Formulario Resmat

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Fundação Universidade Federal do Rio Grande - Departamento de Materiais e Construção RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil 1 Propriedades Geométricas de Áreas Planas y ∫ M Sx = ∫ Ix = x ∫ M Sy = ydA y 2 dA ∫ Iy = xdA x 2 dA dA y x 0 ∫ I xy = yg y Ix A ix = r Iy iy = A ∫r IP = xydA 2 dA Translação de eixos x x = A 1 A ∫ xdA = ∑ A ixi ∑ Ai y = 1 A ∫ y dA = ∑ A i yi ∑ Ai xg G Ix = Ixg + A y 2 Iy = Iyg + A x 2 y Ixy = Ixg yg + A x y 0 x Rotação de eixos y Iu = v Ix + Iy 2 u Iv = θ x 0 Iuv = Ix + Iy 2 Ix − Iy 2 Imax,min = + − Ix − Iy 2 Ix − Iy 2 cos2θ − Ixy sen2θ cos2θ + Ixy sen2θ sen2θ + Ixy cos2θ Ix + Iy 2 ±  Ix − Iy    2   Seção retangular y yg x x = b 2 bh 3 3 Ix = h xg G y I xg = x 0 y = bh 3 12 h 2 Iy = A = bh hb 3 3 I yg = hb 3 12 b http://www.dmc.furg.br/resistencia Ixy = b 2h 2 4 I xg yg = 0 tg2θ = − 2 + I2xy 2Ixy Ix − Iy Fundação Universidade Federal do Rio Grande - Departamento de Materiais e Construção RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil 2 Seção triangular y A = yg x c Ix = 1 2 1 x = bh 12 1 3 ( b + c) y = 1 3 h ( Iy = bh 12 3b3 − 3bc + c2 bh3 ) 2 Ixy = bh 24 (3b − 2c) h ( 3 Ixg = bh 36 xg G Iyg = bh 36 b2 − bc + c2 ) y x 0 Ixg b yg 2 = bh 72 ( b − 2c) Seção circular y A = π r2 = Ix = Iy = r 1 1 4 4 π d2 π r4 = 1 64 π d4 x G IP = 1 2 π r4 = 1 π d4 32 d d e = 2re y d i = 2ri ( A = π re2 − ri2 ) = 1 4 ( π d 2e − d i2 ) re ri Ix = Iy = x G IP = 1 2 1 4 ( ( π re4 − ri4 π re4 − ri4 ) = 1 ) 32 = 1 64 ( π d 4e − d i4 ( π d 4e − d i4 Esforço Normal σ = ∆L = σ = N A ε = NL E A N ≤ σ adm A ∆L L σ = Eε ∆L T = α L ∆T σ adm = σ θ = σ cos2 θ ε y = ε z = −ν ε x τ θ = σ 2 sen 2θ G = E 2 (1 + ν ) σU n http://www.dmc.furg.br/resistencia ) ) Fundação Universidade Federal do Rio Grande - Departamento de Materiais e Construção RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil 3 Lei de Hooke εx = [ σx − ν ( σy + σz εy [ σy − ν ( σz + σx ) [ σz − ν ( σx + σy εz 1 E 1 = E 1 = E )] τ xy = G γ xy ] τ yz = G γ yz )] τ zx = G γ zx Torção τ = T ρ IP TL GIP φ = P = Tω φ = i P = 2π f T b φ = φ = T ∫L GIP dx 1 HP = 746w Seção transversal elíptica T 2T τ max = c1 ab 2 TL b φ = 3 c 2 ab G a Ti Li G iIPi ω = 2πf Seção transversal retangular τ max = ∑ a Seção transversal triangular equilátera πa b 2 TL(a 2 + b 2 ) πa 3 b 3 G Seção transversal vazada de parede fina t τ max = a a Ω 20T τ max = a3 φ = 46,188 a TL φ = Ga 4 Flexão dV = −q dx σx = Mz y Iz σ max = εx = y ρ ∫1 y dA + E2 σx = Mz Wz M y max ≤ σ adm I n = E1 dM = V dx ∫2 E2 E1 y dA = 0 Wz = d 2M = −q dx2 Iz y max σ maxT ≤ σ adm T σ x1 = M y It σ x1 = σ x2 = n M E1 y E1I1 + E2I2 http://www.dmc.furg.br/resistencia σx = ± My Mz y ± z Iz Iy σ adm C ≤ σ adm C M y It σ x2 = M E2 y E1I1 + E2I2 T 2Ωt TL ds ∫ 4Ω 2 G s t Fundação Universidade Federal do Rio Grande - Departamento de Materiais e Construção RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil 4 Esforço Cortante q = VQ I H = τ max ≤ τ adm VQ x I τ max = k τ = V (k = A 3 2 VQ It F = ∫ τ dA = A retangular, k = 4 V It 3circular) Análise de Tensões σ x′ = σ y′ = σx + σy 2 σx + σy 2 τ x′y′ = − σ 1,2 = − σx − σy 2 σx + σy τ max = ± + 2 σx − σy 2 σx − σy 2 cos 2θ + τ xy sen 2θ cos 2θ − τ xy sen 2θ sen 2θ + τ xy cos 2θ  σx − σy    2   ±  σx − σy    2   2 + τ xy 2 tg 2 θ p = 2 + τ xy 2 tg 2 θ c = − 2 τ xy σx − σy σx − σy σ = 2 τ xy Analogia de Mohr Rigidez variável Rigidez constante M EI ⇒ y = M* e y′ = V * q* = M ⇒ y = M* EI e y′ = q* = http://www.dmc.furg.br/resistencia V* EI σx + σy 2 ∫ A Q dA Fundação Universidade Federal do Rio Grande - Departamento de Materiais e Construção RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil 5 Teorias de Resistência Critérios de Escoamento Teoria da Máxima Energia de Distorção (von Mises) Teoria da Máxima Tensão Tangencial (Tresca) σ 12 − σ 1 σ 2 + σ 22 = σ 2Y σ1 > 0 e σ2 < 0 ⇒ σ1 − σ2 = σ Y σ1 > 0 e σ2 > 0 ⇒ σ1 = σ Y σ1 < 0 e σ2 < 0 ⇒ σ2 = σ Y Critérios de Fratura Teoria da Máxima Tensão Normal (Critério de Rankine) σ1 = σ U Teoria de Mohr σ2 = σ U Flambagem PCR = π 2 EImin L2e  y max = e sec  σ max = σ CR =  Le   2  π 2E λ2  P   − 1  EI    Le ec P  1 + 2 sec  A  i  2 λ = Le i min i min = Imin A  π y max = e  sec  2  P   EI   σ max = http://www.dmc.furg.br/resistencia λ LIM = π  P − 1  Pcr  ec P  π 1 + 2 sec A  2 i P   PCR  E σY Fundação Universidade Federal do Rio Grande - Departamento de Materiais e Construção RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil 6 L Le = L 2L 0,7 L 0,5L Linha Elástica 1 M(x) = EI ρ 1 = ρ y ′′ [ 1 + y′ ] 2 y ′′ = 3/2 M(x) EI y ′ = tg θ ≅ θ(x) Trabalho de Deformação Conservação de energia Ue = Ui Ui = Trabalho int erno de deformação ∫ L Teorema de Clayperon Teorema de Betti Teorema de Maxwell U e = 12 ∑ Pk δ k k N2 dx + 2EA L U e = 12 U = U 1 + U 2 + U 1,2 y A,B = YB, A ∫ y A,Bm = ϕ B, Ap M2 dx + 2EI ∑ ∫ L T2 dx + χ 2GIP M kϕk k U 1,2 = U 2,1 ϕ A,B = ϕ B, A http://www.dmc.furg.br/resistencia ∫ L V2 dx 2GA Fundação Universidade Federal do Rio Grande - Departamento de Materiais e Construção RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil 7 Teorema de Castigliano ∂U ⇒ ∂Pk δk = onde : N = δk = L ϕk = MM dx + EI ∫ L ∫ L TT dx + χ GIP VV dx GA ∫ L NN dx + EA ∫ L N = NN dx + EA ∫ L MM dx + EI ∫ L TT dx + χ GIP ∫ L VV dx, GA ∂N ∂M ∂T ∂V ,M = ,T = ,V = ∂M k ∂M k ∂M k ∂M k ∂U = −∆ ⇒ ∂X onde : ∫ L N = onde : NN dx + EA ∂N ∂M ∂T ∂V ,M = ,T = ,V = ∂Pk ∂Pk ∂Pk ∂Pk ∂U ⇒ ∂M k ϕk = ∫ ∫ L MM dx + EI ∫ L TT dx + χ GIP ∫ L VV dx = − ∆, GA ∂V ∂T ∂M ∂N ,V = ,T = ,M = ∂X ∂X ∂X ∂X Princípio dos Trabalhos Virtuais 1. δ = ∫ n N dx ∫ n N dx E A L 1. ϕ = E A L + ∫ m M dx ∫ m M dx ∫ t T dx ∫ t T dx G IP L + EI L 1. δ Para treliças : EI L + + G IP L + χ v V dx ∫ v V dx G A L ni Ni Li i=1 E Ai Para vigas carregadas transversalmente : ∫ L n ∑ = + χ 1. δ = G A ∫ m M dx E I L ou εx + εy 2 εx + εy ε y' = γ xý' 2 ε a,b = ( εx 2 εx − εy − 2 = − εx − εy + 2 − εy 2 εx + εy 2 ± ) cos 2 θ + cos 2 θ − sen 2 θ +  εx − εy    2   γ xy 2 2 γ xy sen 2 θ 2 γ xy sen 2 θ 2 cos 2 θ  γ xy +   2    2 tg 2 θ p = http://www.dmc.furg.br/resistencia ∫ L Análise de Deformações ε x' = 1. ϕ = γ xy εx − εy m M dx E I Fundação Universidade Federal do Rio Grande - Departamento de Materiais e Construção RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Curso de Engenharia Civil 8 γ max = ( εx γ xy = 2 ε OB − εa = − εy )2 ( εx + εy + γ 2xy ) 1 − ν E εb = − ( σa ( εx − εy ) γ xy ε θ = ε x cos2 θ + ε y sen 2 θ + γ xy sen θ cos θ ν σb σa − E E εa + ε b = tg 2 θ t = − + σb) ν σa E + ν σb εc = − E εc = − 1 − ν E ( σa ν E + σb ) ( σa + σb ) γ max = .-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. TABELA DE ÁREAS - Analogia de Mohr FORMA ÁREA X h bh b/2 h bh/2 b/3 bh/2 (b+c)/3 h 2bh/3 3b/8 h bh/3 b/4 h bh/4 b/5 h bh/n+1 b/n+2 x Diagrama retangular b x Diagrama triangular b Diagrama triangular qualquer c x h b x Diagrama parabólico de 20. grau b Diagrama parabólico de 20. grau x b Diagrama parabólico de 30. grau x b Diagrama parabólico de grau n x b http://www.dmc.furg.br/resistencia ε max − ε min