12 x 100% = 1.200%. Oito deles foram vendidos com um lucro de 40% em cada, então cada um foi vendido por 140% e os 8 por 8 x 140% = 1.120%. Os quatro restantes foram vendidos com um prejuízo de 20% em cada, então cada um foi vendido por 80% e os 4 por 4 x 80% = 320%. A venda, portanto, foi de 1.120% + 320% = 1.440%. Entao, podemos escrever: 1 .200 % 100 % 1.440% x 100% =>x = --------- — -------=> x = 120% 1200% Logo, em relação ao capital investido, houve um lucro de 20%. 1.440% x 93 - Comprei 5 objetos por preços iguais. Três deles vendi lucrando 20%, em cada um, e os dois restantes, vendi com um prejuízo de 40% em cada um. Em relação ao capital investido, calcule se houve lucro ou prejuízo, de quanto, em porcentagem. R: Prejuízo de 4% MATEMÁTICA PARA CONCURSO- PORCENTAGEM 405 94 - Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2, gasta-se uma lata e mais uma parte de uma segunda lata. Calcule, em porcentagem, a parte que se gasta da segunda lata. R: 44% 95 - Se x% de 1.100 é 132, calcule o valor de x. Solução: x x% podemos escrever -----, então, temos: F 100 ’ — x 1.100 = 132 => l l x - 132 ,\ x = 12 100 96 - Se y% de 40 corresponde a 80, calcule o valor de y. R:,200 « 1 1 97 - Se y —1—% de ~ , calcule o valor de y + } 3 3 3 104 R: ----900 98 - 20% de 5"' é igual a x. Se x% de 625 é igual a y, calcule R: 5 . 99 - Um lote de livros foi impresso em duas tipografias A e B , sendo que A imprimiu 70% e B imprimiu 30% do total. Sabe-se que 3% dos livros impressos por A e 2% dos livros impressos por B são defeituosos. Calcule a porcentagem de livros defeituosos do lote. Solução: Veja a seqüência: Ia) Os livros defeituosos da tipografia A são: 3% x 70% = 210%% = 2,1%. 2a) Os livros defeituosos da tipografia B são: 2% x 30% = 60%% —0,6%, que somados, nos dão: 2,1% + 0,6% = 2,7% porcentagem que indica os livros defeituosos do lote. 406 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 100 - Certa dívida foi liquidada da seguinte maneira: metade com o des­ conto de 3% e a outra metade com o desconto de 5%. Sabendo que a dívida foi saldada por $ 1.632,00, calcule o valor da dívida. R: | 1.700,00 101 - Um objeto foi vendido com 10% de prejuízo e outro igual, com 30% de lucro. Sabendo-se que os dois foram vendidos por $ 880,00, calcule por quanto o objeto que foi vendido com prejuízo foi negociado. Solução: O objeto que foi vendido com 10% de prejuízo, foi vendido por 90%. O objeto que foi vendido com 30% de lucro, foi vendido por 130%. Os dois por 90% + 130% = 220%, porcentagem que corresponde ao total da venda, isto é, $ 880,00. Então, podemos escrever: 220% (to tal) 90% 880,00(total) x 90% x 880,00 x = ------------- —=>x=$ 360,00 220% 102 - Um terreno foí vendido com 15% de prejuízo e outro de mesmo custo, foi vendido com 12% de prejuízo, por mais $ 720,00 do que o primeiro. Calcule por quanto foi vendido cada terreno. R: $20.400,00 e $21.120,00 103 - Um objeto foi vendido com 15% de prejuízo e outro igual foi vendi­ do com 10% de lucro, por mais $ 1.600,00 do que o primeiro. Calcule por quanto foi vendido cada objeto. R: $ -5.440,00 e $ 7.040,00 104 - Dois objetos de mesmo custo foram vendidos da seguinte maneira: o primeiro, com 30% de lucro; e o segundo, com 20% de prejuízo. Sabendo-se que os dois foram vendidos por $ 2.100,00, calcule por quanto o primeiro objeto foi vendido a mais do que o segundo. R: $ 500,00 MATEiMÁTICÀ PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 407 105 - Em uma reunião existiam 300 homens e 150 mulheres. Calcule a porcentagem de homens em relação às mulheres e a porcentagem de mu­ lheres em relação aos homens. R: 200% e 50% 106 - Uma pessoa compra em uma loja, um vestido de $ 500,00 com 20% de abatimento e revende com um lucro de 40%. Calcule por quanto foi vendido. S o l u ç ã o : Valor da compra 100% —20% = 80%. Então, temos: 100% 500,00 80% x 500,00 ' ~~ =>x—$400,00 100% Valor da venda: 100% + 40% = 140%. Logo: 100% 400,00 80% 140% x => x — x => 140% x 400,00' x = --------------- — --------=> x = %500,00 100% 107 - Um jogo de cama no valor de $ 750,00 foi vendido com 20% de lucro a uma pessoa que o revendeu com 20% de prejuízo. Calcule por quanto foi revendido. R: $ 720,00 108 - Um objeto foi vendido com 20% de prejuízo a uma pessoa que o revendeu ganhando 40%, por $ 896,00. Calcule o preço inicial desse objeto. R: $ 800,00 109 - Uma pessoa pagou 20% de uma dívida e, com $ 720,00, pagou 30% do restante. Calcule o valor da dívida. R: $ 3.000,00. 110 - Um vendedor é contratado nas seguintes condições: ganhar 18% sobre os 80% de suas vendas. Calcule quanto ganhará esse vendedor em um mês que vender %4.000,00. R: $ 2.560,00 408 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAR 111 - Comprei uma casa por $ 25.850,005 estando incluído nesse valor, 13% do corretor e 4,5% do seguro. Calcule o valor real da casa. R: %22.000,00 112 - Somando-se 20% de 5 com 5% de 20, obtemos: Solução: Cálculo dos 20% de 5: . 100% 5 20% x => x 2CP/ox5 100% —— Cálculo dos 5% de 20: 100% 20 5% x => X 5%x20 100% =■ -------777“ ^ X - 1 Logo, obtemos: 2. 113 - Em uma cidade, 40% dos seus habitantes sào mulheres. Sabe-se que 30% das mulheres têm mais de 25 anos e 20% do restante das mulheres têm menos de 20 anos. Calcule a porcentagem de mulheres com mais de 20 anos e menos de 25 anos. S o l u ç ã o : Mulheres com mais de 25 anos: 30% x 40% = 1.200%% = 12% 40%(total) - 12%(mulheres com mais de 25) = 28%(resto) Mulheres com menos de 20 anos: 20% x 28% = 560%% = 5,6% Então, temos: 12% + 5,6% = 17,6%; porcentagem que representa as mulheres com mais de 25 anos e menos de 20 anos. Então, a porcentagem que representa as mulheres com mais de 20 anos e menos de 25 anos será: 40% - 17,6% ~ 22,4%. 114 - Um serviço pode ser feito por A em 8 horas e por B em 12 horas, quanto trabalham separadamente. Se, durante 3 horas trabalharem juntos, calcule a porcentagem que executarão desse serviço. R: 62,5% 4 1 Ir r . 3 I 1 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 409 115 - Calcular a porcentagem de álcool contida numa mistura feita com 16 litros de água e 9 litros de álcool. R: 36% 116 - Comprei um terreno por $ 5.000,00, gastei 5% em impostos; paguei $ 1.250,00 ao corretor e gastei, ainda, 1/8 do seu preço inicial, na constru­ ção de um muro. Calcule por quanto devo vendê-lo para lucrar 20% nessa transação. R: $ 7.200,00 117 - Em 600 gramas de uma substância há 5%o de iodo. Calcule a porção de iodo contida nessa substância. S o l u ç ã o : Veja que existe 5%o de iodo e não 5%. Isto significa que o número básico será 1.000%o, pois trata-se de uma porcentagem milésima! Então, poderenjos escrever: 1.000%o 600(total) 5%o x 5%o x 600 => x = -------------- =r> x “ 3 gramas I000%o 5 118 - Em 300 gramas de um remédio, a vitamina "A" entra com 2%o em sua composição. Calcule quantas gramas existe de vitamina "A". R: 0,6 gramas 119 - Na composição de um remédio cujo peso líquido é de 500 gramas, o cloreto de sódio entra com 3 gramas. Se a porcentagem é milesimal, calcule a porcentagem do cloreto de sódio na composição do remédio. R: 6 % o 120 - Numa turma de 60 alunos, 20 alunos não compareceram às pro­ vas. Calcule a razão milesimal entre os que faltaram para os que com­ pareceram. R: 500%o 410 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 121 - Uma pessoa reserva 30% do seu salário para o aluguel da casa, 50% do que resta para alimentação. Tirando o aluguel e a alimentação, 20% do que sobra coloca na poupança e os $ 588,00 restantes são utilizados em outras despesas. Calcule o salário dessa pessoa. S o l u ç ã o : Veja a seqüência:. Ia) 100%(total) —30%(aluguel) = 70%(resto) 22) para a alimentação: 50% x 70% = 3.500%% = 35%. Então, o novo resto será: 70% —35% = 35% 3a) para a poupança: 20% x 35% = 700%% = 7%. Logo, o resto final será: 35% —7% = 28%, porcentagem que corresponde a $ 588,00. Então, resulta: 28%(resto) 588,00(resto) 100% (to tal) x 100% x 588,00 ---------------- = $ 2.100,00 28% 122 - Um comerciante comprou uma peça de tecido de 50 metros por $ 1.000,00. Se ele vender 20 metros com lucro de 50%, 20 metros com lucro de 30% e 10 metros pelo preço de custo, determine o lucro total desse comerciante na- venda dessa peça de tecido. R: $ 320,00 123 - A porcentagem de fumantes de uma cidade é de 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12:800. Calcule o número de fumantes e o número de habitantes dessa cidade. R: 17.600 fumantes e 55.000 habitantes 124 - Numa cidade 45% dos veículos são movidos a álcool, 35% a óleo e o restante à gasolina. Considerando-se que a população da cidade é de 10.000 habitantes e a proporção é de um veículo para cada grupo de 20 habitantes e ainda que 40% dos veículos são automóveis, determine qual a quantida­ de de veículos à gasolina e que não são automóveis. R: 60 MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 411 125 - Na última eleição realizada numa cidade, 8/9dos eleitores compare­ ceram às urnas para votar. Se a população dessa cidade era de 91.440 habi­ tantes, dos quais 25% não votam. Calcule quantos eleitores se abstiveram de votar. R: 7.620 126 - Um vendedor ganha 10% de comissão pelo que ele vender até $ 1.000,00; 15% pelo que ele vender entre % 1.000,00 e $ 3.000,00 e 20% pelo que vender acima de $ 3.000,00. Calcule quanto o vendedor receberá de comissão se ele vender $ 3.800,00. R :$ 560,00 127 - Gastei 2/5 do que eu tinha, em seguida, perdi 1/3 do resto. Sabendo que 10% do que me restou eqüivale a 2/3 de $ 600,00, calcule a quantia que eu tinha inicialmente. >x ' ' ' R: f 10.000,00 128 - Uma divida foi liquidada da seguinte forma: 1/3 com desconto de 20%, 2/5 com desconto de 10% e os $ 12.000,00 restantes com um des­ conto de apenas 5%. Calcular a taxa real do desconto. R: 12% 129 - Certa mercadoria, vendida inicialmente por %600,00 com um lucro de 20%, foi logo após revendida por menos % 50,00 para, finalmente, ser vendida com um lucro de 20%. Calcule de quanto por cento sobre o custo iniciai da mercadoria, representou a última vendá. R: 32%. 130 - Uma caixa contêm bolas de duas cores: pretas e vermelhas. Se o número de bolas pretas é 16, e 20% do número de bolas vermelhas eqüivalem a 12% do total de bolas da caixa, calcule o número de bolas vermelhas. R: 24 bolas vermelhas 412 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 131 - Em janeiro de 1985, a prestação da casa própria representava 25% do meu salário. Em julho do mesmo ano o meu salário foi au­ mentado de 80% e a prestação da casa própria, de 140%. A nova pres­ tação passou a representar x% do meu salário. Calcule, aproximadamente, o valor de x. R: 33% 132 - Um certo número de pessoas subiu em um ônibus no ponto iniciai. Na primeira parada desceram 25% daquele número e, em seguida, subi­ ram 3 pessoas. Na segunda parada não subiu ninguém, mas desceram 25% do número de pessoas presentes, restando 18 pessoas. Calcule o número de pessoas que subiu no ponto inicial. R: 28 pessoas 133 - Uma empresa tinha 1.200 funcionários. Fez um concurso e aumen­ tou de 8% o número de funcionários do sexo masculino e em 10% o de funcionários do sexo feminino. Sabendo que o número de funcionários da empresa passou a ser de 1.305, calcule quantos homens e quantas mulhe­ res trabalham na empresa atualmente. R: 750 homens e 450 mulheres. 134 - Em uma firma há 200 empregados, dos quais 60 são mulheres, 1/3 dos empregados mulheres desempenham funções externas e 40% do total dos empregados desempenham funções externas. Calcule a por­ centagem dos empregados da firma que são homens e desempenham funções externas. R: 30% 135 - O governo de um Estado, fixou as porcentagens de reajuste de 13% e 15% para os salários dos funcionários da Polícia Militar e dos professores respectivamente. No entanto feito um novo estudo, verifi­ cou que poderia dar indistintamente, 20,06% para as duas categorias. Para que se recomponha exatamente os salários, calcule as porcentagens MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 413 que deverão incidir sobre os novos salários para que, de fato, haja um aumento de 20,06% R: 6,25% e 4,4% 136 - Em um auditório há 99 homens e uma mulher. Determine quantos homens devem deixar o auditório para que a porcentagem de homens . presente, seja reduzida de apenas um ponto percentual. R: 50 homens 137 - Um comerciante pretende vender um objeto que lhe custará $ 200,00 com um lucro de 20%. Depois de anunciar o novo preço, resolve vender o objeto pelo preço de custo. Calcule aproximadamente que porcentagem deverá incidir sobre o preço anunciado, para que o preço do objeto volte ao preço de custo inicial. R: 16,67% Vejamos agora, problemas relativos a LUCRO sobre o CUSTO e LUCRO sobre a VENDA como também PREJUÍZO sobre CUSTO e PREJUÍZO sobre a VENDA. Olhe: a) Se o lucro for sobre o custo, o custo = 100% b) Se o lucro for sobre a venda, a venda = 100% c) Se o prejuízo for sobre o custo, o custo = 100% d) Se o prejuízo for sobre a venda, a venda =■ 100% Veja com atenção as seguintes relações: V :.C 138 - Um objeto vendido por $ 50,00 deu um lucro de 25% sobre o custo. Calcule o custo. S o l u ç ã o : L = 25% 125% 100% 414 C = 100% 50,00 x = $ 40,00 HIXDER GÓES * UBALDO TONAR V = C + L = 125% 139 - Um objeto custou %90,00. Calcule o preço de venda, se desejamos vendê-lo com um lucro de 10% sobre a venda. Solução: L = 10% 90% 100% V = 100% 90,00 ■=> c = V - L = 90% x = $ 100,00 140 - Calcule o custo de um objeto que, vendido por $ 225,00, apresentem um prejuízo de 25% sobre o custo. Solução: P = 25% C = 100% c> V - C - P - 75% 75% 225,00 100% x = $ 300,00 141 - Certo objeto deu um prejuízo de 25% sobre o custo. Calcule esse prejuízo sobre a venda. Solução: P = 25% C = 100% c> v - C - P - 75% 75% 25% 100% 1 3 x = 33—% 142 - Vendeu-se um objeto que havia custado $ 330,00 com um prejuízo de 10% sobre a venda. Determine o prejuízo. R: I 30,00 143 - Certo objeto foi vendido por $ -460,00, apresentando um lucro de 15% sobre o custo. Determine o lucro. R: $ 60,00 144 - Certa mercadoria foi vendida por $ 600,00, com um lucro de 20% sobre a venda. Calcule o custo. R: $480,00 145 - Um objeto foi comprado por $ 280,00. Por quanto deve ser vendido, a fim de proporcionar um lucro de 30% sobre o preço de venda. R: | 400,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 415 146 - Um objeto foi comprado por $ 600,00 e vendido por $ 690,00. Que porcentagem de lucro sobre o custo proporcionou. R: 15% 147 - Certo objeto foi comprado por $ 420,00 e vendido com um prejuízo de 5% sobre o preço de venda. Determine o prejuízo. Solução: P = 5% V —100% O C = V + P = 105% 105% 420,00 5% x = $ 20,00 148 - Um objeto proporcionou um lucro de 20% sobre a venda. Calcule o lucro correspondente sobre o custo. R: 25% 149 - Uma pessoa vendeu por $ 250,00 certo objeto com um lucro de 25% sobre o custo. Calcule quanto custou. R: $ 200,00 150 - Uma pessoa comprou um objeto por $ 400,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de venda, calcule por quanto deve vendê-lo. R: $ 500,00 Olhe: Se o problema nao mencionar se o lucro ou prejuízo foi sobre o custo ou sobre a venda, considera-se sobre o CUSTO. 151 - Um comerciante vendeu um objeto por $ 150,00, com um lucro de 25%. Determinar o preço de custo. R: $ 120,00 152 - Uma pessoa vendeu um objeto por $ 800,00 com um prejuÍ2o de 20%. Calcule quanto custou. R: %1.000,00 153 - Vendi um objeto por $ 300,00, perdendo 40%. Calcule quanto perdi na operação. R: $ 200,00 416 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 154 - Um negociante comprou um objeto por $ 963,00. Por quanto deverá vendê-lo para que haja um prejuízo de 7% sobre o preço de venda. R: $ 900,00 155 - Vendi um objeto por $ 135,00 lucrando 35%. Calcule quanto lucrei. R: $ 35,00 156 - Certo objeto foi comprado por $ 324,00. Por quanto deve ser vendi­ do a fim de proporcionar um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. R: 1300,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PORCENTAGEM 417 34 PORCENTAGEM - Q u estõ es de C oncursos 01) CJF —O resultado da expressão 25% + 1/2 — 12% é: a) 12/10 b) 62/100 c) 75/10 d) 48 e) 56 02) CJF - N a figura abaixo, a parte pontilhada representa, em relação ao círculo todo, a porcentagem: a) 65% b) 50% c) 62,5% d) 75% e) 90% 03) CJF —Transformando a fração 3/8 em taxa percentual, temos: a) 37,5% b) 42% c) 32,5% d) 1,25% e) 35,7% 04) CJF —Numa prova, um aluno acertou 30 questões, que correspondem a 60% do número de questões da prova. Quantas questões tinha essa prova, a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 70 05) TST —Uma moto foi vendida por $ 330.000,00. Se o vendedor desse um desconto de $ 6.500,00, o seu lucro tería sido de $ 23.500,00. Calcular de quantos por cento foi o lucro sobre o preço de custo. a) 10,2% b) 11% c) 10% d) 11,5% e) 10,5% 06) TST —João vendeu um carro a Pedro com um lucro de 10% sobre o preço de custo e Pedro vendeu-o a Manuel por $ 825.000,00, obtendo também um lucro de 25% sobre o preço de custo. Por quanto João com­ prou o carro, a) $ 556.875,00 b) $ 536.625,00 c) $ 550.000,00 d) $ 575.000,00 e) $ 600-000,00 418 HILDER GÓES * UBALDO TONAR v/) TRE —Pedro vendeu ações do Banco devemos multiplicá-la por 3. TRIMESTRAL devemos multiplicá-la por 4. BIMESTRAL =í> devemos multiplicá-la por 6. MATEMÁTICA PARA. CONCURSO ~ JUROS SIMPLES 433 MENSAL QUINZENAL DIÁRIA => => --=> devemos mulüplicá-la por 12. devemos mulriplicá-la por 24. devemos multiplicá-la por 360. c) A taxa que você encontra, quando dividi o número representativo dos JUROS pelo TEMPO é sempre ANUAL, isto independe do tempo dado no problema, se ano, mês ou dia. Então, veja o seguinte: se pedida a taxa: devemos dividi-la por 2. SEMESTRAL => devemos dividi-la por 3. QUADRIMESTRAL = = > devemos dividi-la por 4. TRIMESTRAL devemos dividi-la por 6, BIMESTRAL devemos dividi-la por 12. MENSAL —s devemos dividi-ia por 24. QUINZENAL zr> devemos dividi-la por 360. DIÁRIA O QUE VOCÊ DEVE SABER SOBRE O TEMPO a) Para se calcular o tempo, calcula-se o "número representativo” dos JUROS e, em seguida, divide-se pela TAXA. b) Para se calcular o tempo, devemos representar o CAPITAL por 36.000. O resultado encontrado será sempre em dias, ficando'a seu crité­ rio ou na dependência da opção de uma questão do problema, fazer as devidas transformações. c) Se o tempo vier expresso em número complexo, isto é, (anos, meses, dias), (anos, meses), (meses, dias) devemos reduzi-lo a um número não complexo. 01 - Qual o capital que produziu $ 3.120,00 de juros, durante 5 anos, à taxa de 12% ao arío? ; Solução: Representativo do capital => 100 (o tempo foi dado em ano). Representativo dos juros => 12 x 5 = 60 (taxa vezes tempo). 434 60 3.120,00 100 x => x= 100.?-3-120A 0 X = $ 5.200,00 60 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 02 - Calcule o capital que, durante 2 meses à taxa de 6% ao ano, produz $ 2.700,00 de juros. Solução: Representativo do capital => 1.200 (o tempo foi dado em meses). Representativo dos juros => 6 x 2 = 12 (taxa vezes tempo). 12 2.700,00 1.200 1.200x2.700,00 =>x=--------------- — x = I 270.000,00 12 x 03 - Calcule o capital que, empregado à taxa de 20% a.a. durante 40 dias, rendeu $ 1.600,00 de juros. Solução; Representativo do capital :=> 36.000 (o tempo foi dado em dias). Representativo dos juros => 20 x 40 = 800 (taxa vezes tempo). 800 1.600,00 36.000 x 36.000x1.600,00 „ ^ => x= -----------------------x = $ 72.000,00 800 04 - Calcule o capital que, durante 2 anos empregado a uma taxa de 5/2 % ao mês rendeu $ 3.000,00 de juros. Solução: Devemos, inicialmente, transformar a taxa mensal em anual, multi5 plicando-a por 12, no que resulta: ™xl2-~30 Representativo do capital Representativo dos juros 60 -1AA 100 100 (o tempo foi dado em anos). 30 x 2 = 60 (taxa vezes tempo). 3-00Q00 x 10Gx3.00QOO 60 * cnAAAA x = $ 5.000,00 MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 435 05 - Determine o capital que produziu os juros de $ 3.120,00 durante 5 anos, a uma taxa de 12% a.a. R: $ 5.200,00 06 - Calcule o capital que, durante 3 meses, rendeu f 2.000,00 de juros, à taxa de 80% a.a. R: $ 10.000,00 07 - Calcule o capital que, a 30% a.a., durante 2 anos, rende $ 2.400,00 de juros. R: %4.000,00 08 - Uma pessoa pagou $ 1.800,00 de juros pelo empréstimo de certa quantia durante 50 dias, a uma taxa de 5% ao mês. Calcule essa quanüa. R: $ 21.600,00 09 - Calcule a quanüa que, empregada durante 6 meses, a uma taxa de 6% ao trimestre, rendeu $ 1.200,00 de juros. R: $ 10.000,00 10 - Um comerciante pagou %1.800,00 de juros pelo empréstimo de certa quantia, durante 10 meses, a uma taxa de 3% ao mês. Calcule essa quantia. R: %6.000,00 11 - Calcule os juros produzidos por $ 30.000,00 emprestados à taxa de 6% a.a. durante 2 anos. Solução: Representativo do capital => 100 (o tempo foi dado em anos). Representativo dos juros = > 6 x 2 —12 (taxa vezes tempo). 100 30.000,00 12 x 12x30.000,00 => x=------------------ x = %3.600,00 100 12 - Quanto renderá de juros, um capital de $ 6.000,00 aplicado à taxa de 30% a.a., durante 45 dias? 436 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR Solução: Representativo do capital => 36.000 (o tempo foi dado em dias). Representativo dos juros => 30 x 45 = 1.350 (taxa vezes tempo). 36.000 6.000,00 1.350 1-350x6.000,00 36.000 x =i>x =--------- 13 - Calcule os juros produzidos por % 6-000,00 durante 3 meses a uma taxa de 2% ao mês. Solução: A taxa deve ser anual, entào devemos multiplicar 2% x 12, o que resulta uma taxa de 24% a. a. Representativo do capital 1200 (o tempo foi dado em meses) Representativo dos juros 24 x 3 = 72 (taxa vezes tempo) 1.200 -70 72 6.000,00 x 72x6.000,00 x _ => x= ----------------1.200 nn 360,00 14 - Calcule os juros produzidos por f 5.000,00 durante 6 meses a uma taxa de 9% ao trimestre. Solução: Como a taxa foi dada ao trimestre, devemos transformá-la em anual, multiplicando-a por 4. Entào, temos 9% x 4 = 36% a. a. Representativo do capital => 1.200 (o tempo foi dado em mês) Representativo dos juros => 36 x 6 = 216 (taxa vezes tempo) 1.200 ^216 5.000,00 x 2 1 6 x 5 .0 0 0 ,0 0 x = ------------------1.200 x = %900,00 15 - Determine os juros produzidos por um capital de $ 3.250,00 que foi aplicado durante 3 anos a uma taxa de 4% a.a. R: 1 390,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 437 x = $ 225,00 16 - Quanto renderá de juro's um capital de $ 60.000,00, aplicado à taxa de 30% ao ano., durante 45 dias? ' R: $ 2.250,00 17 ~Tomei emprestado a quantia de $ 10.000,00 pelo prazo de 1 ano e 3 meses. Calcule quanto deverei pagar de juros se a taxa foi de 2,5% ao mês. R: $ 3.750,00 18 - Uma pessoa fez um empréstimo bancário no valor de $ 10.000,00 por 120 dias, a uma taxa de 3,2% ao mês. Calcule os juros pagos por essa pessoa. R: $ 1.280,00 19 - Quanto renderá de juros um capital de %6.000,00 durante 3 meses, a uma taxa de.2% ao mês? R: %360,00 20 - Calcular a que taxa foi empregado um capital de $ 12.000,00 que rendeu, em 2 anos, S 1.200,00 de juros. Relembrando: Para se calcular a TAXA, devemos achar o "número representati­ vo" dos juros e, em seguida, dividir pelo tempo. Solução: Representadvo do capital 100 (o tempo foi dado em ano) 12.000.00 (capital) 100 (representativo do capital) 1.200,00 (juros) x (representativo dos juros) 100x1.200,00 x=------------- —=>x~í0 12.000,00 10 (número representativo dos juros) -r 2 (tempo) = 5% a.a. 21 - Calcular a taxa que foi empregado um capital de $ 10.000,00 para, em 4 anos produzir $ 6.000,00 de juros. Solução: Representativo do capital => 100 (o tempo foi dado em ano) 10.000.00 (capital) 100 (representativo do capital) 6.000,00 (juros) x (representativo dos juros) 438 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 6.000,00x100 _ x - -----------------------=60 10. 000,00 60 (número representativo dos juros) -5* 4 (tempo) = 15% a.a. 22 - Calcuie a taxa mensal que foi empregado um capital de $ 12.500,00 para, em 3 anos, produzir juros no valor de $ 1.500,00. Solução: Representativo do capital => 100 (o tempo foi dado em ano) 12.500.00 (capital) 100 (representativo do capital) 1.500,00 (juros) x (representativo dos juros) 100 x 1.500,00 x= ----------------- => x = 12 12.500,00 12 (número representativo dos juros) + 3 (tempo) = 4% a.a. Mas, no problema, pede a taxa mensal. Entào, devemos dividir 4% por 12, no que resulta 4/12% ao mês, ou simplificando, temos 1/3% ao mês. 23 - Um capital de $ 8.000,00 empregado durante 3 meses, rendeu %1.200,00 de juros. Calcule a taxa trimestral. Solução: Representativo do capital => 1.200 (o tempo foi dado em meses) 8.000,00 (capital) 1.200 (representativo do capital) 1.200.00 (juros) x (representativo dos juros) 1.200x1.200,00 x =--------------- 2— 8 . 000,00 x~180 180 (número representativo dos juros) 4- 3 (tempo) = 60% a.a. Como o problema pede a taxa trimestral, devemos dividir a taxa anual por 4. Então, temos: 60% -f* 4 ~ 15% a.t. 24 - A que taxa semestral foi empregado um capital de $ 20.000,00 para, em 2 anos render $ 4.000,00 de juros? R: 5% a.s MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 439 25 - Determine a taxa em que foi empregado um capital de $ 12.000,00, durante 27 meses, para produzir $ 2.430,00 de juros. R: 9% a.a 26 - A quantia de $ 50.000,00, aplicada durante 6 meses, rendeu $ 7.500,00 de juros. Determine a taxa mensal. R: 2,5% a.m 27 - Determinar a taxa em que foi empregado um capital de $ 20.000,00, durante 2 anos, que rendeu $ 4.000,00 de juros. R: 10% a.a 28 - Um empréstimo no valor de % 8.000,00 durante 3 meses rende $ 2.000,00 de juros. Calcule a taxa trimestral do empréstimo. R: 25% a.t 29 - A que taxa anua1, um capital dc $ 14.400,00 em 2 meses e 15 dias, renderia $ 3.300,00 de juros? R; 110% a.a 30 - A que taxa semestral corresponde uma taxa de 16% ao quadrimestre? R: 24% a.s 31 - Calcule a que taxa bimestral corresponde uma taxa de 12% ao trimestre. R: 8% a.b 32 - Calcule o tempo em que esteve empregado um capital de f 13.000,00 a uma taxa de 9% a.a. para render $ 2.340,00 de juros. Relembrando: Para se calcular o tempo, devemos: a) Representar o capital por 36.000; b) achar o "número representativo" dos juros e, em seguida, dividir pela taxa. Solução: 13.000,00 (capital) 36.000 (representativo do capital) 2.340,00 (juros) x (representativo dos juros) 440 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 36.000x2.340,00 x —----------------- — =i>x =6.480 13.000.00 6.480 (número representativo dos juros) + 9 (taxa) = 720 dias = 2 anos. 33 - Em que tempo um capitai de $ 6.000,00 empregado a uma taxa de 30% a.a., rendeu $ 3.000,00 de juros? Solução: 6.000.00 (capital) 36.000 (representativo do capital) 3.000.00 (juros) x (representativo dos juros) 36.000x3.000,00 x = ....-.........................=> x =1.800 6.000.00 1.800 (número representativo dos juros) **• 30 (taxa) = 600 dias = 20 meses = 1 ano e 8 meses. 34 - Calcule em que tempo um capital de $ 34.000,00 empregado a uma taxa de 5/6% ao mês, rendeu $ 13.600,00 de juros. Solução: A taxa deve ser anual, então 5/6% x 12 = 10% a.a, e o representa­ tivo do capital será 36.000. Então, temos: 34.000.00 (capital) 36.000 (representativo do capital) 13.600,00 (juros) x (representativo dos juros) x~ 36.000x13.600,00 x = 14.400 34.000,00 14.400 (representativo dos juros) -h 10 (taxa) = 1.440 dias, ou 1.440 -r* 360 —4 anos. 35 - Calcule em quanto tempo um capital de $ 36.000,00 esteve emprega­ do, a uma taxa de 1% ao mês, para produzir $ 8.640,00 de juros. Solução: 1% x 12 = 12% a.a. A taxa deve ser anual. MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 441 36.000,00 (capital) 8.640,00 (juros) 36.000 (representativo do capital) x (representativo dos juros) 36.000x8.640,00 x =------------------ -— =>x = 8.640 36.000,00 8.640 (representativo dos juros) + 12 (taxa) = 720 dias ou 2 anos. 36 - Um capital de %5.000,00 rende $ 3.000,00 de juros, quando emprega­ do a uma taxa de 30% ao ano. Calcule o tempo em que esse capital ficou empregado. R; 2 anos 37 - Calcule o tempo em que esteve empregado um capital de $ 13.000,00 à taxa de 1/4% ao mês para render $ 2.340,00 de juros. R: 6 anos 38 - Calcule durante quanto tempo foi emprestado um capital de $ 36.000,00 a 12% a.a., para produzir juros de $ 8.640,00. R: 2 anos 39 - Um capital de $ 2.880,00 rendeu durante certo tempo $ 6.000,00 de juros, empregado a uma taxa de 2,5% ao mês. Calcule esse tempo. R: 8 meses e 10 dias 40 ~Calcule o montante produzido por um capital de $ 30.000,00 empre­ gado à taxa de 6% a.a. durante 3 anos. Relembrando: Como o M ontante é igual ao Capital mais os Ju­ ros, o seu "número representativo'* será a Soma do "número representa­ tivo" do Capital com o "número representativo” dos Juros. Solução: Representativo do capital => 100 (o tempo foi dado em ano) Representativo dos juros => 6 x 3 = 18 (taxa x tempo) Representativo do montante => 100 + 18 = 118 100 (representativo do capital) 30.000,00 (capital) 118 (representativo do montante) x (montante) 442 HILDER GÓES + UBALDO TONAR 118x30.000,00 ^ 100 x = --------- ± x _ $ 35 .400 , 0( 41 - Um capital de $ 2.200,00 foi aplicado a uma taxa de 5% ao mês duran­ te 2 anos. Calcular o capital acumulado do final desse tempo. Solução: Como a taxa deve-ser anual, temos: 5% x 12 —60% a.a. Representativo do capital => 100 (o tempo foi dado em ano). Representativo dos juros => 60 x 2 = 120 (taxa x tempo) Representativo do montante => 100 + 120 = 220 100 (representativo do capital) 2.200,00 (capital) 220 (representativo do montante) x (montante) 220 x 2.200,00 100 x = %4.840,00 42 - Um capital de $ 10.000,00 foi aplicado à taxa de 3,5% ao mês, durante 6 meses. Calcular o montante produzido por esse capital. R: $ 12.100,00 43 - Um capital de $ 36.000,00 foi empregado durante 6 meses, a uma taxa de 5% a.a. Calcule o montante produzido por esse capital. R: $ 36.900,00 44 - Emprestei uma certa quantia a 2/3% ao mês e recebi, depois de 2 anos e 6 meses, a importância de %6.000,00. Calcule a quantia emprestada. R: $ 5.000,00 45 - Depositei certa importância em um banco e recebi o montante no valor de $ 7.232,00 no fim de 40 dias, a 4% ao ano. Calcular os juros. Solução: Representativo do capital => 36.000 (o tempo foi dado em dia) Representativo dos juros => 4 x 40 = 160 (taxa x tempo) Representativo do montante => 36.000 + 160 —36.160 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 443 36.160 (representativo do montante) 160 (representativo dos juros) 160x7.232,00 36.160 7.232,00 x (montante) (juros) ■=>x=$ 3.200,00 46 - Um capital empregado durante 2 meses a uma taxa de 10% a.a. resul­ tou num montante de %2.440,00. Calcular o capital empregado. R: %2.400,00 47 - Um capitai empregado a uma taxa de 10% ao quadrimestre produziu um m o n ta n te de $ 3.200,00. Calcular os juros produzidos por esse capital em dois anos de apiicaçào. R: | 1.200,00 48 - Depositei em um banco certa quantia, a 5% ao ano, e recebi, no Gm de 2 anos e 6 meses, $ 5.620,00. Determinar a quantia depositada. R: $ 5.000,00 49 - Uma pessoa empregou um capital a 6% ao ano. Ho fim de 2 anos, 1 mês e 15 dias retirou capital mais juros no valor de $ 2.255,00. Calcular o capital empregado. R: $ 2.000,00 50 - Um comerciante coloca seu capital a render juros, a uma taxa de 7% a.a. Depois de transcorridos 8 meses, capital e juros reunidos, atingem o valor de $ 12.560,00. Calcular o capital empregado e os juros. R: $ 12.000,00 e %560,00 51 - Um objeto custa $ 4.200,00. Como vou comprá-lo no prazo de 10 meses, a loja cobra juros simples de 5,4% ao mês. Calcule quanto pagarei por esse objeto. R: $ 6.468,00 52 - Emprestei meu capital a 9% a.a., e recebi, no fim de 4 anos, a impor­ tância de $ 13.600,00. Calcule os juros produzidos por esse capital. R: $ 3.600,00 444 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 53 - Calcular um capitai que, quando diminuído dos seus juros de 2 anos de aplicação, a uma taxa de 20% a.a. reduz-se a $ 1.200,00. Solução: Veja que f 1.200,00 é o valor do capital menos os juros. Representativo do capital => 100 (o tempo foi dado em ano) Representativo dos juros 20'x 2 = 40 (taxa x tempo) Então: 100 (capital) —40 (juros) = 60 (capital menos juros) Logo, teremos: 60 (capital menos juros) 1.200,00 (capital menos juros) 100 (capital) x (capital) 100x1.200,00 ^ x = 1 2.000,00 x =-----------------60 54 - Calcular um capital que quando diminuído dos seus juros de 3 meses de aplicação, a uma taxa de 80% a.a. reduz-se a $ 8.000,00. R: %10.000,00 55 - Calcule os juros de um capital que, quando aplicado durante 10 meses a uma taxa de 36% a.a. o valor desse capital menos os juros é de $ 4.200,00. R: $ 1.800,00 56 - A que taxa um capital qualquer, em 2 anos, produziria l/5do seu valor. Solução: Como o capitai rende 1/5 do seu valor, então ele é 5/5. Como os denominadores são iguais, podemos desprezá-los. Então, resulta: capital = 5 e juros = 1. Como o problema pede a taxa, devemos calcular o "núm ero repre­ sentativo" dos juros para, em seguida, dividir pelo tempo. Representativo do capital => 100 (o tempo foi dado em ano) 5 (capital) 100 (representativo do capital) 1 (juros) x (representativo dos juros) 1x100 x =----------^>x=20 5 20 (representativo dos juros) 2 (tempo) = 10% a.a. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 44 5 57 - A que um capital qualquer, produziria em um ano, 1/8 do seu valor? R: 12,5% a.a 58 - Calcule a taxa para que um capital qualquer, durante dois anos e meio, renda 1/4 do seu valor. R: 10% a.a 59 - Calcule a taxa a que foi empregado um capital para que, em 18 meses, ele aumente de 3/50. R: 4% a.a 60 - A que taxa foi empregado um capital sabendo que, durante 5 anos, ele aumentou de 5/18? _5 . R: 5 - % a.a 9 61 - A que taxa mensal, um capital qualquer empregado durante 2 anos, rende 3/5 do seu valor? R: 2,5% a.m 62 - Em que tempo determinado capital pode render, a 12% ao ano, 3/4 do seu valor? Solução: Como o capital rende 3/4 do seu valor, entào ele é 4/4. Como os denominadores sào iguais, podemos desprezá-los. Entào, resulta: capital = 4 e juros = 3. Como o problema pede o tempo, devemos calcular o "número re­ presentativo" dos juros para, em seguida, dividir pela taxa. Representativo do capital 36.000 4 (capital) 36.000 (representativo do capital) 3 (juros) x (representativo dos juros) 446 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 27.000 e 3 meses. (representativo dos juros) ^ 12 (taxa) —2.250 dias ou 6 anos 63 - Em quanto tempo, um capital empregado a 2,5% ao mês, pode render 3/4 do seu valor? R: 2 anos e 6 meses 64 - Calcule durante quanto tempo esteve empregado um capital que, co­ locado a 5% ao ano, produziu juros correspondentes aos 2/5 do capital. R: 8 anos 65 - Determine o tempo em que esteve empregado um capital que, à taxa de 0,5% a.m., renda 1/4 do seu valor. R: 4 anos e 2 meses . ' 66 - Calcule a que taxa um capital, em 10 meses, rende 20% do seu valor. Solução: Para-resolvermos esse tipo de questão podemos supor qualquer valor para o capital e para os juros calcularíamos 20% desse valor. Entre­ tanto, mais simples será você supor que o capital seja 10 então o juro será 2, que é 20% de 10. Entào, temos: capital —10 juros = 2 Representativo do capital 1.200 (o tempo foi dado em meses) 10 (capital) 1.200 (representativo do capital) 2 (juros) x (representativo dos juros) 2x1.200 x =----------- =>x = 240 10 240 (representativo dos juros) 10 (tempo) ” 24% a.a. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 447 67 - Calcuie a taxa que um capital Foi empregado para cjue, em 18 meses, ele renda 30% do seu valor. R: 20% a.a. 68 - Calcule a que taxa semestral um capital que aplicado durante 24 me­ ses, renda 40% do seu valor. R: 10% a. s. 69 - A que taxa semestral um capital qualquer produziria, em 2 anos, 1/5 do seu valor? R: 5% a.s. 70 - Em que tempo, um capital empregado a 8% a.a., rende 30% do seu valor? R: 3 anos e 9 meses 71 - Em que tempo, um capital empregado a 12% a.a., rende 40% do seu valor? R: 3 anos e 4 meses VEJA COM ATENÇÃO AS IGUALDADES DAS EXPRESSÕES 72 - Em que tempo um capital, empregado a 36% a.a. rende o dobro do seu valor? Solução: Supondo que o capital seja igual a 1, os juros serão iguais a 2. Então, temos: 448 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 1 2 30.000 x =>x = 2x36.000 r^x=72.00G 1 72.000 (representativo dos juros) -5- 36 (taxa) —2.000 dias 73 - Em que tempo um capitai colocado à taxa de 24% a.a., triplica o seu valor? Solução: Triplicar é igual a render o dobro. Logo, se o capital for 1 os juros serão 2: 1 36.000 x => x = 72.000 2 72.000 (representativo dos juros) + 24 (taxa) = 3.000 dias. 74 - Calcule durante quanto tempo se deve emprestar certa quanüa para que, a 12% a.a. ela triplique. R: 16 anos e 8 meses 75 - Calcule a taxa que devemos colocar certo capital para que, em 8 anos, ele dobre de valor. R: 12,5% a.a. 76 - A que taxa mensal deverá ser colocado um capital para que, em 3 anos e 4 meses, ele triplique? R: 5% a.m. 77 - Ao fim de quanto tempo ficará duplicado um capital, colocado a uma taxa de 60% a.a.? R: 1 ano e 8 meses 78 - Em quanto tempo um capital, colocado à taxa de 15% ao trimestre, rende o dobro do seu valor? R: 3 anos e 4 meses MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 449 79 - Calcular o tempo para que um capital qualquer aplicado a juros sim­ ples a uma taxa de 40% ao bimestre, triplique o seu valor, R: 10 meses 80 - A que taxa mensal um capital, empregado durante 40 meses, quintuplica? R: 10% a.m. 81 - Um capital empregado durante 5 anos, a juros simples, aumentou de uma vez e meia. Calcule a taxa quadrimestral empregada. R: 10% a.q. 82 - A que taxa bimestral, deve-se empregar um capital para que, em 2 anos, o montante seja igual ao quádruplo do capital? R: 25% a.b. 83 - Uma pessoa empregou $ 3.000,00 durante 5 anos, parte a 6% e parte a 8%, tendo recebido um total de $ 1.080,00 de juros. Calcular a parte empregada a cada taxa. Solução: Vamos supor, por exempio, que essa pessoa empregue todo capital a 6% e calculemos os juros produzidos. Então, teríamos: e = $ 3.000,00; t = 5 anos; i = 6% a.a.; j = ? 100 3.000,00 30x3.000,00 _ x ^ 900,00 30 x . 100 Veja que ele receberia apenas $ 900,00 de juros, isto é, menos do que realmente recebeu. Essa diferença de juros: %1.080,00 —$ 900,00 ™$ 180,00 foi ocasi­ onada pela diferença de taxa: 8% —6% = 2%. Agora, façamos o seguinte problema: j —$ 180,00 i ~ 2% t —5 anos c = ? 10 180,00 100 X 100x180,00 z=> x —----------------- —$ 1.800,00 10 Este capital de $ 1.800,00 foi aplicado na outra taxa de 8%. Como o capital total era de $ 3.000,00, temos: 450 HILDER GÓES * UBALDO TONAR $ 3.000,00 —$ 1.800,00 —$ 1.200,00, que é o capital empregado na taxa de 6%. 84 - Uma pessoa empregou $ 4.000,00 durante 5 anos, parte a 6% e parte a 10%, tendo recebido um total de $ 1.640,00 de juros. Calcular a parte empregada a cada taxa. R: $ 2.200,00 a 10% e $ 1.800,00 a 6% Veja com atenção: Você pode supor que a pessoa tenha empregado todo capital, tanto na menor taxa, receberá menos juros; como na maior taxa receberá mais juros. Mas, em ambos os casos, a diferença de juros foi ocasionada pela diferença da taxa. 85 - Uma pessoa empregou um capital de f 16.000,00 durante 5 anos, parte a 8% e parte a 10%, tendo recebido um total de $ 7.400,00 de juros. Calcule a parte empregada a cada taxa. R: $ 10.000,00 a 10% e $ 6.000,00 a 8% 86 - Um capital foi empregado durante 2 anos a uma taxa de 10% a.a., e o montante resultante foi empregado a 5% a.a. durante 16 meses, tendo rendido um segundo montante de $ 12.800,00. Calcular o capital inicial. Solução: Í = |Q0/q a a_ i = 5% a.a. M => M, = $ 12.800,00 ^ t —2 anos t = 16 meses Observe que o capital que produziu o segundo montante é igual ao M . Calculando-se esse capital, vem: M,- = $ 12.800,00 i ==■5% a.a., t —16 meses e C —M, = ? 1.280 (montante) 12.800,00 (montante) 1.200 (capital) x (capital) c< < 1.280 Esse capital de $ 12.000,00 é igual ao M . Entào, temos: M, = $ 12.000,00 i = 10%, t = 2 anos, c = ? MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 451 120 12.000,00 100 x 100x12.000,00 -$10,000,00 120 87 - Uma quantia foi empregada a 5% a.a. durante 2 anos, e o montante resultante foi empregado também durante 2 anos à taxa de 4% ao ano, produzindo um segundo montante de $ 3.564,00. Calcule a quantia em­ pregada inicialmente. R: $ 3.000,00 88 - Um comerciante empregou certa quantia a 6%, em 5 anos, e o mon­ tante resultante, empregou a 12% em 2 anos, recebendo $ 8.060,00 de montante. Calcule a quantia empregada inicialmente. R: $ 5.000,00 89 - Depositei certa quantia a 5% a.a. No final do primeiro ano, somei os juros ao capital e depositei esse valor a 6% a.a., recebendo, no final de um ano, juros de $ 1.260,00. Calcule o capital depositado inicialmente. R: $ 20.000,00 90 - Uma pessoa emprega a juros simples um certo capital, à taxa de 6% a.a. Depois de 4 anos e 2 meses retira o capxtal e os juros, e reemprega tudo a 7% a.a., obtendo assim, no final de um ano, juros de $ 4.725,00. Determinar o capital primitivo. R: $ 54.000,00 91 - Uma pessoa emprega um capital a juros simples à taxa de 8% a.a. e após 5 anos retira capital e juros. Depois de haver pago um débito de $ 7.000,00 emprega o resto a 6% a.a. e assim obtém uma renda anual de $ 2.100,00. Determinar o capital inicial. R: | 30.000,00 92 - Uma pessoa emprega um capital a uma taxa de 5% a.a. durante 2 anos, findo esse prazo, coloca mais $ 3.000,00 sobre o montante resultante e emprega durante um ano a uma taxa de 10% a.a., recebendo um segundo montante no valor de %16.500,00. Calcule o capital empregado. 452 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Solução: *,i = 5% a.a. f \ i = 10% a.a. C<^ =>I Mj + $ 3.000,00 ) = 2 anos t = 1 ano => M, = 10.500,00 Vamos calcular» inicialmente, os juros produzidos pelos $ 3.000,00. C = 3.000,00, t = 1 ano, i = 10%, j = ? 100 3.000,00 10 x => x = $ 300,00 Do montante final, $ 16.500,00, devemos tirar o capital de $ 3.000,00 mais os juros de $ 300,00, restando $ 13.200,00. Claro que o segundo m ontante o M ,, corresponde apenas a $ 13.200,00. Calcularemos, agora, o M , que é igual ao capital que produ­ ziu o M,. M, = $ 13.200,00 t = lano, i = 10%, C = M, = ? 110 13.200,00 100 x => x- 1 12.000,00 Agora, sabemos que o M, = $ 12.000,00 e vamos calcular o capital inicial. Entào, vem: Mj = $ 12.000,00, t = 2 anos, i = 5%, C = ? 120 12 . 000,00 100 x x = $ 10.000,00 93 - Uma pessoa emprega um capital a uma taxa de 5% a.a. durante 4 anos. Fíndo esse prazo, ao receber o montante, coloca mais $ 3,.000,00 empre­ gando tudo durante 2 anos a 10% a.a., recebendo, depois desses 2 anos $ 18.000,00. Calcule o capital inicial. • R: $ 10.000,00 94 - Uma pessoa aplica seu capital pelo prazo de 4 anos a 5% a.a. Ao receber o montante, coloca mais $ 5.000,00 empregando tudo durante 2 anos a uma taxa de 10% a.a. Findo esse prazo, recebe $ 3.400,00 de juros. Calcule o capital iniciai. R: $ 10.000,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 453 95 - Se a um capitai somarmos os juros produzidos durante 24 meses de aplicação, encontraremos um número que está para os juros numa razão de 6 para 1. Calcule a taxa semestral que esse capital foi aplicado. O problema nos diz que: m • ^ , mas c + j é igual ao montante. 6 Então, temos: Como o montante eqüivale a 6 e os juros a 1, é claro que o capital vale 5. O que resulta o seguinte problema: C —5, j = 1, t = 24 meses, i —% a.s. 5 1.200 1 x 240 (representativo dos juros) 24 (tempo) —10% ao ano Como o problema pede a taxa ao semestre, temos: 10% 2 = 5% a.s. 96 - Se a um capital juntarmos os seus juros de 18 meses de aplicação, obteremos um número que está para esse capital na razão de 43 para 40. Calcule a taxa semestral que foi aplicado esse capital. R: 2,5% a.s. 97 - Se a um capital juntarmos os seus juros de 8% a.a. durante certo tempo, obteremos um número que está para esse capital, na mesma pro­ porção em que 12,4 está para 12. Determine o tempo. R: 5 meses 98 - Juntando-se a um capital os seus juros de 5% a.a., durante um certo tempo, obtêm-se um número que está para esse capital, numa razão de 6 para 5. Calcule esse tempo. R: 4 anos 99 - Se a um capital somarmos os seus juros de 5%, durante um certo tempo, encontraremos um número que está para os seus juros numa razão igual a 6. Determine esse tempo. R: 4 anos 454 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 100 - Se a um capital se juntarem os seus juros de 560 dias de aplicação, acha-se um número que está para esse capital como 674 está para 625. Calcule a que taxa esse capital foi colocado. R: 5,04% 101 - Dois capitais, um no valor de $ 15.000,00 e outro de $ 18.000,00, foram empregados a render juros ás taxas de 10% e 5%,respectivamente. Calcule no fim de quanto tempo os montantes desses dois capitais são iguais. Solução: Supondo um tempo qualquer, por exemplo um ano, vamos calcular os juros produzidos por cada capital. c = $ 15.000,00, i = Í0%, t = 1ano, j = ? 100 15.000,00 10 x => x = $ 1.500,00 c = $ 18.000,00, i = 5%, t = 1 ano, j = ? 100 18.000,00 5 X x = $ 900,00 A diferença dos capitais: $ 18.000,00 —$ 15.000,00 = $ 3.000,00 dividida pela diferenças dos juros: $ 1.500,00 - $ 900,00 = $ 600,00 nos dará o tempo pedido: $ 3.000,00 -f- $ 600,00 = 5 anos. 102 - Uma pessoa coloca $ 12.000,00 a 10% e 1 15.000,00 a 6%. Calcule no fim de quanto tempo os montantes serão iguais. R: 10 anos 103 - Dois capitais, um de $ 12.600,00 e outro de %13.000,00 são coloca­ dos a juro, o primeiro a 5% e o segundo a 3%. Calcule no fim de quanto tempo, esses capitais reunidos aos seus respectivos juros, darão totais iguais. R: 1 ano e 8 meses 104 - Uma pessoa coloca dois capitais a juro, um no valor de $ 10.000,00 e outro no valor de .$ 6.000,00, ambos a uma taxa de 5% a.a. Calcule no fim de quanto tempo os montantes desses dois capitais serão iguais. R: 20 anos MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 45 5 105 - Uma pessoa coloca dois capitais a uma taxa de 15% a.a., durante 2 anos, recebendo %2.400,00 de juros. Se tivesse colocado a diferença desses capitais, durante um ano, aplicado a 20% a.a. teria recebido somente $400,00 de juros. Calcule os dois capitais. Solução: Sejam Ct e C, esses dois capitais, então sabemos que a soma C( + C, foi aplicada a 15% em 2 anos, sendo os juros de $ 2.400,00. Como temos os juros a taxa e o tempo, poderemos, facilmente, calcular Cí + C,. 30 (repres. dos juros) 2.400,00 (juros) 100 (repres. do capital) x => x = | 8.000,00 Sabemos também que a diferença foi aplicada a 20% em 1 ano, tendo rendido %400,00 de juros. Vamos, então, calcular C, - C,. 20 (repres. dos juros) 400,00 (juros) 100 (repres. do capital) x => x = $ 2.000,00 Juntando-se as equações (1) e (2) formamos o sistema: ÍC, +C2 = $8.000,00 [Q —C2 —$ 2.000,0C, que resolvido, nos dá: q = $ 5.000,00 e C, = $ 3.000,00 106 - Dois capitais foram colocados a juros de 15% a.a. durante 2 anos, findo os quais atingiram f 10.400,00 de montante. Sabendo que se a dife­ rença entre ambos os capitais fosse colocada a 20% durante um ano, atin­ giria $ 2.400,00 de montante, determine os dois capitais. R: $ 5.000,00 e %3.000,00 107 ~Um capital acrescido dos seus juros de 4 meses eleva-se para $ 6.200,00. O mesmo capital, acrescido dos seus juros de 9 meses eleva-se para $ 6450,00. Calcular esse capital e a que taxa foi empregado. 456 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Solução: Em 9 meses => o montante foi de $ 6.450,00 Em 4 meses => o montante foi de $ 6.200,00 5 meses $ 250,00 Diferença de tempo: 5 meses Diferença de juros: $ 250,00 $ 250,00 -j" 5 —$ 50,00 de juros por mês. Se considerarmos o tempo de 4 meses, os juros produzidos nesses 4 meses seriam: 4 x $ 50,00 = $ 200,00, pois o juro é constante. Veja que, se do montante $ 6.200,00 subtrairmos os juros de $ 200,00 restará o capital de $ 6.000,00. Agora, temos: c = | 6.000,00, j = %200,00, t = 4 meses, i = ? 6 .000,00 1.200 200,00 x :=> x = 40 40 (repres. dos juros) 4 (tempo) = 10% a.a. 108 - Um capital acrescido dos seus juros de 15 meses eleva-se para $ 6.375,00. O mesmo capital acrescido dos seus juros de 8 meses, eleva-se para $ 6.200,00. Calcule a que taxa foi empregado. R; 5% a.a. 109 - Uma pessoa emprega seu capitai durante 12 meses e recebe um montante de 1 26.400,00. Se tivesse colocado o mesmo capital por um período de 8 meses, receberia o montante de R$ 25.600,00. Calcule a que taxa semestral foi aplicado esse capital. R: 5% a. s. 110 - Um capitai aumentado dos juros produzidos em 15 meses se eleva para $ 26.400,00. Este mesmo capital diminuído dos seus juros de 10 me­ ses fica reduzido a $ 22.400,00. Calcule a que taxa foi empregado. Solução: Em 15 meses => capital mais juros é de f 26.400,00 Em 10 meses => capital menos juros é de $ 22.400,00 Soma-se: 25 Subtrai-se: $ 4.000,00 $ 4.000,00 -r 25 ~~$ 160,00 de juros por mês. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 457 Considerando-se o tempo de 15 meses os juros produzidos seriam de 15 x $ 160,00 = $2.400,00. Se do montante de $ 26.400,00 subtrairmos os juros de $ 2.400,00 teremos o capital de $ 24.000,00. Agora, temos os seguintes dados: Capital = 24.000,00, tempo =15 meses, juros = 2.400,00, i = ? Resolvendo-se essa questão, temos: 24.000,00 (capitai) 1.200 (representativo do capital) 2.400,00 (juros) x (representativo dos juros „ 2-400,00x1.200 X= 24.000,00 120 (representativo dos juros) -**15 (tempo) = 8%. 111 - Um capital aumentado dos juros produzidos em 6 meses é igual a %52.000,00. Esse mesmo capital diminuído dos juros de 2 anos é igual a $ 42.000,00. Determine o capital e a taxa. R: $ 50.000,00 e 8% a.a. 112 - Um capital acrescido dos juros produzidos em 2 meses de aplica­ ção é igual a $ 12.200,00. Esse mesmo capital diminuído dos seus juros de 8 meses de aplicação se reduz a $ 11.200,00. Determine a que taxa foí aplicado. R: 10% a.a. 113 ~ Uma pessoa depositou 2/3 de seu capital num banco, durante 18 meses à taxa de 9% a.a. e recebeu no fim desse tempo $ 540,00 de juros. Calcule a quantia depositada, e qual o capital inicial. Solução: Se os 2/3 do capital produziram $ 540,00 de juros o capital todo, isto é, o s 3/3 produzirão $ 810,00. Senão, vejamos: 458 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 540,00 3 x x— % Agora, temos: juros = $ 810,00, tempo = 18 meses, taxa = 9%. Calcula-se o capital: 162 (representativos dos juros) 810,00 (juros) 1.200 (representativo do capital) x (capital) 162 ? Logo, a quantia depositada foi de ~ x 6.000,00 = $ 4.000,00. 3 114 - Um comerciante depositou 2/3 de seu capital num banco, durante 20 meses, à taxa de 6% a.a., recebendo no fim desse tempo $ 600,00 de juros. Calcule o capital e qual a quanüa depositada. R: $ 9.000,00 e $ 6.000,00 115 - Duas pessoas possuem $ 8.440,00 e empregam à taxa de 8% a.a. durante um ano. A primeira recebe $ 206,40 de juros mais do que a segun­ da. Calcule o capital de cada uma. Solução: Vamos calcular, inicialmente, os juros produzidos por esses dois capitais que totalizam %8.440,00. Temos que: Capital = 8.440,00, taxa = 8%, tempo = 1 ano, juros = ? 100 (representativo do capital) 8.440,00 (capital) 8 (representativo dos juros) x (juros) x= 8x8.440,00 100 =>x = $ 675,20 Agora, temos o sistema: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 459 que, resolvido, nos dá: j, = $ 440,80 e j, = $234,40, no que resulta os seguintes problemas: j, = $440,80, i ~ 8%, t = 1 ano e c —? 8 440,80 100 x 100x440,80 => x = ---------------------------------- ----------—|5.510,00 8 j2 = $ 234,40, i = 8%, t = 1 ano e c = P 8 100 234,40 X=>x= 10° - ^- 4- = $Z930,00 116 ~Uma pessoa empresta duas quandas a terceiros, à taxa de 8,5% ao ano durante 4 ano s. Sabendo-se que a soma das quantias emprestadas é de % 13.500,00 e que a primeira quantia produziu $ 510,00 de juros mais do que a segunda, calcule as duas quandas. R: $ 7.500,00 e $ 6.000.00 117 - Duas pessoas resolveram aplicar durante 4 anos, à taxa de 2,5% ao mês a importância de f 4.000,00. Calcular o capital de cada uma, sabendo que a primeira pessoa receberá de juros f 600,00 a mais do que a segunda. R: $ 2.250,00 e $ 1.750,00 118 - Dois capitais, um de $ 11.000,00 e o outro de I 5.000,00 esdveram aplicados durante 3 anos. Calcular a taxa a que esteve apücado o segundo capital, sabendo que o primeiro, à taxa de 7% ao ano, rendeu $ 1.110,00 de juros mais do que o segundo. R: 8% a.a. 119 - Sabendo que o capital de %2.400,00, se aplicado durante m meses a uma taxa de i% a.a. dada $ 400,00 de juros e, se aplicado durante m + 4 meses, à mesma taxa, dada $ 1.200,00 de juros, calcule a que taxa trimestral foi aplicado. Solução: Veja que a diferença de juros, isto é, f 1.200,00 —$ 400,00 ~ $ 800,00, foi ocasionada pela diferença de tempo em que o capital esteve aplicado, isto é, (m+4) —m = 4 meses. 460 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Agora, temos: capitai = f 2.400,00, juros = %800,00, tempo = 4 meses e i = ? 2.400,00 ' 1.200.00 800’ 00 x X xX — 800,00x1.200,00 — 400 2.400,00 400 (repres. dos juros) ~r 4 (tempo) = 100% ao ano Como o problema pede a taxa trimestral, deveremos dividir a taxa anual por 4. Logo, 100% 4 = 25% a.t. 120 - Sabendo que o capital de $ 5.700,00, se aplicado durante m meses, à taxa de i% a.a. daria %209,00 de juros, e, se aplicado durante m+3 meses, à mesma taxa, daria juros de $ 365,75, calcule a taxa. R: 11% a.a. 121 - Sabendo que o capital de %12.000,00 se aplicado durante m meses, à taxa de i% a.a. daria $ 300,00 de juros, mas se aplicado durante m+4 me­ ses, à mesma taxa, daria $ 500,00 de juros, calcule essa taxa. R: 5%. 122 - Sabendo que um capital de $ 6.000,00 se aplicado a uma taxa de i% a.a., durante um certo tempo, daria $ 250,00 de juros; mas, se aplicado a uma taxa de i% + 10% durante o mesmo tempo, daria $ 750,00 de juros, calcule qual o tempo em que esse capital esteve aplicado. R: 5 meses VEJA COM MUITA ATENÇÃO AS OBSERVAÇÕES QUE SE SEGUEM Prim eira Observação: 1 123 - Uma pessoa coloca metade de seu capital a 5% a.a. e a outra metade a 2% a.a. durante 5 anos, tendo recebido $ 2.100,00 de juros. Calcule o capital empregado. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 461 Solução: De acordo com a observação, os juros de $ 2.100,00 devem ser divididos em partes diretamente proporcionais a 5% e 2%. Então, temos: 7% (total) 2.100,00 (total) 5 100 (o tempo foi dado em ano) Representativo dos juros => 5 x 5 = 25 (produto da taxa pelo tempo) 25 1.500,00 100 x 1.500,00 => x = — —$ 6.000,00 25 Mas veja que $ 6.000,00 é apenas a metade do capital. Logo, o capi­ tal total é de $ 12.000,00. 100 x 124 - Uma pessoa coloca metade de seu capital a 5% a.a., e a outra metade a 8% a.a. durante 4 anos, tendo recebido $ 2.600,00 de juros. Determi­ ne o capital. R: | 10.000,00 125 - Empregou-se certo capital em duas metades: a primeira a 10% ao ano e a segunda a 7% ao ano. Sabendo-se que a primeira rendeu $ 1.200,00 de juros mais do que a segunda, determine o capital empregado durante 4 anos. R: %20.000,00 Segunda Observação: í.Gapitais Ugíiais ié n denrj Uros-.■ 126 - Uma pessoa empregou metade de seu capital a juros simples durante 3 anos e a outra metade, durante 2 anos, obtendo juros de $ 20.000,00. Calcular o capital, sabendo que a taxa foi de 16% a.a. 462 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Solução: Devemos, inicialmente, dividir %20.000,00 diretamente proporcio­ nal a 3 e 2, isto é, aos tempos. 5 20.000,00 3 x 3x20.000,00 ^ „ x — ----------------- -$12.000,00 5 Agora, temos: i —16%, t = 3 anos, j = $ 12.000,00 (relativo à meta­ de do capital). Podemos, então, calcular a metade do capital Representativo do capital => 100 (o tempo foi dado em ano) Representativo dos juros => 16 x 3 = 48 (produto da taxa pelo tempo) 48 12.000,00 100x12.000,00 „ =>x= ----------------— = $25.000,00 48 Logo, o capital empregado foi de $ 50.000,00. 100 x 127 - Durante 2 anos uma pessoa empregou metade de seu capital, e a outra metade durante 5 anos, ambos à taxa de 6% a.a. Calcule esse capi­ tal, sabendo que rendeu de juros $ 8.400,00. R: | 40.000,00 128 - Duas pessoas colocam seus capitais iguais a uma taxa de 2 — % áo 4 mês. A primeira durante 2 anos, e a segunda durante 3 anos. Calcular o capital da primeira, sabendo que os capitais renderam $ 13.500,00 de juros. R: %10.000,00 Terceira Observação: MAlTMÃrnCA PARA. CONCURSO - JUROS SIMPLES 463 129 - Uma pessoa coloca metade de seu capital a render juros durante 3 anos à taxa de 5% a.a.; e a outra metade durante 2 anos à taxa de 6% a.a. Calcule esse capital, sabendo que os juros obddos foram de $ 8.100,00 Solução: Devemos-dmdir os juros diretamente proporcional ao produto das taxas pelos tempos. Entào, temos: 3 x 5 = 15 (N- representativo dos juros da primeira metade) 2 x 6 = 12 (N“ representativo dos juros da segunda metade) 27 (Nu representativo do total dos juros) 27 8.100,00 15x8.100,00 r=>x =----------------- =$4.500,00 27 Esses $ 4.500,00 sào os juros relativos à metade do capital que foi empregado durante 3 anos à taxa de 5%. Podemos, entào, calcular a metade desse capital. Representativo do capital => 100 (o tempo foi dado em ano) Representativo dos juros => 5 x 3 = 15 (taxa vezes tempo) 15 4.500,00 15 x 100x4.500,00 -------- —-------- =$30.000,00 15 Logo, o capital foi de $ 60.000,00. 100 x 130 - Um comerciante emprega metade de seu capital durante 2 anos, à taxa de 5% a.a., e a outra metade durante 3 anos, à taxa de 4% a.a. Deter­ minar esse capital, sabendo que os juros produzidos foram de $ 6.600,00 R: $ 60.000,00 131 - Uma pessoa coloca metade do seu capital durante 2 anos, à taxa de 5% a.a. e a outra metade durante 3 anos, à taxa de 4% ao ano. Calcular esse capital, sabendo que a segunda parte rendeu f 800,00 de juros a mais do que a primeira. R: %80.000,00 464 HILDER GÓES * UBALDO TONAJR CAPITAIS QUE RENDEM JUROS IGUAIS Quarta Observação: 132 - Dois capitais no valor de $ 32.000,00 foram postos a juros. O primei­ ro à taxa de 3% a.a. e o segundo à taxa de 5% a.a., durante 7 meses. Saben­ do-se que renderam juros iguais, calcular os dois capitais. Solução: Devemos dividir $ 32.000,00 em partes inversamente proporcio­ nais a 3 e 5, no que resulta: I +I-_ L 3 5 15 15 ~ 15 Eliminando-se os denominadores, temos: 8 32.000,00 5 x => x = $ 20.000,00 8 3 32.000,00 x => x = $ 12.000,00 133 - Dois capitais totalizam % 48.000,00 e foram colocados a juros;*o primeiro à taxa de 7% a.a. e o segundo à 5% a.a. Calcule esses dois capitais; sabendo-se que renderam juros iguais. R: $ 28.000,00 e $ 20.000,00 134 - Duas pessoas colocam para render juros seus capitais que somam $ 11.000,00. O primeiro, a uma taxa de 8%; o segundo, a uma taxa de 3%. Determinar o capital de cada uma, sabendo-se que renderam juros iguais. R: %8.000,00 e $ 3-000,00. Quinta Observação: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 465 135 - Dois capitais somando %28.000,00 foram empregados, o primeiro durante 4 anos e o segundo durante 3 anos. Calcular os dois capitais, sa­ bendo-se que eles renderam juros iguais. Solução: Basta dividir $ 28.000,00 em partes inversamente proporcionais a 4 e 3. No que resulta: i +i - J L _L 4 12 3 ~ 12 2_ 12 28.000,00 3 x 28.000,00 7 28.000,00 4x28.000,00 7 136 - Dois capitais somando %65.000,00 foram colocados a juros. O pri­ meiro, durante 5 meses e o segundo durante 8 meses. Calcuie os dois capitais sabendo-se que renderam juros iguais. R: $ 25.000,00 e $ 40.000,00 137 - Dois capitais que diferem de $ 3.000,00 foram colocados a juros à mesma taxa. O primeiro durante 8 meses e o segundo durante 6 meses. Calcular os dois capitais, sabendo-se que renderam juros iguais. R: $ 12.000,00 e $ 9.000,00 Sexta Observação: 138 - Dois capitais somando S 35.000,00 foram postos a juros. O pri­ meiro à taxa de 3% a.a. durante 5 anos, e o segundo durante 4 anos a uma taxa de 5% a.a. Calcular os dois capitais, sabendo-se que rende­ ram juros iguais. 466 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Solução: Primeiro capital r Segundo capital 1 1_ 1 — 3 5 15 1 _ 4 3 _ 7 n _1 +--- „1---------------15 20 60 60 60 7 4 7 3 — 1 1 e resulta; M 35.000,00 x ^ x = 4 x 35.0.)0,00= í ^ 35.000,00 X 15.000,00 139 - Dois capitais colocados a juros, o primeiro a 4% a.a., durante 8 meses e o segundo a 3% a.a. durante 9 meses, rendem juros iguais. Deter­ minar esses capitais, sabendo-se que totalizam $ 5.900,00. R: $ 3.200,00 e $ 2.700,00 140 - Dois capitais, que diferem de $ 3.525,00 sào colocados a juros. O primeiro, a 8% durante 9 meses; o segundo, a 6°'o, cluantc 7 meses. Deter­ minar o valor de cada capital, sabendo-se que os juros produzidos foram iguais. R: $ 8.460,00 e %4.935,00 141 - Dois capitais colocados a juros, o primeiro a 4% a.a., durante 8 meses e o segundo a 3% a.a. durante 9 meses, rendem juros iguais. De­ terminar esses capitais, sabendo-se que sua diferença á de $ 12.500,00. R: $ 80.000,00 e $ 67.500,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - JUROS SIMPLES 4Ó7 142 - Uma pessoa, emprestou certa quantia a 20% a.a. Decorrido um mês, o credor concordou em baixar a taxa para 15% que, após 2 meses foi baixada para 10%. Depois de 3 meses, o devedor pagou $ 2.560,00 de capital mais juros. Calcule a importância emprestada. R: $ 2.400,00 143 - Uma pessoa coloca três capitais durante 1 ano, o primeiro a 5% a.a., o segundo a 4% a.a. e o terceiro a 3% a.a.. Calcule esses capitais, sabendose que o terceiro é igual à soma dos dois primeiros e o primeiro é 3/5 do segundo e que a soma dos três montantes vale $ 84.000,00 R: C, = $ 9.000,00; C, = $ 15.000,00; C? = %24.000,00 468 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 36 PRAZO, TAXA 1 CAPITAIS MÉDIOS Suponhamos que vários capitais estejam empregados nas seguintes condições: a) A uma mesma taxa, em tempos diferentes; b) A um mesmo tempo, com taxas diferentes; c) Com taxas e tempos diferentes. E desejamos calcular os juros produzidos por esses capitais. Ora, em vez de calcularmos os juros correspondentes a cada capital para de­ pois somarmos esses juros, será muito mais simples, reunir esses capitais em um só, de modo que, emprestado durante um único tempo e a uma única taxa, produza os mesmos juros que a soma dos juros produzidos peios diversos capitais durante os diversos tempos ou a diversas taxas. Entào, para uma maior simplificação, saiba o que se segue: PRAZO MÉDIO a) Capitais e Taxas Iguais O prazo médio é a média aritmética dos tempos. b) Capitais Iguais e Taxas Diferentes O prazo médio é a média aritmética ponderada entre os tempos e as taxas, sendo as taxas os pesos. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PRAZO, TAXA E CAPITAIS MÉDIOS 469 c) Taxas Iguais e Capitais Diferentes O prazo médio é a média aritmética ponderada entre os tempos e os capitais, sendo os capitais os pesos. d) Capitais e Taxas Diferentes O prazo médio é a média aritmética ponderada entre os capitais, taxas e tempos; sendo o produto dos capitais pelas taxas, os pesos. TAXA MÉDIA a) Capitais e Tempos Iguais A taxa média é a média aritmética das taxas. b) Capitais Iguais e Tempos Diferentes A taxa média é a média aritmética ponderada entre as taxas e os tempos, sendo os tempos os pesos. c) Tempos Iguais e Capitais Diferentes A taxa média é a média aritmética ponderada entre as taxas e os capitais, sendo os capitais os pesos. - ^ 470 - c^-^çoi +, rv~& HILDER GÓES * UBALDO TONAR d) Capitais e Tempos Diferentes A taxa média é a média aritmética ponderada entre os capitais, taxas e tempos; sendo o produto dos capitais pelos tempos, os pesos. 01 ~Calcular os juros produzidos peios capitais de $ 4.500,00 empregado durante 40 dias; $ 3.000,00 durante 50 dias e $ 5.000,00 durante 30 dias à taxa de 6% ao ano. Solução; Devemos calcular o prazo médio que será dado pela média arit­ mética ponderada entre os capitais e os tempos, sendo os capitais os pesos. 4.500.000 x 40 + 3.000,00 x 50 + 5.000,00 x 30 t =------------------------------5------------------------------4.500,00 + 3.000,00 + 5.000,00 480.000,00 t = 38,4 dias 12.500,00 Agora, temos: t = 38,4 dias; i = 6% a.a.; c = 12.500,00; j = ? 3.600,00 12.500,00 230,4 x => x = $ 800,00. t 02 - Uma pessoa possui três capitais de $ 600,00; $ 1.000,00 e $ 800,00 e os colocou à mesma taxa durante 9, 5 e 8 meses, respectivamente. Calcu­ le o tempo que deveria ser empregada a soma desses capitais, para que os juros produzidos fosse igual à soma dos juros daqueles capitais nos prazos dados. R: 7 meses 03 - Três capitais de $ 9.000,00 cada um, e com vencimentos para um ano, a 8% a.a. o primeiro; 10% a.a. o segundo e 9% a.a. o terceiro foram empregados a render juros. Calcule os juros produzidos por esses capitais. R: $ 2.430,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PRAZO, TAXA E CAPITAIS MÉDIOS 471 04 - Os 2/3 de um capitai foi empregado a 9% a.a., durante 6 meses, e o restante a 12% a.a., pelo mesmo prazo, tendo rendido um total de $ 720,00 de juros. Calcule o capital empregado. S o l u ç ã o : De invariável no problema, nós temos os juros e o tempo. Se tiver­ mos uma taxa única, poderemos calcular o capital. Veja que os capitais sào c i = 2/3 e c = 1/3. Como eles possuem o mesmo denominador, podemos eliminá-los, no que resulta: c, = 2 e c, = 1. 9x2 + 12x1 Cálculo da taxa: i - Map = ——————= 10% a.a. 2 + 1 Agora, temos: j = $ 720,00; t = 6 meses; i = 10%. Calcula-se então, o capital: 60 720,00 Í.200 x 1.200x720,00 => x = --------- :-------- => x = $ 14.400,00 60 05- Um comerciante empregou 3/4 do seu capital durante um ano a 11% a.a.; e o resto a 10% a.a., pelo mesmo prazo. Calcule o capital empregado, sabendo que os juros foram de $ 860,00. R: I 8.000,00 06 - Uma pessoa coloca 2/5 de seu capital a 6% a.a. e o resto a 5% a.a., recebendo no final de um ano $ 324,00 de juros. Calcule esse capital. R: $ 6.000,00. Relembre: Quando os capitais forem dados em forma de fração, reduza essas frações ao mesmo denominador, elimine os denominadores e trabalhe com números inteiros. 472 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 07 - Calcule um capital, sabendo que 1/3 dele foi empregado a 7% a.a. e o restante a 9% a.a. e obteve-se, assim, um ganho anual de $ 360,00. R: $ 4.320,00. 08 - Uma pessoa empregou seu capital da seguinte maneira: 2/3 a 12% a.a. e 1/3 a 6% a.a. Calcule esse capital, sabendo que no final de um ano ele recebeu %720,00 de juros. R: $ 7.200,00 09 - Uma pessoa empregou 1/4 do seu capital a 8% a.a.; 1/5 a 5% a.a. e o resto a 6% a.a. No final de um ano recebeu $ 3.654,00 de juros. Determine o capital dessa pessoa. R: $ 58.000,00 10 - Uma pessoa empregou seu capital pelo prazo de um ano, da seguinte maneira: 2/5 a 10% a.a., 1/5 a 8% a.a. e o restante a 6% a.a. Calcule esse capital, sabendo que os juros obtidos totalizam $ 320,00. R: $ 40.000,00 11 - Uma pessoa coloca 2/5 do seu capital a uma taxa de 10% a.a., durante 2 anos e o restante a 5% a.a. durante 4 anos. Calcule esse capital, sabendo que os juros obtidos totalizam $ 2.000,00. Solução: c, = 2; i = 10%; t = 2; c7 = 3; i = 5%; t = 4. Cálculo da taxa única: 2x10x2 + 3x5x4 _ 100 0, 2x2 + 3x4 16 Cálculo do prazo único: 2x10x2 + 3x5x4 100 i = -------------------- =----- anos 2x10 + 3x5 35 Entao, temos: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PRAZO, TAXA E CAPITAIS MÉDIOS 473 Representativo do capital => 100 (o tempo foi dado em ano) Representativo do juros 10000 560 100 100 100 10000 —~rx ~ ~ ~ C'Z. 16 35 560 (taxa x tempo) 2.000,00 => x = 1 11.200,00 12- Uma pessoa coloca 2/3 do seu capital durante 2 anos a uma taxa de 10% a.a. e o restante durante 4 anos a uma taxa de 5% a.a. Calcule esse capital, sabendo que os juros produzidos totalizam $ 1.800,00 R: $ 10.000,00 13 - Um comerciante coloca 2/3 de seu capital a 5% a.a. durante 2 anos, e o restante ele emprega durante um ano a uma taxa de 10% a.a. Calcule esse capital, sabendo que os juros produzidos foram de $ 900,00. R: $ 10.000,00 474 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 37 QUESTÕES DE CONCURSOS - J uros S imples 01) CJF —Um empréstimo de $ 8.000,00, durante 3 meses, rende juros de f 1.200,00. A taxa mensal do empréstimo foi de: a) 6% b) 4,5% c) 5% d) 7% e) 8% 02) TST —Qual a taxa necessária para que um capital, colocado a juros simples, decuplique de valor em 7 anos. a) 50% a.a. b) 128 4/7% a.a. c) 142 6/7% a.a. d) 1 2/7% a.m. e) 1/2% a.m. 03) TST —O capitai de $ 1.200.000,00 está para seus juros assim como 4 está para 3. Determinar a taxa de juros, considerando que o capital esteve empregado durante um ano e 3 meses. a) 6% a.m. b) 60% a.a. c) 5% a.a. d) 61% a.a. e) 50% a.a. 04) TST —Depositei certa importância em um banco e, depois de algum tempo, retirei o juros de f 1.600.000,00 que representavam 80% do capi­ tal. Calcular o tempo em que o capital esteve empregado, se a taxa contra­ tada foi de 16% a.m. a) 5 meses e 20 dias b) 5 meses c) 4 meses e 10 dias d) 4 meses e) 6 meses e 5 dias 05) TRE —Um capital aplicado a juros simples comerciais, à taxa de 80% a.a. deverá triplicar no prazo de : a) 2 anos b) 1 ano e 6 meses c) 2 anos e 6 meses d) 3 anos e) 3 anos e 6 meses 06) TRE —Um capital, aplicado por 2 anos, aumentou 3/5. Qual a taxa de juros anual a que foi aplicado. a) 45% b) 30% c) 25% d) 22,5% e) 20% MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 475 07) AFRE —Se x cruzeiros são os juros simples produzidos por um capital de $ 600.000,00, à taxa de 25,32% ao ano, durante 6 meses, então x é igual a: a) 71.830 b) 72.540 c) 73.620 d) 74.780 e) 75.960 08) AARE —João comprou um objeto poi: %2.300,00- Pagou $ 800,00 de entrada e concordou em pagar o saldo mais uma sobrecarga por conta de despesas de $ 75,00 em 3 meses. Que taxa anual de juros simples João pagou, a) 20% b) 30% c) 2% d) 3% e) 7% 09) TCC —Determinado capitai, colocado a juros simples comerciais ou ordinários, rende 60% de seu valor em 8 meses. Nessas condições, a taxa de juros mensal de aplicação é de: a) 6,0% b) 6,5% * c) 6,8% d) 7,0% e) 7,5% 10) TCC —Qual é o montante que $ 125.000,00 produzem em 7 meses aplicados à taxa mensal de 1,5% ($). a) 148.000,00 b) 145.000,00 c) 136.000,00 d) 138.125,00 e) 132.140,00 11) TRE - Calcule o juro obádo na aplicação de $ 7.600,00, à taxa de 12% ao ano, durante 6 meses. a) $5.472,00 b) $ 547,20 c) $ 4.560,00 d) $ 456,00 e) $ 45,60 12) TRE —Em quanto tempo um capital de %6.000,00, renderá $ 720,00 à taxa de juros de 2% ao mês. a) 4 meses b) 6 meses c) 8 meses d) 10 meses e) 12 meses 13) BB - Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu mon­ tante será de $ 63.000,00. Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante será de $ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada. a) 4% b) 5% c) 6% d) 7% e) 8% 14) TJCE - Uma pessoa aplicou, a juros simples, 3/5 do seu capítal a 7% ao mês e o restante a 66% ao ano. Passados 2 anos e 8 meses, recebeu um total de $ 12.697,60 de juros. O capital inicial dessa pessoa era de: a) $ 6.200,00 b) $ 5.400,00 c) $ 6.800,00 d) $ 5.079,04 e) ? 7.618,56 476 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 15) BB —Em quantos meses um capital duplica de valor aplicado à taxa de 60% a.a.. a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 25 16) BB —Um título de $ 15.000,00, será pago 40 dias após vencimento com juros simples de 3% a.m., e multa de 10% sobre o vaior nominal. Quanto se pagará. a) $ 12.900,00 b) | 15.600,00 c) ? 10.500,00 d) %17.100,00 e) $ 17.600,00 17) BB —2/5 de umcapital foi empregado a 6% ao mês,durante 3 meses; e o restante a 5% ao mês durante 3 meses. O lucro recebido foi de $ 972,00. O capital empregado foi: a) $ 5.000,00 b) $ 6.000,00 c) $ 7.000,00 d) $ 8.000,00 e) $ 9.000,00 18) BB —Que quantia, aplicada a 2,5% a.m. durante 3 meses e 10 dias, rende $ 28.000,00. a) $ 112.000,00 b) $ 134.000,00 c) $ 250.000,00 d) | 336.000,00 e) $ 403.200,00 19) BB —Do total de $ 1.500.000,00,40% foram aplicados à taxa de 20% a.a. pelo período de três meses. O restante foi aplicado à taxa de 25% a.a. pelo mesmo período. Qual o montante, no regime de juros simples, resgatado ao final do prazo. a) $ 1.586.250,00 b) %1.556.250,00 c) $ 1.575.000,00 d) %1.593.750,00 e) $ 1.582.500,00 20) BB —Um título com renda prefixada foi adquirido por $ 235.600,00 e, ao final de 300 dias, resgatado por $ 294.500,00. Taxa mensal proporcio­ nal aplicada: a) 0,08% b) 12,50% c) 2,50% d) 30,0% e) 5,0% 21) BB —Montante, no regime de juros simples, da aplicação de $ 120.000,00, à taxa de 8% a.m. no período de cinco trimestres: a) $ 48.000,00 b) $ 144.000,00 c) $ 264.000,00 d) $ 168.000,00 e) $ 156.000,00 MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 477 22) BB —Valor dos juros devidos a uma aplicação de $ 100.000,00 pelo prazo de três meses, taxa de 360% a.a., capitalizados mensalmente: a) $ 219.700,00 b) % 194.700,00 c) ? 169.700,00 d) $ 294.700,00 e) % 119.700,00 23) TJC E —Em quanto tempo, no regime de juros simples comerciais, $ 18.000,00 aplicados a 10% ao ano produzem um juro igual a $ 1.440,00. a) 9m lOd b) 8m 6d c) 9m 6d d) 9m 18d e) 9m 12d 24) CEF —Aplicando-se certo capital durante 3 meses e 10 dias, a 30% ao ano, serão obtidos $ 3.900,00 de juros simples. Esse capital tem valor igual a: a) $ 42.900,00 b) %45.000,00 c) $ 46.800,00 d) $ 50.700,00 e) $ 52.000,00 25) CEF - Um capital qualquer, empregado a juros simples de 10,5% ao mês, produzirá um rendimento igual aos 70% do seu próprio valor se ficar aplicado durante: a) 140 diasb) 175dias c) 180 dias d) 200 dias e) 210 dias 26) TST —Calcule o capital que se deve empregar à taxa dc 6% a.m., a juros simples, para se obter $ 6.000,00 de juros em 4 meses. a) $ 10.000,00 b) $ 25.000,00 c) $ 100.000,00 d) % 180.000,00 e) %250.000,00 27) TST —Se uma pessoa deseja obter uni rendimento de % 27.000,00, dispondo de $ 90.000,00 de capital, a que taxa dc juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de 5 meses. a) 10% b) 9% c) 6% d) 5% e) 3% 28) TRT —Após quanto tempo um capital, aplicado a juro simples e à taxa mensal de 15%, duplicará de valor. a) 6 meses b) 1 ano e 10 dias c ) 6 meses e 15 dias d) 6 meses e 20 dias e) 1 ano e 25 dias 29) TRT —Um capital de $ 100.000,00, aplicado à taxa mensal de 1,5%, rendeu $ 30.000,00 de juros simples. Esse capital esteve aplicado durante, a) 2 meses b) 1 ano e 4 meses c) 1 ano e 6 meses d) 1 ano e 8 meses e) 1 ano e 10 meses 478 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 30) TRT —Qual é o capital que aplicado a juros simples e à taxa de 18% a.a. produz, em um trimestre o montante de $ 201.250,00 a) $ 200.000,00 b) $ 215.000,00 c) $ 225.000,00 d) $ 240.000,00 e) $ 250.000,00 31) T FR —João tem uma dívida de $ 350,00 que vence em 5 meses. Para dispor da quantia no prazo estipulado, ele deve aplicar hoje, a juros sim­ ples comerciais de 96% a.a. o capital de $. a) 200,00 b) 225,00 c) 250,00 d) 275,00 e) 230,00 32) TRE —Um capital de %10.000,00 foi aplicado a juros simples por um trimestre resultando no montante de $ 18.100,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de : a) 25% b) 26% c) 27% d) 28% e) 30% 33) TRE - Após 8 meses de aplicação a juros simples, um capital triplicou de valor. Qual a taxa mensal dessa aplicação. a) 25% b) 27,5% c)28% d) 30% e) 32,5% 34) TJC —Um capitalista empregou 2/5 dc seu capital a jurossimples comerciais, a taxa de 48% a.a., durante 5meses, e o restante do capital também a juros simples comerciais, à taxa de 60% a.a., durante 6 meses. Sabendo-se que a soma dos montantes recebidos nas duas aplicações foi de $ 302.400,00, o capital inicial total era de $: a) 230.000,00 b) 240.000,00 c) 250.000,00 d) 255.000,00 e) 260.000,00 35) TJC —A aplicação de um capital de $ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resul­ ta, no final do terceiro mês, num montante acumulado: a) de $ 3.000,00 b) de $ 13.000,00 c) inferior a $ 13.000,00 d) superior a $ 13.000,00 e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples. MATEMÁTICA PARÁ CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 479 36) TTN —Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenha os mesmos juros simples que produzidos por $ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período. a) | 420.000,00 b) $ 450.000,00 c) $ 480.000,00 d) $ 520.000,00 e) $ 500.000,00 37) TTN - João aplicou por 6 meses a quantia de $ 220.000,00, a juros simples comerciais, recebendo o montante de $ 352.000. Nessas condi­ ções, a taxa de juros de aplicação foi de: a) 80% a.a. b) 96% a.a. c) 102% a.a. d) 108% a.a. e) 120% a.a. 38) TTN - Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25% a.a., durante 4 anos: o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a,, durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de $ 27.591,80. Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital é de: a) $ 30.210,00 b) $ 10.070,00 c) %15.105,00 d) $ 20.140,00 e) %5.035,00 39) TTN —Se em 5 meses o capital de f 250-000,00 rende $ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao mês, qual o tempo necessário para se ga­ nhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% ao ano? a) 6 m b) 7 m c) 8 m d) 9 m e) lOm 40) T T N —A que taxa anual um apiicador deve investir a quantia de $ 450.000,00, para que, em 11 meses, renda juros equivalentes a 220% de si mesma? a) 20% b) 60% c) 150% d) 220% e) 240% T T N - Calcular os juros simples produzidos por um capital de % 12.500,00, à taxa de 35% a.a. durante 4 anos. a) $ 6.150,00 b) f 61.500,00 c) $ 17.500,00 d) $ 1.750,00 e) $ 16.800,00 41) TTN —Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de $ 4.000,00; durante 3 anos, sabendo-se que se um capital de $ 10.000,00 fosse aplicado 42) 480 HBJDER GÓES * UBALDO TONAR durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a. renderia mais $ 600,00 que o primeiro. A taxa é de: a) 8% b) 7,5% c) 7,1% d) 6,9% e) 6,2% 43) TTN ~ Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento, a taxa de aplica­ ção do menor capital deve superar a do maior em: a) 20% b) 60% c) 40% d) 50% e) 70% 44) TRE —Um capital foi aplicado a juro simples, à taxa mensal de 2,5%. Após quanto tempo da aplicação esse capital triplicará o seu valor. a) 6 anos e 2 meses b) 6 anos e 4 meses c) 6 anos e 8 meses d) 7 anos e 1 mês e) 7 anos e 3 meses 45) TRE - ApEquei 3/5 de um capital à taxa de 12% ao ano e o restante a 18% ao ano. Se após 8 meses obtive juro simples num total de %17.280,00, o capital empregado era: a) 1 180.000,00 b) $ 184.000,00 c) $ 200.000,00 d) $ 240.000,00 e) $ 248.000,00 46) T T N - Um capital de $ 14.400,00 aplicado a 22% ao ano rendeu $ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado. a) 3 meses e 3 dias b) 3 meses e 8 dias c) 2 meses e 23 dias d) 3 meses e 10 dias e) 27 dias 47) T T N - Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de juros em 4 anos, qual é a taxa aplicada. a) 20% ao ano b) 125% ao ano c) 12,5% ao ano d) 200% ao ano e) 10% ao ano 48) TRT - A quantia de $ 4 milhões foi aplicada, durante 5 dias, a uma taxa mensal de 36%. Qual o montante após a aplicação. a) %4.144 mil b) $ 4.240 mil c) $ 4.288 mil d) $ 4.907 mil e) $ 5.440 mil 49) BM —Qual é a taxa anual de juros simples que faz um capital de $ 1.000.000,00 produzir um montante de $ 1.120.000,00 em 3 meses? a) 12% b) 18% c) 24% d) 36% e) 48% MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 481 50) BM —Um Banco cobra com antecipação juros simples sobre emprés­ timos. Uma pessoa, ao solicitar um empréstimo por 6 meses, ã taxa anual de 96%, recebeu $ 624.000,00. O valor do empréstimo solicitado era: a) $ 1.000.000,00 b) $ 1.200.000,00 c) $ 1.350.000,00 d) $ 1.400.000,00 e) %1.500.000,00 51) DNER -$ 800,00 aplicados, por 3 meses, a juros compostos de 5% ao mês, geram um montante de: a) $ 886,41 b )$ 914,32c) $ 920,00 d) $ 926,10 e) $ 928,40 52) TTN —Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplica­ ções rendeu %549,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de $: a) 4.200,00 b) 4.800,00 c) 4.900,00 d) 4.600,00 e) 4.400,00 53) TJCE —Um capitalista dispunha deum capital que foi aplicadoa juros comerciais simplesde 24% a.a. durante 90 dias. Após o prazo, o montante apurado foi reaplicado por mais 60 dias, a uma taxa de 3% a.m., no mesmo regime de capitalização. Sabendo que o novo montante, finda a segunda aplicação, foi de $ 269.664,00, o primeiro capital inicial do capita­ lista era de $. a) 240.000,00 b) 228.000,00 c) 230.000,00 d) 235.000,00 e) 237.000,00 54) TJCE - O capital de $ 3.000,00 foi colocado a juros simples, a uma taxa de 4% ao ano, durante 5 anos; o capital de $ 5.400,00 foi colocado a juros simples durante o mesmo tempo. Esses dois capitais, aumentados dos juros respecdvos, dão números que estão entre si como 1 está para 3. A que taxa o capital de $ 5.400,00 esteve colocado?; a) 25% b) 2% c) 2,5% d) 3% ' e) 20% 55) TJCE —Carlos pagou o carnê dc condominio de seu apartamento em 22/11/94. Sabendo que o valor do condominio era %720,00 e o vencimen­ to, em 19/09/94, e que o banco cobrou multa de 10%, pelo atraso, e juros simples comerciais de 24% a.a., o total desembolsado por Carlos foi de $. a) 825,76 b) 829,30 c) 833,76 d) 817,85 e) 822,72 482 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAR RESPOSTAS 01) c 08) A 15) D 22) E 29) D 36) E 43 ) A 50) B 02) B 09) E 16) D 23) D 30) E 37) E 44) C 51) D 03) B 10) D 17) B 24) C 31) C 38) A 45) A 52) E 04) B 11) D 18) D 25) D 32) C 39) A 46) D 53) A 05) C 12) B 19) A 26) B 33) A 40) E 47) C 54) E 06) B 13) B 20) C 27) E 34) B 41) C 48) B 55) E 07) E 14) A 21) C 28) D 35) D 42) B 49) E MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 483 3 DESCONTO SIMPLES Desconto é, como o próprio nome indica, um abatimento, uma redução que uma pessoa ganha ao pagar um contrato de compra ou um empréstimo, antes do vencimento estipulado. As operações de Desconto são feitas com os títulos de crédito usa­ dos nos meios comerciais ou bancários; como os cheques, as notas pro­ missórias, as duplicatas e as letras de câmbío. Nao nos ocuparemos, entretanto, em estudá-los; apenas os mencionamos para justificar suas denominações no enunciado dos problemas. De posse de um título de crédito, um credor pode proceder de duas maneiras: a primeira é aguardar o vencimento do título para receber, do próprio devedor o seu valor nominal que é o valor escrito no título; a segunda, seria o caso do credor negociá-lo junto a uma Banco. Mas veja que, neste caso, o credor não receberá o valor nominal do título mas, esse valor diminuído de uma certa importância que chamamos de DESCON­ TO e que é o lucro do Banco. O credor recebe, portanto, o valor líquido que é o valor nominal menos o desconto. Há três tipos de descontos, que são: desconto com erciai ou por fora, desconto racional ou por dentro e o desconto bancário. DESCONTO COMERCIAL OU PO R FORA E o desconto calculado sobre o valor nominal, isto é, sobre aquele valor escrito no título. O processo para a resolução dos problemas de desconto será idên­ tico ao de juros simples, isto é, através de “Números Representativos”. Então fica valendo toda aquela teoria que foi vista para a resolução dos problemas de Juros Simples. 484 HILDER GÓES * UBALDO TONAR DESCONTO: Eqüivale aos juros, será representado pelo produto da taxa pelo tempo. 'íppsdcã^x;'^T^pí)'":;V ^ VALOR NOMINAL: É equivalente ao capital dos juros simples, portanto, será representado por: -:. q :è ò '■ • d : 2 0 u : V' . - L:-. v Q u a ’1 V ‘ .'.V ^ VALOR LIQUIDO: É o Valor Nominal menos o Desconto, será repre­ sentado por: : 1.2O0S-.'- CÁLCULO DO DESCONTO 01 - Qual o desconto sofrido por uma nota promissória, emitida no valor de $ 24.000,00, quando paga 4 meses antes do vencimento, à taxa de 1/4% ao mês. Solução: Devemos transformar a taxa mensal em anual, no que resulta: 1 ~ x 12 —3% a.a. 4 3 x 4 = 12 (representativo do desconto) 1.200 (representativo do valor nominal) 1.200 12 24.000.00 x 12 x 24.000,00 x = --------------------- = $ 240,00 1.200 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DESCONTO SIMPLES 4& 5 02 - Calcular o desconto comercial a 5% a.a. sobre uma duplicata de $ 18.000,00 pagável com 2 meses de antecedência. R: $ 150,00 03 - Uma duplicata no valor de $ 9.000,00 foi paga 3 meses antes do vencimento a uma taxa de 12% a.a. Calcule o desconto. R: $ 270,00 04 - Uma nota promissória de $ 18.000,00 foi descontada, por fora, à taxa de 5% a*a-, 2 anos e 6 meses antes do vencimento. Calcule o valor do desconto. R: $ 2.250,00 05 - Calcular o desconto comercial sofrido por uma letra no valor de 1 % ao ano. $ 20.000,00, pagável em 4 anos à taxa de o 2— 10 R: $ 1.680,00 06 - Um título no valor de $ 6.000,00 foi pago 2 meses antes do vencimen­ to. Calcule o desconto, sabendo que a taxa foi de 7/6% ao mês. R: $ 140,00 1 07 - Calcular o desconto por fora, a 8—/o a.a. sobre uma dívida de $ 7.500,00, com vencimento para 50 dias. R: $ 85,00 08 - Calcular o desconto comercial de uma letra de $ 15.000,00, que foi 1 paga faltando 75 dias para o seu vencimento, sendo a taxa de 7~ /o a.a. R: $ 324,00 09 - Um título de $ 2.900,00 foi antecipado de seu pagamento de 10 meses a uma taxa de 12% a.a. Calcule o desconto havido. R: $ 290,00 486 HILDER GÓES 4 UBALDO TONAR 10 - Um negociante recebe uma proposta para pagamento de uma dívida de | 25.200,00 com antecipação de 2 meses e 20 dias» à taxa de 3% a.a. Calcule o desconto comerciai que ele teria se aceitasse a proposta. R: %168,00 CÁLCULO DO VALOR NOMINAL E DO VALOR LÍQUIDO 11 - Calcular o valor nominal de um título que à taxa de 5% ao ano, sofreu um desconto de f 320,00 por haver sido pago 4 meses antes do vencimento. Solução: 5 x 4 = 20 (representativo do desconto) 1.200 (representativo do valor nominal) 20 1.200 320,00 x x =1 32Qf f l . = 1 19.200,00 20 12 ~Calcular o valor nominal de uma duplicata que, paga 5 meses antes do vencimento estipulado, sofreu um desconto de $ 300,00 à taxa de 12% ao ano. Solução: 5 x 12 = 60 (representativo do desconto) 1.200 (representativo do valor nominal) 60 1-200 300,00 x ^ x = 1-2 Q 0 x 3 0 Q >Q 0 6.000 Q Q 60 13 - Calcular o valor nominal de uma duplicata que, à taxa de 1/3 % ao mês, em 2 meses, sofreu um desconto de $ 200,00. R: %30.000,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DESCONTO SIMPLES 487 14 - Calcular o valor nominal de uma nota promissória que, descontada à taxa de 1/36 % ao dia, com 36 dias antes do vencimento, teve um des­ conto de I 360,00. R: %36.000,00 15 - Qual o valor de uma duplicata que, descontada à taxa de 1/4% a.m. que foi paga 1 ano e 4 meses antes do vencimento e foi concedido o desconto de %960,00? R: $ 24.000,00 16 - Calcule o valor de uma duplicata, que descontada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 3% a.a., sofre o desconto de %180,00. R: $ 36.000,00 17 - Calcular o valor nominal de uma duplicata que, a 6% a.a, em 2 meses, sofreu um desconto de $ 50,00. R: %5.000,00 18 - Calcule o valor líquido de uma duplicata que, a taxa de 10% a.a. sofreu um desconto de $ 120,00 por haver sido paga 2 meses antes do vencimento. R: $ 7.080,00 19 - Calcule o valor líquido de uma duplicata que, à taxa de 1/2% ao mês, sofreu um desconto de $ 600,00 por haver sido paga 5 meses antes do vencimento. R: $ 23.400,00 20 - Uma duplicata no valor nominal de $ 6.000,00 foi descontada a 1% ao mês, 8 meses antes do seu vencimento. Calcule o seu valor atual ou valor líquido. R: $ 5.520,00 488 HILDER GÓES * UBALDO TONAR CÁLCULO DA TAXA 21 - A que taxa uma duplicata no valor de $ 3.000,00 sofreu um desconto de | 600,00 por haver sido paga 5 meses antes do prazo estipulado? Solução: Como desejamos saber a taxa, devemos calcular o número repre­ sentativo do desconto e, em seguida, dividir pelo tempo. 3.000,00 1.200 600,00 x =>x= 600 x l.2 0 ° ,c|0 = ^ 3.000,00 240 (repres. do desconto) t 5 (tempo) = 48% a.a. Olhe: A taxa que se encontra é sempre anual, independe dó tempo dado no problema. No caso de ser pedida a taxa em qualquer, outro tempo de aplicação, deveremos fazer a devida transformação. 22 - Uma pessoa deveria pagar uma dívida de $ 7.200,00, porém, iiquidoua 6 meses e 10 dias antes do vencimento, pagando somente $ 6.744,00. Calcule a taxa de desconto. R: 12% a.a. 23 - Vinte dias antes do vencimento, uma duplicata no valor de $ 12.000,00 sofreu um desconto de $ 40,00. Determine a taxa de desconto. R: 6% a.a. 24 - Uma duplicata de $ 5.000,00, paga 6 meses antes do vencimento, ficou reduzida a $ 3.500,00. Calcule a taxa mensal que ela foi negociada. R: 5% ao mês 25 - Uma dívida de $ 22.000,00 foi paga 2 meses e 12 dias antes do venci­ mento estipulado, tendo havido um desconto de $ 154,00. Calcule a taxa de desconto. R: 3,5% a. a. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DESCONTO SIMPLES 489 26 - A que taxa foi descontada um duplicata no valor de $ 8.500,00, pagá­ vel em um ano, se ao ser paga se reduziu a $ 7.990,00? R: 6% a. a. 27 - Um título no valor de $ 2.500,00, descontado 3 meses antes do venci­ mento, teve uma redução de %40,00. Calcule a taxa de desconto. R: 6,4% a.a. 28 - Uma nota promissória no valor de f 31.680,00 paga 110 dias antes do vencimento teve um abatimento de f 726,00, Calcule a taxa dessa operação. R: 15/2% a.a. 29 - Calcular a taxa do desconto comercial sofrido por uma duplicata de | 8.000,00 paga 72 dias antes do vencimento e que houve um desconto de $ 160,00. R: 10% 30 - Um duplicata de $ 5.400^00 foi paga 4 meses antes do vencimento. Se o desconto foi de %54,00, calcule a taxa de desconto. R: 3% a.a. CÁLCULO DO TEM PO 31 - Quanto tempo antes do vencimento deverá ser paga uma duplicata no valor de $ 6.000,00, para que sofra um desconto de $ 300,00, se a taxa foi de 12% a. a. Solução: Como desejamos saber o tempo, devemos ter dois cuidados: 1~ Representar o vajor nominal por 36.000; 2U Calcular o número representativo do desconto, e, em seguida, dividir pela taxa. Olhe: O Tempo encontrado será sempre em dias. 490 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 1.800 (representativo do desconto) **"12 (taxa) = 150 dias = 5 meses. 32 - Calcule o tempo, em meses, que uma letra de $ 38.000,00 descontada por fora, ã taxa de 6,5% a.a. resultou num desconto de $ 1.235,00. R: 6 meses 33 - Uma duplicata no valor de $ 7.600,00 foi descontada a 9% a.a. no dia 20 de junho, tendo sido, por isso, dada-lhe um desconto de $ 309,70. Cal­ cule a data em que a dívida deveria ter sido paga. R: 30 de novembro 34 - Uma duplicata no valor de %3.600,00, descontada por fora à taxa de 6% íua., resultou num líquido de $ 2.880,00. Calcule o tempo de antecipa­ ção que ela foi paga. R; 3 anos e 4 meses 35 - Uma Nota Promissória no valor de $ 5.000,00 descontada a uma taxa de 6% a.a. resultou o líquido de $ 4.400,00. Calcule o tempo. R: 2 anos 36 - Uma nota promissória de $ 6.000,00 descontada a 4% ao quadrimestre ficou reduzida a um líquido de $ 5.520,00. Calcule o tempo de antecipação que ela foi paga. R: 8 meses 37 ~Uma pessoa obteve $ 1.480,00 de desconto por fora por haver pago uma duplicata de $ 14.800,00 com um certo tempo de antecipação. Se a taxa do negócio foi de 10% a.a.' calcule esse tempo. R: 1 ano * 38 - Um título de valor nominal $ 4.500,00 sofre um desconto por fora de f 75,00 negociado a uma taxa de 6% ao ano. Calcule o tempo de antecipa­ ção desta dívida. ' R: 3 meses e 10 dias MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DESCONTO SIMPLES 491 39 - Uma pessoa recebe um desconto por fora no valor de $ 200,00 por haver pago uma dívida de $ 2.000,00 à taxa de 12% a.a. Calcule o tempo de antecipação deste desconto. R: 10 meses 40 ~Calcule o tempo de antecipação de pagamento de uma duplicata no valor de $ 6.900,00 que negociada a uma taxa de 12% ao ano sofreu um desconto comercial de S 138,00. R: 2 meses. DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO DESCONTO: Eqüivale aos juros, será representado pelo produto da taxa pelo tempo. Veja que é idêntico ao desconto por fora. VALOR NOMINAL: E equivalente ao montante dos juros simples, por­ tanto, será representado por: VALOR LÍQUIDO: É equivalente ao capital do juros simples, portanto será representado por: CALCULO DO DESCONTO 41 - Calcular o desconto racional ou por dentro de uma duplicata com um valor de 7.344,00 pagável em 4 meses à taxa de 6% ao ano. 492 HILDER GÓES * IJBALDÒ TONAR Solução: Representativo do Desconto =$• 4 x 6 = 24 Representativo do Valor Líquido :=>1.200 Representativo do Valor Nominal 1.200 + 24 = 1224 1.224 24 7.344,00 x 24x7.344,00 x —----------------- —$144,00 1.224 42 - Uma duplicata sofreu um desconto racional ou por dentro, à taxa de 40% a.a., 2 meses antes do vencimento. Sabendo que o seu valor nominal é $ 3.840,00, calcular o desconto. R: $ 240,00 43 - Calcule o desconto sofrido por uma Nota Promissória que, desconta­ da por dentro, à taxa de 2,5% ao semestre, 80 dias antes do prazo estipu­ lado para o seu pagamento produziu um valor líquido de %18.000,00. R: $ 200,00 44 - Qual o desconto por dentro de uma Nota Promissória no valor de $ 14.000,00, paga 3 anos antes do vencimento, a uma taxa de 4% a.a.? R: $ 1.500,00 45 - Calcular o desconto por dentro, a 6% a.a. sobre uma duplicata de % 18.090,00, paga um mês antes do vencimento. R: $ 90,00 46 - Uma duplicata no valor de $ 6.500,00 foi paga 2 meses antes do vencimento. Calcule o desçpnto racional sabendo que a taxa foi de 9% a.a. R: %96,00 47 - Uma letra no valor de $ 25.300,00 foi paga 72 dias antes do venci­ mento a uma taxa de 0,5% ao mês. Calcule o desconto racional dessa transação. R: $ 300,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DESCONTO SIMPLES 493 48 - Uma firma deseja descontar um título de $ 19.000,00 com uma ante­ cipação de 250 dias, sendo à taxa de 8% a.a.. Calcule o desconto racional dessa transação. R: $ 1.000,00 49 - Uma firma possui uma duplicata no valor de %17.800,00. Deseja fazer seu pagamento com 4 meses de antecipação a uma taxa 4% ao ano. Calcu­ le o desconto comercial que essa firma obterá. R: $ 234,00 50 - Um título de $ 9.500,00 foi antecipado de seu pagamento em 3 anos, 2 meses e 10 dias à taxa de 10% a.a. Calcule o desconto racional havido. R: $ 2.300,00 CÁLCULO DO VALOR NOMINAL E DO VALOR LIQUIDO 51 - Calcule o valor nominal de uma duplicata que, descontada por dentro à taxa de 20% a.a. 5 meses antes do vencimento, produziu um desconto de $ 1 .000,00. Solução: Representativo do Desconto =>20 x 5 = 100 Representativo do Valor Nominal => 1.200 + 100 = 1.300 100 1.000,00 1.300 x 1.300x1.000,00 100 —$13.000,00 52 - Um título sofreu um desconto por dentro à taxa de 36% a.a. ao prazo de 6 meses e 20 dias, tendo por desconto, a quantia de $ 1.000,00. Calcule o valor nominal desse título. R: $ 6.000,00 53 ~Calcule o valor de um título que negociado a uma taxa de 2% a.a., 2 anos e 1 mês antes do vencimento, foi pago o valor líquido de $ 6.300,00. R: | 6.562,50 494 HILDER GÓES * UBAJUDO TONAR 54 - Uma duplicata ao ser descontada por dentro a uma taxa de 0,5% ao mês sofreu um desconto de $ 500,00 por ter sido paga com 1 ano, 4 meses e 20 dias de antecedência. Calcule o seu valor nominal. R: %6.500,00. 55 - Uma duplicata de $ 12.000,00 sofre um desconto por dentro a uma taxa de 1/3 % a.m. calcule o valor líquido desse título sabendo que ele foi pago com 5 meses de antecedência. R: 1 12.000,00 56 - Calcule o valor líquido ou atual de um título que, descontado por dentro, 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 6% a.m. produziu $ 1.440,00 de desconto. R: $ 12.000,00 57 - Um título de $ 8.160,00 foi pago com antecipação de 400 dias a 12% a.a. Calcule o valor atual racional desse título. R: $ 7.200,00 58 - Paguei uma dívida com um desconto racional ou por dentro de $ 150,00 à taxa de 5% a.a., com uma antecipação de 6 meses e 20 dias. Calcule o valor dessa dívida. R: ? 5.550,00 59 - Um devedor recebe, por haver antecipado o pagamento de sua dívida em 120 dias, um desconto racional de $ 1:000,00 ã taxa de 12% a.a. Calcule o valor nominal dessa dívida. R: ? 26.000,00 60 - Uma duplicata, por haver sido paga 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 3% a.a., recebe um desconto por dentro de $ 100,00. Calcule o valor nominal dessa duplicata. R :$ 20.100,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DESCONTO SIMPDES 495 CÁLCULO DA TAXA 61 - Uma letra no valor de $ 5.700,00, paga 2 anos antes do vencimento produziu um desconto por dentro de $ 700,00. Calcule a taxa. Solução: Como desejamos saber a taxa, devemos calcular o número repre­ sentativo do desconto e, em seguida, dividir pelo tempo. 5.700,00 (valor nominal) —700,00 (desconto) ~ 5.000,00 (valor líquido) 5.000,00 700 00 /UU’UU 100 x x 700,00x100 =>x=----------------=14 5.000,00 14 (número representativo do desconto) 2(tempo) = 7% a.a. 62 - Sabendo-se que uma nota prom issória de $ 36.726,00 produziu $ 726,00 de desconto racional, quando paga 2 meses e 6 dias antes do seu vencimento, calcular a taxa. R: 11% 63 - Uma duplicata de $ 14.000,00, paga 3 anos antes do vencimento sofreu um desconto por dentro de $ 1.500,00. calcule a que taxa foi descontado. R: 4% a.a. 64 - Uma duplicata de $ 18.200,00 descontada por dentro 2 meses e 20 dias antes do vencimento produziu um desconto de f 200,00. calcule a taxa semestral. R: 2,5% a.s. 65 - Uma duplicata de $ 18.600,00 descontada por dentro, 5 meses antes do vencimento, ocasionou um desconto de %600,00. Calcular a taxa. R: 8% a.a. 66 - Um título de $ 8.040,00 foi descontado com antecedência de 350 dias e recebeu como desconto racional a quantia de $ 840,00. Calcule a taxa bimestral de desconto. R: 2% a.b. 496 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 67 - No pagamento de uma duplicata no valor de $ 2.000,00 houve um desconto por dentro de $ 200,00, por haver sido paga com antecedência de 1 ano, 1 mês e 10 dias. Calcule a taxa do desconto. R: 10% a.a. 68 - Uma dívida de $ 1.845,00 foi antecipada em 3 meses em seu pagamen­ to, recebendo um desconto racional de $ 45,00. Calcule a taxa de desconto. R: 10% a.a. 69 - Uma firma tem uma duplicata no valor de $ 3.500,00 e quer anteci­ par o seu pagamento em 135 dias, por isso teria um desconto por dentro de $ 83,20. Quai seria a taxa nessa transação? R: 6,4% a. a. 70 - Calcule a taxa de desconto de um título cujo valor nominal é de % 1.430,00 e seu desconto por dentro foi de $ 110,00 pela antecipação de seu pagamento em 10 meses. R: 10% a.a. - CÁLCULO DO TEMPO 71 - Calcular o tempo em que um título no valor de $ 20.800,00, desconta­ do por dentro, à taxa de 6% a.a. sofreu um desconto de $ 800,00. Solução: 20.800,00 (valor nominal) —800,00 (desconto) = 20.000,00 (valor líquido) Então, temos: 20.000,00 onn nn 800,00 36.000 xv 800,00x36.00 ------ 3------= $ 1.440,00 20 .000,00 1.440 (número representativo do desconto) = 8 meses. = 6% (taxa) ~ 240 dias MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DESCONTO SIMPLES 497 72 - Um título de $ 16.500,00 sofreu um desconto por dentro, ã taxa de 12% a.a. e ficou reduzido a $ 15.000,00. Calcular o tempo. R: 10 meses 73 - Um título de $ 48.464,00 foi descontado por dentro a uma taxa de 6% a.a. Sabendo que o desconto foi de $ 464,00, determine o prazo. R: 58 dias 74 - Calcule .em quantos anos uma nota promissória descontada por den­ tro à taxa de 10% a.a. produziu um desconto igual a 1/6 do seu valor nominal R: 2 anos 75 - Calcule o tempo de antecipação em que uma duplicata no valor de $ 31.875,00, descontada por dentro, a uma taxa de 5% a.a. sofreu um desconto de $ 1.875,00. R: 1 ano e 3 meses 76 - Um negociante recebeu uma proposta de desconto racional de f 1.000,00 se ele pagar o título no valor de $ 19.000,00 a uma taxa de 8% a.a. Ele deseja saber o tempo de antecipação para efetuar esse negócio. R: 8 meses e 10 dias 77 - Uma firma tem uma dívida de $ 6.200,00 e quer antecipar seu paga­ mento. O capitalista propõe um desconto de $ 200,00 pela antecipação que corresponde à taxa de 10% a.a. Calcule o tempo de antecipação desta dívida paga pelo desconto racional R: 4 meses 78 - Em quanto tempo um títuio, descontado por dentro a uma taxa de 10% a.a. produs um desconto igual a 1/5 do seu valor nominal R: 2 anos e 6 meses 498 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 7 9 - 0 valor líquido de uma duplicata é igual a 5/8 do seu valor nominal. Se o título sofre um desconto por dentro a uma taxa de 30% a.a. Calcule o tempo de antecipação. R: 2 anos 80 - Uma firma tem um título de $ 3.780,00 e seu devedor deseja saldar ã taxa de 9% a.a. O desconto por dentro importa em $ 180,00. Calcule o tempo de antecipação. R: 6 meses e 20 dias DIFERENÇA ENTRE O DESCONTO POR FORA E O DESCONTO POR DENTRO A diferença entre o desconto por fora e o desconto por dentro é igual ao juro do desconto por dentro. Vejamos o seguinte problema 81 - Calcule o valor nominal de uma duplicata que, paga 2 anos antes do seu vencimento, descontada a uma taxa de 3% a.a. resultou em uma dife­ rença de %360,00 entre o desconto por fora e o desconto por dentro. Solução: Temos dois problemas a serem resolvidos: Primeiro: Problema de juros simples Dados: a taxa, o tempo e o juro Calcula-se: o capital que é igual ao desconto do desconto por dentro. Então temos: i - 3% a.a.; t = 2 anos; j ™$ 360,00. e c =. ? 6. 100 360,00 x 100x360,00 # = > x ------------------= $ 6.000,00 Olhe: Esses $ 6.000,00 eqüivalem ao desconto do desconto por dentro. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DESCONTO SIMPLES 499 Segundo: Problema de desconto por dentro Dados: a taxa, o tempo e o desconto Calcula-se: o valor nominal do desconto por dentro. Entào, temos: i = 3% a.a.; anos; D = $ 6.000,00 e VN = ? 6 106 6 .000,00 106X6.000,00 x ^ A/" AAA AA =>x = ----- = 1106.000,0 82 - Calcule o valor nominal de uma duplicata que paga 5 meses antes do vencimento, negociada a uma taxa de 8% a.a. resultou numa diferença do desconto por fora e do desconto por dentro de $ 40,00. Solução: Dados: i = 8% a.a.; t = 5 meses; j = $ 400,00 e VN = ? Calcula-se o capital que é igual ao desconto do desconto por dentro: 40 1.200 40,00 x 1.200 x 40,00 =>x=--------1.200,00 Dados: d = $ 1.200,00; i = 8% a.a. e t = 5 meses Calcula-se o valor nominal do desconto por dentro: 40 1,240 1.200,00 x 1.240x1.200,00 40 =>x = ---- = $ 37.200,00 83 - Se a diferença entre o desconto por fora e o desconto por dentro de uma duplicata negociada a uma taxa de 10% a.a.; 5 anos antes do seu vencimento é de $ 500,00. Calcule o seu valor nominal. R: $ 3.000,00 84 - Se a diferença entre o desconto por fora c o desconto por dentro de uma nota promissória é de $ 228,00 e ela foi negociada 3 meses antes do vencimento a uma taxa de 4% a.m., calcule o seu valor nominal. R: $ 22.400,00 500 HILDER GÓES + UBALDO TONAR 85 - A diferença entre o desconto por fora c o desconto por dentro de uma duplicata é de $ 200,00. Se ela foi negociada a uma taxa de 25% a.a., um ano antes do vencimento, calcule o valor nominal do desconto por dentro e do desconto por fora. R: I 4.000,00 - $ 4.800,00 86 - Uma duplicata sofre um desconto racional ou por dentro, à taxa de 10% a.a., 6 mesélrftntes do vencimento e ficou reduzida a $ 6.000,00. Cal­ cule a quanto ficaria reduzida se o desconto fosse comercial ou por fora. Solução: Relembre que, no desconto por dentro, o número representativo do valor líquido corresponde ao capital. Entào, será 1.200, pois o tempo foi dado em meses, já no descoberto por fora o número representativo do valor líquido é dado pela diferença do número representativo do va­ lor nominal menos o número representativo do desconto. Logo, será 1.200 -60 = 1.140. Entao, temos: 1*200 6. 000,00 1.140 x6.000,00 l |4o ' v = > x = ------------------------------------- — $ 5 .7 0 0 ,0 0 1.200 87 - Um título sofre um desconto comerciai ou por fora dc 10%, 6 meses antes do vencimento e ficou reduzido a $ 1.995,00. A quanto ficaria redu­ zido, se o desconto fosse racional ou por dentro? R: $ 2.100,00 88 - Uma duplicata sofre um desconto racional à taxa de 5° < >a.a., 3 meses antes do seu vencimento, reduzindo-se a $ 3.600,00. A quanto ficaria re­ duzida se o desconto fosse comercial ou por fora? R: $ 3.555,00 8 9 - 0 desconto por fora de uma duplicata é de $ 3.600,00 e o desconto por dentro é de $ 3.000,00. Calcule o valor nominal da duplicata. Solução: Sendo dado os dois descontos, o valor nominal do tíi ulo é calculado pelo quociente da divisào do produto dos descontos pela sua diferença. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DESCONTO SIMPLES 501 Então, temos: vn 3.600, L 3.600,00 —3.000,00 = “ B £ 1 jlW =$18.ooo,oo 90 - Calcule o valor nominal de uma letra, sabendo que o seu desconto por fora é de $ 2.500,00 e o desconto por dentro é de %2.000,00. R: | 10.000,00 9 1 - 0 desconto por fora de uma nota promissória é de $ 4.800,00 e o desconto por dentro é de $ 3.000,00. Calcule o seu valor nominal. R: $ 8.000,00 DESCONTO BANCÁRIO E o mesmo desconto comercial ou por fora, porém acrescido de uma outra taxa prefixada sobre o Valor Nominal do título. Essa taxa é referida como sendo para cobrir as despesas adminis­ trativas ou bancárias do banco ou instituição que faz a operação. O número representativo dessa taxa dependerá do tempo dado na questão. Senão vejamos: Olhe: O número representativo TOTAL do desconto será o número representativo normal do desconto, isto é, taxa vezes tempo somado ao número representativo dessa taxa. 92 - Um título no valor de $ 5.500,00 foi descontado 3 meses antes do seu vencimento a uma taxa corren te em desconto comercial de 502 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 40% a.a. Calcule o desconto sabendo que o banco cobra 2% como despesa administrativa. R: %660,00 93 - Um título de $ 50.000,00 foi descontado 3 meses antes do ven­ cimento. Se a taxa de juros foi de 26%) a.a. e, além disso, foi cobrada uma taxa a título de despesa de 1%. Calcule o desconto bancário havido na operação. R: $ 3.750*00 94 - Uma Nota Promissória foi descontada 2 anos antes do seu ven­ cimento a uma taxa de 5% a.a. Calcule o seu valor nominal, sabendo que o desconto foi de $ 6.000,00 e que houve uma taxa administrati­ va de 2%. R: $ 50.000,00 95 - Um negociante descontou um título no valor de %5.500,00, 3 meses antes do vencimento, recebendo um valor líquido de $ 4.840,00. Calcule a taxa de despesa administrativa cobrada pelo banco, saben­ do que a operação foi realizada com uma taxa de desconto comercial de 40% a.a. R: 2% MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DESCONTO SIMPLES 503 39 QUESTÕES DE CONCURSOS - D esco n to 01) AFRE ~Se um título dc valor nominal de Cr$ 120.000.00 sofre um desconto comercial (ou por fora) à taxa de 5% ao ano, 7 meses antes do seu vencimento, entào o seu valor atual comercial é de. a) Cr$ 112.550,00 b) Cr? 113.700,00 c) CrS 114.350,00 d) Cr$ 115.600,00e) Cr$ 116.500,00 02) AFRE - Um título de valor nominal de Cr$ 950.000,00 sofreu um desconto bancário à taxa de 60% ao ano, 90 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que as taxas e comissões cobradas pelo Banco importaram em 2,5% do valor nominal do título, pode-se afirmar que o desconto ban­ cário foi de. a) Cr$ 145.320,00 b) Cr$ 157.400,00 c) Cr$ 166.250,00 d) Cr$ 172.830,00e) Cr$ 183.460,00 03) BB - Qual o valor nominal de uma nota promissória, a vencer em 30 de maio que, descontada por fora no dia 3 de abril do mesmo ano, à taxa de 6% a.m. produziu um desconto de Cr$ 1.881,00. a) CrS 15.600,00 b) Cr$ 16.500,00 c) Cr$ 17.750,00 d) Cr$ 18.550,00 e) Cr$ 18.900,00 04) BB - Qual o desconto comercial de um título de Cr$ 27.200,00 pago 2 meses antes do vencimento à taxa de 5,2% ao mês. a) Cr$ 2.905,80 b) Cr$ 2.828,80 c) Cr$ 2.800,00 d) Cr{ 2.722,60 e) Cr$ 2.560,00 05) BB - A quantos meses do vencimento uma nota prom issória de Cr$ 3.900,00 descontada por fora, à taxa de 10% a.a. dá um líquido de Cr$ 3.640,00. a) 4m b) 6 m c) 8 m d) 9 m e) 12 m 504 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 06) BB - Um título de valor nominal de Crf 12.000,00 sofre um desconto; à taxa de 6% a.a,; 120 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto, a) Cr$ 240,00 b) Cr? 260,00 c) Crf 300,00 d) Crf 853,00 e) Crf 864,00 07) BB - Em 5 de maio; o desconto por fora de um título no valor de Crf 25.000,00 resultou no crédito de Crf 21.800,00 na conta do cliente. A taxa cobrada foi de 0,2% ao dia. Qual o vencimento do título. a) 07.07 b) 08.07 c) 09.07 d) 10.07 e) 11.07 08) CEF - Uma nota promissória foi resgatada 5 meses antes do venci­ mento, sofrendo um abatimento de Cr$ 30.000,00. Se o desconto foi co­ mercial, à taxa de 48% ao ano, o valor pago foi de. a) Cr$ 180.000,00 b) Crf 175.000,00 ' c) Cr$ 150.000,00 d) Crf 135.000,00 e) Crf 120.000,00 09) TRT - Certa pessoa descontou um título no valor nominal de Crf 40.000,00, 4 meses antes do seu vencimento. Se recebeu a quantia de Crf 37.600,00, a taxa mensal de desconto comercial simples sofrido foi de: a) 1 % b) 1,2% c) 1,5% d) 1,75% e) 1,8% 10) T FR - O desconto comercial de um título foi de NCrf 150,00, ado­ tando-se uma taxa de juros simples de 30% ao ano. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se o valor nominal do referido título fosse de NCrf 4.500,00 a) 45 dias b) 40 dias c) 35 dias d) 30 dias e) 25 dias 11) T RE - Um título, no valor nominal de CR$ 80.000,00, foi pago com 3 meses de antecedência, sofrendo um desconto comercial simples de Crf 1.500,00. A taxa anual do desconto foi: a) 7,75% b) 7,5% c) 7,25% d) 6,5% e) 6,25% 12) TRT - Uma letra de câmbio, no valor nominal de Crf 180.000,00 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento. Qual o desconto comercial sofrido, se a taxa anual de desconto simples era de 14,4%. a) Crf 10.580,00 b) Crf 12.960,00 c) Crf 13.460,00 d) Crf 13.960,00 e) Cr$ 15.580,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 505 13) BM - Um título, no valor nominal de Cr$ 400.000,00 sofreu um desconto simples (comercial ou por fora) de Crf 24.000,00. Se a taxa anual do desconto foi de 18%, então esse título foi resgatado com uma antecipação de: a) 4 meses b) 3 meses e 20 dias c) 3 meses d) 2 meses e 15 dias e) 2 meses 14) BM - Para que lhe fosse paga, 12 dias antes do vencimento, uma nota promissória no valor de Cr$ 200.000,00 o credor aceitou receber apenas Cr$ 188.000,00. Qual foi a taxa diária de desconto simples (comercial ou por fora) concedida. a) 0,05% b) 0,5% c) 1% d) ó % e) 12% 15) TTN - José descontou 2 duplicatas em um banco, no regime de juros simples comerciais, a uma taxa de juros de 15% a.a. O primeiro título vencia em 270 dias e o segundo em 160 dias, sendo que o último era de valor nominal 50% superior ao primeiro. Sabendo-se que os dois des­ contos somaram o valor de R$ 382,50, o ütulo que produziu o maior desconto tinha valor nominal, em R$, de: a) 1.800,00 b) 1.700,00 c) 1.900,00 d) 1.850,00 e) 1.750,00 16) AFRE - Um título de valor nominal de Cr$ 114.800,00 sofre um desconto racional (ou por dentro) à taxa de 10% ao ano, K meses antes do vencimento. Se o desconto racional (ou por dentro) é de Cr$ 2.800,00, entào K é igual a. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 17) BB - Um título de Cr$ 8.000,00 sofreu um desconto racional de Cr$ 2.000,00,8 meses antes do vencimento. Qual a taxa anual empregada, a) 28% b) 37,5% c) 45% d) 50% e) 52,5% 18) BB - Uma letra a ser descontada por dentro, à taxa de 4% a.m., 6 meses antes do seu vencimento, proporcionou um líquido de Cr$ 1.500,00. Qual o seu valor nominal, em Cr|. a) 1.680,00 b) 1.980,00 c) 1.880,00 d) 1.780,00 e) 1.860,00 506 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAR 19) BB - Qual o valor atual de uma duplicata que sofre um desconto por dentro de Crf 500,00 a 50 dias do seu vencimento, à taxa de 3% a.m. a) Cr$ 9.500,00 b) Crf 9.550,00 c) Cr$ 10.00,00 d) Crf 10.050,00 e) Crf 10.500,00 20) BB - Crf 1.050,00 é o valor do desconto racional de um título, des­ contado 60 dias antes de seu vencimento, à taxa de 42% a.a. O valor nomi­ nal do título é. a) Crf 15.000,00 b) Crf 15.500,00 c) Crf 14.050,00 d) Crf 16.000,00 e) Cr$ 16.050,00 21) TTN - Um título de Crf 632.500,00 com vencimento para 75 dias vai ser negociado à taxa de 6% ao mês. Considerando-se o critério racional, os valores do desconto e da negociação serão respectivamente de. a) Crf 70.000,00 e Cr$ 562.500,00 b) Crf 75.500,00 e Crf 557.000,00 c) Cr$ 82.500,00 e Crf 550.000,00 d) Crf 80.000,00 e Cr$ 552.500,00 e) Crf 85.500,00 e Crf 547.000,00 22) TTN - Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de NCrf 29.500,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, é de: a) NCrf 24.000,00 b) NCrf 25.000,00 c) NCr$ 27.500,00 d) NCrf 18.800,00 e) NCrf 24.190,00 23) BC - Em quanto 100% a.a. produ2 um a) 4 meses d) 2 meses e 20 dias tempo um título, descontado por dentro à taxa de desconto igual a 1/6 do seu valor nominal. b) 3 meses c) 2 meses e 12 dias e) 2 meses e 25 dias 24) TTN - O valor atual racional de um título é igual a 1/2 de seu valor nominal. Calcular a taxa mensal de desconto, sabendo-se que o pagamen­ to desse título foi antecipado de 5 meses. a) 200% a.a. b) 20% a.m. c) 25% a.m. d) 28% a.m. e) 220% a.a. MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 507 RESPOSTAS 01) E 06) A 11) B 16) B 21) C 508 02) C 07) B 12) B 17) D 22) B 03) B 08) E 13) A 18) E 23) C HILDER GÓES * UBALDO TONAR 04) B 09) C 14) B 19) C 24) B 05) C 10) B 15) A 20) E 40 SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Definição: E o conjunto de medidas que tem por base o metro. Sistema: Porque sistematizou, isto é, ordenou as unidades de pe­ sos e medidas. Métrico: Por ser o metro a unidade principal, isto é, todas as suas medidas são baseadas no metro. Decimal: Porque os múltiplos e os submúltiplos das diversas uni­ dades que o compõem, variam tendo como base o número 10. As principais unidades do sistema métrico decimal são: Metro: para as medidas de comprimento; Metro quadrado: para as medidas de áreas ou superfícies; Ate: para as medidas agrárias, isto é, medidas de grandes extensões de terra; Metro cúbico: para as medidas de voíume; Litro: para as medidas de capacidade; Grama: para as medidas de massa. A seguir, estudaremos cada uma dessas unidades, com os seus múl­ tiplos e submúltiplos. Observação: Múltiplos são as grandezas maiores que a unidade principal; enquan­ to que, os submúltiplos são as grandezas menores que a unidade principal. UNIDADES DE COMPRIMENTO MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 509 k m — q u ilô m e tr o Múltiplos < hm =■hectômetro dam = decâmetro dm —decímetro Submúltiplos < cm = centímetro mm = milímetro Observação: A relaçáo entre as medidas de comprimento é DECIMAL. As mudanças de unidades sào feitas deslocando-se a vírgula de UMA em UMA casa. MUDANÇAS DE UNIDADES l s - Da maior para a menor 01 - Exprimir em decímetro as seguintes unidades: 13,758km; 23,2452hm; 2,3823dam; 2,53m. Solução: 13,758km = 137580dm 23,2452hm = 23245,2dm 2,3823dam = 238,23dm 2,53m = 25,3dm 2a - Da menor para a maior f 02 - Exprimir em decâmetro as seguintes unidades: 254óm; 3247,25dm e 13245,22cm. Solução: 2546m = 254,6dam 3247,25dm = 32,4725dam 13245,22cm = 13,24522 Importante: Se o número de algarismos for inferior ao necessário, para o deslo­ camento da vírgula, devemos completar com zeros as ordens que faltam. 510 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Esta observação se estende a todas as outras unidades que serão estuda" das a seguir. 03 - Exprimir em centímetros: 25,48hm; 25m; 2,3mm; 32,4dam. Solução: 25,48hm = 254800cm 25m = 2500cm 2,3mni = 0,23cm 32,4dam = 32400cm UNIDADES DE SUPERFÍCIE Submuluplov /km3 = quilômetro quadrado M últiplos < hm2 = hectômetro quadrado vdanr = decâmetro quadrado / dm2 = decímetro quadrado Sub múltiplos ^ cm2 = centímetro quadrado V mm’ = milímetro quadrado Observação: A rekçào entre as medidas de superfície é CENTESIMAL. As mudanças de unidades são feitas deslocando-se a vírgula de DUAS em DUAS casas. MUDANÇAS DE UNIDADES l 2 - Da m aior para a menor 04 - Exprimir em metro quadrado as unidades seguintes: 23, dkm2; 18,275hm2; 2,6365dam2. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 511 Solução: 23,4kxxr = 23400000m2 18,275hm2 = 182750m2 2,6365damí = 263,65nr 05 - Exprimir em decâmetro quadrado as seguintes unidades: 324,5m~; 2783,2dm2; 245,8cm2. Solução: 324,5m2 = 3,245darrr 2783,2dm2 = 0,27832danr 245,8cm2 = 0,0002458dam3 UNIDADES AGRARIAS Unidade principal: a = are Múltiplo: ha —hectare Submúltiplo: ca = centiare Observação: A relação entre as medidas agrárias é CENTESIMAL. As mudan­ ças de unidades são feitas deslocando-se a vírgula de DUAS em DUAS casas. MUDANÇAS DE UNIDADE Ia - Da maior para a menor 06 - Transformar em centiare: 23,4ha e 15,2a. Solução: 23,4ha = 234000ca 15,2a = 1520ca 512 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR 2a - Da m e n o r para a m aior 07 - Exprimir em hectare: 252,4a e 345,2ca. Solução: 252,4a = 2,524ha 345,2ca = 0,03452ha Importante: Entre as medidas de superfície e agrárias existe a seguinte relação: hectare = hectômetro quadrado =>ha — hm2 are = decâmetro quadrado => a = dam2 centiare = metro quadrado ca —m2 UNIDADES DE VOLUME v M ü ltrçfe ■hrnívi; 4-hv'-1 r km3 = quilômetro cúbico Múltiplos < hm3 = hectômetro cúbico vdam3 = decâmetro cúbico / dm3 = decímetro cúbico Submúltiplos < cm5 = centímetro cúbico Vmm1 = milímetro cúbico Observação: A relação entre as medidas de volume é CENTESIMAL. As mudan­ ças de unidades são feitas deslocando-se a vírgula de TRES em TRES casas. MUDANÇAS DE UNIDADE Ia - Da maior para a menor MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 513 08 - Exprimir em metros cúbicos as seguintes unidades: 24,5km5; 0,48hmJ; 43,5 dam5. Solução: 24,5km5 = 24.500.000.000m5 0,48hmv = 480.000m5 43,5 dam3 = 45.500m5 2- - Da menor para a maior 09 - Exprimir em hectômetro cúbico as seguintes unidades: 347,8tlam5; 32457,23m5; 47253,2dm5. Solução: 347,8dam’ = 0,3478hm’ 32457,23m5 = 0,03245723hm5 47253,2dm3 = 0,0000472532hm5 UNIDADE DE CAPACIDADE ( kí = quilolitro Múltiplos < h/ = hectolitro Vda/ = decaiitro / ái = decilitro Submúltiplos 07dam2. ' R: 736,967dam2 20 - Exprimir, em metros cúbicos, as medidas que se seguem: a) 25.387dm3 b) 46dm3 c) 2.845cm3 d) 2.845dam3 e)5,48dam3 ' f) 973dm3 g) 2.347cm3 h) 2.00Ò.347cm3 R: a) 25,387m3 b) 0,046m3 c) 0,002845m3 d) 2.845.000m3 e) 5.480m3 f) 0,973m3 g) 0,002347m3 h) 0,200347m3 $18 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 21- Efetuar as operações indicadas, dando os resultados em metros cúbicos: a) 283dm3 + 59.347cm3 + 2m3 + 54,47dm3 b) 28dam3 - 98,4m3 c) 28,45dm3 x 41,1 d) 283,8dam3 4,8 R: a) 2,396817m3 b) 27.901,6m3 c) l,169295m3 d) 59125m3 22 - Efetuar as adições abaixo, dando o resultado em decalitro: a) 6,4h/ + 360h/ + 64d/ b) 9,6k/ + 7da/ + 3,8h/ c) 9,1 da/ + 68/"+ 6.700c/ R: a) 3.664,64 da/ b) 1.003da/ c) 82,9da/ 23 ~Reduzir à grama as adições abaixo: a) 4kg + 6dag + 3dg b) ó,4kg + 37dg + 3kg c) 227dg + 328cg + 0,28dag R :a)4.060,3g b) 3.643,7g c) 28,78g O nosso estudo das figuras planas e dos sólidos se restringirá ao estritamente necessário, para que você fique apto a resolver as questões de concursos. Portanto, não entraremos em maiores detalhes sobre os ele­ mentos que poderíamos retirar dessas figuras e desses sólidos, como por exemplo, ângulos, diagonais, corda, apótema, etc. Veja, com atenção, as definições abaixo: Perímetro: Chama-se perímetro de uma figura plana a soma das medidas dos comprimentos de todos os seus lados. Área: E a medida de uma superfície ocupada por uma figura geo­ métrica plana. ' Volume: Chama-se volume de um corpo sólido a medida do espa­ ço ocupado por esse corpo. Saiba que as figuras planas, como por exemplo, o quadrado, o re­ tângulo e o losango, etc., só possuem AREA e PERÍMETRO; já os só­ lidos, como o cubo, o paralelepípedo, o cilindro, etc., só possuem AREA MAIEMÁ3ICAPARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 519 e VOLUME. Então, as figuras planas não possuem VOLUME e os sóli­ dos não possuem PERÍMETRO. É de fundamental importância que você conheça as fórmulas'que definem as áreas e os perímetros das figuras planas, bem como, os volu­ mes e as áreas dos sólidos. No nosso estudo representaremos a área por A, o perímetro por 2p e o volume por V. ÁREAS E PERÍMETROS DAS FIGURAS PLANAS Quadrado: E a figura geométrica piana que possui os quatro lados iguais. Área: É igual ao quadrado da medida do lado.j^g j i l Perímetro: E ig u a l a s o m a d a s m e d i d a s d o s la d o s .*** I Retângulo: É a figura geométrica plana que possui os lados opos­ tos paralelos iguais. Área: É igual ^ jp^^uto da base pela Perímetro: E o dobro da base soma­ do com o dobro da altu­ ras Losango: É a figura geométrica plana que possui os quatro lados iguais. D = diagonal maior; d = diagonal menor Área: É igual ao semiproduto de suas diagonais. Perímetro: É igual a soma das medidas dos ladosJ 520 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Trapézio: É a figura geométrica plana que possui apenas um par de lados opostos paralelos. Esses lados paralelos cha­ mam-se bases do trapézio. * B = base maior b = base menor h = altura 1 = lado Área: É igual ao semiproduto da soma de suas bases pela altura. A _ p l| Í s S Perímetro: É a soma das medidas das bases com o dobro do lado, se estes forem iguais.] Triângulo: £ a figura plana de três lados. *>/ / // // V h Área: E igual ao semiproduto da base pela altura. VX \ \ \ Perímetro: É igual a soma das medi­ das dos lados. Círculo: É a região, do plano delimitada por uma circunferência. Área: É igual ao produto do número % pelo qua­ drado do raio. fll| | lilÍ| f Olhe: i) O número %vale 3,14..., sempre dado nas ques­ tões, pois trata-se de um número irracional. ii) O diâmetro é o dobro do raio:; MATEMÁTICA PARÁ CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 521 Veja com atenção: Circunferência: é o conjunto de pontos que distam igualmente de um ponto fixo central. O comprimento da circunferência que determina o círculo é dado pela expressão: VOLUME E AREAS DOS SOLIDOS Definimos “Área Total” de um sólido, como sendo a soma de todas as áreas das superfícies que limitam esse sólido, isto é, a soma de suas áreas laterais, e “Área Lateral” será igual a área de uma face que constitui o sólido. Cubo: É a figura geométrica espacial que possui suas seis faces quadradas. Olhe: a = aresta do cubo. Volume: E igual a aresta ao cubo. Como a face ou o lado de um cubo é um quadrado de lado a, a sua área será A = a2. Como o quadrado possui 6 faces, a sua área total será dada por: 522 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Paralelepípedo Retângulo: É a figura geométrica espacial que possui os lados ou faces paralelos opostos iguais. / k Volume: É igual ao produto de suas três dimensões. / Àa ! \ --- ------ --- -- - — .......- ç?V —'a x'b x- c Como os lados dos paralelepípedos são retângulos, a sua área total é dada por: ................ • - -A-—2a f-$r.'2êv.'+ 2ca Prism a: O volume de qualquer prisma é dado por: onde B é a área da base e H a altura. A base de um prisma poderá ser um quadrado, um retângulo, um triângulo, etc. No nosso caso, como a base e as faces são retângulos, a sua área total será a soma das áreas desses retângulos. &i~r ■ -2cV+,'4 /.h Cilindro: O volume do cilindro é igual a área da base vezes a altura. A base do cilindro é um círculo, e como tal, de área igual a 7tR2. Então, o volume do cilindro é dado por: A área do cilindro será: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 523 Pirâm ide: É a regiào do espaço limitada pelos segmentos com uma extremidade num ponto P e outra como vértices de um polígono. Considerando que a base de uma pirâmide é uma hgura geométrica de forma variável, podendo ser um retângulo, um triângulo; o seu volume é calculado pela terça parte de sua base, vezes a altura. Cone: O volume do cone, assim como o da pirâmide é igual a terça parte da área da base vezes a altura. Esfera: $24 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 24 - Determine o perímetro de um retângulo cuja base mede 20cm e a medida da altura é igual a 3/5 da medida da base. S o l u ç ã o : 3 A medida da altura será: ~ x 20 = 12cm. 5 Como o perímetro do retângulo é dado por: 2p = 2b + 2h, temos: 2p = 2 x 20 + 2 x 12 2p = 40 + 24 2p = 64cm. 2 5 - 0 perímetro de um quadrado mede 32 metros. Calcule a área desse quadrado. Solução; Como o perímetro do quadrado é igual a 4/; então, vem: 4/ = 32 rz> / = 8m. Logo, a sua área será: A =82z^>A~ 64m2. 26 - A base de uma pirâmide é um retângulo de 3cm de comprimento por 2cm de largura. Sabendo que a altura da pirâmide mede lOcm, calcule o volume: Solução: B xH O volume da pirâmide é dado por V = --------, a base é um retângulo. * 3 Logo, a sua área sérá: B = 3 x 2 = > B = 6cm2. 6x10 Então, o volume é: V = ------- rr> V = 20cm3 3 27 - Calcule quantos ladrilhos de 24cm por 0,1 óm serão necessários para ladrilhar uma sala de 0,70dam por 96dm. O lh e : Será sempre melhor se trabalhar com zeros à direita do que com números decimais. Por issó, em todos os problemas, é mais conveniente se transformar as unidades, na menor. Solução: No nosso caso, devemos transformar todas as unidades em centí­ metros. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 525 Dimensões do ladrilho: 24cm e 0,16m = 16cm. Dimensões da sala: 0,70dam = 700cm e 96dm —960cm. Área da sala: A = 700 x 960 =r> A = 672.000cm2 Área do ladrilho: A = 24 x 16 n> A = 384cm2. Dividindo-se a área da sala pela área do ladrilho, teremos o número de ladrilhos. Logo: 672.000 + 384 = 1.750 ladrilhos. 28 - Os 3/5 do perímetro de um terreno quadrado são 60m. Calcule a área desse quadrado. R: 81 m2 29 - Calcule quantos ladrilhos de 0,36dm2 serão necessários para ladrilhar uma sala de 24m por 6m. R: 40.000 30 - Calcule o perímetro de um retângulo, em hectorneiro, cuja base é três vezes a altura, que mede 4 metros. R: 0,48hm 31 - Calcular a área, em metro, de um retângulo cujo perímetro mede 2,6dam, sendo o comprimento 3m maior do que a largura. R: 40m2 32 - Calcule a área, em dm2, de um depósito cúbico que tem 5m de aresta. R: 15.000dm2 33 - Calcule quantos metros de barbante serão necessários para dar 3 vol­ tas em um retângulo que tem l,25hm de comprimento e 7,5dam de largura. R: 1.200m 34 - Desejo cimentar um terreno retangular de 35m de frente por 62m de fundo. No centro desse terreno vai ser construída uma piscina quadrada de 15m de lado. Calcule quantos sacos de cimento serão utilizados, saben­ do-se que com uma saca cimenta-se 5m2. R: 389 sacos 526 HUDER GÓES * UBAJÜDO TONAR 35 - Custando o metro quadrado de cimento ? 1,80, calcule quanto pagarei para cimentar uma área circular de 24m de diâmetro. (71==3,14). R: $ 251,20 36 - Um terreno retangular de 30m de largura e 0,8hm de comprimento deve ser cercado de arame, cujo rolo de 20 metros custa $ 28,00. Calcule a despesa para cercar esse terreno com 5 voltas de arame. Solução: 0,8hm = SOm. O perímetro do terreno será: 2p = 2 x 30 + 2 x 80 2p = 60 + 160 ==> 2p = 220m. Como o arame deve dar 5 voltas, temos: 220 x 5 = l.lOOm. Em 1.100 teremos 55 rolos, pois 1.100 + 20 = 55. Como cada rolo custa $ 28,00 os 55 custarão $ 28,00 x 55 = $ 1.540,00. 37 - Um terreno deve ser cercado de arame, gastando-se 18,45dam, 4,845, 1.325dm e 5dam. Na cerca deve ter três fios dc arame avaliado em %0,50 o metro. Calcule o valor do arame que se deve comprar. R: %425,75 38 - Uma pessoa comprou um sítio de 1.400m de comprimento por l.lOOm de largura. Pretende ocupar 650 ares e o resto vai dividir em 5 lotes iguais. Calcule quantos centiares terá cada lote. Solução: Como o dam2 é igual ao are, vamos transformar as unidades dadas em dam. 1.400m = 140dam l.lOOm = HOdam A área do sítio, como é um retângulo, será: A = 140 x 110 => A= 15.400dam2 . Como o dam2 = are, a área do sítio será 15.400 ares. A área de 1.5.400 ares menos 650 ares ocupados, restam 14.750 ares de área livre que devem ser divididos em 5 lotes. Entào, 14.750 5 = 2.950 ares cada um. Transformando are em centiare, resulta: 2.950 are = 295.000ca. 3 9 - 0 lado de um quadrado mede 5cm. Calcular os lados de um retângulo de mesmo perímetro do quadrado, cuja base é o quádruplo da altura. R: 8cm e 2cm MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 527 40 - Calcule quantos metros de muro serão necessários para murar um terreno de forma retangular, no qual o lado maior mede 0,252km e o menor 1/3 do lado maior. R: 672m 41 - Uma chácara medindo o lado menor 4dam e o lado maior o triplo, está cercado com 4 fios de arame avaliado em $ 0,20 o metro. Calcule o valor a ser gasto para cercá~la. R: $ 256,00 42 - Calcule quantos metros de arame serão necessários para cercar um terreno retangular com l,5hm de comprimento e,8dam de largura, se nes­ se terreno deverão ficar duas porteiras com 300cm de comprimento cada uma e o arame da cerca deverá ser disposto em 3 voltas. R: 1.362m 43 - Calcule quantos pregos de 4,5cm se podem fazer com 58,75m de arame, sabendo-se que na fabricação se perdeu 2mm em cada prego. R: 1.250 pregos 44 - Uma pessoa construiu a quarta parte do comprimento de um muro, e, depois, mais 2/5. Se ainda faltam l/5mais 27m, calcule o comprimento do muro em decâmetro. R: 18dam 45 - Em um terreno de 40m de comprimento por 25m de largura é culti­ vado certo cereal. Sabendo-se que cada metro quadrado plantado produz 25 litros de cereal, e cada 16 decilitros é vendido à razão de $ 3,20, calcule o valor da plantação. R: %50.000,00 46 -.Em uma sala quadrada cujo perímetro mede 32m, estende-se um tapete quadrado cujos bordos ficam a l,5m das paredes. Calcule a área do tapete em dam2. 528 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Solução: O perímetro do quadrado é 2p = 4 /, logo 4 / = 32 i ~ 8111, que é o lado da sala. Como os bordos do tapete ficam a l,5m da parede, então 8m - 3m = 5m, que é lado do tapete. Como o tapete é quadrado a sua área será: A = 52 :z>A = 25m2 = 0,25dam2. - Em uma sala cujo perímetro mede 31m, estende-se um tapete quadrado cujas bordas ficam a 0,87m das paredes. Calcular o perímetro do tapete. R: 24,04m 47 48 - Em um salão retangular de 18,7m por 129m estende-se um tapete cujas bordas ficam a 0,5 3m das paredes. Calcule o perímetro do tapete. R: 58,96m - Um terreno retangular tem 12ó.Q00m2 de área e 2,8hm de largura. Se quisermos cercá-lo com 5 fios de arame, calcule quantos rolos de 40m serão necessários. R: 182,5 49 5 0 - Num terreno de forma retangular que mede 600m por 300m, abrem-se duas ruas perpendiculares entre si, e a igual distância dos limites do terreno. Fica, assim, o terreno dividido em 4 partes iguais. Sabendo-se que a largura das ruas é de 20m, calcular a área das duas ruas e a área de uma das partes. R: ó.OOOm2; 12.000m2 e 40.600m2 - Mediu-se a frente de um terreno e achou-se 2.425m. Verificou-se, depois, que a trena para a medição estava defeituosa, tendo 4 milímetros menos que o metro real. Calcular a verdadeira metragem. Veja: Para corrigir uma medida, quando a unidade de comprimento está errada PARA MENOS, multiplica-se a medida pela DIFERENÇA da unidade de comprimento com o erro. Solução: Transformando 4mm em metros, temos: 4mm = 0,004m. Logo a diferença será: lm —0,004m = 0,996m, que multiplicada pela medida en­ contrada temos: 2.425 x 0,996 = 2.415,3m 51 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 529 52 - Mediu-se a frente de um terreno e achou-se 2.965m. Verificou-se que a trena que serviu para a medição estava errada, tendo 3 milímetros mais que o metro legal. Calcule a verdadeira frente do terreno. V e ja : Para corrigir uma medida, quando a unidade de comprimento está errada multiplica-se a medida pela da unidade de comprimento com o erro. P A R A M A I S , S O M A S o l u ç ã o : Transformando 3mm em metros, temos: 3mm = 0,003m. Logo, a soma será: Im + 0,003m = 1,003, que multiplicada pela medida encontrada, temos: 2.965 x 1,003 = 2.973,895m. 53 - Mediu-se o perímetro de um terreno e achou-se 120 metros. Verifi­ cou-se, depois, que a trena que serviu para a medição estava errada, tendo 5 milímetros a mais que o metro legal Calcule o verdadeiro perímetro do terreno. R: 120,6m 54 - Mediu-se o comprimento de uma peça de tecido, com uma fita de um metro e achou-se 32,4m. Mas a fita era defeituosa, pois tinha 3 milímetros a menos que o metro legal. Calcular o verdadeiro comprimento da peça de tecido. R: 32,3028m 55 - Mediu-se o comprimento de um corredor com uma régua de um metro e achou-se 74,8m. Mas a régua estava defeituosa e tinha 4mm mais que o metro legal. Calcule o comprimento exato do corredor. R: 75,0992m 56 - Mediu-se o comprimento de uma peça de seda com uma fita de um metro e achou-se 47,6m. Mas a fita estava defeituosa e tinha 4mm menos que o metro legal. Determine o comprimento exato da peça de seda. R: 47,4096m 57 - Um campo retangular tem o perímetro de 780m. A diferença entre o comprimento e a largura é de 150m. Calcule a área desse terreno em hectare. *R: 3,24ha 530 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 58 - A largura de um terreno está para o seu comprimento, assim como 3 está para 8. Calcule, em are, a área desse terreno, sabendo-se que o seu perímetro é de 220 metros. R: 24a 59 - As dimensões de um terreno são: lOOm de comprimento por 40m de largura. Se diminuirmos em 20% o comprimento, calcule quanto por cento deveremos acrescentar à largura para que a área desse terreno seja a mesma. R: 25% 60 - Um terreno mède 25 m por 50m, e outro tem mais 20% em cada medida. Calcule de quanto por cento a área desse outro terreno excede à do primeiro. R: 44% 61 - Numa extensão de 100 metros, desejamos fazer uma cerca composta de traves separadas por 5 metros uma da outra. Calcule quantas traves teremos de usar: a) colocando-se traves nas extremidades; b) não colocan­ do-se traves nas extremidades. Solução: Basta dividirmos a extensão de lOOm pelo espaçamento entre duas estacas, que é de 5m e que: a) Desejando colocar traves nas extremidades, soma-se uma unidade. 100 * 5 = 20 + 1 = 21. b) Não colocando traves nas extremidades subtrai-se uma unidade. 100 4- 5 = 2 0 - 1 =19; 62 - Uma grade, terminada nas duas extremidades por colunas de cimento armado, tem suas hastes colocadas verticalmente, separadas de 2 metros uma da outra. Calcule quantas hastes tem essa grade, sabendo-se que o seu comprimento total é de 120m. R: 59 hastes 63 - Um terreno de forma retangular tem 300m de comprimento e lOOm de largura. Cerca-se o terreno com estacas colocadas a intervalos de 5 metros. Calcular quantas estacas foram utilizadas sabendo-se que há uma estaca em cada canto do terreno. R: 160 estacas MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 531 64 - Um terreno de forma retangular tem 15dam2 de área e 500dm de comprimento. Cerca-se esse terreno com estacas colocadas a intervalos de 5 metros. Calcule quantas estacas foram utilizadas, sabendo-se que haverá uma estaca em cada canto do terreno. R: 32 estacas 65 - Num cinema a parede do fundo está a 35m de distância da tela. Para instalar as cadeiras desse cinema serão traçadas no chão linhas paralelas à tela. A primeira linha ficará a 5m da tela e a última linha ficará a l,2m da parede do fundo. Supondo que a distância entre as linhas paralelas sejam de 80cm uma da outra, calcule o número de linhas que serão traçadas. R: 37 linhas 66 - Numa extensão de 6,90m queremos fazer uma cerca composta de traves de madeira com 0,15m de espessura e separadas de 0,60m. Calcu­ le quantas traves teremos de usar, pondo-se também uma trave em cada extremidade. R: 10 67 - Calcule quantos metros andou uma pessoa que deu 3 voltas em redor de uma praça circular de 20m de diâmetro. R: 188,4m 68 - Calcule quantos metros andou um cavalo que deu 3 voltas em redor de uma praça circular de 50m de raio. R: 942m 6 9 - A área de um losango é 150m2 e suas diagonais estão entre si como 1 está para 3. Sabendo-se que seu lado é a metade da maior diagonal, calcule, em decâmetro, o perímetro desse losango. R: 6dam 70 - Em um jardim de 8m de comprimento por 450cm de largura há dois canteiros que ocupam, respectivamente, 1/5 e 1/6 do jardim. Calcule o 532 HILDER GÓES * UBALDO TONAR comprimento de cada canteiro, sabendo-se que cada um tem, respectiva­ mente, 2m e l,5m de largura. R: 3,6m e 4m 71 - Uma propriedade de lOha de superfície foi atravessada por uma estra­ da de 4,5km de comprimento por 12m de largura. Calcule a quantos ares ficou reduzida a propriedade. R: 460a 72 - Sabe-se que um cavalo deu 8 voltas em redor de uma propriedade retangular e andou 208dam. Calcule o comprimento desse terreno, se a largura é de 50m. R: 80m 73 - Uma casa tem três salas. O chão de uma delas é um quadrado e os das outras duas sào retângulos com a mesma largura do quadrado e de com­ primentos iguais a 5m e 4m. Se as três salas têm juntas 36m2 de área, calcule a área da sala cujo chão é um quadrado. 1 R: 9m2 74 - Numa sala retangular as dimensões sào 8m de comprimento, 4m de largura e 3m de altura. Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2 de parede desta sala. Calcule quantos metros quadrados de parede faltam ser pintados ao findar a lata de tinta. R: 22m 75 - Deseja-se pintar uma sala retangular, inclusive o teto, cujas dimensões são: 8m de comprimento, 4m de largura e 3m de altura. Calcule quantos decalitros de tinta são necessários, sabendo-se que existe uma porta e uma janela que ocupam 4m2 dè área e que com um litro de tinta se pinta 5m2 de parede R: 2dal 76 - Um aposento de 6,5m de comprimento, 5,4m de largura e 3,8m de altura tem duas portas e duas janelas. As portas têm, cada uma, 2,5m de altura e l,2m de largura. As janelas tem 2 m de altura por l,5m de largura. Calcule a superfície livre das paredes. R: 78,44m2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO —SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 533 77 - A área de um retângulo é de 40m2. Aumentando-se cada dimensão do retângulo, isto é, comprimento e largura, de 3 metros, sua áxea original aumentará de 48m2. Calcule o perímetro desse retângulo. R: 26m 78 - Aárea de um retângulo é de 486m2. Aumentando-se cada dimensão do retângulo, isto é, comprimento e largura, de 2m, a sua área original passa a ter 580m2. Calcule o perímetro desse retângulo. R: 90m 7 9 - 0 telhado de um galpão tem 37,5m2. Calcule quantas telhas de 2,5dm2 serão necessárias para cobri-lo, se ao colocá-las, são superpostas de tal forma que perdem l/4de sua área. R: 2.000 telhas 80 - Quatro círculos iguais,, de raio K, estão inscritos em um quadrada Calcule a área do quadrado, sabendo-se que os círculos se tangenciam entre si e com os lados do quadrado. R: lók2 81 - Se o raio de um círculo é aumentado de 100%, calcule de quanto por cento ficará aumentada a área desse círculo. R: 300% 82 - Calcule, em are, a área de um terreno retangular de perímetro igual a 300m, sabendo-se que o seu comprimento e a sua largura são números diretamente proporcionais a 4 e 2, respectivamente. R: 10a 83 - Calcular o volume de água contida numa caixa que tem 120cm de altura, 18dm de largura e 0,22dam de comprimento. Solução: Como o litro é igual ao dm3, vamos transformar as unidades em decímetro. 120cm = 12dm; 18dm = 18dm; 0,22dam = 22dm O volume da caixa será: V “ 1 2 x l 8 x 2 2 = > V := 4.752dm3 = 4.752 litros. 534 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 84 - Calcular quantos litros de água recebe, por minuto, um reservatório em forma de paralelepípedo retângulo, que mede 5m de comprimento, . 3,5m de largura e 2m de profundidade, sabendo-se que ele enche, total­ mente, em 40 minutos. Solução: Transformando todas as unidades em decímetro, temos: 5m = 50dm; 3,5m = 35dm; 2m = 20dm. O volume do reservatório será: V = 50 x 35 x 20 =>V = 35.000dm3, que eqüivale a uma capacidade de 35.000 litros. Então, temos: 35.000 40 = 875 litros. 85 - Um tanque mede 30dm de comprimento, 240cm-de largura e l,60m de altura e está cheio de óleo. Cada h / desse óleo pesa 8 quilos. Calcule o peso do óleo que enche o reservatório. R: 9.21 ókg 86 - Calcule quantos litros de água há num reservatório de 2,2m de largura por 0,35dam de comprimento e 15dm de altura, se está cheio até os seus 2/3. R: 7.700 litros 87 - Coloca-se, em um recipiente cheio de água até as bordas, um corpo sólido com 50cm de comprimento, lm de largura e 400mm de altura. Calcule o volume de água que transbordará do recipiente. Veja: O volume de um líquido que transborda de um recipiente totalmente cheio, quando nele se coloca um sólido, será igual ao volume desse sólido. Solução: Transformando as unidades em decímetros, temos: 50cm = 5dm; lm = lOdm; 400mm = 4dm. Então, o volume de água que transbordará será: V = 5 x l 0 x 4 = > - V = 200dm3 /. 200 litros. 88 - Num vaso cheio de água, mergulha-se um corpo de 72cm de compri­ mento por 25cm de largura e 20cm de altura. Calcule quantos litros de água transbordarão do vaso. R: 36 litros MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 535 89 - Um reservatório de forma cilíndrica contém azeite adquirido ao pre­ ço de $ 1,00 o litro. Esse reservatório está cheio até os 3/4 do seu volume. Calcule o valor do azeite, çabendo-se que as dimensões desse reservatório sào: diâmetro interno 2 metros e altura igual a l,8m. Solução: Transformando as unidades para decímetro, temos: 2m = 20dm e l,8m = 18dm Como o diâmetro é 20dm o raio será lOdm. Basta, agora, aplicarmos a fórmula do volume do cilindro, que é: V = tcR2H. Entào, V = 3,14 x 102 x 18 r^> V = 3,14 x 100 x 18 V = 314x 18 z> V = 5.652dm3 que corresponde a 5.652 Htros. Como o reservatório está cheio até os seus 3/4, temos 3/4 x 5.652 —4.389/. En­ tào, o valor do azeite será: 4.239 x 1,00 = %4.239,00. 90 - Um reservatório cilíndrico com 2,7m de altura e l,8m de diâmetro está completamente cheio de querosene. Calcule quantas latas de 18 Htros se podem encher com o querosene desse reservatório. R: 381,5 latas 91 - Um depósito cilíndrico de raio igual a 2m e altura de lOm está cheio de óleo. Calcule o valor desse óleo, sabendo-se que o decilitro custa $ 1,00. R: $ 1.256,00 92 - Calcular o volume, em hectolitro, de um cilindro de 5dm de raio, cuja altura tem a mesma medida do diâmetro da base. R: 7,85h / 93 - Calcule a altura, em centímetro, de um cilindro de 20cm de raio e 314dm3 de volume. R: 250cm 536 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 94 - Um reservatório, com a forma de um cilindro, cujas dimensões são metros de raio e 0,018hm de altura, contém vinho até 2/3 de seu volume. Calcule quantos centilitros de vinho contém esse reservatório. R: 840.000c/ 95 - Um reservatório circular possui 6,28m de contorno e 3m de profun­ didade. Calcule a sua capacidade em centilitros. R: 942.000c/ 96 ~Do vinho de um tonel, um lavrador vendeu 4,5h/ e o resto repartiu entre 40 pessoas, cabendo a cada uma um garrafào de 5 litros. Calcule quantos decalitros havia no tonel. R: 65da/ 97 - Calcule a diferença de capacidade que há entre um tanque quadrado de 12m de lado e outro circular de 12m de diâmetro, se a profundidade de ambos é de 3m. R: 92.800/ 98 - Enchi um tanque de lm de comprimento, 80cm de largura e 600mm de altura com 30 latas de água da mesma capacidade. Calcule a capacidade, em litros, de cada lata. Solução; Transformando, as unidades para decímetro, temos: lm = lOdm; 80cm = 8dm; 600mm = ódm. O volume do tanque será V —1 0 x 8 x 6 => V = 480dm3. Portanto, comporta 480 litros, que divididos por 30, resulta 480 4- 30 = 16 litros 99 - Calcular em kg, a massa de ar contida em uma sala de 6m de compri­ mento por 5m de largura e 3,8m de altura. R: 114.000kg 100 - Calcule quantos hectolitros de água contém um depósito cúbico de 0,02hm de aresta. R: 4hl MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 537 101 - Um reservatório tem 25m de comprimento, lOm de largura e contém 20.000h / de água. Calcule a altura desse reservatório. R: 8m 102 - Um reservatório contém l,8m 3 de óleo. Calcule quantas latas de 150d/ estao contidas nesse reservatório, se está cheio até os 5/6 de sua altura. Solução: Transformando l,8m 3 em dm3, temos: l,8m 3 = 1.800dm3 que eqüivale a 1.800 litros. Mas, 1.800/ = 18.000d/. Calculando 5/6 de 18.000, resulta: 15.000d/que dividido por 150d/, vem: 15.000 ~ 150 = 100 latas. 103 - Para esvaziar uma caixa de água que mede 25dm de comprimento, 180cm de largura e 0,15dam de altura e que contém água até os seus 0,2m de altura, usaram-se baldes de 150d/ de capacidade. Calcule quantos bal­ des foram necessários. R: 90 baldes 104 - A altura de um paralelepípedo retangular mede 5m. A soma das dimensões da base é igual a 8m, sendo uma o triplo da outra. Calcule o volume desse paralelepípedo. R: 15m3 105 - Calcule o peso, em decagrama, da água contida num reservatório de 0,03dam de comprimento, 0,5m de largura e 4 dam de altura. R: 6.000dag 106 - O perímetro de uma das faces de um cubo mede 28cm. Calcule quantos metros tem a soma de todas as suas arestas e quantos centilitros de água derramaria ao ser imerso totalmente dentro de um recipiente cheio até as bordas. R: 0,84m e 34,3c/ 538 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 107 - O tanque de um automóvel mede 80cm de comprimento, 30cm de largura e 30cm de altura. Calcule o seu volume em dm3 e sabendo que o automóvel consome 12 litros de gasolina para cada lOOkm, e a distância que poderá percorrer com o tanque cheio. R: 72/e 600km 108 - Calcule o valor do vinho contido em um depósito de 0,5m de largu­ ra, 0,8dm de comprimento e 60cm de altura, sabendo-se que o decaütro é vendido à razão de $ 2,00. R: 1 4,80 109 - Calcule o volume, em cm3, de um cubo cuja área total é de 150cm2. R: 125 cm3 110 - A altura de um paralelepípedo retangular é 3cm. Se o comprimento é o dobro da largura e a área total é de 13ócm2. Calcule o volume desse sólido, em cm3. R; 96cm3 111 - Pará acabar de encher uma caixa d’água que mede 12dm de compri­ mento, 80 cm de largura e 0,5m de altura e que contém água até 0,4 de sua altura, usou-se uma lata de lóOd f de capacidade. Calcule quantas latas foram necessárias. Solução: Passando as unidades para dm, temos: 80cm = 8dm e 0,5m = 5dm. O volume da caixa será: V = 1 2 x 8 x 5 zz>V = 480dm3 que eqüivale a 480 litros. Como está cheia até os 4 2 2 seus 0,4, isto é, até 0,4 = — =~> t e m o s x 480=192 / ’ 10 5 5 480 (capacidade total) -192 (conteúdo) = 288 litros que faltam para encher, mas 288/ = 2880d/-s- lóOd/ (capacidade da lata) = 18 latas 112 - Uma caixa d’água tem as seguintes dimensões: l,20m de comprimen­ to, 0,8m de largura e 50cm de altura. Calcule quantos centilitros de água há nessa caixa, sabendo-se que faltam 5cm para ficar cheia. R: 4.320d / MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 539 113 - Um litro de óleo pesa 0,95kg. Calcule a massa de óleo contida em 2/5 de um reservatório que mede 45dm de comprimento, 3m de largura e 0,4dam de altura. R: 20.520kg 114 - Calcule o peso da água, em quilograma, contida em uma caixa d’água cuja altura é o dobro do comprimento e este o triplo da largura, sabendo-se que a soma das três dimensões é de 30 metros. R: 486kg 115 - Calcule o volume, em metros cúbicos, de um paraielepípedo retangu­ lar cuja soma de todas as suas arestas é 48m, sabendo-se que as dimensões de três destas arestas são números inteiros e consecutivos. R: 60m3 116 - Calcule o peso do ar contido em uma bola de 0,3m de raio, sabendo-se que o litro do ar pesa l,35g. R: 152,604g 3j_ 117 - Um tanque de forma esférica tem um raio interno igual a v metros. Calcule a sua capacidade em decalitro. R: 400da/ 118 - Uma esfera tem 36 iz m3 de volume. Calcule a área máxima de um círculo contido nessa esfera. R: 9 7t 119 - Sabe-se que ao congelar-se, a água aumenta 1/15 do seu volume. Calcule quantos Htros de água serão necessários para fundir-se em um bloco de gelo de 0,50m de comprimento, 0,30m de largura e 0,40m de altura. R: 56,25/ $40 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 120 - Um depósito com 300cm de comprimento, 0,2dam de largura e 40dm de altura co n tém óleo até os seus 2/3. Tirando-se 2m3 de seu conteúdo, calcule quantos hectolitros de óleo serão necessários para enchê-los, R:100h/ 121 - Um depósito com 500cm de comprimento, 0,6dam de largura e 8m de altura, contém blocos cúbicos de 0,2m de aresta até os seus 3/4. Calcu­ lar quantos desses blocos estão guardados no depósito e quantas latas de lS.OGOm/ serão necessárias para acabar de enchê-lo. R: 2.250 blocos e 400 latas. 122 - Calcule quantos hectolitros de água existem em um depósito, saben­ do-se que o seu comprimento, largura e altura são diretamente proporcio­ nais aos números 5, 3 e 2 e que a soma dessas três dimensões é igual a 30 metros. R: 8.100h f MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 541 41 QUESTÕES DE CONCURSOS - S istem a M é t r ic o D ec im a l 01) CJF - Uma caixa cTágua tem as seguintes dimensões internas: 4m de comprimento; 2,5m de largura e l,5m de altura. Estando cheia até 3/5 do seu volume máximo, ela contém um volume de: a) 12 m5 b) 6 m* c) 15 m3 d) 9 m3 e) 18 m5 02) CJF - Um vinicultor tem estocado 20 barris de vinho, com 150 Etros cada um. Vai engarrafá-los em frascos que contém 0,75 litros cada. Quantos fracos serão necessários a) 2.600 b) 3.500 c) 4.000 d) 400 e) 350 03) TRE - Em uma sala retangular que mede 8 m por 6 m e tem 2 portas de 1,5 m de largura deseja-se colocar um rodapé de 20 cm de altura empregan­ do-se azulejos quadrados de 2 dm de lado. Quantos azulejos serão necessários, a) 80 b) 100 c) 450 d) 300 e) 125 04) AFRE —Um carpinteiro está colocando rodapé em torno de 2 quar­ tos. Um, retangular, tem 2 portas de 90 cm de largura e mede 3,5 m de largura por 4m de comprimento. O outro é um quadrado de 4m de lado e tem 3 portas de 90 cm. No total, a metragem de rodapé necessária, será de: a) 2.750 b) 2.500 c) 2.450 d) 2.650 e) 2.850 05) AFRE —Um reservatório de água tem a forma de um cubo de 3m de aresta e está cheio de água. Se forem consumidos 5.400 litros de água, o nível da água diminuirá: a) 60 cm b) 54 cm c) 6 cm d) 30 cm e) 3 cm 06) AFRE - Para transportar a terra retirada para a construção de uma piscina retangular de 15m de comprimento por 6m de largura, foi necessá­ 542 HILDER GÓES * UBALDO TONAR rio encher 2 caminhões que transportam 90 m1 de material cada um. A profundidade da piscina é de: a) 4m b) 2m c) 6m d) 5m e) 3m 07) TCC- Um recipiente contém água pura à temperatura de 4°C. A massa dessa água é de 27.000 kg. Qual é o volume interno desse recipiente em m3. a) 0,27 b) 2,7 c) 27 d) 270 e) 2.700 08) TCC —Um terreno foi dividido em três lotes: o primeiro com a área de 26 dam2, o segundo com uma área de 7.450 dm2 e o terceiro com uma área de 0,681 hm2. A área total do terreno, em metros qua­ drados, é: a) 1.452 b) 1.452,50 c) 9.475,50 d) 8.484,50 e) 9.484,50 09) BB - Comprei 10 hectares de terra por CR$ 1.500.000,00. Em segui­ da, vendi a metade por CR? 1.000.000,00. Por quanto deverei vender o metro quadrado do restante, para obter um lucro total de 200% sobre o valor da compra. a) CR$ 35,00 b) CR$ 40,00 c) CR$ 50,00 d) CR$ 60,00 e) CRS 70,00 10) BB - Uma bicicleta rodou noventa minutos, à velocidade de 62,8 Km por hora. Se suas rodas têm diâmetro de 0,40m, quantas voltas deu cada roda? Considerar % = 3,14. a) 37.500 b) 42.000 c) 65.500 d) 75.000 e) 82.000 11) BB - Um.terreno retangular mede 300 m de frente e sua área é de 360.000 m2. Quantos metros preciso para fazer uma cerca de 4 fios ao seu redor. a) 3.000 b) 6.000 c) 8.000 d) 9.000 e) 12.000 12) B B - Calcule a área do triângulo cuja altura m ede 35 cm e cuja base é igual ao lado de um quadrado que m ede 196 cm 2 de superfície. a) 245 cm2 b) 24,5 cm2 c) 2,45 cm2 d) 2.450 cm2 e) 245,5 cm2 MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 543 13) BB - Uma sala é forrada com placas de gesso quadradas, de 5 dm de lado. Se a sala possui sete placas de largura e nove de comprimen­ to, qual a área da sala? a) 1.575 cm2 b) 1.575 dm 2 c) 157,5 cm2 d) 15.750 cm2 e) 15,75 cm2 14) BB - Assinale a afirm ativa correta; a) 1 hm2 = 10 m2 b) 1 cm2 = 10 dm2 c) 10 dm2 “ 100 cm2 d) 1 dam2 = 1.000 cm 2 e) 1 m 2 ~100 dm2 15) BB - A base de um triângulo m ede 1 palito mais 3cm e, sua altura 1 palito menos 2 cm. Sabendo-se que sua área é de 12 cm2, quantos centímetros tem a base a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 ' 16) BB - Escolha o equacionamento adequado para a resolução do problema seguinte: “Quais as dimensões de um retângulo que têm 28,4 m de perímetro e 49,6 m2 de área”. 17 BB - Gabriel joga um brinquedo dentro de uma piscina com 2 m dTe comprimento de 1,5 m de largura, cuja nível da água está a 0,5 m acima do fundo. O brinquedo afunda e o nível se eleva a 0,51 m. Volume, em vlitros, ocupado pelo brinquedo: a) 60 b) 50 c) 40 d) 30 e) 20 18 M P U - Vou atapetar um a sala com 7,5 m de comprimento por 3,20 m de largura, com. um tapete que custa CR$ 125.000,00 o metro quadrado e ainda vou pagar CR$ 115.500,00 pela entrega e coloca­ ção. Quanto vou gastar. a) CR| 4.155.000,00 b) CR$ 3.115.500,00 c) CR| 2.615.500,00 d) CR$ 2.384.500,00 e) CR$ 1.115.500,00 544 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 19) M PU - Em um. quadro negro retangular, a base m ede 14 cm e é igual ao dobro da largura; então o perímetro desse quadro, em metros, é igual a: a) 4,2 m b) 3,5 m c) 0,42 m d) 0,28 m e) 0,21 m 20) M P U - Qual é o volume, em m 3, de um reservatório de 19 m de comprimento por 6 dm de largura e cuja altura é o dobro da largura. a ) 13680 m3 b ) 1368 m3 c) 1,368 m3 d) 13,68 m 3 e) 136,8 m3 21) M PU - Um reservatório em forma de paralelepípedo retângulo de 24,5 metros de comprimento, 1,6 decâmetro de largura e 0,045 hectômetro de profundidade, contém certa quantidade de leite. Sa­ bendo-se que esse leite ocupa 3/5 da sua capacidade e que um litro pesa 1.020 gramas, o seu peso, em toneladas, é de: a) 1.079,568 b) 5.397,84 c) 1.799,28 d ) 1.079,568 e) 1.799.280 22) M P U - U m ch acareiro g asto u C R f 1 0 .0 0 0 .0 0 0 ,0 0 , sendo C R$ 2.742.400,00 em serviços e o restante em sem entes à razão de C R f 48.000,00 o decalitro, para sem ear um terreno de form a re­ tangular, cujo com prim ento é de 420 metros. D eterm ine a largura desse terreno, sabendo-se que em cada are foi plantado 1 litro de sementes. a ) 380 m b) 360m c) 320m d) 260m e) 180m 23) M PU - Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um depósito de água, cuja capacidade é de 7.680.000 litros, são propor­ cionais, respectivamente, aos números 10, 6 e 2; nessas condições, a medida da largura desse depósito é de: a ) 8m b) 12m c) 40m d) 16m e) 24m 24) T ST - Um reservatório contêm 1 dam 3, 2 m3, 800 dm3 e 1200 cm3 de água. A sua capacidade expressa em litros é: a ) 10.281,2 b) .102.812,0 c) 1.028.001,2 d) 100.281,2 e) 1.002.801,2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 545 25) T R T - A área de um terreno retangular, cujas dimensões sào, 0,024 Km de comprimento por 1,5 dam de largura, expressa em metros quadrados, é: a) 3,6 b) 3,9 c) 320 d) 360 e) 390 26) TR T - Uma pessoa tem duas folhas de cartolina, ambas quadra­ das e com superfície de 2.304 cm2 e 1.296 cm2 e deseja recortá-las em quadrados, todos iguais e de m aior área possível. O lado de cada quadrado medirá a) 10 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 13 cm e) 14 cm 27) T R T - As dimensões de um retângulo estão entre si na razao 3/4. Se a soma dessas dimensões é 14 cm, a área do retângulo, em centí­ metros quadrados é: a) 14 b) 24 c) 36 d) 48 e) 96 28) T R E -U m caminhão comporta uma carga de até 2,3 toneladas (1 tonelada eqüivale a 1.000 quilogramas). Se um a caixa de certo material pesa 18,5 quilogramas, a maior quantidade dessas caixas que o caminhão comportará é a) 12 b) 124 c) 125 d) 130 e) 1.240 29) TR E - Uma caixa d'água tem sua base retangular, medindo 6 m de comprimento por 3 m de largura. Se ela tem 2 m de altura, quantos litros de água comportará quando esriver totalmente cheia? a ) 3,6 b) 36 c) 360 d) 3.600 e) 36.000 30) T JC - Uma caixa de injeções contém 4 ampolas de 12 m l cada uma de um produto revigorante. Um laboratório que tem 6 nr* desse produto para em b alar nesse m odelo, p o d erá p ro d u zir, desse revigorante: a) 10.000 caixas b) 1.500.000 caixas c) 500.000 caixas d) 125.000 caixas e) 50.000 caixas 31) T JC - Numa cozinha de 3 m de comprimento por 2 m de largura e 2,80 m de altura, as portas e janelas ocupam uma área de 4 m2. Para a2ulejar as 4 paredes e ladrilhar o piso, o pedreiro aconselha a com­ 546 HILDER GÓES * UBALDO TONAR p r a r 10% a mais de m etragem a ladrilhar e a azule]ar. A metragem de ladrilhos e azulejos a comprar é , respectivamente: a) 6 m 2 e 24,40 m 2 b) 5,50 m2 e 25,50 m 2 c) 6,60 m 2 e 26,40 m2 d) 6 m2 e 26,80 m2 e) 5,50 m 2 e 26,80 m2 32) T T N - Uma piscina contém 30 ld de água. Admitindo-se que a água seja pura, a sua massa em toneladas é de: a) 3 b) 30 c) 300 d) 3.000 e) 30.000 33) T T N - Se 300 cm3 de uma substância têm uma massa de 500 g, quanto custarão 75 dl (decilitro) dessa substância, sabendo-se que é vendido a Cr$ 25,50 o quilograma. a) Ct$ 3.187,50 b) Cr$ 31,87 c) Crf 381,75 d) Cr$ 318,75 e) Cr$ 31.875,00 34) T T N - No interior de um colégio há um grande pátio quadrado eomposto de uma área calçada e outra não calçada, destinadas aos alunos. A área calçada está em redor da área não calçada e tem uma largura de 3 m de seus lados paralelos. A área da parte não calçada está para a área total do pátio, assim como 16 está para 25. O lado do pátio mede: a) 36 m b) 24 m c)18m d) 32 m e) 30 m 35) T T N - Um reservatório d’água possui uma capacidade de 921,6 m 3. Necessitando-se aumentar sua capacidade de 2/5 e sabendo-se que foram aumentados 1,6 dam de comprimento e 0,96 dam na lar­ gura, quantos metros deverão ser aumentados na altura. a) 2,4m b) 3,4m c) 2,6m d) t,92m e) 3,6m 36) T T N - Um arquiteto planejou uma caixa~d’água de base quadra­ da, para 2.000 Htros de capacidade, com altura igual ao dobro do lado. Na execução da obra, o construtor fez o lado igual à altura planejada. Sabendo-se que a caixa-d’água continuou com a mesma capacidade, a nova altura mede: a) 0,7 m b) 2 m c) 1,5 m d) 1 m e) 0,5 m MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 547 37) T T N - 100 dm x 0,1 dam x 100 mm, é igual a: a) 0,010 m 3 b) 10 m3 c) 100 m3 d) 1 m 3 e) 0,100 m3 38) T T N - Uma sala de 0,007 Km de comprimento, 80 dm de largu­ ra e 400 cm de altura, tem um a porta de 2,40 m2 de área e um a janela de 2 m2 de área. Sabendo-se que um litro de tinta pinta 0,04 dam2, indique a alternativa que contém a quantidade de tinta necessária para pintar a sala toda, inclusive o teto. a) 59,4 litros b) 35,9 litros c) 44 litros d) 440 litros e) 42,9 litros 39) T R E - As dimensões de um terreno retangular são: 80m de com primento por 12m de largura. E m um outro terreno, a m edida do comprimento é 80% da m edida do com prim ento do primeiro. Se ambos tem a mesma área, a largura do segundo terreno é, em metros: a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 40) T JC E - Em quanto tempo uma torneira, de vazão igual a 60 1/ min, enche uma caixa d’água de 3m x 4m x 5m a) 10 min b) lh 40 min c) 9h lOmin d) 12h 30min e) 16h 40min 41) T JC E - Um comprimento. A a) 5 Km2 d) 0,005 Km2 terreno retangular tem lOOm de largura e 50m de área desse terreno é de: b) 0,5 Km2 c) 0,05 Km2 e) 0,0005 Km2 42) C P R M - 2,53 m 2 é igual a a) 253 cm2 b) 2.530 cm2 c) 25.300 cm2 d) 253.000 cm2 e) 2.530.000 cm2 43) T R T - Assinale a igualdade verdadeira: a) 3 Km2 = 3.000 m2 b) 3,25 m = 32,5 dam c) 0,3 m3 = 0,0003 dm3 d) 282 .dm = 28.200 m m e) 5.000 cm 3 = 5001 548 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 44) T T N - Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais 0,72 Km e, no terceiro dia, mais 12.500 cm. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma dis­ tância de: a) 1.450 m b) 12.506,77 m c) 14.500 m d) 12.500 m e) 1.250 m 45) T R F - Quantos centímetros cúbicos há em um decalitro. a) 100 b) 1.000 c) 10.000 d) 100.000 e) 1.000.000 46) T R T - Calcular o comprimento resultante: 0,2 Km —2,5 x 48 m + 355 cm + 90 mm a) 2655 cm b) 14354 mm c) 84,45 m d) 3204,45 m e) não é possível 47) T R T - O piso de uma sala com dimensões (comprimento e lar­ gura) 8 m e 6,60 m foi coberto com carpete de madeira. Cada tábua tem um comprimento de 2 m e largura de 15 cm. Quantas tábuas foram necessárias. a ) 18 b) 44 c) 88 d) 176 e) 352 48) T R T - As paredes laterais e o teto de uma sala serão pintadas. Suas dimensões são: o comprimento tem 8m, a largura tem 7 m e a altura tem 3 m. A descontar,'temos uma porta de 2,25 m por 80 cm e três janelas de 1,50 m por 1,60 m, cada. Qual a área a ser pintada, a) 193 m2 b) 155 m2 c) 141,80 m2 d) 137 m2 e) 92 m 2 49) BM - Tem-se uma folha de papel de formato retangular, medindo 30 cm de comprimento por 16 cm, de largura. Resumindo-se o compri­ mento em 20% de seu valor, em que porcentagem sua largura deve ser aumentada para obter-se um retângulo de mesma área que a anterior, a ) 18% b) 18,5% c) 20% d) 22,5% e) 25% 50) BM - Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo, com as seguintes dimensões: 2,50 m de comprimento, 1,20 m de largura e 0,80 m de altura. A capacidade desse tanque, em litros, é: a) 45 b) 240 c) 450 d) 2.400 e) 4.500 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 549 51) T T N - Uma indústria possui, em seu reservatório, 0,25 dam 3 + 150 m3 + 22.000 dm3 + 3.000.000 cm 3 de óleo de soja. A empresa pretende embalar o produto em latas de 900 ml. Sabendo-se que no processo de embalagem há uma perda de 1% do líquido, o número de latas de soja que a indústria produzirá é a) 459.500 b) 467.500 c) 460.300 d) 425.300 e) 456.800 RESPOSTAS 01) D 08) E 15) B 22) B 29) E 36) E 43) D 50) D 550 02) C 09) E 16) E 23) E 30) D 37) D 44) A 51) B 03) E 10) D 17) D 24) E 31) C 38) E 45) C 04) D 11) E 18) B 25) D 32) B 39) D 46) C HILDER GÓES * UBAIJDO TONAR 05) A 12) A 19) C 26) C 33) D 40) E 47) D 06) B 13) B 20) D 27) D 34) E 41) D 48) D 07) C 14) E 21) A 28) B 35) A 42) C 49) E 4 ESCALA DEFINIÇÃO: É a relação que existe da distância entre dois pon­ tos de um mapa, de uma planta, de um desenho ou de uma maquete com a distancia real d E =— . onde: d = Distância no mapa . . D = Distância real NOTAÇÃO: 1:300.000 ou 1/300.000 OBSERVAÇÕES: a) Se uma escala for de 1:250.000, isto significa que: para cada 1 cm medido no mapa, corresponde a 250.000 cm da distância real; b) As escalas serão sempre dadas em cm; c) Quanto M ENOR o valor da escala, MAIOR será a^ifistância entre dois' pontos do mapa; d) Quanto MAIOR o valor da escala, MENOR.será a distância entre dois pontos do mapa. 01 - Calcule a distância, em quilômetros, entre duas cidades A e B se, num mapa de escala 1:300.000 essa distância é de 50cm. Solução: 1 cm (no mapa) 300.0.00 (real) 50cm (no mapa) x (real) 50x300.000 x - ----------------=15.000.000cm-15Ükm 1 02 - Uma estrada é representada por 12cm num mapa de escala 1/200.000. Calcule o comprimento, em km, dessa estrada. R: 24km MATEMÁTICA PARA CONCURSO - ESCALA 551 03 - Em um mapa, uma estrada é representada por 125cm de comprimen­ to. Determine o comprimento real da estrada em hectômetro, sabendo que a escala é de 1:100.000. R: 1.250hm 04 - A distância em linha reta entre duas cidades é de 175 Km. Num mapa, cuja a escala é de 1: 250.000, qnat a distância, em centímetros, entre estas duas cidades. Solução: 175km = 17.500.000cm 250.000cm (real) 17.500.000cm (real) 17.500.000 x= ------------------250.000 lcm (no mapa) x (no mapa) = 7Ocm 05 - Se a distância entre duas cidades é de 30km, qual a distância entre seus pontos num mapa de. escala 1:60.000? R: 50cm 06 -A altura de uma porta num desenho de umaplanta é de 5cm. Se a escala utilizada é de 1:60, calcule, em metros, a alturareal da porta. R: 3m 07 - A altura de uma porta é de l,62m. Calcule a altura dessa porta, num desenho de escala 5:30. R: 27cm 08 - Mediu-se a mesma distância entre duas cidades em dois mapas. O mapa A de escala 1:300.000 e o mapa B de escala 1:100.00. Em qual mapa a distância real entre as cidades é menor? R: Mapa A 09 - A maquete de um prédio tem 90cm de altura. Se o prédio possui 27 metros de altura, calcule em qual escala ela foi feita. R: 1/30 552 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 10 - A altura de um prédio de 180m é representada por uma maquete de óOcm de altura. Determine a escala utilizada. R: 1/300 11 - A sombra de um prédio, projetada no solo é de 0,18 hm, enquanto que a sombra de uma casa é de 0,3 dam. Sabendo que a altura da casa é de 5 metros calcule, em metros, a altura do prédio. R: 30m 12 - A altura de uma pessoa é de l,70ra e projeta no solo uma sombra de 42,5cm. Calcule a altura, em metros, de uma casa que, no mesmo instante, projeta no solo uma sombra de 340cm. R: 13,óm 13 - Determine a escala de um desenho em que o comprimento real de 500 metros está representado por um comprimento de 20 centímetros. R: 1/2.500 14 - Uma foto medindo 7cm de comprimento e 12cm de altura deverá ser ampliada. Se a foto ampliada ficar com 1,4 metros de comprimento a sua altura será: R: 2,4m 15 - Um terreno retangular medindo 60 metros de frente por 120 metros de fundo foi transposto para um mapa de escala 1:30.000. Calcule a área desse terreno, em milímetros quadrados no mapa. R: 8mm2 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - ESCALA 553 43 QUESTÕES DE CONCURSOS - E sca la 01) AARE - A miniatura de um foguete balístico foi feita na escala 1/400. O comprimento real do foguete é de lló m . O comprimento correspon­ dente na miniatura é de: a) 0,029 cm b) 4,6 m c) 2,9 dm d) 0,34 m e) 3,44 dm 02) TRE - Uma casa é representada em uma planta cuja escala é 1:60. Sa­ bendo-se que uma parede na planta mede 16 cm, a sua dimensào real é de: a) 9,0m b) 9,5 m c) 9,6 m d) 9,7 m e) 10 m 03) TFR - Uma estrada está representada por 15 cm num mapa de escala 1/20.000. O comprimento real dessa estrada é: a) 3 km b) 30 km c) 300 m d) 3.000 dm e) 30.000 dam 04) TTN - Na planta de um apartamento, as dimensões da sala sào: 9 cm de largura e 12 cm de comprimento. Ao construir o apartamento, a sala ficou com uma largura de 7,5m. A medida do comprimento dessa sala é: a) lOm b) llm c) 5,6m d) 9m e) 8,6m 05) TRE - Uma porta de 2 m de altura é representada, num desenho, com 2 cm de altura. No mesmo desenho, uma janela que é representada com 15 mm de largura, possui a largura real de: a) 1,50 m b) 1,45 m c) 1,30 m d) 1,25 m e) 1,10 m 06) TTN - Num mapa, cuja escala é de 1:3.000.000, a estrada BélemBrasília tem 67cm. Calcular em Km, a distância real. a) 2.100 b) 2.010 c) 2.280 d) 1.910 e) 2.233 07) TTN - Uma pessoa pretende medir a altura de um poste baseado no tamanho de sua sombra projetada no solo. Sabendo-se que a pessoa tem 554 HILDER GÓES * UBALDO TONAR l,80m de altura e as sombras do poste e dá pessoa medem 2m e 60cm respectivamente, a altura do poste é: a) 6m b) 6,5 m c) 7m d) 7,5m e) 8m 08) TRT - Em um mapa, a representação de uma estrada tem ll,5 cm de comprimento. Se a escala é de 1:1.000.000, qual é o comprimento real da mencionada estrada. a) 115 km b) 11.500 m c) 1,15 km d) 1.150 m e) 1.150 km 09) AFRE - A altura de uma geladeira é de 1,62 m. Num desenho de escala 2:27, a altura dessa geladeira é de: a) 12 cm b) 13 cm c) 14 cm d) 15 cm e) '16 cm 10) CEF - Uma fotografia retangular, medindo 9 cm de largura por 12 cm de comprimento, deve ser ampliada. Se a foto ampliada deverá ter 1,5 m de largura, o comprimento correspondente será de: a) 112,50 cm b) 120,30 cm c) 130 cm d) 1,7 m e) 2m 11) TTN - Sabendo-se que um navio de 90 m de comprimento é repre­ sentado por uma miniatura de 30 cm de comprimento, a escala utilizada é: a) 1:300 b) 1:200 c) 1:400 d) 1:250 e) 3:500 RESPOSTAS 01) c 05) A 09) A 02) C 06) B 10) B 03) A 07) A 11) A 04) A 08) A MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 555 44 FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU DEFINIÇÃO: É toda função do tipo f(x) = ax + b ou y = ax + b, com a é b números reais quaisquer, e a diferente de zero. Como exemplos, teríamos: f(x) —x + 2 f(x) = 2x —6 e y = 3x —8. COEFICIENTES DA FUNÇÃO: a = coeficiente angular y = ax + b < b = coeficiente linear RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO: É o valor de x para o qual a função se anula. Para determiná-lo, basta igualar a função a zero e resolver a equação do primeiro grau resultante. 01 - Calcule a raiz da função f(x) = 2x —6 Solução: 2x 6 = 0 => 2x ^ 6 => x = 3. 02 - Calcule a raiz ou zero das funções abaixo relacionadas: a) f(x) = 3 x - 9 b) f(x) = 2 x - 10 c) f(x) = d) y = 5x - 20 R: a) 3 b) 5 c) 6 2 / d) d ) '9 VALOR NUMÉRICO DA FUNÇÃO: É o número que se ob­ tém quando se substitui, a variável x, por um número real qualquer, e se efetua as operações indicadas. 556 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 03 - Dada as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x —1, calcule f(5) + g(4). Solução: f(5) = 2x5 + 3 => f(5) = 13 => g(4) = 3x4 - 1 => g(4) = 11 Logo, f(5) + g(4) = 13 + 11 = 24. 04 - Dadas as funçòes f(x) = 3x + 4 e g(x) = x + 2, calcule f(2) —g(6). R: 2 05 - Sejam as funções f(x) = x + 2 e g(x) = 4x + k, calcule k, sabendo que f(l) + g(3) = 20. R: 5 2 06 - Dadas as funçòes f(x) = —s + k e g(x) = ~-x + 3, calcule k, sabendo que f(9) + g (ll) = 1, R: 3 07 - Uma função real f, do primeiro grau é tal que f(0) = 1 + f(l) e f(- 1) = 2 - f(0). Calcule f(3). R: - 5/2 08 - Dados os pontos (0,6) e (3,0) pertencentes ao gráfico da função f(x) = ax + b, calcule f(l). Solução: ' Como se deseja determinar o valor numérico da função para x = 1, isto é, f(l); temos que escrever a função e substituir o x por 1. Como foram dados dois pontos, poderemos escrever a função. Senão, vejamos: O ponto (0,6) indica que: para x ^ O e y ^ ó e o Ponto (3,0) indica que: para x = 3 e y = 0. Considerando-se uma função genérica y = ax + b, temos: para x = 0 e y = 6, resulta: 6 —a x 0 + b=>b = 6. Para x = 3 e y = 0, temos: 0 = 3a + b, como b = 6; vem: 3a + 6 = 0 => 3a = -6 ==>a = —2. Então, a função é; f(x) = —2x + 6. Resta, agora, calcular f(l). Então temos: f(l) = - 2x1 + 6 => f(l) = 4 MATEMÁTICA PARA CONCURSO —FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 557 09 - Dados os pontos (0,4) e (2,0) pertencentes ao gráfico da função y = ax + b, calcule f(5). R: -6 10 - Se os pontos (3,2) e (2, - 2) pertencem ao gráfico da função g(x) = ax + b, calcule g(6). R: 14 11 - Dados os pontos (3,5) e (5,7) pertencentes ao gráfico da função g(x) = ax + b, calcule: a) a raiz ou zero da função; b) f(10). R: a) —2 b) 12 GRÁFICO DA FUNÇÃO: Será sempre uma reta e, para traçá-la, veja com atenção o que se segue i) O zero ou raiz da função será a abscissa do ponto em que a reta cortará o eixo x; eixo horizontal. ii) O coeficiente linear b será a ordenada do ponto em que a reta cortará o eixo y; eixo vertical. 12 - Traçar o gráfico da função f(x) = 3x —6. Solução: Como o coeficiente linear da função é - 6, se conclui que a reta cortará o eixo y no ponto - 6. Para sabermos onde a reta cortará o eixo x, basta calcular a raiz ou zero da função, isto é, igualar a função a zero e resolver a equação resultante. 3x —6 —0 3x = 6 => x —2. Então, o gráfico da função (fx) = 3x —6, será: 558 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 13 - Traçar o gráfico das funções f(x) = 2x + 6 e g(x) ——2x —4. 1 4 - 0 gráfico abaixo representa a função f, definida por f(x) = ax + b. Determine: I) A raiz ou zero da função; II) O valor numérico da função para x = 8; III) Qual, dentre os pontos (- 1, 2); (3, 9) e (4, 18) pertence ao gráfico da função. Solução: Temos os pontos (0,6) e (—2,0) dados no gráfico. I) Cálculo da raiz: O ponto (0, 6) indica: x = 0 e y = 6, que substituídos numa função genérica y = ax + b, resulta: 6 —axO + b => b = 6. O ponto (—2, 0) indica: x = —2 e y = 0, que substituídos na função y ~ ax + bj temos: 0 = —2a + b, mas como b = 6, resulta: —2a + 6 = 0 =0‘ —2a ——6 => a = 3. Então, a função será: f(x) = 3x + 6. Para se calcular a raiz, basta igualar a função a zero e resolver a equação resultante. Então: 3x + 6 = 0 rr> 3x = —ó => x = —2. II) Valor número da função para x = 8, isto é, f(8). Se f(x) —3x + 6 => f(8) = 3x8 + 0 => f(8) = 30. III) Qual dentre os pontos (—1,2); (3,9) e (4,18) pertence ao gráfico da função? Basta, por tentativa, substituir o x na função f(x) = 3x + 6 pelo primeiro elemento do par e verificar se o número resultante coincide com o segundo elemento desse par. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 559 ( - 1 , 2 ) => f(-l) = 3x(~ 1) + 6 => f(-l) = 3, não pertence. (3, 9) => £(3) = 3x3 + 6 => f(3) = 15, não pertence (4,18) => f(4) = 3x4+6 => f(4) = 18. Logo, o ponto (4,18) é o que pertence ao gráfico da função. 1 5 - 0 gráfico abaixo representa a função f, definida por y = ax + b. Determine: a) a função; b) o valor numérico para x = 5; c) verifique qual desses dois pontos (2,14) e (1,12) pertence ao gráfico da função. R: a) f(x) = 3x + 9 b) 24 c) (1,12) 16 - Dados os gráficos abaixo, das funções f(x) e g(x), calcule f(12) e g(¥>). R: 1 17 - Uma pesquisa revelou que a relação entre a média das notas obtidas por um estudante do 2- grau e o número de pontos que ele deve obter em um concurso é dada por y = 20x + 30 onde x é a média das notas e y é o número de pontos esperados. Se um estudante teve média igual a 6 no segundo grau, calcule o total de pontos que deverá obter no concurso. Solução: O problema pede o valor de y, isto é, os pontos esperados, e deu que x = 6. Basta, portanto, se calcular o valor numérico da função f(x) = 20x + 30 no ponto 6. No que resulta: f(6) = 20x6 + 30 f(6) = 150. Logo, o estudante deverá obter 150 pontos 560 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 18 - Um artesão alugou uma sala para instalar sua oficina de trabalho, pagando por ela um aluguel de $ 500,00 mensais. Ele só trabalha sob en­ comenda e o preço de custo de cada peça pronta é de $ 52,00. O preço unitário de venda é de $ 80,00. Se do lucro mensal ele descontar o aluguel, a quantia qiie lhe sobrará, se produzir 50 peças no mês será de: R: | 900,00 19 - Um chefe de departamento de promoção de uma loja verifica que, quanto mais ele anuncia na televisão, mais vende. A relação pode ser ex~ 2 pressa por y ~ —x + 1503 onde y é o número de mercadorias vendidas durante a semana, e x representa o número de comerciais durante a semana. Pede-se*. a) o número de mercadorias vendidas na semana, se o comercial aparecer 24 vezes; fo) quantas vezes o comerciai deve aparecer para que a loja venda 225 artigos por semana. R: a) í 86 b) 50 20 - O aluguei de um carro, por dia, é de $ 15,00 mais $ 1,00 por quilôme­ tro rodado. Nestas condições: a) Se y representa o aluguel e x o número de quilômetros rodados, qual a relação que define essa função? b) Quanto pagaríamos de aluguel se rodássemos 300km, durante 3 dias? c) Se o aluguel custou $ 75,00 em um dia, quantos quilômetros foram rodados? R: a) y = l,00x + 15,00 b) $ 375,00 c) 60km 21- Num tratamento de imunização, a quantia de soro, em mililitros, que uma pessoa deve tomar é dada em função do seu peso. Calcule quantos mililitros de soro deverá receber uma pessoa de 65kg, saben­ do que uma pessoa que pesa 20kg tomará 10m/ e uma que pesa 50kg tomará 30m f. R: 40m/ MATEMÁTICA PARA CONCURSO-FUNÇÃO CO PRIMEIRO GRAU 561 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO Determinar o sinal de uma função do primeiro grau, f(x) = ax + b é verificar quando f(x) > 0, f(x) —0 ou f(x) < 0. Para sua determinação, proceda da seguinte forma: a) calcule a raiz ou zero da função; b) coloque a raiz na reta dos números reais; c) para a direita da raiz a função terá o mesmo sinal do coeficiente angular, isto é, do a; d) para a esquerda da raiz a função terá sinal contrário ao do coefi­ ciente angular. Olhe: Sinal contrário de a mesmo sinal'de a T raiz 22 - Estude o sinal da função f(x) = 3x —6. Solução: Calculando a raiz da função, temos: 3x —6 = 0 3x —ó => x ” 2. Veja que o coeficiente angular, no caso o 3, é positivo. Então, temos: 2 De onde se concluí que: f(x) > 0 para todo x > f(x) =0 para todo x = f(x) <0 para todo x < 2 2 2 23 - Estude o sinal da função f(x) —~~2x + 8. Solução: Calculando-se a raiz da função, temos —2x + 8 —0 - 2x = - 8 => x =■-4; Logo: 4 Isto é, para a direita da raÍ2, negativo que é o mesmo sinal do coefi­ ciente angular (2), e para a esquerda, positivo sinal contrário ao do coefici­ ente angular. De onde se conclui que: 5Ó 2 HILDER GÓES * UBALDO TONAR f(x) > 0 para todo x < 4 f(x) = 0 para todo x = 4 f(x) < 0 para todo x > 4. 24 - Calcule o sinal das funções f(x) = —3x + 6 e g(x) = 2x —8. R: f(x) > 0 para todo x < 2 g(x) > 0 para todo x < 4 f(x) = 0 para todo x = 2 g(x) = 0 para todo x —4 f(x) < 0 para todo x > 2 g(x) < 0 para todo x > 4 INEQUAÇÃO-PRODUTO Sejam as funções f(x) e g(x) duas funções na variável x, poderemos ter: f(x).g(x) > 0 f(x).g(x) < 0 f(x).g(x) > 0 f(x).g(x) < 0 que são denominadas inequações-produto. A solução de uma inequação-produto se baseia no estudo do sinal da função e com o auxílio de um quadro de sinais no qual colocamos nas primeiras linhas o sinal de cada função e na última linha o sinal do produto. 25 - Resolva a inequação (x-4)(x +2) < 0. -----f(x) = x —4 (4) g(x) = x + 2 f(x).g(x) + (~2) (4) Portanto, o conjunto solução da inequação é: S = {xeR; - 2 < x < 4} 26 - Resolva a inequação (x —2)(—x+3) < 0. R: S = (x eR ; x < 2 oux > 3} 27 - Resolva a inequação (x+2)(- x+3)(x —1) > 0. R: S = {xeR; x < - 2 o u l < x < 3 } MATEMÁTICA PARA CONCURSO - FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 563 28 - Determine os valores de x que verificam cada uma das seguintes desigualdades. a) (x - 1)(- x+1) > 0 b) (2x-4)(x - 3)(~ x - 2) > 0 a ) S = {xeR; —1 0 —® que são denog(x) g(x) g(x) minadas de inequações-quociente. Como as regras de sinais do produto e do quociente de números reais são iguais, o processo de resolução de uma inequaçào-quociente é análogo ao da resolução de uma inequação-produto. Entretanto, veja com muita atenção o seguinte: as inequaçÕes do f(x ) >0 f( f ( x) tipo — > 0 o u ..— < 0, a raiz da funcão do denominador da inequaçâo g(x) gO) não poderá figurar no conjunto solução, pois não há divisão por zero. x ~2 29 - Calcule a inequaçâo ------ ^ 0 x -5 Solução: f(x) = x —2 g(x) = X - 5 f(x).g(x) ----------- ----------------------- - (5)4"f+ ++ + - + (2) ^ (5) Logo o seu conjunto solução será: S = {xeR; x < 2 ou x > 5} Veja que temos x > 5 e não x > 5, pois x nào poderá ser igual a 5 o que tornaria o denominador da inequaçâo igual a zero. 564 HILDER GÓES * UBALDO TONAR ~x +.2 30 - Resolva a inequação “ —” > 0. R : S = {xeR; 2 < 2 < 3} 31 - Determine os valores de x que verificam cada uma das desigualdades abaixo: 2x ~~4 a) —-<0 7 x -2 ~2x 4* 6 , c) - ——-—> 0 f -x-2 2x —8 b> ^ < ° (x + 3 ) (l- x ) <•) - £ = õ ~ R: a) S = {xeR; - 2 < x < 2} c) S = (x€R; 2 < x < 3} >0 b) S = {x<=R; x < - 2 ou x > 4} d) S = {xeR;x< —3 ou 1 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0. Para sua determinação, proceda da seguinte forma: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - FUNÇÃO QUAORÁTICA 569 a) Calcule as raizes ou zeros da íunçào, igualando a função a zero e resolvendo a equação resultante; b) Coloque as raízes na reta dos números reais; c) fora das raízes a função terá o mesmo sinai do coeficiente do termo do 2" grau, isto é, de a; d) entre as rdzes a função terá sinal contrário ao de a. Ivlesmo sinal de a Sinal contrário ao de a Mesmo sinal de a --------------------------- • ------------------------------- • ------------------------ x* x" 06 - Estude o sinal da função f(x) = x2 —7x + 10. Solução: Igualando a função a zero vem: x2 - 7x + 10 = 0; resolvendo a equação, encontramos: x' = 2 e x" = 5 Então temos: t De onde se conclui que: f(x) > 0 para x < 2 ou x > 5 f(x) = 0 para x = 2 e x = 5 f(x) < 0 para 2 < x < 5 07 - Estude o sinal da função g(x) ~ x2 —9x + 20. R: g(x) > 0 para x < 4 ou x > 5 g(x) = 0 para x =4 e x = 5 g(x) < 0 para 4 < x < 5 08 - Estude o sinal da função f(x) = - x2 + 8x - 15. R: f(x) > 0 para 3 < x < 5 f(x) = 0 para x = 3 e x = 5 f(x) < 0 para x < 3 ou x > 5 Baseado no estudo de sinal da função poderemos resolver uma inequação produto ou uma inequação quociente. Senão vejamos: 570 HILDER GÓES 4- UBALDO TONAR 09 - Resolva a inequação x2 + 5x + 6 > 0 Solução: Igualando a função a zero e resolvendo a equação, temos: x2 + 5x + 6 = 0 2 -5±4l X = ...... -.............. 2 -5± 1 x= ------- x’ =_5_J:=:_3 e 2 2 2 Então temos; ------------1------------- --------- ——j----------------- 3 - 2 Relembre: Í) fora das raízes, o mesmo sinal de a; ü) entre as raízes, sinal contrário ao de a. Então temos: S = {x G R; x < - 3 ou x > - 2} 10 - Resolva as inequaçòes abaixo relacionadas: a) 4x2 —9x + 2 < 0 c) x2 —lOx + 25 > 0 b) —x2 + 3x + 4 < 0 d) —x2 + 3x —2 > 0 R: a) S = { X e R; 1/4< X < 2 } c) S - {x € R; x > 5} b) S - {x g R; x<-1 ou x > 4} d) S = {x € R; 1 < x < 2} fl 'ÍT t/5 11 - Resolver as inequaçòes abaixo relacionadas: G R; x < 1 O U X > 3} a) x2 —4x + 3 > 0 S = {x € R; x < 2 O U X > 4} *>) x2 - 6x ~+ 8 > 0 S= {x G R; 4 < x <5} c) x2 —9x + 20 < 0 à ) —x2 + l l x + 12 > 0 S'= {x G R; —1 < x < 12} S = {x G R; 2 < x < 10} e) x2 —12x + 20 < 0 MATEMÁTICA PARA CONCORSO - FUNÇÃO QUADRÁTICA 571 INEQUAÇÃO PRODUTO Sejam as funções f(x) e g(x) duas funçòes na variável x, poderemos ter: f(x) x g(x) > 0 f(x) x g(x) < 0 f(x) x g(x) > í) f(x) x g(x) < 0 que são denominadas incquações-produto. À solução de uma inequação-produto se baseia no estudo do sinal da função e com o auxílio de um quadro de sinais no qual colocamos nas primeiras linhas o sinal de cada função e na última linha o sinal do produto. 12 - Resolva a inequaçào: (x2 ~ 6x + 8) (x2 —8x + 35) < 0. Solução: f("x) —x2 —Bx ■+• 8 +++++——— -----------1--------g(x) ~ x2 —8x 15 +4-+ +4:+ +4—H—b l ;3 — _ —-f -J-H —H+ 4*+ f(x) x g(x) Logo, o conjunto solução da inequação é: S = {x 6 R; 2 < x < 3 ou 4 < x < 5 } 13 - resolva a inequação (3x2 —5x + 2) (x2 —4x + 3) > 0. R; S = j x 6 R , x < ~ oux >3 14 - Resolva a inequaçào ( x 2 — 7 x + R: S = { x e R; 2 < x < 8} 10) (—’x 2 + 1 3 x —40) > 0 15 - Resolva a inequação (x2 - 5x + 6) (2x2 —3x + 1) > 0. R: S = | x e R ; x < " O u l < x < 2 ou x > 3 16 - Resolva a inequação (x2 —4x + 3) (x2 —lOx + 25) (- x2 + 3x —8) > 0 R: S = { x 6 R; 1 < x < 3} 572 HILDER GÓES * UBALDO TONAR ÍNEQUAÇÃO QUOCIENTE Sejam as funções f(x) e g(x) duas funções na variável x, poderemos ter: M >o g(x) M o g(x) ' 0 ou g(x) f 0 ) < 0 as raízes da função que figura no denominador não podem apa­ g(x) recer no conjunto solução, pois, neste caso, o denominador se tornaria igual a zero e não há divisão por zero. x - 5 x +6 17 - Resolva a inequaçâo: “ 5---------- 7 <0 X' - 5x + 4 Solução: f(x) —x2 —5x + 6 +4-+++++--------—_ —— +++++4-++++++ -----------r|------------ j.-------- g(x) —x2 —Sx + 4 4-++ -4*4*4*+ +++ + 4* + + f(x)^g(x) Logo, o conjunto solução da inequaçâo é: S —{x e R; 1 < x < 2 ou 3 < x < 4 } 18 - Resolver as inequaçòes: MATEMÁ11CA PARA CONCURSO - FUNÇÃO QUAJDRÂTICA 57 3 x2 -1 0 x +i6 a) ~ ------------- < 0 x -~15x+44 b) - x 2+6x-5 >0 x2- llx + 2 8 x2 - 12x +32 c ) ----- 5---------- > 0 ' ~2x2 + 3 x - 7 x ~7x+12 <0 d) - j x - 9 x +18 S = { x e R ; 2 < x < 4 e 8 < x < 11} S = { x e R ; l < x < 4 ou 5 < x < 7} S - {x € R ; 4 < x < 8} S = {x e R; 4 < x < 6} GRÁFICO: É uma curva denominada parábola. Se a > 0, a concavidade está voltada para cima e dizemos que a função possuiu um MÍNIMO e se a < 0 a concavidade estará voltada para baixo e dizemos que a funçào possui um MÁXIMO. ' V É RTICE DA PARÁBOLA: É o ponto de coordenadas b -Á s 2 a ’ ^4a"J êranc^e importância na resolução de problemas. Este -b A ponto diz que: x = ~— e y = —~ 19 - Achar o máximo ou o mínimo da função y = 2x2 —3x + 1. Solução: 574 HILDER GÓES 4* UBAUDO TONAJR Vemos que a função possui um mínimo, pois o coeficiente de x2 é positivo. Para determinar esse mínimo basta substituir o x na função pelo —b valor da sem i-som a das raízes, isto é, por x = ~~— . Então temos: A "b 3 ^ • x = !T = 4 ei a;y= OP \2 U, ■ 3l! r 4 20 - Achar otnáximo ou o mínimo da função y = —x2 + 4x —5. Solução: Como o coeficiente de x* é negativo, então a função possuiu um máximo. Para determinar esse máximo, basta substituir o x na função pelo - b valor da semi-soma das raízes, ou seja, por x = ~~—. Logo, temos: x _ ~b _ - 4 Então vem: y = (—2)2 + 4 x 2 —5 —1 21 - Achar o máximo ou o mínimo da função f(x) = x2 - 12x + 38. R: Tem um mínimo igual a 2 22 - Achar o máximo ou o mínimo da função f(x) = - x2 - 8x + 30. R: Tem um máximo igual a - 18 23 - Achar o máximo ou o mínimo da função y = 2x2 - 5x + 2. R: Tem um mínimo igual a —9/8 24 - Achar o máximo ou o mínimo da função j ~ —3'x2 —lOx + 3. R: Tem um máximo igual a - 22. 2 5 - 0 lucro L de uma empresa é dado em função da diferença entre a sua receita R e o seu custo C, representados respectivamente por R = ~p2 + 15p -e C = p2 + lOp - 25. Determine a lei que expressa esse lucro em função da MÁTEMÁIICA PARA CONCURSO - FUNÇÃO QUADRÂTICA 575 produção de p peças produzidas. R: L(p) = - 2p2 + 5p + 25 2 6 - 0 lucro L de uma empresa é dado pela relação L = R - C, onde R e C representam, respectivamente, receita e custo. Sabendo que R e C dependem da produção p, segundo as leis R(p) ~ lOOp —p2 e C(p) = p2 + 40p + 300, determine a lei que expressa L(p) e a produção para a qual o lucro é máximo. R: L(p) —- p2 + 30p —150 e p = 15 27 -.Em um projeto de engenharia, y representa o lucro máximo, e x, a quantia a ser investida para a execução do projeto. Uma simulação nos dá a função y = ~ x2 + 8x - 7. Calcule quanto devemos investir para obter o máximo lucro líquido. R: 4 28 - Determinar o valor de k de modo que a função f(x) = - x2 - 2x + k tenha o número 2 como valor máximo. R: k = 1 29 - Um projétil lançado da origem (0,0), segundo um referencial dado, percorre uma trajetória parabólica que atinge sua altura máxima no ponto (2,4). Escreva a equaçào dessa trajetória. R: y = - x2 + 4x 30 - Para cercar um terreno retangular dispòe-se de 800 metros de tela. Calcule a área máxima cercada. R: 40.000 m2 31 - Para cercar um terreno retangular em cujo fundo existe um muro retilíneo, dispôe-se de uma tela de 400 m de comprimento. Determine a área máxima cercada. R: 20.000 m2 32 - Dentre todos os números reais cuja soma é 20, determine aqueles cujo produto é máximo. R: 10 e 10 576 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR 33 - Um determinado, fio quando preso a dois p o n to s distantes um' do outro de 20 metros e ambos a 13 metros do solo, toma a forma de uma parábola estando o ponto mais baixo do fio a 3 metros do solo. Assinale a alternativa que corresponde à parábola no sistema de coordenadas cartesianas XOY, onde o eixo OY contém o ponto mais baixo do fio e o eixo OX está sobre o solo. a) y = x2 + x + 3 b) y ™Xa + 30 c) lOy ~ —x2 30 d) lOy —x2 + 30 R: d MATEMÁTICA PARA CONCURSO - FUNÇÃO QUADRÁTICA 577 47 QUESTÕES DE CONCURSOS - F u n çã o Q u a d r à t ic a 01) TRE - Sabe-se que a funçào quadràtica £, definida por f (x) —mx2 + 2mx + 4, admite duas raízes, reais e iguais. O valor de m é: e) 8 a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 02) T R E - A . J - Relativamente a função quadràtica f, definida por f (x) —2x2 — x + 1, é correto afirmar que: a) admite as raízes - 1 / 2 e 1 b) não admite raízes reais c) é positiva para x <~1 ou x > 1/2 d) é negativa para todo x real e) assume um valor máximo para x = .- 1/4. 03) TRE - O vértice da parábola y = 3x2- 5x + 9 localiza-se no quadrante: a) primeiro b) segundo c) terceiro d) quarto 04) TRE - Qual o conjunto solução da inequaçâo 2x3 + x - 1 5 < 0 n o universo U = R 05) TFC - Uma bola, colocada no chão, é chutada para o alto e percorre uma trajetória descrita por y ——2x3 + 12x, onde y é a altura, dada em metros. A altura máxima atingida pela bola é: a) 3 b) ó c) 12 d) 18 e) 36 578 Hli.rVFJR GÓES * UBALDO TONAR 06) TRT - O quadrado de um número positivo é igual ao seu quíntuplo acrescido de 14 unidades, nessas condições o referido número é: a) quadrado perfeito b) primo c) par d) divisível por 3 e) múltiplo de 5 07) TRE - O maior número real que satisfaz a equaçào —x2 + 11 x —24 = 0 é um número: a) menor que 5 b) maior que 10 c) par d) negativo e) quadrado perfeito 08) TRT - A soma de um número mais o dobro de outro número é 21. O produto entre eles é o maior possível. Calcule a diferença entre eles. a) 21/4 b) 21 c) 21/2 d) 42 RESPOSTAS 01) C 05) D 02) E 06) B 03) A 07) C 04) C 08) A MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 579 4 DIVISIBILIDADE Antes de iniciarmos o estado de divisibilídade, deveremos lembrar alguns conceitos que serão de fundamental importância na solução dos problemas que serão expostos. CARACTERES DA DIVISIBILIDADE a) Divisibilídade por 2: Um número é divisível por 2, quando ele for par, isto é, quando terminar por 0, 2, 4, 6 ou 8. 01 - Verificar se os números 3418, 9720 e 8321 são divisíveis por 2. Solução: 3418 é divisível por 2, pois termina em 8. 9720 é divisível por 2, pois termina em 0. 8321 não é divisível por 2, pois termina em 1. b) Divisibilídade por 3: Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. 02 - Verificar se os números 3273, 3081 e 7207 sào divisíveis por 3. Solução: 3273 é divisível por 3, pois a soma dos valores absolutos dos seus algarismos 3+2+74-3 = 15 é um número divisível por 3. 3081 é divisível por 3, pois 3+0+8+1 —12 é um número divisível por 3. 7207 não é divisível por 3, pois 7+2+0+7 = 16 nào é um número divisível por 3. c) Divisibilídade por 4: Um número é divisível por 4, quando terminado em dois zeros ou quando o número formado pelos dois últi­ mos algarismos da direita for divisível por 4. 580 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 03 - Verificar se os números 3120, 4700, 8316 e -1715 são divisíveis por 4. Solução: 3120 é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos da direita forma o número 20 e 20 é divisível por 4. 4.700 é divisível por 4, pois termina em dois zeros. 8316 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 1715 não é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos forma o número 15, que não é divisível por 4. d) D ivisibilidade por 5: Um número é divisível por 5, quando termina em 0 ou 5. 04 - Verificar se os números 2435, 4272 e 8260 são divisíveis por 5. Solução: 2435 é divisível por 5, pois termina em 5. 4272 não é divisível por 5, pois termina em 2. 8250 é divisível por 5, pois termina em 0. e) D ivisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando for divisível, ao mesmo tempo, por 2 e por 3. 05 - Verificar se os números 4032, 2346 e 1132 são divisíveis por 6. Solução: 4032 é divisível por 6, pois, como termina em 2, é divisível por 2 e como 4+0+3+2 ™9 é divisível por 3, logo, é também divisível por 6. 2346, como termina é 6, é divisível por 2; e como a soma dos seus' algarismos 2+3+4+Ó = 15 é divisível por 3, então é por 6. 1132, como termina em 2, é divisível por 2; mas a soma dos seus algarismos 1+1+3+2 = 7 não é um número divisível por 3, concluímos que o número 1132 não é divisível por 6. f) D ivisibilidade pot 7: Separa-se, do número dado o algarismo da unidade. O dobro do algarismo da unidade subtrai-se do restante do número. Se a diferença for múltiplo de 7, o número será divisível por 7, se não for continua-se a operação até sabermos se é ou não. 06 - Verificar se os números 6272, 3206 e 2962 são divisíveis por 7. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DIVISIBILIDADE 581 Solução: Do número 6272 separa-se o algarismo da unidade, no caso o 2. O dobro de 2 é 4; subtrai-se do resto do número, isto é, 627 - 4 = 623, que é um número divisível por 7. Logo, 6272 é divisível por 7. 3206 é divisível por 7, verifique. 2962 não é divisível por 7, verifique. g) Divisibilídade por 8: Um número é divisível por 8, quando termina em três zeros ou quando o número formado peios três últimos algarismos da direita, for divisível por 8. 07 - Verificar se os números 746920, 57000, 483648 e 365929 sao divisí­ veis por 8. Solução: 746920 é divisível por 8, pois os três últimos algarismos da direita, no caso 920, forma um número divisível por 8. 57000 é divisível por 8, pois termina em três zeros, 483648 é divisível por 8, pois 648 é divisível por 8. 365929 nào é divisível por 8, pois 929 nào é divisível por 8. h) Divisibilídade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos formar um número divisível por 9. 08 - Verificar se os números 817101,7924104 e 766778 sào divisíveis por 9. Solução: 817101 é divisível por 9, pois a soma dos seus algarismos 8+1+7+1+0+1 = 18 que é divisível por 9. 7924104 é divisível por 9, pois a soma dos seus algarismos 7+9+2+4+1+0+4 = 27 é divisível por 9. 766778 não é divisível por 9, pois a soma dos seus algarismos resul­ ta no número 41 que nào é divisível por 9. i) Divisibilídade por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em zero. 09 - Verificar qual dos n ú m ero s seguintes não é divisível por 10: 43240, 27381 e 534760. 582 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Solução: E o número 27381, pois termina em 1. Os outros dois sao divisíveis por 10, pois terminam em zero. j) D ivisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, começando da direita para a esquerda, forem iguais, ou quando a diferença entre essas somas for 11 ou múltiplo de 11. Olhe: A regra nos fala sobre a ordem ímpar e a ordem par, isto é, primeiro, segundo e não que o algarismo seja um número ímpar ou par. 10 - Verificar se os números 868659,355036 e 374321 são divisíveis por 11. Solução: No número 868659 temos que a soma dos algarismos de ordem ím­ par é: 9+6+6 = 21 e a soma dos algarismos de ordem par é 5+8+8 = 21. Como as somas são iguais, o número é divisível por 11. No número 355036 temos: 6+0+5 = 11 e 3+5+3 = 11. Logo, o número é divisível por o 11. No número 374321, temos: 1+3+7 = 11 e 2+4+3 = 9 e como essas somas não são iguais e como a diferença entre elas 1 1 - 9 = 2 não é 11 ou múltiplo de 11, então o número 374321 não é divisível por 11. 1) D ivisibilidade por 12: Um número é divisível por 12, quando ele for divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 11 - Verificar se os números 9468, 5472 e 8037 são divisíveis por 12. Solução: O número 9468 é divisível por 12, pois a soma dos seus algarismos, isto é, 9+4+6+8 = 27 é divisível por 3 e os dois últimos algarismos da direita formam o número 68, que é divisível por 4. O número 5472 é divisível por 12, pois a soma dos seus algarismos S+4+7+2 = 18 é divisível por 3 e os dois últimos algarismos da direita, resulta no número 72, que é divisível por 4. O número 8037 não é divisível por 12, pois embora a soma dos algaris­ mos 8+0+3+7 = 18 seja divisível por 3, já os dois últimos algarismos da direita, isto é, o 37 não é divisível por 4. Logo, o número não é divisível por 12. MATEMÁ31CÀ PARA CONCURSO - DIVISIBILIDADE 583 m). Divisibilidade por 14: Se for divisível ao mesmo tempo por 2 e por 7. n) Divisibilidade por 15: Se for divisível ao mesmo tempo por 3 e por 5. o) Divisibilidade por 18: Se for divisível ao mesmo tempo por 2 e por 9. p) Divisibilidade por 21: Se for divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7. q) Divisibilidade por 24: Se for divisível ao mesmo tempo por 3 e por 8. r) Divisibilidade por 35: Se for divisível ao mesmo tempo por 5 e por 7. s) Divisibilidade por 45: Se for divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9. 12 - Calcule o menor algarismo x de modo que o número 182x seja divisí­ vel por 2 e 5, ao mesmo tempo. Solução: Para ser divisível por 2 é necessário que termine em 0, 2, 4, 6 ou 8; mas veja que, para ser divisível por 5, ele deverá terminar em 0 ou 5, de onde se conclui que o x deverá ser igual a zero, pois o problema nos pede o menor algarismo. Logo x = 0. 13 - Determine o menor algarismo x de modo que o número 6x23x seja divisível por 6. Solução: Para que um número seja divisível por 6 é necessário que ele seja divisível por 2 e 3, simultaneamente. Já sabemos que para ser divisível por 2 ele deverá terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. E, para ser divisível por 3 é necessário que a soma dos valores absolutos dos seus algarismos seja divi­ sível por 3. Então, devemos fazer a seguinte análise: Para x = 0 o número seria divisível por 2 mas não seria para 3, pois a soma dos seus algarismos daria 11. Para x = 2 o número será divisível por 2. e como a soma dos algarismos dá 15, então será também divisível por 3, sendo, portanto, divi­ sível por 6. Logo, x = 2. 14 - Determine o algarismo x de modo que o inteiro 7x6 seja divisível por 3 e 4, simultaneamente R: x = 5. 15 - Determine os menores valores para x e y de modo que o inteiro 231xy seja divisível por 5 e 9 ao mesmo tempo. R: y = 0 e x - 3. 584 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 16 - Determinar o menor algarismo x de modo que: a) 135x seja divisível por 2. b) 26x seja divisível por 3. c) 513x seja divisível por 4. d) 2894x seja divisível por 5. e) 427x seja divisível por 5. f) 680x seja divisível por 9. g) 2344x seja divisível por 2 e 5. h) 2435x seja divisível por 5 e 10. i) 1155x seja divisível por 2 e 3. j) 648x seja divisível por 3 e 4. R: a) 0 b) 1 f) 4 g)0 c) 2 h) 0 d) 0 i) 0 e) 2 j) 0 17 - Determine os valores de x de modo que o inteiro 43x3x seja divisível por 3. R: x = 1, x = 4 oux = 7 18 - Substituir, em 5x38y, x e y por algarismos de modo a se ter um núme­ ro divisível ao m esm o tem p o por 5, 9 e 10. R: x = 2 e y = 0 19 - Dado o número 478xy, substituir x e y de modo a se obter um núme­ ro divisível por 3, 5, 9 e 10 ao mesmo tempo. R: x = 8 e y = 0 20 - Substituir as letras x e y por algarismos, em l x l 6y, de modo que o número resultante seja múltiplo comum de 2, 5 e 9. R: x = 1 e y = 0 21 - Determine os algarismos que devem ser escritos no lugar de x e y, no número x84y, que é menor do que 3.000, para que, ele seja, ao mesmo tempo, divisível por 5 e 9. R: x = 1 e y = 5 22 - Os números de três dígitos 2a3 é adicionado ao número 326 para dar o número de três dígitos 5b9. Se 5b9 é divisível por 9, calcule a+b. R: 6 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DIVISIBILÍDADE 585 23 - Determine todos os números de três algarismos que sejam divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo, e que tenham o zero como algarismo das dezenas. R: 300, 600, 900, 204, 504, 804,108, 408 e 708 24 - Substitua x no número 2x6, de modo a obter-se um número de três algarismos, divisível por 4 e 9. R: 1 25 - Dado o número 28x6, substitua x por um algarismo de modo a for­ mar um númèro de 4 algarismos, divisível por 3 e por 8. R: 5 26 - Determine a para que o número 5a8 seja divisível por 4 e por 11. R: 2 27 - Determine a para que o número 18a4 seja divisível por 3 e por 8. R: 2 28 - Determine a para que o número 5a4 seja divisível por 9 e por 11. R: 9 CÁLCULO DO RESTO DA DIVISÃO DE UM NÚMERO a) Divisão por 2: Se o último algarismo da direita for par, o resto será zero; se for ímpar, o resto será um. 29 - Calcule o resto da divisão por 2, dos números 2782 e 1345. Solução: O resto da divisão de 2782 por 2 é zero, pois o número é par. O resto da divisão de 1345 por 2 é um, pois o número é ímpar. b) Divisão por 3: O resto da divisão de um número por 3, será o mesmo resto da soma dos valores absolutos dos algarismos do número dividida por 3. 30 - Calcule o resto da divisão por 3, do número 5435. 586 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Solução: Somando-se os algarismos, temos: 5+4+3+5 = 17. Divídindo-se 17 por 3, encontra-se 5 para quociente e resto 2. c) Divisão pot 4: O resto será o mesmo que resultar da divisão do número formados pelos dois últimos algarismos da direita por 4. 31 - Calcule o resto da divisão por 4, do número 55978617. Solução: Basta calcular o resto da divisão de 17, que é o número formado pelos-dois últimos algarismos, por 4. Nò qué resulta quociente 4 e resto 1. d) Divisão por 5: Se o algarismo das unidades for maior do que 5, o resto será a diferença entre este algarismo e 5. Se o algarismo das unida­ des for menor do que 5, o resto será esse algarismo. 32 - Calcule o testo da divisão por 5, do número 2458478. Solução: O número 2458478 termina em 8, que é maior do que 5, logo o resto será 8 —5 = 3. e) Divisão por 8: O resto da divisão de um número por 8, será o mesmo resto da divisão do número formado pelos três últimos algaris­ mos da dkeita por 8. 33 - Calcule o resto da divisão por 8, do número 385449. Solução: Basta calcular o resto da divisão do número 449 por 8. No que resulta quociente 56 e resto 1. Logo, o resto é 1. f) Divisão por 9: Somamos os valores absolutos dos algarismos. Se esta soma for maior do que 9, o resto sérá dado pelo resto da divisão dessa soma por 9. Se a soma for menor do que 9, o resto será o número resultado dessa soma. 34 - Calcule o resto da divisão por 9, dos números 71247 e 21002. MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - DIVISIBILIDADE 587 Solução: Somando-se os algarismos, temos: 7+1+2+4+7 —21 => 21 -s- 9 = 2 resto 3; 2+1+0+0+2 = 5 que é menor do que 9. Logo, o resto é 5. g) Divisão por 10: O resto será o próprio algarismo das unidades. 35 - Calcule o resto da divisão por 10, dos números 784532 e 345859. Solução: Como o número 784532 termina em 2, o resto é 2. Como o número 345859 termina em 9, o resto é 9. * h) Divisão por 11: O resto será a diferença entre a soma dos alga­ rismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par. 36 - Calcular o resto da divisão por 11, do número 976900. Solução: A. soma dos algarismos de ordem ímpar é: 0+9+7 = 16. A soma dos algarismos de ordem par é: 0+6+9 = 15; logo, o resto será 1 6 -1 5 = 1. 37- No número 34x7, substituir a letra x por um algarismo, de modo a se obter um número que dividido por 9 se encontre resto igual a 7. R: 2. 38 - Dado o número 43x7y, substituir as letras x e y por algarismos, de modo a se obter um número que, dividido por 9 e por 10, se encontre resto igual a unidade. R: x = 1 e y ~ 1. 3 9 - 0 algarismo das unidades de um número é 9, e a soma dos valores absolutos dos algarismos desse número é 67. Calcular a soma dos restos das divisões desse número por 2, por 3, por 6, por 9, por 5 e por 10. R: 20 40 - Dado o número 70703, substituir os zeros por algarismos significati­ vos iguais, de maneira que, o novo número assim formado, quando dividi­ do por 5 ou por 9, dê o mesmo resto. R: 2. 588 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 41 - Achar o menor número que dividido por 2, dê resto 1; dividido por 3, dê resto 2 e dividido por 10 dê resto 9. R: 29. 42 - Determine o maior número de quatro algarismos diferentes que divi­ dido por 2 e por 5 o resto seja 1 e que tenha para soma dos valores abso­ lutos dos seus algarismos o número 25. R: 9871 43 ~Calcule a soma dos restos das divisões por 2, 3,4, 5, 6, 8, 9, 10 e 11 do número 723013. R: 27 44 - Calcule um número de três algarismos que é múltiplo de 9, que dividi­ do por 10 deixe resto 1 e que o valor absoluto do algarismo das dezenas é o triplo do das centenas. R: 261 45 - Um grupo de 359 crianças vai ser disposto em formação: por 2, por 3, por 4, por 5, por 9 e por 10. Calcule a soma de quantas crianças sobrarão em cada formação. R: 27 46 - Dado o n ú m ero 8a35b, substituir a e b por algarismos de modo a se obter números que divididos por 3 e por 10, o resto seja 2, e calcular a soma desses algarismos. R: 17 47 - Quais os valores de x, sabendo que o número 987óx quando dividido por 5 dá resto igual 4. R: 9 e 4 48 - Sendo o número 5a7b divisível simultaneamente por 2, 3, 5, 9 e 10. Calcule a e b. R: a = 6 e b = 0. MATEMÁTICA PARA CONCÜRSO - DIVISIBILIDADE 589 CÁLCULO DO RESTO DA DIVISÃO DE UMA “SOMA” POR UM NÚMERO a) Determina-se o resto de cada parcela; b) Soma-se aritmedcamente esses restos; c) Calcula-se o resto da divisão da soma dos restos pelo divisor dado, quando essa soma for maior ou igual ao divisor; d) Se a soma dos restos for um número menor do que o divisor dado, o resto será esse mesmo número. 49 - Calcular o resto da divisão por 2, da expressão: 53841 + 32070 + 68478. S o l u ç ã o : a) O resto da divisão de 53841 por 2 é 1. O resto dadivisão de 32070 por 2 é 0. O resto da divisão de 6847S por 2 é 0, b) A soma dos restos é : l + 0 + 0 = l. c) Sendo a soma dos restos igual a 1 que é menor do que odivisor 2, o resto é 1. 50 - Calcular o resto da divisão, por 3, da expressão: 4872 + 3728 + 5435. S o l u ç ã o : Relembrar que o resto da divisão de um número por 3, é o mesmo resto da divisão da soma dos algarismos do número por 3. Entào, temos: a) O resto da divisão de 4872 por 3 será: 4+8+7+2 = 21 =>21 3 = 7 e resto 0. O resto da divisão de 3728 por 3 será: 3+7+2+S = 20 => 20 -*•3 = 6 e resto 2. O resto da divisão de 5435 por 3 será: 5 +4+3+5 = 17 => \~j -h3 = 5 e resto 2. b) A soma dos restos é: 0+2+2 = 4 c) Como a soma dos restos foi maior do que o divisor 3, dividimos essa soma por 3; no que resulta: 4 t 3 = 1 e resto 1- Logo, o resto da divisão da expressão dada, por 3, é 1. 51 - Calcular o resto da divisão, por 4, da expressão: 35472 + 10087 + 342. R: 1 52 - Calcular o resto da divisão, por 5, da expressão: 26 + 234 + 4528 + 12879 + 13443. R: 0 590 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 53 - Calcule o resto da divisão, por 2, da expressão: 32107 + 40353 + 51249. R: 3 54 - Calcuie o resto da divisão, por 3, da expressão: 7438915 + 89437217 + 83941. R: 1 55 - Determinar o resto da divisão, por 9, da expressão: 348 + 7395 + 831 + 643. R: 1 56 - Determinar os restos das divisões, por 5 e por 8, da expressão: 7042 + ’ 5381 + 942. R: 0 e 5 CÁLCULO DO RESTO DA DIVISÃO DE UMA «MULTIPLICAÇÃO55 POR UM NÚMERO a) Determina-se o resto de cada fator; b) Multiplica-se os restos obtidos; c) Calcula-se o resto da divisão da soma desse produto pelo divisor dado, quando esse produto for maior ou igual ao divisor; d) Se o produto dos restos for um número menor do que o divisor dado, o resto será esse próprio número. 57 - Calcular o resto da divisão da expressão: 2223 x 2224 x 2225 por 10. S o l u ç ã o : a) O testo da divisão de 2223 por 10 é 3. O resto da divisão de 2224 por 10 é 4. O resto da divisão de 2225 por 10 é 5. b) O produto dos restos é: 3 x 4 x 5 = 60. c) Como o produto dos restos foi maior do que o divisor 10, deve­ mos dividir esse produto pelo divisor, no que resulta: 60 10 = 6 e o resto é 0. Logo, o resto da divisão da expressão dada, por 10, é 0. 58 - Calcular o resto da divisão da expressão: 3333 x 4444 x 5555 por 8. R: 4. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DIVISIBILIDADE 591 59 - Calcular o resto da divisão, por 9, da expressão: 1234 x 56789 x 4321. R: 8. 60 - Determinar o resto da divisão, por 3, do produto: 3475 x 839 x 416. R: 1. 61 - Determinar o resto da divisão, por 8, do produto: 7406 x 9384 x 5032. R: 0. 62 - Calcular o resto da divisão do produto 6767 x 7878 x 8989, por 11. R: 8. 63 - Calcular o resto da divisão, por 4, da expressão: 9517 x 804152 x 37286. R: 0. 64 - Calcule o resto da divisão, por 5, do produto: 9428 x 2167 x 8359. R: 4. CÁLCULO DO RESTO DA DIVISÃO DE UMA «SOMA DE POTÊNCIAS” POR UM NÚMERO a) Determina-se o resto de cada base; b) Eleva-se cada resto encontrado, ao expoente da base correspondente; c) Soma-se esses valores para, em seguida, dividir pelo divisor dado, se essa soma for maior ou igual ao divisor. d) Se a soma for um número menor do que o divisor-dado, o resto será esse próprio número. 65 - Calcular o resto da divisão, por 2, da expressão: 1235B + 678932. S o l u ç ã o : a) Calcula-se o resto da divisão, por 2, de cada base, isto é: 1235 quando dividido por 2, o resto é 1. 6789 quando dividido por 2, o resto é 1. b) Eleva-se cada resto encontrado, ao expoente da base correspon­ dente, e soma-se: 12Í + l 32 = 1 + 1 = 2. c) Dividindo-se 2 por 2 encontra-se resto tgual a zero. 66 - Calcular o resto da divisão, por 3, da expressão 3433525,1 + 79i20l). R: 2 67 - Calcular o resto da divisão, por 4, da expressão: 1212— + 2733111 + 8744333. R: 1 592 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 68 - Calcular o resto da divisão da expressão: 4764 + 842’ por 3. R: 2 69 - Calcular o resto da divisão da expressão: 221'* + 3323 4* 4431, por 10. R: 8 CÁLCULO DO RESTO DA DIVISÃO DE UM «PRODUTO DE POTÊNCIAS” POR UM NÚMERO a) Determina-se o resto de cada base; b) Eleva-se cada resto encontrado, ao expoente da base corres­ pondente; c) Multiplica-se esses valores para, em seguida, dividir pelo divisor dado, se esse produto for maior ou igual ao divisor; d) Se o produto for um número menor do que o divisor dado, o resto será esse próprio número. 70 - Calcule o resto da divisão da expressão: 272* x 3214, por 5. Solução: a) Calcula-se o resto de cada base. 272 quando dividido por 5, o resto é 2.321 quando dividido por 5, o resto é 1. b) Eleva-se cada resto ao seu respectivo expoente e multiplica-se. 2í x l 't = 8 x 1 = 8 c) Dividindo-se 8 por 5 encontra-se resto igual a 3. 71 - Calcule o resto da divisão da expressão: 3423x 2482- por 5. R: 2 72 - Calcule o resto da divisão da expressão 2344* x 1373';, por 4. R: 0 73 - Calcule o resto da divisão da expressão 21457Jíi x 1225~2, por 9. R: 1 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - DIVISIBILIDADE 593 49 NÚMEROS PRIMOS - MÚLTIPLOS E DIVISORES NÚMERO PRIMO Um número é primo quando for divisível somente por si e pela unidade. Os primeiros números primos dispostos em ordem crescente são: 1, 2, 3, 5, 7,11,13, 17,19, 23, 29, 31... NÚMERO COMPOSTO Um número é dito composto quando for divisível, pelo menos, por um número diferente dele próprio e da unidade. Logo, os números 6,15, 20 e 1340 são números compostos, pois admitem outros divisores. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois números são chamados de primos entre si, quando só possu­ em como divisor comum a unidade. Logo, os números 5 e 7; 16 e 31; 4 e 17 são números primos entre si, muito embora o 16, por exemplo, e o 4 não o sejam quando considera­ dos isoladamente. MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO Múltiplos de um número dado, sào todos os números que sào divi­ síveis por esse número. Para calcularmos os múltiplos de um número, basta multiplicarmos esse número pelos números que constituem o conjunto dos números na­ 594 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR turais, isto é, por 0 ,1 ,2 , 3, 4, 5, 6..., onde podemos concluir que os múlti­ plos de um número são infinitos. DIVISORES DE UM NUMERO Divisores de um número sào aqueles números que dividem, sem deixar resto, o número considerado. Então, podemos dizer, por exemplo, que os divisores de 10 são: 1, 2, 5 e 10. DECOMPOSIÇÃO DE UM NUMERO EM SEUS FATORES PRIMOS a) Divide-se o número pelo seu menor divisor primo diferente de 1; b) Esse divisor escreve-se à direita do número, do qual é separado por uma barra; c) O quociente obtido é escrito embaixo do número dado; d) Divide-se o quociente obtido por seu menor divisor primo; e) Esse divisor primo escreve-se à direita da barra e o novo quoci­ ente obtido escreve-se embaixo do primeiro quociente encontrado. f) Prossegue-se, dividindo-se sempre o último quociente pelo seu menor divisor primo, até que se encontre um quociente igual à unidade. g) Os números que serviram de divisores, e foram escritos à direita da barra, são os divisores primos procurados. 01 - Decompor o número 120 em seus fatores primos. Solução: 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 No que resulta: 120 = 2J x 3 x 5. - MA312VÍÍÜIOVPARA CONCURSO - NÚMEROS PRIMOS - MÚLTIPLOS E DIVISORES 595 02 - Decompor o número 468 em seus fatores primos. R: 22 x 32 x 13 03 - Decompor 8400 em fatores primos. R: 24 x 3 x 52 x 7 04 - Decompor 6435 em fatores primos. R: 32 x 5 x 11 x 13 05 - Decompor 3962 em fatores primosR: 24 x 34 x l l 2 06 - Decompor 6302 em fatores primos. R: 22 x 34 x 5" x 7' 07 - Decompor 3965 em fatores primos. R: 26 x 3* x l l 3 08 - Decompor 543 x 962 em fatores primos. R : 2 l3 x 3 l! 09 - Decompor 120 x 2522 em fatores primos. R: 27 x 3S x 5 x T RECONHECER SE UM NÚMERO DADO É PRIMO Para se verificar se um número dado é primo, deve-se dividi-lo sucessi­ vamente pelos números primos, tomados em sua ordem natural crescente, a começar de 2; chegando-se, sem se encontrar uma divisào exata, a um quoci­ ente igual ou menor do que o divisor, conclui-se -que o número dado é primo. 10 - Verificar quais dos números: 989, 997, 1157 e 1217 são primos. R: 997 e 1217 11 - Verificar se são primos os números: 767, 887, 937 e 1027. R: 887 e 937 596 HILDER GÓES * UBALDO TONAR DETERMINAÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO Todos os divisores de um número podem ser obtidos, na prática, da seguinte maneira: a) Decompõe-se o número em seus fatores primos; b) Coloca-se a unidade, separada por um segundo traço vertical, acima da linha correspondente ao primeiro fator; c) Multiplica-se o primeiro fator primo pela unidade e coloca-se o resultado na linha desse fator; d) Multiplica-se o segundo fator primo pela unidade e pelo primei­ ro fator, colocando-se os resultados na linha correspondente a esse se­ gundo fator; e) Procede-se, dessa maneira, até o último fator, levando-se em consideração, porém, que os divisores obtidos mais de uma vez, não deve­ rão ser escritos. 12 - Calcular os divisores de 30. Solução: 1 30 2 2 15 3 3 - 6 5 5 5 - 10 1 Então, os divisores de 30 sào: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30. 13 - Calcular os divisores do número 90. Solução: 1 90 2 2 45 3 3 - 6 15 3 9 - 18 5 5 5 - 10 1 Logo, os divisores de 90 são: 1,2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 e 90. MATEMÁTK^PARACONCÜBSO-i>rt)MEROS PRIMOS - MÚLTIPLOS E DIVISORES 597 14 - Determinar os divisores dos números: 6, 36 e 120. R: D(ú) = (1, 2, 3, 6} Dw = {1, 2, 3 , 4, 6 , 9 , 12 , 18 , 3 6} D(,2) = {1, 2,3,4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60,120} Olhe: Um número é dito perfeito se a soma dos seus divisores é igual ao próprio número. DETERMINAÇÃO DO “NÚM ERO” DE DIVISORES DE UM NÚMERO Para determinarmos quantos divisores possui um número, não é necessário calcular os seus divisores e depois contá-los, pois existe uma regra prática para tal fim. Senão vejamos: a) Decompõe-se o número em seus fatores primos; b) Adiciona-se uma unidade a cada expoente dos fatores primos; c) Multiplica-se os resultados obtidos. 15 - Calcular o número de divisores de 200. Solução: Vamos decompor 200 em seus fatores primos: 200 100 50 25 5 1 2 2 2 5 5 Somando uma unidade a cada expoente dos fatores primos, temos: 3 + 1= 4 b 2 + 1=3. Multiplicando-se esses resultados, vem: 4 x 3 = 12. Logo, o número 200 possui 12 divisores. 16 - Determine quantos divisores possui o número 360. R: 24 598 HILDER GÓES 4- UBALDO TONAR 17 - Determinar o número de divisores de 840. R: 32 18 - Determinar o número de divisores de 900. R; 27 19 - Determine quantos divisores possui o número: M = 20 x 49 x 50 x 70. R: 100 20 - Calcule o-número de divisores de K, sendo K = 242 x 153 x 92. R: 280 21 - Determine quantos divisores possui o número: M = I x 2 x 3 x 4 x 5 x6x7x8x9xl0. R: 270 22 - Calcular o valor de m para que o número 23 x 32 x 5m admita 60 divisores. Solução: O número já está fatorado, basta somente aumentarmos cada ex­ poente de uma unidade e efetuar o produto igualando-o a 60. Então, temos: (3+l)(2+l)(m +l) = 60 4 x 3(nrH) = 60 m +1=5 m =4 23 - Calcular o valor de n para que o número 5J x 3" admita 12 divisores. R: 2 24 - Calcule n, de modo que o inteiro positivo da forma 28 x 25" admita 54 divisores. R: 4 25 - Se K = 9 x 5me sabendo que ele admite 9 divisores, calcule, o.valor de K. R: 225 MATEMÂTICAPAEA CONCURSO- NÚMEROS PRIMOS - MÚLTIPLOS E DIVISORES 599 26 - Calcule o valor de n para que o inteiro da forma 3a x 3 x 32 admita 8 divisores positivos. R: 4 27 - Determine os divisores do inteiro positivo 4 x 9" sabendo que ele admite 9 divisores. R: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 28 - Determine o valor de n de modo que, o quociente entre os inteiros positivos da forma 125 x 9" e 15, admita 18 divisores. R: 3 29 - Determine os divisores do inteiro positivo 9“ x 2, de modo que ele admita 6 divisores. R: {1,2,3,6, 9,13} 30 - Dado M = 21 x 72 um número que admite 15 divisores, determine x. Solução: Somando-se uma unidade a cada expoente, temos: x + 1 e 2 + 1 = 3. (x + 1)3 = 15=>x + l = 5=>x = 4 31 - Dado N =■2' x 3Xum número que admite 16 divisores, determine N. R: 216 32 - Dado N = 3J x 5Xum número que admite 12 divisores, determine x. R: 2 33 - Calcule o número N = 9 x 10", sabendo que ele admite 27 divisores. Solução: N = 32 x (2 x 5)1' N = 32 x 2“ x 5" Somando-se uma unidade a cada expoente, temos: (2+l)(n+l)(n+l) :=> 3(n+l)(n+l) Esse produto é igual ao número de divisores, logo: 3(n+l)(n+l) = 27 (n+l)(n+l) = 9 (n+1)2 = 32 Como os expoentes são iguais, então as bases são iguais: n + 1 = 3 n =2 600 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Então,N = 9 x 102 N = 9 x 100 N = 900 34 - Calcular o número da forma 3 x 10Kpara que ele admita 18 divisores. R: 300 3 5 - 0 número N de três algarismos quando decomposto em fatores primos é da forma 2 x 3 1xm. Sabe-se que N é divisível pelo menor número compos­ to, compreendido entre 102 e 10 \ Calcule o maior valor possível para a. R: 3 36 - Calcule a soma dos dois primeiros múltiplos pares, do inteiro positivo da forma 5“ x 7, de modo que ele admita 4 divisores. R: 70 3 7 - 0 inteiro da forma 4 x 3nadmite 9 divisores. Calcule a soma dos seus três primeiros múltiplos. R: 108 38 - Calcuie o número de múltiplos de 3 compreendidos entre os números 514 e.974. Solução: Cálculo do último múltiplo: dividindo-se 974 por 3,' temos: 974 | 3 07 324 14 2 A divisão não é exata, pois deu resto 2. Mas, se do número 974 subtrairmos o resto 2, o número resultante será divisível por 3. Então, temos: 974 —2 = 972 que é o ultimo múltiplo. Cálculo do primeiro múltiplo: dividindo-se 514 por 3, vem: 514 | 3 21 171 04 1 MATEMÁTICAPARA CONCURSO - NÚMEROS PRIMOS - MÚLTIPLOS E DIVISORES 001 A diferença entre o divisor 3 e o resto 1 é 2, que somado ao núme­ ro 514 resulta 516, que é o primeiro múltiplo. . O último múltiplo 972 menos o primeiro 516, resulta: 972—516 = 456. Divide-se 456 por 3, no que resulta 152 como quociente. Somando-se uma unidade a esse quociente, temos: 152 + 1 = 153, que são os números de múltiplos de 3 compreendidos entre 514 e 974. 39 - Calcule quantos múltiplos de 5 existem entre 228 e 664. R: 67 40 - Determine o número de múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 200 . R: 12 41 - Determinar quantos múltiplos de 31 há entre 308 e 623. R: 11 42 - Determine quantos números existem entre 328 e 754 que são divisí­ veis por 10. R: 43 43 - Determine quantos divisores possui o número: (3°--t—-y®. R: 23 602 HILDER GÓES * UBALDO TONAR MÁXIMO DIVISOR COMUM Divisor Comum —Chamamos de divisor comum de dois ou mais números, a um número que os divide exatamente, isto é, sem deixar resto. Os divisores de 12, são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Os divisores de 30, são: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30. Os divisores de 12 e 30, serão: 1, 2, 3 e 6. Máximo Divisor Comum: E o MAIOR de todos os divisores comuns de dois ou mais números, diferentes de zero. No exemplo dado verificamos que o máximo divisor comum de 12 e 30 é 6 e indica-se da seguinte maneira: m.d.c (12,30) = 6 D eterm inação do m .d.c.: Há dois processos para se determinar o m.dx. de dois ou mais números, que são: a) Processo das divisões sucessivas; b) Processo da decomposição em fatores primos. PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Sendo dados dois números, para se determinar o m.d.c. entre eles, divide-se o número maior pelo menor; se a divisão for exata o m.d.c. será o número maior. Se a divisão não for exata, divide-se o número menor pelo resto encontrado. Se a divisão for exata, o resto, que serviu de divisor, será o m.d.c. procurado. Na prática, dispõe-se a operação da maneira indicada abaixo, escre­ vendo-se os quocientes sucessivos sobre os divisores considerados e os restos sob os dividendos respectivos. Senão vejamos: MATEMÁTICA PARA CONCURSO - MÁXIMO DIVISOR COMUM 603 01 - Determinar o m.d.c. entre-168 e 36. Solução: ___ quociente => 24 ...12 168 36 resto => 24 12 4 —primeiro quociente; 24 - primeiro resto, que será o próximo divisor; 1 - segundo quociente; 12 —segundo resto, que será o prósimo divisor; 2 - terceiro quociente; 0 - último resto. Entao, o m.d.c. (168,36) = 12. Olhe: Para se determinar o m.d.c. de vários números, determina-se o m.d.c dos dois primeiros; em seguida, determina-se o m.d.c. entre o primeiro m.d.c. encontrado e o terceiro número, e assim por diante, até considerar todos os números dados. 02 - Determine o m.d.c. de 216 e 144. R: 72 03 - Procurar o m.d.c. de 468 e 540. R: 36 04 - Determine o m.d.c de 160 e 144. R: 16 05 - Determine o m.d.c. de 180,84 e 24. R: 12 06 - Determine o m.d.c. de 120, 216 e 300. . R: 12 07 - Determine o m.d.c. de 936,792 e 504. R: 72 604 HILDER GÓES * UBALDO TONAR - ^ PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS a) Decompòe-se cada número dado em seus fatores primos; b) O m.d.c. será igual ao produto dos fatores primos comuns eleva­ dos aos menores expoentes que entram na composição dos números. 08 - Dados os números A = 23 x 3 x 53 e B = 2} x 3! x 5 x 7, calcule o m.d.c de A e B. Solução: Como o m.d.c. será o produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes, temos que: m.d.c. (A,B) = 22 x 3 x 5 PROPRIEDADES DO M.D.C. DE DOIS OU MAIS NÚMEROS a) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números por um terceiro diferente de zero, o seu m.d.c. ficará multipEcado ou dividido por esse terceiro número; b) Se dois números forem divididos por seu m.d.c. os quocientes obtidos são primos entre si; c) Todo número que dividir dois outros, divide, também, seu m.d.c.; d) Se elevarmos dois números à uma mesma potência o m.d.c. apa­ rece elevado a essa potência; e) Todos os divisores comuns de dois ou mais números são tam­ bém divisores do seu m.d.c.; f) O m.d.c. de dois números primos entre si é a unidade. 09 - Determine, pelo processo da decomposição sucessiva, o m.d.c. dos números 108 e 96. R: 12. 10 - Determinar, pelo processo da decomposição sucessiva, o m.d.c. dos números 1248 e 864. R: 96 U - Decompondo os números A, B e C em seus fatores primos, encontra-se: À = 25 x 32 x 53 x 7, B = 24 x 33 x 5 e C = 23 x 34 x 5 x 7. MATEMÁTICA PARA GONGURSO - MÁXIMO DIVISOR COMUM 605. Determine a soma dos expoentes dos fatores que compõem o m.d.c. de A, B e C. R: 6 12 - Calcule o produto dos expoentes a e b nos números fatorados: A = 23 x 3a x 52 e B = 2bx 34 x S\ de modo que o m.d.c. desses números seja: 22 x 3* x 52. R: 6 13 - Dados os números A = 2a x 3 x 5 e B = 2 x 3bx 5, calcule a + b, sabendo que o m.d.c. de A e B é 30. R: 2 1 4 - 0 m.d.c. dos números 2mx 32 x 52 e 23 x 31' x 52 será 2J x 3 x 52 se m + n for igual a: R: 4 15 - Sejam os números A = 21x 32 x 52 e B = 2i x 5b x T~. Se o m.d.c. de A e B é 100, calcule a + b. R: 4 16 - Qual deve ser o valor de a no número N = 3 x 53 x 2a+1, para que o m.d.c. entre 96, N e 240 seja 24? R: 2 17 - Determine os três maiores divisores comuns de 180,90 e 60. Solução: Calcuia-se o m.d.c. dos números dados, isto ê, de 180, 90 e 60, 2 1 2 => 90 60 m.dx. (180,90,60) = 30 180 90 30 0 0 30 O m.d.c 30 é o maior divisor dos números, os outros divisores, serão: 30 ^ 2 = 15 e 30 3 = 10. Entlo, os três maiores divisores de 180,90 e 60 são os números 30, 15 e 10. 18 - Determine os três maiores divisores comuns de 936,792 e 504. R: 72, 36 e 24 606 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 19 - Calcule os três maiores divisores comuns de 504, 378 e 168. R: 42, 21 e 14 20 - Determine os divisores comuns dos números 140 e 80. Solução: Para se calcular os divisores comuns de dois ou mais números, bas­ ta calcular os divisores do m.d.c. desses números. Então, temos: a) Cálculo do m.d.c.: 140 60 1 80 20 1 60 . 0 3 20 Logo, o m.d.c.(140,80) = 20 b) Cálculo dos divisores do m.d.c, isto é, de 20: 1 2 20 2 4 10 2 5 5 5-10-20 1 Logo, os divisores comuns 21 - Determine os divisores comuns dos números: 1800, 940 e 120. R: {1,2,4,5,10 e 20} 22 - Determine os divisores comuns dos números: 360, 216 e 120. R: {1,2,3,4,6,8,12 e 24} 23 - Determine os divisores pares comuns dos números: 720, 450 e 390. R: {2,6,10 e 30} 24 - Calcular o número de divisores comuns dos números: 700 e 360. R: 6 25 - Calcule os três menores números pelos quais devemos dividir 90, 75 e 45, respectivamente, a fim de que os quocientes obtidos sejam iguais. MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - MÁXIMO DIVISOR COMUM 607 Solução: a) Calcula-se o m.d.c. de 90, 75 e 45. 90 15 5 1 75 15 0 3 45 15 0 Então, o m.d.c. (90,75,45) —15. b) Divide-se cada número pelo seu m.d.c.; Então, os três menores números que devemos dividir 90, 75 e 45 para obtermos o mesmo quociente são os números 6, 5 e 3. Veja que, quando dividirmos 90 por 6, 75 por 5 e 45 por 3 o quoci­ ente será 15. Senão, vejamos: 90 -r 6 —15; 75 + 5 = 15 e 45 -r-3 = 15. 26 - Determine os três menores números pelos quais devemos dividir 357, 187 e 153, respectivamente, a fim de que os quocientes obtidos sejam iguais. R: 21,11 e 9 27 - Calcule os quatro menores números pelos quais devemos dividir 917,280, 252 e 168, respectivamente, a fim de que os quocientes obtidos sejam iguais. R: 131,40, 36,24 2 8 - 0 m.d.c de dois números é 37. Qual será o m.d.c. do triplo desse número? R: 111 2 9 - 0 m.d.c. de dois n ú m ero s A e B é 4. Calcule o m.d.c. de A2 e B2. R: 16 30 - Dividindo-se 231 e 247 pelo maior número possível, acha-se 7 por resto em cada divisão. Calcule o divisor usado. Solução: Subtraindo-se dos números 231 e 247 o resto, é claro que os núme­ ros resultantes, quando divididos pelo seu maior divisor, dará uma divisão exata. Então, temos: 608 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 231 —7 = 224 e 2 4 7 - 7 = 240. Basta, agora, calcular o m.cl.c. de 224 e 240. 1 240 16 224 0 14 16 Logo, o maior divisor é 16, que é o m.d.c dos números dados me­ nos o resto. 31 - Qual é o maior número que divide 257,399 e 470 e deixa como restos os números 5, 3 e 2, respectivamente? R: 36 32 - Por qual número devo dividir 1073, 609 e 378, se eu pretendo obter, respectivamente, os restos 11, 19 e 24? R: 118 33 - Calcule os pares de números que somados dois a dois resulta 72 e o seu m.d.c é 9. Solução: Quando dois números são divididos pelo seu m.d.c., os quocientes obtidos sào números primos entre si. Sejam a e b os números: a + b = 72 e m.d.c.(a,b) = 9 a i-------_b —72 a— 9 9 9 9 3 —= 3 =* a = 27 9 b —= 5 ==> b = 45 9 a —= 1 a = 9 9 — b „ 9 _j— g —= 7 => b = 63 9 Logo, os pares de números sào: 27 e 45 ou 9 e 63. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - MÁXIMO DIVISOR COMUM 609 34 - A soma de dois números é 84 e o seu m.d.c. e 12. Calcule quais sào esses números. R: 36 e 48 ou 12 e 72 ou 24 e 60 3 5 - 0 produto de dois números é 250 e o seu m.d.c. é 5. Calcule esses números. R: 10 e 25 3 6 - 0 m.d.c. de dois números é 10, na sua procura pelo processo das divi­ sões sucessivas, encontram-se os quocientes 3,1 e 2. Calcule esses números. Solução: De um modo geral, teríamos o seguinte quadro, para dois números quaisquer: a e b . a R 3 b R> 2 R’ 1 R 0 No problema, temos: 3 1 R 0 2 10 Quando se multiplicou o 2 por 10 e subtraiu-se de R, o resto deu zero, é claro que o R = 20. No que resulta: 3 b 10 1 20 0 2 10 Quando se multiplicou o 1 por 20 e subtraiu-se de b dando um resto 10, é claro que b = 30, no que resulta: a 20 61 0 3 30 10 1 20 0 2 10 HILDER GÓES * UBALDO TONAR Quando se multiplicou o 3 por 30 e subtraiu-se de a dando um resto 20 é porque o a = 110. Logo, os números sào: 110 e 30. 37 - Q m.d.c. de dois números é 48 e os quocientes encontrados na pes­ quisa, por divisões sucessivas, sào 1, 3 e 2. Calcule esses números. R: 432 e 336 3 8 - 0 m.d.c. de dois números é 6, na sua procura pelo processo das divisões sucessivas, encontram-se 1, 2, 1 e 2. Calcule os dois números. R: 66 e 48 39 - Na procura do m.d.c. de dois números encontram-se três quocientes iguais a 1 e o quarto quociente igual a 4. O m.d.c. desses números é 6. Determine esses números. R: 84 e 54 40 - Pretende-se dividir 3 rolos de arame de 630, 300 e 200 metros de comprimento, em pedaços iguais e de maior tamanho possível. Calcule o comprimento de cada pedaço. R: lOm 41 ~Pretende-se dividir dois rolos dc arame de 36 metros e 48 metros de comprimento em pedaços iguais e de maior tamanho possível. Calcule o comprimento de cada pedaço. R: 12m 42 - Um pai dá a um filho $ 80,00, ao segundo $ 75,00 e ao terceiro $ 60,00 para que eles distribuam entre seus amigos, de modo que cada um dos filhos dê a cada amigo a mesma quantia. Calcule a maior importância que poderá receber cada um dos amigos è quantos são. R: $ 5,00 e 43 amigos 43 - Duas peças de fazenda de mesma qualidade custam $ 360,00 e $ 585,00, respectivamente. O preço de um metro é um número inteiro maior que $ 5,00 e menor que $ 14,00. Calcule quantos metros mede cada peça. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - MÁXIMO DIVISOR COMUM 6 ll Solução: Calcula-se o m.d.c. de 360 e 585, que nos dá 45. Logo, o preço do metro é § 45,00. Mas veja que o metro custando 5 45,00, nào satisfaz a condição do problema de ser um valor maior do que $ 5,00 e menor do que $ 14,00. Então, devemos calcular os divisores de $ 45,00, no que resulta: 1 45 3 9 15 5 5, 15, 45 1 {$ 1,00; $ 3,00; $ 5,00; $ 9,00; %15,00; $ 45,00} Dentre os valores encontrados, o que satisfaz a condição imposta é $ 9,00, que é o preço de um metro. Então, cada peça mede: $ 585,00 9,00 —65m e $ 360,00 -r 9,00 = 40m 44 - Um empregado recebe $ 112,00 por certo número de dias que trabalha, e $ 168,00 por outro número de dias. O preço da diária está compreendido entre $ 4,00 e $ 8,00. Calcule o número de dias trabalhados cada vez. R: 24 dias e 16 dias 45 - Um floricultor possui 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas, e pre­ tende fazer o maior número de ramalhetes que contenha, cada um, o mes­ mo número de rosas de cada cor. Calcule quantos serào os ramalhetes e quantas rosas de cada cor deve ter cada um deles. R: 20 ramalhetes; 5 rosas brancas e 3 rosas vermelhas 46 - Deisy comprou 200 rosas brancas e 120 rosas vermelhas e quer, com elas, fazer o maior número de ramos, de forma que cada ramo contenha o mesmo número de rosas brancas e o mesmo número de rosas vermelhas do outro. Calcule o número de rosas brancas de cada ramo. R: 5 47 - Calcule o comprimento da maior trena que fica contida exatamente quando se mede o perímetro de um terreno retangular de 120m de com­ primento e 75m de largura e quantas ve2es ela foi usada. R: 15m e 26 vezes 61 2 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 48 - Desejo dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 144, 108 e 90 metros, em partes iguais e de maior tamanho possível. Cal­ cule o comprimento de cada parte e o número de partes de cada peça. R: 18m; 8, 6 e 5 partes 49 - Nas quatro séries de um ginásio há, respectivamente, 60, 48, 36 e 24 alunos. Em quantas equipes poderemos agrupar esses alunos, sem mistu­ rar as séries, de modo que cada equipe tenha o mesmo e o maior número possível de alunos? R: 12 equipes 50 - Deisy deseja plantar 72 mudas de violeta, 24 de rosa, 36 de orquídea e 48 de camélia no menor número possível de canteiros. Sabendo-se que cada canteiro deverá receber o maior e o mesmo número de plantas de uma só espécie. Calcule quantos canteiros serão necessários e qual o nú­ mero de plantas que deve conter cada canteiro. R: 15 canteiros e 12 plantas MATEMÁTICA PARA CONCURSO - MÁXIMO DIVISOR COMUM 613 1 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM MÚLTIPLO COMUM - Chamamos de múltiplo comum de dois ou mais números, a um número que seja divisível, ao mesmo tempo, por todos os números dados. Um número admite uma infinidade de múltiplos. Consideremos, por exemplo, os números 4 e 6. Os seus múltiplos, excluindo o zero, que c múltiplo de todos os números, sào, respectivamente: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52... 6,12,18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,72... Veja que os números 12, 24, 36 e 48... são múltiplos comuns de 4 e 6, isto é, são divisíveis tanto por 4 como por 6. Os múltiplos comuns de dois ou mais números, como já dissemos, são infinitos. Daí o fato de nào existir o máximo múltiplo comum. Existe, sim, o menor dos múltiplos comuns, denominado de m ínim o m últiplo comum e representado pela notação: m.m.c (4,6) = 12 De modo geral, podemos definir: m ínim o m últiplo com um de dois ou mais números como sendo o menor número, diferente de zero, que seja, ao mesmo tempo, divisível por todos esses números. CÁLCULO DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM a) Decompòem-se cada número em seus fatores primos; b) Multiplicam-se todos os fatores primos comuns e não comuns elevados aos seus maiores expoentes. 01 - Calcular o m.m.c. dos números 36, 90 e 120. Solução: Decompondo-se os números, teremos: 614 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR 36 = 22x 3’ 90 = 2 x 32x 5 120 ~ 23x 3 x 5 Considerando-se os fatores primos comuns com os maiores expo­ entes, temos: 23 e 3^ e o nào comum 5, obtemos como produto: m.m.c. (36, 90, 120) = 23 x 32 x 5 = 360 Logo, o menor múltiplo comum a 36, 90 e 120 é 360. Este processo pode ser simplificado com a aplicação da seguinte regra: Escrevem-se os números em uma linha horizontal e à direita, dessa linha, um traço vertical. Dividem-se estes números pelos fatores primos sucessivos. Enquanto houver, ao menos, um número divisível por determina­ do fator, nào se passa para o outro fator primo. O produto de todos os fatores primos obtidos será o mínimo múltiplo comum dos números dados. 02 - Determinar o m.m.c. Solução: 18 - 24 - 40 9 - 12 - 20 9 - 6 - 10 9 _ 3 - 5 3 - 1 5 1 - 1 - 5 1 1 1 - dos números 18, 24 e 40. 2 2 2 3 3 5 - PROPRIEDADES DO M .M .C. DE DOIS NÚMEROS a) O m.m.c. de dois números primos entre si é o produto desses números. m.m.c. (4,7) = 28 m.m.c. (5,8) = 40 b) O m.m.c de dois números em que o número maior seja divisível pelo número menor, é o maíor desses números. m.m.c. (4,16) = 16 m.m.c. (4,20) = 20 c) Multiplicando-se ou dividindo-se dois números por um outro número, diferente de zero, o m.m.c. desses dois números ficará multiplica­ do ou dividido por esse outro número, m.m.c. (12,18) = 36 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 6l 5 Multiplicando-se 12 e 18 por dois, temos: 24 e 36, e o m.m.c. será: m.m.c. (24,36) = 72, que é o dobro de 36. Veja com atenção: O produto do m.d.c. pelo m.m.c. de dois números é igual ao produ­ to desses números. 03 - Calcular o m.m.c. de 9 e 12, sabendo que o seu m.d.c. é 3. 9x12 Solução: m.m.c. — -------—36 0 4 - 0 produto de dois números é 5760 e o m.d.c. é 8. Calcular o m.m.c desses dois números. R: 720 05 - Calcule o m.d.c. de dois números, sabendo que o m.m.c. é 144 e o produto desses números é igual a 1728. R: 12 0 6 - 0 produto de dois números é 1512 e o m.d.c. é 6. Calcule o m.mx. R: 252 0 7 - 0 m.m.c. de dois números é 360 e o m.d.c. é 30. Calcule o produto desses dois números. R: 10.800 0 8 - 0 m.m.c. de dois números é 11352 e o m.d.c. é 6. Se um dos números é 264, calcu le o o u tro número. R: 258 09 - Determinar o m.m.c. de 144 e 90. R: 720 10 - Determinar o m.m.c. de 160, 150 e 100. R: 2.400 616 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 11 - Determinar o m.m.c. de 15, 16, 48 e 150. R: 1.200 12 - Determinar todos os números compreendidos entre 200 e 800 que sejam divisíveis por 12, 18 e 20. Solução: O menor número divisível por 12,18 e 20 é o m.m.c. desses núme­ ros, ou seja: m.m.c. (12,18, 20) = 180. Basta, agora, calcular os múltiplos de 180 que estejam compreendidos entre 200 e 800. Logo, os números são: 360, 540 e 720. 13 - Determinar todos os números compreendidos entre 1000 e 3000 que sejam divisíveis, ao mesmo tempo, por 48, 60 e 72. R: 1440, 2160e 2880 14 - Determinar os números compreendidos entre 1000 e 3000 que sejam divisíveis por 24, 30 e 50, ao mesmo tempo. R: 1200, 1800e 2400 15 - Determinar os números compreendidos entre 2000 e 4500 que sejam divisíveis por 18, 20 e 48, ao mesmo tempo. R: 2160, 2880, 3600 e 4320 16 - Determinar os três menores números de três algarismos que sejam divisíveis por 6, 8 e 9 simultaneamente. R: 144, 216 e 288 17 - Calcule quantos números há, inferiores a 1000, que sejam divisíveis por 15,18 e 20, ao mesmo tempo. R: 5 18 - Determinar os números de três algarismos que sejam divisíveis por 36 e 40 simultaneamente. R :360 e 720 19 - Determinar os dois menores números pelos quais devemos multipli­ car os números 24 e 36, a fim de se obter produtos iguais. MATEMÁTICA PASA CONCORSO - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 617 Solução: Calculando-se o m.m.c. de 24 e 36, temos: m.m.c. (24,36) = 72 Dividindo-se 72 por 24 e por 36, obtemos, 3 e 2, respectivamente. E claro que, multiplicando-se 24 por 3 e 36 por 2 os produtos obtidos sào iguais a 72. Logo, os números sào: 3 e 2. 20 - Calcule os dois menores números pelos quais devemos multiplicar os números 60 e 78, a fim de se obter produtos iguais* R: 10 e 13 21 - Determine os três menores números pelos quais devemos multiplicar 60, 80 e 120, respectivamente, de modo que os produtos obtidos sejam iguais. R: 4, 3 e 2 22 - Calcule o menor número que, dividido por 6,10, 12 e 15, deixa sem­ pre o mesmo resto 5. Solução: Calcula-se o m .m .c. dos números, m .m .c. (6,10,12,15) =60 Como deixa resto 5, então o número é 60 + 5 = 65. 23 - Calcular o menor número que, dividido por 15 e 18, deixa sempre o mesmo resto 12. R: 102 24 - Calcule o menor número que dividido por 18, 24, 30 e 40 dá sempre o mesmo resto 9. R: 369 25 - Determinar os dois menores números que divididos por 15, 18 e 20 dão sempre o mesmo resto 13. R: 193 e 373 26 - Tenho um certo número de bolas que é superior a 400 e inferior a 500. Calcule quantas bolas possuo, sabendo que, contando de 20 em 20, de 30 em 30 e de 40 em 40 sempre sobram 10. R: 490 618 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 27 - Um colecionador de moedas possui mais de 150 c menos de 200 moedas. Contando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 36 em 36, sempre sobram 10. Calcuiar o número de moedas. R: 190 28 - Um menino estava brincando com soldadinhos de chumbo. Eram muitos mas nào chegavam a 100- Arrumou-os em grupos de 3 e viu que sobra um. Experimentou arrumá-los em grupos de quatro e notou, tam­ bém, que sobra um. Arrumando-os em grupos de cinco, continuava so­ brando um. Cnlcule'quantos soldadinhos o menino possuía. R: 61 29 - Deisy possui um certo número de mudas que é inferior a 700. Quan­ do conta de 6 em 6, de 8 em 8, de 10 em 10 ou de 12 em 12, verifica que sempre sobram 5, mas quando conta de 11 em 11, não sobra nenhuma. Calcule o número de mudas. R; 605 30 - Deisy tem um certo número de rosas compreendido entre 100 e 300. Juntando-as em grupos de 6, de 10 ou de 12 sempre restam 4, mas quando reúne em grupos de 8 nào resta nenhuma. Calcule quantas rosas ela possui. R: 23 31 - Calcule o menor número que dividido por 8,12,18 e 20, deixa respec­ tivamente, os restos 1, 5, 11 e 13. R: 353 32 - De um aeroporto partem, simultaneamente, às 8 horas três aviões. O primeiro faz uma viagem de 2 em 2 horas; o segundo, de 3 em 3 horas e o terceiro de 4 em 4 horas. Calcule a que horas os três aviões partirào juntos novamente. Solução: Calculando-se o m.m.c. de 2, 3 e 4, encontra-se: m.m.c (2,3,4) = 12 Os aviões partirão juntos, novamente, depois de 12 horas; logo, às 20 horas, pois haviam partido às 8 horas. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 6 l9 33 - Três navios, partem, de um porto, para o mesmo destino; o primeiro, em cada 8 dias; o segundo, em cada 10 dias e o terceiro em cada 5 dias. Calcule quantos dias transcorrem para que partam juntos novamente. R: 40 dias 34 - As 14 horas e 24 segundos três goteiras pingam ao mesmo tempo. A primeira pinga de 3 em 3 segundos; a segunda pinga de 6 em 6 segundos; e a terceira de 9 em 9 segundos. Calcule a que horas as três pingarão juntas pela segunda vez. R: 15 horas 35 - Quatro navios de quatro companhias de navegação, partem do porto de Fortaleza. O navio da primeira companhia parte de 10 em 10 dias; o da segunda, de 8 em 8 dias; o da terceira, de 9 em 9 dias; e, o da quarta, a cada 5 dias. Calcule quantos dias transcorrerão para três partidas simultâneas e consecutivas. R: 360 dias 36 - Na primeira página de um livro escrevem-se as letras a, b e c. A letra a é escrita de 8 em 8 páginas; a letra b, de 10 em 10 páginas; e, a letra c, de 12 em 12 páginas. O livro tem 400 páginas. Determine em que páginas as três letras aparecem juntas. R: 121a, 241*, 361a 37 - Uma estrada de ferro circular possui 18 estações. Um trem parte da esta­ ção inicial e faz parada de 8 em 8 estações. Calcule quantas voltas e quantas paradas terá dado na ferrovia quando fizer nova parada na estação inidal. Solução: Calcula-se o m.m.c. de 18 e 8. Tem-se: m.m.c (18,8) = 72 Para se calcular o número de voltas, divide-se o m.m.c. pelo número de estações, no que resulta: 72 4*18 = 4 Para se calcular o número de paradas, divide-se o m.m.c. pelo número de paradas. 72 -r 8 —9 38 - Uma ferrovia circular possui 14 estações. Um trem parte da estação inicial e faz parada de 10 em 10 estações. Calcúle quantas voltas e quantas paradas terá dado na ferrovia quando £ber nova parada na estação inicial. R: 5 voltas e 7 paradas 620 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 39 - Dois navios, em alto mar, emitem sinais luminosos. Um deies sinaliza 4 vezes por minuto e o outro, 6 vezes por minuto. Calcule de quantos em quantos segundos eles emitem sinais luminosos simultaneamente. Solução: Sabemos que um minuto é igual a 60 segundos. Logo, o primeiro navio emite sinais de 15 em 15 segundos, visto que: 60 -r 4 = 15. O segun­ do navio emite sinais de 10 em 10 segundos, pois, 60 -h ó = 10. Entào, temos: m.m.c. (15,10) = 30. Logo, os navios emitem sinais simultanea­ mente de 30 em 30 segundos. 40 - No alto de dois edifícios existem duas lâmpadas vermelhas “A” e "B”. A lâmpada “A” pisca 15 vezes por minuto e a lâmpada “B” pisca 10 vezes por minuto. Calcule de quantos em quantos segundos elas piscarão simultaneamente. R: 12 seg 41 - Numa casa existem três goteiras. A primeira pinga 12 vezes por minu­ to, a segunda pinga 20 vezes por minuto e a terceira 15 vezes por minuto. Calcule de quantos em quantos segundos as três goteiras pingarão simul­ taneamente. R: 60 seg MATEMÁTICA PARA CONCURSO - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 621 QUESTÕES DE CONCURSOS - D ivisib ilíd ad e 01) TRT - No almoxarifado de certa Repartição Pública há três lotes de pastas iguais: o primeiro com 60, o segundo com 105 e o terceiro com 135 pastas. Um funcionário deve empilhá-las, colocando cada lote de modo que, ao final de seu trabalho, ele tenha obtido pilhas com igual quantidade de pastas. Nestas condições, o menor número de pilhas que ele poderá obter é: a) 3 b) 15 c) 20 d) 60 e) 100 02) TRT - A associação de funcionários de certa empresa promove pales­ tras regularmente: uma a cada 3 meses, outra a cada 6 meses e outra a cada 8 meses. Se, em 1990, as três palestras foram dadas em julho, a próxima coincidência de época das palestras será em: a) junho de 1991 b) julho de 1991 c) abril de 1992 d) junho de 1992 e) julho de 1992 03) TRE - Um funcionário recebeu 3 lotes de pastas para colocar num arquivo morto. O primeiro lote tinha 240 pastas; o segundo 360; o terceiro 180. Ele deseja repartir os 3 lotes em pacotes contendo todos a mesma quantidade de pastas e a maior quantidade de pastas possível. O número de pacotes que ele fará é: a) 6 b) 10 c) 13 d) 15 e) 18 04) TTN - Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá a volta completa na pista em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos e o tercei­ ro em 12 segundos. Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de saída? a) 66, 60 e 55 b) 62, 58 e 54 c) 60, 55 e 50 d) 50, 45 e 40 e) 40, 36 e 32 622 IIILDER GÓES * UBALDO TONAR 05) TRE - Três funcionários de um escritório cumprem, sistematicamen­ te, horas-extras de trabalho, inclusive aos sábados ou domingos: um deles a cada 15 dias, outro a cada 18 dias e o terceiro a cada 20 dias. Se, hoje, os três cumprirem horas-extras, a próxima vez em que itào cumpri-las num mesmo dia será daqui a: a) um mês b) um bimestre c) um trimestre d) um semestre e) um ano 06) TRE - Sabe-se que o M.D.C. dos números A = 2Xx 33 x 54; B = 23 x 3y x 52 e C = 24x 34 x 52 é igual a 180. Nessas condições x + y + z é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 07) TRT - Seja A7B um número inteiro e positivo, de três algarismos, no qual B e A representam os algarismos das unidades e das centenas, res­ pectivamente. Para que esse número seja divisível por 15, calcule quantas possibilidades de escolha temos para A7B. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 08) C.M .F - Calcule quantos números podem ser formados comquatro algarismos, de modo que esses números sejam divisíveis por2, 3, 5 e 9ao mesmo tempo, sendo que os algarismos dos milhares é igual a 8. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 RESPOSTAS 01) C 05) D 02) E 06) D 03) C 07) A 04) A 08) D MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 623 3 PROBLEMAS DO 2° GRAU Dizemos que ura problema é do segundo grau, quando a sua soluçào exige a resolução de uma equação do segundo grau ou de um sistema de equação do segundo grau. Devemos, inicialmente, traduzir em linguagem matemática, as sen­ tenças do problema para, em seguida, resolver a equação ou o sistema resultante e, finalmente, verificar se as raízes obtidas sào compatíveis com os dados do problema. Senão vejamos. 01 - Determinar um número inteiro, cujo triplo do quadrado excede a esse número de 70 unidades. Solução: Seja x esse número. Então temos: 3x2 - x = 70 3x2 - x - 70 = 0 1± 71+840 x=--------------6 i± S m x=--------- — 6 í±29 1+29 30 x =------ :=>x ---------=>x =— =>x =5 6 6 6 02 - A soma dos quadrados de dois números pares e consecutivos é 52. Determine esses números. R: 4 e 6 03 - A soma de dois números vale 7 e o produto desses números é igual a 12. Calcule esses números. R: 4 e 3 624 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 04 - A diferença de dois números é igual a 2 e o produto desses números é iguai a 15. Calcule esses números. R: 5 e 3 0 5 - A razão de dois números positivos vale 2/3 e a soma de seus quadra­ dos é igual a 52. Calcule a soma desses números. Solução: Sejam x e y os números. Faça: x 2 y 3 X2 *f* y2 —52 Sistema, que resolvido, nos dá x = 4 e y = 6. Logo, a soma será 10. 06 - Daqui a três anos a idade de Deisy será o quadrado da idade que ela tinha há três anos. Calcule a idade de Deisy. Solução: Chame de x a idade. Então quem tem x anos, daqui a 3 anos terá x + 3 e há três anos tinha x - 3. Logo:x + 3 = (x —3)2 que resolvida, nos dá: x = 9. 07 - A soma das idades de um pai e de um filho c 38 anos. Calcular essas idades, sabendo-se que daqui a 2 anos a idade do pai será igual ao quadra­ do da idade do filho. R: Pai = 34 anos e Filho = 4 anos 08 - A soma dos termos de uma fração é 10. Somando-se 4 unidades ao numerador e subtraindo-se 4 unidades do denominador, obtém-se a in­ versa da fração. Calcule essa fração. Solução: x Seja “ a fração. Então, pelos dados da questão podemos escrever: x + y = 10 x+4_ y y —4 x , que resolvido nos dá x = 3 e y " 7. Logo, a fração é 3/7. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROBLEMAS DO SEGUNDO GRAU 625 09 - Achar um número positivo cujo quadrado é igual ao dobro desse número aumentado de 15 unidades. R: 5 10 - Calcular qual o númeto positivo pelo qual se deve dividir 105 de modo que se obtenha um quociente que supera de 8 unidades o número pedido. R: 7 11 - Calcule as medidas dos lados de um retângulo cuja área mede 24nr, sendo que a-medida da base é igual à medida da altura aumentada de duas unidades. R: Base = óm e Altura = 4m 12 - A diferença entre os perímetros de dois quadrados é 16 metros e-a diferença entre suas áreas é 32m2. Calcule as áreas desses quadrados. R: 36m2 e 4m2 13 - Determine 3 números inteiros, positivos e consecutivos, tais que o quadrado do menor seja igual à diferença entre os quadrados dos ou­ tros dois. Solução: Se são números inteiros e consecutivos, temos: x, x + 1 e x 4* 2. Então: x3 = (x + 2)2—(x + l) 2. Que resolvida nos dá x = 3. Logo, os números são: 3, 4 e 5. .14 - Um pai tinha 30 anos quando nasceu seu filho. Se multipiicar-mos as idades que possuem hoje, obtém-se um produto que é igual a três vezes o quadrado da idade do filho. Calcule essas idades. R: Pai = 45 anos e Filho = 15 anos 1 5 - 0 mais novo dos meus irmãos tem 18 anos, e a idade do mais velho mais a idade do mais novo multiplicada pela idade do mais velho, menos a idade do mais novo resulta 460 anos. Calcule quanto anos tem meu irmão mais velha R: 28 anos 626 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 16 - A soma de dois números é 90. Calcule esses dois números, sabendo que o seu produto dividido pela sua diferença resulta o número maior. R: 60 e 30 17 - A semi-soma das idades de um pai e a idade de um filho é igual a 26. Calcule a idade do pai, sabendo que o produto dessas duas idades é 480. R: 40 anos 18 - Um número é composto de dois algarismos, cujo produtoé 12. Tro­ cando-se a posição dos algarismos o número resultante excederá de 36 unidades o número primitivo. Calcule esse número. R: 26 19 - A soma de dois números é 8 e a soma dos seus inversos é 8/15. Calcule esses números. R: 5 e 3 2 0 - A soma de dois números é 14 e a diferença de seus inversos é 1/24. Achar esses números, sabendo que sào positivos. R: 8 e 6. 21 - Duas torneiras enchem um recipiente, juntas, em .12 horas. A pri­ meira gasta 10 horas mais do que a segunda para enchê-lo sozinha. Cal­ cule quanto tempo gastará, isoladamente, a segunda torneira para encher o recipiente. R: 20 horas 22 - Calcule a idade de Deisy, sabendo que daqui a 2 anos o quadrado de sua idade será igual a 20 vezes a sua idade daqui a 2 anos. Solução: Seja x essa idade. Então, daqui a 2 anos ela terá x + 2, no que resulta: (x + 2)2 = 20(x + 2), que resolvida nos dá: x = 18. MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROBLEMAS DO SEGUNDO GRAU 627 23 - A diferença de dois números é 15 e a diferença entre o quadrado do número maior e o dobro do número menor é 90. Calcule os dois números. R: 10 e 5 24 - Calcule um número sabendo que o seu inverso adicionado com 1/2 é igual à sua metade. R: 2 25 - A idade de Deisy daqui a 6 anos será igual ao quadrado da idade que ela tinha há 6 anos. Calcule essa idade. R: 10 anos 26 - Qual é o número positivo que ao se juntar ao seu recíproco, se obtém 17 vezes o próprio recíproco. R: 4 27 - A soma de dois números é 27 e a soma de seus inversos é 1/6. Deter­ minar os dois números. R: 18 e 9 28 - Calcule as idades de Fernando e Venícius, sabendo que elas somam 10 anos e a soma dos seus quadrados é 52. R: 6 e 4 29 - A diferença de dois números c 3 e a diferença entre seus quadrados é 21. Calcule esses números. R: 5 e 2 30 - Um homem ao despejar 900 litros de vinho num certo número de barris iguais, verificou que, se cada um levasse menos dois litros encheria mais cinco barris. Calcule quantos barris encheu e qual a capacidade de cada um. R: 45 barris de 20 litros 628 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 31 - Dividir o número 30 em duas partes, de sorte que o produto dessas partes seja igual a oito vezes a sua diferença. R: 24 e 6 32 - Um professor dividiu 144 laranjas entre seus discípulos; se houvesse mais dois alunos, cada um deles teria recebido uma laranja a menos. Calcu­ le o número de alunos. R: 16 33 - Perguntando-se a um menino qual era a sua idade, ele respondeu: Se do quadrado da minha idade subtrair 3/8 dek, achareis 250 anos. Calcule a idade desse menino. R: 16 anos 34 - Uma pessoa comprou um certo número de bolas por $ 80,00; se ela tivesse comprado mais 4 bolas pelos mesmos $ 80,00, o preço de cada bola seria $ 1,00 a menos. Calcule quantas bolas comprou essa pessoa. R: 16 35 - A soma de dois números é 14 e a soma dos seus quadrados é 100. Calcule esses dois números. R: 6 e 8 36 - A soma dos quadrados de dois números inteiros é 41. Três vezes um deles é igual ao dobro do outro mais duas unidades. Achar os números. R: 5 e4 37 - Qual o maior de dois números cuja soma é 2 e cujo produto é 3/4. R: 1,5 38 - Determine dois números cuja soma seja (—2) e o produto (—15). R: —5 e 3 39 - Certa quantia é dividida em partes iguais, entre determinado número de pessoas. Se aumentarmos de 6 o número de pessoas, cada uma recebera $ 3,00 a menos, e se, ao contrário, o número de pessoas diminuir de 2, cada uma terá $ 2,00 a mais. Calcule o número de pessoas e a parte de cada uma. R: 10 e $ 8,00 MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROBLEMAS DO SEGUNDO GRAU 629 BIBLIOGRAFIA BACCARO, Nelson. Matemática para supletivo. 12. e& Ática, 1982, 286p. BEZERRA, Manoel Jairo. Questões de matemática. 3. ed. Ed. Nacional, 1973, • 285p. CRISTO FARO, Saverio. Como se aprende mathematica. 1. ed. Ed. Nacional, . 1929, 355p. ______ . Como se aprende mathematica. 2. ed. Ed. Nacional, 1930, 322p. CUNHA, Augusto José da. Ekmentos de Álgebra. 6. ed. Lisboa, Liv. Antônio P. Maria Pereira, 1892, 328p. CUNHA, Júlio. Matemática comercial para concursos. 4. ed. 561 p. D5ALBUQUERQUE, A. Tenório. Problemas de aritmética. 14. ed. s. 1. Aurora, 303p. D’AMBRÓSIO, Nicolau & D’AMBRÓSIO, Ubiratam. 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