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FEP2196 - F´ısica para Engenharia II Prova P3 - Gabarito
1. Duas ondas senoidais propagam-se ao longo de uma corda em sentidos opostos. Cada onda tem amplitude de 0,6 cm e a distˆancia entre duas cristas em ambas as ondas ´e de 4,0 cm. A velocidade de propaga¸c˜ao de onda na corda ´e de 200 cm/s. Considere as fases iniciais das ondas como sendo nulas. (a) (0,5) Calcule o n´ umero de onda e a freq¨ uˆencia angular das ondas. Dados: Amplitude A = 0, 6 cm, comprimento de onda λ = 4 cm e velocidade de propaga¸c˜ao v = 200 cm/s. N´ umero de onda: 2π k= λ k=
π rad/cm 2
Freq¨ uˆencia angular: ω = kv ω = 100π rad/s (b) (1,0) Determine a equa¸c˜ao da onda resultante. Considerando y1 (x, t) = A sen(kx − ωt) e y2 (x, t) = A sen(kx + ωt) A onda resultante ser´a: y(x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) y(x, t) = 2A sen(kx) cos(ωt)
y(x, t) = 1, 2 sen
π x cos(100π t) cm (t em segundos) 2
1
(c) (1,0) Determine a distˆancia entre dois pontos da corda que possuem velocidade transversal nula. Velocidade transversal: π ∂y = −120π sen x cos(100π t) v(x, t) = ∂t 2 Pontos em que a velocidade ´e nula: π sen x =0 2 π x = nπ ⇒ x = 2n (n = 0, ±1, ±2, . . .) 2 x = 2 cm
2. Uma part´ıcula denominada D+ ´e criada com energia relativ´ıstica E = 106 MeV (medida por um observador na Terra) a 5 km acima do n´ıvel do mar. Sua vida m´edia pr´opria ´e de T0 = 10−12 s e sua massa de repouso ´e 2000 MeV/c2 . (a) (1,0) Qual ser´a o tempo de vida m´edio do D+ para um observador na Terra? Dados: Energia relativ´ıstica E = 106 MeV, vida m´edia pr´opria T0 = 10−12 s e massa de repouso 2000 MeV/c2 . Energia relativ´ıstica: E = γm0 c2
⇒
γ=
E = 500 m0 c2
Tempo de vida m´edia para um observador na Terra: T = γT0 T = 5 × 10−10 s (b) (1,0) Em m´edia, a que distˆancia, do ponto em que foi criada, a part´ıcula se desintegrar´a ? Ela atingir´a o n´ıvel do mar? Velocidade: γ= 1− v=
1 v 2 1/2 2 c
1 1− 5002
⇒
v=
1/2 c≈c 2
1 1− 2 γ
1/2 c
Distˆancia percorrida: ∆x = cT ∆x = 0, 15 m Portanto, a part´ıcula n˜ao atingir´a o n´ıvel do mar. (c) (0,5) Dado que a massa de repouso de um muon ´e 20 vezes menor que a do D+ , qual ´e o tempo de vida m´edio pr´oprio de um muon criado com a mesma energia que o D+ do ´ıtem (a), sabendo-se que com essa energia ele viaja 6 × 106 m antes de se desintegrar? γ do muon: γmuon
Emuon 106 = = 2 = 104 2 (m0 c )muon 10
Tempo de vida m´edia do muon para um observador na Terra: ∆xmuon = 2 × 10−2 s c Tempo de vida m´edio pr´oprio do muon: Tmuon =
T0muon =
Tmuon γmuon
T0muon = 2 × 10−6 s 3. Um pr´oton ´e observado do laborat´orio com velocidade de magnitude u = |~u| = 0, 5 c, formando um ˆangulo θ = 60◦ com a dire¸c˜ao Ox, conforme a figura.
y u O θ
x
(a) (1,0) Determine a magnitude u0 da velocidade do pr´oton, quando observado no referencial S 0 que se move com velocidade ~v = 0, 5 c ˆı. Em S: ux = u cos(θ) =
1 11 c= c 22 4 3
√ √ 3 1 3 c= c uy = u sen(θ) = 2 2 4 Em S 0 : 1 c − 12 c − 14 c ux − v 2 4 = = =− c 7 ux v 1 7 1 − c2 1− 8 8
u0x =
√
uy = u0y = γ 1 − ucx2v
3 c 4
1/2 1 − 14 3 = c 1 7 1− 8
Magnitude de u0 : r q 9 4 0 02 02 + c u = ux + u y = 49 49 u0 =
√
13 c 7
(b) (0,5) Determine o ˆangulo θ0 que o pr´oton forma com o eixo O0 x0 quando observado em S 0 . 0
tan(θ ) =
u0y u0x
tan(θ0 ) = − 32 (c) (1,0) Se ao inv´es de um pr´oton tiv´essemos um f´oton, qual seria a velocidade do f´oton em rela¸c˜ao ao referencial S 0 . A velocidade do f´oton seria c (a velocidade da luz), j´a que a velocidade da luz deve ser a mesma em qualquer referencial.
4. Duas part´ıculas A e B, de massas de repouso m0A = 4, 0 GeV/c2 e m0B = 3, 0 GeV/c2 respectivamente, sofrem uma colis˜ao, fundindo-se em uma u ´nica part´ıcula C de massa de repouso n˜ao nula. Em rela¸c˜ao ao referencial do laborat´orio, os vetores velocidade √
das part´ıculas A e B, antes da colis˜ao s˜ao, ~vA =
2 2
c ˆı e ~vB = − 54 c ˆı, respectivamente.
Nessas condi¸c˜oes determine: (a) (0,5) a energia relativ´ıstica (energia total) E do sistema antes da colis˜ao. Energia relativ´ıstica: E = γA m0A c2 + γB m0B c2 4
Fatores de Lorentz: √ 1 1 = γA = = 2 1/2 2 2 1/2 vA 1 − 1 − c2 4 γB =
E=
√
1 1−
1/2 = 2
vB c2
24 +
1 1−
= 16 1/2 25
5 3
5 3 3
√ E = (4 2 + 5) GeV (b) (1,0) a magnitude da velocidade v da part´ıcula C, medida no referencial do laborat´orio, ap´os a colis˜ao. Conserva¸c˜ao do momento linear relativ´ıstico: γA m0A ~vA + γB m0B ~vB = γM0~v v √ √ 2 5 4 γM0 v = 2 4 − 3 =0 2 3 5 Como M0 ´e n˜ao nula, v=0 (c) (1,0) a massa de repouso M0 da part´ıcula C ap´os a colis˜ao. Por conserva¸c˜ao da energia relativ´ıstica, a energia da part´ıcula C deve ser igual a energia relativ´ıstica antes da colis˜ao. Mas como a velocidade da part´ıcula C ´e nula, esta s´o possui energia de repouso e ainda γ = 1. Assim, √ M0 = (4 2 + 5) GeV/c2
5
