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Gabarito Prova2v2005

Gabarito Prova 2 - 2005 - PMR2360 Controle e Automacao 1

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Nome: NUSP: PMR-2360 - Automac ¸˜ ao e Controle I 06/12/2005 - 2a. Prova - 2005 [Ex. 1] (4.0pt) Seja o seguinte sistema: G(s) = 5 . s(s + 1)(0.5s + 1) (1) Deseja-se projetar um compensador PI que satisfac ¸a os seguintes requisitos: • Erro de velocidade est´ atico ess = 0; • Margem de fase γ ≥ 40o ; • Margem de ganho Kg ≥ 10dB. Um compensador PI ´ e an´ alogo a um compensador por atraso de fase (Lag Compensator). O compensador PI pode ser escrito como:   KP   K s + 1 I KI KP s + KI KI = = (2) HP I (s) = KP + s s s O seu diagrama de Bode est´ a ilustrado na Figura abaixo: Note que, ω = KI para |HP I (jω)| = 0dB e a freq¨ uˆ encia de canto ´ e igual a ω = KI /KP . Tamb´ em deve ser observado que a fase ∠HP I (jω) ´ e substancialmente pequena uma d´ ecada acima da freq¨ uˆ encia de canto, como pode ser observado na Figura abaixo do diagrama de bode de HP I (jω) para KP = KI = 1: 1 Bode Diagram 50 Magnitude (dB) 40 30 20 10 0 0 Phase (deg) System: s2 Frequency (rad/sec): 10.1 Phase (deg): −5.7 −45 −90 −2 10 −1 0 10 10 1 10 2 10 Frequency (rad/sec) Pede-se: e a Margem de Fase e a Margem de Ganho do sistema n˜ ao compensado G(s) ? (a) (1.0pt) Qual ´ (b) (1.0pt) Baseado nas informac ¸˜ oes do ´ıtem anterior indique se o sistema ´ e est´ avel ou n˜ ao. (c) (1.5pt) Projete um compensador PI que satisfac ¸a as condic ¸˜ oes acima. (d) (0.5pt) Esboce o Diagrama de Bode do sistema HP I (jω)G(jω) O diagrama de Bode de G(s) est´ a ilustrado nas duas Figuras abaixo. A primeira Figura possui uma regi˜ ao com maior detalhamento. [Ex. 2] (6.0pt) Os motores el´ etricos de corrente cont´ınua (CC) s˜ ao largamente utilizados em diversas m´ aquinas de sistemas de manufatura. Um motor el´ etrico controlado por armadura associado a eventuais engrenagens, sensores para realimentac ¸˜ ao e uma in´ ercia global fixa, ´ e um sistema de 3a. ordem considerando a posic ¸˜ ao angular θ como a sa´ıda do sistema. Na pr´ atica, o sistema ´ e modelado como um sistema de 2a. ordem j´ a que a constante de tempo el´ etrica do sistema ´ e bem menor que a constante de tempo mecˆ anica. Vamos supor que um motor CC ´ e utilizado numa m´ aquina para efetuar o posicionamento angular de um certo componente. O Driver do motor fornece tens˜ oes no intervalo [-5,+5] Volts. O modelo completo deste sistema pode ser escrito como: G(s) = Θ(s) 4 = . U(s) s(s + 10) (3) (a) (1.0pt) Escreva a Forma Canˆ onica Control´ avel e a Forma Canˆ onica Observ´ avel do sistema. e control´ avel e observ´ avel. (b) (1.0pt) Determine se o sistema ´ (c) (2.0pt) Projete um controlador por realimentac ¸˜ ao de estados, u = −Kx, com Tempo de Assentamento ts < 4seg e M´ aximo Sobresinal Mp < 10%. ˆ? (d) (1.0pt) Ap´ os o controlador projetado, escreva a nova matriz de estados A (e) (1.0pt) Calcule a nova func ¸˜ ao de transferˆ encia em malha fechada. Dica: desenhe o diagrama ˆ ˆ e C. de blocos lembrando que ´ e necess´ ario definir quem s˜ ao as novas matrizes B 2 Bode Diagram 20 15 10 Magnitude (dB) 5 0 −5 −10 −15 −20 −25 −30 −90 Phase (deg) −135 −180 −225 −270 0 10 Frequency (rad/sec) Bode Diagram 60 Magnitude (dB) 40 20 0 −20 −40 −60 −90 Phase (deg) −135 −180 −225 −270 −2 10 −1 0 10 10 Frequency (rad/sec) 3 1 10