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Universidade Lusófona de Humanidades e Tecnologias Faculdade de Engenharia e Ciências Naturais Cálculo II Licenciaturas em Ciências do Mar, Engenharia do Ambiente, Engenharia Biotecnológica, Engenharia Electrotécnica, Engenharia e Gestão Industrial e Química 1º Semestre 2008/2009
Ficha 12 – Extremos relativos Parte I – Exercícios Propostos (EP) I.1 Seja f ( x, y ) =
x 3 y3 3y 2 + + xy 2 + x 2 y − − 9x + 1 . 3 3 2
a)
Determine o gradiente de f ( x, y ) .
b)
Determine os pontos de estacionaridade de f.
c)
Calcule a matriz Hessiana de f.
d)
Classifique os pontos obtidos na alínea (b) quanto à sua natureza.
I.2
Determine e classifique os extremos relativos das seguintes funções: 1 a) f ( x, y ) = x 2 − 2xy + y3 − 3y 3
b) f ( x, y ) = x 2 + y4 x c) f ( x, y ) = e 2 x ( x + y 2 + 2y )
1
Parte II – Exercícios Resolvidos (ER) II.1 – Determine e classifique os extremos relativos das seguintes funções: a) f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 4x − 2y + 5
Calculemos os pontos de estacionariedade da função f:
∂f ∂x ( x, y ) = 0 ∂f 2x + 4 = 0 x = −2 ∂f ∇f ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⇔ ( x, y ) , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⇔ ⇔ ⇔ ∂ f 2y − 2 = 0 ∂ x ∂ y y = 1 ( x, y ) = 0 ∂ y O ponto de estacionariedade é ( −2,1) .
Determinemos a matriz hessiana de f:
∂ 2f ∂x 2 H ( x, y ) = 2 ∂ f ∂y∂x
∂2f ∂x∂y 2 0 = 2 ∂ f 0 2 ∂y 2
Classifiquemos o ponto de estacionariedade ( −2,1) : A matriz hessiana neste ponto é: 2 0 H ( −2,1) = . 0 2
A cadeia de menores principais de H ( −2,1) é:
D1 = 2 > 0 D2 =
2 0 0 2
= 2 ⋅ 2 − ( 0 ⋅ 0 ) = 4 > 0.
Como D1 > 0 e D 2 > 0, então a forma quadrática é definida positiva e ( −2,1) é um ponto de mínimo relativo.
2
b) f ( x, y ) = xye x − y
Calculemos os pontos de estacionariedade da função f: ∂f x−y ′ ′ x−y ∂x ( x, y ) = 0 ( xy ) x e + xy ( e ) x = 0 ∂f ∂f ∇f ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⇔ ( x, y ) , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⇔ ⇔ ∂y ∂x ∂f ( x, y ) = 0 ( xy )′ ex − y + xy ( e x − y )′ = 0 y y ∂ y x−y x−y ye x − y + xye x − y = 0 ye (1 + x ) = 0 ye = 0 ∨ 1 + x = 0 ⇔ x−y ⇔ ⇔ x−y x−y x−y xe − xye = 0 xe = 0 ∨ 1 − y = 0 xe (1 − y ) = 0 x−y y = 0 ∨ x = −1 y = 0 x = −1 ye = 0 ∨ x = −1 ⇔ x−y ⇔ ⇔ ∨ ↑ = ∨ = xe 0 y 1 x = 0 ∨ y = 1 x = 0 y = 1 e x − y > 0, ∀x,y∈
Os pontos de estacionariedade são ( 0, 0 ) e ( −1,1) . Determinemos a matriz hessiana de f: ∂2f ∂2f 2 ∂x ∂x∂y ye x − y (1 + x ) + ye x − y e x − y (1 + x ) − yex − y (1 + x ) = H ( x, y ) = 2 x − y x−y ∂ f − xe x − y (1 − y ) − xe x − y ∂ 2 f e (1 − y ) + xe (1 − y ) . ∂y 2 ∂y∂x ye x − y ( x + 2 ) e x − y (1 + x − y − yx ) ye x − y ( x + 2 ) e x − y (1 + x − y − yx ) = x−y = xe x − y ( y − 2 ) e x − y (1 + x − y − yx ) xe x − y ( y − 2 ) e (1 − y )(1 + x ) Classifiquemos os pontos de estacionariedade: •
ponto ( 0, 0 ) A matriz hessiana neste ponto é:
0e0 − 0 ( 0 + 2 ) e0 − 0 (1 + 0 − 0 − 0 ⋅ 0 ) 0 1 . H ( 0, 0 ) = 0 − 0 = 0e0 − 0 ( 0 − 2 ) 1 0 e (1 + 0 − 0 − 0 ⋅ 0 ) A cadeia de menores principais de H ( 0, 0 ) é: D1 = 0 D2 =
0 1 1 0
= 0 ⋅ 0 − (1 ⋅1) = −1 < 0.
Como D 2 < 0, então a forma quadrática é indefinida e ( 0, 0) é um ponto sela. •
ponto ( −1,1)
A matriz hessiana neste ponto é: 1e −1−1 ( −1 + 2 ) e −1−1 (1 + ( −1) − 1 − 1( −1) ) e −2 H ( −1,1) = −1−1 = −1e −1−1 (1 − 2 ) 0 e (1 + ( −1) − 1 − 1( −1) )
3
0 . e −2
A cadeia de menores principais de H ( −1,1) é: D1 = e −2 > 0 D2 =
e −2
0
0
e −2
= e −2 ⋅ ( e −2 ) − ( 0 ⋅ 0 ) = e −4 > 0.
Como D1 > 0 e D 2 > 0, então a forma quadrática é definida positiva e relativo.
( −1,1)
é um ponto de mínimo
c) f ( x, y ) = xy ( x − 1) Calculemos os pontos de estacionariedade da função f: ∂f ( x, y ) = 0 ( xy )′ ( x − 1) + xy ( x − 1)′ = 0 ∂f ∂f ∂x x x ∇f ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⇔ ( x, y ) , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⇔ ⇔ f ∂ ∂ x ∂ y ′ ′ ( x, y ) = 0 ( xy ) y ( x − 1) + xy ( x − 1) y = 0 ∂ y
y ( x − 1) + xy ⋅1 = 0 y ( x − 1) + xy = 0 yx − y + xy = 0 2xy − y = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 0 ∨ x − 1 = 0 x = 0 ∨ x = 1 x ( x − 1) + xy ⋅ 0 = 0 x ( x − 1) = 0 2 ⋅ 0 ⋅ y − y = 0 2 ⋅1 ⋅ y − y = 0 y = 0 y = 0 ⇔ ∨ ⇔ ∨ x = 0 x = 1 x = 0 x = 1 Os pontos de estacionariedade são ( 0, 0 ) e (1, 0 ) . Determinemos a matriz hessiana de f: ∂2f ∂x 2 H ( x, y ) = 2 ∂f ∂y∂x
∂2f ∂x∂y 2y 2x − 1 = 0 ∂ 2 f 2x − 1 ∂y 2
Classifiquemos os pontos de estacionariedade: •
ponto ( 0, 0 ) A matriz hessiana neste ponto é: 2 ⋅ 0 2 ⋅ 0 − 1 0 −1 . H ( 0, 0 ) = = 0 −1 0 2 ⋅ 0 − 1
A cadeia de menores principais de H ( 0, 0 ) é:
D1 = 0 D2 =
0 −1 = 0 ⋅ 0 − ( −1 ⋅ ( −1) ) = −1 < 0. −1 0
Como D 2 < 0, então a forma quadrática é indefinida e ( 0,0) é um ponto sela.
4
•
ponto (1, 0 ) A matriz hessiana neste ponto é: 2 ⋅ 0 2 ⋅ 1 − 1 0 1 . H (1, 0 ) = = 0 1 0 2 ⋅1 − 1
A cadeia de menores principais de H (1, 0 ) é: D1 = 0 D2 =
0 1 = 0 ⋅ 0 − (1 ⋅1) = −1 < 0. 1 0
Como D 2 < 0, então a forma quadrática é indefinida e (1, 0 ) é um ponto sela. d) f ( x, y ) = x 3 + 6x 2 − 3y2 + y3
Calculemos os pontos de estacionariedade da função f: ∂f ( x, y ) = 0 3x 2 + 12x = 0 ∂f ∂f ∂x ∇f ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⇔ ( x, y ) , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⇔ ⇔ 2 ∂ f ∂y ∂x ( x, y ) = 0 −6y + 3y = 0 ∂y x 2 + 4x = 0 x = 0 ∨ x + 4 = 0 x ( x + 4 ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ 2 −2y + y = 0 y = 0 ∨ −2 + y = 0 y ( −2 + y ) = 0 x = 0 ∨ x = −4 x = 0 x = 0 x = −4 x = −4 ⇔ ⇔ ∨ ∨ ∨ y = 0 ∨ y = 2 y = 0 y = 2 y = 0 y = 2 Os pontos de estacionariedade são ( 0, 0 ) , ( 0, 2 ) , ( −4,0 ) e ( −4, 2 ) . Determinemos a matriz hessiana de f: ∂2f ∂x 2 H ( x, y ) = 2 ∂f ∂y∂x
∂ 2f 0 ∂x∂y 6x + 12 = 0 −6 + 6y ∂ 2f ∂y 2
Classifiquemos os pontos de estacionariedade: •
ponto ( 0, 0 ) A matriz hessiana neste ponto é: 0 12 0 6 ⋅ 0 + 12 H ( 0, 0 ) = = . 0 −6 + 6 ⋅ 0 0 −6
A cadeia de menores principais de H ( 0, 0 ) é:
5
D1 = 12 > 0 D2 =
12
0
0 −6
= 12 ⋅ ( −6 ) − ( 0 ⋅ 0 ) = −72 − 0 = −72 < 0.
Como D 2 < 0, então a forma quadrática é indefinida e ( 0, 0) é um ponto sela. •
ponto ( 0, 2 ) A matriz hessiana neste ponto é: 0 12 0 6 ⋅ 0 + 12 . H ( 0, 2 ) = = 0 −6 + 6 ⋅ 2 0 6
A cadeia de menores principais de H ( 0, 2 ) é: D1 = 12 > 0 D2 =
12 0 0 6
= 12 ⋅ 6 − ( 0 ⋅ 0 ) = 72 − 0 = 72 > 0.
Como D1 > 0 e D 2 > 0, então a forma quadrática é definida positiva e ( 0, 2 ) é um ponto de mínimo relativo. •
ponto ( −4, 0 ) A matriz hessiana neste ponto é: 6 ⋅ ( −4 ) + 12 0 −12 0 . H ( −4, 0 ) = = 0 −6 + 6 ⋅ 0 0 −6 A cadeia de menores principais de H ( −4, 0 ) é: D1 = −12 < 0 D2 =
−12
0
0 −6
= −12 ⋅ ( −6 ) − ( 0 ⋅ 0 ) = 72 − 0 = 72 > 0.
Como D1 < 0 e D 2 > 0, então a forma quadrática é definida negativa e ( −4, 0 ) é um ponto de máximo relativo. •
ponto ( −4, 2 ) A matriz hessiana neste ponto é:
0 −12 0 6 ⋅ ( −4 ) + 12 H ( −4, 2 ) = = . 0 − 6 + 6 ⋅ 2 0 6 A cadeia de menores principais de H ( 0, 0 ) é: D1 = −12 < 0 D2 =
−12 0 0 6
= −12 ⋅ 6 − ( 0 ⋅ 0 ) = −72 − 0 = −72 < 0.
Como D2 < 0, então a forma quadrática é indefinida e ( −4, 2 ) é um ponto sela.
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Parte III – Exercícios de Auto-Avaliação (EAA) III.1
Considere as figuras seguintes que representam o gráfico de três funções de duas variáveis. Indique qual a figura que corresponde à situação que tem na origem: a) um ponto de máximo. b) um ponto de mínimo. c) um ponto de sela.
HL
f x,y = x2- y2
2 1 0 -1 -2
1
0 -1
y
0 -1
x 1
FIGURA 1
HL
f x,y = x2+ y2
4 3 2 1 0
1
0 -1 0
y
-1
x 1
FIGURA 2
HL
0 -1 f x,y = - x2- y2 -2 -3 -4
1 0 -1 0
y
-1
x 1
FIGURA 3
III.2 3
3
2
2
a)
x y x y + − − − 2y + 1 . 3 3 2 2 Determine o gradiente de f ( x, y ) .
b)
Obtenha a equação do plano tangente a f no ponto ( 2, 0 ) .
c)
Calcule a derivada direccional de f no ponto ( 2, 0 ) segundo o vector v = 1/ 2,1/ 2 .
d) e) f)
Determine os pontos de estacionaridade de f. Calcule a matriz Hessiana de f. Classifique os pontos obtidos na alínea (d) quanto à sua natureza.
Seja f ( x, y ) =
(
7
)
III.3
Seja f ( x, y ) =
x3 x2 y3 3 − − 2x + − y 2 + . 3 2 3 2
a)
Determine o gradiente de f ( x, y ) .
b)
Obtenha a equação do plano tangente a f no ponto (1, −1) .
c)
Calcule a derivada direccional de f no ponto (1, −1) segundo o vector v = (1, 2 ) .
d)
Determine os pontos de estacionaridade de f.
e)
Calcule a matriz Hessiana de f.
f)
Classifique os pontos obtidos na alínea (d) quanto à sua natureza. III.4
Determine e classifique os extremos relativos das seguintes funções: a) f ( x, y ) = x 2 y 2 − 2xy . b) f ( x, y ) =
x 3 y3 x 2 y 2 + − − − 2y + 1 . 3 3 2 2
c) f ( x, y ) =
x 3 y3 x 2 + − − 2x − y + 1 . 3 3 2
d) f ( x, y, z ) = x 2 + y2 + 3z 2 + yz + 2xz − xy
8
Soluções I.1 a) grad f ( x, y ) = ∇f ( x, y ) = ( x + y + 2xy − 9, y + 2xy + x 2 − 3y ) , ( x, y ) ∈ 2 2
2
2
b) Os pontos de estacionariedade são: ( 0,3) e ( −6,3) .
∂2f ∂x 2 H ( x, y ) = 2 ∂f ∂y∂x
c)
∂2f 2y + 2x ∂x∂y 2x + 2y = 2 2y + 2x 2y + 2x − 3 ∂ f ∂y 2
d) • •
( 0,3) é um ponto sela. ( −6,3) é um ponto de máximo relativo. I.2
a) •
Os pontos de estacionariedade são ( 3,3) e ( −1, −1) .
• •
( 3,3) é um ponto de mínimo relativo. ( −1, −1) é um ponto sela.
•
O ponto de estacionariedade é ( 0,0 ) .
•
Como D 2 = 0, nada se pode concluir.
b)
c) •
•
1 O ponto de estacionariedade é , −1 . 2 1 , −1 é um ponto de mínimo relativo. 2 III.1 b) Figura 2
a) Figura 3
c) Figura 1
III.2 a) b) c)
d)
∂f ∂f grad f ( x, y ) = ∇f ( x, y ) = ( x, y ) , ( x, y ) = ( x 2 − x, y 2 − y − 2 ) , ( x, y ) ∈ 2 ∂ x ∂ y 5 7 z = + 2 ( x − 2 ) − 2y ⇔ −2x + 2y + z + = 0 3 3 1 1 1 1 1 1 f ′ 1 1 ( 2, 0 ) = ∇f ( 2, 0 ) ⋅ , = ( 2, −2 ) ⋅ , + ( −2 ) = 0. Pela = 2⋅ , 2 2 2 2 2 2 alínea b) 2 2
Os pontos de estacionariedade são: ( 0, 2 ) , ( 0, −1) , (1, 2 ) e (1, −1) .
e)
∂2f ∂x 2 H ( x, y ) = 2 ∂ f ∂y∂x
∂ 2 f ∂ ∂f ∂x∂y ∂x ∂x = ∂ 2 f ∂ ∂f ∂y 2 ∂x ∂y
∂ ∂f ∂ 2 ∂x ( x − x ) ∂y ∂x = Pela ∂ ∂ ∂f alínea 2 a) ∂x ( y − y − 2 ) ∂y ∂y
9
∂ 2 ( x − x ) 2x − 1 0 ∂y = ∂ 2 0 2y − 1 y − y − 2 ) ( ∂y
f)
• • • •
( 0, 2 ) é um ponto sela. ( 0, −1) é um ponto de máximo relativo. (1, 2 ) é um ponto de mínimo relativo. (1, −1) é um ponto sela. III.3
a)
grad f ( x, y ) = ∇f ( x, y ) = ( x − x − 2, y − 2y ) , ( x, y ) ∈ 2
b)
z = −2x + 3y + 3
c)
f ′ 1
d)
Os pontos de estacionariedade são: ( 2, 0 ) , ( 2, 2 ) , ( −1, 0 ) e ( −1, 2 ) .
2
1
2 , 5 5
(1, −1) = ∇f (1, −1) ⋅
5
∂ 2f ∂ 2 f ∂ ∂f ∂x 2 ∂x∂y ∂x ∂x e) H ( x, y ) = 2 = ∂ f ∂ 2 f ∂ ∂f ∂y 2 ∂x ∂y ∂y∂x f) • ( 2, 0 ) é um ponto sela. • • •
• • •
• • • • •
2
,
2 4 4 5 4 5 = = = 5 5 5 5 5 ∂ ∂f ∂y ∂x 2x − 1 0 = 0 2y − 2 ∂ ∂f ∂y ∂y
( 2, 2 ) é um ponto de mínimo relativo. ( −1, 0 ) é um ponto de máximo relativo. ( −1, 2 ) é um ponto sela. III.4 a) 1 Os pontos de estacionariedade são ( 0, 0 ) e x, , com x ≠ 0. x
( 0, 0)
é um ponto sela
1 x, , com x ≠ 0, nada se pode concluir. x III.4 b). Os pontos de estacionariedade são: ( 0, 2 ) , ( 0, −1) , (1, 2 ) e (1, −1) .
( 0, 2 ) é um ponto sela. ( 0, −1) é um ponto de máximo relativo. (1, 2 ) é um ponto de mínimo relativo. (1, −1) é um ponto sela.
III.4 c) Os pontos de estacionariedade são: ( 2, −1) , ( 2,1) , ( −1, −1) e ( −1,1) .
• • • •
( 2, −1) é um ponto sela. ( 2,1) é um ponto de mínimo relativo. ( −1, −1) é um ponto de máximo relativo. ( −1,1) é um ponto sela. III.4 d)
•
O ponto de estacionariedade é ( 0,0,0 ) .
•
( 0, 0, 0 )
é um ponto de mínimo relativo.
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Resumo - Extremos Livres (relativos ou locais)
HL
f x,y = x2+ y2
HL
4 3 2 1 0
1
HL
0 -1 f x,y = - x2- y2 -2 -3 -4
f x,y = x2- y2
1 0
0 -1
y
-1
Um máximo local na origem.
-1
x
1
1
1
Um mínimo local na origem.
y
0
-1
x
-1
x
1
0
y -1
0 0
2 1 0 -1 -2
Nem máximo, nem mínimo
Procedimento:
∂f ∂f 1. Dada a função f ( x, y ) calcular o vector gradiente de f. ∇f ( x, y ) = ( x, y ) , ( x, y ) . ∂ x ∂ y 2. Calcular os pontos de estacionariedade da função f – i.e. os pontos que anulam o gradiente –
são solução do sistema:
∂f ∂x ( x, y ) = 0 ∂f ( x, y ) = 0 ∂y
(sistema de estacionaridade)
∂ 2f ∂x 2 3. Determinar a matriz hessiana de f em todos os pontos (x,y), H ( x, y ) = 2 ∂ f ∂y∂x
Considerar D1 =
∂2f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2f e D = ⋅ − 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
∂ 2f ∂x∂y ∂ 2f ∂y 2
2
4. Para cada ponto (solução do sistema em 2.) calcular a matriz hessiana, D1 e D 2 e classificar cada um dos pontos obtidos em 1 de acordo com o caso: Caso 1: Se D1 > 0 e D 2 > 0, é um ponto de mínimo relativo (local).
Caso 2: Se D1 < 0 e D 2 > 0, é um ponto de máximo relativo (local).
Caso 3: D 2 < 0 – nem máximo, nem mínimo. (não interessa se D1 é >, < ou = a 0)
Caso 4: D 2 = 0 – não se pode concluir nada. (não interessa se D1 é >, < ou = a 0)
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