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Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Faculdade de Engenharia Civil
ESTRUTURAS DE CONCRETO II Prof. Ronaldson Carneiro Belém, agosto de 2008
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL (UFPA / FEC) ESTRUTURAS DE CONCRETO II - PROF. RONALDSON CARNEIRO CARNEIRO versão: março/2008
1. INTRODUÇÃO 1. DEFINIÇÃO: Elementos planos (placas), geralmente em posição horizontal, que apresentam uma dimensão, a espessura, muito menor em relação às demais. As lajes recebem os carregamentos atuantes e os transferem aos apoios dispostos no contorno, geralmente vigas, e destes para os pilares até as fundações. Nas estruturas usuais, as lajes respondem por aproximadamente 50 % do consumo de concreto. 1.2. Tipos de lajes a. Lajes maciças: De seção homogênea, executadas sobre formas, que as moldam, e escoramentos, que as sustentam até que adquiram resistência própria. Recomendadas para vãos até 6 metros de comprimento. b. Lajes nervuradas: Apresentam nervuras, onde ficam concentradas as armações, entre as quais podem ser colocados materiais inertes (isopor, tijolo, etc.) com função de enchimento, o que simplifica a forma (plana) e deixa a superfície inferior lisa para receber o acabamento. Esse sistema é empregado em grandes vãos, onde é necessário trabalhar com espessuras elevadas a fim de atender as flechas e solicitações. A necessidade de espessuras elevadas inviabiliza o emprego de lajes maciças em razão do consumo de concreto e do peso próprio elevado, o que não acontece nas nervuradas, pois parte do concreto é retirado ou substituído por um material mais leve, colocado entre as nervuras, ficando a armação concentrada em faixas (nervuras) para atender às solicitações.
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c. Lajes lisas (cogumelo): São lajes apoiadas diretamente pelos pilares (sem vigas). Esse tipo de laje apresenta diversas vantagens: facilidade de execução (forma e armação), redução de pé direito, facilita a passagem de tubulações (elétrica, hidráulica, ar condicionado, etc.), flexibiliza o arranjo de alvenarias e/ou divisórias (forro liso), etc. Apesar das inúmeras vantagens, ausência de vigas torna o sistema mais flexível, comprometendo estabilidade horizontal. A possibilidade de ruptura por punção e colapso progressivo deve ser cuidadosamente analisada.
d. Lajes pré-moldadas (treliçadas): Trata-se de lajes nervurada com nervuras parcialmente pré-moldadas. A armação fica concentrada nas nervuras. Tem a vantagem da pré-fabricação, reduzindo o uso de formas e escoramentos, com conseqüente redução de custos e aumento de produtividade.
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2. CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES MACIÇAS As lajes podem ser classificadas quanto aos seguintes aspectos: •
Quanto ao tipo de apoio: As lajes podem apresentar os seguintes tipos de apoio (vínculo):
Tipo de apoio
simplesmente apoiado
Livre (sem apoio)
engastado
representação
A borda da laje simplesmente apoiada permite a rotação, enquanto o engastado é impedido de girar. O engastamento depende da rigidez do apoio, ou seja, da rigidez do elemento onde a laje pretende se engastar. Na realidade, é muito difícil garantir o engastamento perfeito, sendo mais freqüente o engastamento parcial. Deve-se destacar que a existência de armação de ligação de uma laje com o apoio, normalmente, a laje vizinha, NÃO garante o engastamento, é preciso que a rotação seja impedida, daí a importância da rigidez do apoio. A figura abaixo exemplifica a representação da vinculação das lajes. bordas simplesmente apoiadas borda engastada Laje
borda livre
•
Quanto à armação
De acordo com a atuação dos momentos fletores, em uma ou duas direções, as lajes podem ser classificadas em armadas em uma ou duas direções. a. Lajes armadas em uma direção: são aquelas em que os momentos fletores solicitam predominante apenas uma direção. É o caso das lajes em balanço (sacadas), daquelas com os dois lados opostos apoiados, sendo os outros dois livres (rampas, 3
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escadas), e das lajes com lados apoiados (simples ou engaste), onde a medida do maior lado (L) supera o dobro do lado menor (l), como indicado na figura a seguir.
L >2 l
L
Mfy
l
Mfx O momento na direção do menor vão é muito superior ao da outra direção quando a relação entre os vãos supera 2, sendo, dessa forma, considerada como armada em apenas uma direção. Na direção secundária, paralela a “L”, é colocada uma armação de distribuição. a. Lajes armadas em duas direções: são aquelas em que os momentos fletores solicitam as duas direções. Essa situação ocorre nas lajes retangulares apoiadas nos quatro lados, em que a relação entre o maior vão (L) e o menor (l) é inferior ou igual a dois.
LL
L ≤2 l
São mais econômicas que as lajes armadas em uma direção, pois o carregamento da laje solicita as
Mfy
l
duas
direções,
reduzindo
a
magnitude dos momentos fletores e das flechas.
Mfx Para a determinação dos vãos para a laje, a Norma Brasileira (NBR 6118) prescreve: Vão da laje
h
l = lo + a1 + a2
onde:
a1 = menor vão entre (t1/2) e (0,3h)
t1
lo
t2
a2 = menor vão entre (t2/2) e (0,3h) 4
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3.0 AÇÕES A CONSIDERAR As ações (carregamentos) podem classificadas segundo o tempo de atuação nas estruturas, dando origem às ações permanentes e ações variáveis. As ações permanentes atuam durante toda a vida, pode-se citar: peso próprio, revestimentos, paredes, etc. As ações variáveis são constituídas pelas cargas de uso da construção, ou seja, atuam durante certos períodos na estrutura, pode-se citar: móveis, pessoas, veículos, peso da água (reservatórios), etc. A figura mostrada a seguir ilustra as ações usuais nas lajes de construções residenciais. pessoas, móveis, veículos, etc revestimento do piso paredes
revestimento teto
No processo de cálculo das lajes, as ações devem ser consideradas por m2, algumas são de fato, caso do peso próprio, outras são admitidas assim por simplificação, como o peso de paredes, o qual deve ser distribuído na área da laje. O cálculo computacional por elementos finitos já permite a consideração mais precisa da atuação de ações discretas (paredes) nas lajes. 3.1 COMPOSIÇÃO DO CARREGAMENTO DAS LAJES POR m2 3.1.1 AÇÕES PERMANENTES São constituídas pelo peso próprio do elemento estrutural e pelo peso de todos os elementos construtivos e instalações permanentes. Toda carga é de volume (kN/m3), transformada em peso por m2 (kN/m2) para efeito de cálculo. a. Peso próprio Para determinação do peso próprio (pp) por m2, basta multiplicar o volume da laje em 1 m2, pelo peso específico do concreto armado (γ = 25 kN/m3), assim: pp = 1 m x 1 m x e x 25 = 25. e (kN/m2), com e em metros.
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Para cada “cm” na espessura da laje (0,01 m), o peso próprio aumenta de 0,25 kN. Assim, uma laje com 8 cm de espessura apresenta peso próprio de 2 kN por m2. Como a espessura ainda não é conhecida nesta fase do cálculo, e o peso próprio é um carregamento a ser considerado, deve-se fazer um pré-dimensionamento das espessuras. A norma brasileira (NBR 6118) não apresenta critérios de prédimensionamento, no entanto, para lajes retangulares com bordas apoiadas ou engastadas, a altura útil (d) pode ser estimada por meio da expressão:
d=
( 2,5 − 0,1n) ⋅ l * 100
sendo n o número de bordas engastadas e l* o menor valor entre l (menor vão) e 0,7L (maior vão). Ao valor da altura útil deve-se acrescentar o valor correspondente à metade do diâmetro da armação (estimado) e o valor do cobrimento das armaduras, como ilustrado na figura abaixo. Assim,
d
e = d +Ø/2 + c Ø/2
c
Para efeito de pré-dimensionamento pode-se admitir um diâmetro de 0,5 cm (Ø = 5.0 mm). O valor do cobrimento (c) é estabelecido na NBR 6118 de acordo com a classe de agressividade ambiental (CAA) em que a estrutura será construída, conforme as Tabelas 6.1 e 7.2 da norma, mostradas a seguir.
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Permite ainda a norma que os cobrimentos acima sejam reduzidos de 5 mm, quando houver um controle rigoroso de execução, o que deve ser explicitado nos desenhos do projeto. De acordo a NBR 6118, lajes executadas em Belém, ambiente urbano, classe II, devem ter cobrimento mínimo na face inferior e superior de 25 mm e 15 mm, respectivamente, enquanto aquelas executadas em Salinópolis, ambiente marinho, classe III, devem ser executadas com cobrimento de 35 mm e 15 mm. A NBR 6118 ainda prescreve que devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura de lajes maciças:
•
5 cm para lajes de cobertura não em balanço;
•
7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;
•
10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
•
12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
•
16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo.
Como exemplo de pré-dimensionamento, seja a laje de piso indicada na figura a seguir, a ser executada em ambiente classe, armada com ferros de diâmetro 6 mm.
(2,5 − 0,1n) ⋅ l * d= , sendo n = 1 e l* o menor valor 100 l = 350
entre l = 350 e 0,7 L = 280 cm, ou seja, l* = 280 cm, logo,
d=
(2,5 − 0,1⋅1) ⋅ 280 = 6,72 cm 100
Assim, a espessura da laje: L = 400
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e = d +Ø/2 + c e = 6,72 + 0,6/2 + 2 = 9,02 cm
e = 9 cm
O peso próprio da laje com 9 cm de espessura pp = 25 . 0,09 = 2,25 kN/m2 ou 225 kgf/ m2 b. Revestimento da superfície inferior (teto) Para determinação da carga correspondente ao revestimento do forro, deve-se multiplicar o volume do material aplicado em 1 m2 (1 x 1 x hrt) pelo peso específico do material ( γrt ), sendo hrt a espessura da camada de revestimento.
1m
1m
hrf
hrt
= (1 x 1 x hrt) x γrf
De acordo com o tipo de revestimento, pode-se encontrar as seguintes situações:
•
argamassa de cimento+areia+cal (γ = 19 kN/m3) com espessura média de 2 cm: 0,02 x 19 = .. ... .0,38 kN/m2
•
Gesso espatulado diretamente sobre o concreto: .................... Não considerar
•
Placas de gesso (forro falso) penduradas na laje: ...............................0,1 kN/m2
c. Revestimento de piso É normalmente constituído de camada niveladora e acabamento final. c.1 Camada niveladora ou camada de regularização em argamassa de cimento+areia (γ = 21 kN/m3) com espessura média de 4 cm: 0,04 x 21 = ........................... 0,84 kN/m2 e
c.2 Acabamento:
(m)
γ
(kN/m3)
................................................. 0,005 x 18 = 0,09 kN/m2
•
Em lajota (e = 0,5 cm)
•
Em taco/tábua corrida (e = 2 cm) ....................................0,02 x 10 = 0,2 kN/m2
•
Em mármore/granito (e = 2 cm) ..................................... 0,02 x 28 = 0,56 kN/m2
•
Em carpete/paviflex ou similar
............................................... Não considerar
Como resultado final do revestimento de piso deve-se considerar o peso da camada niveladora somado com o do acabamento. De modo a simplificar a consideração da
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carga de revestimento nos projetos de prédios residenciais dois valores distintos em função do acabamento especificado: 1 kN/ m2 para acabamento simples (lajota, tábua corrida, taco de madeira, carpete) e 1,5 kN/m2 para acabamentos mais sofisticados que incluam pedras de mármore ou granito) d. Cargas de parede sobre lajes O peso das paredes depende da espessura (largura) definida no projeto arquitetônico. O peso das paredes de tijolos cerâmicos é obtido da soma do peso dos elementos cerâmicos (tijolo) com o da argamassa de rejunte e de acabamento (reboco). Assim, o peso de 1 m2 ( 1m de comprimento por 1 m de altura) de paredes acabadas, executadas com tijolos cerâmicos furados, é dado por: peso por m2
espessura da parede 13 cm
.................................... ~
2 kN/m2
15 cm
.................................... ~
2,3 kN/m2
20 cm
.................................... ~
2,9 kN/m2
Desta forma, para se obter o peso total das paredes sobre determinada laje, deve-se multiplicar o comprimento total das paredes pela altura, para se determinar a área total, e o resultado pelo peso por m2, o qual varia com a espessura. d.1 Peso das paredes nas lajes armadas em duas direções Nessas lajes o peso das paredes deve ser uniformemente distribuído na área da laje, resultando em uma carga por m2. É uma simplificação em razão dos processos manuais de cálculo, válido para lajes com dimensões reduzidas, como as de prédios residenciais. Para a laje indicada na figura, a carga proveniente das paredes com 2,8
palv =
peso total paredes área da laje
palv =
(2,5 + 1,5) ⋅ 2,8 ⋅ 2,3 ≅ 1,43 kN / m 2 4,5 ⋅ 4
1,5 m 2,5 m
4,5 m
metros de altura resulta em:
0,15 m 4m
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d.1 Peso das paredes nas lajes armadas em apenas uma direção Há duas situações quanto à distribuição do peso das paredes, visto que essas lajes são admitidas como faixas sucessivas de 1 m de largura, como vigas, segundo o menor vão.
•
Parede paralela à menor direção: a peso da parede é distribuído apenas em um trecho correspondente a 2/3 do menor vão, como indicado na figura, ficando a laje com carregamentos diferentes. Nos trechos “a” e “c”: pp+rev+sc
a
l
No trecho “b”: pp+rev+sc+palv
L
2 b = ⋅l 3
c
l
palv =
pp = peso próprio rev = revestimento sc = carga acidental
pp = peso próprio rev = revestimento sc = carga acidental palv = peso parede
Peso total parede 2 , sendo b = ⋅ l 3 b ⋅l
l
•
Parede paralela à maior dimensão: A parede é considerada como uma carga concentrada na laje. No trecho “a””: pp+rev+sc l
a
pp = peso próprio rev = revestimento sc = carga acidental
No trecho “b”:
L
Ppar pp+rev+sc
d1
d2
b
d2
d1 l
l
pp = peso próprio rev = revestimento sc = carga acidental Ppar = peso parede
Ppar = 1 ml x altura parede x peso 1 m2 parede
Nos dois casos acima, a carga da parede solicita trechos diferentes da laje (a, b e c), resultando em momentos e, provavelmente, armaduras diferentes na mesma laje. De
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modo a simplificar o detalhamento e evitar possíveis erros de execução, costuma-se adotar a maior armação em toda extensão da laje. Nos balanços (sacadas), o peso do guarda-corpo deve ser considerada como uma carga concentrada, aplicada na extremidade do balanço. 3.1.2 AÇÕES VARIÁVEIS São aquelas que atuam na estrutura em função de seu uso, tais como: pessoas, móveis, veículos, etc. O termo variável refere-se ao tempo de permanência da carga na estrutura. Os valores mínimos das cargas variáveis dependem da finalidade da edificação e estão especificados na NBR 6120. São freqüentes os valores:
•
1,5 kN/m2 : edifícios residenciais (salas, dormitórios, cozinha e banheiros);
•
2 kN/m2 : escritórios
•
0,5 kN/m2 : forro / terraço sem acesso ao público;
•
3 kN/m2 : garagem / estacionamento para veículos de passageiros com carga máxima de 25 kN por veículo;
A NBR 6120 ainda exige que deve-se considerar a atuação de uma carga horizontal de 0,8 kN e outra vertical de 2 kN, por metro linear, ao longo de parapeitos e balcões, como ilustrado na figura a segui.
2 kN 0,8 kN parapeito (guarda-corpo)
Cabe citar a situação de estruturas com cargas variáveis (sobrecargas) elevadas, caso de depósitos, supermercados, etc., onde deve-se analisar os resultados da aplicação da carga variável em lajes distintas de modo a se obter os maiores esforços, visto que a aplicação localizada de valores elevados de carga pode alterar a condição de engastamento da laje, ou seja, pode resultar na rotação (apoio simples) na borda da laje, admitida inicialmente engastada.
carga variável elevada
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4.
ESFORÇOS SOLICITANTES
O dimensionamento das lajes é realizado a partir dos momentos fletores, das forças cortantes e dos momentos de torção. As lajes são consideradas como faixas sucessivas de 1 m de largura, dispostas em uma ou duas direções, onde atuam os esforços solicitantes. O valor determinado para a faixa de laje é considerado o mesmo em toda sua extensão. Os esforços dependem do carregamento, das vinculações e dos vãos da laje. 4.1 Momentos fletores 4.1.1 Nas lajes armadas em uma direção ( L / l >2 ) a. Apoiadas nos quatro lados ( L / l >2 ) O cálculo é análogo ao de uma viga de base igual a 1 m e altura correspondente à espessura da laje. Os seguintes casos podem ser encontrados:
p
p
L
p
100
l
l
l
p ⋅l2 8
pl 2 − 8
−
pl 2 24
pl 2 14,2
b. Em balanço
pl 2 12
A laje fica engastada em apenas um lado, considera-se como uma viga em balanço
2 kN (NBR 6118)
0,8 kN (NBR 6118)
h
guarda corpo (gc)
P(peso gc +2 kN) p(g+q) l
p ⋅l2 Mf ≅−( + P ⋅ l + 0,8 ⋅ h) 2
V ≅ ( p ⋅ l + P)
0,8.h 12
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4.1.2 Nas lajes armadas em duas direções ( L / l ≤ 2 ) Para determinação dos esforços nas lajes armadas nas duas direções há dois processos de cálculo: o elástico e o plástico. O cálculo no regime plástico permite a determinação do momento fletor último a partir da configuração de ruína da laje, definida por “linhas de ruptura, charneiras ou rótulas plásticas”, de acordo com a provável distribuição das fissuras no momento da ruptura, como ilustrada na figura a seguir.
Linhas de ruptura (charneiras plásticas)
As “linhas de ruptura” dividem a laje em triângulos e trapézios, ou seja, painéis rígidos que giram em torno das rótulas plásticas. A carga última pode ser obtida por meio do princípio dos trabalhos virtuais ou equações de equilíbrio. A verificação aos ELS (estado limite de serviço) deve ser realizada por processo elástico de cálculo. O cálculo em regime elástico (cargas de serviço) pode ser realizado a partir da equação diferencial fundamental da teoria das placas, denominada equação de Lagrange, admitindo material homogêneo, isótropo, elástico e linear.
A equação
relaciona o deslocamento elástico, z, da placa com carga uniforme, p, normal à superfície, como segue: p
x
h y
2∂ 4 z ∂4z ∂4z p + + = ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 D
z
sendo:
Eh 3 = é a rigidez à flexão da placa; D= 12 (1 − ν 2 ) E é módulo de elasticidade do material; h é a espessura da placa; 13
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ν é o coeficiente de Poisson do material. Os momentos fletores nas direções x e y da placa podem ser determinados por:
⎛ ∂2z ∂2z ⎞ M x = − D ⋅ ⎜⎜ 2 +ν 2 ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x
e
⎛ ∂2z ∂2z ⎞ ⎜ M y = − D ⋅ ⎜ 2 + ν 2 ⎟⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂y
A solução das equações diferenciais é normalmente obtida por meio de processos numéricos (diferenças finitas, elementos finitos, etc.) ou integração por séries trigonométricas, dos quais resultaram tabelas de uso prático, como as de Czerny, Bares, Marcus, etc. O chamado Processo de Marcus é um dos mais empregados na determinação dos momentos fletores em lajes retangulares. A obtenção dos momentos fletores é realizada com base na teoria das grelhas ou quinhões de carga, corrigidos por coeficientes obtidos da solução da equação de Lagrange. A teoria das grelhas consiste em dividir a laje em faixas de largura unitária, ortogonais entre si, paralelas aos bordos, onde a carga total da laje, p, é dividida em duas parcelas, px e py, chamadas de quinhões de carga, função da relação entre os vãos e da vinculação da laje, sendo
px + py = p. As faixas, admitidas como vigas independentes submetidas aos respectivos quinhões de carga, produzem esforços mais elevados por não considerar a ligação com as outras faixas, daí a necessidade de correção por meio de coeficientes resultantes da equação de Lagrange. O cálculo dos momentos fletores em lajes retangulares, apoiadas em todo seu contorno, pelo Processo de Marcus pode ser realizado por meio de tabelas conforme o roteiro a seguir: 1. Observa-se, pelo esquema estático, o tipo de laje a ser calculada. Há seis situações possíveis:
1
4
3
2
5
6
2. Calcula-se a relação λ = l y l x , onde l x é a direção que contém o maior número
lx
lx
lx
lx
lx
de engastes. No caso de igualdade no número de engastes, l x será o menor vão:
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3. Com a definição do tipo de laje e do valor de λ , obtém-se na tabela de Marcus os coeficientes m e n para cálculo dos momentos positivos e negativos, respectivamente; 4. Os momentos são então obtidos pelas expressões:
ly Mx
Momentos positivos
lx
Xy
pl x2 Mx = mx
pl x2 Xx = − nx
pl x2 My = my
pl x2 Xy =− ny
Xx
My
Momentos negativos
Observar que o numerador das expressões é sempre o mesmo, pl x2 , nas duas direções.
4.1.3 Compatibilização dos momentos O cálculo dos momentos fletores indicado nos itens anteriores é realizado como lajes isoladas.
No
trabalho
conjunto,
as
lajes
admitidas
contínuas
apresentam,
normalmente, sobre um mesmo apoio, momentos de engastamento diferentes face ao cálculo isolado. Dessa forma, entre lajes contínuas, o momento negativo deve ter valor único, o que requer a compatibilização (uniformização) dos momentos das lajes engastadas. O momento compatibilizado pode ser obtido por:
L1
L2
Xc } XL1 XL2
⎧0,8 ⋅ (do maior entre X L1 e X L 2) ⎪ X c ≥ ⎨ X L1 + X L 2 ⎪⎩ 2 Como conseqüência da compatibilização,
XL1
convém corrigir os momentos positivos,
Xc
aumentando-o ou reduzindo-o, conforme
XL2
∆M L1
∆M L 2 Diagrama compatibilizado
for o caso, de um valor correspondente a metade da diferença entre o momento compatibilizado, Xc, e o momento negativo da laje calculada isoladamente, XL1 ou XL2,
ou seja, ∆ML1=(XL1 – Xc)/2 para L1 e ∆ML2=(Xc – XL2)/2 para L2.
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Coeficientes para cálculo dos momentos pelo Processo de Marcus
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5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO Calculados os momentos fletores, pode-se realizar o dimensionamento das armaduras de flexão. O dimensionamento é realizado admitindo-se as faixas de laje como vigas de base 1 m e altura h igual à espessura da laje. Em geral, o dimensionamento conduz a seções subarmadas com armadura simples. A armadura dupla deve ser evitada em virtude da altura reduzida o que dificulta a execução. Para o cálculo das armaduras, além da altura e momento fletor, é preciso definir a altura útil (d = h – d’), a resistência característica à compressão do concreto (fck) e o aço a ser empregado (CA 50 ou CA 60). As armaduras podem ser obtidas por:
As =
M Sd (cm 2 / m) k z d f yd
sendo:
M Sd = 1,4 ⋅ M k , momento solicitante de cálculo; d , a altura útil; fyd , valor de cálculo da resistência ao escoamento; k z , coeficiente obtido na Tabela 5.1 a partir do coeficiente k md obtido por:
k md =
M Sd d 2 f cd
onde
f cd é o valor de cálculo da resistência à compressão do concreto.
Com o objetivo de melhorar a dutilidade nas regiões de apoio ou ligações com outros elementos estruturais, a NBR 6118 exige que se observe os seguintes limites:
kx =
x ≤ 0,5 para concretos com f ck ≤ 35 MPa d
kx =
x ≤ 0,4 para concretos com f ck > 35 MPa d
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Tabela 5.1 – coeficientes adimensionais para o dimensionamento à flexão*
*do livro “ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO – FUNDAMENTOS DE PROJETO, DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO” – João Carlos Teatini de Souza Clímaco
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O ELU é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura mostrada a seguir.
kx = 0,259
kx = 0,585 CA 60
kx =
kx = 0,628 CA 50
εc x = d εc + εs
Descrição dos domínios de estado limite último:
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Após dimensionamento à flexão, a escolha das armaduras (bitola e espaçamento) deve atender as prescrições da NBR 6118/2003 relacionadas a seguir: a. Armadura mínima: Destinada a melhorar o desempenho e dutilidade à flexão, assim como controlar a fissuração, a armadura mínima em lajes deve ser obtida por
As , mín = ρ min ⋅ bw ⋅ h
(cm2)
sendo bw = 100 cm , h em cm e ρ mín obtido na Tabela abaixo Tabela 5.2 – Taxa de armadura mínima em lajes
f ck (MPa)
Armaduras
ρ mín
20
25
30
35
40
45
50
0,15
0,15
0,173
0,201
0,23
0,259
0,288
0,1
0,1
0,116
0,135
0,154
0,174
0,193
Armaduras negativas Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção Armadura positiva de lajes armadas em duas direção
A armadura secundaria (distribuição) de lajes, colocada na direção paralela ao maior vão, deve ser obtida por
As ,dist
⎧ As , prin / 5 ⎪ ≥ ⎨0,9 cm 2 / m ⎪0,5 ⋅ A s , mín ⎩
b. Bitola máxima ( φ máx )
φ máx ≤
h , 8
h é a espessura da laje
c. Espaçamento máximo das barras ( s ) Na região de maiores momentos fletores, a armadura principal deve apresentar espaçamento máximo de 2h ou 20 cm, ou seja,
⎧2 h s≤⎨ . ⎩20 cm
A armadura secundária deve apresentar espaçamento de no máximo 33 cm, o que corresponde a aproximadamente 3 barras por cada metro da laje na direção secundária.
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6. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS DE LAJES O detalhamento das armaduras das lajes é realizado em planta, utilizando como base a planta de formas da estrutura do pavimento. Na planta de armadura de lajes devem ser desenhadas apenas as barras representativas da armadura de cada laje nas duas direções, com indicação do número de barras destinadas àquela laje, diâmetro, espaçamento entre barras e comprimento unitário. O desenho deve indicar as armaduras positivas (junto à face inferior) e negativas (junto à face superior), no entanto, quando houver superposição de armaduras que dificulte a interpretação deve-se realizar o detalhamento dessas armaduras em plantas diferentes. Costuma-se representar as barras da armadura positiva com linhas cheias e as da negativa com linhas tracejadas de modo a facilitar a visualização do detalhamento. Por último, na planta de detalhamento das armaduras devem constar: a resistência característica do concreto, fck, o tipo de aço (CA 60 e/ou CA 50), os quadros com discriminação das barras e resumo do aço (quantitativos), e o cobrimento a ser adotado na execução do projeto. 6.1 Armadura inferior (positiva) Deve ficar junto à face inferior da laje com a finalidade de atender os momentos fletores positivos. As armaduras geralmente se estendem de apoio a apoio, penetrando no mínimo 10Ø (10 diâmetros da barra). Na prática a armadura se estende até próximo à face externa da viga de apoio da laje, respeitando-se o cobrimento mínimo normativo. A Figura 6.1 mostra o detalhamento típico de armaduras positivas em lajes. A bitola e espaçamento são obtidos
32 Ø6.3 c14 - 405 23 Ø5.0 c16 - 485
Comprimento
Diâmetro
vão
15
livre
(interno),
transversal espaçamento,
A
da
na
direção
armadura,
pelo
subtraindo-se
uma
unidade. O comprimento é obtido pela soma do vão livre, na direção da
15
Quantidade
dimensionamento.
quantidade é obtida dividindo-se o
460
Espaçamento
no
380 vão livre
15
armadura, com a largura dos apoios, subtraindo-se o cobrimento normativo nas duas extremidades.
Figura 6.1 – Armadura positiva
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Alguma economia pode ser obtida variando-se alternadamente o comprimento das barras, em decorrência da redução dos momentos fletores na região próxima dos apoios, ou seja, fora da região dos maiores momentos. O comprimento das barras, denominadas de ferros contra-fiados, depende da vinculação da laje. Deve-se atentar para o espaçamento máximo nessa região em que as barras ficam com o dobro do valor na região dos maiores momentos, em face do valor máximo de 33 cm estabelecido na NBR 6118. Assim, o detalhamento com ferros contra-fiados só pode ser realizado quando o espaçamento entre barras, na região dos maiores momentos,
15
for de até 16,5 cm. A Figura 6.2 exemplifica o detalhamento com ferros contra-fiados. 32 Ø6.3 c14 - 345 23 Ø5.0 c16 - 415
Comprimento
Diâmetro
~ 0,8 . (vão livre + largura apoios) ~ 0,7 . (vão livre + largura apoios) 15
Quantidade
COMPRIMENTO DOS FERROS CONTRA-FIADOS ~ 0,85 . (vão livre + largura apoios)
460
Espaçamento
VINCULAÇÃO DA LAJE
15
380 vão livre
15
Figura 6.2 – Detalhamento da armadura positiva com ferros contra-fiados 6.2 Armadura superior (negativa) 6.2.1 Armadura negativa entre lajes totalmente apoiadas (nos quatro lados) Deve ficar junto à face superior da laje com o objetivo de atender os momentos negativos. Quando não se determinar o diagrama exato de momentos negativos, as barras da armadura principal sobre os apoios deverão se estender, para cada lado, de um valor correspondente a 1/4 do maior entre os menores vãos das lajes contíguas, como exemplifica a Figura 6.3. A bitola e espaçamento são determinados pelo dimensionamento. A quantidade é determinada da mesma forma citada anteriormente e o comprimento total corresponde à soma do comprimento reto com os dos ganchos nas extremidades. De modo a garantir o posicionamento das barras, devem ser colocadas barras complementares na direção transversal de modo a proporcionar a sustentação desejada. Convém ainda empregar dispositivos de apoio tais como caranguejos ou blocos de argamassa.
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L1
l2 / 4
l2=400
h = 10 .. Ø5.0 c30 – …
7
L2
l2 / 4
h=8
armadura de amarração h–3
25 Ø8.0 c15 – 212 5 200
l1 > l2 > l3
ou a
l2 é o maior entre os menores vãos
a/2
a = 2 .( l2 / 4) = 2 . (400/4) = 200 cm l3=300
l1=500
menor vão de L2 menor vão de L1 Figura 6.3 – Detalhamento de armadura superior (negativa) 6.2.1 Armadura negativa em balanços
•
Com continuidade
Nas lajes em balanço com continuidade as barras devem ser estender na laje contígua 1,5 vezes o comprimento do balanço. De modo a garantir o L1
L2
h = 10
h=8
.. Ø8.0 c12 – 312
.. Ø5.0 c30 – …
7
1,5 l
300 l
armadura de amarração 5
h–3
posicionamento das barras da
armadura
principal,
devem ser dispostas barras
a = 2 ,5 l = 300 cm complementares na direção cobrimento
transversal como indicado anteriormente.
l=120
Figura 6.5 – Detalhamento da armadura no balanço com continuidade
•
Sem continuidade
A armadura deve ficar ancorada na viga, é o caso de pequenas marquises de proteção. Deve-se destacar a necessidade de dimensionar a viga à torção.
.. Ø6.3 c15 – … h–3 Viga
armadura de Laje amarração
Figura 6.6 – Detalhamento da armadura no balanço sem continuidade
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6.3 Armaduras complementares: de canto e de bordo Além dos momentos fletores, surge na região dos cantos de lajes simplesmente apoiadas um outro esforço, denominado momento volvente (torsor), produzido pela tendência de elevação dos cantos da laje, do qual pode resultar em fissuras “de canto” na face superior, orientadas na direção normal à bissetriz, como indica a Figura 6.7. Lados simplesmente apoiados
Fissuras de canto
Figura 6.7 – Fissuras resultantes do momento volvente Em bordos simplesmente apoiados de lajes, podem surgir fissuras paralelas às vigas em razão da articulação da ligação laje-viga. Essas fissuras, indicadas na Figura 6.8 estão diretamente relacionadas à rigidez da laje (vão e espessura) e à magnitude do carregamento atuante.
CORTE AA fissuras de bordo lados simplesmente apoiados A
fissuras de bordo
A
fissuras de canto
Figura 6.8 – Fissuras de canto e de bordo
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Em geral, os momentos nos cantos e bordos das lajes simplesmente apoiados são pequenos em comparação aos momentos fletores calculados anteriormente, podendo ser dispensado o cálculo se forem adotadas armaduras conforme esquema mostrado na Figura 6.9. As armaduras devem ser colocadas junto à face superior da laje.
h-3 bw
As bordo
0,2 l
h-3 bw+0,2 l
bw
As ≥ 0,75 · As+
0,2 l As ≥ 0,25 · As+ bw+0,2 l
h-3 As ≥ 0,25 · As+ h-3
15Ø
15Ø
As canto
As+ : maior armadura positiva da laje l : menor vão Figura 6.9 – Armaduras de canto e de bordo Cabe destacar que a armadura de canto só deve ser colocada nos cantos formados pelo encontro de dois lados simplesmente apoiados. A armadura de bordo deve ser interrompida ao chegar à área destinada à armadura de canto.
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7. FORÇAS CORTANTES EM LAJES. REAÇÕES DE APOIO 7.1 Reações de apoio Em geral, nas lajes há interesse apenas nos cortantes máximos, ou seja, nas reações de apoio. Para o cálculo das reações, admite-se a divisão da laje em painéis rígidos, triângulos e trapézios, formados a partir de linhas de ruptura partindo dos vértices da laje, sendo a carga referente a cada painel transferida uniformemente ao apoio (viga) situado na base (bordo da laje) do painel, vide Figura 7.1. Os triângulos e trapézios são obtidos traçando-se, a partir dos vértices, retas inclinadas de: a. 45o – entre dois apoios do mesmo tipo (ambos apoios simples ou engastes); b. 60o – a partir do apoio engastado quando o outro for simplesmente apoiado; c. 90o – a partir do apoio quando o bordo vizinho for livre.
V1 Sendo “p” a carga na laje por m2, “A” as
60o
áreas formadas pelas linhas de ruptura,
A1
“L” e “l” os vãos da laje, as reações nas
V3
A3
l
vigas de apoio (V1, V2 e V3) podem ser obtidas por:
A2
45o
RV1 = p . A1 / L RV2 = p . A2 / L
V2 L
RV3 = p . A3 / l
Figura 7.1 – Configuração das linhas de ruptura para obtenção das reações de apoio As expressões para o cálculo das reações de apoio (cortantes máximos) de lajes estão indicadas na Tabela 7.1, onde as reações “R” são aquelas obtidas nos lados maiores da laje (de vão “L”) enquanto “r” são as dos lados menores (de vão “l”). Os índices “a” e “e” representam a vinculação da laje, apoiado Re
ou engastado. Assim, a indicação das reações de
ra
apoio, mostradas na Figura 7.2, ficaria como: Re = reação da laje no lado maior engastado; Ra
Ra = reação da laje no lado maior apoiado; ra = reação da laje no lado menor apoiado.
Figura 7.2 – Indicação das reações de apoio
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Para as lajes armadas em uma só direção, as reações devem ser obtidas como em vigas considerando a base unitária. Para as lajes retangulares com relação entre vãos superior a 2, portanto, armada em apenas uma direção, costuma-se considerar calcular as reações apenas para os apoios nos lados maiores, no entanto, os lados menores recebem uma contribuição (r), que pode ser obtida com as expressões da Tabela 7.1.
Aplicação: Determine as reações de apoio e o cortante máximo da laje L5, com os dados mostrados a seguir: Carregamento: L5 l=3,5 m
Peso próprio ( e= 9 cm): 2,25 Revestimento:
1,00
Carga variável:
1,50
Carga total (p) :
4,75 kN/m2
L=4m
Cálculo das reações de apoio (caso 3 na Tabela 7.1): ra = 0,732 ⋅
p ⋅l 4,75 ⋅ 3,5 = 0,732 ⋅ = 3,04 kN / m ; 4 4
re = 1,732 ⋅ ra = 1,732 ⋅ 3,04 = 5,27 kN / m ;
3,5 l Ra = ra ⋅ ⎛⎜ 2 − ⎞⎟ = 3,05 ⋅ (2 − ) = 3,43 kN / m ; 4 L⎠ ⎝ Re = 1,732 ⋅ Ra = 1,732 ⋅ 3,43 = 5,94 kN / m O cortante máximo corresponde à reação de apoio máxima na laje, de 5,94 kN/m. A força cortante solicitante de cálculo é obtida por
VSd = 1,4 Vk = 1,4 · 5,94
VSd = 8,32 kN / m
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Tabela 7.1 – Expressões para cálculo das reações da laje
Notação: p = carga por m2 l = menor vão da laje L = maior vão da laje ra = reação no menor lado da laje apoiado re = reação no menor lado da laje engastado Ra = reação no maior lado da laje apoiado Re = reação no maior lado da laje engastado
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7.2 Força cortante em lajes (bw ≥ 5d) Segundo o item 19.4.1 da NBR 6118, as lajes maciças ou nervuradas podem prescindir de armação transversal para atender aos esforços de tração oriundos da força cortante quando seu valor de cálculo (VSd) atender a seguinte expressão:
V Sd ≤ V Rd 1 A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:
[
]
VRd 1 = τ Rd ⋅ k ⋅ (1,2 + 40 ρ1 ) + 0,15 ⋅ σ cp ⋅ bw ⋅ d onde: - τ Rd = 0,25 ⋅ f ctd , tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento, em MPa; - f ctd = f ctk , inf γ c , valor de cálculo da resistência à tração do concreto, em MPa; - f ctk ,inf = 0,21 ⋅ 3 f ck2 ; resistência à tração do concreto, valor inferior em MPa; - ρ1 = As1 bw ⋅ d , taxa de armação longitudinal, não maior que 0,02. As1 é a área da armadura de tração que se estende até não menos que d + l b ,nec além da seção considerada, com
lb ,nec
(comprimento necessário de ancoragem) definido no
item 9.4.2.5 da NBR 6118 e Figura 7.3;
Figura 7.3 – Comprimento de ancoragem necessário (Figura 19.1 da NBR 6118) - d é a altura útil da laje, em metros; - bw = 1 m, largura unitária da laje, em metros; - σ cp = N Sd Ac , tensão normal no concreto sendo N Sd a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva), em MPa; - k é um coeficiente que tem os seguintes valores: = 1, para elementos onde 50 % da armadura não chega até o apoio; = 1,6 − d , não menor que 1, com d em metros.
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Aplicação: Determine o cortante máximo para se evitar armação transversal em uma laje com os seguintes dados:
h = 9 cm = 0,09 m d’=2,5 cm = 0,025 m; d = h – d’ = 0,09 – 0,025 = 0,065 m;
As = As ,mín = 0,1 % ⋅ bw h (armadura mínima em lajes armadas em duas direções). O cortante máximo corresponde ao valor do cortante resistente de projeto, VRd 1 , dado por:
[
= 0 (sem protensão)
]
V Rd 1 = τ Rd ⋅ k ⋅ (1,2 + 40 ρ1 ) + 0,15 ⋅ σ cp ⋅ bw ⋅ d
τ Rd = 0,25 ⋅ f ctd = 0,25 ⋅ ( f ctk ,inf γ c ) = 0,25 ⋅ (0,21 ⋅ 3 f ck2 / γ c ) = 0,25 ⋅ (0,21 ⋅ 3 25 2 / 1,4) = 0,32 MPa k = 1,6 − 0,065 = 1,535
ρ1 = As1 bw ⋅ d =
0,001 ⋅ bw ⋅ h 0,001 ⋅ 0,09 = = 0,00138 bw ⋅ d 0,065
VRd 1 = [0,32 ⋅ 1,535 ⋅ (1,2 + 40 ⋅ 0,00138 ) + 0,15 ⋅ 0] ⋅ 1 ⋅ 0,065 = 0,0401 MN = 40,1 kN
VRd 1 = 40,1 kN , força cortante resistente de cálculo da laje. Para que seja dispensada armação transversal na laje em questão, o cortante deve ser menor ou igual a 40,1 kN/m. Geralmente, o esforço cortante solicitante é bem inferior ao valor resistente, logo, o cisalhamento em lajes retangulares não chega a preocupar, no entanto, deve-se atentar para situações de carregamentos elevados, como o de reservatórios, onde são observados cortantes com valores significativos. Nessa situação, quando for constatada a necessidade de armação transversal (VSd > VRd1), costuma-se aumentar a espessura da laje, de modo a aumentar o valor resistente de cálculo, até que seja atendida o critério de dispensa da armação transversal, face a dificuldade de execução dessa armação. Atenção especial deve ser dada às lajes lisas (cogumelo) em razão das tensões elevadas de cisalhamento, e, por conseguinte, da possibilidade de ruptura por punção, o que pode comprometer a estabilidade da estrutura (colapso progressivo).
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8. VERIFICAÇÕES AOS ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO (ELS) Estão relacionadas à funcionalidade, aparência e durabilidade das estruturas em condições normais de utilização. Em geral, as principais verificações quanto aos ELS devem observar os seguintes aspectos:
•
flechas (ELS-DEF): devem ser limitadas a fim de evitar prejuízos à aparência da estrutura, dos elementos da edificação, ou ao uso da construção;
•
fissuração excessiva (ELS-W): devem ser limitadas de modo a evitar prejuízos à aparência, durabilidade e estanqueidade do elemento estrutural (reservatórios);
8.1 Verificação do Estado limite de Deformação Excessiva (ELS-DEF) - flechas Considera-se atendido ao estado limite de deformação excessiva quando o deslocamento do elemento estrutural (viga/laje) não ultrapassar os valores limites estabelecidos na NBR 6118. 8.1.1 Deslocamentos limites Deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) da estrutura. A NBR 6118 estabelece os valores limites, mostrados na Tabela 8.1, com base em quatro grupos básicos relacionados a seguir: a. aceitabilidade sensorial: caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável (vibrações em pisos, prejuízos à aparência); b. efeitos específicos: caracterizado por deslocamentos que limitem a utilização adequada da construção (quadra de ginásios, pistas de boliche, drenagem de coberturas e varandas, uso de equipamentos sensíveis em laboratórios); c. efeitos em elementos não estruturais: caracterizados por deslocamentos que acarretem em prejuízos ou mau funcionamento de elementos ligados à estrutura (esquadrias: janelas e portas, revestimentos, paredes, etc.); d. efeitos em elementos estruturais: caracterizados por deslocamentos que possam afetar o comportamento do elemento estrutural, afastando-o das hipóteses adotadas no cálculo (introdução de esforços não previstos no modelo estrutural).
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Os deslocamentos limites são normalmente estabelecidos com base no vão do elemento estrutural (viga/laje) e nas características do elemento estrutural. Tabela 8.1 – Deslocamentos limites (NBR 6118/2003)
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8.1.2 Cálculo dos deslocamentos (flechas) 8.1.2.1 Flecha inicial (imediata) O cálculo dos deslocamentos deve ser realizado considerando-se a rigidez efetiva das seções e a ação da fluência do concreto. Deve-se destacar que o carregamento a ser utilizado (permanente e variável) depende da situação em que se deseja verificar o deslocamento e da combinação de ações. Para as lajes armadas em uma direção, a obtenção das flechas é realizada como vigas de base unitária. Nas lajes retangulares armadas em duas direções, com apoios nos quatro lados, a flecha inicial (sem a consideração da fluência) pode ser obtida pela seguinte expressão:
ai =
β
p* ⋅ l 4 (cm) 12.000 Ecs ⋅ I ⋅
onde: β é o coeficiente obtido na Tabela 8.3 em função de λ = L l ; l é o menor vão, em m;
E cs = 4.760 f ck , é o módulo de elasticidade secante do concreto, f ck em MPa; p * = g + ψ 2 ⋅ q , é o valor do carregamento para combinação quase-permanente, em kN/m2, sendo:
ψ 2 = 0,3, para edifícios residenciais ψ 2 = 0,4, para edifícios comerciais ψ 2 = 0,6, para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens I é o momento de inércia da seção, em m4. No caso de seção não fissurada ( M a < M r ) pode-se utilizar o momento de inércia da seção bruta de concreto, I c = b w h 3 12 . Quando a seção estiver fissurada ( M a ≥ M r ) , pode-se empregar um momento de inércia equivalente obtido por I eq
⎛M = ⎜⎜ r ⎝ Ma
3 ⎡ ⎛M ⎞ ⎟⎟ I c + ⎢1 − ⎜⎜ r ⎢⎣ ⎝ M a ⎠
⎞ ⎟⎟ ⎠
3
⎤ ⎥ I II ⎥⎦
sendo:
M a é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços; M r é o momento de fissuração do elemento estrutural; I II é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II
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O momento de fissuração ( M r ) pode ser calculado com a seguinte expressão aproximada (NBR 6118) Mr =
α f ct I c yt
onde:
α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta, sendo
α = 1,2 para seções T ou duplo T α = 1,5 para seções retangulares f ct é a resistência à tração direta do concreto, igual a f ct ,m = 0,3 3 f ck2 no estado limite de deformação excessiva;
I c é o momento de inércia da seção bruta de concreto= bw h 3 12 ; y t é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada.
A momento de inércia da seção fissurada ( I II ) para seções retangulares sem armadura de compressão pode ser obtida por
I II =
bw x 3 + α e As (d − x) 2 3
onde:
α e = E s E cs é a relação entre os módulos de elasticidade do aço e o módulo secante do concreto; d é a altura útil;
As é a área de aço do elemento estrutural; x é a posição da linha neutra da seção fissurada, obtida por
x=
α e As ⎛⎜ ⎜ −1 + bw
⎝
1+
2 bw d α e As
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
8.1.2.2 Flecha diferida em decorrência da fluência do concreto A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência do concreto, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator α f dado pela expressão:
αf =
∆ξ 1 + 50 ρ '
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onde:
ρ '=
As' ; bw d
As' é a armadura de compressão;
ξ é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na Tabela 8.2 ou ser calculado pelas seguintes expressões:
∆ξ = ξ (t ) − ξ (t o )
ξ (t ) = 0,68 ⋅ (0,996 t ) ⋅ t 0,32 , para t ≤ 70 meses
ξ (t ) = 2 , para t > 70 meses Tabela 8.2 – Valores de ξ em função do tempo (NBR 6118)
onde:
t é o tempo, em meses, quando se deseja calcular o valor da flecha diferida; to é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. Cabe destacar que a flecha diferida só acontece para cargas de longa duração. Como as cargas de longa duração (peso próprio, carga de revestimento, paredes, etc.) são aplicadas em tempos diversos, pode-se utilizar o princípio das superposição de efeitos, aplicando-se diferentes coeficientes ξ , de acordo com o tempo de atuação do carregamento. 8.1.2.3 Flecha total A flecha total, imediata e diferida, pode ser obtida por:
atotal = ai + aig ⋅ α f = aig + aiq + aig ⋅ α f
a total = a ig ⋅ (1 + α f ) + a iq Pode-se realizar o cálculo da flecha total utilizando-se como carregamento, * ptotal , com a parcela de carga permanente ponderado pelo coeficiente α f :
atotal
β
* ptotal ⋅l4 * = ⋅ , sendo a carga ptotal = g ⋅ (1 + α f ) + ψ 2 ⋅ q 12.000 E cs ⋅ I
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Tabela 8.3 – Coeficiente β para cálculo das flechas em lajes
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Aplicação: Para a laje mostrada abaixo, com os momentos fletores em kNm, verificar o estado limite último de deformação excessiva (ELS-DEF), admitindo-se retirada do escoramento com 15 dias (0,5 mês) e aplicação do revestimento após 1 mês contado da concretagem da laje: Carregamento:
-5,6 L5
2
l=3,5 m
L5
1,8 -5,52
Tempo de aplicação
Peso próprio (h= 9 cm): 2,25 (g1)
tog1 = 0,5 mês
Revestimento:
1,00 (g2)
tog2 = 1 mês
Carga variável:
1,50
Carga total (p) :
4,75 kN/m2
(q)
Ma = 1,98 kN.m (momento máximo no vão) fck = 25 MPa d’ = 2,5 cm
d = 6,5 cm
L=4m
atotal =
A flecha total deve ser calculada por:
β
* ptotal ⋅l4 12.000 E cs ⋅ I
⋅
- módulo de elasticidade secante do concreto
E cs = 4.760 f ck = 4.760 25
E cs = 23.800 MPa
- momento de inércia: Ic (seção bruta: M a < M r ) ou Ieq (seção fissurada: M a ≥ M r ) ?
{
momento de fissuração ( M r ) :
Mr =
Mr =
α f ct I c yt
α f ct I c yt
=
α = 1,5 (seção retangular) f ct = f ct ,m = 0,3 3 f ck2 = 0,3 ⋅ 3 25 2 = 2,565 MPa = 2.565 kN / m 2
I c = bw ⋅ h 3 12 = 1 ⋅ 0,09 3 12 = 6,075 ⋅ 10 −5 m 4 y t = h 2 = 0,09 / 2 = 0,045 m
1,5 ⋅ 2.565 ⋅ 6,075 ⋅ 10 −5 0,045
M r = 5,19 kN ⋅ m > M a = 1,98 kN ⋅ m
deve-se empregar o momento de inércia da seção bruta de concreto:
I = I c = 6,075 ⋅ 10 −5 m 4 - coeficiente β (Tabela 8.3)
λ = L l = 4 3,5 ≅ 1,15 , como nos apoios os
momentos são maiores que os de fissuração, pode-se adotar para o coeficiente β , a média entre o tipo 1 (simplesmente apoiado) e o tipo 3 (2 bordas engastadas)
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL (UFPA / FEC) ESTRUTURAS DE CONCRETO II - PROF. RONALDSON CARNEIRO CARNEIRO versão: março/2008
tipo 3: β 3 = 3,18
tipo 1: β 1 = 6,20
β = ( β 1 + β 2 ) 2 = 4,69
- carregamento: * ptotal = ψ 2 ⋅ q + ∑ g ⋅ (1 + α f )
ψ 2 = 0,3 edifício residencial
αf =
∆ξ , como não há armadura de compressão ρ ' = 0 , logo, α f = ∆ξ . O 1 + 50 ρ '
coeficiente ξ é função da data de aplicação do carregamento (meses), assim:
α f 1 = ∆ξ = ξ (t ) − ξ (t 0 ) = ξ (∞) − ξ (0,5) = 2 − 0,54 = 1,46
para g1 em t 0 g1 = 0,5
α f 2 = ∆ξ = ξ (t ) − ξ (t 0 ) = ξ (∞) − ξ (1) = 2 − 0,68 = 1,32
para g 2 em t 0 g 2 = 1
* ptotal = g 1 ⋅ (1 + α f 1 ) + g 2 ⋅ (1 + α f 2 ) + ψ 2⋅ ⋅ q * ptotal = 2,25 ⋅ (1 + 1,46) + 1,0 ⋅ (1 + 1,32) + 0,3 ⋅ 1,5
* ptotal = 8,31 kN / m 2
- cálculo da flecha
•
atotal •
Carga total
β
* p total ⋅l4 4,69 8,31 ⋅ 3,5 4 = ⋅ = ⋅ 12.000 E cs ⋅ I 12.000 23.800 ⋅ 6,075 ⋅ 10 −5
atotal = 0,337 cm
Apenas carga acidental
p q* ⋅ l 4
β
4,69 (0,3 ⋅ 1,5) ⋅ 3,5 4 aq = ⋅ = ⋅ 12.000 E cs ⋅ I 12.000 23.800 ⋅ 6,075 ⋅ 10 −5
a q = 0,018 cm
flecha limite: Segundo a NBR 6118, o valor limite, a lim , é dado por: - a lim =
l (deslocamentos visíveis – carga total) 250 a lim =
- a lim =
350 l = 250 250
a lim = 1,4 cm
>
atotal = 0,337 cm
l (vibrações sentidas no piso – carga acidental) 350 a lim =
350 l = 350 350
a lim = 1 cm
>
a q = 0,018 cm
As flechas são inferiores aos valores limites, logo considera-se atendido o ELS-DEF para a laje em questão
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