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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS
Concreto Armado: estados limites de serviço - ELS
Valdirene Maria Silva Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs José Samuel Giongo
São Carlos, setembro de 2009.
APRESENTAÇÃO
Este texto discute a rotina para a verificação dos Estados Limites de Serviço em elementos estruturais fletidos construídos em concreto armado. São estudados os critérios paras os cálculos do momento de fissuração (verificação do estado limite de formação de fissuras – ELS - F), das aberturas de fissuras (verificação do estado limite de abertura de fissuras – ELS - W) e dos deslocamentos (verificação do estado limite de deformações excessivas – ELS - DEF), com os critérios da NBR 6118:2003 (ABNT, 2004). Inicialmente são apresentados os critérios para determinação da posição da linha neutra, do momento de inércia e cálculo da tensão nas barras da armadura de tração, com as hipóteses dos Estádios I e II, conforme já estudados na disciplina SET 409 – Estruturas de Concreto Armado I no primeiro semestre de 2008. É feita, também, uma recordação das definições de estados limites e das combinações das ações necessárias para o dimensionamento no estado limite último e para as verificações dos estados limites de serviço. É apresentado um exemplo de viga simplesmente apoiada sendo que em etapa anterior da disciplina SET 410 – Estruturas de Concreto Armado II, 2008 foram feitos o dimensionamento e o detalhamento das armaduras. O texto que serviu de base para este trabalho foi escrito pela Engenheira Doutora Valdirene Maria Silva e pela Professora Doutora Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs, sendo que aqui ele foi revisado e adaptado pelo terceiro autor.
SUMÁRIO 1 1.1
Introdução Definições de estados limites
1 2
2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3
Ações e combinações Classificação das ações [NBR 6118:2003] Combinação de serviço das ações Combinações quase permanentes de serviço Combinações freqüentes de serviço Combinações raras de serviço
3 3 3 3 4 4
3 3.1 3.1.1 3.1.1.a 3.1.1.b 3.2 3.2.1 3.2.1.a 3.2.1.b
Estádios de comportamento de elementos fletidos em concreto armado Estádio I Propriedades geométricas de seções no estádio I Altura da linha neutra Momento de inércia Estádio II Propriedades geométricas de seções no estádio II Altura da linha neutra Momento de inércia
4 5 6 7 8 8 8 8 9
4
Estado limite de formação de fissuras
9
5 5.1 5.2
Estado limite de fissuração Valores máximos das aberturas das fissuras em função do meio ambiente Estado limite de fissuração de acordo com a NBR 6118:2003
10 11 11
6 6.1 6.1.1 6.1.2
Estado limite de deformação segundo a NBR 6118:2003 Avaliação aproximada da flecha em vigas Flecha imediata em vigas de concreto armado Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado
13 15 15 15
7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.4
Exemplo Esforços solicitantes Estado limite de formação de fissuras Combinação freqüente de serviço Momento de fissuração Estado limite de abertura de fissuras Cálculo da abertura de fissura para a condição de fissuração sistemática Cálculo da abertura de fissura para a condição de fissuração não sistemática Verificação do estado limite de deformação excessiva
16 17 18 18 18 19 19 20 21
8
Bibliografia
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Valdirene Maria Silva, Ana Lúcia H. C. El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Setembro de 2009 Concreto armado: estados limites de serviço
1 Introdução
1
(22 de Setembro de 2009)
A idéia de se dimensionar uma estrutura utilizando os procedimentos dos estados limites surgiu na Rússia nos anos de 1947 a 1949, tendo sido aprovada pelos órgãos técnicos em 1955 e aplicada à engenharia civil em 1958. O objetivo da consideração dos estados limites nas estruturas de concreto é determinar o limite além do qual um elemento estrutural não pode mais ser utilizado ou, em última instância, pode ser considerado inseguro ou próximo de atingir uma situação de ruína. Quando uma estrutura ou parte dela não satisfaz uma das suas finalidades na construção, diz-se que ela atingiu um estado limite. Os estados limites podem ser classificados em estados limites últimos ou de ruína (ELU) e estados limites de serviço (ELS). Os estados limites últimos nada mais são do que o esgotamento da capacidade resistente da estrutura e, em geral, é originado por um ou vários dos seguintes fenômenos: a.- Perda de equilíbrio de uma parte ou do conjunto da estrutura, assimilada esta a um corpo rígido; por exemplo, tombamento, arrancamento de suas fundações, deslizamentos etc.; b.- Ruína (colapso) da estrutura, ou seja, transformação da estrutura original em uma estrutura parcial ou totalmente hipoestática, por plasticidade; c.- Perda da estabilidade de uma parte ou do conjunto da estrutura, por deformação; d.- Deformação elástica ou plástica, deformação lenta e fissuração (no caso de concreto estrutural) que provoquem uma mudança de geometria que exija uma substituição da estrutura; e.- Perda de capacidade de sustentação por parte de seus elementos, ruptura de seções, por ter sido ultrapassada a resistência do material, sua resistência à flambagem, resistência à fadiga etc.; f.- Propagação de um colapso que se inicia em um ponto ou região da estrutura, para uma situação de colapso total – colapso progressivo ou falta de integridade estrutural; g.- Grandes deformações, transformação em mecanismo, instabilidade global; h.- Sensibilidade da estrutura aos efeitos da repetição das ações, do fogo, de uma explosão e outros. Os estados limites de serviço correspondem às exigências funcionais e de durabilidade da estrutura, podendo ser originados por um ou vários dos seguintes fenômenos: a.- Deformações excessivas para uma utilização normal da estrutura, como por exemplo: flechas ou rotações que afetam a aparência da estrutura, o uso funcional ou a drenagem de um edifício, ou que possam causar danos a componentes não estruturais e aos seus elementos de ligação;
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b.- Deslocamentos excessivos sem perda do equilíbrio; c.- Danos locais excessivos (fissuração, trincas, corrosão, escoamento localizado ou deslizamento) que afetam a aparência, a utilização ou a durabilidade da estrutura; d.- Vibração excessiva que afeta o conforto dos ocupantes da edificação ou a operação de equipamentos. 1.1 Definições de estados limites Seguem algumas definições de estados limites segundo a ABNT NBR 6118:2003. Estado limite último (ELU) Estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) Estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão de tração nas fibras mais solicitada na seção transversal for igual à resistência do concreto à tração na flexão (fct,f). Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos especificados em norma. Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) Estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal. Estado limite de descompressão (ELS-D) Estado no qual um ou mais pontos da seção transversal a tensão normal é nula, não havendo tração no restante da seção. Verificação usual no caso de concreto protendido. Estado limite de descompressão parcial (ELS-DP) Estado no qual garante-se a compressão na seção transversal, na região onde existem armaduras ativas. Essa região deve se estender até uma distância ap da face mais próxima da cordoalha ou da bainha de protensão, Figura 1.
Figura 1 - Estado limite de descompressão parcial
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Estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) Estado em que as tensões de compressão atingem o limite convencional estabelecido. Usual no caso do concreto protendido na ocasião da aplicação da protensão. Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) Estado em que as vibrações atingem os limites estabelecidos para utilização normal da construção. 2 Ações e combinações 2.1 Classificação das ações (ABNT NBR 6118:2003) São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura e devem ser verificadas como estabelecido a seguir: a.- quase-permanentes: podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas. b.- freqüentes: repetem-se muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedações. c.- raras: ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do Estado Limite de Formação de Fissuras. Na ABNT NBR 8681:2003 – Ações e segurança nas estruturas encontram-se as definições e classificações das ações, os seus valores representativos, os valores de cálculo, os critérios de combinações das ações, as expressões para cálculo das combinações últimas, os coeficientes de ponderação para combinações últimas e as resistências dos materiais. 2.2 Combinações de serviço das ações Nas combinações de serviço são consideradas todas as ações permanentes, inclusive as deformações impostas permanentes, e as ações variáveis correspondentes a cada um dos tipos de combinações, de acordo com os itens seguintes: 2.2.1 Combinações quase permanentes de serviço Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase permanentes Ψ2 FQk: m
n
i =1
j =1
Fd,uti = ∑ FGi,k + ∑ Ψ2 j ⋅ FQj,k
(2.1)
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2.2.2 Combinações freqüentes de serviço Nas combinações freqüentes de serviço, a ação variável principal FQ1 é tomada com seu valor freqüente Ψ1 FQ1,k e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase permanentes Ψ2 FQk: m
n
i =1
j= 2
Fd,uti = ∑ FGi,k + Ψ1 ⋅ FQ1,k + ∑ Ψ2 j ⋅ FQj,k
(2.2)
2.2.3 Combinações raras de serviço Nas combinações raras de serviço, a ação variável principal FQ1 é tomada com seu valor característico FQ1,k e todas as demais ações são tomadas com seus valores freqüentes Ψ1 FQk: m
n
i =1
j= 2
Fd,uti = ∑ FGi,k + FQ1,k + ∑ Ψ1j ⋅ FQj,k
(2.3)
3 Estádios de comportamento de elementos fletidos em concreto armado
Na verificação dos Estados Limites de Serviço não é possível considerar que o material que compõe as estruturas de concreto armado seja homogêneo, pois ele é constituído por concreto e barras de aço definindo, assim, um material heterogêneo. São usadas as expressões da Resistência dos Materiais na determinação das deformações e tensões nas barras de aço. Lembra-se que as expressões da RM foram deduzidas considerando o material homogêneo. Assim, como se tratam de estruturas de concreto armado há necessidade de se realizar a homogeneização do material. A seção transversal de uma viga, para a qual se quer determinar as deformações e as tensões, é homogeneizada considerando-se uma seção adicional de concreto que substitui a área da seção transversal de barras de aço. As deformações são proporcionais à profundidade da linha neutra, que precisa ser determinada nas situações de serviço, considerando, portanto, o estádio de comportamento em que o elemento estrutural se encontra. Na seqüência se efetuam os cálculos do momento de inércia e das tensões na seção transversal. É importante lembrar que é preciso conhecer as hipóteses dos estádios de comportamento dos elementos estruturais fletidos em concreto armado. Segundo AMARAL (1969) o fato das tensões não serem proporcionais às deformações e em virtude da pequena resistência do concreto à tração é necessário considerar diferentes fases da solicitação, a que correspondem trechos distintos do diagrama tensão-deformação (Figura 2). Não se pode estabelecer uma forma geral de cálculo válida para qualquer fase da solicitação. De acordo com a grandeza das tensões consideram-se três fases que se denominam como Estádios I, II e III do concreto.
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σ
compressão
tração
ε
Figura 2 - Gráfico tensão x deformação
Os estádios são diferentes fases pelas quais um elemento estrutural fletido em concreto armado passa quando é solicitado por uma ação variável de zero até a última, que provoca a sua ruína. 3.1 Estádio I O estádio I corresponde ao início do carregamento, é quando as solicitações são pequenas e o concreto resiste sozinho às tensões de tração. Esse estádio pode ser subdividido em dois: Ia e Ib. No estádio Ia o concreto resiste as tensões de tração e compressão no regime elástico linear, ou seja, as tensões são proporcionais as deformações, conforme Figura 3.
Figura 3 - Diagrama de tensão no estádio I
A verificação nesse estádio é feito segundo os princípios da resistência dos materiais, com tensão na borda comprimida calculada por: σc =
M ⋅x I
(3.1)
Resumo: - O concreto não está fissurado na região tracionada; - O diagrama de tensão é linear na tração e na compressão. Observação: - É utilizado para a verificação das deformações em lajes, uma vez que as lajes apresentam-se poucas fissuradas.
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No estádio Ib o concreto está na iminência de ruptura à tração, regime plástico, Figura 3. Com as hipóteses deste estádio calcula-se o momento de fissuração da peça, conforme item 4 deste texto. Depois de se iniciar a ruptura por tração, despreza-se toda a zona tracionada e passa-se para o Estádio II. Resumo: - O concreto ainda resiste à tração; - O diagrama de tensão na região comprimida é linear; - O diagrama de tensão na região tracionada é não-linear e a maior tensão solicitante de tração é igual à resistência do concreto à tração. Observação: - Pode ser utilizado no cálculo do momento fletor de fissuração (Mr), solicitação que pode provocar o início de formação de fissuras, e no cálculo da área da armadura mínima. A armadura de tração deve resistir, pelo menos, ao momento fletor resistido pela seção de concreto simples calculado no estádio Ib. 3.1.1 Propriedades geométricas de seções no estádio I O centro de rotação da seção e a rigidez da mesma são afetados pelo posicionamento da armadura e, neste caso, deve ser feita a homogeneização da seção para se utilizar a teoria clássica da Resistência dos Materiais, Figura 4. Em elementos estruturais de concreto armado todo detalhamento da armadura é feito procurando garantir a aderência entre o aço e o concreto, proporcionando a igualdade das deformações dos dois materiais. A armadura de tração submetida a uma determinada tensão é transformada em uma seção de concreto equivalente de acordo com a Equação (3.2) e com uma tensão equivalente dada pela Equação (3.3).
A *ct = α e ⋅ A s
σ eq =
σ st αe
(3.2) (3.3)
sendo: As = área da armadura de tração; σst = tensão na armadura de tração; A*ct = área de concreto equivalente à armadura de tração; σeq = tensão equivalente atuante na armadura de tração; αe = razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto. Observação: A ABNT NBR 6118:2003, por falta de valores precisos, recomenda que se adote:
αe = 15 para a razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto no caso de ações freqüentes ou quase permanentes; αe = 10 para a razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto para a situação de ações raras.
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Analogamente, a área da armadura de compressão submetida a uma determinada tensão é transformada em uma seção de concreto equivalente de acordo com a Equação (3.4) e com uma tensão equivalente dada pela Equação (3.5). A *cc = α e ⋅ A 's
σ eq =
(3.4)
σ sc αe
(3.5)
sendo: As’ = área da armadura comprimida; σsc = tensão na armadura comprimida; A*cc = área de concreto equivalente à armadura comprimida; αe = razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto; σeq = tensão equivalente atuante na armadura comprimida.
Figura 4 - Homogeneização da seção
3.1.1.a Altura da linha neutra No estádio I a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção homogeneizada, portanto o momento estático em relação à linha neutra (SLN) é igual a zero. SLN = zero Ou seja:
(
)
b w ⋅ xI2 b 2 + α e ⋅ A 's ⋅ xI − d' − α e ⋅ A s ⋅ (d − xI ) − w ⋅ (h − xI ) = 0 2 2
(3.6)
sendo:
αe = relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto; d' = distância do centro de gravidade de As’ até a borda comprimida do concreto; xI = altura da linha neutra no estádio I (cm). Para as situações em que a viga de seção retangular não possui armadura posicionada na região comprimida, as equações anteriores são válidas, basta fazer As’ igual a zero.
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3.1.1.b Momento de inércia O momento de inércia em relação a linha neutra pode ser calculado pela Equação (3.7). II =
b w ⋅ h3 ⎛h ⎞ 2 + b w ⋅ h ⋅ ⎜ − xI2 ⎟ + αe ⋅ A 's ⋅ ( xI − d' )2 + αe ⋅ A s ⋅ (d − x I ) 12 ⎝2 ⎠
(3.7)
3.2 Estádio II No estádio II, também chamado de estádio de fissuração, a resistência à tração do concreto é ultrapassada nas fibras mais afastadas da linha neutra. São consideradas somente as tensões de compressão no concreto, isto é, nos cálculos são desprezadas todas as áreas da seção de concreto correspondente à zona de tração. O concreto não resiste às solicitações de tração, sendo estas absorvidas pela armadura. Na região comprimida o diagrama de tensões é linear, Figura 5.
Figura 5 - Diagramas de tensões nos estádios I e II
Resumo: - Concreto fissurado na região tracionada; - Armadura resiste às tensões de tração; - O diagrama de tensão na região comprimida é linear; - O diagrama de tensão na região tracionada, onde não existe fissura, é nãolinear; Observação: - As vigas normalmente trabalham no Estádio II sob ações de serviço sendo, portanto, adotado na verificação das deformações em vigas e análise das vigas em serviço. 3.2.1 Propriedades geométricas de seções no estádio II 3.2.1.a Altura da linha neutra No estádio II despreza-se a colaboração do concreto na região tracionada em virtude da fissuração. O momento estático em relação à linha neutra é igual a zero, Equação (3.8), conforme figura 5 e com barras junto a face superior ( A 's ).
(
)
b w ⋅ xII2 + α e ⋅ A 's ⋅ xII − d' − α e ⋅ A s ⋅ (d − xII ) = 0 2
(3.8)
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sendo: αe = relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto; d' = distância do centro de gravidade de As’ até a borda comprimida do concreto; xII = altura da linha neutra no estádio II (cm).
Para situações em que a viga de seção retangular não possui armadura negativa, as equações anteriores são válidas, basta fazer As’ = 0. 3.2.1.b Momento de inércia O momento de inércia no estádio II em relação à linha neutra pode ser calculado pela Equação (3.9). III =
b ⋅ xII3 2 + α e ⋅ A 's ⋅ ( xII − d' )2 + α e ⋅ A s ⋅ (d − xII ) 3
(3.9)
4 Estado limite de formação de fissuras
4.1 Cálculo do momento de fissuração segundo a ABNT NBR 6118:2003 Nos estados limites de serviço as estruturas trabalham parcialmente nos estádios I e II. A separação entre essas duas partes é definida pelo momento de fissuração. Esse momento pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada: Mr =
α ⋅ fct ⋅ Ic yt
(4.1)
sendo: α = 1,2 para seções T ou duplo T; α = 1,5 para seções retangulares; α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta; yt = distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada; Ic = momento de inércia da seção bruta de concreto; fct = fctk,inf, para determinação do momento de fissuração, no estado limite de formação de fissura; fct = fctk,m, na verificação do estado limite de deformação excessiva (flechas).
A resistência à tração direta fct pode ser calculada em função das resistências à tração determinada por meio de ensaios de corpos-de-prova ensaiados à compressão diametral (expressão 4.2) ou por ensaios de flexão de prismas de concreto (expressão 4.3). fct = 0,9 fct,sp
(4.2)
ou fct = 0,7 fct,f sendo:
(4.3)
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fct,sp = resistência à tração indireta; fct,f = resistência à tração na flexão. A resistência à tração indireta e a resistência à tração na flexão é obtida em ensaios realizados segundo a ABNT NBR 7222:1994 e a ABNT NBR 12142:1991, respectivamente. Na falta da realização dos ensaios para obter a resistência à tração indireta e a resistência à tração na flexão pode-se obter o valor médio ou característico da resistência à tração direta do concreto (fct) por meio das seguintes equações, indicadas na ABNT NBR 6118:2003: fct,m = 0,3 ⋅ fck2 / 3
(4.4)
fctk,inf = 0,7 ⋅ fct,m
(4.5)
fctk,sup = 1,3 ⋅ fct,m
(4.6)
sendo: fct,m e fck expressos em megapascal. fct,m = resistência média à tração do concreto fck = resistência característica à compressão do concreto. No caso de viga de seção retangular α = 1,5 e substituindo na expressão 4.1 tem-se: Mr =
1,5 ⋅ fct ⋅ Ic yt
(4.7)
Ic =
b ⋅ h3 12
(4.8)
yt =
h 2
(4.9)
Portanto: Mr = 0,25 ⋅ fct ⋅ b ⋅ h2 (4.10) sendo fct = fctk,inf 5 Estado limite de fissuração
A matriz cimentícia apresenta duas desvantagens do ponto de vista estrutural, o problema de fissuração e a pouca tenacidade. A abertura de fissuras está intimamente ligada à durabilidade e ao desempenho das estruturas de concreto. O problema é que a fissuração dos elementos estruturais de concreto armado é inevitável, uma vez que o concreto possui pequena resistência a tração. Para garantir a proteção das armaduras
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e conseqüentemente a durabilidade das estruturas, é necessário controlar a abertura de fissuras. As fissuras na superfície de uma estrutura de concreto armado compromete a utilização, tanto na redução da durabilidade quanto no prejuízo que traz ao funcionamento e à estética. Por exemplo, em reatores nucleares, reatores químicos, reservatórios e edifícios correntes. A durabilidade da estrutura fica comprometida por facilitar a penetração dos agentes agressivos à armadura e à própria massa do concreto. Assim sendo, a abertura de fissura é prejudicial à durabilidade e função do meio em que está a estrutura. Desta forma, o estudo da fissuração tem que ser feito em 2 etapas distintas como a seguir. 5.1 Valores máximos das aberturas das fissuras em função do meio ambiente De acordo com a ABNT NBR 6118:2003 nas estruturas de concreto armado (armaduras passivas) a abertura máxima de fissura (wk) é da ordem de 0,2 mm a 0,4 mm, para garantir a proteção da armadura contra a corrosão. Nas estruturas com armadura ativa o aparecimento de fissuras pode ser mais nocivo porque a corrosão será na armadura sob tensão, portanto, é necessária uma maior preocupação quanto a agressividade ambiental (Tabela 1). Tabela 1 - Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em função das classes de agressividade ambiental [ABNT NBR 6118:2003] Classe de agressividade Exigências relativas à Combinação de ações em ambiental (CAA) e tipo fissuração serviço a utilizar de proteção Concreto simples CAA I a CAA IV Não há --CAA I Combinação freqüente ELS-W wk ≤ 0,4 mm Concreto armado CAA II a CAA IV Combinação freqüente ELS-W wk ≤ 0,3 mm Concreto Pré-tração com CAA I protendido nível 1 ou Combinação freqüente ELS-W wk ≤ 0,2 mm (protensão parcial) Pós-tração com CAA I e II Verificar as duas condições abaixo Concreto Pré-tração com CAA II protendido nível 2 ou ELS-F Combinação freqüente (protensão Pós-tração com CAA III e Combinação quase 1 ELS-D limitada) IV permanente Concreto Verificar as duas condições abaixo protendido nível 3 Pré-tração com CAA III e ELS-F Combinação rara IV (protensão 1 ELS-D Combinação freqüente completa) ELS-W – estado limite de abertura das fissuras; ELS-F – estado limite de formação de fissuras; ELS-D – estado limite de descompressão; ELS-DP –estado limite de descompressão parcial; Para as classes de agressividade ambiental CAA III e IV exige-se que as cordoalhas não aderentes tenham proteção especial na região de suas ancoragens; 1 A critério do projetista, o ELS-D pode ser substituído pelo ELS-DP com ap = 25 mm. Tipo de concreto estrutural
5.2 Estado limite de fissuração de acordo com a ABNT NBR 6118:2003 A formulação para determinar a abertura de fissuras é indicada na ABNT NBR 6118:2003, como a seguir se expõe. Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e ativa aderente (excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro de bainhas), que controlam a fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acr do
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concreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7,5φ do contorno do elemento da armadura, Figura 5. É conveniente que toda a armadura de pele φi da viga, na sua zona tracionada, limite a abertura de fissuras na região Acri correspondente, e que seja mantido um espaçamento menor ou igual a 15 φi.
Figura 5 - Envolvimento por concreto das barras da armadura
A grandeza da abertura de fissuras, wk, determinada para cada parte da região de envolvimento, é a menor entre as obtidas pelas expressões que seguem. Fissuração sistemática wk =
⎞ σ ⎛ 4 φi ⋅ si ⋅ ⎜⎜ + 45 ⎟⎟ 12,5 ⋅ ηi Esi ⎝ ρri ⎠
(5.1)
Fissuração não sistemática (assistemática) wk =
σ 3 ⋅ σ si φi ⋅ si ⋅ 12,5 ⋅ ηi Esi fctm
(5.2)
σsi, φi, Esi, ρri são definidos para cada área de envolvimento em exame. sendo: Acri = área da região de envolvimento protegida pela barra φi; Esi = módulo de elasticidade do aço da barra φi considerada; φi = diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; ρri = taxa de armadura passiva ou ativa aderente, que não esteja dentro de bainha, em relação a área da região de envolvimento (Acri); σsi = tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no Estádio II, com αe = Es / Es = 15; ηi = coeficiente de conformação superficial da armadura considerada, devendo ser adotados os valores de η1 para passiva, Tabela 2. Tabela 2 - Relação entre η1 e ηb Tipo de barra Lisa (CA-25) Entalhada (CA-60) Alta aderência (CA-50)
Coeficiente de conformação superficial ηb η1 1,0 1,0 1,2 1,4 2,25 ≥ 1,5
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O cálculo no Estádio II, que admite comportamento linear dos materiais e despreza a resistência à tração do concreto, pode ser feito considerando a relação αe entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto igual a 15. A ABNT NBR 6118:2003 permite analisar o estado de fissuração sem a verificação da abertura de fissuras. Para dispensar a avaliação da grandeza da abertura de fissuras e atender ao estado limite de fissuração (aberturas máximas esperadas da ordem de 0,3mm para o concreto armado), um elemento estrutural deve ser dimensionado respeitando as restrições da Tabela 3 quanto ao diâmetro máximo (φmax) e ao espaçamento máximo (smáx) das armaduras, bem como as exigências de cobrimento e de armadura mínima. A tensão σs deve ser determinada no Estádio II. Tabela 3 - Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta aderência em função da tensão na armadura na situação de serviço Tensão na barra σs (MPa) 160 200 240 280 320 360
Valores máximos smax φmax (cm) (mm) 32 30 25 25 16 20 12,5 15 10 10 8 6
6 Estado limite de deformação segundo a ABNT NBR 6118:2003
A verificação dos valores limites estabelecidos na Tabela 4 para a deformação da estrutura, mais propriamente rotações e deslocamentos em elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações, deve ser realizada por meio de modelos que considerem a rigidez efetiva das seções do elemento estrutural, ou seja, levem em consideração a presença da armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo. A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo, assim como das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração) no instante de sua efetiva solicitação. Em face da grande variabilidade dos parâmetros citados as deformações reais também. Não se pode esperar, portanto, grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos a seguir prescritos. De uma forma geral, o limite de deslocamento mais empregado nos cálculos é l / 250 , que corresponde a aceitabilidade visual e a drenagem de águas.
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Tipo de efeito Aceitabilidade sensorial
Efeitos estruturais em serviço
Tabela 4 - Limites para deslocamentos Deslocamento a Razão da limitação Exemplo considerar Deslocamentos visíveis Visual em elementos Total estruturais Vibrações sentidas no Por causa de Outro piso cargas acidentais Superfícies que devem drenar água
Coberturas e varandas
Pavimentos que devem permanecer planos
Ginásios e pistas de boliche
Elementos que suportam equipamentos sensíveis Efeitos em elementos não estruturais
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Total Total
Deslocamento limite
l / 250 l / 350
l / 2501 l / 350 + contraflecha2
Ocorrido após a construção do piso
l / 600
Laboratórios
Ocorrido após o nivelamento do equipamento
De acordo com a recomendação do fabricante do equipamento
Alvenaria, caixilhos e revestimentos
Após a construção da parede
l / 500 3 ou 10mm ou θ = 0,0017rad4
Ocorrido após a instalação da l / 250 3 ou 25mm divisória Provocado pela Paredes ação do vento para H/1700 ou Hi/8505 entre Movimento lateral de combinação edifícios pavimentos6 freqüente (ψ1=0,30) Provocado por Movimentos térmicos diferença de l / 400 7 ou 15mm verticais temperatura Provocado por Movimentos térmicos diferenças de Hi/500 horizontais temperatura Ocorrido após Forros Revestimentos colados l / 350 construção do forro Revestimentos Deslocamento pendurados ou com ocorrido após a l / 175 juntas construção do forro Deslocamento Desalinhamento de provocado pelas Pontes rolantes H/400 trilhos ações decorrentes na frenação Afastamento em Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, relação às hipóteses de seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem cálculo adotadas ser considerados, incorporando-as ao modelo estrutural adotado Divisórias leves e caixilhos telescópicos
Efeitos em elementos estruturais Notas: 1 As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água. 2 Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que l / 350 . 3 O vão l deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve. 4 Rotação nos elementos que suportam paredes. 5 H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos. 6 Este limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de ações horizontais. Não devem ser incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento, quando Hi representa o comprimento do lintel. 7 O valor l refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno. Observações: a) Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão l suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço. b) Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o valor l é o menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o vão menor. c) O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes de acompanhamento. d) Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.
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6.1 Avaliação aproximada da flecha em vigas O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço como materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo do elemento estrutural podem ter as deformações específicas determinadas no Estádio I, desde que o momento fletor de cálculo (Md,ser) não supere o momento de fissuração (Mr), e, no Estádio II, em caso contrário. Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs, Equação (6.1), sendo obrigatória a consideração do efeito da fluência. Ecs = 0,85 ⋅ 5600 ⋅ fck
(MPa)
(6.1)
6.1.1 Flecha imediata em vigas de concreto armado Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas pode-se utilizar a fórmula de rigidez equivalente (Fórmula de Branson - ACI) conforme 6.2.
(EI)eq
⎧⎪⎛ M ⎞ 3 ⎡ ⎛ M ⎞ 3 ⎤ ⎫⎪ r ⎟⎟ ⋅ Ic + ⎢1 − ⎜⎜ r ⎟⎟ ⎥ ⋅ III ⎬ ≤ Ecs ⋅ Ic = Ecs ⋅ ⎨⎜⎜ M ⎢⎣ ⎝ Ma ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩⎝ a ⎠
(6.2)
sendo: Ic = momento de inércia da seção bruta de concreto; III = momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II, calculado com αe = Es/Ecs; Ma = momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, para a combinação de ações considerada nessa avaliação; Mr = momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas; Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto. 6.1.2 Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado A flecha adicional diferida, decorrente das ações de longa duração em função da fluência, podem ser calculadas de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão: αf =
Δξ 1 + 50 ⋅ ρ′
(6.3)
sendo:
′ As ρ′ = b⋅d
(6.4)
ξ é um coeficiente em função do tempo, que deve ser calculado pela expressão seguinte, ou obtido diretamente na Tabela 5.
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Δξ = ξ(t ) − ξ(t 0 )
(
(6.5)
)
ξ(t ) = 0,68 ⋅ 0,996 t ⋅ t 0,32 ξ(t ) = 2
para t ≤ 70 meses
(6.6)
para t > 70 meses
(6.7)
Tabela 5 - Valores do coeficiente ξ em função do tempo
Tempo (t) Meses Coeficiente ξ (t)
0
0,5
1
2
3
4
5
10
20
40
≥70
0
0,54
0,68
0,84
0,95
1,04
1,12
1,36
1,64
1,89
2
sendo: t = tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; t0 = idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso de parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes pode-se tomar para t0 o valor ponderado a seguir: t0 =
∑ Pi ⋅ t 0i ∑ Pi
(6.8)
sendo: Pi = parcelas de carga; t0i = idade em que se aplicou cada parcela Pi, em meses. O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1+αf). 7 Exemplo
Este exemplo de viga de concreto armado discute as verificações com relação aos estados limites de serviço que precisam ser feitas à luz da ABNT NBR 6118:2003. Considera-se que a ação concentrada, reação da viga V2, é constituída de duas parcelas: um permanente G = 80 kN e outra variável normal Q = 70 kN. A ação uniformemente distribuída, oriunda das reações de apoio das lajes, é igual a gk = 14,30 kN/m e qk = 5,70 kN/m. A força gk é relativa às ações permanentes que atuam nas lajes que se apóiam na viga, o peso próprio da viga e a ação de uma parede de alvenaria a ser construída sobre a viga. A força qk é por causa das reações de apoio das lajes levando-se em conta as ações variáveis normais que nelas atuam. Na edificação as ações acidentais atuantes nas lajes não superam 5 kN/m2. Lembra-se que este exemplo é continuação do projeto da viga 1, quando se fez o dimensionamento com relação às tensões normais e tangenciais, inclusive com o detalhamento completo das barras das armaduras. Dados para o projeto: Concreto C30 (fck = 30 MPa)
Aço CA-50 (fyk = 500 MPa)
As = 20,10 cm2 (10 φ 16,0 mm)
bw = 25cm
h = 75cm
A figura 6 mostra o eixo da viga destacando a seção na qual é introduzida força concentrada, que á a reação de apoio da viga V02, que dista 4m do apoio da esquerda, a seção transversal da viga na seção mais solicitada a momento fletor, para a qual foram dimensionadas 10 barras de 16,0mm de diâmetro, conforme já visto em etapa anterior do curso.
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Os diagramas de momentos fletores e forças cortantes são desenhados para as ações permanentes (g) e variáveis normais (q).
7.1 Esforços solicitantes Ação permanente:
Ação variável normal:
Figura 6 - Diagramas de esforços solicitantes e seção transversal - viga V01
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7.2 Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) 7.2.1 Combinação de serviço freqüente A combinação de serviço freqüente é calculada de acordo com as hipóteses da ABNT NBR 6118:2003, resultando: MSd,ser = MG,k + Ψ1 ⋅ MQ,k MSd,ser = 222,9 + 0,4 ⋅ 154,2 = 284,6 kN.m 7.2.2 Momento de fissuração O momento de fissuração é determinado com a expressão indicada na ABNT NBR 6118:2003 apresentada no item 4 deste texto. Mr =
α ⋅ fct ⋅ Ic yt
sendo: α = 1,5 para seções retangulares; yt = 37,5 cm, ou seja, igual a altura da viga (75cm) dividida por 2; Ic =
b ⋅ h3 = 878.906 cm 4 12
Cálculo da resistência de tração do concreto (fct) para a verificação do ELS-DEF fct = fct,m = 0,3 ⋅ fck2 / 3 = 0,3 ⋅ 302 / 3 = 2,90 MPa = 0,290 kN / cm2
para a verificação do ELS-F fct = fctk,inf = 0,7 ⋅ 0,3 ⋅ fck2 / 3 = 0,7 ⋅ 0,3 ⋅ 302 / 3 = 2,03 MPa = 0,203 kN / cm2
O cálculo do momento de fissuração para verificação do estado limite de formação de fissuras (ELS-F) é feito por: Mr =
1,5 ⋅ 0,203 ⋅ 878.906 = 7.136,7 kN.cm = 71,4kNm 37,5
O cálculo do momento de fissuração para verificação do estado limite de deformação excessiva (ELS-DEF) é calculado por: Mr =
1,5 ⋅ 0,290 ⋅ 878.906 = 10.195,3 kN.cm = 102,0 kN.m 37,5
Como o momento de serviço de cálculo com o qual se verifica o estado limite de formação de fissuras (MSd,ser = 284,6kNm) é maior do que o momento de fissuração (Mr = 71,4kNm) e, portanto, há grande probabilidade de ser iniciar o processo de fissuração nas seções transversais onde ocorrem estas relações entre os momentos fletores. Assim, é necessário realizar a verificação das aberturas das fissuras que ocorrerão na viga, quando em serviço.
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7.3 Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W) De acordo com a ABNT NBR 6118:2003, considerando a classe de agressividade ambiental II, a máxima abertura das fissuras na situação de serviço da viga é igual a wk ≤ 0,3 mm. A combinação de esforços solicitantes com a qual se faz a verificação é a freqüente. 7.3.1 Cálculo da abertura de fissura para a condição de fissuração sistemática: A expressão para calculo da abertura de fissuras considerando-as sistemáticas, de acordo com a ABNT NBR 6118:2003, é: w=
⎞ σ ⎛ 4 φi ⋅ si ⋅ ⎜⎜ + 45 ⎟⎟ 12,5 ⋅ ηi Esi ⎝ ρri ⎠
Determinação da taxa de armadura passiva em relação à área da região de envolvimento (Acr), considerando o arranjo das barras da armadura longitudinal de tração na seção transversal, desprezando-se, por uma decisão de projeto as barras da armadura de pele: ρr =
As A cr
As = 20,10cm2 (10 Φ 16,0mm) Acr = 25 . 19,4 = 485cm2 ρr = 0,0414
Figura 7 - Determinação da taxa de armadura em relação a área Acr
A tensão de tração no centro de gravidade das barras da armadura tem que ser determinada considerando as hipóteses do Estádio II. E, para isto, é preciso calcular a profundidade da linha neutra no Estádio II (xII) e, depois, o valor do momento de inércia (III). A posição da linha neutra no Estádio II, com αe = 15, é calculada pela equação 3.8, com a área das barras da armadura comprimida igual a zero, pois no dimensionamento a linha neutra, no estado limite último, ficou aquém do valor limite entre os domínios 3 e 4. A profundidade da linha neutra é calculada com a equação 3.8, com os dados de projeto da figura 6 (seção transversal) resultando: 25 ⋅ x II2 − 15 ⋅ 20,1⋅ (69,4 − x II ) = 0 2 portanto, xII = 30,6cm
(equação 3.8)
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O momento de inércia no Estádio II, com αe = 15, é calculado pela equação 3.9 e com A sc = A 's igual a zero, pois no dimensionamento da viga, feito em etapa anterior do projeto, resultou domínio 3 de deformações e, portanto, sem necessidade de barras de armadura junto a face comprimida da viga. b ⋅ x II3 2 III = + αe ⋅ A s ⋅ (d − x II ) 3 Substituindo os valores de xII, αe e d, resulta: III =
25 ⋅ 30,6 3 2 + 15 ⋅ 20,1⋅ (69,4 − 30,6 ) = 692.662 cm 4 3
A equação com a qual se calcula a tensão nas barras da armadura, considerando as hipóteses do estádio II, no centro de gravidade das barras da armadura, é indicada a seguir. Essa equação foi deduzida com os critérios da Resistência dos Materiais, porém fazendo-se a homogeneização da seção transversal, conforme exposto no item 3.1. σ s,II =
αe ⋅ MSd,ser 15 ⋅ 28.460 ⋅ [d − x II ] = ⋅ [69,4 − 30,6] III 692.662
Substituindo os valores calculados resulta: σ s,II = 23,9 kN / cm 2 = 239 MPa
A título da comparação lembra-se ao leitor que ao dimensionar-se a viga com as hipóteses do estado limite último foi adotado valor da tensão de cálculo igual a resistência de escoamento das barras de aço, que no caso de aço CA-50 é igual a 435MPa. Substituindo na equação 5.1 com a qual se calcula a abertura das fissuras, lembrando que ηi é igual a 2,25 (aço CA-50), vem: wk =
16 23,9 ⎛ 4 ⎞ ⋅ ⋅⎜ + 45 ⎟ = 0,09 mm < 0,3 mm 12,5 ⋅ 2,25 21.000 ⎝ 0,0414 ⎠
7.3.2 Cálculo da abertura de fissura para a condição de fissuração não sistemática: A equação 5.2 deste texto, indicada na ABNT NBR 6118:2003, com a qual se calcula a abertura de fissuras considerando-as não sistemáticas é dada por: wk =
φi σ 3 ⋅ σsi ⋅ si ⋅ 12,5 ⋅ ηi Esi fctm
Substituindo convenientemente os parâmetros vem: wk =
16 23,9 3 ⋅ 23,9 ⋅ ⋅ = 0,16 mm < 0,3 mm 12,5 ⋅ 2,25 21.000 0,290
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De acordo com os critérios da ABNT NBR 6118:2003 a verificação de apenas uma das equações é suficiente, porém as duas expressões resultaram valores de aberturas de fissuras menores que a limite indicada na norma. A viga, portanto, pode ser construída, pois, na situação de serviço, não apresentará ao longo de sua vida útil fissuras com abertura maiores que a abertura limite especificada. 7.4 Verificação do estado limite de deformação excessiva Na verificação do estado limite de deformação excessiva da viga, a flecha precisa ser menor ou igual a l / 250 , que é o critério de aceitabilidade sensorial, indicado na ABNT NBR 6118:2003. Seguem os cálculos para a determinação da flecha. A combinação das solicitações a considerar é a quase permanente por meio da expressão: Md,ser = MG,k + Ψ2 ⋅ MQ,k
Substituindo os valores dos momentos fletores calculados no item 7.1, resulta: Md,ser = 222,9 + 0,3 ⋅ 154,2 = 269,2kNm O cálculo da rigidez equivalente é feito pela equação 6.2 (Fórmula de Branson):
(EI)eq
⎧⎪⎛ M ⎞ 3 ⎡ ⎛ M ⎞ 3 ⎤ ⎫⎪ r ⎟⎟ ⋅ Ic + ⎢1 − ⎜⎜ r ⎟⎟ ⎥ ⋅ III ⎬ ≤ Ecs ⋅ Ic = Ecs ⋅ ⎨⎜⎜ M ⎢⎣ ⎝ Ma ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩⎝ a ⎠
O valor do módulo de elasticidade secante é calculado, em função da resistência característica à compressão do concreto, por: E cs = 0,85 ⋅ 5600 ⋅ fck = 0,85 ⋅ 5600 ⋅ 30 = 26.072 MPa = 2.607 kN / cm2 Para esta verificação de deslocamentos é necessário calcular a posição da linha neutra (xII) e o momento de inércia (III) no estádio II, pois, segundo a ABNT NBR 6118:2003, a relação entre os módulos é calculada por: αe =
Es 210.000 = = 8,05 26.072 E cs
Considerando a figura 6 e a equação 3.9 tem-se: b w ⋅ x II2 − α e ⋅ A s ⋅ (d − x II ) = 0 2 Substituindo os valores convenientemente, resulta: 25 ⋅ x II2 − 8,05 ⋅ 20,1⋅ (69,4 − xII ) = 0 2 ou seja,
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xII = 24,2cm Momento de inércia no estádio II é calculado com a equação 3.9. III =
b ⋅ x II3 2 + αe ⋅ A s ⋅ (d − x II ) 3
Substituindo αe = Es/Ecs = 8,05, As = 20,1cm2, d = 69,4cm e xII = 13,2cm, resulta: 25 ⋅ 24,23 2 III = + 8,05 ⋅ 20,1⋅ (69,4 − 24,2) = 448.678 cm 4 3 O momento de inércia da seção bruta, sem considerar a fissuração, ou seja deformações compatíveis com o estádio I, é igual a b w ⋅ h3 25 ⋅ 75 3 Ic = = = 878.906 cm 4 12 12 Substituindo na expressão com a qual se calcula o produto de inércia equivalente tem-se:
(EI)eq
⎧⎪⎛ 10.195,3 ⎞3 ⎡ ⎛ 10.195,3 ⎞3 ⎤ = 2.607 ⋅ ⎨⎜ ⎟ ⋅ 878.906 + ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ 448.678 ⎪⎩⎝ 26.920 ⎠ ⎣⎢ ⎝ 26.920 ⎠ ⎦⎥
⎫⎪ ⎬ ≤ 2.607 ⋅ 878.906 ⎪⎭
Portanto, tem-se:
(EI)eq = 1.230.631.209 kN ⋅ cm2 ≤ Ecs ⋅ Ic = 2.291.308.948 kN ⋅ cm2 O cálculo da flecha imediata é feito considerando a combinação quase permanente e as contribuições parciais das ações concentradas e uniformemente distribuídas, conforme segue. A expressão para cálculo da combinação quase permanente de serviço para as ações concentradas é: Fd,ser = Gk + Ψ2 ⋅ Qk Fd,ser = 80 + 0,3 ⋅ 70 = 101 kN A expressão com a qual se calcula a combinação quase permanente de serviço para as ações uniformemente distribuídas é: Fd,ser = gk + Ψ2 ⋅ qk Fd,ser = 14,3 + 0,3 ⋅ 5,7 = 16,0 kN / m = 0,16 kN / cm O valor da flecha inicial no ponto de aplicação das ações concentradas (x=4m), seção de momento fletor máximo, utilizando as expressões da Mecânica das Estruturas, é
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3 2 ⎤ Fd,ser ⋅ a 2 ⋅ b 2 fd,ser ⋅ l 4 x ⎡⎛ x ⎞ ⎛x⎞ + ⋅ ⋅ ⎢⎜ ⎟ − 2 ⋅ ⎜ ⎟ + 1⎥ ai = 3 ⋅ (EI)eq ⋅ l 24 ⋅ (EI)eq l ⎣⎢⎝ l ⎠ ⎝l⎠ ⎥⎦ 3 2 ⎤ 101⋅ 4002 ⋅ 3002 0,16 ⋅ 7004 400 ⎡⎛ 400 ⎞ ⎛ 400 ⎞ + ⋅ ⋅ ⎢⎜ ai = ⎟ − 2⋅⎜ ⎟ + 1⎥ 3 ⋅ 1.230.631.209 ⋅ 700 24 ⋅ 1.230.631.209 700 ⎣⎢⎝ 700 ⎠ ⎝ 700 ⎠ ⎦⎥
Resultando: ai = 0,56 + 0,39 = 0,95 cm
O valor da flecha diferida com a consideração do tempo é calculada de maneira aproximada pelo produto da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão:
αf =
Δξ 1 + 50 ⋅ ρ′
Sendo que a taxa de armadura de compressão é calculada por: ρ′ =
′ As =0 b⋅d
Igual a zero, pois, não há armadura de compressão exigida na verificação do Estado Limite Último, quando se calculou a área de armadura longitudinal tracionada, sendo que, por ter a posição da linha neutra resultado no domínio 3, não há necessidade de armadura dupla. Δξ = ξ(t ) − ξ(t 0 ) , considerando t > 70 meses e ξ (t 0 ) = 1 mês, que é viável pensando-se na entrada em serviço aos 28 dias de idade, tem-se:
Δξ = 2 − 0,68 = 1,32 e, portanto: α f = 1,32
A flecha final fica igual a:
l = 2,8cm 250 Assim, a viga pode ser construída, pois a flecha na situação de serviço, por causa das deformações, mesmos considerando os efeitos da deformação lenta, não serão maiores que o limite ( l /250) indicado na ABNT NBR 6118:2003. a final = a i ⋅ (1 + α f ) = 0,95 ⋅ (1 + 1,32) = 2,20 cm ≤
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