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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº2231 CEP05508-900 São Paulo SP
Departamento Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos
4a. Lista de Exercícios – PMR2520 Este exercício não deve ser entregue.
Prof. Dr. Marcos Tsuzuki 1. Determine os parâmetros de interpolação de Hermite – para determiná-los recorde dos seguintes fatos: a. A curva deverá ser representada por um polinômio de terceiro grau:
[
P (t ) = t 3
t2
]
t 1 ⋅ [A B C
D]
T
(1)
b. Diferenciando a equação cima por t , obtemos:
[
P& (t ) = 3 ⋅ t 2
]
2 ⋅ t 1 0 ⋅ [A B C
D]
T
(2)
c. Possuímos as seguintes condições de contorno: P (0) = Q0 P& (0) = Q& 0
P(1) = Q1 P& (1) = Q&
(3)
1
2. Encontre a expressão para uma interpolação de Hermite de grau 5 – siga os seguintes passos: a. Considere a curva de quinto grau como sendo:
[
P (t ) = t 5
t4
t3
t2
]
t 1 ⋅ [A B C
F]
T
D E
(4)
&&(t ) b. Determine P& (t ) e P c. Conhecemos os seguintes dados: P (0) = Q0 P(1) = Q1
P& (0) = Q& 0 P& (1) = Q& 1
&& &&(0) = Q P 0 && &&(1) = Q P 1
(5)
3. Aumente o grau de uma curva de Hermite de 3 para 5 sem alterar a sua forma – proceda da seguinte maneira: a. A expressão com nível 3 é dada abaixo:
[
P (t ) = t 3
t2
]
[
t 1 ⋅ M C ⋅ Q0
Q1
Q& 0
Q& 1
]
T
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(6)
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Departamento Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos Onde M C é obtido pela resolução do exercício 1. b. É possível alterar a expressão acima para:
[
P (t ) = t 5
t4
t3
t2
0 0 0 0 0 0 0 0 Q0 2 −2 1 1 Q1 t 1 ⋅ ⋅ & − 3 3 − 2 − 1 Q0 0 0 1 0 Q& 1 0 0 0 1
]
(7)
&& * tal que: && * e Q c. Agora devemos encontrar um conjunto de Q0* , Q1* , Q& 0* , Q& 1* , Q 0 1 − 3 − 3 − 0.5 − 0.5 Q0* − 6 6 15 − 15 8 − 1 Q1* 7 1.5 10 10 − 6 − 4 − 1.5 0.5 Q& 0* P (t ) = ⋅ 0 0 0 0.5 0 Q& 1* 0 && * 0 0 1 0 0 0 Q &&0* 0 0 0 0 0 Q1 1
(8)
4. Determine a expressão para a curva de Bézier de grau 3 – a expressão genérica é dada por: n
P (t ) = ∑ Pi ⋅ J n ,i (t )
(9)
i =0
n n n! onde J n ,i (t ) = ⋅ t i ⋅ (1 − t ) n −i e = . i i i!⋅(n − i )! 5. Determine a expressão da primeira derivada de uma curva de Bézier – determine também o valor das derivadas nas extremidades da curva. 6. Explique o significado geométrico do seguinte algoritmo para traçar curvas de Bézier: type
ordinate = [x,y,z]; point = array[ordinate] of real; construction_points = array[0..n,0..n] of point; function Casteljau(var P:construction_points; i,j: integer; u: real) : point; begin if j = 1 then Casteljau := (1-u)*P[i,0] + u*P[i+1,0]; else Casteljau := (1-u)*Casteljau(P,i,j-1,u) + u*Casteljau(P, i+1, j-1, u); end; PM2520 – Introdução ao CAD/CAM - Prof. Dr. Marcos Tsuzuki
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var LOCUS : point; MOVE_TO(P[0][x],P[0][y]); for k := 1 to N_of_segments do begin u := k / N_of_segments; LOCUS := Casteljau(KnotArray, 0, N, u); DRAW_TO(LOCUS[x], LOCUS[y]); end;
7. verifique qual é a condição necessária para que duas superfícies de Coons (1964) sejam contínuas até a curvatura (segunda derivada). Determina a expressão para ∂ 2 2 P(u , w) = P (u , w) . Quais são as condições de contorno para os pesos mais uu ∂u convenientes? 8. Determine a segunda derivada mista (vetor cruzado) da superfície de Coons (1964). 9. Determine a expressão da superfície de Coons quando as curvas de contorno Q(0, w) e Q(1, w) são dadas por:
Q(0, w) = C 00 ( w) ⋅ Q(0,0) + C 01 ( w) ⋅ Q(0,1) Q(1, w) = C 00 ( w) ⋅ Q(1,0) + C 01 ( w) ⋅ Q(1,1)
( 10 )
10. O polinômio de menor grau que satisfaz as condições necessárias para os pesos relativos à Superfície de Coons são: C 00 (t ) = 1 − t C 01 (t ) = t
( 11 )
Determine a expressão algébrica da superfície para o caso do exercício 9. 11. Verifique que os polinômios de Hermite também satisfazem as condições necessárias para os pesos relativos à superfície de Coons. Determine a expressão da superfície de Coons utilizando os polinômios de Hermite. 12. Qual a condição apra que a superfície de Coons (1967) seja reduzida à forma: P (u, w) = PA (u, w) = PB (u, w) = PC (u, w)
( 12 )
13. Considere a expressão do patch triangular, faça uma das coordenadas ser zero. Qual a expressão que você encontrou? Por que?
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