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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
CENTRO DE TECNOLOGIA
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA NAVAL
ARQUITETURA NAVAL
Estática de Corpos Flutuantes
Prof. Protásio Dutra Martins Filho
Prof. José Henrique Sanglard
- 1996 -
Capítulo 1
ARQUITETURA NAVAL
1.1 - Introdução
Há milhares de anos atrás, quando o Homem adquiriu maior habilidade e
se tornou mais ousado, as tribos que viviam perto do mar nele se
aventuraram. Construíram jangadas, balsas, escavaram troncos de árvores e
rapidamente experimentaram a emoção de se mover na água, impulsionados
pelas correntes, ventos ou por um dispositivo auxiliar qualquer.
Experimentaram então os primeiros desastres marítimos - seus barcos
naufragaram, se partiram, emborcaram ou foram corroídos e vidas se
perderam.
Era natural, portanto, que os artesãos construtores de barcos de maior
sucesso recebessem o reconhecimento de seus companheiros e fossem
considerados arquitetos navais. O arquiteto perspicaz observou, talvez, que
o emborcamento era menos freqüente quando usava dois troncos unidos ao
invés de apenas um, ou quando utilizava um suporte lateral fixado na
embarcação, ou ainda que poderia manobrar melhor com um leme corretamente
posicionado.
As experiências desenvolvidas e acumuladas por esses arquitetos
primitivos passaram a outras gerações através do tempo: os Gregos
construíram seus trirremos e quadrirremos; os Romanos suas galeras; os
Vikings produziram magníficos barcos para combate e comércio. Muitos
séculos mais tarde, os arquitetos navais estavam projetando e construindo
grandes navios a vela para a guerra e para o comércio, baseados ainda no
conhecimento transmitido através das gerações, guardados com grande sigilo.
Eles aprendiam de forma empírica, por tentativas e erros, pois não tinham
outros meios disponíveis. Os desastres e acidentes no mar continuavam.
A necessidade de uma abordagem científica dos problemas de Projeto e
Construção Naval e, em particular, da Arquitetura Naval, deve ter sido
sentida vários séculos antes dela ser possível. Apesar da pedra angular
deixada por Arquimedes há mais de dois mil anos, essa abordagem só foi
possível a partir de época relativamente recente. Até a metade do Século
XVIII, o Projeto e a Construção de navios eram inteiramente artesanais,
pois se baseavam exclusivamente na intuição, na habilidade e na tradição
existentes. Na Inglaterra, em particular, somente a partir da segunda
metade do Século XIX é que a Ciência começou a afetar sensivelmente os
navios.
Isaac Newton e outros grandes matemáticos do Século XVII deixaram os
fundamentos de muitas ciências com aplicações e a Arquitetura Naval não foi
exceção. Sem sombra de dúvidas, entretanto, o pai da Arquitetura Naval foi
Pierre Bouguer, que publicou suas pesquisas e descobertas em 1746, no livro
Traité du Navire [2]. Nesse livro, Bouguer deixou os princípios básicos de
vários aspectos da Arquitetura Naval, que foram desenvolvidos mais tarde
por Bernoulli, Eüler e Santacilla no Século XVIII [3]. Lagrange e muitos
cientistas deram contribuições importantes, mas outra figura notável desse
século foi o construtor naval sueco Frederik Chapman. Seus estudos
pioneiros sobre resistência ao avanço de navios foram retomados cem anos
mais tarde por William Froude, resultando num grande número de experimentos
e na formulação do primeiro método para a estimativa da resistência ao
avanço de navios a partir de resultados obtidos com modelos em escala
reduzida.
A abordagem científica na Arquitetura Naval foi mais estimulada na
Europa Continental que na Inglaterra, onde permaneceu até os anos 1850 como
uma arte cercada de orgulho e segredo. A segunda metade do Século XIX,
entretanto, produziu Scott Russel, Rankine e Froude, e o desenvolvimento da
Ciência e a disseminação do conhecimento na Inglaterra foram rápidos a
partir de então.
1.2 - A Arquitetura Naval Hoje
A Arquitetura Naval atualmente trata dos problemas de segurança de
embarcações (flutuabilidade, estabilidade, resistência estrutural e
comportamento no mar) e de desempenho no mar (resistência ao avanço,
potência, velocidade, manobrabilidade). Todos estes aspectos estão
correlacionados com a geometria do casco (forma, arranjo do espaço de
carga, arranjo de conveses, etc).
Em termos da segurança do navio, o arquiteto naval se ocupa, em última
instância, das garantias contra o naufrágio mesmo quando estiver avariada.
Assegura que o navio seja suficientemente resistente para as condições de
operação no mar, de modo a não quebrar ou romper localmente, permitindo o
embarque de água ou a perda da carga, colocando em risco o homem, o
ambiente e o patrimônio. Tenta ainda assegurar que a tripulação tenha
grandes chances de sobrevivência nestas situações.
Em termos funcionais, os requerimentos de desempenho de um navio são
determinados pelas necessidades de transporte, de comércio, de guerra ou de
outra natureza. A carga deve ser transportada, de forma econômica, aos
locais especificados pelo armador em condições adequadas; o navio militar
deve transportar o máximo de armamentos e uma tripulação eficiente às
partes mais longínqüas do mundo, da maneira apropriada à intenção militar.
O conforto da tripulação e as facilidades para o exercício correto das
funções a bordo, bem como a velocidade de carga e descarga nos portos e até
mesmo operações especiais, como o abastecimento em mar aberto, são também
objeto de preocupação do arquiteto naval. Assim, a definição da embarcação
(tamanho, tonelagem, peso morto, velocidade, resistência, propulsão,
manobrabilidade e muitas outras características) e, ainda, os procedimentos
para sua produção (que devem garantir um custo de construção economicamente
compatível com a proposição originalmente colocada), devem estar
equacionados de forma a garantir consistência entre o resultado e a
necessidade que originou a demanda pela embarcação.
Em todos os aspectos anteriormente abordados a geometria do casco
constitui um elemento de referência essencial, cujas qualidades estéticas
devem estar em acordo com os propósitos da embarcação; um navio mercante
deve ser atraente para o cliente potencial do serviço oferecido, enquanto
um navio de guerra deve parecer (e, na medida do possivel, ser)
potencialmente ofensivo ao inimigo.
Capítulo 2
INTRODUÇÃO À ENGENHARIA NAVAL
2.1 - Introdução
Antes de estudarmos os problemas específicos da Arquitetura Naval,
será oportuno recordar alguns conceitos ou métodos importantes para a
análise e a compreensão do comportamento de corpos flutuantes.
Em especial, os conceitos físicos de pressão, força e momentos serão
relevantes, assim como o tratamento de distribuições contínuas ou não de
massa, áreas e volumes, resultantes e centros geométricos ou de gravidade.
Além disso, será necessário o uso de métodos numéricos para o cálculo
dessas propriedades, em particular no que se refere a integração e a
interpolação.
2.2 - Pressão, Força e Momento
O estudo clássico de equilíbrio e de movimento na Física trabalha com
partículas, corpos rígidos e forças concentradas resultantes. Entretanto,
na natureza, a rigor, não existem corpos rígidos nem forças concentradas,
mas sim corpos deformáveis ou elásticos e distribuições de massa, pressão
ou carregamentos diversos, ou seja, esforços distribuídos.
Embora apropriados para a verificação do equilíbrio de um sistema
mecânico, o uso de modelos de forças resultantes e concentradas é uma
simplificação ou redução da realidade que não retém características
importantes do fenômeno estudado.
No caso de corpos que atuam em contato direto com um fluido, o
reconhecimento das distribuições de massa e de pressão (empuxo) é de grande
importância, pois o corpo tem dimensões não nulas, a geometria pode variar
em cada direção e a distribuição de massa geralmente não é homogênea.
A ação entre porções de um fluido ou entre um fluido e certa área da
superfície de um corpo se dá sempre na direção normal à superfície de
contato. Por definição, a pressão é a intensidade da força normal que age
na unidade de área , ou seja, p = dF/dA [4].
Uma força pode ser entendida como um agente capaz de mudar o estado de
repouso, movimento ou de equilíbrio de um corpo ou sistema mecânico,
envolvendo os conceitos de inércia, de massa e de aceleração.
Para definir uma força concentrada é preciso ter sua magnitude, valor
absoluto ou módulo, o ponto de aplicação e a direção/sentido de atuação, já
que é uma grandeza vetorial.
Assim, duas ou mais forças aplicadas podem formar um sistema de
forças, cuja combinação ou soma vetorial produz uma única força equivalente
- a resultante do sistema. O ponto de aplicação da resultante de peso ou de
massa é o centro de gravidade do corpo ou do sistema mecânico considerado.
Por outro lado, uma força pode ser decomposta em direções
determinadas, cujas parcelas combinadas (Tx, Fy) resultariam na força
original. A decomposição de forças é uma operação de grande importância,
pois permite reduzir um sistema de forças apenas às componentes nas
direções desejadas ou apropriadas para a análise, de acordo com a Figura
2.1.
Figura 2.1 - Força e Momento
O momento de uma força em relação a um eixo representa a capacidade
dessa força em girar o corpo ou o sistema a que está aplicada em torno
desse mesmo eixo. Corresponde ao produto vetorial entre a força e o vetor
posição ou distância da linha de ação ao eixo considerado. O valor ou
magnitude do momento será dado pelo produto do módulo da força F pela
distância d de sua linha de ação ao eixo, também designada por braço do
momento.
2.3 - Distribuição de Massa - Centro de Gravidade
O ponto de aplicação da resultante das forças de gravidade sobre um
corpo ou sistema mecânico é o chamado baricentro ou centro de gravidade,
que é o ponto em que se pode considerar concentrada toda a massa do corpo
ou do sistema, para efeito de equilíbrio.
O centro de gravidade é, portanto, o ponto de equilíbrio para o qual a
soma dos momentos das componentes do corpo ou sistema em relação a qualquer
eixo passando por ele, se anula. Deste modo, considerando a geometria
mostrada na Figura 2.2, as seguintes relações serão válidas:
(1)
(2)
(3)
Isto quer dizer que, num corpo homogêneo, o centro de gravidade G
coincidirá com o centróide ou o centro geométrico do corpo.
Figura 2.2 - Centro de Gravidade
No caso em que se tenha certo número de corpos ou pesos constituindo
um sistema, a distância do centro de gravidade do conjunto em relação a um
eixo qualquer será dado por uma expressão do tipo
(4)
onde pi e di são os valores de cada peso e das respectivas distâncias ao
eixo de referência. A posição ou distância do centro de gravidade, assim,
corresponde à razão entre a soma dos momentos dos pesos que constituem o
sistema e o peso total do conjunto ou soma de todos os pesos envolvidos.
A aplicação mais comum do resultado anterior está nos casos de adição
ou retirada de pesos de um sistema, ou ainda no caso de haver apenas
movimentação de pesos no sistema.
Para ilustrar o efeito da retirada ou adição de pesos, consideremos
uma barra homogênea de seção constante apoiada no meio do comprimento,
portanto na linha de ação que contém seu centro de gravidade, como indica a
Figura 2.3.
Vamos supor que a barra esteja inicialmente em equilíbrio e que seu
peso total seja igual a P (Figura 2.3a). Se retirarmos ou cortarmos um
pedaço de peso p cujo centro de gravidade esteja a uma distância d do
centro de gravidade inicial da barra inteira, o sistema deixará de estar em
equilíbrio, pois será introduzido um momento expresso por
MG =-p.d (5)
ou seja, a retirada da parcela de peso equivale a aplicar uma força
vertical p de baixo para cima (Figura 2.3b).
Figura 2.3 - Retirada de Peso de um Sistema
A nova barra formada sem a parte relativa a p, por sua vez, possui
centro de gravidade em G1, isto é, o novo peso P-p gera um momento em
relação à posição do centro de gravidade da barra original G dado por
MG = (P-p). (6)
O momento dado pela equação (6) nada mais é do que o momento gerado
pela retirada de p, ou seja,
MG = (P-p). = -p.d (7)
O resultado acima pode ser generalizado, ou seja, quando um peso é
retirado/adicionado num sistema, o centro de gravidade resultante se
desloca na linha que une os centros de gravidade do sistema e do corpo, no
sentido oposto/mesmo sentido onde se localiza o corpo, de uma distância
dada respectivamente por
e (8)
No caso de mudança de posição apenas de um peso num sistema, o
problema é análogo ao anterior. Consideremos agora uma barra de peso P-p
com um peso móvel p, com peso total do conjunto igual a P, como mostrado na
Figura 2.4a.
Se deslocarmos o peso móvel de uma distância , o centro de
gravidade do conjunto vai se mover para G1, gerando novamente um momento em
relação à posição inicial G (Figura 2.4b), que será dado por
MG = = p.d = (9)
Figura 2.4 - Movimento de Pesos
Este resultado é semelhante ao do caso anterior e permite concluir que
quando apenas se move um peso num sistema, o centro de gravidade se desloca
no mesmo sentido, paralela e proporcionalmente à trajetória do peso, como
ilustra a Figura 2.5.
Figura 2.5 - Deslocamento de Pesos a Bordo
2.4 - Distribuições de Área e de Volume - Centróides
O conceito de centro de gravidade pode ser estendido ou adaptado, por
analogia, a distribuições de áreas ou volumes de figuras planas ou no
espaço, se as considerarmos como seções de corpos homogêneos. Neste caso,
haverá coincidência entre os centros geométricos e os centros de gravidade
dos corpos homogêneos hipotéticos associados. Como não se trata de um
sistema de forças ou de pesos real, os centros de área ou de volume são
denominados de centróides.
A analogia entre peso, área ou volume permite obter diretamente
expressões para a posição do centróide, a partir das equações anteriores,
substituindo os elementos de peso por elementos de área ou de volume,
conforme o caso, de acordo com a Figura 2.6.
Figura 2.6 - Centro de Área
Deste modo, as expressões da área e das coordenadas de seu
centróide serão
(10)
(11)
(12)
onde os termos xdA e ydA são os momentos estáticos ou primeiros momentos de
área em relação aos eixos x e y, respectivamente, ou seja, os somatórios
dos produtos de todos os elementos de área por suas distâncias aos eixos
considerados.
Do mesmo modo, podemos definir o segundo momento ou momento de inércia
de uma área em relação a um eixo como o somatório de todos os elementos de
área pelo quadrado de suas distâncias ao eixo, ou seja,
(13)
e
(14)
Observe que o momento de área equivale ao produto da área pela
distância de seu centróide ao eixo considerado, mas a inércia não é igual
ao produto da área pela distância ao quadrado de seu centróide ao mesmo
eixo!
Isto ocorre porque, no caso do primeiro momento de área, o valor do
momento em relação ao próprio centróide é nulo, já que haverá o
cancelamento dos produtos dos elementos localizados em posições anteriores
e posteriores em relação ao centro de área. No caso da inércia, porém, como
as distâncias estão ao quadrado, a inércia centroidal, isto é, a inércia em
relação ao próprio centro da área, será sempre não nula e mínima, excluindo-
se, é claro, o caso particular em que a área seja nula.
Esta propriedade está expressa em um resultado muito importante que é
o chamado teorema dos eixos paralelos. Para demonstrá-lo, vamos desenvolver
a expressão da inércia em relação ao centróide da área, substituindo x por
(x-xC) na equação (13) acima. Temos então
(15)
que substituindo dA por A e xdA por xCA resulta em
(16)
ou seja, o momento de inércia de uma área em relação a um eixo qualquer é
igual ao momento de inércia dessa área em relação a um eixo paralelo ao
primeiro que passa pelo centróide da área mais o produto da área pelo
quadrado da distância entre os eixos.
De modo semelhante, na direção y teríamos:
(17)
(18)
Para ilustrar a aplicação dos elementos acima, vamos calcular a
posição do centróide e a inércia centroidal de algumas figuras geométricas
planas. A Figura 7 mostra o caso clássico de um retângulo de largura b e
altura h. Embora a área e a posição do centróide sejam de fácil
determinação por simples geometria, vamos utilizar as equações (10) a (12)
para operar as relações desenvolvidas.
A área do retângulo pode ser obtida de várias maneiras, dependendo de
como tomarmos o elemento de área dA, isto é,
(19)
As coordenadas do centro de área C, em relação aos eixos x e y
indicados na Figura 2.7, serão dadas, respectivamente, por
(20a)
e
(20b)
Figura 2.7 - Centróide e Inércia de um Retângulo
As inércias da área do retângulo em relação aos eixos x e y serão,
respectivamente,
(21)
e
(22)
Em relação ao centróide da área do retângulo C(b/2,h/2), aplicando o
teorema dos eixos paralelos, teremos finalmente
(23)
e
(24)
A Figura 2.8 ilustra o mesmo problema para o caso de um triângulo. A
área do triângulo pode também ser obtida diversas maneiras, dependendo do
elemento de área dA tomado, isto é,
(25)
onde h(x) = h(1-x/b) e b(y) = b(1-y/h).
As coordenadas do centro de área do triângulo C, em relação aos eixos
x e y indicados na Figura 2.8, serão dadas agora, respectivamente, por
(26)
e
(27)
Figura 2.8 - Centróide e Inércia de um Triângulo
As inércias da área do triângulo em relação aos eixos x e y serão,
respectivamente,
(28)
e
(29)
Em relação ao centróide da área do triângulo C(b/3,h/3), aplicando o
teorema dos eixos paralelos, teremos as inércias centroidais
(30)
e
(31)
Por fim, podemos ainda obter as propriedades anteriores para um
círculo, de acordo com a geometria mostrada na Figura 9. O centróide da
área é o próprio centro da circunferência, suposto conhecido C(xC,yC), como
era de se esperar. Devido às condições particulares de simetria, a inércia
centroidal será a mesma em relação a qualquer eixo que contenha o centro do
círculo.
A área do círculo será dada por
(32)
Figura 2.9 - Inércia e Área de um Círculo
o que corresponde ao resultado já conhecido pela geometria clássica. A
hipótese de que o centro do círculo é o centróide da área é facilmente
confirmada se calcularmos os momentos estáticos de área em relação aos
eixos centroidais cx e cy (Figura 2.9), pois
(33)
e
(34)
Assim, a inércia centroidal da área do círculo será expressa por
(35)
e, pela simetria, temos ainda que Icy = Icx.
As propriedades das figuras planas obtidas anteriormente são bastante
úteis quando nos deparamos com corpos que são compostos por elas, pois
podemos combinar os resultados de cada elemento para obter as propriedades
do conjunto.
Entretanto, serão bastante comuns os casos em que a área de interesse
não é uma figura geométrica simples ou não pode ser decomposta em partes
que o sejam. Assim, será oportuno generalizar o cálculo da posição do
centróide e dos momentos de inércia de uma área sob uma curva qualquer, que
poderia representar a distribuição de área, volume ou massa de uma
embarcação, por exemplo.
Para isso, vamos considerar uma curva plana da forma y = f(x), como
ilustrado na Figura 10, e obter a expressão da área sob a curva, das
coordenadas de seu centróide e dos valores das inércias em relação aos
eixos coordenados, entre os limites a e b mostrados na mesma Figura.
Neste caso, a área sob a curva será dada por
(36)
e o momento de área em relação a y
(37)
de onde
(38)
Figura 10 - Geometria para o Cálculo do Centróide e Inércias de Área sob
uma Curva
De modo análogo, para o momento e o centróide em relação a x, teremos
(39)
Considerando que o braço de momento corresponde à distância entre o
centróide do retângulo elementar f(x)dx e o eixo x, ou seja, f(x)/2. A
posição do centróide em y será então
(40)
As inércias da mesma área em relação aos eixos x e y serão,
respectivamente,
(41)
e
(42)
As inércias centroidais podem ser obtidas como nos casos anteriores
subtraindo o produto das coordenadas do centróide ao quadrado pela área
total. A inércia em relação ao eixo x tem uma expressão particular, pois é
composta de duas parcelas, a primeira correspondente à inércia centroidal
do elemento e a segunda relativa à distância entre o centróide do elemento
e o eixo de referência, de acordo com a equação (42).
As equações desenvolvidas até aqui são gerais e supõem que haja uma
representação analítica para as curvas cujas características integrais
estejam sendo calculadas. Entretanto, no caso de embarcações, nem sempre
estarão disponíveis ou serão necessárias as equações matemáticas. A solução
das integrais anteriores deve, então, ser obtida por métodos numéricos.
Por isso, será de grande utilidade desenvolver expressões para
aproximar numericamente as relações e as propriedades acima, ou seja, obter
métodos numéricos de integração.
Capítulo 3
FLUTUAÇÃO
3.1 - Princípio de Arquimedes
Quando um corpo se mantém em repouso em um meio líquido,
necessariamente se encontra em uma condição de equilíbrio. Assim sendo, não
há forças (ativas ou reativas), em qualquer direção, que não estejam
equilibrados. Tampouco há momentos, oriundos de qualquer das forças
atuantes, que não estejam compensados por outros momentos, relativos às
outras forças atuantes no corpo. Intuitivamente isto é de fácil
verificação: se houvesse uma força não equilibrada, o corpo estaria
transladando em sua direção; analogamente, o corpo estaria fazendo um
movimento angular se houvesse um momento de força não equilibrada.
Portanto, para um corpo estar em equilíbrio, o somatório de forças
deve ser nulo em qualquer direção, isto é,
(i) (F = 0 (43)
e o somatório de momentos tomados em relação a qualquer eixo também deve
ser nulo, ou seja,
(ii) (M = 0 (44)
Não se fez discriminação entre corpos parcial ou totalmente imersos.
Isto porque não se deve fazer! Em qualquer das condições (parcial ou
totalmente imerso), se o corpo está em repouso, estará em equilíbrio, o que
significa que não há resultante de forças ou momentos provocando movimento.
Imaginando um ambiente totalmente calmo em volta do corpo, a única
força própria do corpo é seu peso P, já que ele se encontra sob efeito da
gravidade. Portanto, há uma força de reação que o líquido exerce sobre o
corpo, igual a seu peso, satisfazendo a (43), que recebe o nome de empuxo.
Assim, há equilíbrio porque o peso do corpo (P) é igual ao empuxo fornecido
pela água (E) e ambos atuam na mesma vertical (Figura 3.1).
Figura 3.1- Equilíbrio Hidrostático
Intuitivamente sabe-se que corpos de diferentes pesos específicos,
contidos no mesmo volume flutuam parcialmente imersos em condições
diferentes: o mais denso afunda mais. Tomando como exemplo um cubo de
cortiça e outro igual, porém de madeira, sabemos que se colocados a
flutuar, o de madeira (maior peso específico) vai imergir uma porção maior
de seu volume (Figura 3.2), que chamaremos volume de deslocamento. Pode-se
deduzir daí, que a reação do líquido sobre o corpo está intimamente ligado
à sua porção imersa.
Figura 3.2 - Volume de Deslocamento
Analisando somente a parte imersa do corpo, deduz-se que o empuxo só
pode ser obtido como resultado da pressão que o líquido exerce sobre a
superfície. Como a pressão depende da qualidade ou natureza do líquido ((),
da profundide considerada (h) e da aceleração da gravidade (g), podemos
quantificar o empuxo, já que estes parâmetros são de fácil conhecimento.
Em cada ponto da superfície do corpo, a pressão que o líquido exerce
sobre o corpo é dada por
p=(gh (45)
ao longo da superfície externa do corpo, que está em contacto com a massa
fluida, e a existência da pressão induz forças normais à ela, cujas
intensidades são proporcionais à pressão na superfície.
Figura 3.3 - Forças de Pressão sobre o Corpo
A força resultante deste emaranhado tri-dimensional de forças atuantes
pode ser calculado pela integração do produto da pressão pelo elemento de
área sobre a superfície, ou seja,
F = ( (g h dS (46)
As projeções ortogonais desta integral podem ser avaliadas
individualmente. Se tomarmos uma orientação cartesiana em x e y
(horizontais e normais entre si) e z (vertical), podemos avaliar as
resultantes horizontais independentemente, que serão dadas por
Fhx= ( (g h dA e Fhy= ( (g h dB, (47)
onde dA e dB são, respectivamente, os elementos dos domínios de integração
das projeções do perfil imerso do corpo sobre planos verticais de y
constante e de x constante.
As projeções horizontais resultantes Fhx e Fhy se compensam, pois se
opõem lado a lado no corpo, já que agem sobre pontos de igual profundidade
da superfície e são forças de mesma intensidade com direções opostas. A
Figura 3.4 ilustra esta conclusão.
Figura 3. 4- Equilíbrio das Forças Horizontais
Já com as componentes verticais isto não acontece, pois considera-se,
neste caso, pontos de profundidade diferentes (Figura 3.5a). Há resultantes
verticais, para cima, dadas pela diferença de profundidade (h entre pontos
situados na mesma vertical. (Figura 3.5b).
Figura 3. 5a - Resultante Vertical
dS
Figura 3.5b - Domínio de Integração Vertical
Agora podemos dizer que a resultante das forças na direção vertical é:
Fv = ( (g h dS (48)
Ou seja, integrando as componentes verticais das forças ao longo de S,
encontramos a resultante vertical dada por (48). Considerando constante os
parâmetros (, massa específica da água, e g, aceleração da gravidade,
chegamos a:
Fv = (g ( h dS (49)
em que o integrando representa o volume de um prisma de base dS e altura h.
Logo, a integral (49) representa o volume total da porção submersa do
corpo. Isto explica porque o corpo de maior peso específico submerge uma
porção maior de seu volume, pois precisará de maior empuxo para compensar
seu peso, na situação de equilíbrio.
Um outro ponto a ser estudado é o momento provocado por estas
componentes verticais de força. Tomando como referência para o momento os
eixos OX (momento em relação a OX = Mx) e OY (momento em relação a OY =
My), podemos escrever
Mx = ( y. (g h dS (50)
e
My = ( x. (g..h dS. (51)
Estas integrais podem ser reescritas na forma
Mx = (g ( y.h dS = (g.yC.Volume (50a)
e
My = (g ( x.h dS = (g .xC.Volume (51a)
onde yC e xC são respectivamente as coordenadas do centróide do volume
submerso.
A conclusão a que se chegou representa o enunciado do Princípio de
Arquimedes. Os parâmetros envolvidos neste princípio, em engenharia naval,
recebem as seguintes designações:
- centróide do volume submerso => Centro de Carena (B)
- volume submerso => Volume de Deslocamento (() e
- peso de embarcação => Deslocamento (().
O princípio de Arquimedes representa a chave para a solução de
problemas que envolvem flutuação de corpos. Através dele podemos prever com
que porção afundada do casco o navio vai flutuar ((F= 0 ) e ainda que
inclinação o navio vai apresentar se redistribuirmos os pesos de bordo,
através da análise dos momentos atuantes ((M= 0), pois com isto o CG será
alterado e o navio terá que se acomodar numa nova posição em que G e B
estejam na mesma vertical. A Figura 3.6a ilustra a situação descrita.
Figura 3.6a - Equilíbrio em Flutuação Livre
Mesmo quando outros elementos de força são atuantes na situação de
equilíbrio, isto é, quando a embarcação não se encontra em flutuação livre,
como por exemplo em situações de encalhe, as condições (F = 0 e (M = 0
se aplicam na caracterização da condição de equilíbrio hidrostático. O
princípio de Arquimedes permite avaliar a reação do meio fluido ou empuxo
(E), que em conjunto com a reação do solo no ponto de encalhe (R) e o peso
da embarcação ((), constituem as forças atuantes. A Figura 3.6b ilustra o
problema.
Figura 3.6b - Equilíbrio em Encalhe
No caso de corpos totalmente submersos como, por exemplo, um
submarino, as coisas se processam do mesmo modo, com a restrição de que o
Centro de Carena (B) estárpa fixo, não admitindo reacomodação do volume
submerso com a posição do corpo.
Como o empuxo E pode ser calculado através do volume deslocado pela
embarcação ( (Volume de Deslocamento) e também o ponto de aplicação desta
resultante é determinado pelo centro deste volume, o conhecimento da
geometria do casco, especialmente da parte submersa (obras vivas), torna-se
essencial para este cálculo. Na verdade o conhecimento e a capacidade de
cálculos sobre a geometria do casco tornam-se chave para a análise de
condições de flutuação (portanto condições de equilíbrio) de embarcações de
qualquer tipo.
Como já foi observado, a geometria do casco é o ponto de partida para
a análise de condições de equilíbrio das embarcações. O arquiteto naval
necessita, assim, que a representação geométrica da forma seja feita de
modo a facilitar seus cálculos. Uma maneira tradicional desta representação
é o Plano de Linhas, que apresenta seções do casco organizadas em três
planos de vistas ortogonais, em que são mostradas as seções planas do
casco, em verdadeira grandeza: plano de linhas do alto, mostrando
agrupadamente as seções verticais longitudinais do casco, plano de
balizas, mostrando as seções verticais transversais do casco, e, plano de
linhas d'água, com as seções horizontais agrupadas.
Este tipo de representação, criado para a descrição de cascos simples,
alongados e arredondados, dominantes entre as embarcações então, foi
responsável por uma cultura desenvolvida entre engenheiros navais, que
envolve técnicas e métodos que se apoiam nesta tradição. A mais forte
evidência disto está na adoção do termo linha d'água para definir o plano
de flutuação do navio e, ao mesmo tempo, qualquer uma das seções
horizontais representadas no Plano de Linhas.
Esta representação permitiu também que uma série de planos prováveis
de flutuação fossem calculados previamente, de forma a facilitar a análise
das condições mais comuns de equilíbrio. É este o caso das condições que
corriqueiramente chamamos de Flutuação Paralela.
3.2 - Flutuação Paralela
Como o navio não opera sempre na condição para a qual foi projetado,
torna-se interessante avaliar os parâmetros geométricos da porção submersa
do casco contra os prováveis calados do barco. Estando a geometria do casco
definida através do plano de linhas, torna-se evidente a conveniência em
avaliar estas propriedades geométricas do casco em função das interseções
alí representadas. Assumindo ainda que os planos de linha d'água
correspondem a situações de flutuação em equilíbrio, o cálculo do volume
deslocado em uma dada linha d'água pode ser feito pela integração
longitudinal das áreas de baliza (Aw), tomadas abaixo do plano de flutuação
considerado.
A Figura 3.7 mostra a Curva de Áreas Seccionais para o plano de
flutuação do navio. A função matemática Aw(x) exprime as áreas submersas
das balizas nas abscissas x, cuja integral fornece o Volume de Deslocamento
(, ou seja,
Volume = ( = (52)
Figura 3.7 - Integração Longitudinal para (
Também se pode fazer a integração vertical das áreas dágua, Awl(z),
até o calado considerado
Volume = ( = (53)
Pode-se ainda calcular o volume através da integração transversal das
áreas de linha do Alto, Aa(y),. tomadas até o calado considerado.
Volume = ( = (54)
Qualquer uma das abordagens de avaliação do volume exige, como passo
intermediário, a definição de áreas auxiliares de cálculo - Aw(x), Aw1(z)
ou Aa(y), que também podem ser avaliadas a partir das informações do plano
de linhas. Por exemplo, as áreas de linha dágua Awl, necessárias ao cálculo
do volume segundo (53), podem ser calculadas por
Awl =2 (55)
Figura 3.8 - Cálculo da Área de Linha d'Água
As áreas de balizas, envolvidas na expressão (52) para o cálculo do
volume, conforme ilustrado na Figura 3.9, podem ser calculadas através de:
Aw =2 (56)
Figura 3.9 - Cálculo da Área de Baliza
De maneira análoga, pode-se avaliar o volume submerso através da
integração das áreas de Linha do Alto, as quais podem ser calculadas, por
exemplo, por integração longitudinal, através de (Figura 3.10)
Aa = (57)
Figura 3.10 - Área de Linha do Alto
Para embarcações com geometria de casco bem comportada, como por
exemplo o "navio-caixa", o "navio cunha", o "navio meia cana", ou outras
embarcações facilmente tratáveis em termos analíticos, as avaliações dos
parâmetros geométricos expressos em (52) a (57) podem ser feitas
analíticamente. Para uma embarcação cuja geometrica de casco é qualquer,
estas integrais devem ser trabalhadas numericamente. Por este motivo a
representação geométrica feita no Plano de Linhas é devidamente acompanhada
da Tabela de Cotas, que tradicionalmente representa a fonte básica de
informações para os cálculos dos arquitetos navais.
A tabela de cotas constitui um modelo numérico da forma do casco, em
que estão representados os pontos sobre a superfície do casco, estruturados
de forma a caracterizar discretamente as balizas e as linhas d'água
representadas no plano de linhas. Há outros modelos possíveis que,
dependendo da forma do casco, podem ser mais ou menos adequados, porém
todos partem do princípio de que sua utilidade é a facilitação dos cálculos
julgados necessários pelo engenheiro naval.
Admitindo que calados paralelos ao de projeto representam as condições
mais prováveis de operação da embarcação, seria interessante elaborar a
montagem de uma curva que possa servir como referência dos volumes de
deslocamento para qualquer calado operacional. Tal curva pode ser traçada,
calculando-se o volume submerso para diversos calados, como apresentado na
Figura 3.11.
Figura 3.11 - Curva de Volumes contra Calados
Também podemos admitir a montagem de uma curva de Áreas de Linha
d'água (Awl) contra calado do navio, como mostrado na Figura 3.12,
calculando-se a área de linha d'água para diversos calados.
Figura 3.12 - Curva de Áreas de Linha d'água
A curva de volumes permite obter ou definir o deslocamento do navio
para qualquer calado paralelo. Para tanto, basta lembrar que o princípio de
Arquimedes relaciona o empuxo ao volume deslocado:
E = (g .volume submerso = ( ( (58a)
onde ( é o peso específico da água em que o navio flutua (ton/m3). Como o
empuxo deve ser igual ao peso do navio em situações de equilíbrio, tem-se:
( = ( ( (58b)
Considerando esta relação entre volume e deslocamento também se torna
útil traçar a Curva de Deslocamento em água salgada ((as médio = 1,025
ton/m3). Quanto à curva para água doce não é necessário já que,
deslocamento e volume de deslocamento se igualam numericamente em água doce
((ad = 1,0 ton/m3).
A análise das condições de flutuação das embarcações também requisita
a localização do centro de aplicação do empuxo, ou seja do centro de carena
(B), o qual depende exclusivamente da geometria submersa do casco. Como
este é um ponto no espaço tri-dimensional, sua definição será feita através
do sistema de coordenadas utilizado no plano de linhas (OX, OY e OZ). Uma
única observação deve ser feita sobre a coordenada longitudinal do centro
de carena (xB), o qual se situa normalmente na região de meio-navio: é
interessnate adotar-se uma referência auxiliar (se necessária) para a
identificação da coordenada longitudinal a partir de um plano a meio
comprimento do navio (separando vante e ré), que recebe a designação de
Plano de Seção de Meio Navio ou de Seção Mestra, identificada pelo símbolo
(.
A coordenada longitudinal do centro de carena (xB) será ora positiva,
ora negativa, dependendo de o centro de carena se encontrar a ré ou a vante
da Seção Mestra. A coordenada vertical (zB) será sempre positiva e seu
plano de referência é o Plano de Base. A coordenada transversal (yB) será
nula quando o navio se encontra em flutuação paralela à de projeto,
considerando o casco simétrico em relação ao plano diametral, que separa
boreste (y positivo) e bombordo (y negativo).
A posição longitudinal do centro de carena (xB ou LCB) pode ser
calculada através da integração vertical do momento de área de linha d'água
em relação à (, que dá momento de volume, dividida pelo volume, ou seja,
LCB = (59)
onde xF é a posição longitudinal do centróide da área de linha d'água. Deve
ser observado que a expressão (59) representa, no numerador, o momento do
volume submerso em relação ao plano de referência de xF (no caso, a Seção
Mestra).
O LCB pode também ser calculado através da integração longitudinal do
momento da área seccional (área submersa da baliza) em relação à seção
mestra, que também dá momento de volume, dividida pelo volume.
(60)
Embora não seja muito prático XB também poderia ser calculado com a
utilização das linhas do alto.
Os valores de xF(z) que aparecem em (59), quando referidos ao plano de
flutuação (z constante = T), são chamados de "posição longitudinal do
centro de flutuação (xF, LCF) e, da mesma forma que xB, estarão ora a
vante, ora a ré da seção mestra.
Os valores de xF podem ser calculados a partir da curva da linha
d'água, de acordo com a Figura 3.13, através da expressão:
(61)
Figura 3.13 - Cálculo do Centro de Flutuação
A posição vertical do centro de carena pode ser calculada através de
integração vertical do momento de área de linha d'água em relação ao plano
de base, que representa o momento de volume submerso em relação ao plano de
base, dividida pelo volume. Assim,
zB = KB = VCB = . (62)
A altura do centro de carena também pode ser calculada através da
integração longitudinal dos momentos de área seccional em relação ao plano
de base, que também representa o momento do volume, dividida pelo
volume,isto é,
VCB = . (63)
Há também a possibilidade de se calcular através da utilização das
linhas do alto, devidamente integradas transversalmente.
Os valores zC (x) que aparecem em (63) são as alturas dos centróides
das seções tranversais (áreas submersas de baliza), que podem ser
calculados por integração na baliza, através da expressão
zC (x) = . (64)
Figura 3.14 cálculo do centróide da baliza
De maneira semelhante à curva de volumes, as curvas das coordenadas do
centro de carena (xB e zB) podem ser montadas em gráficos, contra os
calados dos planos de flutuação paralelos. No cálculo destas curvas fez-se
uso de uma curva auxiliar, de xF, que também pode ser traçada contra os
calados, como mostra a Figura 3.15.
Figura 3.15 Curvas dos Centros de Carena e Flutuação
Para o traçado das curvas xF e zB utilizamos referência auxiliar - a
seção mestra (() - pela facilidade de montagem e de leitura conseguidas
desta maneira.
Uma observação interessante pode ser feita se for analisada a
expressão que calcula xB através da integração vertical dos momentos de
áreas de linha d'água mostrada na equação (59). O ponto máximo de xB
ocorre quando sua derivada em relação a z se anula, ou seja,
(65)
que pode ser reescrita sob a forma
(66)
que ainda pode ser escrita da seguinte forma
. (67)
A partir da expressão (53) pode-se reescrever a expressão acima (67)
na seguinte forma:
. (68)
Considerando que, na situação de máximo, esta derivada se iguala a
zero, teremos então que xF = xB max.
Este resultado significa que as coordenadas longitudinais do centro de
flutuação (xF) e do centro de carena (xB) são idênticas quando o centro de
carena do navio está no ponto mais avançado possível. Assim, as curvas xF e
xB , quando traçadas na mesma escala, cruzam-se no máximo de xB, de acordo
com a Figura 3.15. Isto não é muito difícil de ser verificado
intuitivamente ao se imaginar um navio que em determinada condição de
flutuação tem o centro de flutuação (F) avançado em relação ao seu centro
de carena (B); se afundarmos paralelamente o navio, o centro de carena vai
avançar, influenciado pela parcela de volume acrescentada ao deslocamento
(que tem seu centro próximo ao F da antiga posição do navio). Assim, xB
continuará avançando enquanto o F estiver à vante, deixando de avançar
quando F tiver a mesma posição longitudinal (xF = xB).
As informações de Volume de Deslocamento (() e Centro de Carena (B),
condensadas sob a forma de curvas contra calado paralelo, são suficientes
para verificação e avaliação das condições de flutuação paralelas à de
projeto. Entretanto, quando se lida com variações de calado - por inclusão
ou exclusão de pesos a bordo - elas não oferecem informações de leitura
direta. Por exemplo, não se sabe, por inspeção direta, onde colocar um
determinado peso a bordo para conseguir um novo calado paralelo. O
princípio de Arquimedes, no entanto, oferece condições para esta
determinação:
o novo plano de flutuação será uma nova condição de equilíbrio para o
navio; logo, o novo centro de carena e o novo centro de gravidade estarão
numa mesma vertical.
o deslocamento do navio passa a ser
só existirá um calado paralelo (T1) que comporta (1 que pode ser tirado
da curva de volumes ou de deslocamento.
o calado paralelo (T1) define um centro de carena cujas cooedenadas(zB1 e
xB1) podem ser levantados nas curvas hidrostáticas respectivas
desta forma resta definir para o navio uma nova posição para seu
centro de gravidade antigo, alterada longitudinalmente, para uma posição
tal que xG1 = xB1.
Figura 3.16 - Alteração do Deslocamento em Flutuação Paralela
Haverá somente uma posição longitudinal xP possível para P que leve o
novo centro de gravidade G1 a ter a mesma posição longitudinal que o
centro de carena B, como ilustrado na Figura 3.16.
A maneira mais intuitiva de se analisar o problema é observar somente
as variações ocorridas no peso e no empuxo:
para que se tenha equilíbrio na nova condição de flutuação, o somatório
de forças deve ser nulo:
(70)
ou seja, o volume da faixa do casco entre T0 e T1 (v) deve promover uma
adição de empuxo igual ao peso embarcado, isto é:
P = ( . v
também o somatório de momentos deve ser zero, isto é, o momento provocado
pela adição do peso P deve se igualar ao momento provocado pela variação
do empuxo:
(71)
onde xb é a posição longtudinal do centro de aplicação do empuxo adicional
((E), isto é, o centróide de faixa do casco entre T0 e T1. A avaliação
deste centróide pode ser feita por:
(72)
Concluindo, pode-se dizer que o peso P deve ser colocado em lugar tal
que sua posição longitudinal (xP) seja coincidente com a posição
longitudinal do centróide da faixa (xb), já que isto implicaria que o novo
plano de flutuação fosse de equilibrio, pois (F=0 e (M=0.
Esta maneira de analisar o problema permite ainda variações de
raciocínio quanto ao peso (P), que poderia ser considerado bastante
pequeno. Neste caso, se P for pequeno, a variação de calado seria também
bastante pequena (dT = T1 - T0). Sendo assim, a expressão (72) merece uma
análise mais detalhada.
Reescrevendo e equação (72) numa forma mais adequada, chegamos a
, (73)
cujo limite, quando T1 ( T0 , será
. (74)
Traduzindo esta conclusão matemática, pode-se dizer que peso
infinitesimal dP colocado sobre o centro de flutuação do navio, acarreta um
afundamento paralelo infinitesimal dT. Em engenharia, costuma-se trocar
infinitésimos por "finitésimos" e uma nova conceituação pode ser apontada
como uma aproximação: obtém-se um afundamento paralelo quando um peso P,
pequeno, for colocado sobre o centro de flutuação do navio. Esta idéia é
bastante difundida entre os engenheiros navais e empregada, às vezes, com
exagero, esquecendo-se de que se trata de uma aproximação.
Ainda considerando o peso embarcado pequeno, fica bastante difícil
definir o novo calado paralelo do navio (T1), através da curva de volumes
(ou de deslocamento); a escala em que a curva é normalmente traçada não
oferece precisão para isto. Uma maneira de se contornar este problema é
calcular, como aproximação, o volume da faixa (T0 -T1) como sendo o de um
prisma vertical de base Awl (T0). Ou seja considerando a faixa afundada do
casco como uma "lata de sardinha". Desta forma, pode-se escrever:
(75)
Se o peso puder realmente ser considerado pequeno, (T estará na casa
dos centímetros. Então, pode-se deduzir que seria útil traçar uma curva que
fornecesse quantas toneladas de peso são necessárias para provocar a
variação de um centímetro de calado paralelo.
Esta curva é comumente levantada para o navio com o sugestivo nome de
Toneladas por Centímetro de Imersão (TPC) e é definida pela seguinte
expressão:
(76)
A aproximação que se fez através da consideração de um prisma vertical
para o afundamento paralelo é chamada de aproximação para costados
verticais. Deve-se observar que, como se trata de uma aproximação, a
informação oferecida pela curva TPC não é exata e, portanto, deve der
utilizada com reservas.
Com as informações analisadas até aqui, há condições técnicas para
resolver qualquer problema que envolva condições de flutuação paralelas de
navios ou outros corpos flutuante. Tais problemas podem ser:
colocação ou retirada de pesos de bordo;
mudança de salinidade de água doce para salgada ou vice-versa (navio
deslocando-se de um rio/lago para o mar ou vice-versa); e
movimentação de pesos a bordo para corrigir inclinações.
3.3 - Flutuação em uma Linha d'Água Qualquer
Na seção anterior, foram identificadas as condições necessárias e
suficientes para que um navio flutue em condições de equilíbrio. São elas:
que o volume da parte imersa do casco (volume deslocado) seja
proporcional ao peso do navio (deslocamento), ou seja (F = 0; o
coeficiente de proporcionalidade é o inverso do peso específico do
líquido. Assim, se o casco não dispuser deste volume para deslocar
(reserva de flutuabilidade), não haverá plano de flutuação possível para
a embarcação;
que o centróide do volume deslocado (centro de carena do navio) esteja
alinhado verticalmente com o centro de gravidade do navio. Assim, no caso
da flutuação livre (sem outras forças atuando além da resultante de pesos
e resultante de empuxo) não haverá momento de forças provocando a mudança
da condição de flutuação, isto é, (M = 0.
Ainda com base nestas condições, definiu-se um conjunto de curvas para
alguns parâmetros ((, AWL, zB, xB e xF) que dependiam somente da geometria
do casco, supondo condições de equilíbrio paralelas à condição de flutuação
do projeto (LAP). Assim, caso o navio flutue em condição paralela, basta
saber o calado de flutuação para se conhecer os valores daqueles
parâmetros, através de interpolação nestas curvas. Entretanto, essas
informações não são suficientes para a análise de todas as condições
prováveis de flutuação do navio em operação. Haverá situações em que ele
não vai estar em flutuação paralela, podendo assumir banda (inclinação
transversal), trim ou compasso (inclinação longitudinal), ou ainda ambos.
Da mesma forma como foi feito anteriormente, pode-se estudar o
comportamento dos parâmetros dependentes da geometria imersa do casco e
apresentá-los de tal forma que permitam avaliar as condições de flutuação
em uma linha d'água qualquer. Este estudo será orientado por duas hipóteses
básicas: considerando que a embarcação assuma somente pequenas inclinações
em relação a uma condição de flutuação paralela tomada como referência - a
condição paralela equivalente (em que se adotará soluções aproximadas) e, a
segunda hipótese, considerando o caso mais geral de flutuação em qualquer
linha d'água (em que se desenvolverá outras ferramentas de apoio à análise
da flutuação do navio).
3.3.1 - Pequenas Inclinações
Quando um navio, mantendo seu deslocamento constante, assume planos de
flutuação com as mais diversas inclinações, dizemos que estas são
inclinações equivolumétricas; os planos de flutuação, em qualquer
inclinação, demarcam volumes de deslocamento iguais apesar das
configurações geométricas diferentes assumidas pela parte imersa do casco,
já que em qualquer condição de equilíbrio (e um plano de flutuação é
necessariamente uma condição de equilíbrio), (F = 0. Restringindo estas
inclinações aos infinitésimos no entorno de uma condição qualquer de
equilíbrio, verifica-se que os planos de flutuação se interceptam,
definindo um eixo muito particular.
Imagine dois planos equivolumétricos, separados por uma inclinação
transversal infinitesimal d(, como mostra a Figura 3-17.
Figura 3.17 - Inclinação Equivolumétrica
Como são inclinações equivolumétricas, a cunha que emerge deve ter
volume idêntico à que imerge, logo, dv1 = dv2. Tomando prismas verticais
com base ds, sobre a linha d'água inicial paralela, podemos escrever
(77a)
e
, (77b)
onde Se e Si são respectivamente, as porções da superfície de linha d'água,
que vão emergir e imergir.
Desde que d( é uma constante (inclinação transversal), pode-se
reescrever as expressões dos volumes das cunhas emersa e imersa na seguinte
forma:
(77c)
e
(77d)
Estas expressões igualadas resultam em que
, (78a)
ou seja,
MAi = Mae, (78b)
significando que o momento da área de flutuação imersa se iguala ao momento
de área da parte emersa. Ou seja, o eixo definido pela interseção dos
planos de flutuação é um eixo centroidal - ele contém o Centro de
Flutuação.
Se a mesma análise for feita com prisma elementares com base no plano
B, chegaremos à conclusão de que o mesmo eixo contém o centróide da área B.
Isto significa que dois planos de flutuação equivolumétricos afastados por
uma inclinação infinitesimal, definem um eixo que contém o centro de
flutuação de ambos. A conclusão a que se chega é o enunciado do Teorema de
Euler e representa, por extensão, a possibilidade de uma aproximação
simplificadora para condições de flutuação afastadas de pequenos ângulos de
inclinação longitudinal, isto é:
"Se existe um pequeno ângulo de trim, podemos dizer que os centros de
flutuação das áreas de linha d'água paralela paralela equivalente e
inclinada são coincidentes. Com isto, o navio em condição de trim pequeno
terá o mesmo deslocamento que se estivesse em condição paralela com o
calado do seu centro de flutuação" (Figura 3.18).
A partir da constatação de Euler, diz-se que o calado medido no Centro
de Flutuação do navio é o calado equivalente, já que o deslocamento do
navio pode ser avaliado na curva de deslocamentos (ou volumes), como
equivalente ao do navio flutuando em condição paralela com este mesmo
calado.
Figura 3.18 - Flutuação com Pequenas Inclinações
Apesar do teorema de Euler simplificar bastante o reconhecimento do
volume (ou deslocamento) para um navio com trim pequeno, não se pode obter
esta informação por leitura direta na curva de volumes, pois não se conhece
o Centro de Flutuação de uma linha d'água inclinada. Seria necessário o
calado do navio, medido no centro de flutuação, para leitura imediata. No
entanto, por inspeção no navio, só se pode conhecer os calados nas
perpendiculares e na seção mestra, através das marcas de calado no costado
da embarcação.
O calado no centro de flutuação ou calado equivalente, pode ser
conhecido com o uso da curva xF; traçando-se a linha de flutuação do navio.
Onde a linha de flutuação interceptar a curva de xF obtém-se o calado
equivalente, como no esquema mostrado na Figura 3.19.
Figura 3.19 - Calado Equivalente
Embora com o calado equivalente (Teq) se possa utilizar diretamente as
curvas de deslocamento e de volumes, esta não é uma maneira prática, por
envolver um processo gráfico de interpolação. Tradicionalmente costuma-se
definir e traçar curvas de correção ao deslocamento para trim, de modo a
oferecer uma leitura correta, diretamente, da seguinte forma:
com o calado médio, Tm = (Tav + Tar)/2, obtém-se das curvas hidrostáticas
os valores de xF, AWL e (.
o erro na leitura de ( é considerado como sendo motivado pela diferença
Teq - Tm, e a correção é feita através da hipótese de costados verticais,
de acordo com a Figura 3.20.
Da geometria mostrada na Figura 3.20 tem-se,
(79)
e, portanto,
(80)
que, compondo as expressões (79) e (80), resulta em
(81)
Figura 3.20 - Correção do Deslocamento Para Trim
Costuma-se definir trim (compasso para alguns) como sendo a diferença
entre os calados a ré e a vante, ou, mais precisamente,
Trim = t = Tar - Tav
(82)
de onde se conclui que que trim pela popa é positivo e trim pela proa é
negativo. Levando-se em conta esta definição, a tangente que aparece em
(79) pode ser quantificada como:
(83)
Em se tratando de trim de um centímetro, pode-se escrever
(83a)
e a expressão (80) pode ser reescrita como
(84)
ou, ainda, considerando a expressão (76)
(85)
Esta maneira alternativa para o cálculo do deslocamento corrigido
incorre em erros. Para cascos convencionais, com deslocamento operacional
em torno de (proj. , superestima a correção quando o trim se dá pela proa e
subestima a correção para trim pela popa. Isto se dá pela consideração de
costados verticais, tomando a área de linha d'água a menor, quando xF está
à ré e o trim se dá pela popa, ou, tomando a área a maior, quando o xF está
a vante e o trim é negativo.
A correção ao deslocamento foi introduzida para erros cometidos ao se
utilizar a curva de deslocamentos, lida para o calado médio, em situações
em que os navios experimentam trins pequenos. Dependendo da posição de xF",
à vante ou à ré da Seção Mestra, a correção será positiva ou negativa
respectivamente, já que o calado médio será menor ou maior que o calado
equivalente. A existência do sinal de correção pode ser verificada
matematicamente nas expressões (84) e (85). A Figura 3.21 mostra o aspecto
da curva CDCT.
Embora toda a análise e deduções feitas se apliquem ao caso de
inclinações transversais (banda), não se traçam curvas de correção para
inclinações transversais porque, como F está no plano diametral em
flutuação paralela, o calado equivalente e o calado médio serão os mesmos,
daí não haver correção a se considerar para pequenas inclinações, a boreste
ou a bombordo.
Figura 3.21 - Curva CDCT(z)
3.3.2 - Momento para Obter Pequenos Ângulos de Inclinação
A avaliação do deslocamento de navios com pequenos ângulos de trim
pode ser feita com a utilização do teorema de Euler ou, ainda, através da
curva CDCT, deduzida para uma estimativa em leitura direta. Entretanto, às
vezes se quer inclinar o navio longitudinalmente de um pequeno ângulo ou
mesmo anular uma pequena inclinação instalada.
Na verdade se quer alterar a condição de equilíbrio do navio para uma
outra com pequena inclinação em relação à primeira. Assumindo que a
embarcação esteja em flutuação livre, esta operação pode ser feita através
da alteração dos elementos de força envolvidos no equilíbrio, ou seja ,
alterando suas intensidades ou os pontos de aplicação, o Centro de Carena
ou o Centro de Gravidade. Supondo que não se pretende alterar o
deslocamento da embarcação ((F permanecerá constantemente nulo), o que se
tem disponível é a mobilidade dos pesos a bordo para promover um
reposicionamento do centro de gravidade G e, consequentemente, do centro de
carena B. Em outras palavras, deve-se alterar a distribuição de pesos
(massa) de maneira tal que os novos G e B se alinhem numa vertical, na nova
condição de equilíbrio (Figura 3.22).
Figura 3.22- Inclinação de Pequenos Ângulos
A conclusão a que se chega é que, ao se movimentar pesos a bordo,
altera-se o centro de gravidade e o navio altera seu centro de carena,
acomodando o volume submerso de tal maneira que (M se anule na nova
condição de equilíbrio. O comportamento de B depende da geometria do casco
- sucessivas inclinações corresponderão a centros de carena distintos, de
acordo com as linhas d'água que comportam o deslocamento ( do navio.
Suponha uma pequena inclinação longitudinal e, sucessivamente,
inclinações pequenas, cada uma a partir da anterior. O centro de carena se
desloca em direção paralela à dos centróides d das cunhas imersa e emersa
(Figura 3.23).
Figura 3.23 - Curva de Evolução de B
A curva descrita por B é uma curva plana, pertencente ao plano
diametral, em que cada ponto caracteriza um plano de flutuação. Se os
incrementos forem infinitesimais (d(), a curva descrita é côncava e a
normal define a linha de ação do empuxo, o qual se aplica no ponto B.
Conseqüentemente a tangente em cada ponto é paralela ao plano de flutuação.
Assim, pode-se ter a curva B descrita e calibrada conforme a Figura 3.23.
Considerando que as inclinações subentendem ângulos pequenos, a curva
B é razoavelmente bem aproximada por um círculo. Assim sendo o centro deste
círculo (restrito a uma região no entorno de uma posição B) poderá ser
utilizado para reconhecer a linha de ação do empuxo de planos de flutuação
próximas da condição de equilíbrio tomada como referência.
Figura 3.24- Metacentro Longitudinal
Da figura 3.24, pode-se escrever (assumindo M o centro do círculo no
entorno de B0):
(86)
A mudança de B0 para B1, , pode ser analisada através das cunhas
imersa e emersa, podendo-se escrever:
(87)
O segundo membro da expressão (87), representa o momento estático dos
volumes das cunhas com relação ao eixo passando pelo Centro de Flutuação F.
Assim,
(88)
onde dS é o elemento de área tomado na linha d'água paralela.
Lembrando que tgd( é uma constante, que pode ser confundida com d(
(medido em radianos), a expressão pode ser escrita da seguinte maneira,
(89)
onde a integral na expressão representa o momento de inércia longitudinal
da área de linha d'água, IL, com relação ao eixo que passa por F. Assim
pode-se escrever:
(90)
A expressão (90) define o raio do círculo que ajusta a curva B para
pequenos ângulos de inclinação, mas, na verdade, a curva de evolução de B
não é um círculo e tampouco M é um ponto fixo, já que varia com o ponto B
tomado como referência.
Com isto pode-se quantificar o momento necessário para acrescentar ou
retirar a pequena inclinação longitudinal, a partir de uma condição de
equilíbrio.
Observando a Figura 3.25 pode-se dizer que para conseguir a inclinação
(, deve-se colocar o centro de gravidade do navio, G, sobre a reta definida
por B1M. Ou seja, deve-se provocar um momento no sistema, quantificado por
MT = (. d (91)
onde d é o braço do binário Peso-Empuxo dado pela expressão:
d = sen( (92)
As expressões (91) e (92) nos permitem calcular o momento provocado
com a movimentação de pesos a bordo, que consegue movimentar G de tal forma
que um ângulo pequeno (, é experimentado pelo navio numa nova condição de
equilíbrio.
Figura 3.25- Braço do Momento de Trim
Por desconhecimento da localização do centro de gravidade do navio
(G), é comum lançar-se mão de uma aproximação para braço d: a distância
vertical BG é desprezada, confundindo-se GM com BM na expressão (3.33).
Esta aproximação não é tão grosseira quanto parece à primeira vista, porque
a dimensão de BM, calculada em (90), é muito maior que BG, da ordem do
comprimento do navio, devido à inércia longitudinal da área de linha
d'água. Outra aproximação que se costuma fazer é a substituição, em (92),
do sen ( por tg (, já o ângulo é pequeno. Com estas duas aproximações,
chega-se à seguinte expressão do momento necessário para inclinar o navio
de um ângulo pequeno:
M = (. .tg ( (93)
Esta aproximação é costumeiramente utilizada na definição de uma curva
para auxiliar estimativas de cálculos, em que o ângulo ( é tomado como o
que estabelece um trim igual a 1cm. Daí a curva Momento para Trimar Um
Centímetro (MTC) definida pela expressão:
(94)
Da mesma forma que a análise anterior foi feita para inclinações
longitudinais, poderia ter sido feita para inclinações transversais
(banda). Conclusões análogas seriam oferecidas, no entanto, uma observação
deve ser enfatizada: a curva descrita por "B" nas inclinações transversais
não é plana, porque a assimetria longitudinal do casco implicaria em que o
centro de carena se movesse ora para vante ora para ré, dependendo da
geometria da popa e da proa da embarcação. Trabalhando com a projeção da
curva sobre um plano transversal (o de Seção Mestra, por exemplo), pode-se
supor que também existe um ponto M, centro do círculo que ajusta a curva-
projeção. Este M é diferente daquele que já definimos, pois a inércia da
linha d'água diferencia o Raio Metacêntrico Longitudinal, definido em (90),
do correspondente transversal:
(95)
A inércia longitudinal da área da linha d'água, sendo muito maior que
a transversal, implica em que o Raio Metacêntrico Longitudinal seja
substancialmente maior que o seu correspondente transversal. Tendo esta
observação em mente, a aproximação feita ao desprezar a distância BG, não
poderá ser repetida para o cálculo do momento necessário para inclinar
transversalmente o navio de um pequeno ângulo (. No entanto costuma-se
definir e representar uma curva de Momento para Adernar um Grau (MAG), com
a seguinte expressão, que não pode ser aproximada:
(96)
As informações dos Raios Metacêntricos BML e BMT, ou seus
correspondentes em Alturas Metacêntricas ZML e ZMT (também chamadas KML e
KMT), são também comumente apresentados sob a forma de curvas . A Figura
3.26 ilustra a apresentação das curvas de alturas metacêntricas e de
momento para trimar um centímetro.
Figura 3.26- Curvas de KMT, KML e MTC
As expressões (90) e (95) envolvem a grandezas das inércias da área de
Linha D'água com relação aos eixos que passam pelo centróide, no cálculo
dos raios metacêntricos longitudinal (BML) e transversal (BMT). O momento
de inércia longitudinal pode ser obtido a partir da geometria ilustrada na
Figura 3.27:
(97)
Observe-se que a primeira parcela da expressão (97) calcula a inércia
com respeito ao eixo da Seção Mestra e a segunda representa o transporte do
eixo para o eixo paralelo que passa por F.
O momento de inércia transversal da área de linha d'água (IT), tem sua
expressão deduzida também a partir da Figura 3.27 e resulta em
(98)
Figura 3.27 - Inércia Longitudinal e Transversl
O integrando na expressão (98) representa o momento de inércia do
retângulo elementar em relação à Linha de Centro (eixo centroidal). Esta
expressão é assim porque o retângulo elementar tem dimensão finita na
direção ortogonal ao incremento. Daí se tomar a inércia centroidal do
retângulo e não apenas a área do elemento multiplicada por y(x)/2, ou seja,
. (99)
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P
E pudhco
Conclusão: se há equilíbrio, (F = 0, resultando em
Peso = Fv = (g .Volume submerso = Empuxo
e ainda (M = 0, isto é, os pontos de aplicação de peso e de empuxo estão
contidos numa mesma vertical.
