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Exercícios Resolvidos-halliday 1
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LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 29 de Dezembro de 2004, a` s 13:20 Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 4 Vetores 4.1 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 2 2 4.1.1 Soma de vetores . . . . . . . . 2 4.1.2 Somando vetores atrav´es das suas componentes . . . . . . . . 2 Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas jgallas @ if.ufrgs.br (listam0.tex) P´agina 1 de 3 LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 29 de Dezembro de 2004, a` s 13:20 4 Vetores cujo m´odulo e´ L 4.1 Problemas e Exerc´ıcios 4.1.1 Soma de vetores P 3-6 (3-??/6 edic¸a˜ o) Um vetor tem m´odulo unidades e est´a dirigido para leste. Um outro vetor, , est´a dirigido para a oeste do norte e tem m´odulo de unidades. Construa diagramas vetoriais para calcular e . Estime o m´odulo e a orientac¸a˜ o dos vetores e a partir desses diagramas. Para resolver este problema como o livro deseja, necessita-se de papel milimetrado, r´egua e um transferidor, para medir aˆ ngulos. Irei resolver o problema usando sua representac¸a˜ o alg´ebrica. As componentes dos vetores e s˜ao : L < L < A@ . 9(* 0 < . 0 < M 4N 5 M O aˆ ngulo que a diferenc¸a G faz com a horizontal e´ L E1O 4 arctan L arctan 1D 9(* Dito de modo equivalente, o vetor G est´a direcionado de um aˆ ngulo de 1D a Norte do Oeste. Ou ainda, a 214 C 7( a Oeste do Norte. 4.1.2 Somando vetores atrav´es das suas componentes P 3-29 (3-??/6 edic¸a˜ o) Uma estac¸a˜ o de radar detecta um avi˜ao que vem do Leste. No momento em que e´ observado pela primeira vez, o avi˜ao est´a a m de distˆancia, acima do hori zonte, O avi˜ao e´ acompanhado por mais N 3 no plano M vertical Leste-Oeste e est´a a C m de distˆancia quando e´ observado pela u´ ltima vez. Calcule o deslocamento da e aeronave durante o per´ıodo de observac¸a˜ o. ! Chamemos de P a origem do sistema de coordenadas, sen #"%$& ')(* de Q a posic¸a˜ o inicial do avi˜ao, e de R a sua posic¸a˜ o fi O sinal de e´ negativo pois para fazer a soma algebri- nal. Portanto, o deslocamento procurado e´ camente, precisamos primeiro transladar o vetor para S DS )S QR PRA PQT a origem do sistema de coordenadas. E´ claro que tal E translac¸a˜ o n˜ao e´ necess´aria no processo gr´afico utilizaDS Para PR temos, definindo UN 3 V (1 , do para a soma. Entenda bem o que est´a sendo feito, as que diferenc¸as entre os dois m´etodos de obter a soma. , DS W PR WX. sen E9Y "%$& E[Z 0 temos Portanto, para a soma + PR ./M C 0 . sen (1 Y "%$)&\(1 Z 0 ./ 10 + Y Z . 2'3 4 ( 065 . 7( 0 M ) N cujo m´odulo e´ 89;: 8=< >8?< A@ . '( 0 5 8 m a velocidade e´ em metros por se ?A@ %CB 2 gundo (i horizontal, j vertical). (a) Qual a altura m´axima alcanc¸ada pela bola? (b) Qual ser´a a distˆancia horizon- (c) O m´odulo da velocidade e´ tal alcanc¸ada pela bola? (c) Qual a velocidade da bola , ," (m´odulo e direc¸a˜ o), no instante em que bate no solo? F ? (a) Chame de o tempo necess´ario para a bola atingir !#"$&% ' () " + $ ,* % , Eliminando " entre estas duas equac¸o˜ es obtemos - , . $ 0/' http://www.if.ufrgs.br/ jgallas , - , H 9I G 3 m/s a velocidade dada. Neste caso teremos 585 2D9 5E m O aˆ ngulo que faz com a horizontal e´ J 8L" tan K * @ ? B tan K * @ ou seja, est´a orientada - 4 L 90 E L ' B 5 E L abaixo da horizontal. P´agina 2 de 2 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 22 de Outubro de 2003, a` s 2:58 p.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 5 5.2 Forc¸as e Movimento – I 5.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . 5.2.1 Segunda Lei de Newton . . . 5.2.2 Algumas Forc¸as Espec´ıficas . 5.2.3 Aplicac¸a˜ o das Leis de Newton Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas . . . . 2 2 2 3 jgallas @ if.ufrgs.br (listam1.tex) P´agina 1 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 22 de Outubro de 2003, a` s 2:58 p.m. 5 Forc¸as e Movimento – I 5.2.2 Algumas Forc¸as Espec´ıficas E 5-11 (5-???/6 ) 5.1 Quais s˜ao a massa e o peso de (a) um tren´o de -9 kg e (b) de uma bomba t´ermica de 3") kg? Quest˜oes A massa e´ igual a -9 kg, enquanto que o peso e´ T (a) WVX Y6Z-998=6Z[;1 M98% L-;]\3 N. U (b) A massa e´ igual a 3"; kg, enquanto que o peso e´ T UWVX Y6^3";+8=6Z[;1 M98% 32Q)1 M N. Q 5-?? Cite bla-bla-bla... E 5-14 (5-11/6 ) 5.2 Uma determinada part´ıcula tem peso de N num ponto onde V _[21 M m/s . (a) Quais s˜ao o peso e a massa da part´ıcula, se ela for para um ponto do espac¸o onde V _3/1 [ m/s ? (b) Quais s˜ao o peso e a massa da part´ıcula, se ela for deslocada para um ponto do espac¸o onde a acelerac¸a˜ o de queda livre seja nula? Problemas e Exerc´ıcios 5.2.1 Segunda Lei de Newton E 5-7 (5-7/6 edic¸a˜ o) Na caixa de kg da Fig. 5-36, s˜ao aplicadas duas forc¸as, mas somente uma e´ mostrada. A acelerac¸a˜ o da caixa tamb´em e´ mostrada na figura. Determine a segunda forc¸a (a) em notac¸a˜ o de vetores unit´arios e (b) em m´odulo e sentido. (a) Chamemos as duas forc¸as de e . De acordo com a segunda lei de Newton, , de modo que . Na notac¸a˜ o de vetores unit´arios temos e sen "!#%$'&"()"!+*, -./021 34*1 Portanto 5 6798'6:-"8); 6<8=6:021 3>8'*?@. AB"%/C;9*=D N 1 (b) O m´odulo de e´ dado por E GF E E GK 6:998 L6: ;+8 LM IH IJ (a) A massa e´ T ` V [;91 M ;1 kg 1 Num local onde V a321 [ m/s a massa continuar´a a ser ;1 kg, mas o peso passar´a a ser a metade: T bWVX a6<)1c8=6^321 [98 a N 1 (b) Num local onde Vd L m/s a massa continuar´a a ser ;1 kg, mas o peso ser´a ZERO. E 5-18 (5-???/6 ) (a) Um salame de kg est´a preso por uma corda a uma balanc¸a de mola, que est´a presa ao teto por outra corda (Fig. 5-43a). Qual a leitura da balanc¸a? (b) Na Fig. 543b, o salame est´a suspenso por uma corda que passa por uma roldana e se prende a uma balanc¸a de mola que, por sua vez, est´a presa a` parede por outra corda. Qual a leitura na balanc¸a? (c) Na Fig. 5-43c, a parede foi substitu´ıda por outro salame de kg, a` esquerda, e o conjunto ficou equilibrado. Qual a leitura na balanc¸a agora? N1 Em todos os trˆes casos a balanc¸a n˜ao est´a acelerando, o que significa que as duas cordas exercem forc¸a de igual magnitude sobre ela. A balanc¸a mostra a magnitude de O aˆ ngulo que faz com o eixo N positivo e´ dado por qualquer uma das duas forc¸as a ela ligadas. Em cada E IJ ; uma das situac¸o˜ es a tens˜ao na corda ligada ao salame tan OP E 2 1 " @ Q ; 1 tem que ter a mesma magnitude que o peso do salame IH " pois o salame n˜ao est´a acelerando. Portanto a leitura da O aˆ ngulo e´ ou ! ou ! R0M9 ! L;0 ! . Como ambas balanc¸a e´ WV , onde e´ a massa do salame. Seu valor e´ E E T G6:9+8=6ZM;1 [98% Y09M N 1 componentes SH e IJ s˜ao negativas, o valor correto e´ )+ ! . http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 22 de Outubro de 2003, a` s 2:58 p.m. 5.2.3 Aplicac¸a˜ o das Leis de Newton (a) O diagrama de corpo isolado e´ mostrado na Fig. 527 do livro texto. Como a acelerac¸a˜ o do bloco e´ zero, a segunda lei de Newton fornece-nos yV sen O yV$'&9(;O P 5-21 (5-19/6 ) Um foguete experimental pode partir do repouso e ;1 alcanc¸ar a velocidade de +-9 km/h em 1 M s, com acelerac¸a˜ o constante. Qual a intensidade da forc¸a m´edia A primeira destas equac¸o˜ es nos permite encontrar a tens˜ao na corda: necess´aria, se a massa do foguete e´ Q@9 kg? V sen Ox a6ZM21 Q98'67[;1 M98 sen 99! 3" N 1 Basta usarmos E `e , onde E e´ a magnitude da forc¸a, e a acelerac¸a˜ o, e a massa do foguete. A acelerac¸a˜ o e´ obtida usando-se uma relac¸a˜ o simples da cinem´atica, a saber, f ge"h . Para f i0-9 km/h 0-9>j];1 -k 3393 m/s, temos que el 3933)j>1 Mk m]3)\ m/s . Com isto a forc¸a m´edia e´ dada por E beX Y6\8n Y1cPop+q N 1 (b) A segunda das equac¸o˜ es acima fornece-nos a forc¸a normal: bWV$=&9()OP Y6ZM;1cQ8=6Z[21 M"8)$'&"() ! \@ (c) Quando a corda e´ cortada ela deixa de fazer forc¸a sobre o bloco, que passa a acelerar. A componente N da segunda lei de Newton fica sendo agora V sen Oy e , de modo que ed a E 5-23 (5-??/6 ) Se um nˆeutron livre e´ capturado por um n´ucleo, ele pode ser parado no interior do n´ucleo por uma forc¸a forte. Esta forc¸a forte, que mant´em o n´ucleo coeso, e´ nula fora do n´ucleo. Suponha que um nˆeutron livre com velocidade inicial de 91 3po09r m/s acaba de ser capturado por um n´ucleo com diˆametro st u+)v :w m. Admitindo que a forc¸a sobre o nˆeutron e´ constante, determine sua intensidade. A massa do nˆeutron e´ 1 -"\xoy0;v r kg. N1 sen Ox Y|6Z[21 M"8 sen ! Y321 [ m/s 1 O sinal negativo indica que a acelerac¸a˜ o e´ plano abaixo. E 5-33 (5-???/6 ) Um el´etron e´ lanc¸ado horizontalmente com velocidade de 1cWoR09r m/s no interior de um campo el´etrico, que exerce sobre ele uma forc¸a vertical constante de 3/1 Qdo?+)v : N. A massa do el´etron e´ [219o?0;v4 kg. Determine a distˆancia vertical de deflex˜ao do el´etron, no A magnitude da forc¸a e´ E ze , onde e e´ a intervalo de tempo em que ele percorre mm, horizonacelerac¸a˜ o do nˆeutron. Para determinar a acelerac¸a˜ o que talmente. faz o nˆeutron parar ao percorrer uma distˆancia s , usamos A acelerac¸a˜ o do el´etron e´ vertical e, para todos efeia f´ormula tos, a u´ nica forc¸a que nele atua e´ a forc¸a el´etrica; a forc¸a gravitacional e´ muito menor. Escolha o eixo N no senf bf { #@e>s/1 tido da velocidade inicial e o eixo no sentido da forc¸a el´etrica. A origem e´ escolhida como sendo a posic¸a˜ o Desta equac¸a˜ o obtemos sem problemas inicial do el´etron. Como a acelerac¸a˜ o e forc¸a s˜ao consf pf { |6:1 3Xop+r=8 tantes, as equac¸o˜ es cinem´aticas s˜ao E ed @s ;6}0 v ~w 8 [21 MXoy0 r m/s 1 { NW f h e"h h e A magnitude da forc¸a e´ E Ued G6:1 -"\xoy0 v r 8'67[;1 Mop+ r 8 Y0-;1 3 N1 E 5-28 (5-15/6 ) Veja a Fig. 5-27. Vamos considerar a massa do bloco igual a M21 Q kg e o aˆ ngulo OL ! . Determine (a) a tens˜ao na corda e (b) a forc¸a normal aplicada sobre o bloco. (c) Determine o m´odulo da acelerac¸a˜ o do bloco se a corda for cortada. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas E ge onde usamos para eliminar a acelerac¸a˜ o. O tempo que o el´etron com velocidade f { leva para viajar uma distˆancia horizontal de N# mm e´ h| Njf { e sua deflex˜ao na direc¸a˜ o da forc¸a e´ E N f {/ 3/1 QPoy0)v : Xoy0)v [;1,oy0 v4 1cxoy0 r 1cQdop+ v m L;1 2+Q mm 1 P´agina 3 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 22 de Outubro de 2003, a` s 2:58 p.m. E´ jogando el´etrons contra um tubo de imagens que sua A acelerac¸a˜ o do tren´o e´ TV funciona... Isto ser´a estudado nos cap´ıtulos 23 e 24 E do livro. e" W P 5-38 (5-29/6 ) Q;1 M21 3 L;1 -9 m/s 1 (b) De acordo com a terceira lei de Newton, a forc¸a do tren´o na moc¸a tamb´em e´ de Q;1 N. A acelerac¸a˜ o da moc¸a Uma esfera de massa o|0;v w kg est´a suspensa por uma e´ , portanto, corda. Uma brisa horizontal constante empurra a esfera E de maneira que ela fac¸a um aˆ ngulo de "\ ! com a vertie> Q)3"1c 21+ m/s 1 cal de repouso da mesma. Determine (a) a intensidade da forc¸a aplicada e (b) a tens˜ao na corda. (a) Suponhamos a brisa soprando horizontalmente da (c) A acelerac¸a˜ o do tren´o e da moc¸a tem sentidos opostos. Suponhamos que a moc¸a parta da origem e mova-se direita para a esquerda. O diagrama de corpo isolado na direc¸a˜ o positiva do eixo N . Sua coordenada e´ dada para a esfera tem trˆes forc¸as: a tens˜ao na corda, apon- por tando para cima e para a direita e fazendo um aˆ ngulo Oi>\ ! com a vertical, o pesoE WV apontando vertiN4 e"h 1 calmente para baixo, e a forc¸a da brisa, apontando horizontalmente para a esquerda. O tren´o parte de Ny YN { Q m e move-se no sentido Como a esfera n˜ao est´a acelerada, a forc¸a resultante denegativo de N . Sua coordenada e´ dada por ve ser nula. A segunda lei de Newton nos diz que as componentes horizontais e verticais das forc¸as satisfaN N { e h 1 zem as relac¸o˜ es, respectivamente, Eliminando E UWV E $'&"()OyV sen O ; 1 Eles se encontram quando N4 N2 , ou seja quando entre estas duas equac¸o˜ es obtemos tan O 76 Xop+ v w 8'6Z[21 M"8 ;1 ;oy0 v4 N 1 tan >\@! { >e h bN e"h donde tiramos facilmente o instante do encontro: { h a e ] N l e (b) A tens˜ao pedida e´ V 6Ztop+)v w 8'6Z[21 M"8 b21 -9MPoy0 v4 N 1 '$ &9(;O $'&9(2"\ ! Perceba que talvez fosse mais E simples ter-se primeiro determinado e, a seguir, , na ordem contr´aria do que quando ent˜ao a moc¸a ter´a andado uma distˆancia N e h pede o problema. P 5-39 (5-??/6 ) Uma moc¸a de 39 kg e um tren´o de M21 3 kg est˜ao sobre a superf´ıcie de um lago gelado, separados por Q m. A moc¸a aplica sobre o tren´o uma forc¸a horizontal de Q)1c N, puxando-o por uma corda, em sua direc¸a˜ o. (a) Qual a acelerac¸a˜ o do tren´o? (b) Qual a acelerac¸a˜ o da moc¸a? (c) A que distˆancia, em relac¸a˜ o a` posic¸a˜ o inicial da moc¸a, eles se juntam, supondo nulas as forc¸as de atrito? N { e" >e # Re" 6}+Q98'6Z21+98 ;10 l;1 -9 L;1 - m1 P 5-40 (5-31/6 ) Dois blocos est˜ao em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma forc¸a horizontal e´ aplicada a um dos blocos, como mostradoE na Fig. 5-45. (a) Se ;1 kg e 91 kg e L;1c N, determine a forc¸a de contato entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma forc¸a E for aplicada a , ao inv´es de , a forc¸a de contato (a) Como o atrito e´ desprez´ıvel, a forc¸a da moc¸a no entre os dois blocos e´ )1 N, que n˜ao e´ o mesmo valor obtido em (a). Explique a diferenc¸a. tren´o e´ a u´ nica forc¸a horizontal que existe no tren´o. As (a) O diagrama de corpo isolado para a massa tem forc¸as verticais, a forc¸a da gravidade e a forc¸a normal do gelo, anulam-se. quatro forc¸as: na vertical, kIV e , na horizontal, para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 22 de Outubro de 2003, a` s 2:58 p.m. E a direita a forc¸a aplicada e, para a esquerda, a forc¸a onde a velocidade final e´ fy , a velocidade inicial e´ de contato que exerce sobre . O diagrama de f { e 3" , a coordenada do ponto final. corpo isolado para a massa cont´em trˆes forc¸as: na Com isto, encontramos vertical, V e e, na horizontal, apontando para a { direita, a forc¸a . Note que o par de forc¸as e e´ um eX @f |;6}6:+3>98 8 \ a91c\) m/s 1 par ac¸a˜ o-reac¸a˜ o, conforme a terceira lei de Newton. A segunda lei de Newton aplicada para fornece Este resultado permite-nos determinar a tens˜ao: E ? b 'e onde e e´ a acelerac¸a˜ o. A segunda lei de Newton aplicada para fornece b e41 Observe que como os blocos movem-se juntos com a mesma acelerac¸a˜ o, podemos usar o mesmo s´ımbolo e em ambas equac¸o˜ es. Da segunda equac¸a˜ o obtemos e Yj que substituida na primeira equac¸a˜ o dos fornece : bC6V, le)8 Y6}0-998 Z[21 M 1¡\>+¢ Y1 Mdop+ w N 1 P 5-52 (5-35/6 ) Uma pessoa de M9 kg salta de p´ara-quedas e experimenta uma acelerac¸a˜ o, para baixo, de )1cQ m/s . O p´ara-quedas tem Q kg de massa. (a) Qual a forc¸a exercida, para cima, pelo ar sobre o p´ara-quedas? (b) Qual a forc¸a exercida, para baixo, pela pessoa sobre o p´ara-quedas? E (a) O diagrama de corpo isolado para a pessoa+p´ara6Z21 98'6}1c8 a91 N 1 % R ) 1 b91 quedas cont´em duas forc¸as: verticalmente para cima a E forc¸a do ar, e para baixo a forc¸a gravitacional de um (b) Se for aplicada em em vez de , a forc¸a de objeto de massa m Y67M% Q8% LM9Q kg, correspondente contato e´ as massas da pessoa e do p´ara-quedas. E Z 6 21 9 ' 8 < 6 ) 1 98 Considerando o sentido para baixo como positivo, A se % R )1 b91 L;1 N 1 gunda lei de Newton diz-nos que E Ue A acelerac¸a˜ o dos blocos e´ a mesma nos dois casos. CoW x V mo a forc¸a de contato e´ a u´ nica forc¸a aplicada a um dos blocos, parece correto atribuir-se aquele bloco a mesma onde e e´ a acelerac¸a˜ o de queda. Portanto, acelerac¸a˜ o que ao bloco ao qual e´ aplicada. No segunE UC6Vdye)8 G6ZM"Q8'67[;1 MC;1 Q98 L-9 N 1 do caso a forc¸a de contato acelera um bloco com maior massa do que no primeiro, de modo que deve ser maior. (b) Consideremos agora o diagrama de corpo E ,isolado apenas para o p´ a ra-quedas. Para cima temos P 5-44 (5-33/6 ) e para baixo temos a forc¸a gravitacional sobre o p´ara-quedas Um elevador e sua carga, juntos, tˆem massa de 0-9 de massa £ . Al´em dela, para baixo atua tamb´em a kg. Determine a tens˜ao no cabo de sustentac¸a˜ o quan- forc¸a E £ , da pessoa. A segunda lei de Newton diz-nos do o elevador, inicialmente descendo a m/s, e´ parado ent˜ao que t£V, E £, E b£]e , donde tiramos numa distˆancia de 3> m com acelerac¸a˜ o constante. O diagrama de corpo tem duas forc¸as: pa no isolado ra cima, a tens˜ao cabo e, para baixo, a forc¸a WV da gravidade. Se escolhermos o sentido para cima como positivo, a segunda lei de Newton diz-nos que |WVd e , onde e e´ a acelerac¸a˜ o. Portanto, a tens˜ao e´ bC6V, le)81 Para determinar a acelerac¸a˜ o que aparece nesta equac¸a˜ o usamos a relac¸a˜ o f f { # @e" http://www.if.ufrgs.br/ jgallas E £ b £ 6ZeP¤V;8 E 6; 1 [ kg 1 (c) O peso dividido pela massa fornece a acelerac¸a˜ o da gravidade no local, ou seja, T VX )1¡\P"@oy- 0 Y 1c m/s A segunda lei de Newton para 1 P 5-58 (5-43/6 ) 21 fornece-nos Vx e41 Substituindo-se ed b V sen O (obtida da primeira equac¸a˜ o acima), nesta u´ ltima equac¸a˜ o, obtemos a acelerac¸a˜ o: 6^ p sen O"8V k% ? ! D67[;1 M98 L;1¡\]9Q m/s 1 A ;1 C;121¡c\ \¦sen #)1 (b) O valor de e acima e´ positivo, indicando que a acelerac¸a˜ o de aponta para cima do plano inclinado, enquanto que a acelerac¸a˜ o de aponta para baixo. (c) A tens˜ao na corda pode ser obtida ou de e R V sen O 6Z21c\8'A ;1¡\]"Q l[;1 M sen 99!ID L@21 M3 N e N1 (b) A segunda equac¸a˜ o fornece a massa: ` yWV$'&"()O ou, ainda, da outra equac¸a˜ o: V, ? e Um bloco de massa X 21c\ kg est´a sobre um plano 67)1 98=A [21 MC;1¡\]"QD/ L;1 M@3 N 1 com ! de inclinac¸a˜ o, sem atrito, preso por uma corda que passa por uma polia, de massa e atrito desprez´ıveis, e tem na outra extremidade um segundo bloco de massa `;1 kg, pendurado verticalmente (Fig. 5-52). P 5-63 (5-47/6 ) Quais s˜ao (a) os m´odulos das acelerac¸o˜ es de cada bloco Um macaco de + kg sobe por uma corda de massa dese (b) o sentido da acelerac¸a˜ o de ? (c) Qual a tens˜ao prez´ıvel, que passa sobre o galho de uma a´ rvore, sem na corda? atrito, e tem presa na outra extremidade uma caixa de (a) Primeiro, fazemos o diagrama de corpo isolado Q kg, que est´a no solo (Fig. 5-54). (a) Qual o m´odulo da acelerac¸a˜ o m´ınima que o macaco deve ter para levanpara cada um dos blocos. tar a caixa do solo? Se, ap´os levantar a caixa, o macaco Para , apontando para cima temos a magnitude da parar de subir e ficar agarrado a` corda, quais s˜ao (b) sua tens˜ao na corda, e apontando para baixo o peso V . acelerac¸a˜ o e (c) a tens˜ao na corda? Para k , temos trˆes forc¸as: (i) a tens˜ao apontando (a) Consideremos “para cima” como sendo os senpara cima, ao longo do plano inclinado, (ii) a normal perpendicular ao plano inclinado e apontando para cima tidos positivos tanto para o macaco quanto para a caie para a esquerda, e (iii) a forc¸a peso k¥V , apontando xa. Suponhamos que o macaco puxe a corda para baixo http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 6 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 22 de Outubro de 2003, a` s 2:58 p.m. E com uma forc¸a de magnitude . De acordo com a ter- que quando substituida na segunda equac¸a˜ o acima nos ceira lei de Newton, a corda puxa o macaco com uma permite obter e> : forc¸a de mesma magnitude, de modo que a segunda lei de Newton aplicada ao macaco fornece-nos e" £ y,8V t£,p 6}+Q#+98~V L +Q 0 E yVX be> m/s 1 onde e e> representam a massa e a acelerac¸a˜ o do macaco, respectivamente. Como a cordaE tem massa des(c) Da segunda lei ne Newton para a caixa podemos obprez´ıvel, a tens˜ao na corda e´ o pr´oprio . A corda puxa a caixa para cima com uma forc¸a de mag- ter que E nitude , de modo que a segunda lei de Newton aplicada E U£26VxCe 8 G6:Q8=6Z[;1 MC;1 "8 @ N 1 a` caixa e´ E p£+V U£@e£ onde t£ e e£ representam e a acelerac¸a˜ o da ae´ massa a forc¸a normal exercida caixa, respectivamente, e pelo solo sobre a caixa. E E ¦§¨ , onde E §¨ e´ a Suponhamos agora que © e forc¸a m´ınima para levantar a caixa. Ent˜ao e £ u , pois a caixa apenas ‘descola’ do ch˜ao, sem ter ainda comec¸ado a acelerar. Substituindo-se estes valores na segunda lei de Newton para a caixa obtemos que E i £ V que, quando substituida na segunda lei de Newton para o macaco (primeira equac¸a˜ o acima), nos permite obter a acelerac¸a˜ o sem problemas: e" E p V 6Zt£,p 8~V 6}+Q098=6Z[21 M"8 b321 [ + m/s 1 (b) Para a caixa e para o macaco, a segunda lei de Newton s˜ao, respectivamente, E p £ Vd b £ e £ E p VX Ue>P1 Agora a acelerac¸a˜ o do pacote e´ para baixo e a do macaco para cima, de modo que e"m ªe £ . A primeira equac¸a˜ o nos fornece E b £ 6^V, #e £ 8 £ 6VPye>,8 http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P 5-70 (5-53/6 ) Um bal˜ao de massa « , com ar quente, est´a descendo, verticalmente com uma acelerac¸a˜ o e para baixo (Fig. 559). Que quantidade de massa deve ser atirada para fora do bal˜ao, para que ele suba com uma acelerac¸a˜ o e (mesmo m´odulo e sentido oposto)? Suponha que a forc¸a de subida, devida ao ar, n˜ao varie em func¸a˜ o da massa (carga de estabilizac¸a˜ o) que ele perdeu. As forc¸as que atuam no bal˜ao s˜ao a forc¸a ¬ da gravidade, para baixo, e a forc¸a do ar, para cima. Antes da massa de estabilizac¸a˜ o ser fogada fora, a acelerac¸a˜ o e´ para baixo e a segunda lei de Newton fornece-nos E C «VX a «e E L«6VxCe)8 . Ap´os jogar-se fora uma massa ou seja do bal˜ao passa a ser «C e a acelerac¸a˜ o , a massa e´ para cima, com a segunda lei de Newton dando-nos agora a seguinte express˜ao E U 67«®y8~VX a6<«®y 8:e41 E entre as duas equac¸o˜ es acima encontraEliminando mos sem problemas que e « ` e « V ?V;j@e 1 C P´agina 7 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Outubro de 2003, a` s 10:09 a.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 6 6.2.1 6.2.2 Forc¸as e Movimento – II 6.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 2 2 2 6.2.3 6.2.4 Propriedades do Atrito . . . . . Forc¸a de Viscosidade e a Velocidade Limite . . . . . . . . . . Movimento Circular Uniforme . Problemas Adicionais . . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 2 4 4 6 jgallas @ if.ufrgs.br (listam1.tex) P´agina 1 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Outubro de 2003, a` s 10:09 a.m. 6 Forc¸as e Movimento – II P 6-2 (6-???/6 ) 6.1 Quest˜oes . Q 6-10 Neste problema, o diagrama de corpo livre tem apenas trˆes forc¸as: Na horizontal, apontando para a esquerda, a forc¸a de atrito. Na vertical, apontando para cima temos a forc¸a normal do solo sobre o jogador, e para baixo a forc¸a 7 da gravidade. A forc¸a de atrito est´a relacionada com a forc¸a normal 8 #%6 atrav´es da relac¸a˜ o . A forc¸a normal e´ obtida considerando-se a segunda lei de Newton. Como a componete vertical da acelerac c˜ao e´ zero, tamb´em o e´ a componente vertical da segunda lei de Newton, que nos diz que Cite bla-bla-bla... 6.2 Um jogador de massa kg escorrega no campo e seu movimento e´ retardado por uma forc¸a de atrito ! 5 N. Qual e´ o coeficiente de atrito cin´etico #%6 entre o jogador e o campo? Problemas e Exerc´ıcios 6.2.1 Propriedades do Atrito E 6-1 (6-??/6 edic¸a˜ o) Um arm´ario de quarto com massa de kg, incluindo " . Portanto gavetas e roupas, est´a em repouso sobre o assoalho. (a) ou seja, que Se o coeficiente de atrito est´atico entre o m´ovel e o ch˜ao 5 # 6 for , qual a menor forc¸a horizontal que uma pessoa ( . (9. 3 + 0 + dever´a aplicar sobre o arm´ario para coloc´a-lo em movimento? (b) Se as gavetas e as roupas, que tˆem kg de massa, forem removidas antes do arm´ario ser empurraE 6-8 (?????/6 ) do, qual a nova forc¸a m´ınima? (a) O diagrama de corpo livre deste problema tem quatro forc¸as. Na horizontal: apontando para a direita est´a a forc¸a aplicada , para a esquerda a forc¸a de atrito . Na vertical, apontando para cima temos a forc¸a normal do piso, para baixo a forc¸a da gravidade. Escolhando o eixo na horizontal e o eixo na vertical. Como o arm´ario est´a em equil´ıbrio (n˜ao se move), a segunda lei de Newton fornece-nos como componentes e as seguintes equac¸o˜ es * :* ; Uma pessoa empurra horizontalmente uma caixa de - 1,1 kg, para movˆe-la sobre o ch˜ao, com uma forc¸a de N. O coeficiente de atrito cin´etico e´ <- . (a) Qual o m´odulo da forc¸a de atrito? (b) Qual a acelelrac¸a˜ o da caixa? (a) O diagrama de corpo livre tem quatro forc¸as. Na horizontal, apontando para a direita temos a forc¸a que a pessoa faz sobre a caixa, e apontando para a esquerda a forc¸a de atrito . Na vertical, para cima a forc¸a normal do piso, e para baixo a forc¸a 7 da gravidade. " A magnitude da forc¸a da gravidade e´ dada por # 6 , onde # 6 e´ o coeficiente de atrito cin´etico. Como a ! " . Donde vemos que e componente vertical da acelerac¸a˜ o e´ zero, a segunda lei Quando aumenta, aumenta tamb´ e m, at´ e que de Newton diz-nos que, igualmente, a soma das compo= #%$ . Neste instante o arm´ario comec¸a a mover-se. nentes verticais da forc¸a deve ser zero: , ou " A forc¸a m´ınima que deve ser aplicada para o arm´ario seja, que . Portanto comec¸ar a mover-se e´ #%6 ' #%6 &( ( (9. . 3 <-,+ -,+ 0-+ >0 N & # $ ' # $ )( ( (/. 21 * ,+ -+ 0 + , N (b) A acelerac¸a˜ o e´ obtida da componente horizontal da (b) A equac¸a˜ o para continua a mesma, mas a massa e´ segunda lei de Newton. Como ! ? , temos !1 agora 0 kg. Portanto !@ 1-1 . & % )( 4( 1 /( . # $3 -+ -0 + 0 + 1 N http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ? , >0 A5: m/sB, P´agina 2 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Outubro de 2003, a` s 10:09 a.m. ] sen [ Sc E 6-11 (6-9/6 ) 8L]_^a` b d Esta equac¸o˜ es nos dizem que [ e que N] 1 sen [ . Uma forc¸a horizontal de N comprime um bloco 3 em repouso tem que ser mepesando N contra uma parede vertical (Fig. 6-18). O Para a caixa permanecer # $ , ou seja, coeficiente de atrito est´atico entre a parede e o bloco e´ nor do que : , e o coeficiente de atrito cin´etico e´ . Suponha que ]_^e`-b C # $ ( N] [ 3 sen [-+f inicialmente o bloco n˜ao esteja em movimento. (a) O bloco se mover´a? (b) Qual a forc¸a exercida pela parede Desta express˜ao vemos que a caixa comec¸ar´a a moversobre o bloco, em notac¸a˜ o de vetores unit´arios? ] se quando a tens˜ao for tal que os dois lados da (a) O diagrama de corpo isolado consiste aqui de qua- equac¸a˜ o acima compemsem-se: tro vetores. Na horizontal, apontando para a direita, te ]_^e`-b #%$ ( N] mos a forc¸a e apontando para a esquerda a forc¸a nor[ 3 sen [-+f mal . Na vertical, apontando verticalmente para baixo temos o peso , e apontando para cima a forc¸a de atri- donde tiramos facilmente que to . ( ( (9. #%$ 3 ]2 A,+ :,0 + 0-+ Para determinar se o bloco cai, precisamos encontrar a ^e`-b S # $ ^e`-b S magnitude da forc¸a de fricc¸a˜ o nevess´aria para mante[ Z A sen > Z sen [ lo sem acelerar bem&como encontrar a forc ¸ a da parede C # $ <-5 N sobre o bloco. Se o bloco n˜ao desliza pela ED # $ parede mas se o bloco ir´a deslizar. (b) Quando a caixa se move, a segunda lei de Newton A componente horizontal da segunda lei de Newton re- nos diz que FGH IJH 1 N quer que KL( , de( modo 1 que 1 ]_^a` b @ N. A e, portanto, # $ M :- + + componente [ 7?g L S ] vertical diz que , de modo que 3 3 * sen [ N. EC #%$ Como , vemos que o bloco Agora, por´em temos N n˜ao desliza. K 1 (b) Como o bloco n˜ao se move, Ne N. # 6 ' # 6 ( h] A forc¸a da parede no bloco e´ sen [ +f PO )QERSTVUW)(X 15RYS U + N onde tiramos da segunda equac¸a˜ o acima. Substituin do este na primeira das equac¸o˜ es acima temos ]_^a`-b P 6-22 (6-13/6 ) [ # 6 ( N] 3 sen [-+ ?g Uma caixa de :,0 kg e´ puxada pelo cha˜ao por uma corda que faz um aˆ ngulo de >-Z acima da horizontal. (a) Se o de onde tiramos facilmente que coeficiente de atrito est´atico e´ A , qual a tens˜ao m´ınima ]M(/^e`-b S # 6 sen [-+ # 6 [ necess´aria para iniciar o movimento da caixa? (b) SE ? # 6 <- , qual a sua acelerac¸a˜ o inicial? ( (/^e`-b S <-5 + ,Z * < sen >-Za+ G( (a) O diagrama de corpo isolado tem quatro forc¸as. :,0 * < ,+ (9. 0-+ Apontando para a direita e fazendo um aˆ ngulo de [ >-Z com a horizontal temos a tens˜ao \ na corda. Hori , < m/sB- zontalmente para a esquerda aponta a forc¸a de atrito . Na vertical, para cima aponta a forc¸a normal do ch˜ao Perceba bem onde se usa #%$ e onde entra # 6 . sobre a caixa, e para baixo a forc¸a 7 da gravidade. Quando a caixa ainda n˜ao se move as acelerac¸o˜ es s˜ao zero e, consequentemente, tamb´e o s˜ao as respectivas P 6-24 (6-15/6 ) componentes da forc¸a resultante. Portanto, a segunda 1-1 lei de Newton nos fornece para as componente horizon- Na Fig. 6-24, A e B s˜ao blocos com pesos de , N e N, respectivamente. (a) Determine o menor peso (bloco tal e vertical as equac¸o˜ es, respectivamente, C) que deve ser colocado sobre o bloco A para impedi]_^a` b lo de deslizar, sabendo que o coeficiente #%i entre A e a [ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 3 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 1 23 de Outubro de 2003, a` s 10:09 a.m. ]= t( mesa e´ . (b) Se o bloco C for repentinamente retirak l k lxw +y? . Substituindo as duas u´ ltimas exdo, qual ser´a a acelerac¸a˜ o do bloco A, sabendo que # 6 press˜oes na primeira equac¸a˜ o acima obtemos entre A e a mesa e´ *j ? k l #%6 kon kol ? k n ?g (a) Aqui temos DOIS diagramas de corpo isolado. O diagrama para o corpo B tem ] apenas duas forc¸as: para cima, a magnitude da tens˜ao na corda, e para baixo Isolando ? encontramos, finalmente, ( # 6 (/. 1-1;8( ( a magnitude kml do peso do bloco B. O diagrama pa k l 0-+e{ | >,+ - +~} konz+ S r S , 1 1 ? ra o corpo composto por A+C tem quatro forc¸as. Na ] k n kml , horizontal, apontando para a direita temos a tens˜ao 1 < m/sB5 na corda, e apontando para a esquerda a magnitude da forc¸a de atrito. Na vertical, para cima temos a normal # i e onde se usa #%6 . exercida pela mesa sobre os blocos A+C, e para baixo o Perceba bem onde entra peso konqp , peso total de A+C. Vamos supor que os blocos est˜ao parados (n˜ao acelera- 6.2.2 Forc¸a de Viscosidade e a Velocidade Limite dos), e escolher o eixo apontando para a direita e o eixo apontando para cima. As componentes e da segunda lei de Newton s˜ao, respectivamente, P 6-43 (6-33/6 ) ]r Calcule a forc¸a da viscosidade sobre um m´ıssil de ,< cm de diˆametro, viajando na velocidade de cruzeiro de 1 1 onde a densidade do ar e´ , 5 m/s, a baixa altitude, Para o bloco B tomamos o sentido para baixo como sen- kg/m . Suponha 5 . do positivo, obtendo que Use a Eq. 6-18 do livro texto: k l m ]= * * kmnqp N]s m' 1 W Q B kol e, consequentemente, Portanto temos que que 7s]t " kml . Temos tamb´em que k nqp . onde e´ a densidade do ar, e´ a a´ rea da secc¸a˜ o reta Para que n˜ao ocorra deslizamento, e´ necess´ario que do m´ıssil, e´ a velocidade do m´ıssil, e e´ o coeficien C # i F k nqp . O me- te seja menor que # i , isto e´ que kml B , onde de viscosidade. 1 1 A a´ rea e´ a dada por nor valor que k nqp pode ter com os blocos ainda parados * ,< w * :- m e´ o raio do m´ıssil. Portanto, e´ ( 1 ( ( 1 (91 1 m ( 1,1 1 *A,,+ , + + : ,+ B ,-+ B : u N k l 1 N kmnqp , > # i * Como o peso do bloco A e´ - N, vemos que o menor 6.2.3 Movimento Circular Uniforme peso do bloco C e´ k p - u - :-: N E 6-47 (?????/6 ) (b) Quando existe movimento, a segunda lei de Newton Se o coeficiente de atrito est´atico dos pneus numa rodoaplicada aos dois diagramas de corpo isolado nos forne- via e´ 1 , com que velocidade m´axima um carro pode ce as equac¸o˜ es fazer uma curva plana de Y m de raio, sem derrapar? ]8 A acelerac¸a˜ o do carro quando faz a curva e´ B w , onde e´ a velocidade do carro e e´ o raio da curva. J Como a estrada e´ plana (horizontal), a u´ nica forc¸a que k n evita com que ele derrape e´ a forc¸a de atrito da estrada com os pneus. A componente horizontal da segunda lei N] kol @ kml ?g de Newton e´ B w . Sendo a forc¸a normal da estrada sobre o carro e a massa do carro, a compov # 6 " Al´em destas, temos , onde lei nos diz que kon (da nente vertical 3 . da segunda #%i % # i segunda equac¸a˜ o acima). Da terceira acima tiramos Portanto, 3 e 3 . Se o carro n˜ao k n ?g http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS hC 23 de Outubro de 2003, a` s 10:09 a.m. =C #%i 3 . Isto significa que B w #%i , ou derrapa, Cs #% i seja, que . A velocidade m´axima com a qual o carro pode fazer a curva sem deslizar e´ , portanto, quando a velocidade coincidir com o valor a´ direita na desigualdade acima, ou seja, quando = # i = ( 1 ( /( . max -+ YA,+ 0-+ Atenc¸a˜ o: observe que o enunciado deste problema na quarta edic¸a˜ o do livro fala em “peso aparente de 5: kg”, fazendo exatamente aquilo que n˜ao se deve fazer: confundir entre si, peso e massa. A origem do problema est´a na traduc¸a˜ o do livro. O livro original diz que “um estudante 1 de >5 libras” ....“tem um peso aparente de libras”. - m/s O tradutor n˜ao percebeu que, como se pode facilemente ver no Apˆendice F, “libra” e´ tanto uma unidade de massa, quanto de peso. E e´ preciso prestar atenc¸a˜ o para n˜ao confundir as coisas. E 6-55 (?????/6 ) No modelo de Bohr do a´ tomo de hidrogˆenio, o el´etron descreve uma o´ rbita circular em torno do n´ ucleo. Se o raio e´ Y < uY m e o el´etron circula : : uy vezes por segundo, determine (a) a velocidade do el´etron, (b) a acelerac¸a˜ o do el´etron (m´odulo e sentido) e (c) a forc¸a centr´ıpeta que atua sobre ele. (Esta forc¸a e´ resultante da atrac¸a˜ o entre o n´ucleo, positivamente carregado, e o el´etron, negativamente carregado.) A massa do el´etron . >Y kg. e´ | , (a) (b) (c) E 6-56 (???/6 ) Assim, enquanto que as 5 libras referem-se a 1 uma massa de :,0 kg, as libras referem-se a um peso de ,5 N. (a) No topo o acento empurra o estudante para cima o com uma forc¸a de magnitude , igual a -5 N. A Terra puxa-o para baixo com uma forc¸a de magnitude k , igual F( (9. :-0-+ 0-+ :,:-: N. A forc¸a 8 a :,05 l´ıquida apontando para o centro da o´ rbita circular e´ k e, de acordo com a segunda lei de Newton, deve ser igual a B w , onde e´ a velocidade do etudante e e´ o raio da o´ rbita. Portanto A massa est´a sobre uma mesa, sem atrito, presa a um peso de massa , pendurado por uma corda que passa atrav´es de um furo no centro da mesa (veja Fig. 6-39). Determine a velocidade escalar com que deve se mover para permanecer em repouso. ] @% B k :,:,: ,, , >: N Chamemos de a magnitude da forc¸a do acento sobre o estudante quando ele estiver no ponto mais baixo. Tal forc¸a aponta para cima, de modo que a forc¸a l´ıquida que k . Assim sendo, aponta para o centro do c´ırculo e´ z k 3B w , donde tiramos temos Para permanecer em repouso a tens˜ao na cor S 1 B S da tem que igualar a forc¸a gravitacional ! sobre . k , >: :-:,: 50 N A tens˜ao e´ fornecida pela forc¸a centr´ıpeta que mant´em ]) em sua o´ rbita circular: B w , onde e´ o raio que correspondem a uma massa aparente de 1 B w , donde tiramos sem da o´ rbita. Portanto, ! V0 . . kg problemas que & ! P 6-62 (?????/6 ) (b) No topo temos k 0 @o k 3 B w , de modo que B 2 Se a velocidade dobra, B w aumenta por um fator de , passando a ser , >: -:5 N. Ent˜ao Um estudante de :-0 kg, numa roda-gigante com velo% !1 1 :,:,: -:, N cidade constante, tem um peso aparente de ,5 N no ponto mais alto. (a) Qual o seu peso aparente no ponto correspondendo a uma massa efetiva de mais baixo? (b) E no ponto mais alto, se a velocidade o 1 1 21 da roda-gigante dobrar? . * : kg http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 0 P´agina 5 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS P 6-65 (6-45/6 ) Um avi˜ao est´a voando num c´ırculo horizontal com uma velocidade de 0, km/h. Se as asas do avi˜ao est˜ao inclinadas -Z sobre a horizontal, qual o raio do c´ırculo que o avi˜ao faz? Veja a Fig. 6-41. Suponha que a forc¸a necess´aria seja obtida da “sustentac¸a˜ o aerodinˆamica”, que e´ perpendicular a` superf´ıcie das asas. O diagrama de corpo isolado do avi˜ao cont´em duas forc¸as: a forc¸a da gravidade, para baixo, e a forc¸a , apontando para a direita e fazendo um aˆ ngulo de [ com a horizontal. Como as asas est˜ao inclinadas - Z com a horizontal, a forc¸a de sutentac¸a˜ o e´ perpendicular 2. ,-Z . as asas e, portanto, [ Como o centro da o´ rbita esta para a direita do avi˜ao, escolhemos o eixo para a direita e o eixo para cima. A componente e da segunda lei de Newton s˜ao, respectivamente, @^a` b sen [ [ 3 * onde e´ o raio da o´ rbita. Eliminando entre as duas equac¸o˜ es e rearranjando o resultado, obtemos Para aˆ ngulo entre \ e \ tem que ser de :, Z sendo [ , como mostra a figura, a metade deste valor. Observe ainda que a relac¸a˜ o entre as magnitudes de \ ] D] e \ e´ 6 , pois \ deve contrabalanc¸ar n˜ao apenas o peso da bola mas tamb´em a componente vertical (para baixo) de \ , devida a´ corda de baixo. (b) Escolhendo o eixo horizontal apontando para a esquerda, no sentido do centro da o´ rbita circular, e o eixo para cima temos, para a componente da segunda lei de Newton ] 6 ^a` b Sc]q*^a` b B [ [ onde e´ a velocidade da bola e A componente e´ B tan [ 0, km/h u<,< m/s, encontramos ( ! !1 1 u<-<-+yB . u m tan 5 Z 0 P 6-70 (6-47/6 ) e´ o raio da sua o´ rbita. ] 6 h] 3 * sen [ sen [ Esta equac¸a˜ o fornece a tens˜ao na corda de baixo: ] su´] ltima 6 w sen [ . Portanto B 23 de Outubro de 2003, a` s 10:09 a.m. ] ( < , <5+ (/. sen <- Z 0 + 0 N (c) A forc¸a l´ıquida e´ para a esquerda e tem magnitude ¡¢)(] 6 S] ^a`-b )( S ^e`-b . + [ <- 0*AV + -< Z < %¡N (d) A velocidade e´ obtida da equac¸a˜ o B observando-se que o raio da o´ rbita e´ ( tan [ ( 1 , w + w , veja a figura do livro): 1 , w , m tan <, Z N w , Portanto = £%¡ ( ( . - Y5+ < Y + : m/s , <5 A Fig. 6-42 mostra uma bola de , <5 kg presa a um eixo girante vertical por duas cordas de massa desprez´ıvel. As cordas est˜ao esticadas e formam os lados de um 6.2.4 Problemas Adicionais triˆangulo equil´atero. A tens˜ao na corda superior e´ de <- N. (a) Desenhe o diagrama de corpo isolado para a bola. (b) Qual a tens˜ao na corda inferior? (c) Qual a 6-72 (?????/6 ) forc¸a resultante sobre a bola, no instante mostrado na Uma forc¸a ¤ , paralela a uma superf´ıcie inclinada >-Z figura? (d) Qual a velocidade da bola? ] 6 ] acima da horizontal, age sobre um bloco de N, como (a) Chame de e as tens˜oes nas cordas de cima mostra a Fig. 6-43. Os coeficientes de atrito entre o blo e de baixo respectivamente. Ent˜ao o diagrama de corpo co e a superf´ıcie s˜ao #%i * e # 6 * <, . Se o bloco isolado para a bola cont´em trˆes forc¸as: para baixo atua inicialmente est´a em repouso, determine o m´odulo e o o peso 7 da bola. Para a esquerda, fazendo um aˆ ngulo sentido da forc¸a de atrito que atua nele, para as seguinte [ <--Z para cima, temos \ . Tamb´em para a esquerda, intensidades de P: (a) N, (b) 0 N, (c) N. por´em fazendo um aˆ ngulo [ <, Z para baixo, temos a forc¸a \ . Como o triˆagulo e´ equil´atero, perceba que o http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 6 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a` s 8:20 a.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 7 7.2.2 Trabalho e Energia Cin´etica 7.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . 7.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . 7.2.1 Trabalho: movimento forc¸a constante . . . . . . . . . . . . . com . . . . 2 2 2 2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 Trabalho executado por forc¸a vari´avel . . . . . . . . . . . . . Trabalho realizado por uma mola Energia Cin´etica . . . . . . . . Potˆencia . . . . . . . . . . . . . Energia Cin´etica a Velocidades Elevadas . . . . . . . . . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 3 4 4 5 7 jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex) P´agina 1 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 7 Trabalho e Energia Cin´etica 17 de Outubro de 2003, a` s 8:20 a.m. (a) A forc¸a aplicada e´ constante e o trabalho feito por ela e´ 3 7.1 Quest˜oes Q 7-13 4&576 "98%:7;<>= = onde 4 e´ a forc¸a, 6 e´ o deslocamento do caixote, e e´ o aˆ ngulo entre a forc¸a 4 e o deslocamento 6 . Portanto, 3 ?'@ 0 *A' 2 * :A;B< 0 1 /C0 J D As molas A e B s˜ao idˆenticas, exceto pelo fato de que A e´ mais r´ıgida do que B, isto e´ . Qual das duas molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem o mesmo deslocamento e (b) quando elas s˜ao distendidas por forc¸as iguais. (b) A forc¸a da gravidade aponta para baixo, perpendicular ao deslocamento do caixote. O aˆ ngulo entre esta :A;< forc¸a e o deslocamento e´ C0 1 e, como C0 1E 0 , o trabalho feito pela forc¸a gravitacional e´ ZERO. (c) A forc¸a normal exercida pelo piso tamb´em atua per pendicularmente ao deslocamento, de modo que o tra(a) Temos e , onde balho por ela realizado tamb´em e´ ZERO. representa o deslocamento comum a ambas molas. Por(d) As trˆ e s forc ¸ as acima mencionadas s˜ao as u´ nicas que tanto, atuam no caixote. Portanto o trabalho total e´ dado pela soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma das trˆes forc¸as, ou seja, o trabalho total e´ /C0 J. ou seja, . (b) Agora temos e ! , P 7-9 (???/6 . ) onde e representam os delocamentos provocados pela forc¸a idˆentica que atua sobre ambas as molas e que A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento de um peso F . Suponha que o implica ter-se, em magnitude, atrito seja desprez´ıvel e que as duas polias de baixo, a` s " quais est´a presa a carga, pesem juntas 0 N. Uma car #$ % ga de GH0 N deve ser levantada m. (a) Qual a forc¸a m´ınima 4 necess´aria para levantar a carga? (b) Qual o donte tiramos & % . Portanto trabalho executado para levantar a carga de m? (c) Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d) Qual o trabalho executado pela forc¸a 4 para realizar esta (' )! * ,+ tarefa? ou seja, . + (a) Supondo que o peso da corda e´ desprez´ıvel (isto e´ , que a massa da corda seja nula), a tens˜ao nela e´ a mesma ao longo de todo seu comprimento. Considerando as duas polias m´oveis (as duas que est˜ao ligadas ao peso F ) vemos que tais polias puxam o peso para cima com 7.2 Problemas e Exerc´ıcios " uma forc¸a aplicada em quatro pontos, de modo que a - " 7.2.1 Trabalho: movimento com forc¸a constan- forc¸a total para cima aplicada nas polias m´oveis e´ H . " te Se for a forc¸a m´ınima para levantar a carga (com velocidade constante, i.e. sem acelera-la), ent˜ao a segunda lei de Newton nos diz que devemos ter E 7-2 (7-7/6 . edic¸a˜ o) "JILKJM H 0 Para empurrar um caixote de /0 kg num piso sem atrito, um oper´ario aplica uma forc¸a de 0 N, dirigida 01 aciKJM representa o peso total da carga mais polias ma da horizontal. Se o caixote se desloca de 2 m, qual onde KJM m´ o veis, ou seja, N' GHB0%O 0 * N. Assim, encontrao trabalho executado sobre o caixote (a) pelo oper´ario, mos que (b) pelo peso do caixote e (c) pela forc¸a normal exercida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total " GP0 / N D executado sobre o caixote? H http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a` s 8:20 a.m. "98 KJMQ8 (b) O trabalho feito pela corda e´ , A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por H 8 onde e´ a distˆancia de levantamento da carga. Portanto, ^ ` MfIL" = o trabalho feito pela corda e´ sen * bdc ebdcV' Z N' GP0 *7' *R ` 02 0 J D (A resposta na traduc¸a˜ o do livro est´a incorreta.) (c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento da corda entre o conjunto superior e inferior de polias diminui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da corda abaixo de H metros. Portanto, no total a extremidade livre da corda move-se ' H *A' *! HG m para baixo. (d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela "98 KJMQ8 8 extremidade livre e´ H , onde e´ a distˆancia que a extremidade livre se move. Portanto, N' GP0 * HBG H onde o valor de foi obtido da segunda equac¸a˜ o acima. ^ Substituindo o valor de na primeira das equac¸o˜ es acima e resolvendo-a para b c encontramos sem problemas que b c = :7;< / 1 ' TQD PG * I ' 2>D /BT 7* ' CSD G * ' TQD PG * sen / 1 0>D D P 7-16 (???/6 . ) Um bloco de 2SDUT/ kg e´ puxado com velocidade constante por uma distˆancia de HD 0P m em um piso horizontal por uma corda que exerce uma forc¸a de TVD PG N fazen do um aˆ ngulo de /1 acima da horizontal. Calcule (a) o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b) o coeficiente de atrito dinˆamico entre o bloco e o piso. (a) A forc¸a na corda e´ constante, de modo que o traba"98%:A;B<>= lho e´ dado por 4$5W6 , onde 4 e´ a forc¸a exercida pela corda, 6 e´ a distˆancia do deslocamento, e = e´ o aˆ ngulo entre a forc¸a e o deslocamento. Portanto N' TVD PG *7' HD 0P * :7;< / 1 20>D JD (b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro) forc¸as aplicadas. Desenhe um ponto X representando o bloco. Em X , desenhe a forc¸a normal Y apontando para cima, a forc¸a peso ZE[ apontando para baixo. Apontando horizontalmente para a esquerda desenhe a forc¸a \ de atrito. Desenhe a forc¸a 4 que puxa o bloco apontando para a direita = e para cima, fazendo um aˆ ngulo com a horizontal, Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equil´ıbrio tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece as equac¸o˜ es, respectivamente, O sen 7.2.2 Trabalho executado por forc¸a vari´avel P 7-12 (???/6 . ) ` Z "$:A;B<>= MgI$" 02 0 J D Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d) devem coincidir, o que n˜ao ocorre com as respostas fornecidas no livro. "$:A;<=]I_^ " =aI M sen Z 0 " "lk k9I A forc¸a exercida num objeto e´ 'hi*j 'mi *. Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de " k n 0 at´e &o (a) fazendo um gr´afico de 'hi* e determinando a a´ rea sob a curva e (b) calculando a integral analiticamente. " (a) A express˜ao de 'hi* diz-nos que a forc¸a varia lik nearmente com . Supondo p0 , escolhemos dois pontos convenientes para, atrav´es deles, desenhar uma linha reta. " Ir" k k Para q 0 temos enquanto que para sJ " " k temos , ou seja devemos desenhar uma linha rek " k Ir" k ta que passe pelos pontos ' 0 * e '@ * . Fac¸a a figura! Olhando para a figura vemos que o trabalho total e´ dado pela soma da a´ rea de dois triˆangulos: um que vai de k k k E 0 at´e q , o outro indo de Ee at´e q . Como os dois triˆangulos tem a mesma a´ rea, sendo uma positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total e´ ZERO. (b) Analiticamente, a integral nos diz que t vuw " kyx I -z 8 1 " k{x I z}| v u w k 0 D |k S | k 0SD http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 3 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a` s 8:20 a.m. 7.2.3 Trabalho realizado por uma mola E 7-22 (7-1/6 . ) E 7-18 (7-21/6 . ) Uma mola com uma constante de mola de / N/cm est´a presa a uma gaiola, como na Fig. 7-31. (a) Qual o trabalho executado pela mola sobre a gaiola se a mola e´ distendida de TVD P mm em relac¸a˜ o ao seu estado relaxado? (b) Qual o trabalho adicional executado pela mola se ela e´ distendida por mais TQD P mm? (a) Quando a gaiola move-se de Eey~ para E o trabalho feito pela mola e´ dado por t u- I 8 ' i* u I |u | | u I 'h ~ * ~ Um el´etron de conduc¸a˜ o (massa Z CSD 0S# kg) do cobre, numa temperatura pr´oxima do zero absoluto, tem uma energia cin´etica de P>DT( 0Q ~ J. Qual a velocidade do el´etron? A energia cin´etica e´ dada por Zq , onde Z e´ a massa do el´etron e a sua velocidade. Portanto Z S' PSDUTf C>D 0 ~ * 0 # ~ D 0 m/s D E 7-29 (???/6 . ) Um carro de 000 kg est´a viajando a P0 km/h numa es trada plana. Os freios s˜ao aplicados por um tempo suficiente para reduzir a energia cin´etica do carro de /0 kJ. onde e´ a constante de forc¸a da mola. Substituindo (a) Qual a velocidade final do carro? (b) Qual a reduc¸a˜ o adicional de energia cin´etica necess´aria para fazˆe-lo pa0S# m encontramos ~ 0 m e TQD P rar? I I ] i 0 0SD 0HB2 J D ' /00 *7' TVD P * (a) A energia cin´etica inicial do carro e´ Zs , onde Z e´ a massa do carro e (b) Agora basta substituir-se y~ TVD PL 0S# m e P0f 0 /QD 0S# m na express˜ao para o trabalho: P 0 PSDUT m/s km/h I I I ' /00 *>@' /QD * I ' TVD P * ' 0 i * 2P00 e´ a sua velocidade inicial. Isto nos fornece 0SD 2 J D 0 00 *7' P>DT * N' D 2C 0 JD Ap´os reduzir em /0 kJ a energia cin´etica teremos Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho reaa I lizado e´ mais do que o dobro do trabalho feito no priD 2C 0 /0 0 GSD C 0 J D meiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido idˆentico em ambos intervalos, a forc¸a e´ maior durante Com isto, a velocidade final do carro ser´a o segundo intervalo. a 7.2.4 Energia Cin´etica E 7-21 (7-???/6 . ) Z 0 * S' GSD C 000 2>D 2 m/s HVTQD G km/h D (b) Como ao parar a energia cin´etica final do carro ser´a ZERO, teremos que ainda remover GSD C! 0 J para fazelo parar. Se um foguete Saturno V com uma espac¸onave Apolo acoplada tem uma massa total de D C] 0 kg e atinge P 7-35 (7-17/6 . ) uma velociade de D km/s, qual a sua energia cin´etica Um helic´optero levanta verticalmente um astronauta de neste instante? T kg at´e / m de altura acima do oceano com o aux´ılio M Usando a definic¸a˜ o de energia con´etica temos que de um cabo. A acelerac¸a˜ o do astronauta e´ 0 . Qual o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo he lic´optero e (b) pelo seu pr´oprio peso? Quais s˜ao (c) a Zs 0 *A' D 0 * '@ D C energia cin´etica e (d) a velocidade do astronauta no mo ~ mento em que chega ao helic´optero? DT/f 0 JD http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a` s 8:20 a.m. " (a) Chame de a magnitude da forc¸a exercida pelo (b) A forc¸a da gravidade aponta no mesmo sentido cabo no astronauta. A forc¸a do cabo aponta para cima e que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho M K MV8 J o peso Z do astronauta aponta para baixo. Al´em disto, . M a acelerac¸a˜ o do astronauta e´ 0 , para cima. De acordo (c) O trabalho total feito sobre o bloco e´ com a segunda lei de Newton, "JI Z M M Z 0 I 2 KJMV8 O H KJMQ8 KJMQ8 H D " M o valor acima coinciZ de modo que 0 . Como a forc¸a 4 e o deslo- Como o bloco parte do repouso, energia cin´ e tica ap´ o s haver baixado uma camento 6 est˜ao na mesma direc¸a˜ o, o trabalho feito pela de com sua 8 distˆancia . forc¸a 4 e´ 8 (d) A velocidade ap´os haver baixado uma distˆancia e´ M "98 3 8 Z C D G A* ' / * ' T *A' S 0 D P 0 J D 0 N K MQ8 D M (b) O peso tem magnitude Z e aponta na direc¸a˜ o oposta do deslocamento. Ele executa um trabalho 7.2.5 Potˆencia I Z MV8 I I ' T *7' CSD G *7' / *) D 0Pg 0 J D P 7-43 (???/6 . ) (c) O trabalho total feito e´ I Um bloco de granito de HB00 kg e´ puxado por um guindaste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do constante de D 2H m/s (Fig. 7-38). O coeficiente de atrito Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cin´etica final dinˆamico entre o bloco e a rampa e´ 0SD H . Qual a potˆencia dever´a ser igual a do guindaste? " (d) Como Zq , a velocidade final do astronauta Para determinar a magnitude da forc¸a com que o ser´a guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de cor po livre. >' 000 * ^ G>D C km/h D /QD T m/s Chamemos de a forc¸a de atrito, no sentido oposto ao Z T " de . A normal Y aponta perpendicularmente a` ramM pa, enquanto que a magnitude Z da forc¸a da gravidade aponta verticalmente para baixo. P 7-36 (7-19/6 . ) O aˆ ngulo do plano inclinado vale Uma corda e´ usada para fazer descer verticalmente um K bloco, inicialmente em repouso, de massa com uma ~ x 20 z M tan 2VT 1 D acelerac¸a˜ o constante H . Depois que o bloco desceu H0 8 uma distˆancia , calcule (a) o trabalho realizado pela Tomemos o eixo na direc¸a˜ o do plano inclinado, aponcorda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado sobre o tando para cima e o eixo apontando no mesmo sentido bloco pelo seu peso, (c) a energia cin´etica do bloco e (d) da normal Y . a velocidade do bloco. Como a acelerac¸a˜ o e´ zero, as componentes e da se" (a) Chame de a magnitude da forc¸a da corda sobre gunda lei de Newton s˜ao, respectivamente, " o bloco. A forc¸a aponta para cima, enquanto que a "JI_^aI M KJM sen Z 0 forc¸a da gravidade, de magnitude , aponta para bai`oI M:7;< M Z 0SD xo. A acelerac¸a˜ o e´ H , para baixo. Considere o sentido para baixo como sendo o sentido positivo. A segunda ` M:7;< KJMfI$" KJM , de Z lei de Newton diz-nos que H , de modo Da segunda^ equac¸a˜` o obtemosMque A : ; < " KJM modo que . Substiutindo esZ d b c d b c que 2 H . A forc ¸ a est´ a direcionada no sentido " oposto ao deslocamento de modo que o trabalho que ela te resultado na primeira equac¸a˜ o e resolvendo-a para obtemos faz e´ 3 P00 Ir"98 0P00 I 2 KJMQ8 000 J D H>D http://www.if.ufrgs.br/ jgallas " Z M x sen O bdc :A;< z D P´agina 5 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a` s 8:20 a.m. A forc¸a do guindaste aponta no mesmo sentido que a ve- P 7-48 (7-35/6 . ) locidade do bloco, de modo que a potˆencia do guindaste Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa e´ total de 00 kg e deve subir /H m em 2 min. O con" trapeso do elevador tem uma massa de C/0 kg. CalcuX le a potˆencia (em cavalos-vapor) que o motor do elevaM x :7;< z dor deve desenvolver. Ignore o trabalho necess´ario para Z sen (O b c colocar o elevador em movimento e para fre´a-lo, isto :A;B< x z e´ , suponha que se mova o tempo todo com velocidade 2BT 1 ' H00 *7' CSD G *7' D 2H * sen 2BT 1 O0SD H constante. T kW D O trabalho total e´ a soma dos trabalhos feitos pela gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravidade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre P 7-47 (???/6 . ) o sistema: $¤Oe ¥%Oe ¦ . Como o elevador move-se com velocidade constante, sua energia cin´etica Uma forc¸a de / N age sobre um corpo de D/ kg inicialn˜ a o muda e, de acordo com o teorema do Trabalhomente em repouso. Determine (a) o trabalho executado Energia, o trabalho total feito e´ zero. Isto significa que pela forc¸a no primeiro, segundo e terceiro segundos e $¤RO $¥)O ¦ 0 . (b) a potˆencia instantˆanea aplicada pela forc¸a no final O elevador move-se /H m para cima, de modo que o trado terceiro segundo. balho feito pela gravidade sobre ele e´ " e o trabalho feito (a) A potˆencia e´ dada por X I MV8 I I ¤r Z ¤ PSD 2/f 0 JD ' 00 *7' CSD G *7' /H *l por 4 entre o instante ~ e e´ t X 8 t " 8 O contrapeso move-se para baixo pela mesma distˆancia, de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele e´ D MQ8 e´ a forc¸a total, a magnitude da acelerac¸a˜ o e´ $¥ E Z ¥ 0 JD N' C/0 *A' CSD G *7' /H * /QD 02 Z e a velocidade em func¸a˜ o do tempo e´ dada " Como 0 , o trabalho feito pelo motor e´ por ¡ Z . Portanto Como 4 ^ ¡ t Para ~ 0 se " I Z ~ z D ' 0 * £ 0SD G2 J D e s temos I x / zR¢ '@* / ' * £ D / J D I x / R z ¢ H D JD '2 * @' * £ / " " (b) Substitua Z em X obtendo ent˜ao " X Z para a potˆencia num instante qualquer. Ao final do terceiro segundo temos X '/ * '2 * / I ¦J I ¤ / WD http://www.if.ufrgs.br/ jgallas I ' PSD 2/ ¥§ D2 /QD 02 * 0 0 JD Este trabalho e´ feito num intervalo de tempo ¨f 2 min G0 s e, portanto, a potˆencia fornecida pelo motor para levantar o elevador e´ X 2 s temos s temos I x / z)¢ ' * / Para ~e s e x se 8 Z ~ Para ~ " ¦ ¨f D2 G0 0 T2/ W D Este valor corresponde a T 2/ W THP W/hp 0SD CC hp D P 7-49 (???/6 . ) A forc¸a (mas n˜ao a potˆencia) necess´aria para rebocar um barco com velocidade constante e´ proporcional a` veloci dade. Se s˜ao necess´arios 0 hp para manter uma velocidade de H km/h, quantos cavalos-vapor s˜ao necess´arios para manter uma velocidade de km/h? P´agina 6 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a` s 8:20 a.m. Como o problema afirma que a forc¸a e´ proporcional Como a velocidade da luz e´ e D CCG( a` velocidade, podemos escrever que a forc¸a e´ dada por " D 0H ?© , onde e´ a velocidade e © e´ uma constante de 0>D PGD D CCG proporcionalidade. A potˆencia necess´aria e´ X " 0 ¬ m/s, temos e© D (b) Como a velocidade do el´etron e´ pr´oxima da velocidade da luz,devemos usar express˜ao relativ´ıstica para a Esta f´ormula nos diz que a potˆencia associada a uma energia cin´etica: velocidade ~ e´ X ~ ª© ~ e a uma velocidade e´ X «© . Portanto, dividindo-se X por X ~ podemos x I z ® I E Z nos livrar da constante © desconhecida, obtendo que X Para X ~r x z X ~ D ~ ' CSD ~ 2>D 0 0 ~ 0 ¬ * x 0 hp e 2 ~ , vemos sem problemas que x z X ' 0 ! * N' 2 * ' 0 *) C0 hp D H 0 *7'@ D CCG ® I I z ' 0>D PG * JD Observe que e´ poss´ıvel determinar-se explicitamente o Este valor e´ equivalente a valor de © a partir dos dados do problema. Por´em, tal ~ 2SD 0 0Q soluc¸a˜ o e´ menos elegante que a acima apresentada, onde D C0 0 ¯ ~ D P0 0 determinamos © implicitamente. C0 keV D (c) Classicamente a energia cin´etica e´ dada por 7.2.6 Energia Cin´etica a Velocidades Elevadas E 7-50 (???/6 . ) Zq ' CSD ~ 0 # A* '° D 0H± 0¬ * ~ 0 JD Um el´etron se desloca de /QD cm em 0SD / ns. (a) Qual e´ a relac¸a˜ o entre a velocidade do el´etron e a velocidade da Portanto, o erro percentual e´ , simplificando j´a a potˆencia ~ luz? (b) Qual e´ a energia do el´etron em el´etrons-volt? comum Q 0 que aparece no numerador e denomina(c) Qual o erro percentual que vocˆe cometeria se usas- dor, se a f´ormula cl´assica para calcular a energia cin´etica do I 2SD 0 DC el´etron? erro percentual 0SD 2BT 2SD 0 (a) A velocidade do el´etron e´ 8 / D S 0 S J D 0H 0>D g / 0 0¬ m/s D http://www.if.ufrgs.br/ jgallas D C0f ou seja, 2BT² . Perceba que n˜ao usar a f´ormula relativ´ıstica produz um grande erro!! P´agina 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 10 de Novembro de 2003, a` s 10:23 Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 8 8.2.2 Conservac¸a˜ o da Energia 8.1 Quest˜oes . . . . . . . . . 8.2 Problemas e Exerc´ıcios . 8.2.1 Determinac¸a˜ o da tencial . . . . . . . . . . . . . . . . Energia . . . . . . . . . . . Po. . . 2 2 2 8.2.3 8.2.4 2 8.2.5 Usando a Curva de Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . Conservac¸a˜ o da Energia . . . . Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito . . . . . . . . . . . . Massa e Energia . . . . . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 7 8 8 11 jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex) P´agina 1 de 11 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 Conservac¸a˜ o da Energia 8.1 Quest˜oes 10 de Novembro de 2003, a` s 10:23 representa a massa do pedacinho de gelo. Sabemos que +/,>?! pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Chamando de @ a velocidade do pedacinho de gelo ao atingir o fundo, temos ent˜ao, da equac¸a˜ o da conservac¸a˜ o da energia acima que 9<;=A?9B@ , o que nos fornece @&DC ;=E C 6$ " F!6 G#H' m/s Q 8-10 Cite alguns exemplos pr´aticos de equil´ıbrio inst´avel, E 8-8 (8-13/6 ) neutro e est´avel. Um caminh˜ao que perdeu os freios est´a descendo uma estrada em declive a 'JI ! km/h. Felizmente a estrada disp˜oe de uma rampa de escape, com uma inclinac¸a˜ o de 'K (Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa para que a velocidade do caminh˜ao chegue a zero antes do final da rampa? As rampas de escape s˜ao quase 8.2 Problemas e Exerc´ıcios sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou 8.2.1 Determinac¸a˜ o da Energia Potencial cascalho. Por quˆe? Nota: uso o valor 'JI ! km/h da sexta edic¸a˜ o do livro, em vez dos ')! km/h da quarta, j´a que na quarta edic¸a˜ o n˜ao E 8-1 (8-??/6 edic¸a˜ o) e´ fornecida nenhuma resposta. Uma determinada mola armazena J de energia po- Despreze o trabalho feito por qualquer forc¸a de tencial quando sofre uma compress˜ao de cm. Qual fricc¸a˜ o. Neste caso a u´ nica forc¸a a realizar trabalho e´ a constante da mola? a forc¸a da gravidade, uma forc¸a conservativa. Seja + , a Como sabemos que a energia potencial el´astica arma- energia cin´etica do caminh˜ao no in´ıcio da rampa de eszenada numa mola e´ , obtemos facilmen- cape e + . sua energia cin´etica no topo da rampa. Seja 1, e . os respectivos valores da energia potencial no te que in´ıcio e no topo da rampa. Ent˜ao #" $&%(')!* N/m + . 24 . #+ , 24 , ! ! Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no in´ıcio da rampa, ent˜ao . L9/;M , onde M e´ a altura E 8-6 (8-3/6 ) final do caminh˜ao em relac¸a˜ o a` sua posic¸a˜ o inicial. TeUm pedacinho de gelo se desprende da borda de uma mos que +-,N#9B@ , onde @ e´ a velocidade inicial do tac¸a hemisf´erica sem atrito com cm de raio (Fig. 8- caminh˜ao, e +/./O! j´a que o caminh˜ao para. Portanto 22). Com que velocidade o gelo est´a se movendo ao 9<;M-?9B@ , donde tiramos que chegar ao fundo da tac¸a? @ Q')I! %R'J! * PI S!!Q M< TS S I m A u´ nica forc¸a que faz trabalho sobre o pedacinho de P; 6$6 " gelo e´ a forc¸a da gravidade, que e´ uma forc¸a conservatiSe chamarmos de U o comprimento da rampa, ent˜ao teva. Chamando de +-, a energia cin´etica do pedacinho de ge- remos que U sen 'K(VM , donde tiramos finalmente lo na borda da tac¸a, de +/. a sua energia cin´etica no que fundo da tac¸a, de 0, sua energia potencial da borda e de M S S I 1. sua energia potencial no fundo da tac¸a, temos ent˜ao UW !S m sen ') K sen ') K +/.324 1.5#+-,624 0,7 Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como um “fluido”, tem mais atrito que uma pista s´olida, ajuConsideremos a energia potencial no fundo da tac¸a codando a diminuir mais a distˆancia necess´aria para parar mo sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo o ve´ıculo. vale 0,8:9<;= , onde = representa o raio da tac¸a e 9 http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 de 11 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS E 8-10 (8-??/6 ) 10 de Novembro de 2003, a` s 10:23 variac¸a˜ o da energia potencial gravitacional da bola de gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola? (a) Neste problema a energia potencial possui dois termos: energia potencial el´astica da mola e energia potencial gravitacional. Considere o zero da energia potencial gravitacional como sendo a posic¸a˜ o da bola de gude quando a mola est´a comprimida. Ent˜ao, a energia potencial gravitacional da bola de gude quando ela est´a no topo da o´ rbita (i.e. no ponto mais alto) e´ GlE?9<;XM , onde M e´ a altura do ponto mais elevado. Tal altura e´ M/#!f2W!6 ! "E!6 ! " m. Portanto Um proj´etil com uma massa de X Y kg e´ disparado para cima do alto de uma colina de ') m de altura, com uma velocidade de ')! m/s e numa direc¸a˜ o que faz um aˆ ngulo de Y6'K com a horizontal. (a) Qual a energia cin´etica do proj´etil no momento em que e´ disparado? (b) Qual a energia potencial do proj´etil no mesmo momento? Suponha que a energia potencial e´ nula na base da colina (Z[! ). (c) Determine a velocidade do proj´etil no momento em que atinge o solo. Supondo que a resistˆencia do ar possa ser ignorada, as respostas acima dependem da massa do proj´etil? (a) Se 9 for a massa do proj´etil e @ sua velocidade GlmD&%R'J!n * F$ " F! !" 0#! $Y" J ap´os o lanc¸amento, ent˜ao sua energia cin´etica imediata(b) Como a energia mecˆanica e´ conservada, a energia mente ap´os o lanc¸amento e´ da mola comprimida deve ser a mesma que a ener' ' gia potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja, +-,> 9B@ Y! FQ')! # X !&%R'J!* J X )op9/;M[ Gl , onde e´ a constante da mola. Portanto, (b) Se a energia potencial e´ tomada como zero quando o proj´etil atinge o solo e sua altura inicial acima do solo for chamada de M , ent˜ao sua energia potencial inicial e´ 1,>?9<;M-\]X Y^$ " FQ') G# $Y %(')! * J (c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia potencial e´ zero e a energia cin´etica pode ser escrita como sendo +/._`9B@. , onde @. e´ a velocidade do proj´etil. A energia mecˆanica e´ conservada durante o voo do proj´etil de modo que +<.8?9B@ . AT+-,a2 0, donde tiramos facilmente que b +/,2c 1, @. 9 b de X !f2cX $Y%R'J! *hg i')$ m/s X Y ! Os valores de +-,kj7+/.6ja 1, e . dependem todos da massa do proj´etil, por´em a velocidade final @. n˜ao depende da massa se a resistˆencia do ar puder ser considerada desprez´ıvel. Observe que o tal aˆ ngulo de Y')K n˜ao foi usado para nada! Talvez seja por isto que este exerc´ıcio j´a n˜ao mais aparec¸a nas edic¸o˜ es subsequentes do livro... E 8-12 (8-17/6 ) l ! $Y" ?I! N/m ! !" Observe que I ! N/m qTIe'A%(')! N/m TI6H' N/cmj que e´ a resposta oferecida pelo livro-texto. E 8-13 (8-5/6 ) Uma bola de massa 9 est´a presa a` extremidade de uma barra de comprimento U e massa desprez´ıvel. A outra extremidade da barra e´ articulada, de modo que a bola pode descrever um c´ırculo plano vertical. A barra e´ mantida na posic¸a˜ o horizontal, como na Fig. 8-26, at´e receber um impulso para baixo suficiente para chegar ao ponto mais alto do c´ırculo com velocidade zero. (a) Qual a variac¸a˜ o da energia potencial da bola? (b) Qual a velocidade inicial da bola? (a) Tome o zero da energia potencial como sendo o ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola est´a inicialmente a uma distˆancia vertical U acima do ponto mais baixo, a energia potencial inicial e´ 0,r\9<;XU , sendo a energia potencial final dada por 1.s?9<;]Ur . A variac¸a˜ o da energia potencial e´ , portanto, t _ 1.Euv 0,NTP9<;XU(uR9<;UvT9/;XUf Uma bola de gude de g e´ disparada verticalmente pa- (b) A energia cin´etica final e´ zero. Chamemos de ra cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser +/,ow 9B@ a energia cin´etica inicial, onde @ e´ a comprimida de " cm para que a bola de gude apenas al- velocidade inicial procurada. A barra n˜ao faz trabacance um alvo situado a ! m de distˆancia. (a) Qual a lho algum e a forc¸a da gravidade e´ conservativa, de http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 3 de 11 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 10 de Novembro de 2003, a` s 10:23 modo que at energia mecˆ t anica e´ conservada. Isto sig- Por outro lado, sua energia potencial inicial e´ 9<;XM? nifica que +xyu ou, em outras palavras, que k') ^$6 "^!e'Yf!6 J. A diferenc¸a entre este dois valores fornece sua energia cin´etica final: +<.5T! zu uz9B@Aiuz9<;XU de modo que temos I6 IE\'X J. Sua velocidade final e´ , portanto, @& C P;Uz b b +/. 6Q'X @& i' m/s 9 ' P 8-17 (8-21/6 ) Uma mola pode ser comprimida cm por uma forc¸a de ! N. Um bloco de ' kg de massa e´ liberado a partir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito cuja inclinac¸a˜ o e´ I! K . (Fig. 8-30). O bloco comprime a mola X cm antes de parar. (a) Qual a distˆancia total percorrida pelo bloco at´e parar? (b) Qual a velocidade do bloco no momento em que se choca com a mola? A informac¸a˜ o dada na primeira frase nos permite calcular a constante da mola: |{ P! i' I s%R'J!} N/m !6 ! (a) Considere agora o bloco deslizando para baixo. Se ele parte do repouso a uma altura M acima do ponto onde ele para momentaneamente, sua energia cin´etica e´ zero e sua energia potencial gravitacional inicial e´ 9<;XM , onde 9 e´ a massa do bloco. Tomamos o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto onde o bloco para. Tomamos tamb´em a energia potencial inicial armazenada na mola como sendo zero. Suponha que o bloco comprima a mola uma distˆancia antes de parar momentaneamente. Neste caso a energia cin´etica final e´ zero, a energia potencial gravitacional final e´ zero, e a energia potencial final da mola e´ . O plano inclinado n˜ao tem atrito e a forc¸a normal que ele exerce sobre o bloco n˜ao efetua trabalho (pois e´ perpendicular a` direc¸a˜ o do movimento), de modo que a energia mecˆanica e´ conservada. Isto significa que 9<;XM- , donde tiramos que M/ X P9<; k' I s%(')! } ^!6 ! Q T!6H'PY m k')F$6 " Se o bloco viajasse uma distˆancia ~ pelo plano inclinado abaixo, ent˜ao ~ sen I! Kz#M , de modo que ~3 M sen I! K ! H'PY 6 T!6 I m sen I ! K P 8-21 (8-??/6 ) Uma bala de morteiro de kg e´ disparada para cima com uma velocidade inicial de 'J! ! m/s e um aˆ ngulo de IYK em relac¸a˜ o a` horizontal. (a) Qual a energia cin´etica da bala no momento do disparo? (b) Qual e´ a variac¸a˜ o na energia potencial da bala at´e o momento em que atinge o ponto mais alto da trajet´oria? (c) Qual a altura atingida pela bala? (a) Seja 9 a massa da bala e @P sua velocidade inicial. A energia cin´etica inicial e´ ent˜ao + , ' 9B@ ' ^k'J!! #X &%(')! } J (b) Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto de tiro e chame de 1. a energia potencial no topo da trajet´oria. 1. coincide ent˜ao com a variac¸a˜ o da energia potencial deste o instante do tiro at´e o instante em que o topo da trajet´oria e´ alcanc¸ada. Neste ponto a velocidade da bala e´ horizontal e tem o mesmo valor que tinha no in´ıcio: @-_@P> F X , onde e´ o aˆ ngulo de tiro. A energia cin´etica no topo e´ ' + . ' 9B@ 9<@ F ) Como a energia mecˆanica e´ conservada ' 9<@ _ . 2 ' 9B@ ^ Portanto ' 1. 9B@ Q'fu ^ ' 9B@ sen ' ]^k'J! ! sen IY K (b) Imediatamente antes de tocar a mola o bloco dista !6 ! m do ponto onde ir´a estar em repouso, e as "&%(')! * J sim est´a a uma distˆancia vertical de !6 ! sen I!K8 ! ! m acima da sua posic¸a˜ o final. A energia po- (c) A energia potencial no topo da trajet´oria e´ tamb´em tencial e´ ent˜ao 9/;M6AQ'F$ " F!6 ! I I J. dada por 1.c9<;XM , onde M e´ a altura (desn´ıvel) do http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4 de 11 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 10 de Novembro de 2003, a` s 10:23 topo em relac¸a˜ o ao ponto de tiro. Resolvendo para M , Seja 9 a massa do bloco, M a altura da queda e a encontramos: compress˜ao da mola. Tome o zero da energia potencial como sendo a posic¸a˜ o inicial do bloco. O bloco cai uma X " %R'J! * 1. distˆancia M2E e sua energia potencial gravitacional final \'JS ! m M/ 9<; ]F$ " e´ uz9/;M24 . Valores positivos de indicam ter havido compress˜ao da mola. A energia potencial da mola e´ inicialmente zero e no final. A energia cin´etica P 8-23 (8-23/6 ) e´ zero tanto no in´ıcio quanto no fim. Como a energia e´ A corda da Fig. 8-31 tem U4O')! cm de comprimento conservada, temos e a distˆancia at´e o pino fixo e´ de cm. Quando ' !8\uz9/;|2o >2 a bola e´ liberada em repouso na posic¸a˜ o indicada na fi gura, descreve a trajet´oria indicada pela linha tracejada. Qual e´ a velocidade da bola (a) quando est´a passando As soluc¸o˜ es desta equac¸a˜ o quadr´atica s˜ao pelo ponto mais baixo da trajet´oria e (b) quando chega 9<;E C 9/; 2o9/;M ao ponto mais alto da trajet´oria depois que a corda toca o pino? Chame de o ponto mais baixo que a bola atinge ')$ Sf C Q')$ S 2ck'J$6 S^]"Y e de o ponto mais alto da trajet´oria ap´os a bola to ')$S ! car no pino. Escolha um sistemas de coordenada com o eixo Z originando-se no ponto e apontando para cique fornece dois valores para : !6H')! m ou uf!6 ! "! m. ma. A energia inicial da bola de massa 9 no campo Como procuramos uma compress˜ao, o valor desejado e´ gravitacional da Terra antes de ser solta vale \?9<;U . !6H')! m. Conservac¸a˜ o da energia fornece-nos ent˜ao uma equac¸a˜ o para a velocidade @ da bola em qualquer lugar especifiP 8-27 (8-27/6 ) cado pela coordenada Z : ' \9<;XUW 9B@ 2W9<;Z (a) Com Zo_! em 9<;XUcp 9<@ 2o9/;Z , obtemos facilmente que @ C P;Uv C ]F$ " FQ' GTY6 " m/s (b) Importante aqui e´ perceber que o tal ponto mais alto da trajet´oria depois que a corda toca o pino n˜ao e´ o ponto U u& (como a figura parece querer indicar) mas sim o ponto Zo#6UBu< , pois a bola tem energia suficiente para chegar at´e ele! E´ neste detalhezito que mora o perigo... :-) Substituindo Z em 9<;Uo 9B@ 2o9<;Z , obtemos ent˜ao facilmente que @o C ;EuU C $6 "^d !>u4' g X Y m/s Duas crianc¸as est˜ao competindo para ver quem consegue acertar numa pequena caixa com uma bola de gule disparada por uma espigarda de mola colocada sobre uma mesa. A distˆancia horizontal entre a borda da mesa e a caixa e´ de m (Fig. 8-34). Jo˜ao comprime a mola ' H' cm e a bola cai cm antes do alvo. De quando deve Maria comprimir a mola para acertar na caixa? A distˆancia que a bola de gude viaja e´ determinada pela sua velocidade inicial, que e´ determinada pela compress˜ao da mola. Seja M a altura da mesa e a distˆancia horizontal at´e o ponto onde a bola de gude aterrisa. Ent˜ao @P) e M; , onde @P e´ a velocidade inicial da bola de gude e e´ o tempo que ela permanece no ar. A segunda equac¸a˜ o fornece 0 C M; de modo que <T C M; A distˆancia at´e o ponto de aterrisagem e´ diretamente Qual a raz˜ao deste u´ ltimo valor ser a metade do ante- proporcional a` velocidade inicial pois O[@ . Seja rior?... @ a velocidade inicial do primeiro tiro e a distˆancia horizontal at´e seu ponto de aterrisagem; seja @P a velo P 8-25 (8-25/6 ) cidade inicial do segundo tiro e a distˆancia horizontal Deixa-se cair um bloco de kg de uma altura de Y! cm at´e seu ponto de aterrisagem. Ent˜ao sobre uma mola cuja constante e´ i'J$ S! N/m (Fig. 832). Determine a compress˜ao m´axima da mola. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas @ @ P´agina 5 de 11 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 10 de Novembro de 2003, a` s 10:23 Quando a mola e´ comprimida a energia potencial e´ Como ¨`©$! N, vemos que Tarzan consegue atra~FP , onde ~ e´ a compress˜ao. Quando a bola de gude vessar, por´em estirando o cip´o muito perto do limite perde contato da mola a energia potencial e´ zero e sua m´aximo que ele ag¨uenta! energia cin´etica e´ 9B@ . Como a energia mecˆanica e´ conservada, temos P 8-32 (8-29/6 ) ' ' Na Fig. 8-31 mostre que se a bola fizer uma volta com9B@ ~ j pleta em torno do pino, ent˜ao #ªpI Ur . (Sugest˜ao: de modo que a velocidade inicial da bola de gude e´ diretamente proporcional a` compress˜ao original da mola. Se ~ for a compress˜ao do primeiro tiro e ~ a do segundo, ent˜ao @P ~ ~ ¡@P . Combinando isto com o resul tado anterior encontramos ~ ¢ £~ . Tomando agora ! u4!6 (' $ I m, ~ ¢'e'J! cm, e # m, encontramos a compress˜ao ~ desejada: X ! m ~ ¥¤ Q'e'J! cm1\' cm ' $I m ¦ P 8-31 (8-26/6 ) Tarzan, que pesa S "" N, decide usar um cip´o de 'J" m de comprimento para atravessar um abismo (Fig. 8-36). Do ponto de partida at´e o ponto mais baixo da trajet´oria, desce I m. O cip´o e´ capaz de resitir a uma forc¸a m´axima de $! N. Tarzan consegue chegar ao outro lado? Chamando de 9 a massa do Tarzan e de @ a sua velocidade no ponto mais baixo temos que A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao ponto mais alto da trajet´oria. Vocˆe saberia explicar por quˆe?) Antes de mais nada, este problema e´ uma continuac¸a˜ o do problema 8-23. Releia-o antes de continuar. Use conservac¸a˜ o da energia. A energia mecˆanica deve ser a mesma no topo da oscilac¸a˜ o quanto o era no in´ıcio do movimento. A segunda lei de Newton fornece a velocidade (energia cin´etica) no topo. No topo a tens˜ao ¨ na corda e a forc¸a da gravidade apontam ambas para baixo, em direc¸a˜ o ao centro do c´ırculo. Note que o raio do c´ırculo e´ =A#Uu , de modo que temos ¨v2v9/; T9 @ j Uu onde @ e´ a velocidade e 9 e´ a massa da bola. Quando a bola passa pelo ponto mais alto (com a menor velocidade poss´ıvel) a tens˜ao e´ zero. Portanto, 9<;4 9B@)XUuR e temos que @ C ;Uu . Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo no ponto mais baixo da oscilac¸a˜ o. Ent˜ao a energia potencial inicial e´ 9<;U . A energia cin´etica inicial e´ ! pois a bola parte do repouso. A energia potencial ' 9B@ T9/;M>j final, no topo da oscilac¸a˜ o, e´ 9<;X6Uu e a energia cin´etica final e´ 9<@)8T9<;Uu« . O princ´ıpio da onde M e´ a altura que Tarzan desce. Desta express˜ao conservac¸a˜ o da energia fornece-nos tiramos que ' 9/;XUv?9<;URu¬2 9/;URu^ @ T;M-I6 £;&TS Y; Por outro lado, no ponto mais baixo temos, da segunda Desta express˜ao obtemos sem problemas que lei de Newton, que a forc¸a centr´ıpeta est´a relacionada I & Uf com a tens˜ao no cip´o atrav´es da equac¸a˜ o 9 onde § @ § ¨uR9/;j e´ o raio da trajet´oria. Portanto, temos que ¨TT9/;E2v9 @ § 9/;A2 S6 Y / 9 ; § S" " ¤ '2 $IX S N S6 Y 'J"3¦ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Se for maior do que I Ur , de modo que o ponto mais alto da trajet´oria fica mais abaixo, ent˜ao a velocidade da bola e´ maior ao alcanc¸ar tal ponto e pode ultrapassa-lo. Se for menor a bola n˜ao pode dar a volta. Portanto o valor I Ur e´ um limite mais baixo. P 8-35 (8-33 /6 ) Uma corrente e´ mantida sobre uma mesa sem atrito com um quarto de seu comprimento pendurado para fora da P´agina 6 de 11 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 10 de Novembro de 2003, a` s 10:23 mesa, como na Fig. 8-37. Se a corrente tem um comprimento U e uma massa 9 , qual o trabalho necess´ario para pux´a-la totalmente para cima da mesa? O trabalho necess´ario e´ igual a` variac¸a˜ o da energia potencial gravitacional a medida que a corrente e´ puxada para cima da mesa. Considere a energia potencial como sendo zero quando toda a corrente estiver sobre a mesa. Divida a parte pendurada da corrente num n´umero grande de segmentos infinitesimais, cada um com comprimento Z . A massa de um tal segmento e´ ]®TPUkZ e a energia potencial do segmento a uma distˆancia Z abaixo do topo da mesa e´ X [ u89¯PUr£;Z5 Z . A energia potencial total e´ _\u 9 U } ;z°o±6² X Z Z ' 9 u ;¤ U U Yf¦ ' u 9<;XUf I 9<; § k'µuR F X , ou seja, @ ; § Q'µuR F Xh Substituindo este resultado na express˜ao acima, obtida da forc¸a centr´ıpeta, temos ; ^X5#P;k'µuR F X ^j ou, em outras palavras, que ^X5 I A altura do menino acima do plano horizontal quando se desprende e´ § § F X5 I O trabalho necess´ario para puxar a corrente para cima da mesa e´ , portanto, u³ ?9/;XUrI . 8.2.2 Usando a Curva de Energia Potencial P 8-37 (8-35 /6 ) Um menino est´a sentado no alto de um monte hemisf´erico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebe um pequen´ıssimo empurr˜ao e comec¸a a escorregar para baixo. Mostre que, se o atrito com o gelo puder ser desprezado, ele perde o contato com o gelo num ponto cuja § altura e´ PI . (Sugest˜ao: A forc¸a normal desaparece no momento em que o menino perde o contato como o gelo.) Chame de ´ a forc¸a normal exercida pelo gelo no menino e desenhe o diagrama de forc¸as que atuam no menino. Chamando de o aˆ ngulo entre a vertical e o raio que passa pela posic¸a˜ o do menino temos que a forc¸a que aponta radialmente para dentro e´ 9<; ^X1u´ que, de acordo com a segunda lei de Newton, deve ser igual § a forc¸a centr´ıpeta 9B@ , onde @ e´ a velocidade do menino. No ponto em que o menino se desprende do gelo temos ´pT! , de modo que ; F Xs @ § P 8-39 (8-37/6 ) A energia potencial de uma mol´ecula diatˆomica (H ou O , por exemplo) e´ dada por _ u = =P¶ onde = e´ a distˆancia entre os a´ tomos que formam a mol´ecula e e s˜ao constantes positivas. Esta energia potencial se deve a` forc¸a que mant´em os a´ tomos unidos. (a) Calcule a distˆancia de equil´ıbrio, isto e´ , a distˆancia entre os a´ tomos para a qual a forc¸a a que est˜ao submetidos e´ zero. Verifique se a forc¸a e´ repulsiva (os a´ tomos tendem a se separar) ou atrativa (os a´ tomos tendem a se aproximar) se a distˆancia entre eles e´ (b) menor e (c) maior do que a distˆancia de equil´ıbrio. (a) A forc¸a e´ radial (ao longo a line que une os a´ tomos) e e´ dada pela derivada de em relac¸a˜ o a = : { u X = ' = * u S =P· Precisamos agora determinar a velocidade @ . Tomando a energia potencial como zero quando o menino est´a no A separac¸a˜ o = de equil´ıbrio e´ a separac¸a˜ o para a qual temos = 1T! , ou seja, para a qual topo do iglu, teremos para a express˜ao { § 'uS5= ¶ #! uz9<; Q'µu ^X h O menino inicia seu movimeno do repouso e sua energia Portanto a separac¸a˜ o de equil´ıbrio e´ dada por cin´etica na hora que se desprende vale 9B@ . Portanto, a conservac¸a˜ o da energia nos fornece ! 9<@mu = i]EPs ¶ i'e')6ms ¶ ² ² http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 7 de 11 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS (b) A derivada da forc¸a em relac¸a˜ o a = , computada na separac¸a˜ o de equil´ıbrio vale { = '³¸'JI Y u 2 = } =P ¹ k')S4u(Y5= ¶ K u = } u j = } 10 de Novembro de 2003, a` s 10:23 E 8-50 (8-??/6 ) Um menino de ' kg sobe, com velocidade constante, por uma corda de S m em ')! s. (a) Qual o aumento da energia potencial gravitacional do menino? (b) Qual a potˆencia desenvolvida pelo menino durante a subida? (a) t ?9<;M-\]X')F$6 "^S0TI6 ! %R'J! * J onde usamos o fato que, do item anterior, sabemos que (b) t = ¶ EP . A derivada e´ negativa, de modo que a _ forc¸a e´ positiva se = for um pouco menor que = , indi cando uma forc¸a de repuls˜ao. (c) Se = for um pouco maior que = a forc¸a e´ negativa, indicando que a forc¸a e´ de atrac¸a˜ o. E 8-51 (8-??/6 ) 8.2.3 Conservac¸a˜ o da Energia 8.2.4 Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito E 8-45 (8-48/6 ) Aproximadamente <%4'J! ¶ kg de a´ gua caem por segundo nas cataratas de Ni´agara a partir de uma altura de ! m. (a) Qual a energia potencial perdida por segundo pela a´ gua que cai? (b) Qual seria a potˆencia gerada por uma usina hidrel´etrica se toda a energia potencial da a´ gua fosse convertida em energia el´etrica? (c) Se a companhia de energia el´etrica vendesse essa energia pelo prec¸o industrial de ' centavo de d´olar por quilowatthora, qual seria a sua receita anual? (a) O decr´escimo na energia potencial gravitacional por segundo e´ ]X &%(')! ¶ F$6 "^! 1#Xs%(')!º J (b) A potˆencia seria D 5%R'J! º J^Q' s1X5%(')! º W I! ! ! ?I !! W ')! Uma mulher de kg sobe correndo um lance de escada de Y6 m de altura em I s. Qual a potˆencia desenvolvida pela mulher? i ]F$6 " #S$ I W I6 E 8-55 (8-??/6 ) Um nadador se desloca na a´ gua com uma velocidade m´edia de !6 m/s. A forc¸a m´edia de arrasto que se op˜oe a esse movimento e´ de '')! N. Qual a potˆencia m´edia desenvolvida pelo nadador? Para nada com velocidade constante o nadador tem que nadar contra a a´ gua com uma forc¸a de ' 'J! N. Em relac¸a˜ o a ele, a a´ gua passa a !6 m/s no sentido dos seus p´es, no mesmo sentido que sua forc¸a. Sua potˆencia e´ i?»4¸^¼( {8½ ik'')! ^! G#PY W (c) Como a energia total gerada em um ano e´ \?E Xs%R'J! ¶ kW^k' ano^"S! h/ano X Y&%R'J! kW¸ hj o custo anual seria Y %R'J! ^ !6 !6')0X Y&%')! ¹ d´olaresj ou seja, PY! milh˜oes de d´olares. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas E 8-64 (8-43/6 ) Um urso de kg escorrega para baixo num troco de a´ rvore a partir do repouso. O tronco tem ') m de altura e a velocidade do urso ao chegar ao ch˜ao e´ de X S m/s. (a) Qual a variac¸a˜ o da energia potencial do urso? (b) Qual a energia cin´etica do urso no momento em que chega ao ch˜ao? (c) Qual a forc¸a m´edia de atrito que agiu sobre o urso durante a descida? P´agina 8 de 11 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 10 de Novembro de 2003, a` s 10:23 t (a) Considere a energia potencial gravitacional inicial el´astica, da mola comprimida. Portanto ¥ ) , como sendo 0,\! . Ent˜ao a energia potencial gravita- onde e´ a constante da mola e e´ a compress˜ao. Logo, cional final e´ .5iuz9<;XU , onde U e´ o comprimento da b b t a´ rvore. A variac¸a˜ o e´ , portanto, 6S S "" B #! Y m qTY S cm SY ! 1.Euv 0,>\uz9/;XU u8]F$6 "^Q' u3 $Y&%R'J! * J P 8-69 (8-55/6 ) (b) A energia cin´etica e´ + ' 9<@ ' ^]X S TI$ J (c) De acordo com a Eq. 8-26, a variac¸a˜ o da energia ¾ U , onde ¾ e´ a forc¸a de atrito mecˆanica e´ igual a u3 m´edia. Portanto t t +¿2 I$³u$Y ! ¾Biu u X'J! N U ') P 8-66 (8-51/6 ) Um bloco de I6 kg e´ empurrado a partir do repouso por uma mola comprimida cuja constante de mola e´ SY! N/m (Fig. 8-45). Depois que a mola se encontra totalmente relaxada, o bloco viaja por uma superf´ıcie horizontal com um coeficiente de atrito dinˆamico de ! , percorrendo uma distˆancia de " m antes de parar. (a) Qual a energia mecˆanica dissipada pela forc¸a de atrito? (b) Qual a energia cin´etica m´axima possu´ıda pelo bloco? (c) De quanto foi comprimida a mola antes que o bloco fosse liberado? (a) A magnitude da forc¸a de fricc¸a˜ o e´ ¾B?À>Á´ , onde À>Á e´ o coeficiente de atrito dinˆamico e ´ e´ a forc¸a normal da superf´ıcie sobre o bloco. As u´ nicas forc¸as verticais atuantes no bloco s˜ao a forc¸a normal, para cima, e a forc¸a da gravidade, para baixo. Como a componente vertical da acelerac¸a˜ o do bloco e´ zero, a segunda lei de Newton nos diz que ´p?9<; , onde 9 e´ a massa do bloco. Portantot ¾ÂÀ>Á9<; . A energia mecˆanica dissipada e´ dada por [¾~Ã¥À Á 9<;~ , onde ~ e´ a distˆancia que o bloco anda antes de parar. Seu valor e´ t Di! ^I6 ^$ " ^£ " 0?S S "" J Dois montes nevados tˆem altitudes de "! m e ! m em relac¸a˜ o ao vale que os separa (Fig. 8-47). Uma pista de esqui vai do alto do monte maior at´e o alto do monte menor, passando pelo vale. O comprimento total da pista e´ I km e a inclinac¸a˜ o m´edia e´ I! K . (a) Um esquiador parte do repouso no alto do monte maior. Com que velovidade chegar´a ao alto do monte menor sem se impulsionar com os bast˜oes? Ignore o atrito. (b) Qual deve ser aproximadamente o coeficiente de atrito dinˆamico entre a neve e os esquis para que o esquiador pare exatamente no alto do pico menor? (a) Tome o zero da energia potencial gravitacional como estando no vale entre os dois picos. Ent˜ao a energia potencial e´ , T9/;M , , onde 9 e´ a massa do esquiador e M , e´ a altura do pico mais alto. A energia potencial final e´ . D9/;M . , onde M . e´ a altura do pico menor. Inicialmente o esquiador tem energia cin´etica + , Ä! . Escrevamos a energia cin´etica final como + . T9<@) , onde @ e´ a velocidade do esquiador no topo do pico menor. A forc¸a normal da superf´ıcie dos montes sobre o esquiador n˜ao faz trabalho (pois e´ perpendicular ao movimento) e o atrito e´ desprez´ıvel, de modo que a energia mecˆanica e´ conservada: 0,24+-,D .m24+/. , ou seja, 9<;M6,>?9/;M.³2W9B@ , donde tiramos @iÅ ;M , uM . 1 C $ " ^" !3uv! 0Y Y m s (b) Como sabemos do estudo de objetos que deslizam em planos inclinados, a forc¸a normal da superf´ıcie in clinada dos montes no esquiador e´ dada por ´ 9<;o ^X , onde e´ o aˆ ngulo da superf´ıcie inclinada em relac¸a˜ o a` horizontal, I ! K para cada uma das superf´ıcies em quest˜ao. A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por ¾ÆÀ>ÁP´À>Á9/;4 ^ . A energia mecˆanica dissipada pela forc¸a de atrito e´ ¾~m_À>Á9<;~ ^ , onde ~ e´ o (b) O bloco tem sua energia cin´etica m´axima quando comprimento total do trajeto. Como o esquiador atinge perde contato com a mola e entra na parte da superf´ıcie o topo do monte mais baixo sem energia cin´etica, a eneronde a fricc¸a˜ o atua. A energia cin´etica m´axima e´ igual a` gia mecˆanica dissipada pelo atrito e´ igual a` diferenc¸a de energia mecˆanica dissipada pela fricc¸a˜ o, ou seja, SS6 " " energia potencial entre os pontos inicial e final da traJ. jet´oria. Ou seja, (c) A energia que aparece como energia cin´etica estava ariginalmente armazenada como energia potencial À>Á9/;~< F X5T9/;M,uM.hj http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 9 de 11 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS donde tiramos À>Á : À>ÁÇ M,uM. ~B F X " !³uv! #! !IS6 I6 &%R'J! * & ^&I ! K 10 de Novembro de 2003, a` s 10:23 percurso, (a) mostre que a altura m´axima atingida pela pedra e´ dada por M/ @ P;k'2o¾Pγ (b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo e´ dada por P 8-74 (8-??/6 ) @ ?@ ¤ Uma determinada mola n˜ao obedece a` lei de Hooke. A forc¸a (em newtons) que ela exerce quando distendida de uma distˆancia (em metros) e´ de X " <2I " Y , no sentido oposto ao da distens˜ao. (a) Calcule o trabalho necess´ario para distender a mola de v!6 m at´e \`' ! m. (b) Com uma das extremidades da mola mantida fixa, uma part´ıcula de Xe' kg e´ presa a` outra extremidade e a mola e´ distendida de uma distˆancia cÈ' ! . Em seguida, a part´ıcula e´ liberada sem velocidade inicial. Calcule sua velocidade no instante em que a distens˜ao da mola diminuiu para w!6 m. (c) A forc¸a exercida pela mola e´ conservativa ou n˜aoconservativa? Explique sua resposta. (a) Para distender a mola aplica-se uma forc¸a, igual em magnitude a` forc¸a da mola por´em no sentido oposto. Como a uma distens˜ao no sentido positivo de exerce uma forc¸a no sentido negativo de , a forc¸a aplicada tem que ser \ X " &24I " Y , no sentido positivo de . { O trabalho que ela realiza e´ ÎTuW¾ Î42c¾r¦ ² (a) Seja M a altura m´axima alcanc¸ada. A energia mecˆanica dissipada no ar quando t a pedra sobe at´e a altura M e´ , de acordo com a Eq. 8-26, \\u3¾M . Sabemos que t \D+ . 24 . Nu+ , 24 , hj onde + , e + . s˜ao as energias cin´eticas inicial e final, e , e . s˜ao as energias poetenciais inicial e final. Escolha a energia como sendo zero no ponto de lanc¸amento da pedra. A energia cin´etica inicial e´ +-,mÄ9B@ , a energia potencial inicial e´ 0,1! , a energia cin´etica final e´ +/.:! e a energia potencial final e´ 1.:γM . Portanto u3¾M-γM-u(9B@ , donde tiramos K M< 9<@ 6Îo24¾ Îf@ ;Îo24¾ @ j P;k'2o¾Pγ onde substituimos 9 por Îm); e dividimos numerador e denominador por Î . aÊ É ° " s2vI " Y Q (b) Note que a forc¸a do ar e´ para baixo quando a pe dra sobe e para cima quando ela desce. Ela e´ sempre ÊË " I" Y h Ê oposta ao sentido da velocidade. A energia dissipada Ì 2 *hÍ ?I' ! J t I V ¢u3 ¾M . A enerdurante o trajeto no ar todo e ´ ÊË + O < 9 @ ) @ e´ a velocidagia cin´ e tica final e ´ , onde . (b) A mola faz I' J de trabalho e este deve ser o aude da pedra no instante que antecede sua colis˜ao com mento da energia cin´etica da part´ıcula. Sua velocidade o solo. A energia potencial final e ´ o . ! . Portanto e´ ent˜ao 3 u ¾ M ? B 9 @ 6 f u B 9 @ . Substituindo nesta express˜ao b b a express˜ a o encontrada acima para temos M + 6I' ! @ TX I m/s 9 Xe' ¾@ ' ' u 9B@ u 9B@ (c) A forc¸a e´ conservativa pois o trabalho que ela faz ;Q'2c¾Î³ quando a part´ıcula vai de um ponto para outro pon to depende apenas de e , n˜ao dos detalhes do Deste resultado obtemos movimento entre e . ¾@ ¾@ @ @ u @ u 9<;Q'2c¾Î³ Î5k'r2o¾Pγ P 8-79 (8-61/6 ) ¾ Uma pedra de peso Î e´ jogada verticalmente para cima @ ¤ 'zu Îc2c¾r¦ com velocidade inicial @ . Se uma forc¸a constante ¾ devido a` resistˆencia do ar age sobre a pedra durante todo o http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 10 de 11 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS @ ¤ 10 de Novembro de 2003, a` s 10:23 Î?uW¾ j Îc2c¾ ¦ de onde obtemos o resultado final procurado: @&T@P¤ Î?uW¾ Îc2c¾µ¦ ² $e'5%R'J! segundos X $'E%R'J! Ë anos! Perceba que para ¾?¥! ambos resultados reduzem-se ao que j´a conheciamos, como n˜ao podeia deixar de ser. P 8-96 (8-??/6 ) 8.2.5 Massa e Energia E 8-92 (8-??/6 ) Os Estados Unidos produziram cerca de X I'B%')! kW¸ h de energia el´etrica em 1983. Qual a massa equivalente a esta energia? (a) Qual a energia em Joules equivalente a uma massa Para determinar tal massa, usamos a relac¸a˜ o Ð de 'J! g? (b) Durante quantos anos esta energia aten- 9ÃÏ , onde Ï5D $ $"%o'J! ¹ m/s e´ a velocidade da luz. deria a` s necessidades de uma fam´ılia que consome em Primeiro precisamos converter kW¸ h para Joules: m´edia ' kW? (a) Usamos a f´ormula i?9BÏF : I6'³%R'J ! kW¸ h X I'E%R'J! Q'J! * W^IS! ! s " I s%R'J! ¹ J iD!6H')! ^ $ $"s%(')! ¹ T$6H'P5%(')! kË J (b) Usamos agora D?E , onde e´ a taxa de consumo Portanto de energia e e´ o tempo. Portanto, 1 $e'5%(')! kË 'A%R'J! * http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 9: Ï "6 I5%R'J! ¹ #$ kg ]X $$"s%R'J! ¹ P´agina 11 de 11 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Junho de 2003, a` s 2:00 p.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 9 Sistemas de Part´ıculas 9.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 9.2.1 O Centro de Massa . . . . . . . 2 2 2 2 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.2.5 O Momento Linear . . . . . . . Conservac¸a˜ o do Momento Linear Sistemas de Massa Vari´avel: Um Foguete . . . . . . . . . . . Sistemas de Part´ıculas: Variac¸o˜ es na Energia Cin´etica . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 5 6 8 8 jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex) P´agina 1 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 9 Sistemas de Part´ıculas 9.1 Quest˜oes 24 de Junho de 2003, a` s 2:00 p.m. >=@? ?B& (# #2& > = & C ! *& $ $ e , 4 A (=ED (a)DSejam & F* ! & 4 A as coordenadas (em metros) das trˆ e s CA ? , part´ıculas cujas respectivas massas designamos por $ e D . Ent˜ao a coordenada = do centro de massa e´ = Q 9-2 Qual a localizac¸a˜ o do centro de massa da atmosfera da Terra? ? = ? $ = $ ? $ G # (1; #8&BH!2 #8& ) # 1; # D = D D ? 5 ? $ $ G A ? $ D # I1) #2&BF*J #2& 5 ; # 1) # D A 5 Problemas e Exerc´ıcios #2&'I*J #2& # 5 enquanto que a coordenada A e´ A 9.2 A !K! m D #8&BH!2 #8& # !2 m (b) A medida que a massa da part´ıcula de cima e´ aumentada o centro de massa desloca-se em direc¸a˜ o a aquela part´ıcula. No limite, quando a part´ıcula de cima for muiE 9-1 (9-1/6 edic¸a˜ o) to mais massiva que as outras, o centro de massa coin(a) A que distˆancia o centro de massa do sistema Terra- cidir´a com a posic¸a˜ o dela. Lua se encontra do centro da Terra? (Use os valores das massas da Terra e da Lua e da distˆancia entre os dois astros que aparecem no Apˆendice C.) (b) Expresse E 9-12 L (9-9/6 ) a resposta do item (a) como uma frac¸a˜ o do raio da Terra. Uma lata em forma de cilindro reto de massa M , al (a) Escolha a origem no centro da Terra. Ent˜ao a tura N e densidade uniforme est´a cheia de refrigerante distˆancia do centro de massa do sistema Terra-Lua (Fig. 9-30). A massa total do refrigerante e´ . Fazemos e´ dada por pequenos furos na base e na tampa da lata para drenar o conte´udo e medimos o valor de O , a distˆancia verti cal entre o centro de massa e a base da lata, para v´arias onde e´ a massa da Lua, e´ a massa da Terra, a situac¸o˜ es. Qual e´ o valor de O para (a) a lata cheia e (b) a lata vazia? (c) O que acontece com O enquanto a = e´ a separac¸a˜ o m´edia entre Terra e Lua. Tais valores lata est´ a sendo esvaziada? (d) Se e ´ a altura do l´ıquido encontram-se no Apˆendice C. Em n´umeros temos, que resta em um determinado instante, determine o va= "!#$%$'&'()+* "!#,& lor de (em func¸a˜ o de M , N e ) no momento em que -!# $%$ /. 021 -!# $43 o centro de massa se encontra o mais pr´oximo poss´ıvel -!#6 da base da lata. 5 5 m ) 89:!# 6 (a) Como a lata e´ uniforme seu centro de massa est´a (b) O raio da Terra e´ 7 m, de modo que localizado no seu centro geom´etrico, a uma distˆancia * temos acima da sua base. O centro de massa do refri N P "!# 6 #;+<) 5 5 gerante est´ a no seu centro geom´etrico, a uma distˆancia = * ; 9"!# 6 P acima da base da lata.* Quando a lata est´a cheia tal 7 posic¸a˜ o coincide com NQP . Portanto o centro de massa da lata e com o refrigerante que ela cont´em est´a a uma distˆancia E 9-3 (9-3/6 ) 9.2.1 O Centro de Massa *2& *& G NQP (a) Quais s˜ao as coordenadas do centro de massa das trˆes M NQP N * R O part´ıculas que aparecem na Fig. 9-22? (b) O que aconM G tece com o centro de massa quando a massa da part´ıcula de cima aumenta gradualmente? acima da base, sobre o eixo do cilindro. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Junho de 2003, a` s 2:00 p.m. (b) Consideramos * agora a lata sozinha. O centro de massa est´a em NQP acima da base, sobre o eixo do cilindro. = (c) A medida que decresce o centro de massa do refrigerante * na lata primeiramente diminui, depois cresce at´e NQP novamente. (d) Quando a superf´ ıcie superior do refrigerante est´a a = uma distˆancia acima da base da (= & lata a massa do frePTN , onde e´ a massa frigerante na lata e´ S = quando a lata est´a cheia ( UN ). O centro = * de massa do refrigerante apenas est´a a uma distˆancia P da base da lata. Logo O d e e d a massa e a velocidade do Galaxy e Sejam f e e f a massa e velocidade do Escort. Ent˜ao, con- forme a Eq. (9-19), a velocidade do centro de massa e´ dada por e< d e d G f e f d:G f F* #2#2&'(1#8& H !#2#2&BI#8& 5 * #2# !2 ## 5 <* km/h Note que as duas velocidades est˜ao no mesmo sentido, de modo que ambos termos no numerador tem o mesmo sinal. As unidades usadas n˜ao s˜ao do Sistema Internacional. *& S > = 2 * & P S M *& >= & ( = *& M NP PTN P = M PTN $ =E$ MVN *) =W& MVN G M km/h. Qual a velocidade do centro de massa dos dois carros? NP E 9-20 (9-15/6 ) Um proj´etil e´ disparado por um canh˜ao com uma *<# 2#2velog cidade inicial de m/s. O aˆ ngulo do disparo e´ em Encontramos a posic¸a˜ o mais baixa do centro de massa relac¸a˜ o a` horizontal. Quando chega ao ponto mais alda lata com refrigerante igualando a zero a = derivada de O = to da trajet´oria, o proj´etil explode em dois fragmentos em relac¸a˜ o a e resolvendo em relac¸a˜ o a . A derivada de massas iguais (Fig. 9-33). Um dos fragmentos, cue´ dada por ja velocidade imediatamente ap´os a explos˜ao e´ zero, cai * = $ =W$& X verticalmente. A que distˆancia do canh˜ao o outro fragO MVN *) =[& Y *; = & $ [ X = mento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano e MVNZY MVN = $ a resistˆencia do ar possa ser desprezada? $=E$ * M *) $B=E$ A soluc¸a˜ o de = MVN N Y M G = & $ [ * MVN N M \ = $ N YGM ! ^] Y N ! # e´ M`_ = Usamos a soluc¸a˜ o positiva pois e´= positivo. Substituindo-se agora o valor de ne express˜ao de O acima, ou seja, em OQ $ = $ E MVN *; = & W MVN G Precisamos determinar as coordenadas do ponto de explos˜ao e a velocidade do fragmento que n˜ao cai reto para baixo. Tais dados s˜ao as condic¸o˜ es iniciais para um problema de movimento de proj´eteis, para determinar onde o segundo fragmento aterrisa. Consideremos primeiramente o movimento do proj´etil original, at´e o instante da explos˜ao. Tomemos como ori= gem o ponto de disparo, com o eixo tomado horizontal e o eixo A vertical, positivo para cima. A componente A da velocidade e´ dada por eh i eTj%kYm & l8n e e´ zero no eTjTPl senqrj , onde eTj instante de tempo no peTj%k8Pl- e´ a velocidade inicial e qrj e´ o aˆ ngulo de disparo. As coordenadas do ponto mais alto s˜ao = e simplificando, encontramos finalmente que OQ NaM b ] ! M seTjutTnv !c Y E 9-14 (9-11/6 ) w eTjyx'z2{JqrjB|En * #2# Um velho Galaxy com uma massa de 5 kg est´a via1# jando por uma estrada reta a km/h. Ele e ´ seguido por !## 2# um Escort com uma massa de kg viajando a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas &C$ e j senq j 'x z2{Jq j l F*<#8&H$ # g 2# g 0; 1 sen 'x z2{ e A ! e j kTnY * l8n !T} m $ P´agina 3 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS ! * * $ $ e j sen q j l ! F*<#8&H$ 0; 1 sen 24 de Junho de 2003, a` s 2:00 p.m. $ 2# g ! . m Como ent˜ao nenhuma forc¸a horizontal atua, a componente horizontal do momento e´ conservada. Como um dos fragmentos tem velocidade zero ap´os a explos˜ao, o momento do outro fragmento tem que ser igual ao momento do proj´etil originalmente disparado. A componente horizontal da velocidade do proj´etil original e´ e j xBz2{)q j . Chamemos de M a massa do proj´etil inicial e de ~)j a velocidade do fragmento que se move horizontalmente ap´os a explos˜ao. Assim sendo, temos M~;j * Me j xBz8{Jq j (a) Escolha o centro do sistema de coordenadas co= mo sendo o centro da roldana, com o eixo horizontal e para a direita e com o eixo A para baixo. O centro de = # massa est´a a meio caminho entre os sacos, em e Z , onde e ´ a distˆ a ncia vertical desde o centro da A roldana at´e qualquer um dos sacos. *<# g transferidas do saco da esquerda12# para (b) Suponha o saco da=[?direita.* O saco da esquerda tem massa 5 ge . mm. O saco a` direita tem massa . *# est´a em Y = * = g e est´a em $ . mm. A coordenada do centro de massa e´ ent˜ao = ?=@? G $ = $ ? G $ 1#8&B * . & . * #2&' * . & 5 Y *<# m. *<# 5 ! # mm * * uma vez que a massa do fragmento em quest˜ao e´ MUP . A coordenada A ainda e´ . O centro de massa est´a a mm do saco mais leve, ao longo da linha que une os dois Isto significa que corpos. * ~ j e j xBz2{)q j (c) Quando soltos, o saco maispesado move-se para baixo e o saco mais leve move-se para cima, de modo que *)F*<#8& # g *<# m/s xBz8{ o centro de massa, que deve permanecer mais perto do saco mais pesado, move-se para baixo. Agora considere um proj´etil lanc¸ado horizontalmente no # *<# (d) Como os sacos est˜ao conectados pela corda, que pasinstante na com velocidade do >= & de C!r}m/s ! . a 8partir & sa pela rolsdana, suas acelerac¸o˜ es tem a mesma magniponto com coordenadas j CA j m. Sua $ * tude mas direc¸o˜ es opostas. Se? e´ a acelerac¸a˜ o de $ , j coordenada A e´ dada por , e quando # A A Yln P ent˜ao Y e´ a acelerac¸a˜ o de . A acelerac¸a˜ o do centro ele aterrisa temos A . O =tempo at´e a aterrisagem e´ * de massa e´ n A jTPl e a coordenada do ponto de aterrisagem $ Y ? ?T Y & $ e´ = = j ~;j'nv = j !r} ~)j ] *# ] * l A j *;H! . 8& 0) 1 . m E 9-21 (9-17/6 ) Dois sacos idˆenticos de ac¸u´ car s˜ao ligados por uma corda de massa desprez´ıvel que passa por # uma roldana sem atrito, de massa desprez´ıvel, com . mm de diˆametro. Os dois sacos est˜ao no mesmo #n´# ıvel e cada um possui originalmente uma massa de . g. (a) Determine a posic¸a˜ o horizontal do centro de massa do sistema. (b) *<# Suponha que g de ac¸u´ car s˜ao transferidos de um saco para o outro, mas os sacos s˜ao mantidos nas posic¸ oes originais. Determina a nova posic¸a˜ o horizontal do centro de massa. (c) Os dois sacos s˜ao liberados. Em que direc¸a˜ o se move o centro de massa? (d) Qual e´ a sua acelerac¸a˜ o? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ? $ ^ ? $ Precisamos recorrer s` egunda lei de Newton para encontrar? a acelerac¸a˜ o de cada saco. A forc¸a da gravidade l , para baixo, e a tens˜ao na corda, para cima, atuam no saco mais leve. A segunda lei para tal saco e´ ? lY-U VY ? O sinal negativo aparece no lado direito porque e´ a acelerac¸a˜ o do saco mais pesado (que q˜ao e´ o que estamos considerando!). As mesma forc¸as atuam no saco mais pesado e para ele a segunda lei de Newton fornece $ lY" $ ? A primeira equac¸a˜ o fornece-nos l h quando substituida na segunda equac¸a˜ o produz ? que B? & $ Y l ? G $ P´agina 4 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Junho de 2003, a` s 2:00 p.m. Portanto, substituindo na equac¸a˜ o para , encontramos que 8 l B? &C$ $ Y ? & $ $ (0) 12&' . *<# 1#2&C$ Y-5 12# /. *<#2& $ 5 #; #;! m/s $ A acelerac¸a˜ o e´ para baixo. I*#2&BI2& . B& (8& Y *<# m. I*<#8&BF*J & 5 #21 5 m = = Observe que usamos F . E´ estritamente necess´ario fazer-se isto? Se n˜ao for, qual a vantagem de se faze-lo?... 9.2.2 O Momento Linear E 9-22 (9-19/6 ) *<# E 9-23 (9-??/6 ) . Um cachorro kg que se de kg est´a em um bote de Qual o momento linear de encontra a m da 11 um autom´ovel que pesa *) margem (que fica a` esquerda na Fig. 9- !) ##2# N e est´a viajando a km/h? 34a). Ele anda 5 m no barco, em direc¸a˜ o a` margem, e depois p´ara. O atrito entre o bote e a a´ gua e´ desprez´ıvel. A “moral” deste problema e´ cuidar com as unidades A que distˆancia da margem est´a o cachorro depois da empregadas: caminhada? (Sugest˜ao: Veja a Fig. 9-34b. O cachorro D !2##2# 11"!# se move para a esquerda; o bote se desloca para a di2*1)! e 0; 1 2#2# kg m/s reita; e o centro de massa do sistema cachorro+barco? Ser´a que ele se move?) na direc¸a˜ o do movimento. = Escolha o eixo como sendo horizontal, com a origem na margem, e apontanto para a direita na Fig. 9= 34a. Seja a massa do bote e I sua coordenada ini- E 9-24 (9-21/6 ) = 1# cial. Seja a massa do cachorro e sua coordenada Suponha que sua massa e´ de kg. Com que velociinicial. A coordenada do centro de massa e´ ent˜ao dade teria que correr para ter o mesmo momento linear !#2# !+* = FW = kg viajando a km/h? que um autom´ovel de = Chamando de e e a massa e a velocidade do car Agora o cachorro caminha uma distˆancia para a es- ro, e de e e a “sua” massa e velocidade temos, grac¸as a` conservac¸a˜ o do momento linear, querda do bote. = F Como a diferenc¸a entre a coordenada = D C!#2#2&'H!+*-!# & final do bote= e = a coordenada final do cachorro e ) 8 X X (1#8&BI#2#2& e m/s e´ , ou seja Y , a coordenada do centro de massa pode tamb´em ser escrita como = = Poder´ıamos tamb´em deixar a resposta em km/h: = X X G = = Como nenhuma forc¸a horizontal externa atua no sistema bote-cachorro, a velocidade do centro de massa n˜ao pode mudar. Como o bote e o cachorro estavam inicialmente em repouso, a velocidade do centro de massa e´ zero. O centro de massa permance na mesma posic¸a˜ o = e, portanto, as duas express˜oes acima para devem ser iguais. Isto significa que = FW = = Isolando-se = = X G = obtemos = F W = Y G X http://www.if.ufrgs.br/ jgallas e e H!##8&BC!+*& 1# * 5 km/h Perceba a importˆancia de fornecer as unidades ao dar sua resposta. Este u´ ltimo valor n˜ao est´a no SI, claro. E 9-25 (9-20/6 ) 1)! Com que velocidade deve viajar um Volkswagen de kg (a) para linear que um Ca*< ter # o mesmo momento ! dillac de . kg viajando a km/h e (b) para ter a mesma energia cin´etica? (a) O momento ser´a o mesmo se : e donde tiramos que e e *< . # 1)! H!2& e< , . ! 0 km/h P´agina 5 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS ! 24 de Junho de 2003, a` s 2:00 p.m. * (b) Desconsiderando o fator $ P , igualdade de energia onde o sub´ındice refere-se a` pedra e o sub´ındice O $ e , ou seja, cin´atica implica termos refere-se ao homem. Desta express˜ao vemos que e e ] e * . # 1;! ] C!2& *<1; 12 km/h e ¡ e ¡ Y I#)}T#2&'(; 02#2& !#2# Y Y #; #8*2 m/s E 9-26 (9-??/6 ) onde o sinal negativo indica que o homem move-se no sentido oposto ao da pedra. Note que o sentido da pedra Qual o momento um #) 002linear *Jde 08 -!el´ # e, tron viajando a uma foi implicitamente tomado como positivo. Note ainda velocidade de ( m/s)? que a raz˜ao das massas coincide com a raz˜ao dos pesos. Como a velocidade do el´etron n˜ao e´ de modo algum pequena comparada com a velocidade da luz, faz-se necess´ario aqui usar a equac¸a˜ o relativistica para o mo- E 9-36 (9-29/6 ) *J mento linear, conforme dada pela Eq. 9-24: Um homem de . kg est´a viajando em uma carroc¸a a e m/s. Ele salta para fora da carroc¸a de modo a ficar com ! velocidade horizontal zero. Qual a variac¸a˜ o resultante YVu na velocidade da carroc¸a? Du? (0;!2!-!#J ! (#; 0202& $ Y ? ! 0)!T9"!# W$ &'I*J 08!#2,'& kg m/s Sem o fator relativ´ıstico ter´ıamos achado D? I0)K!!o-!# E ou seja, um valor &BI*) 0-!# , & O momento linear total do sistema home-carroc¸a e´ conservado pois n˜ao atuam forc¸as externas com componentes horizontais no sistema. Chamemos de a massa da carroc¸a, e a sua velocidade inicial, e e sua velocidade final (ap´os o homem haver pulado fora). Seja ¡ a massa do homem. Sua velocidade inicial e´ a mesma da carroc¸a e sua velocidade final e´ zero. Portanto a conservac¸a˜ o do momento nos fornece *)+<# . "!# [$4$ kg m/s 9 ! PJ ! Y I#) 008& $ & vezes menor: E 9.2.3 Conservac¸a˜ o do Momento Linear ¡ G & e e de onde tiramos a velocidade final da carroc¸a: e e ¡ & F*J 2&B . 20 08& )} ;+ m/s *) A velocidade da carroc¸a aumenta por Y ¢5 5 m/s. De modo a reduzir sua velocidade o homem faz E 9-33 (9-27/6 ) com que a carroc¸a puxe-o para tr´as, de modo que a !## Um homem de kg, de p´e em uma superf´ı#)cie de atrito carroc¸a seja impulsionada para a frente. }T# desprez´ıvel, d´a um chute em uma pedra de ; 02kg, fa# zendo com que ela adquira uma velocidade de m/s. E 9-38 (9-33/6 ) Qual a velocidade do homem depois do chute? O u´ ltimo est´agio T2#de # um foguete est´a viajando com uma m/s. Este u´ ltimo est´agio e´ feito de Como nenhuma forc¸a com componente horizontal atua velocidade de um tanque de comno sistema homem-pedra, o momento total e´ conserva- duas partes presas por uma trava: *0# kg e uma c´apsula de do. Como tanto o homem como a pedra est˜ao em repou- bust´ıvel com uma massa de ! . # kg. Quando a traso no in´ıcio, o momento total e´ zero antes bem como instrumentos com uma massa de va e´ acionada, uma mola comprimida faz com que as depois do chute, ou seja duas partes se separem com uma velocidade relativa de 0;!# R e ¡ e ¡ # m/s. (a) Qual a velocidade das duas partes depois http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 6 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Junho de 2003, a` s 2:00 p.m. ? "!# j !+*2 . que elas se separam? Suponha que todas as velocidaJ des tˆem a mesma direc¸a˜ o. (b) Calcule a energia cin´etica total das duas partes antes e depois de se separarem e A energia cin´etica total aumentou levemente. Isto devese a` convers˜ao da energia potencial el´astica armazenada explique a diferenc¸a (se houver). na trava (mola comprimida) em energia cin´etica das par (a) Suponha que nenhuma forc¸a externa atue no site- tes do foguete. ma composto pelas duas partes no u´ ltimo est´agio. O momento total do sistema e´ conservado. Seja £ a massa do tanque e a massa da c´apsula. Inicialmente ambas E 9-39 (9-39/6 ) est˜ao viajando com a mesma velocidade e . Ap´os a trava Uma caldeira explode, partindo-se em trˆes pedac¸os. ser acionada, £ tem uma velocidade e £ enquanto que tem uma velocidade e . Conservac¸a˜ o do momento Dois pedac¸os, de massas iguais, s˜ao arremessados em trajet´orias perpendiculares entre si, com a mesma velo# fornece-nos cidade de m/s. O terceiro pedac¸o tem uma massa £ / & £ £ trˆes vezes a de um dos outros pedac¸os. Qual o m´odulo, e¤ e e direc¸a˜ o e sentido de sua velocidade logo ap´os a exAp´os a trava ser solta, a c´apsula (que tem menos massa) plos˜ao? viaja com maior velocidade e podemos escrever Suponha que n˜ao haja forc¸a externa atuando, de modo e Ue £¥ e S¦§ que o momento linear do sistema de trˆes pec¸as seja conservado. Como o momentum antes da explos˜ao era zero, onde e S¦§ e´ a velocidade relativa. Substituindo esta ex- ele tamb´em o e´ ap´os a explos˜ao. Isto significa que o vepress˜ao na equac¸a˜ o da conservac¸a˜ o do momento obte- tor velocidade dos trˆes pedac¸os est˜ao todos num mesmo plano. mos Escolha um sistema de coordenadas XY, com o eixo ver Q£@G & S¦§ £ ¥ £ G tical sendo o eixo A , positivo para cima. A partir da e¤ e e e origem deste diagrama, desenhe na direc¸a˜ o negativa do de modo que eixo X o vetor © , correspondente ao momento da par´ıcula mais pesada. Os dois outros momentos s˜ao re-? £@ & eY e S%¦§ presentados por vetores Qª apontando num aˆ ngulo q e £ no primeiro quadrante e q $ no quarto quadrante, de mo? 02#2g $ do que (condic ¸a˜ o do problema). q q £ S ¦ § Como a componente vertical do momento deve conser eY £ G e var-se, temos com as convenc¸o˜ es acima, que T#2# Y ! . # I0)!#8& *<02# ! . # *<0# m/s ? e senq Y e S¦§ *<0# 0)!# 12*## m/s ~ (b) A energia cin´etica total antes da soltura da trava e´ ! ¨ £@ & $ e * ! * I*<02# ! . #2&'F<##8& $ ? !2 *8!o-!# j ! ¨ ! $ $ £ £ * * e e ! ! I*0#EF<*0#8& $ H ! . #2&'(12*##8& $ * * http://www.if.ufrgs.br/ jgallas * ? e¬xBz8{Jq Consequentemente, a velocidade ~ A energia cin´etica total ap´os a soltura da trava e´ # onde e e´ a velocidade dos pedac¸os menores. Portan? $ e, como to? devemos02#2necessariamente ter que q « q g ? g , temos que q = q $ s5 . . q q $ Conservac¸a˜ o da componente do momento produz A velocidade final da c´apsula e´ £ e Ue e senq $ J * ~ exBz8{Jq ? * (2#2& do pedac¸o maior e´ g x'z2{5 . ! 5 m/s = no sentido negativo do eixo . O aˆ ngulo entre o vetor velocidade do pedac¸o maior e qualquer um dos pedac¸os menores e´ !1# g g Y"5 . ! . g P´agina 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Junho de 2003, a` s 2:00 p.m. 9.2.4 Sistemas de Massa Vari´avel: Um Foguete A massa do foguete ap´os a queima e´ M ·M YGM g I*) .2. E 9-48 (9-41/6 ) ! Y !2 *#2&-!# ² "!# ² . 2#02# kg Uma sonda espacial de !# kg, viajando para J´upiter . com uma velocidade 1de m/s em relac¸a˜ o ao Sol, acio- (c) Como a velocidade inicial e´ zero, a velocidade final # na o* motor, ejetando kg de gases com uma velocidade e´ dada por de . m/s em relac¸a˜ o a` sonda. Supondo que os gases M s˜ao ejetados no sentido oposto ao do movimento inicial e ®¸¯K° da sonda, qual a sua velocidade final? M Ignore a forc¸a gravitacional de J´upiter e use a Eq. (947) do livro texto. Se e e´ a velocidade inicial, M e´ a massa inicial, e e´ velocidade final, M e´ a massa final, e ® e´ a velocidade do g´as de exaust˜ao, ent˜ao e se Neste temos M 1# problema #;!# kg. Portanto e !# .± ®¯° M M #20# D ()+*2"!# *J #1 -!# D & *J .. -!# ² c K¯ ° b ! . -!# ² m/s kg e M #02# c * . ¯K° b #)!# !#21 #02# m/s E 9-49 (9-43/6 ) Y E 9-56 (9-47/6 ) Duas longas barcac¸as est˜ao viajando na mesma direc¸a˜ o e no mesmo sentido!# em a´ guas tranq¨uilas; uma com uma*# velocidade de km/h, a outro com velocidade de km/h. Quando est˜ao passando uma pela outra, oper´arios jogam !##2# carv˜ao da mais lenta para a mais r´apida, a` raz˜ao de kg por minuto; veja a Fig. 9-38. Qual a forc¸a adicional que deve ser fornecida pelos motores das duas barcac¸as para que continuem a viajar com as mesmas velocidades? Suponha que a transferˆencia de carv˜ao se d´a perpendicularmente a` direc¸a˜ o de movimento da barcac¸a mais lenta e que a forc¸a de atrito entre as embarcac¸o˜ es e a a´ gua n˜ao depende do seu peso. Um foguete em repouso no espac¸o, em uma regi˜ao em que*)a forc ¸ a gravitacional !e´ 1)desprez´ ıvel, tem uma massa 9!#² !9!#² de .2. kg, da qual kg s˜ao combust´ ıvel. 1# O consumo de combust´ıvel do motor e´ de )5 +*2 kg/s e a velocidade de escapamento* dos gases e´ de km/s. O . # motor e´ acionado durante s. (a) Determine o empuxo do foguete. (b) Qual e´ a massa do foguete depois 9.2.5 Sistemas de Part´ıculas: Variac¸o˜ es na Energia que o motor e´ desligado? (c) Qual e´ a velocidade final Cin´etica do foguete? (a) Como se ve no texto logo abaixo da Eq. 9-46, o empuxo do foguete e´ dado por ³ U7´® , onde 7 e´ a taxa E 9-60 (9-55/6 ) de consumo de combust´ıvel e ® e´ a velocidade1do # gas Uma mulher de .2. kg se agacha e depois salta para cima D presente problema temos 7µ 5 kg e exaustado. No )+*2"!# na vertical. Na posic¸a˜ o agachada, seu centro de massa ® m/s, de modo que # D est´a 5 cm acima do piso; quando seus p´es deixam o 02# 1#8&B(; *8-!# & ! . "!# 6 ch˜ao, o centro de massa est´a !r*<# cm acima do piso; no ³ ^7´®Q 5 N ponto mais alto do salto, est´a cm acima do piso. (a) (b) A massa do combust´ıvel ejetado e´ dada por Qual a forc¸a m´edia exercida sobre a mulher pelo piso, M g 7¶n , onde ¶n e´ o intervalo de tempo da quei- enquanto h´a contato entre ambos? (b) Qual a velocidama de combust´ıvel. Portanto de m´axima atingida pela mulher? M g 1 #8&BI* . #8& 5 !+*<# "!# ² kg http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 8 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Outubro de 2003, a` s 10:17 Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 10 Colis˜oes 10.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 10.2.1 Impulso e Momento Linear . . . 2 2 2 2 10.2.2 Colis˜oes El´asticas em Uma Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Colis˜oes Inel´asticas em Uma Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Colis˜oes em Duas Dimens˜oes . 10.2.5 Problemas Adicionais . . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 4 6 7 7 jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex) P´agina 1 de 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 10 Colis˜oes 30 de Outubro de 2003, a` s 10:17 Resolvendo para , obtemos 10.1 Quest˜oes Q 10-1 Explique como a conservac¸a˜ o de energia se aplica a uma bola quicando numa parede. 1 & * * )2 !3# (' ' + - , -54 ) m/s A velocidade final da bola e´ 4 ) m/s. P 10-12 (10-9/6 ) Um carro de ' kg, deslocando-se a 6 m/s, est´a inicialmente viajando para o norte, no sentido positivo do eixo 7 . Ap´os completar uma curva a` direita de 89 para o sentido positivo do eixo : em '; 4 s, o distraido motorista investe para cima de uma a´ rvore, que p´ara o carro 10.2 Problemas e Exerc´ıcios em 6 ms. Em notac¸a˜ o de vetores unit´arios, qual e´ o impulso sobre o carro (a) durante a curva e (b) durante 10.2.1 Impulso e Momento Linear a colis˜ao? Qual a intensidade da forc¸a m´edia que age sobre o carro (c) durante a colis˜ao? (e) Qual e´ o aˆ ngulo entre a forc¸a m´edia em (c) e o sentido positivo do eixo E 10-3 (10-1/6 edic¸a˜ o) : ? Um taco de sinuca atinge uma bola, exercendo uma (a) O momento inicial do carro e´ forc¸a m´edia de N em um intervalo de ms. Se a bola tivesse massa de kg, que velocidade ela teria < =>? ' " 6A@B )C' kgD m/sA@ + ap´os o impacto? Se for a magnitude da forc¸a m´edia ent˜ao a magni- e o momento final e´ )E' kgD m/sGF . O impulso que nele tude do impulso e´ , onde e´ o intervalo de atua e´ igual a` variac¸a˜ o de momento: tempo durante o qual a forc¸a e´ exercida (veja Eq. 10-8). H Este impulso iguala a magnitude da troca de momen < , - < +I )E' kgD m/s F - @CJ tum da bola e como a bola est´a inicialmente em repouso, iguala a magnitude do momento final. Resolvendo (b) O momento inicial do carro e´ < + )C' kgD m/sKF < a euqac¸a˜ o para encontramos e o momento final e´ , L . O impulso atuando sobre ele e´ "!$# % " m/s H < , - < +I - )C' kgD m/sKF E 10-9 (10-5/6 ) (c) A forc¸a m´edia que atua no carro e´ H M < JN )C' kgD m/s F - @E 'O 4 4 N F - @C Uma forc¸a com valor m´edio de & N e´ aplicada a uma bola de ac¸o de ' kg, que se desloca a (' m/s, em uma colis˜ao que dura *) ms. Se a forc¸a estivesse no sentido oposto ao da velocidade inicial da bola, encontre a velocidade final da bola. Considere a direc¸a˜ o inicial do movimento como po sitiva e chame de a magnitude da forc¸a m´edia, a e sua magnitude e´ PN 4 NRQ 2S 6 N. durac¸a˜ o da forc¸a, a massa da bola, + a velocidade (d) A forc¸a m´edia e´ inicial da bola, , a velocidade final da bola. Ent˜ao a H M forc¸a atua na direc¸a˜ o negativa e o teorema do impulso PN momento fornece )E' kgD m/sGF - ./0 , - + 6?& !3# http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 de 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS "T2 U NVF 30 de Outubro de 2003, a` s 10:17 na direc¸a˜ o da parede. (b) A energia cin´etica dum chumbinho e´ M % "TW?& U N. e sua magnitude e´ f PN 0gbB !3# Kb5S J (e) A forc¸a m´edia e´ dada acima em notac¸a˜ o vetorial unit´aria. Suas componentes : e 7 tem magnitudes iguais. A componente : e´ positiva e a componente 7 (c) A forc¸a na parede e´ dada pela taxa na qual o momene´ negativa, de modo que a forc¸a est´a a '* 9 abaixo do to e´ transferido dos chumbinhos para a parede. Como d eixo : . os chumbinhos n˜ao voltam para tr´as, cada chumbinho transfere h kgD m/s. Se i chumbinhos colidem P 10-13 (10-??/6 ) num tempo ent˜ao a taxa m´edia com que o momento A forc¸a sobre um objeto de kg aumenta uniforme- e´ transferido e´ d mente de zero a N em ' s. Qual e´ a velocidade final i do objeto se ele partiu do repouso? &.Z& N P N 1 Tome a magnitude da forc¸a como sendo XSY5 , onde Y e´ uma constante de proporcionalidade. A condic¸a˜ o A forc¸a na parede tem a direc¸a˜ o da velocidade inicial que ZS N quando /' s conduz a dos chumbinhos. (d) Se 1 e´ o intervalo de tempo para um chumbinho YS NR[ ' s\XC " N/s ser freado pela parede, ent˜ao a forc¸a m´edia exercida na parede por chumbinho e´ A magnitude do impulso exercido no objeto e´ d ^ ^ U U ] Y5GbOc U_ j 444 44 N _ %`. _ Y5V`a c 4 P N ; !3# c C " '* b A forc¸a tem a direc¸a˜ o da velocidade inicial do chumbi nho. ND s (e) Na parte (d) a forc¸a foi mediada durante o intervalo em que um chumbinho est´a em contato com a parede, A magnitude deste impulso e´ igual a` magnitude da enquanto na parte (c) ela foi mediada durante o intervalo variac¸a˜ o do momento do objeto ou, como o objeto parde tempo no qual muitos chumbinhos atingem a parede. tiu do repouso, e´ igual magnitude ` do momento final: Na maior parte do tempo nenhum chumbinho est´a em ]= , . Portanto contato com a parede, de modo que a forc¸a m´edia na & parte (c) e´ muito menor que a m´edia em (d). , X& m/s P 10-26 (10-15/6 ) P 10-14 (10-13/6 ) Uma arma de ar comprimido atira dez chumbinhos de g por segundo com uma velocidade de m/s, que s˜ao detidos por uma parede r´ıgida. (a) Qual e´ o momento linear de cada chumbinho? (b) Qual e´ a energia cin´etica de cada um? (c) Qual e´ a forc¸a m´edia exercida pelo fluxo de chumbinhos sobre a parede? (d) Se cada chumbinho permanecer em contato com a parede por 4 ms, qual ser´a a forc¸a m´edia exercida sobre a parede por cada um deles enquanto estiver em contato? (e) Por que esta forc¸a e´ t˜ao diferente da forc¸a em (c)? (a) Se for a massa dum chumbinho e for sua velocidade quando ele atinge a parede, ent˜ao o momento e´ d / !3# Z kgD m/se http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Uma espac¸onave e´ separada em duas partes detonandose as ligac¸o˜ es explosivas que as mantinham juntas. As massas das partes s˜ao & e &k kg; o m´odulo do impulso sobre cada parte e´ de 6 ND s. Com que velocidade relativa as duas partes se separam? Consideremos primeiro a parte mais leve. Suponha que o impulso tenha magnitude e esteja no sentido positivo. Seja ml , l a massa e a velocidade da parte mais leve ap´os as ligac¸o˜ es explodirem. Suponha que ambas as partes est˜ao em repouso antes da explos˜ao. Ent˜ao, n / l l , de modo que l ml 6 S m/s C P´agina 3 de 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Outubro de 2003, a` s 10:17 O impulso na parte mais pesada tem a mesma magnitu- Suponha que a velocidade inicial do bloco de " ' kg sede mas no sentido oposto, de modo que - %h , ja oposta a` exibida. Ap´os a colis˜ao, a velocidade > do b b onde , s˜ao a massa e a velocidade da parte mais bloco de 4 kg pode estar no sentido ilustrado? b b pesada. Portanto (a) Seja l , Kl + e lR, a massa e a velocidade inicial e final do bloco a` esquerda, e , + e , as corres6 b b b - T 4 ) m/s pondentes grandezas do bloco a` direita. O momento do b &k b sistema composto pelos dois blocos e´ conservado, de modo que A velocidade relativa das partes ap´os a explos˜ao e´ - T 4 ) V=; 'OC) m/s mlxlK+Ouy +z/]lPlK,wuy ,Oe b b b b donde tiramos que lR, P 10-28 (10-38/6 ) A espac¸onave Voyager 2 (de massa e velocidade relativa ao Sol) aproxima-se do planeta J´upiter (de masn sa e velocidade o relativa ao Sol) como mostra a Fig. 10-33. A espac¸onave rodeia o planeta e parte no sentido oposto. Qual e´ a sua velocidade, em relac¸a˜ o ao Sol, ap´os este encontro com efeito estilingue? Considera pqC km/s e orq6 km/s (a velocidade orbital de J´upiter). A massa de J´upiter e´ muito maior do que a nts da espac¸onave; . (Para informac¸o˜ es adicionais, veja “The slingshot effect: explanation and analogies”, de Albert A. Bartlett e Charles W. Hord, The Physics Teacher, novembro de 1985.) Considere o encontro num sistema de referˆencia fixo em J´upiter. Quando eventuais perdas de energia forem desprez´ıveis, o encontro pode ser pensado como uma colis˜ao el´astica na qual a espac¸onave emerge da “colis˜ao” com uma velocidade de mesma magnitude que a velocidade que possuia antes do encontro. Como a velocidade inicial da espac¸onave e´ + - , b b b b l mlxlK+3u{ 5u " ' " - 'O 8*}BX 8 m/s 45| O bloco continua andando para a direita ap´os a colis˜ao. (b) Para ver se a colis˜ao e´ inel´astica, comparamos os valores da energia cin´etica total antes e depois da colis˜ao. A energia cin´etica total ANTES da colis˜ao e´ f + l lGb + u b b b+ 4 b u 'g " b = 6 ) J A energia cin´etica total DEPOIS da colis˜ao e´ f , b b b , 4 8 b u " '* O ' 8* b = 6;~) J l lRb , u f f , , vemos que a colis˜ao e´ el´astica, Como + (c) Agora + - " m/s e b ]lPlG+$uy + - , b b b b R l , + /2uojZ& 5u=6= km/s l ' "5u - '; 8 } - " 4 m/s medida a partir de J´upiter, ela se afastar´a de J´upiter com | , km/s. Passando para o sistema original de referˆencia no qual o Sol est´a em repouso, tal velocidade e´ Como o sinal indica, a velocidade deve opor-se ao sentido mostrado. dada por *,v /,wuojS 5u=6S6k km/s E 10-33 (10-37/6 ) Um carro de 6 ' g de massa, deslocando-se em um trilho de ar linear sem atrito, a uma velocidade inicial de m/s, atinge um segundo carro de massa desconhe10.2.2 Colis˜oes El´asticas em Uma Dimens˜ao cida, inicialmente em repouso. A colis˜ao entre eles e´ el´astica. Ap´os a mesma, o primeiro carro continua em seu sentido original a 44 m/s. (a) Qual e´ a massa do E 10-29 (10-35/6 ) segundo carro? (b) Qual e´ a sua velocidade ap´os o imOs blocos da Fig. 10-34 deslizam sem atrito. (a) Qual e´ pacto? (c) Qual a velocidade do centro de massa do a velocidade > do bloco de 4 kg ap´os a colis˜ao? (b) sistema formado pelos dois carrinhos? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4 de 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Outubro de 2003, a` s 10:17 (a) Seja l , lK+ , lR, a massa e as velocidades inicial e final do carro que originalmente se move. Seja e b 6 , a massa e a velocidade final do carro originalmente " X kg b parado ( + . Ent˜ao, de acordo com a Eq. 10-18, b temos (b) A velocidade do centro de massa do sistem formado pelos dois corpos satisfaz a equac¸a˜ o ]l b lG+R lR,1 l u{ mlu{ z mlPlK+Ou{ +R b b b b Desta express˜ao obtemos para : Resolvendo para com +zS encontramos b b lK+ lR, m x l K l + * 'O * l = m/s b lR,u{lK+ l u{ " Bu/ b 4 4 6 '* g\=88 g 5u 44 E 10-37 (10-43/6 ) (b) A velocidade do segundo carro e´ dada por Duas esferas de titˆanio se aproximam frontalmente com Eml ; 6' velocidades de mesmo m´odulo e colidem elasticamente. , lG+ b l u{ 6 '*u 88 Ap´os a colis˜ao, uma das esferas, cuja massa e´ de 6 g, b permanece em repouso. Qual e´ a massa da outra esfera? 8 m/s Seja ]l , lK+ , lK, a massa e as velocidades antes e (c) A velocidade do centro de massa do sistema formado depois da colis˜ao de uma das part´ıculas e , + , , a b b b pelos dois carrinhos satisfaz a equac¸a˜ o massa e as velocidades antes e depois da colis˜ao, da ou tra part´ıcula. Ent˜ao, de acordo com a Eq. 10-28, temos l uy G z l lK+ u{ + b b b ]l - E b lK+ u b lR, + Lembrando que + / , temos b l l y u u{ b b b l lK+ 6 '* Suponha que a esfera esteja viajando originalmente no z = 86 m/s sentido positivo e fique parada ap´os a colis˜ao. A esfera ml.uy 6 '5u88 b est´a viajando originalmente no sentido negativo. SubsObserve que usamos gramas em vez de kilogramas. tituindo lK+ , + - e lK, na express˜ao b acima, obtemos /ml - 6 . Ou seja, b E 10-34 (10-41/6 ) l 6 g X g b 6 6 Um corpo de " kg de massa colide elasticamente com outro em repouso e continua a deslocar-se no sentido original com um quarto de sua velocidade original. (a) Qual e´ a massa do corpo atingido? (b) Qual a veloci- E 10-40 (10-??/6 ) dade do centro de massa do sistema formado pelos dois ATENC¸ AO ˜ : ESTE PROBLEMA FOI MAL TRADUZIDO corpos se a velocidade inicial do corpo de " kg era de NO LIVRO TEXTO . U SE A TRADUC¸ AO ˜ QUE SEGUE : '; m/s? Um elevador est´a deslocando-se para cima num poc¸o a 4 ft/s ( k6 m/s). No instante em que o elevador est´a (a) Sejam l , lG+ , lR, a massa e as velocidades antes 4 4 e depois da colis˜ao do corpo que se move originalmen- a ft (k; m) do topo, larga-se uma bola do topo do te. Sejam e , a massa e a volcidade final do corpo poc¸o. A bola quica elasticamente do teto do elevador. b b originalmente em repouso. De acordo com a Eq. 10-18 (a) A que altura ela pode elevar-se em relac¸a˜ o ao topo do poc¸o? (b) Fac¸a o mesmo problema supondo que o temos elevador esteja descendo a 4 ft/s ( k6 m/s). (Dica: a l - velocidade da bola em relac¸a˜ o ao elevador e´ meramente b lG+R lR,1 l u{ revertida pela colis˜ao.) b Nota: no sistema de unidades em quest˜ao, a acelerac¸a˜ o Resolvendo para obtemos, para lK,1=lK+[E' , b da gravidade vale /6* ft/sb . lK+ - lK, - E[C' (a) l l b lR, u{ lG+ C[C'Bu= http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 5 de 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 10.2.3 Colis˜oes Inel´asticas em Uma Dimens˜ao 30 de Outubro de 2003, a` s 10:17 de onde tiramos E u{ E 10-41 (10-23/6 ) Acredita-se que a Cratera do Meteoro, no Arizona (Fig. 10.1), tenha sido formada pelo impacto de um meteoro com a Terra h´a cerca de 20.000 anos. Estima-se a l_ kg e sua velocidade em massa do meteoro em ) m/s. Que velocidade um meteoro assim transmitiria a` Terra numa colis˜ao frontal? Seja a massa do meteoro e a massa da Terra. Seja a velocidade do meteoro imediatamente antes da colis˜ao e a velocidade da Terra (com o meteoro) ap´os a colis˜ao. O momento do sistema Terra-meteoro e´ conservado durante a colis˜ao. Portanto, no sistema de referˆencia Terra antes da colis˜ao temos uy 3e de modo que encontramos para ) uy " 8k?& 4 ?& ! ll l_ l_ b U u 8 4 S6 m/s 4 u/C P 10-53 (10-29/6 ) Um vag˜ao de carga de 6* t colide com um carrinho auxiliar que est´a em repouso. Eles se unem e *) da energia cin´etica inicial e´ dissipada em calor, som, vibrac¸o˜ es, etc. Encontre o peso do carrinho auxiliar. Seja e a massa e a velocidade inicial do vag˜ao, N N ] a massa do carrinho auxiliar e a velocidade final dos dois, depois de grudarem-se. Conservac¸a˜ o do momento total do sistema formado pelos dois carros fornece-nos { u donde tiramos N N N N N u{] N f A energia cin´etica inicial do sistema e´ + N b [ N enquanto que a energia cin´etica final e´ f m/s , N uy b b N N Para ficar mais f´acil de imaginar o que seja esta veloN N uy b 4 4 4 6 6;& 6 , cidade note que, como 6 E'm b b N N temos u{ N 4 ?& ! ll m/s 4 ?& ! ll 6 &6 4 * m/ano Como ) da energia cin´etica original e´ perdida, temos f f , =;) 6 + , ou seja, &k8 m/ano b b N N S ~)E6 N b e k8 mm/ano N N uy E´ uma velocidade MUITO dif´ıcil de se medir, n˜ao?... que, simplificada, fornece-nos [ . N N u ¡;) 6 Resolvendo para encontramos E 10-42 (10-21/6 ) Um tren´o em forma de caixa de 4 kg est´a deslocando-se sobre o gelo a uma velocidade de 8 m/s, quando um pacote de & kg e´ largado de cima para dentro dele. Qual e´ a nova velocidade do tren´o? Precisamos considerar apenas a componente horizontal do momento do tren´o e do pacote. Seja 0 , E a massa e a velocidade inicial do tren´o. Seja , a massa do pacote e velocidade final do conjunto tren´o u pacote. A componente horizontal do momento deste conjunto conserva-se de modo que EV u{3e http://www.if.ufrgs.br/ jgallas uy]x ) =; 6g)C N ~)E6 N 6*) 6* C " 8 toneladas C " 8?& # kg A raz˜ao das massas e´ , obviamente, a mesma raz˜ao dos pesos e, chamando de o peso do vag˜ao, temos que o N peso do carrinho auxiliar e´ =; 6g) N 6*) 6?& # 8; k* & 4 8; # N Observe que o resultado final n˜ao depende das velocidades em jogo. P´agina 6 de 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 10.2.4 Colis˜oes em Duas Dimens˜oes E 10-63 (10-49/6 ) 30 de Outubro de 2003, a` s 10:17 Portanto o aˆ ngulo e´ ¥ 'O&9 . b (b) Resolvendo a primeria das equac¸o˜ es de conservac¸a˜ o acima para lG+ encontramos Em um jogo de sinuca, a bola branca atinge outra ini lG+ lR, ¢(£¤"¥ l u{ , ¢J£¤ ¥ cialmente em repouso. Ap´os a colis˜ao, a branca deslocab b se a 6; m/s ao longo de uma reta em aˆ ngulo de 9 com 6; "¢J£*¤; 9 u " "¢(£¤"'O 9 'O) m/s a sua direc¸a˜ o original de movimento, e o m´odulo da velocidade da segunda bola e´ de m/s. Encontre (a) o aˆ ngulo entre a direc¸a˜ o de movimento da segunda bola e (c) A energia cin´etica inicial e´ a direc¸a˜ o de movimento original da bola branca e (b) a f velocidade original da branca. (c) A energia cin´etica se +I + b ';~) b Z 6 conserva? (a) Use a Fig. 10-20 do livro texto e considere a boA energia cin´etica final e´ la branca como sendo a massa ml e a outra bola como sendo a massa . Conservac¸a˜ o das componentes : e 7 b f do momento total do sistema formado pelas duas bolas , 0 lRb , u b , b nos fornece duas equac¸o˜ es, respectivamente: S¦ 6; b u * bP§ Sk T( lG+t lK,\¢J£¤ ¥ l\uy ,\¢J£*¤"¥ b b - lK, sen¥l.u{0 , sen¥ Portanto a energia cin´etica n˜ao e´ conservada. b b Observe que as massa podem ser simplificadas em ambas equac¸o˜ es. Usando a segunda equac¸a˜ o obtemos que lR, 6; sen ¥ sen ¥ l sen 9 S 4 4 10.2.5 Problemas Adicionais b , b http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 7 de 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 9:44 a.m. Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´udo 11 ˜ ROTAC ¸ AO 2 11.1 Question´ario . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . 11.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 2 2 9 jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex) P´agina 1 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 9:44 a.m. ˜ 11 ROTAC¸AO acelerac¸a˜ o angular constante, o ponto tem acelerac¸a˜ o radial? Tem acelerac¸a˜ o tangencial? Os m´odulos dessas acelerac¸o˜ es variam com o tempo? 11.1 Question´ario $#%& Sim, a acelerac¸a˜ o radial e´ . A acelerac¸a˜ o tangencial e´ nula nesse caso. Girando com acelerac¸a˜ o Q11-3. angular constante, o ponto da borda tem acelerac¸a˜ o raO vetor que representa a velocidade angular de rotac¸a˜ o dial e acelerac¸a˜ o tangencial , de uma roda em torno de um eixo fixo tem de estar ne- constante. cessariamente sobre este eixo? $#(') +*,-') +* .& Sim, o vetor velocidade angular define o eixo de Q11-15. rotac¸a˜ o. Mesmo quando o eixo n˜ao e´ fixo, o vetor est´a dirigido ao longo desse eixo, como no caso do movi- Qual a relac¸a˜ o entre as velocidades angulares de um par mento de um pi˜ao. A velocidade angular de precess˜ao de engrenagens acopladas, de raios diferentes? tamb´em e´ um vetor dirigido ao longo da direc¸a˜ o em Pontos da borda das engrenagens tem a mesma velotorno da qual o eixo do pi˜ao precessiona. cidade linear: . Assim, a engrenagem que tem o menor raio, tem a maior velocidade angular. Q11-8. / Por que e´ conveniente expressar em revoluc¸o˜ es por segundo ao quadrado na express˜ao e Q11-21. n˜ao na express˜ao ? A Fig. mostra uma barra de m, sendo metade de madeira e metade de metal, fixada por um eixo no Porque na equac¸a˜ o , e tamb´em ponto O da extremidade de madeira. Uma forc¸a F e´ s˜ao quantidades mensur´aveis em revoluc¸o˜ es e revo- aplicada ao ponto a da extremidade de metal. Na Fig. luc¸o˜ es por segundo, respectivamente. Mas na equac¸a˜ o , a barra e´ fixada por um eixo em na extremi, para se obter a acelerac¸a˜ o linear em m/s , dade de metal e a mesma forc¸a e´ aplicada ao ponto da deve ser expressa em radianos/s . extremidade de madeira. A acelerac¸a˜ o angular e´ a mesma para os dois casos? Se n˜ao, em que caso ela e´ maior? !" 0(021 3245 0 020(163(427 Q11-9. Um corpo r´ıgido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. E´ poss´ıvel que a acelerac¸a˜ o angular deste corpo seja diferente de zero, mesmo que a sua velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual o equivalente linear desta situac¸a˜ o? Ilustre ambas as situac¸o˜ es com exemplos. 8 9 9 A densidade dos metais e´ maior do que das madeiras, tal que na situac¸a˜ o (b), o momento de in´ercia da barra em relac¸a˜ o ao ponto e´ maior do que no caso (a). Assim, pela relac¸a˜ o , vem que . As acelerac¸o˜ es angulares n˜ao s˜ao iguais nos dois casos, sendo . <@?BADC$E?FADC/GE?BALC>M/E?FIKC Sim. Se o corpo r´ıgido for submetido a uma desacelerac¸a˜ o, sua velocidade angular eventualmente 11.2 Exerc´ıcios e Problemas ser´a nula, e depois comec¸r´a a crscer no sentido contr´ario. O equivalente linear dessa situac¸a˜ o pode ser a de um corpo jogado verticalmente para cima; sua velocida- Sec¸a˜ o 11-2 As Vari´aveis de Rotac¸a˜ o de zera no ponto mais alto da trajet´oria e ele torna a cair. 11-6P. ON2 QP T R S27D Uma roda gira com uma acelerac¸a˜ o angular dada por , onde t e´ o tempo, e a e b s˜ao consImagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere tantes. Se e´ a velocidade inicial da roda, deduza as um ponto em sua borda. O ponto tem acelerac¸a˜ o radial, equac¸o˜ es para (a) a velocidade angular e (b) o deslocaquando a roda gira com velocidade angular constan- mento angular em func¸a˜ o do tempo. te? Tem acelerac¸a˜ o tangencial? Quando ela gira com Q11-13. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 9:44 a.m. (a) Para obter a velocidade angular, basta integrar a angular do volante (em rad/s ), (b) o aˆ ngulo percorrido acelerac¸a˜ o angular dada: (em rad) at´e parar e (c) o n´umero de revoluc¸o˜ es completadas pelo volante at´e parar. UWV U > \ [ ] Y Q[ V$XZY (a) Sendo ^R_.` bacR^7 P y3(4zoqn rad/s, tem-se We {R^ En j (332np4zoqoqnn |0(ox3(4 d' +*Ee f> a Rg7 P rad/s 1 (b) O deslocamento angular e´ obtido integrando a velo(b) O aˆ ngulo percorrido e´ cidade angular: e Rj 3 Ufh U [ ] Y [ hX Y y3245n iRj / k f Q 4 l ^ R 7 Na (c) Para o n´umero de revoluc¸o˜ es }~ 3{ s y S(poq(n m') +*> f Q 4 l ^ R 7 Na 11-10P. Uma roda tem oito raios de cm. Est´a montada sobre um eixo fixo e gira a rev/s. Vocˆe pretende atirar uma flecha de cm de comprimento atrav´es da roda, paralelamente ao seu eixo, sem que a flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a flecha quan. (a) to os raios sejam muito finos; veja a Fig. Qual a velocidade m´ınima que a flecha deve ter? (b) A localizac¸a˜ o do ponto que vocˆe mira, entre o eixo e a borda da roda, tem importˆancia? Em caso afirmativo, qual a melhor localizac¸a˜ o? 35n 3poq4 S2n 0(021 3(r (a) O aˆ ngulo entre dois raios consecutivos e´ tempo necess´ario para percorrˆe-lo e´ E s@4 tHs N nmoun4 stHN eo s. A velocidade m´ınima da flecha deve ser ent˜ao v w pnnpoqoxn235n4 eN\oun rad. m/s. (b) N˜ao, se a velocidade angular permanece constante. 11-15E. O volante de um motor est´a girando a rad/s. Quando o motor e´ desligado, o volante desacelera a uma taxa constante at´e parar em s. Calcule (a) a acelerac¸a˜ o 3(4poun 35nmoun http://www.if.ufrgs.br/ jgallas } , temos revoluc¸o˜ es 1 11-23P. Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso com acelerac¸a˜ o angular constante at´e alcanc¸ar a rotac¸ a˜ o de rev/s. Depois de completar revoluc¸o˜ es, sua velocidade angular e´ rev/s. Calcule (a) a acelerac¸a˜ o angular, (b) o tempo necess´ario para completar as revoluc¸o˜ es, (c) o tempo necess´ario para alcanc¸ar a velocidade angular de rev/s e (d) o n´umero de revoluc¸o˜ es desde o repouso at´e a velocidade de rev/s. 0n r2n 04 0n r2n 0n 0n (a) A velocidade angular do disco aumenta de rad/s para rad/s no intervalo necess´ario para completar as revoluc¸o˜ es. r(n 0H4 / f 3Ei ^/ R 3 02oun(N rev/s 1 (b) O tempo necess´ario para as r(n voltas e´ ^R Nm1 s. (c) O tempo at´e alcanc¸ar 0n rad/s e´ [ m1 r3 s. P´agina 3 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 9:44 a.m. | (d) E o n´umero de voltas dadas no intervalo e´ " 3( N2 o o revoluc¸o˜ es. (b) A moeda e´ projetada tangencilamente, seguindo uma trajet´oria retil´ınea. Sec¸a˜ o 11-5 As Vari´aveis Lineares e Angulares 11-29E. Uma turbina com m de diˆametro est´a girando a rev/min. (a) Qual a velocidade angular da turbina em rad/s? (b) Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda? (c) Que acelerac¸a˜ o angular constante (rev/min ) aumentar´a a sua velocidade para rev/min em s? (d) Quantas revoluc¸o˜ es completar´a durante esse intervalo de s? 0(ox35n 35n2n 0n2n(n r2n r(n (a) A velocidade angular em rad/s e´ g K' 35n2n2(r *n 'K3@s * y35nm1 (N (b) Qualquer ponto da borda da turbina move-se a` velocidade (c) A acelerac¸a˜ o angular necess´aria e´ 3(n(n 2n(n jR 0 n(n2n 20 R^ 1n (d) O n´umero do voltas no intervalo de R " 35 r2n(n A turbina de um motor a vapor gira com uma velocidade angular constante de rev/min. Quando o vapor e´ desligado, o atrito nos mancais e a resistˆencia do ar param a turbina em h. (a) Qual a acelerac¸a˜ o angular constante da turbina, em rev/min , durante a parada? (b) Quantas revoluc¸o˜ es realiza antes de parar? (c) Qual a componente tangencial da acelerac¸a˜ o linear da part´ıcula situada a cm do eixo de rotac¸a˜ o, quando a turbina est´a girando a rev/min? (d) Em relac¸a˜ o a` part´ıcula do ´ıtem (c), qual o m´odulo da acelerac¸a˜ o linear resultante? 04(n 3zoq3 45n m/s. (4 0S23 (a) O intervalo dado corresponde a acelerac¸a˜ o angular e´ j 0(1B0S2r o min. A rev/min . (b) O n´umero de voltas at´e parar e´ 3( e 2(n(S rev/min . 021 n rad/s. v E'K3(np1 5N$*L')nm1 r2n2* 0H3z1645r 11-36P. o rev. (c) Para obter a acelerac¸a˜ o linear tangencial em unidades SI, a acelerac¸a˜ o angular deve estar expressa em rad/s . Fazendo a convers˜ao, obtemos rad/s e minuto e´ |0(1 (0npP y yp1 p00n a m/s . (d) A velocidade angular W54 rev/min corresponde a z1 4 rad/s e / iS(nm1 m0 m/s . rev. t 11-34E. Uma certa moeda de massa M e´ colocada a uma distˆancia R do centro do prato de um toca-discos. O coeficiente de atrito est´atico e´ . A velocidade angular r do toca-discos vai aumentando lentamente at´e , quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. Portanto, o m´odulo da acelerac¸a˜ o linear resultante e´ (a) Determine em func¸a˜ o das grandezas M, R, g e . m/s . (b) Fac¸a um esboc¸o mostrando a trajet´oria aproximada t r da moeda, quando e´ projetada para fora do toca-discos. (a) A moeda est´a sob a ac¸a˜ o da forc¸a centr´ıpeta y 1 Z W yS(np1 p0 11-42P. Quatro polias est˜ao conectadas por duas correias con. A polia A ( cm de forme mostrado na Fig. rad/s. A B ( cm de Quando o prato atinge a velocidade , a forc¸a cen- raio) e´ a polia motriz e gira a raio) est´a conectada a` A pela correia . A ( cm tr´ıpeta e´ igual a` m´axima forc¸a de atrito est´atico: de raio) e´ concˆentrica a` B e est´a rigidamente ligada a ela. A polia C ( cm de raio) est´a conectada a` pela o L 0(0 RWS(n 0n http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 324 0 04 0n [ p4 oun [ P´agina 4 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 19 de Setembro de 2003, a` s 9:44 a.m. correia . Calcule (a) a velocidade linear de um ponto Sec¸a˜ o 11-7 C´alculo do Momento de In´ercia na correia , (b) a velocidade angular da polia B, (c) a velocidade angular da polia , (d) a velocidade linear 11-49E. de um ponto na correia e (e) a velocidade angular da As massas e as coordenadas de quatro part´ıculas s˜ao as g, cm, cm; g, , seguintes: polia C. cm; g, cm, cm; g, cm, cm. Qual o momento de in´ercia (a) A velocidade linear de qualquer ponto da correia do conjunto em relac¸a˜ o (a) ao eixo x, (b) ao eixo y e e´ (c) ao eixo z? (d) Se as respostas para (a) e (b) forem, m/s. respectivamente, A e B, ent˜ao qual a resposta para (c) A A em func¸a˜ o de A e B? (b) A velocidade e´ a velocidade dos pontos da borda da polia , cuja velocidade angular e´ ent˜ao Este exerc´ıcio e´ uma aplicac¸a˜ o do teorema dos eixos perpendiculares, n˜ao apresentado dentro do texto. rad/s. B Este teorema e´ v´alido para distribuic¸o˜ es de massa conB tidas num plano, como placas finas. Aqui temos uma (c) As polias e giram em torno do mesmo eixo, de distribuic¸a˜ o discreta da massa no plano . Vamos indicar as massas por i e coordenadas i e i na ordem em modo que que aparecem no enunciado. rad/s. B’ B (a) Momento de in´ercia em relac¸a˜ o ao eixo : a distˆancia das part´ıculas ao eixo e´ medida no eixo (d) A velocidade linear de qualquer ponto da correia e´ 0 [ 3 45n ¡¢3zoqn £¤¢3poun 3(4 ¥ n £¤eN\oun (3 4 &R^Spoqn £Z&RjSmoun (S n |R¦3zoqn %£ Nmoqn 0 v / 0(164 | v v |0 4 [ \£ £ / |04 3 v / ynp154 m/s. (e) Os pontos da borda da polia tem velocidade linear v . Portanto, v eSm1 n rad/s. < B’ B’ C C Sec¸a˜ o 11-6 Energia Cin´etica de Rotac¸a˜ o £ £ £ P£P a£a 021 S2n24"j0n a kg m 1 x § i 8 i (b) Para o c´alculo do momento de in´ercia em relac¸a˜ o ao eixo , a distˆancia da part´ıcula ao eixo e´ medida ao longo do eixo : £ < P a P a 4z1 N4"j0n kg m 1 § y Com a relac¸a˜ o dada entre as energias cin´eticas, temos rot. 0 3 < S 3 0(1 5N .0np a 45n2n i i i 11-46P. i A mol´ecula de oxigˆenio, , tem massa total de kg e um momento de in´ercia de kg m , em relac¸a˜ o ao eixo que atravessa perpendicularmente a linha de junc¸a˜ o dos dois a´ tomos. Suponha que essa mol´ecula tenha em um g´as a velocidade de m/s (c) Para o eixo , temos e que sua energia cin´etica de rotac¸a˜ o seja dois terc¸os da com z i i energia cin´etica de transla c c˜ao. Determine sua velocii dade angular. 4z1 S. 0np q £ ¨ e W£ 1 o Os c´alculos fornecem < 021 Zj0np a kg m . (d) Somando os valores obtidos para < e < , confirma< § i i i z x y mos a relac¸a˜ o < < f< o trans. 3 0 v S 3% Introduzindo os valores de , < e v , obtemos rp154"j0n rad/s. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas z x y que podemos identificar como o teorema dos eixos perpendiculares. 11-51E. P´agina 5 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 9:44 a.m. [ [ 0 3 ª 3 « <"y< 1 Do que obtemos diretamente « < 1 Duas part´ıculas, de massa m cada uma, est˜ao ligadas entre si e a um eixo de rotac¸a˜ o em O por dois bast˜oes delgados de comprimento l e massa M cada um, conforme mostrado na Fig. . O conjunto gira em torno do eixo de rotac¸a˜ o com velocidade angular . Determine, algebricamente, as express˜oes (a) para o momento de in´ercia do conjunto em relac¸a˜ o a O e (b) para a ener- (b) Igualando os momentos de in´ercia mencionados, temos gia cin´etica de rotac¸a˜ o em relac¸a˜ o a O. 020ER©S23 8 (a) O momento de in´ercia para o eixo passando por e´ < w w S w* ' J 3 * f ' w w S H0 3 3 2 4 w S w O (b) A energia cin´etica de rotac¸a˜ o e´ 0 (< 3 0 3 4 w S w 4 N w 3% S A Sec¸a˜ o 11-8 Torque 11-64P. Na Fig. , o corpo est´a fixado a um eixo no ponto O. Trˆes forc¸as s˜ao aplicadas nas direc¸o˜ es mostradas na figura: no ponto A, a m de O, N; no ponto B, a m de O, N; no ponto C, a m de O, N. Qual o torque resultante em relac¸a˜ o a O? 0(0R¡S(r n ® Nmoq 0 ¬ 0n oun m 0r Spoun Calculamos o torque produzido por cada uma das forc¸as dadas: 11-58P. (a) Mostre que o momento de in´ercia de um cilindro N m, anti-hor´ario A A A s´olido, de massa M e raio R, em relac¸a˜ o a seu eixo central e´ igual ao momento de in´ercia de um aro fino de N m, hor´ario B B B em relac¸a˜ o a seu eixo central. (b) massa M e raio Mostre que o momento de in´ercia I de um corpo qualN m, anti-hor´ario C C C quer de massa M em relac¸a˜ o a qualquer eixo e´ igual ao momento de in´ercia de um aro equivalente em relac¸a˜ o a Tomando o sentido positivo para fora do plano da esse eixo, se o aro tiver a mesma massa M e raio k dado p´agina, somamos os valores obtidos acima para ter o torque resultante: por : : t(ª 3 : « ª < 1 O raio k do aro equivalente e´ chamado de raio de girac¸a˜ o do corpo. ¯ °± $N 4 y4(rp1642 ¯°± 2n y r5N ¯°± 3(n | 0p1645n : R o 1 : R : g: 03p1 n$ N m, anti-hor´ario A o B C Sec¸a˜ o 11-9 A Segunda Lei de Newton para a Rotac¸a˜ o (a) Os momentos de in´ercia, em relac¸a˜ o aos eixos mencionados, do aro e do cilindro s˜ao < y < 30 1 11-70P. Uma forc¸a e´ aplicada tangencialmente a` borda de uma e A A cm de raio e momento de in´ercia de polia que tem kg m em relac¸a˜ o ao seu eixo. A forc¸a Para que estes momentos de in´ercia sejam iguais, o aro tem m´odulo vari´avel com o tempo, segundo a relac¸a˜ o deve ter um certo raio : , com F em Newtons e t em segundos. A polia est´a inicialmente em repouso. Em A C < [ < http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 0n 02ounj¢0nz²P enmoq4(n 2 npoqS(n >Spoqn P´agina 6 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, a` s 9:44 a.m. ´ ´ y R 3@ 1 s, quais s˜ao (a) a sua acelerac¸a˜ o angular e (b) sua velo- Com a acelerac¸a˜ o obtida acima, a tens˜ao cidade angular? e´ (a) O torque atuando sobre a polia no instante considerado e´ Aplicando a segunda Lei rotacional para a polia ( escolhendo o sentido hor´ario como positivo), temos Nm :³' >eSm1 n*E/ ' >ySp1 n2*Eenm1 N$3 1 A acelerac¸a˜ o angular neste instante e´ {' >eSm1 n*E :< N3 rad/s 1 (b) Obtemos a velocidade angular integrando a func¸a˜ o : {' +* U V U [ [ [ K ' 5 4 ( n f ( S 5 n *Y [ ] Y ] d') +*G 3(45 e0n5 P d' EeSm1 n*G 2N 4 rad/s. '´ j R ´ * <`1 Tirando ´ , vem ´ R 3(¢ R 35<2 1 11-77P. Uma chamin´e alta, de forma cil´ındrica, cai se houver uma ruptura na sua base. Tratando a chamin´e como um bast˜ao fino, de altura h, expresse (a) a componente radial da acelerac¸a˜ o linear do topo da chamin´e, em func¸a˜ o do aˆ ngulo que ela faz com a vertical, e (b) a componente tangencial dessa mesma acelerac¸a˜ o. (c) Em que aˆ ngulo a acelerac¸a˜ o e´ igual a g? 11-75P. Dois blocos idˆenticos, de massa M cada um, est˜ao ligados por uma corda de massa desprez´ıvel, que passa por uma polia de raio R e de momento de in´ercia I (veja Fig. ). A corda n˜ao desliza sobre a polia; desconhecese existir ou n˜ao atrito entre o bloco e a mesa; n˜ao h´a atrito no eixo da polia. Quando esse sistema e´ liberado, a polia gira de um aˆ ngulo , num tempo t, e a acelerac¸a˜ o dos blocos e´ constante. (a) Qual a acelerac¸a˜ o angular da polia? (b) Qual a acelerac¸a˜ o dos dois blocos? (c) Quais as tens˜oes na parte superior e inferior da corda? Todas essas respostas devem ser expressas em func¸a˜ o de M, I, R, , g e t. 0(0RNn µ ¶ (a) A componente radial da acelerac¸a˜ o do topo da chamin´e e´ r . Podemos obter usando o princ´ıpio da conservac¸a˜ o da energia. Para um aˆ ngulo qualquer, temos ¶ ¶ 3 3·L¸ ¯ , 30 <5 1 ¶\ t5S , obtemos Com <" S5²'+0cR ¶ ·¸ ¯ 2 * o e acelerac¸a˜ o radial do topo ent˜ao e´ eS5²'+0cR ·¸ ¯ 2*L1 y t(3 r (a) Se o sistema parte do repouso e a acelerac¸a˜ o e´ constante, ent˜ao e (b) Para obter a componente tangencial da acelerac¸a˜ o do topo, usamos agora a segunda Lei na forma rotacional: @3 1 (b) Desconsiderando qualquer atrito, a acelerac¸a˜ o das massas e´ a acelerac¸a˜ o dos pontos da borda da polia: ´ % 35 1 ¶ : < 0 ¶ S% 3 ¯°± ¶ Com yS@ ¯°± t53 , chegamos a` acelerac¸a˜ o pedida y ¶ S3 ¯°± p1 t (c) Chamemos a tens˜ao na parte vertical da corda. Tomando o sentido para baixo como positivo, escreve(c) A acelerac¸a˜ o total do topo e´ mos Rj´ 1 http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 5 '+0.R ·L¸ ¯ 2* N ¯ °± p1 P´agina 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS ¹ "eS(Nm164 19 de Setembro de 2003, a` s 9:44 a.m. Fazendo , e alguma a´ lgebra, obtemos uma Uma casca esf´erica uniforme, de massa M e raio R, gira equac¸a˜ o do segundo grau para a vari´avel , cuja sobre um eixo vertical, sem atrito (veja Fig. ). raiz fornece . Uma corda, de massa desprez´ıvel, passa em volta do equador da esfera e prende um pequeno corpo de massa m, que pode cair livremente sob a ac¸a˜ o da gravidade. A Sec¸a˜ o 11-10 Trabalho, Potˆencia e Teorema do corda prende o corpo atrav´es de uma polia de momento de in´ercia I e raio r. O atrito da polia em relac¸a˜ o ao eixo Trabalho-Energia Cin´etica e´ nulo e a corda n˜ao desliza na polia. Qual a velocidade 11-82P. do corpo, depois de cair de uma altura h, partindo do Uma r´egua, apoiada no ch˜ao verticalmente por uma das repouso? Use o teorema do trabalho-energia. extremidades, cai. Determine a velocidade da outra extremidade quando bate no ch˜ao, supondo que o extremo Seguindo a sugest˜ao do enunciado, o trabalho reaapoiado n˜ao deslize. (Sugest˜ao: considere a r´egua co- lizado pela gravidade sobre a massa e´ . mo um bast˜ao fino e use o princ´ıpio de conservac¸a˜ o de Como o sistema parte do repouso, a variac¸a˜ o da energia energia.) cin´etica e´ 020,RfN3 ·L¸ ¯ » Seguindo a sugest˜ao dada, temos d3 w 30 SZ0 w o que fornece e S5pt w . Portanto, a velocidade da ex- tremidade da r´egua, quando bate no ch˜ao, e´ v w & 5S w 1 º ¶ 0 v 0 <( 0 < o 3 3 3 onde e´ a velocidade angular da polia e < e p C C ao p C C s˜ o momento de in´ercia e a velocidade angular da casca esf´erica. A velocidade de e´ tamb´em a velocidade linear dos pontos da borda da polia e dos pontos do equador da casca esf´erica. Ent˜ao podemos expressar as velocidades angulares em termos da velocidade linear da massa : 11-83P. v p e v 1 C Um corpo r´ıgido e´ composto por trˆes hastes finas, idˆenticas, de igual comprimento l, soldadas em forma de H (veja Fig. ). O corpo gira livremente em volta Ap´os essas considerac¸o˜ es, temos, finalmente de um eixo horizontal que passa ao longo de uma das pernas do H. Quando o plano de H e´ horizontal, o corpo cai, a partir do repouso. Qual a velocidade angular do corpo quando o plano do H passa pela posic¸a˜ o vertival? » 020RN\0 º O momento de in´ercia do corpo r´ıgido para o eixo mencionado e´ <" S0 w w NS w 1 Usando o princ´ıpio da conservac¸a˜ o da energia, temos S 3 w 30 NSZ w o e, tirando a velocidade angular, resulta g S3 1 w 0 v 0 < v 0 3 D v %3 3 3 S 0 3 z < S3 v Tirando a velocidade v , obtemos 3 ¶ v 1 W