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EP2 – O Caminho das Pedras
Entendendo o problema:
Basicamente é fornecer os dados necessários para fazer uma interpolação de
terceiro grau a partir de uma tabela de dados dada. Um bom exemplo disso é
a ferramenta Spline do Microstation que pelo menos uma pessoa do seu grupo
de PCC2121 usou para fazer seu projeto das torres de energia.
Roteiro – como fazer.
Parte 1
Resolvendo o sistema
Primeiro você deve atribuir os valores da tabela de dados do enunciado a
dois vetores e depois declarar um outro vetor que armazenará as diferenças
entre as coordenadas x consecutivas da tabela de dados (os h's). Após isso,
basta fazer o cálculo dos di's (resultado das equações do sistema linear
tridiagonal) com base na fórmula dada no enunciado do EP. Perceba que você
só vai utilizar os vetores dos h e o que armazena a coordenada y da tabela
de dados no cálculo dos di's.
Agora começaremos a fazer tudo o que precisa para resolver o sistema
linear.
Usando aquelas três equações dadas no enunciado, você calculará as
diagonais do sistema tridiagonal. Com a primeira equação do spline "not a
knot", você tem a primeira equação do sistema linear. As outras equações
são dadas pela segunda equação do enunciado do EP e a última é dada pela
outra equação do spline "not a knot".
Com tudo em ordem, resolva o sistema, utilizando o método descrito no EP1.
Os resultados desses sistema são os m's necessários para fazer a
interpolação. Veja que você calculou os m1, m2, ..., mn-1, logo faltam o m0
e o mn que são calculados por meio de mais outras duas equações dadas no
enunciado do EP. Agora você já possui o sistema, agora vamos calcular o
CDB.
Calculando o CDB
A partir dos dados do enunciado, você terá tudo para interpolar o valor da
taxa. Primeiro veja em qual intervalo está o valor que você quer interpolar
e depois interpole utilizando uma fórmula bem grande do enunciado do EP.
Com a taxa, calcule o CDB e pronto! A parte 1 já está feita.
Parte 2
Antes do sistema
É mais ou menos a mesma idéia. Só muda o tipo de spline e o número de
sistemas para resolver (são três). Primeiro armazene os valores dados no
enunciado e calcule os tk's (parâmetros). Depois calcule os h's os di's
(utilizando as fórmulas do spline cúbico periódico).
Como Resolver o sistema
Monte a matriz dos coeficientes (são três vetores) a partir das equações
dadas no enunciado do EP (Spline cúbico periódico). Com tudo isso,
resolveremos três sistemas. Eles são compostos pela matriz dos coeficientes
calculada acima, mas mudam nos resultados das equações (di's). O primeiro é
o vetor (h[1]/(h[1]+h[2]),...,0), o segundo é o vetor
(0,...,h[1]/(h[1]+h[n])) e o terceiro é o vetor dos d'is'que já estão
calculados. Os três vetores solução são necessários para achar a solução do
sistema linear do spline cúbico periódico. Primeiro ache m1 e mn resolvendo
o sistema 2x2 do enunciado (só isolar as variáveis e mandar o computador
calcular). Depois calcule os outros m's com mais outras fórmulas do
enunciado do EP.
Obtendo as soluções
Agora é so calcular utilizando o procedimento acima os m's para os pontos
(x, tk), e (y, tk) e pronto! O seu EP está feito.
