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FEP2195 - F´ısica Geral e Experimental para Engenharia I Prova P3 - Gabarito
1. A figura mostra um rotor de in´ercia vari´avel, de eixo
d
horizontal fixo, formado por um cilindro maci¸co e ho-
d
mogˆeneo de massa M e raio R (ICM = 21 M R2 ), ao qual
d
est´a rigidamente ligada uma haste de massa desprez´ıvel sobre a qual podemos deslocar dois corpos puntiformes iguais de massa m =
M . 8
O sistema gira sem atrito em
m M
d
R g
m
torno do eixo. Se inicialmente os dois corpos forem travados como mostra a figura, com d = 2R e o rotor sofrer
m'
a a¸c˜ao de um corpo de massa m0 = 21 M atrav´es de um fio ideal enrolado na periferia do cilindro, partindo do repouso, determine em fun¸c˜ao de M , R, h e g: (a) (0,5) O momento de in´ercia do rotor. (b) (1,0) A acelera¸c˜ao linear de m0 e a tens˜ao no fio. (c) (1,0) A varia¸c˜ao da energia cin´etica do rotor ap´os a massa m0 ter descido uma distˆancia h.
˜ SOLUC ¸ AO: (a) Momento de in´ercia do rotor M 1 I = ICM + 2md2 = M R2 + 2 (2R)2 2 8 3 I = M R2 2 (b) Resultante de for¸cas sobre o bloco de massa m0 m0 g − T = m0 a Torque devido `a tra¸c˜ao T sobre o rotor a 3 T R = Iα = M R2 2 R
1
Tra¸c˜ao no fio 3 T = Ma 2 Substituindo na primeira equa¸c˜ao 3 m0 g − M a = m0 a 2 1 1 3 Mg = M+ M a 2 2 2 Acelera¸c˜ao linear de m0 1 a= g 4 Tra¸c˜ao no fio 3 T = Mg 8
(c) Conserva¸c˜ao da energia mecˆanica ∆U = ∆K 1 1 m0 gh = Iω 2 + m0 v 2 2 2 13 v2 11 1 M gh = M R2 2 + M v2 2 22 R 22 Velocidade linear do sistema 1 v 2 = gh 2 Varia¸c˜ao da energia cin´etica do rotor 1 3 3 1 ∆Kr = Iω 2 = M v 2 = M gh 2 4 4 2 3 ∆Kr = M gh 8
2
2.
y
Um jogador atira uma bola de boliche de massa
M = 1 kg e raio R = 10 cm (ICM = 52 M R2 ) com uma velocidade inicial ~v0 = 5 ˆı (m/s) e ω ~ 0 = −10 kˆ (rad/s).
v0
O coeficiente de atrito cin´etico entre a bola e o ch˜ao ´e
x
µ = 0, 2. (a) (0,25) Qual ´e a velocidade inicial do ponto de contato
z
da bola com a superf´ıcie? Descreva o movimento. (b) (1,0) Encontre a express˜ao vetorial da velocidade de transla¸c˜ao do centro de massa e da velocidade angular da bola no in´ıcio do movimento. (c) (1,0) Quanto tempo, ap´os o lan¸camento, a bola precisa para come¸car a rolar sem deslizar? (d) (0,25) Determine o deslocamento angular da bola do instante inicial at´e o momento em que ela para de deslizar e passa a ter um rolamento puro.
˜ SOLUC ¸ AO: (a) Velocidade inicial de deslocamento do ponto de contato da bola com a superf´ıcie ~vp0 ~vp0 = ~vCM0 + ~vr0 onde ~vCM0 = ~v0 e ~vr0 = −ω0 R ˆı ~vp0 = ~v0 − ω0 R ˆı
~vp0 = 4 ˆı m/s No in´ıcio do movimento o centro de massa da bola se desloca com velocidade ~v0 , a bola rola com velocidade angular ω ~ 0 e o ponto de contato desliza com velocidade ~vp0 .
(b) Movimento de transla¸c˜ao da bola ao longo do eixo x X
F~ext = M~a
A u ´nica for¸ca externa agindo sobre a bola ao longo do eixo x ´e a for¸ca de atrito entre a bola e a superf´ıcie −µM g ˆı = M~a
3
Acelera¸c˜ao do centro de massa da bola ~a = −µg ˆı Velocidade do centro de massa da bola enquanto ela desliza ~vCM = ~vCM0 + ~at = ~v0 + ~at
~vCM = (5 − 2t) ˆı m/s
Movimento de rota¸c˜ao da bola em torno do seu centro de massa X
~τext = ICM α ~
Au ´nica for¸ca que produz torque externo ´e a for¸ca de atrito entre a bola e a superf´ıcie ~τext = ~r × f~a = −µM gR kˆ Acelera¸c˜ao angular α ~ =−
5 µg ˆ µM gR ˆ k=− k ICM 2R
Velocidade angular de rota¸c˜ao em torno do centro de massa, enquanto a bola desliza ω ~ =ω ~0 + α ~t
ω ~ = −(10 + 50t) kˆ rad/s
(c) Velocidade de deslocamento do ponto de contato da bola com a superf´ıcie ~vp ~vp = ~vCM + ~vr onde ~vr = −ωR ˆı = −(1 + 5t) ˆı ~vp = (5 − 2t) ˆı − (1 + 5t) ˆı = (4 − 7t) ˆı A bola para de deslizar quando vp = 0, ou seja 4
td =
4 s 7
(d) Deslocamento angular da bola at´e parar de deslizar 1 4 1 16 ∆θ = ω0 td + αt2d = 10 · + · 50 · 2 7 2 49
∆θ =
680 rad 49
3. Considere uma barra delgada homogˆenea de comprimento L com massa M (ICM =
1 M L2 ) 12
presa a um pivˆo no seu topo, podendo rodar sem
atrito, como mostrado na figura. (a) (0,5) Calcule o momento de in´ercia da barra em rela¸c˜ao ao pivˆo.
L
θ0
(b) (0,5) A barra ´e deslocada inicialmente de um ˆangulo θ0 em rela¸c˜ao `a vertical e ´e solta a partir do repouso. Qual ´e a velocidade angular da barra no ponto mais baixo do seu movimento? (c) (0,5) Qual ´e a velocidade (linear) do centro de massa da barra quando essa passa pela parte mais baixa do seu movimento? (d) (0,5) Determine a acelera¸c˜ao angular da barra para um ˆangulo θ qualquer (θ < θ0 ). (e) (0,5) Determine as componentes do vetor acelera¸c˜ao linear do centro de massa da barra para um ˆangulo θ qualquer (θ < θ0 ).
˜ SOLUC ¸ AO: (a) Usando o teorema dos eixos paralelos I = ICM
2 L 1 1 +M = M L2 + M L2 2 12 4
1 I = M L2 3
(b) Usando conserva¸c˜ao da energia mecˆanica e tomando a energia potencial U = 0 no ponto mais baixo da trajet´oria temos L 11 1 M g [1 − cos(θ0 )] = IωB2 = M L2 ωB2 2 2 23 5
Velocidade angular da barra no ponto mais baixo do movimento r ωB =
3g [1 − cos(θ0 )] L
(c) Velocidade linear do centro de massa da barra quando essa passa pela parte mais baixa do seu movimento v = ωB
L 2 r v=
3Lg [1 − cos(θ0 )] 4
(d) A acelera¸c˜ao da barra ´e produzida pelo torque da for¸ca peso M g sen(θ)
L 1 = Iα = M L2 α 2 3
α=
3g sen(θ) 2L
(e) Acelera¸c˜ao tangencial atCM = α
L 3g L = sen(θ) · 2 2L 2
3 atCM = g sen(θ) 4
Acelera¸c˜ao radial arCM = ω 2
L 2
Velocidade angular para um angulo θ < θ0 L 1 11 M g [cos(θ) − cos(θ0 )] = Iω 2 = M L2 ω 2 2 2 23 ω2 =
3g [cos(θ) − cos(θ0 )] L 6
3 arCM = g[cos(θ) − cos(θ0 )] 2
4. Duas barras idˆenticas de massa m e comprimento L (ICM =
1 mL2 ) 12
deslizam sem atrito sobre um plano horizontal. Inicialmente as duas barras se deslocam com velocidades de mesmo m´odulo (v0 ) que possuem a
m
L
v0
mesma dire¸c˜ao, mas sentidos opostos, como mostrado na figura. As extremidades das barras colidem el´asticamente. Ap´os a colis˜ao o centro de
m
v0
L
massa de cada barra continua a se mover na mesma dire¸c˜ao e sentido em que se movia antes do choque, mas agora com velocidade de m´odulo v. Al´em disso, cada barra adquire um movimento de rota¸c˜ao em torno do seu centro de massa com velocidade angular de m´odulo ω. Em fun¸c˜ao de m, L, v0 , v e ω determine: (a) (0,5) a energia cin´etica total do sistema antes da colis˜ao, (b) (0,5) o momento angular total do sistema com rela¸c˜ao ao seu centro de massa antes da colis˜ao, (c) (0,5) a energia cin´etica total do sistema ap´os a colis˜ao, (d) (0,5) o momento angular total do sistema em rela¸c˜ao ao seu centro de massa, ap´os a colis˜ao, (e) (0,5) a velocidade v de transla¸c˜ao do centro de massa de cada barra em termos de v0 .
˜ SOLUC ¸ AO: (a) Energia cin´etica total antes da colis˜ao 1 1 KA = mv02 + mv02 2 2 KA = mv02
(b) Momento angular total do sistema com rela¸c˜ao ao seu centro de massa antes da colis˜ao lA = 2|~r × p~| = 2 ·
L · mv0 2
lA = Lmv0
(c) Energia cin´etica total do sistema ap´os a colis˜ao 1 1 1 1 KD = mv 2 + ICM ω 2 + mv 2 + ICM ω 2 2 2 2 2 7
KD = mv 2 +
1 mL2 ω 2 12
(d) Momento angular total do sistema em rela¸c˜ao ao seu centro de massa, ap´os a colis˜ao lD = ltrans + lrot = 2 ·
L mv + 2ICM ω 2
1 lD = Lmv + mL2 ω 6
(e) Velocidade v de transla¸c˜ao de cada barra em termos de v0 Conserva¸c˜ao da energia cin´etica mv02 = mv 2 +
1 mL2 ω 2 12
Conserva¸c˜ao do momento angular 1 Lmv0 = Lmv + mL2 ω 6 Juntando as duas equa¸c˜oes obtemos o seguinte sistema v02 = v 2 +
1 2 2 Lω 12
1 v0 = v + Lω 6 Resolvendo o sistema obtemos 2 valores para a velocidade v = v0 que ´e a velocidade inicial e 1 v = v0 2
8
