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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
30 de Junho de 2004, a` s 4:21 a.m.
Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica Jason Alfredo Carlson Gallas Professor Titular de F´ısica Te´orica Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a SEGUNDA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo 29 Circuitos El´etricos 29.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . .
2 2 2
29.2.1 29.2.2 29.2.3 29.2.4 29.2.5
Trabalho, energia e FEM . . . . Diferenc¸as de potencial . . . . . Circuitos de malhas m´ultiplas . Instrumentos de medidas el´etricas Circuitos RC . . . . . . . . . .
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para
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29 Circuitos El´etricos
. 8
29.1 Quest˜oes
Q 29-1.
Q 29-4.
. 85+ 9
Uma determinada bateria de autom´ovel cuja fem e´ de V tem uma carga inicial de A h. Supondo que a diferenc¸a de potencial entre seus terminais permanec¸a constante at´e que a bateria esteja completamente descarregada, por quantas horas ela poder´a fornecer energia na taxa de W?
N˜ao. O sentido convencional da fem e´ sempre do terminal negativo para o terminal positivo da bateria, independentemente do sentido da corrente que atravessa a bateria.
.:+;+ Se < e´ a taxa com a qual a bateria entrega energia e e´ o tempo, ent˜ao =>K se a corrente e a fem estiverem em direc¸o˜ es bateria mais forte: a de .35+ V: sentido anti-hor´ario. O opostas. Para 7E a potˆencia e´ valor da corrente e´ obtido usando a lei das malhas, de Kirchhoff. Partindo do ponto j e seguindo no sentido < E '+D A$&. 8 V$ W anti-hor´ario temos: e para HG ela e´ ou seja . 5+ak8lhk5+aWf,M+ T A@8,+ A BE{ZE3lZ1É , que quando substituida na equac¸a˜o (*) acima produz 'ZE Q Z%G3$hBENd!Z Ê Q Z1É{$ ZZ%GE El donde tiramos facilmente Z Ê Z1ÉZ%GllZE .
BE{ZE ., /.38 Volts a'Z1É_Z Ê $ A !Z Q 8l 5$(!Z ÉQ Z%Ê*$ Q 8,Z É Z#Ê T A corrente na ausˆencia do volt´ımetro pode ser obtida da express˜ao de BE{ZE no limite ZÃ?ÅÇÆ : onde e´ a fem da bateria ideal. Suponha que Z1E Z#G#nZ e que Z ~ v+ . Esta f´ormula e´ consistente com Ä Z 'f D
+ V $(!8;5+#`U$ E BE{ZEU ZE Q Z%G Q 8,,+%` Q f;+,+]` Q .:+;+]` o resultado do Problema 63? e do 56? ., /.3 Volts express˜ao esta que nos fornece o valor
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P 29-64. Se os pontos e na Fig. 29-44 forem ligados por um fio de resistˆencia , mostre que a corrente no fio ser´a
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.3+ .
29.2.5 Circuitos RC E 29-66.
Zr
s a diferenc¸a de potencial atrav´es do capacitor e´ V. (a) Qual e´ a constante de tempo do circuito? (b) Qual e´ a diferenc¸a de potencial atrav´es do capacitor no instante s?
K.l«
Quantas constantes de tempo devem decorrer at´e que um (a) A diferenc¸a de potencial atrav´es das placas do capacitor em um circuito esteja carregado com mecapacitor est´a relacionada a` carga na placa positiva penos de % de sua carga de equil´ıbrio? la relac¸a˜ o , onde e´ a capacitˆancia. Como a A equac¸a˜ o que rege a carga de um capacitor e´ carga em um capacitor que se descarrega e´ controlada por , onde e´ a carga no instante e e´ a constante de tempo, isto significa que
.
,,r r d ~ Î ·'ØÙ ~
U+ 1nr#aB.NÎ]Ñ*Ï,Ò Ð $nr#aB.UÎeÏ,Ó Ð $ Ô onde Ô e´ a constante de tempo. A carga de equil´ıbrio e´ 'B$a ~ * ·'ØÙ T atingida para vÆ , valendo ent˜ao r# . Portanto onde ~ p ~ 5r e´ a diferenc¸a de potencial existente no .3+,+#Õ. r#2nr#aB.UÎeÏ,Ó Ð $ T instante inicial. Portanto .:+,+ ou seja, Ö/× .U+D ;lMdUCM ;+;1KUlÔ , fornecendo Ôd ln ![ 5 ~ $ ln .l.3h+ .:+;+l Û 87 ¬.l« s CM ;+;^Ô7 (b) Para d.l« s, Ôd.l«,,8H /. « «h J,f e obtemos Û E 29-68. n ~ Î ·'ØÙ B.:+;+;$HÎ ½&ß Û f7 ,W0.:+ G V (a) Basta igualar-se as duas express˜oes para a carga num capacitor:
À r r# ) .UÎ ·'ØÙ - T
de onde tiramos que
? Î; ·'ØÙ T
P 29-71.
+7 b
.]Ý
Um capacitor de F com uma energia inicial armazenada de J e´ descarregado atrav´es de um resistor de M . (a) Qual a carga inicial no capacitor? (b) Qual o valor da corrente atrav´es do resistor no momento em , a voltagem que a descarga inicia? (c) Determine atrav´es do capacitor, e , a voltagem atrav´es do resistor, em func¸a˜ o do tempo. (d) Expresse a taxa de gerac¸a˜ o de energia t´ermica no resistor em func¸a˜ o do tempo.
. `
Mº
M
(a) A energia armazenada num capacitor e´ àA³ . # 8 S « ~G H g8,r$ , onde r e´ a capacitˆancia e ~ e´ a carga inicial N D +
, , f D
ln ) ln .38Ú- .38 Û na placa. Portanto Desta express˜ao, para A., fI0 .3+ Ü segundos, encon ~ á 8;rIà á 87B.02.3+ Ü F$&'+7 b J$ tramos .0.:+ C Ô ., f+702 b5f;.3+ Ü Û 8H CD. 8\Ý s . mC (b) ·'ØÙ , onde Ô (b) A carga em func¸a˜ o do tempo e´ ~ Î Ô 7 8
M C 3 . 8 2 0 3 . + Ü e´ a constante de tempo. A corrente e´ a derivada da carga rd Z . 0.:+ @+7 /.:D.%0S.3+ Þ F em relac¸a˜ o ao tempo: ~ ·'ØÙ Ô Î; d P 29-69. Um capacitor com uma diferenc¸a de potencial de .:+;+ V [O sinal negativo e´ necess´ario pois a corrente de descare´ descarregado atrav´es de um resistor quando uma cha- ga flui no sentido oposto ao sentido da corrente que fluiu ve entre eles e´ fechada no instante + . No instante durante o processo de carga.] ou seja
Ô
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Ad. s temos A + ~ @ ~ Ô . s +D f;f,f Ôk@Zrv.I0.:+ Ü F$(.0.:+ Ü `U$d. s Ô f sÛ Portanto e a taxa com a qual a carga est´a aumentando e´ ~ .0.:. + s C . mA r# ·'ØÙ c · Ù ~ Ô Î; B.02.3+ f Ü sF$&cC V$ Î; ~ ß (c) Substitua 1@ Î em Mq,,r obtendo ent˜ao ½ C/s D]cB$a r ~ Î; ·'ØÙ ..0202.3.3++ Ü CF Î, ·'Ø&â E sã D
; 2 0 3 . H + Û Observe que ‘Coulombs/segundo’ e´ a definic¸a˜ o de .0.:+;:$^Î; · V T Amp`ere, a unidade de corrente. onde e´ medido em segundos. (b) A energia armazenada no capacitor e´ dada por àA? ·'ØÙ em º Z , obtendo Substitua ^' ~ lÔD$HÎ G H g8,r$ e sua taxa de carga e´ à DºU'B$´ ~ Ô Z Î; ·'ØÙ r B.I0.:+ B.C$&s.$ 0.:+ Ü `U$ Î ·'Ø&â E sã Para A d. s temos r# » .USÎ ·'ØÙ ¼ ¶ B.I0.:+ $HÎ · V T ~ß com medido em segundos. Ü . 2 0 3 . + F $('C V $ .UÎ ' · Ø Ù G ~ » ¼ (d) Substitua A! ÔD$HÎ em f,Zr158
H'B$ #r 8 » U. SÎ G ·'Ø&â ºs ã ¼ Lei dos n´os ç EUG Q T 'B$a f, Z Î; G ·'Ø(â ºs ã Malha esquerda ç 2BE{ZE[G(Z%G#+ T A corrente no ramo do centro e´ Malha direita ç G:Z%GN2 Z @+7 G,cB$ 85 Z 8 85 Z , Z Î; G ·'Ø(â ºs ã Como todas as resistˆencias s˜ao iguais, podemos des , Z » f1SÎ G ·'Ø(â ºs ã ¼ prezar os sub´ındices, escrevendo apenas Z , onde Zp ZENZ#G%Z . A u´ ltima das trˆes equac¸o˜ es acima nos diz que §G enquanto que a diferenc¸a de potencial ao atravessar-se resultado que, substituido na primeira das equac¸o˜ es aci- Z#G e´ ma, nos da G E ,8 . Com isto tudo, n˜ao e´ dif´ıcil agora G cB$a G Zv » f1Î G ·'Ø&â ºs ã ¼ usar-se a equac¸a˜ o do meio para obter-se que afico de MG;'B$ : fac¸a-o vocˆe mesmo, usando a equac¸a˜ o BE[ f,85Z fM87'+.7; ä«l 8f00.:.:+ + Ü V`U$ $ Û ., /.0.:+ A Gr´ acima!! E´ uma curva que parte do valor ê5G%lf , crescendo assimpt´oticamente para o valor ,8 . G ·'Ø&â ºs ã e´ igual a e, consequentemente, que (c) Para n+ , o fator exponencial Î .e G f; Z fD'+D., b b«58f00.:+.:+ Ü V`U$ Û 7 0.:+ M4 A G f .; 80f .:+ V C;+;+ V http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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Para
vÆ
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Î G Ø&â ºs ã e´ zero e G 8 ., b8028 .3+ V @,+;+ V , o fator exponencial
intervalo de tempo suficientemente grande para que se possa considerar como sendo zero o valor da corrente que circula no ramo contendo o capacitor. Tal intervalo de tempo dever´a ser muitas vezes maior que a constante (d) O significado f´ısico de “tempo infinito” e´ um certo de tempo caracter´ıstica do circuito em quest˜ao.
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