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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Primeira Avaliação Presencial de Geometria Analítica I 1/2009 – Prof. Linhares
Nome:__________________________________________________________ Pólo:___________________________________________________________
Questão 1: (2,5 pontos) Verifique se a equação 36 x 2 + 36 y 2 − 36 x + 24 y − 95 = 0 representa um círculo. Em caso afirmativo, dizer qual o centro e o raio do círculo.
(
)
2 Solução: 36 x 2 − x + 36 y 2 + 3
y − 95 = 0 . Completando os quadrados dentro dos
parênteses, temos: 1 1 2 1 1 36 x 2 − x + − + 36 y 2 + y + − − 95 = 0 4 4 3 9 9
∴
1 2 1 36 x 2 − x + + 36 y 2 + y + − 95 − 9 − 4 = 0 4 3 9 2
2
2
2
1 1 1 1 ∴ 36 x − + 36 y + − 108 = 0 ∴ x − + y + = 3 2 3 2 3 2
2
1 1 ∴ x − + y + = 2 3 raio r = 3 .
( 3)
2
, que é a equação do círculo de centro C (1 2 , − 1 3) e
Questão 2: (2,5 pontos) Considere os pontos A(1,−1) , B (2,1) , C ´ (0,−1) e C (−1,−3) . Verifique se ABC´C é um paralelogramo. Em caso afirmativo calcule a área do triângulo ABC .
x + x 2 y1 + y 2 Solução: O ponto médio do segmento AC ´ é M (1 2 , − 1) M 1 , e o 2 2 ponto médio do segmento BC também é M (1 2 , − 1) . Logo, ABC ´C é um paralelogramo (as diagonais AC ´ e BC intersectam-se nos pontos médios). [Ou ainda, AB = (1, 2) e CC ` = (1, 2) . Logo, ABC ´C é um paralelogramo.] Considere os vetores AB = (a, b) = (1, 2) e AC = (c, d ) = (−2 , − 2) .
A área do triângulo ABC é então dada por
ad − bc 2
AB AC − AB , AC 2
[ou Área do triângulo =
= 1 u.a.
2
2
=
5 x8 − 6 2 2
=
4 = 1 u.a.] 2
Questão 3: (2,5 pontos) Determine as equações cartesiana e paramétricas da reta que passa pelos pontos P(1,−2) e Q (3 , 5) . Solução: O coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos P e Q , dados, é 5+ 2 7 . Logo, um ponto com coordenadas ( x, y ) estará sobre a reta r se, e = m= 3 −1 2 somente se, y −5 7 = ∴ 2 y − 10 = 7 x − 21 ∴ 7 x − 2 y − 11 = 0 x−3 2 que é a equação cartesiana da reta r . Agora, a reta passa pelo ponto Q e tem vetor direção PQ = (2,7) . Logo, as equações paramétricas da reta são: x = 3 + 2α y = 5 + 7β
Questão 4: (2,5 pontos) Sejam u e v vetores não-nulos. Mostre que se u e v são ortogonais então a projeção ortogonal de um destes vetores sobre o outro é o vetor nulo. Solução: Sejam Pv u e Pu v as projeções ortogonais do vetor u sobre o vetor v , e a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u , respectivamente. Temos:
Pv u =
< u, v > v < v, v >
e
Pu v =
< u, v > u < u, u >
Como u e v são ortogonais então < u , v >= 0 . Logo, Pv u = 0
e Pu v = 0 .
