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F´ısica III - 4320301
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Escola Polit´ecnica - 2013 GABARITO DA P2 ☛
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16 de maio de 2013
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Quest˜ ao 1 ✠ ✡
Considere dois eletrodos esf´ericos concˆentricos de raios a e b, conforme a figura. O meio resistivo entre os eletrodos ´e homogˆeneo com condutividade σ. Uma corrente I flui do
eletrodo interno de raio a para o eletrodo externo de raio b atrav´es do meio resistivo.
b a
+
_
σ I (a) (1,0 ponto) Calcule, em fun¸ca˜o da corrente I, o vetor densidade de corrente no meio resistivo a uma distˆancia r do centro dos eletrodos (a < r < b). (b) (1,0 ponto) Calcule a resistˆencia do sistema ˆohmico em fun¸ca˜o de a, b e σ. (c) (0,5 ponto) Qual o valor da diferen¸ca de potencial entre os eletrodos em fun¸ca˜o de a, b, σ e I?
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Solu¸c˜ ao da quest˜ ao 1
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(a) A rela¸ca˜o entre a densidade de corrente J~ e a corrente I ´e I ~ I= J~ · dA, S
onde S ´e uma superf´ıcie esf´erica concˆentrica com as esferas condutoras. Por simetria J~ = J(r)b r, portanto I = J(r)
I
S
~ =⇒ I = J(r)4πr2 =⇒ J(r) ~ = rb · dA
I rb . 4πr2
(b) Podemos considerar a regi˜ao entre as cascas condutoras como uma superposi¸ca˜o de cascas esf´ericas concˆentricas de raio interno r e raio externo r + dr. Como a espessura dr destas cascas ´e infinitesimal, as suas superf´ıcies interna e externa tˆem praticamente a mesma ´area e podemos calcular sua resistˆencia dR atrav´es da express˜ao dR =
1 dr , σA(r)
onde A(r) = 4πr2 .
A resistˆencia total ´e dada por R=
Zb a
1 1 dr = σA(r) 4πσ
Zb
dr 1 = 2 r 4πσ
1 1 − a b
=⇒ R =
b−a . 4πσ ab
a
(c) A diferen¸ca de potencial entre os eletrodos pode ser calculada atrav´es de V = RI =⇒ V =
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(b − a)I . 4πσ ab
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Quest˜ ao 2 ✠
Dois fios 1 e 2, infinitos e paralelos, separados pela distˆancia 2a, conduzem no v´acuo, cada
um, uma corrente I, em sentidos opostos, conforme a figura.
y 1 a
P=(x,0,0)
x
a
x
+
2
(a) (0,5 ponto) Usando a lei de Amp`ere, calcule o vetor campo magn´etico produzido por um fio infinito por onde passa uma corrente i a uma distˆancia r do fio. (b) (1,0 ponto) Calcule o vetor campo magn´etico produzido pelos dois fios no ponto P = (x, 0, 0). (c) (1,0 ponto) Calcule o vetor for¸ca por unidade de comprimento exercida no fio 2 pelo fio 1.
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Solu¸c˜ ao da quest˜ ao 2
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(a) A lei de Amp`ere fornece I ~ · d~ℓ = µ0 i B
i r
~ ´e paralelo a d~ℓ e B = B(r) podemos Como B escrever I I µ0 i B dℓ = B(r) dℓ = B2πr = µ0 i =⇒ B(r) = 2πr
B
µ0 i b ~ θ B(r) = 2πr
~1 e B ~ 2 se cancelam (veja a figura). (b) No ponto P as componentes y de B
y 1
(x 2+a2)1/2
a
B1 π/2 − θ
θ x
x
a
B2
+
2
Usando o resultado do item (a) obtemos ~ ) = 2B1 cos(π/2 − θ)~ı = 2B1 sen(θ)~ı = 2 B(P ~ )= B(P
a µ0 I ~ı 2 1/2 2 + a ) (x + a2 )1/2
2π(x2
µ0 Ia ~ı . π(x2 + a2 )
~ 1 . A for¸ca (c) A for¸ca que o fio 1 exerce sobre um elemento d~ℓ do fio 2 ´e dF~ = Id~ℓ × B sobre um trecho de comprimento L do fio 2 ´e Z Z µ0 I ~ ~ ~ F = I dℓ × B1 = −I dℓB1 ~ = −ILB1 ~ = −IL ~ 4πa =⇒
µ0 I 2 F~ =− ~ . L 4πa
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Quest˜ ao 3 ✠
Um anel fino de raio R, carregado com densidade linear de carga λ > 0, gira em torno de um eixo z que passa pelo seu centro com uma velocidade angular ω ~ = ω~k, conforme a ~ = B~ı. figura. Atua na regi˜ao um campo magn´etico externo homogˆeneo B
z ω O
x
R
y
B
(a) (0,5 ponto) Calcule a corrente i associada ao movimento do anel em fun¸ca˜o de λ, ω e R. Qual ´e o sentido da corrente? ~ exerce sobre o anel. (b) (1,0 ponto) Calcule o vetor torque que o campo externo B ~ O produzido pelo anel no seu centro. (c) (1,0 ponto) Calcule o campo magn´etico B
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Solu¸c˜ ao da quest˜ ao 3
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(a) A corrente pode ser calculada atrav´es da quantidade de carga que passa atrav´es de uma ´area igual `a se¸ca˜o reta do anel. λR∆θ λRω∆t ∆q = = = λRω. ∆t ∆t ∆t
i= Ou, mais diretamente,
i=
dq dq dℓ = = λv = λωR. dt dℓ dt
A corrente tem o sentido da rota¸ca˜o do anel. (b) O momento magn´etico da espira ´e ~µ = iA~k = (λωR)(πR2 )~k = λωπR3~k. O torque sobre a espira ´e ~ = λωπR3 B~. ~τ = ~µ × B (c) O campo magn´etico no centro da espira pode ser calculado atrav´es da lei de BiotSavart. ~ ~ 0 = µ0 i dℓ × rb; dB 4π r2 Como i = λωR,
~ 0 = µ0 i d~ℓ × rb = dl~k =⇒ B 4πR2 ~ 0 = µ0 λω ~k . B 2
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I
µ0 i ~ k. dℓ~k = 2R
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Quest˜ ao 4 ✠
(I) Considere uma espira quadrada de lado 2a percorrida no sentido anti-hor´ario por uma corrente I. A espira se encontra no plano xy, conforme a figura.
y
I
P _a
a
x
z (a) (1,0 ponto) Calcule o vetor campo magn´etico produzido pelo segmento da espira ao longo do eixo x no centro da espira (ponto P = (0, a, 0)). (b) (0,5 ponto) Calcule o vetor campo magn´etico total produzido pelos quatro segmentos no centro da espira.
(II) (1,0 ponto) Usando a lei de Amp`ere calcule o vetor campo magn´etico no interior de um condutor cil´ındrico infinito de raio R por onde passa uma corrente I uniformemente distribuida atrav´es de sua se¸ca˜o reta.
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Solu¸c˜ ao da quest˜ ao 4
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(I) Campo magn´etico no centro da espira quadrada. (a) O campo magn´etico produzido no ponto P y
pelo peda¸co d~ℓ do fio sobre o eixo x ´e dado por
P
~ ~ = µ0 I dℓ × ~r , dB 4π r3 p onde d~ℓ = dx~ı e r = x2 + y 2 .
r φ
a
k
I
−a a √ dl 2 2 ~ ~ Da figura obtemos dℓ × ~r = dx r senφ k e senφ = a/ x + a . Assim,
x
Z dx µ0 I a µ0 I a dx ~k ~k ~k = µ0 I a √ a ~ ~ =⇒ B = dB = 2 2 3/2 2 2 3/2 4π (x + a ) 4π (x + a ) 2 π a2 a2 + a2 a
−a
µ0 I ~ ~ = √ B k. 2 2πa (b) O campo total no centro da espira ´e quatro vezes o valor obtido no item (a) 2µ0 I ~ ~ =√ k. B 2πa (II) Campo dentro do condutor cil´ındrico.
B r
R J c
A lei de Amp`ere afirma que I
C
~ · d~ℓ = B
I
Bdℓ = B C
I
H
C
~ · d~ℓ = µ0 Iint . Para r ≤ R, B
dℓ = B2πr = µ0 I(r) = µ0 J(r)πr2 = µ0 C
~ = µ0 Ir θˆ =⇒ B 2πR2
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Ir2 I 2 πr = µ 0 πR2 R2
Formul´ ario q , V = 4πǫ0 |~r − ~r′ |
VB − VA = −
ZB
~ · d~ℓ, E
1 V = 4πǫ0
A
I
Z
dq , r
~ = −∇V, ~ E
ǫ ~ · dA ~ = qint−liv , I = dQ = n|q|vd A, J~ = n|q|~vd , ρ = 1 , u = E 2, ǫ0 κ E 2 dt σ I 2 ~ dR = ρ dℓ , V = RI, V = E − Ir, P = V I = I 2 R = V , I= J~ · dA, A R S I Z ~ A ~ = 0, dF~ = Id~ℓ×B, ~ ~ ~τ = ~µ×B, ~ ~ A, ~ ~ v ×B, ~ B·d ~µ = I A, F~ = q E+q~ ΦB = B·d ~ U = −~µ · B,
~ ~ = µ0 I dℓ × rˆ , dB 4π r2
I
~ · d~ℓ = µ0 Iint , B
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Z
(x2
dx x . = √ 2 3/2 2 +c ) c x2 + c 2
