Transcript
- Cálculo
MAT 2453
Diferencial e Integral para Engenharia
I
2Q.semestre de 2006 - PROVA SUBSTITUTIV A
TURMA:
Questão 1
Nome
Nota
2
Assinatura
3 4
Professor:
Número USP
5
A-Total JUSTIFIQUE
x21n 1. Seja f(x)
={O
1
(x2 +x )
TODAS AS SUAS RESPOSTAS
se x>O se x =s;O
a) (1,0) f é derivável em Xo= O?
b) (1,0) Seja g(x) =
x>O
f(x) sen (~), se {1 , se x=S;O
A função 9 é contínua em Xo = O?
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A 2. (1,5) Prove que, para todo a E [O,1[ vale a seguinte desigualdade: sen(7I"a2)
a-1
I -< 271" .
Resolução:
Considere a função f(x)
Como g(x)
= sen
(7I"X2)para x E [a, 1], onde O ~ a < 1.
= 7I"X2 é contínua em [a,1],pois é uma função polinomiale h(y) = sen (y) é uma
função contínua em [a,1], pois é uma função trigonométrica, segue que f(x) = h(g(x)) = sen (7I"X2) também é contínua em [a, 1], pois é composta de funções contínuas. Como g(x)
= 7I"X2
é derivável em ]a, 1[, pois é uma função polinomial e h(y)
= sen
(y) é uma
função derivável em ]a,1[, pois é uma função trigonométrica, segue que f(x) = h(g(x)) = sen (7I"X2) também é derivável em ]a,1[, pois é composta de funçõesderiváveis. Portanto, aplicando o T.V.M. para f definida no intervalo [a,1] temos que existe e E]a, 1[,
tal que f(l) - f(a)
= f'(e)(l
- a), ondef'(x)
= 2x7l"cos (7I"X2).
Assim,
Ou seja,
= O,lei ~ 1 e Icos (71"c2)I ~ 1, segue que: Como sen (71"12)
Portanto,
1- sen
(7I"a2) I
11-al
< 271",'tia E
-
[0,1[
Ou seja, sen (7I"a2) ~ 271",'tia E [0,1[ I I a-1
A eX
=
3. Seja f(x)
_ .
x2
-
a) (1,0) Determine o domínio de f e estude o crescimentoe decrescimentoda função, indicando os pontos de máximo e mínimo. b) (1,0) Calcule os limites necessários para determinar todos os números reais k para os
= k.
quais existe um único x E IR satisfazendo f(x) t1' \.!})['í ,T
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A 4. Calcule as integrais abaixo:
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A 5. (2,0) Obtemos uma cunha cortando um cilindro de raio a = 6 cm por um plano inclinado, conforme a figura. Suponha que o plano forma um ângulo de 45Q com a base do cilindro e que a intersecção do plano com a base do cilindro é um diâmetro. Calcule o volume da cunha. (Dica: as secções transversais ao diâmetro são triângulos.)
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