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Curso: Engenharias Disciplina: Equações Diferenciais e Séries 1a Lista de Exercícios 1) Através da seqüência das somas parciais analise a convergência das seguintes séries:
1 1 (n 1)(n 2)
a)
b) n 1
n c) ln 1 n 1 n n 1 d) ( ) n-1 1 3 3n
1 1 ) n 1 n 2 (1 n)n ( sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n = é a soma dos n primeiros termos de uma P.A); 2
( Escreva a n
( Escreva an = ln n ln ( n+1 ) )
1
1
e) n 1 n 1
2) Utilizando séries geométricas, expresse as decimais não finitas, a seguir, como uma fração: a) 0,444... b) 5, 1373737.... c) 0,159159159... 3) Uma bola é derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca o chão sobe novamente, verticalmente, a uma altura que é 2/3 da distância da qual ela caiu. Determine a distância total percorrida pela bola até parar. 4) A figura ao lado mostra uma “escada infinita”. Ache o volume total da escada sabendo que o maior cubo tem lado 1 e cada cubo tem sucessivamente um lado cujo tamanho é a metade do lado do cubo precedente.
5) A figura ao lado mostra os 5 primeiros quadrados de uma seqüência infinita formada da seguinte maneira: O quadrado externo tem lado igual a 2. Cada um dos outros quadrados é obtido ligando-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule: a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da seqüência. b) a soma das áreas de todos seqüência.
os quadrados da
6) Encontre o valor de b para o qual 1 e b e 2b e 3b ... 9
2
7) Encontre os valores de x para os quais a série
( x 1) n
0
2n
converge e a soma da série para esses
valores.
8) Através da série geométrica calcule as seguintes somas: a) 1
(1) n 3n
;
b)
4
2 3
n
n 5n 1 4 ; n 1 3 1 9
c)
;
n
(1) n
1 e) ( ) n 5 0 2
d) 2
2 2n 3 2n 36 n
1 1 1 1 1 1 ... 2 3 5 25 125 625
f) 1
9) Verifique que as séries a seguir são convergentes pelo Critério de Leibniz. Calcule a soma sn e o erro cometido quando a soma S da série é aproximada por sn. ( 1) n 1 ; s4: 1 n3
( 1) n 1
a)
b)
(2n)!
1
; s3
10) Calcule quantos termos precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada a)
(1) n 1 n2
1
b)
( erro < 0,01);
(1) n 1 n4
1
11) Mostre que a série alternada
1
(1) n 1 10 n .n!
( erro < 0,001 )
converge por Leibniz e calcule a soma da série com
precisão de 3 casas decimais.
12) Utilizando os critérios e propriedades vistos analise o comportamento das seguintes séries quanto à convergência n b) 2 2n n2 (1) n n 3 a) c) d) 5 n 1 n2 1 e)
1
n3 1 i) (2n )! n m) n 4 n 1
f)
3
1 n2
3n 1 j) 1 n
g)
3
n
n) n 3 3 n
k)
1 n4
(1) n (ln n ) n
2n o) n 1 2 n 3
1 n!
h)
l)
(1) n
p)
nn n!
( 1) n n 5 5n
13) Mostre, usando o critério da razão, que as seguintes séries são convergentes para todo x real.
3
xn ; 0 n!
(1) n x 2n 1 0 (2n 1)!
(1) n x 2n ; (2n)! 0
a)
b)
c)
Observação: As séries acima são respectivamente as séries de f(x) = ex, f(x) = cosx e
f(x) = senx
14) Encontre o raio e o domínio de convergência ( a menos dos extremos) das seguintes séries x n 1 a) n 1
n
1 b) 3 ( x 1) n n
15) A partir da série geométrica
x
n
c)
0
( x 3) n
d)
2n
xn ( 2n )!
e)
( x 2) n n3n
1 ; se x 1 ; dê a representação em série das 1 x
seguintes funções, indicando a região de convergência.
x 1 x
a) f(x)
b) f(x)
16) A partir da série x n 0
1
a) f(x)
(1 x)
2
1
c) f(x)
1 x2
1 4 x2
d) f(x)
x2 8 x3
1 , x 1 , e usando derivação ou integração, mostre que 1 x
( 1) n 1 nx n 1 ; x ] 1,1[ 1
( 1) n x n 1 ; x ] 1, 1 ] n 1 0
b) f(x) ln(1 x)
(1) n x 2n 1 ; x [1, 1 ] 2n 1 0
c) f(x) arctgx
xn ex ; x R , 0 n!
17) A partir das séries
(1) n x 2n R (2n)! 0
cosx =
e
(1) n x 2n 1 R; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a 0 (2n 1)!
senx =
região de convergência. a) f(x) e x
2
b) f(x) xe x
2 /2
d) f(x) = x2 cosx
c) f(x) = xsen2x
f ( n ) ( 0) n x para as n! 0
18) Encontre os quatro primeiros termos da série de MacLauren f ( x ) seguintes funções: a) f ( x ) 1 x ;
b) f ( x )
1
( x 1) 3 19) Usando a série de MacLauren encontre
4
a) Um polinômio de grau 2 para aproximar a função f ( x )
1 1 x2
b) Um polinômio de grau 3 para aproximar a função f ( x ) 5 1 x
20) A partir da série da função f(x) = ex; encontre uma série de potências de x para a função 2
f(x) e x . Use a série encontrada para encontrar a expansão em série da integral
1
e
x2
dx e
0
calcule o valor da soma parcial s5. (Observe que a série encontrada converge por Leibniz e que portanto a soma s5 tem erro menor que a6 ). Calcule o erro.
21) “Se é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se ε 0,5x10 k .” .Usando este resultado, calcule: 1
2
a) x 2 e x dx , com precisão de três casas decimais. 0 1 sen x 2
b)
0
x2
dx , com precisão de cinco casas decimais.
0 ,2
c) cos( x 2 )dx , com precisão de quatro casas decimais. 0
22) Use a série do exercício 16 b) para encontrar ln(1,1) com precisão de três casas decimais 23) Use séries de potências para provar a fórmula de Euler e ix cos x i sen x
Respostas:
1 ; b) Diverge; c) Diverge; d) Converge a 1; e) Converge a 1 2 4 2543 8 159 16 2) a) ; b) ; c) 3) 45m; 4) ; 5) a) m ; b) 8 m2 6) b = ln(8/9) 999 9 495 7 2 2 1) a) Converge a
7) A série converge para x ] 1,3[ e sua soma é S 8 a)
2 3 x
1 2 37 7 23 25 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 4 3 4 72 12 12
9) a) s 4
1549 0,896 . O erro absoluto cometido é menor que a5 = 0,008 1728
5
b) s 3
331 0,459 . O erro absoluto cometido é menor que a4 = 0,0000248 720
11) S
10) a) 9; b) 5 ;
1 1 1 2 3 10 10 .2 10 .6
12) São divergentes: c); d); f); j); l); m) e o) As demais convergem. 14) a) Dc = ]1, 1[; r = 1; b) Dc = ]4/3, 2/3[ ; r = 1/3; c) Dc = ] 1, 5 [; r = 2 ; d) Dc = R , r = e) Dc= ]1, 5[, r = 3 15) a)
(1) n x n 1 ;
x ] 1,1[ ; b)
0
d)
2 3n 3
0
17) a) d)
0
0
x 2n 2 2n 2
; x ] 2,2[
; x ] 2,2[
( 1) n x 2n n! ; x R ; b) 0
0
( 1) n x 2n 1 2 n n!
; x R ;
c)
( 1) n 2 2n 1 x 2n 2 ; x R ; (2n 1)! 0
( 1) n x 2n 2 ; x R (2n)!
18) a)
1 x 1
1
19) a)
1
1 x2 1
x ] 1,1[ ; c)
0
( 1) n x 3n 2
(1) n x 2n ;
2
20) e x dx 0
0
x x 2 x3 1 ... ; b) 1 3x 6 x 2 10 x 3 3 2 8 16 (1 x ) x2 ; 2
x 4 2 36 3 b) 5 1 x 1 x x 5 50 750
1 1 1 1 1 (1) n ; s5 1 . O erro é menor que (2n 1)n! 3 5.2! 7.3! 9.4! 11.5!
1 a6 13.6! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; b) s 3 1 ; c) s 0 3 5 14 54 264 1560 5.3! 9.5! 13.7! 5 1 1 22) s1 = 0,095 10 200
21) a) s 5
