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F´ısica III
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Escola Polit´ecnica - 2007 FGE 2203 - GABARITO DA P3 &
28 de junho de 2007
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Quest˜ ao 1
Um solen´oide ideal de comprimento h e raio R tem um enrolamento com N espiras. (a) (1,5 ponto) Calcule a auto-indutˆancia do solen´oide. Calcule a energia armazenada no solen´oide quando pelo fio circula uma corrente I. (b) (1,0 ponto) Repita os c´alculos do item (a) para o caso em que o solen´oide est´a preenchido com um material de suscetibilidade χm .
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Solu¸c˜ ao da quest˜ ao 1
(a) A auto indutˆancia ´e dada por L = Φm /I, onde o fluxo total Φm = NB0 πR2 =
µ0 N 2 πR2 µ0 N 2 πR2 I =⇒ L = h h
A energia magn´etica ´e Um =
1 µ0 N 2 πR2 2 LI 2 = I 2 2 h
(b) Dentro do material, o campo magn´etico ´e dado por ~ χm H
z}|{ ~ ~ ~ ~ ~ ) = µ0 (1 + χm )H ~ = (1 + χm )B ~0 B = B0 + Bm = µ0 (H + M Como o campo magn´etico ´e multiplicado por um fator 1 + χm , o fluxo e a auto indutˆancia tamb´em ser˜ao multiplicados pelo mesmo fator. =⇒ L′ = (1 + χm )
µ0 N 2 πR2 h
A energia magn´etica ´e ′ Um =
L′ I 2 (1 + χm ) µ0 N 2 πR2 2 = I 2 2 h
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Quest˜ ao 2
Considere um solen´oide muito longo com sec¸c˜ao circular de raio a e n espiras por unidade de comprimento. Uma espira quadrada de lados b e resistˆencia R est´a no interior do solen´oide. Os eixos da espira e do solen´oide formam entre si um ˆangulo θ.
a θ
b
(a) (1,0 ponto) Determine a m´ utua indutˆancia entre o solen´oide e a espira quadrada. (b) (1,0 ponto) Se a corrente no solen´oide ´e dada por I = I0 cos(ωt) determine a corrente i induzida na espira. (c) (0,5 pontos) Se a espira quadrada ´e formada n˜ao por uma u ´nica volta de fio, mas por N voltas de fio, calcule a nova m´ utua indutˆancia.
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Solu¸c˜ ao da quest˜ ao 2
(a) O fluxo do campo magn´etico atrav´es da espira quadrada ´e Z Φ= B · dA = Bb2 cos θ = µ0 nIb2 cos θ, S
onde I ´e a corrente no fio do solen´oide. Portanto a m´ utua indutˆancia ´e M=
Φ = µ0 nb2 cos θ. I
(b) A corrente na espira quadrada ´e i=
E M dI µ0 nb2 cos θI0 ωsen(ωt) =− ⇒ i= . R R dt R
(c) O fluxo atrav´es da espira quadrada fica multiplicada por N, sendo o novo fluxo Φ′ = NΦ. Portanto, M′ = −
dΦ′ dΦ = −N = NM ⇒ M ′ = Nµ0 nb2 cos θ. dt dt
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Quest˜ ao 3
Por um solen´oide ideal de raio R, comprimento h e N espiras passa uma corrente I = I0 cos(ωt). A varia¸c˜ao temporal de B induz um campo el´etrico em todo o espa¸co. (a) (1,0 ponto) Calcule o vetor campo el´etrico induzido dentro do solen´oide. (b) (1,0 ponto) Calcule o vetor campo el´etrico induzido fora do solen´oide. (c) (0,5 ponto) O campo el´etrico induzido ´e conservativo? Justifique sua resposta.
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Solu¸c˜ ao da quest˜ ao 3
C2 r C1
r
~ tem simetria cil´ındrica, dentro e O campo E fora do solen´oide, como mostra a figura.
E
E
(a) r < R: usando a lei de Faraday com o circuito C1 obtemos I
C1
2 ~ = µ0 NI0 ωsen(ωt)r φb ~ · d~ℓ = − dΦm ⇒ E2πr = µ0 NI0 ωsen(ωt)πr ⇒ E E dt h 2h
(b) r > R: usando a lei de Faraday com o circuito C2 obtemos I
C2
2 2 ~ · d~ℓ = − dΦm ⇒ E2πr = µ0 NI0 ωsen(ωt)πR ⇒ E ~ = µ0 NI0 ωsen(ωt)R φb E dt h 2hr
~ n˜ (c) O campo E ao ´e conservativo uma vez que a circula¸c˜ao
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H
~ · d~ℓ 6= 0. E
Quest˜ ao 4
No circuito da figura a chave 2 est´a aberta e a chave 1 est´a fechada h´a muito tempo, encontrando-se o circuito numa situa¸c˜ao estacion´aria.
R1 chave 1
+
chave 2
ε
L R2
(a) (1,0 ponto) Determine a corrente I0 atrav´es do indutor. (b) (1,0 ponto) No instante t = 0 a chave 2 ´e fechada e simultaneamente a chave 1 ´e aberta. Escreva a equa¸c˜ao diferencial e obtenha a corrente I(t) atrav´es do indutor para t ≥ 0. (c) (0,5 pontos) Mostre que a energia total dissipada no resistor R2 para t ≥ 0 ´e igual `a energia que estava armazenada no indutor .
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Solu¸c˜ ao da quest˜ ao 4
(a) Na situa¸c˜ao estacion´aria n˜ao h´a for¸ca contra-eletromotriz no indutor, que se comporta como um simples fio condutor. Portanto a corrente no indutor ´e I0 =
E R1
(b) A equa¸c˜ao diferencial ´e L
dI + R2 I = 0. dt
Separando-se as vari´aveis obtemos Z Z I R2 t R2 t I dI =− =− dt =⇒ ln L 0 I0 L I0 I
=⇒
I = I0 e−R2 t/L .
(c) De acordo com a lei de conserva¸c˜ao de energia, a energia dissipada deve ser igual `a energia inicialmente armazenada no indutor, 1 W = LI02 . 2 De fato, calculando explicitamente a energia dissipada no resistor obtemos #∞ " Z ∞ Z ∞ 1 L = LI02 . e−2R2 t/L Edis = R2 I 2 dt = R2 I02 e−2R2 t/L dt = R2 I02 − 2R2 2 0 0 0
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Formul´ ario qq ′ (~r − ~r′ ) , F~ = 4πǫ0 |~r − ~r′ |3
Z dq q(~r − ~r′ ) 1 ~ , E= rˆ, ′ 3 4πǫ0 |~r − ~r | 4πǫ0 r2 Z I ~ ~ ~ ~ · dA ~ = qint , U = −~p · E, ΦE = E · dA, E ǫ0
~ F~ = q E,
~ = E
q , V = 4πǫ0 |~r − ~r′ |
VB − VA = −
ZB
1 X qi V = , 4πǫ0 i ri
1 X qi qj U= , 4πǫ0 i