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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – Terceira Prova – 28 de junho de 2006 Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras) A
1ª Questão (3,0 pontos)
D
A barra AB de comprimento 2L, do mecanismo da figura ao lado, é articulada em C na bucha que desliza sem atrito ao longo da barra DE. Usando o Princípio do Trabalho Virtual, determine o momento M necessário para manter o mecanismo em equilíbrio quando submetido à força F, perpendicular à parede e aplicada no ponto A. (O mecanismo está sobre um plano horizontal sem atrito)
F
M C
θ L L
E
B
2ª Questão (3,0 pontos) Um disco de massa m e raio R está articulado no ponto A. A barra OC, de massa m e comprimento L está articulada em O. Uma mola une a periferia do disco ao ponto C da barra. A extremidade C da barra está presa a um amortecedor viscoso linear. O momento M está aplicado na barra (considere a mola sem deformação na posição da figura e ângulo φ pequeno). Pede-se determinar: a) b) c) d)
θ g B
φ k
C c
R
L A
m
M
A energia cinética do sistema m O A energia potencial do sistema A função de dissipação de Rayleigh do sistema As equações de movimento do sistema pelo método de Lagrange para as coordenadas φ e θ.
3ª Questão (4,0 pontos) Baseada no 3º Exercício Programa. A figura mostra um volante homogêneo de massa M = 1,0 kg e raio R = 0,1 m desbalanceado pela adição de uma massa concentrada m = 0,05 kg na sua periferia. Uma mola linear de constante elástica K = 23.625 N / m e um amortecedor viscoso linear de constante de amortecimento C = 10 Ns / m estão conectados ao centro O do volante, que pode se movimentar apenas na direção vertical y. O volante gira sob a ação de um torque acionador que varia em função da velocidade angular θ& segundo a expressão θ& , onde T0 é o torque de partida do motor e ω op = 1800 rpm é a sua velocidade de T θ& = T0 1 − ω op
()
operação quando desconectado do volante.
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Departamento de Engenharia Mecânica
Considere que o volante está inicialmente em repouso na posição y = 0 e que g = 9,81 m / s 2 . As equações diferenciais que descrevem o movimento do sistema são:
y
()
T θ&
g
m t &y& + mt d cosθ θ&& = −K y − C y& + mt d θ& 2 sin θ − m t g m t d cos θ &y& + J Z Oθ&& = T θ& − mt gd cos θ
G m d θ
()
O onde J ZO = mR 2 +
MR 2 mR ,d= e mt = M + m 2 M +m
A freqüência natural do sistema composto pelo volante e pela mola é ω nat =
x
K rad = 150 , 0 mt s
K
C
volante
.
Pede-se: a) De que forma as equações acima devem ser reescritas para que possam ser integradas utilizando o SCICOS? Reproduza o diagrama SCICOS empregado para integrar as equações o obter os gráficos de θ&(t ), y(t ) e T (t ) .
θ&
b) Foram feitas simulações adotando T0 = 14,0 Nm e T0 = 6,0 Nm . Considerando o gráfico mostrado na figura 3, a qual valor de T0 ele corresponde? Faça um gráfico mostrando o comportamento de T ( t ) correspondente a este valor de T0 .
Figura 3 : θ& (t ) correspondente a T0 = ? c) Faça um gráfico de T (t ) e um gráfico de θ& (t ) que ilustrem a ocorrência do fenômeno denominado “sincronização de freqüência” ou “efeito de Sommerfeld” no sistema estudado; indique claramente o valor de T0 e o valor de θ& correspondente a t → ∞ .
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Departamento de Engenharia Mecânica
A
Resolução da 1ª Questão (3,0 pontos)
D
A barra AB de comprimento 2L, do mecanismo da figura ao lado, é articulada em C na bucha que desliza sem atrito ao longo da barra DE. Usando o Princípio do Trabalho Virtual, determine o momento M necessário para manter o mecanismo em equilíbrio quando submetido à força F, perpendicular à parede e aplicada no ponto A. (O mecanismo está sobre um plano horizontal sem atrito)
F
M C
θ L L
E
B
Resolução:
Para o triângulo isósceles DBC: DC = 2L cos θ
D θ
r r ( C − B) = 2L cos θsenθ i + (L − 2L cos2 θ) j
L
r r ( A − B) = 2( C − B) = 4 L cos θsenθ i + 2(L − 2 L cos 2 θ) j
(
)
δA x = 4L cos 2 θ − sen 2 θ δθ PTV: δW = 0
è
(
L
(1,0) (1,0)
B
δW = Mδθ + FδA x = 0
è M = −4FL cos 2 θ − sen 2 θ
)
ou alternativamente:
α = 180 − 2θ r r (C − D) = L sen α i + L cos α j δAx = 2L cos α δα
θ
ou
M = −4FL cos 2θ
(1,0)
C
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Resolução da 2ª Questão (3,0 pontos) Um disco de massa m e raio R está articulado no ponto A. A barra OC, de massa m e comprimento L está articulada em O. Uma mola une a periferia do disco ao ponto C da barra. A extremidade C da barra está presa a um amortecedor viscoso linear. O momento M está aplicado na barra (considere a mola sem deformação na posição da figura e ângulo φ pequeno). Pede-se determinar: a) A energia cinética do sistema b) A energia potencial do sistema c) A função de dissipação de Rayleigh do sistema d) As equações de movimento do sistema pelo método de Lagrange para as coordenadas φ e θ. Resolução: Disco: E disco =
1 mR 2 & 2 J Az θ& 2 = θ 2 4
Coordenada θ : ∂( T − V) mR 2 & = θ ∂θ& 2
E sistema
1 2 k (Rθ − Lφ ) 2
Função dissipação de Rayleigh: R =
;
g
φ k
B
C c
R
L m
A m
1 mL2 & 2 J Oz φ& 2 = φ 2 6 mR 2 & 2 mL 2 & 2 = θ + φ 4 6
Barra: E barra =
Sistema: E sistema = E disco + E barra è Energia Potencial: V =
θ
M O
(0,5) + (0,5)
(0,5)
( )
1 & c φL 2
2
(0,5)
(0,5) (para as forças generalizadas)
d ∂( T − V) mR 2 && ∂( T − V ) ∂R = θ ; = −kR 2θ + kRLφ ; =0 dt ∂θ& 2 ∂θ ∂θ&
;
Qθ = 0
mR 2 && θ + kR 2 θ − kRLφ = 0 2
Coordenada φ : ∂ (T − V) mL2 & = φ ∂φ& 3
;
d ∂ (T − V) mL2 && = φ ; dt ∂φ& 3
mL2 && φ + cL2 φ& + kL2 φ − kRL θ = M 3
∂ (T − V ) = kRL θ − kL2 φ ; ∂φ
∂R = cL2 φ& ∂φ&
;
Qφ = M
(0,5) (para as equações de movimento)
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Resolução da 3ª Questão (4,0 pontos) Baseada no 3º Exercício Programa. A figura ao lado mostra um volante (disco) homogêneo de massa M = 1,0 kg e raio R = 0,1 m desbalanceado pela adição de uma massa concentrada m = 0, 05 kg na sua periferia. Uma mola linear T θ& de constante elástica K = 23 .625 N m e um amortecedor viscoso linear de constante de amortecimento C = 10 Ns m estão conectados ao centro O do volante, que pode se movimentar O apenas na direção vertical y. O volante gira sob a ação de um torque acionador que varia em função da velocidade angular θ& segundo a expressão T (θ& ) = T0 (1 − θ& ω op ) . T0 é o torque de partida do motor e ω op = 1800 rpm ≅ 188,5 rad/s é a sua velocidade de K operação quando desconectado do volante. Considere que o volante está inicialmente em repouso na posição y=0 e que g = 9,81m s 2 .
()
y g G m d θ
C
x
volante
As equações diferenciais que descrevem o movimento do sistema são: m t &y& + m t d cos θ θ&& + C y& − m t d θ& 2 sin θ + K y = − m t g , m t d cos θ &y& + J ZO θ&& + m t gd cosθ = T θ&
()
onde J Z O = (m + M 2) R 2 , d = R (m ( m t ) ) e mt = M + m . A freqüência natural amortecida do sistema composto pelo volante e pela mola é ω nat = K m t = 150 ,0 rad/s . Pede-se: a)Descreva como devem ser transformadas as equações dinâmicas acima, para que possam ser integradas utilizando o SCICOS, desta forma evitando-se erro lógico? Reproduza o diagrama SCICOS por você elaborado, para integrar as equações e obter os gráficos de θ& (t ), y(t ) e T (t ) .
Resolução É necessário isolar as acelerações à esquerda da igualdade e desacoplar as duas equações, de modo que elas sejam escritas da forma:
( (
) )
y&& f1 y, y& , θ , θ&, && = & θ f 2 y, y& , θ , θ ,
(0,5)
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Diagrama SCICOS (1,0)
b) Foram feitas simulações adotando T0 = 14, 0 Nm e T0 = 6,0 Nm .
θ&
Figura 3a : θ& (t ) correspondente a T0 = ?
Considerando o gráfico mostrado na figura 3a, ao lado, a qual valor de T0 ele corresponde? Justifique. Esboce um gráfico mostrando o comportamento de T ( t ) correspondente a este valor de T0 .
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Resolução O gráfico da figura 3a corresponde a T0 = 14, 0 Nm , pois, conforme verificado através das simulações, para este valor de torque de partida o motor é capaz de atingir uma velocidade de rotação próxima a ω op ≈ 188.5 rad / s ; o gráfico de T ( t ) é mostrado abaixo. (0,5)
(0,5) c) Esboce um gráfico de T (t ) e um gráfico de θ& (t ) que ilustrem a ocorrência do fenômeno denominado “sincronização de freqüência” ou “efeito de Sommerfeld” no sistema estudado. Indique claramente o valor de T0 e o valor de θ& correspondente a t → ∞ . Resolução Gráficos de θ& (t ) e de T (t ) correspondentes a T0 = 6, 0 Nm . No gráfico de θ& (t ) , vê-se que θ&op situa-se entre 140 rad/s e 150 rad/s, ou seja, o motor não consegue imprimir uma velocidade angular superior à freqüência natural não amortecida do sistema volante-mola, mostrando que houve uma sincronização entre a freqüência de rotação do motor e esta freqüência natural. No gráfico de T (t ) observa-se que o torque não oscila ao redor de zero, como seria verificado para θ& op ≈ ω op . (0,5)
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(0,5)
(0,5)
