Eletromagnetismo

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1 APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 1 FORÇA ENTRE CARGAS ELÉTRICAS E O CAMPO ELETROSTÁTICO Os primeiros fenômenos de origem eletrostática foram observados pelos gregos, 5 séculos antes de Cristo. Eles observaram que pedaços de âmbar (elektra), quando atritados com tecidos adquiriam a capacidade de atraírem pequenas partículas de outros materiais. Como a ciência experimental e dedutiva ainda estava longe de ser desenvolvida, o interesse nesse fenômeno sempre permaneceu no campo da lógica e da filosofia. A interação entre objetos eletricamente carregados (força eletrostática) só foi quantificada e equacionada no século 18 (1746), por um cientista francês chamado C. Coulomb. 1.1 - FORÇA ENTRE CARGAS ELÉTRICAS - LEI DE COULOMB O trabalho de Coulomb consistiu em, usando uma balança de torção muito sensível, medir a força de atração (ou repulsão) entre dois corpos carregados, em função da distância que os separava. Conceito A intensidade da força entre dois objetos pequenos, separados pelo vácuo ou pelo espaço livre, sendo a distância entre eles muito maior que os seus raios, é diretamente proporcional ao produto entre as cargas, e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. F=k F (N) Q1, Q2 R k (C) (m) Q1.Q 2 R2 (N) (1.1) Força de origem eletrostática, de repulsão (cargas de mesmo sinal) ou atração (cargas de sinais opostos) Cargas elétricas, positivas ou negativas Distância entre os centros das cargas Constante de proporcionalidade A constante k vale: k= ⎛ Nm 2 ⎞ 1 = 9.109⎜⎜ 2 ⎟⎟ 4πε0 ⎝ C ⎠ A constante ε0 é a permissividade elétrica do espaço livre. No S. I. (Sistema Internacional) seu valor é: ε 0 =8,854 x10 −12 = 10 −9 ( F / m) 36π A força eletrostática é uma grandeza vetorial: possui intensidade, direção e sentido. Ela age ao longo da linha que une as duas cargas. Também é uma força mútua. Cada uma das cargas sofre a ação de uma força de mesma magnitude, porém, de sentido contrário. A força será repulsiva, se as duas cargas forem de mesma natureza (mesmo sinal), ou atrativa, se de sinais contrários. Reescrevendo-a vetorialmente: UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino 2 APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I r r F2 = - F1 = v F1 v F2 r R 12 1 Q1.Q 2 a$ r12 2 4 πε 0 R12 r R12 a$ r12 = R12 (N) (1.2) (1.3) (N) Força exercida sobre a carga Q1 pela carga Q2. (N) Força exercida sobre a carga Q2 pela carga Q1. (m) Vetor que vai da carga Q1 à carga Q2 r Vetor unitário, ou versor, indicando a direção do vetor R 12 âr12 y y (a) r F2 r F1 ar12 Q1 (b) r R12 r F2 r F1 ar12 Q1 Q2 r R12 x Q2 x Fig. 1.1- Força entre duas cargas: (a) -de mesmo sinal - (b) - de sinais contrários Exemplo 1.1 Uma carga Q1 = 3x10-4 C está colocada no ponto P1(1,2,3) m. Uma outra carga Q2 = -10-4 C está r colocada no ponto P2(2,0,5) m. Encontrar a força F sobre cada carga. Solução Força sobre a carga 2: Vetor que vai da carga 1 à carga 2 r F2 = r r r R12 = P2 − P1 r R12 = (2 − 1). a$ x + (0 − 2). a$ y + (5 − 3). a$ z r R12 = a$ x − 2. a$ y + 2. a$ z R12 = 12 + ( −2) 2 + 2 2 = 3 r Vetor unitário com a direção de R 12 a$ r12 = 1 (a$ x − 2. a$ y + 2. a$ z ) 3 r F2 = 1 Q1. Q 2 . a$ r12 2 4 πε 0 R12 1 3x10 −4 .( −10 −4 ) 1 (a$ x − 2. a$ y − 2. a$ z ) ( N ) 4 πε 0 9 3 r F2 = − 10(a$ x − 2. a$ y + 2. a$ z ) (N) Força sobre a carga 1: r F1 = 10(a$ x − 2. a$ y + 2. a$ z ) (N) Exemplo 1.2 Uma carga positiva Q1 de 2 µC encontra-se na posição P1(1,2,1) m, uma carga negativa Q2 de 4 µC encontra-se na posição P2(-1,0,2) m e uma carga negativa Q3 de 3 µC encontra-se na posição P3(2,1,3) m. Encontre a força sobre a carga Q3. Solução: UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I r r r Pede-se F3 = F3,1 + F3, 2 3 r R 23 = P3 − P2 ou r R 23 = (2 − ( −1))a$ x + (1 − 0)a$ y + (3 − 2)a$ z r R 23 = 3a$ x + a$ y + a$ z O vetor que vai do ponto 1 ao ponto 3: r r r R 13 = P3 − P1 ou r R13 = ( 2 − 1) a$ x + (1 − 2 ) a$ y + ( 3 − 1) a$ z r R13 = a$ x − a$ y + 2 a$ z r Vetor unitário de R 23 : r R23 3aˆ x + aˆ y + aˆ z aˆ r 23 = r = 11 R23 r Vetor unitário de R13 : r R13 aˆ x − aˆ y + 2aˆ z aˆ r13 = r = 6 R13 Força sobre a carga 3, devido à carga 1: r 1 (2 × 10 −6 )( −3 × 10 −6 ) a$ x − a$ y + 2a$ z F3,1 = 4 πε 0 6 6 r −3 F3,1 = − 3,67(a$ x − a$ y + 2a$ z ) × 10 ( N) Força sobre a carga 3, devido à carga 2: r 1 ( −4 × 10 −6 )( −3 × 10−6 ) 3a$ x + a$ y + a$ z F3, 2 = 4 πε 0 11 11 r −3 F3,2 = 2,96(3a$ x + a$ y + a$ z ) × 10 ( N) Força total sobre a carga 3: r r r r F3 = F3,1 + F3, 2 =(5,2a x + 6,63aˆ y − 4,4aˆ z ) × 10 −3 ( N ) Vetor que vai do ponto 2 ao ponto 3: Neste exemplo pode ser observado que, em um sistema discreto de cargas pontuais, a força sobre uma carga deste sistema é a soma (vetorial) das forças entre esta carga e as demais cargas do sistema, isoladamente. A título de exercício, calcule a força sobre as outras duas cargas. As respostas deverão ser: r r ) F1 = − 1,65a x −8,99aˆ y +10aˆ z × 10 −3 ( N) e F2 = − 3,56a$ x + 2,36a$ y − 5,62a$ z × 10−3 ( N ) ( ) ( ) 1.2 - O CAMPO ELÉTRICO Considere duas cargas, uma carga Q em uma posição fixa, e uma carga de teste Qt. Movendo-se a r carga de teste Qt lentamente em torno da carga fixa Q, ela sofrerá a ação de uma força F . Como essa força sempre será ao longo da linha que une as duas cargas, ela será sempre radial, considerando a posição da carga Q como origem. Além do mais, essa força aumentará de intensidade se aproximarmos a carga de teste da carga Q, e diminuirá se a afastarmos A partir dessas considerações pode-se perceber a existência de um campo de força em torno da carga Q, que pode ser visualizado pela figura 1.2: Q Qt r F Fig. 1.2 - Campo de força produzido por uma carga pontual Q positiva. UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino 4 APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I Expressando a força sobre Qt pela lei de Coulomb: r 1 Q.Q t .aˆ r ( N) F= 4 πε 0 R 2t (1.4) r F 1 Q = .aˆ r ( N / C) Q t 4 πε 0 R 2t (1.5) Dividindo a equação (1.4) por Qt : Percebe-se facilmente que a quantidade à direita na equação acima é função apenas de Q, e está dirigida ao longo do segmento de reta que vai de Q até à posição da carga de teste. Definindo a r r relação F Q t como sendo E , vetor intensidade de campo elétrico, e dispensando o uso de índices, pode-se escrever: r E= 1 Q . a$ r 4 πε 0 R 2 ( N / C) (1.6) A menor carga elétrica conhecida é o elétron, com 1,6. 10-19 C. Portanto, é fácil concluir que um campo elétrico não pode ser medido com precisão absoluta, pois a carga de teste sempre afetaria o campo da carga em estudo. Em escala atômica isso poderia representar algum problema, mas na totalidade dos casos que serão aqui estudados isso não representará nenhum problema. Exemplo 1.3 Uma carga Q = -10-8 C está situada na origem de um sistema de coordenadas retangulares. Escreva uma expressão para o campo elétrico em função das coordenadas x, y e z, considerando-se que a carga Q estaria na origem desse sistema de coordenadas. Qual é o valor do campo elétrico no ponto P(1,1,2) m ? Solução r E= r − 10−8 x. a$ x + y. a$ y + z. a$ z E= 3 4 πε 0 x2 + y2 + z2 2 1 Q . a$ r ( N / C) 4 πε 0 R 2 ( r R = x. a$ x + y. a$ y + z. a$ z r R = x2 + y2 + z2 r R $a r = R r E= x. a$ x + y. a$ y + z. a$ z 1 Q ( N / C) 4 πε 0 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ) ( N / C) Para o ponto (1,1,2): r E = − 104 4 π × 8,85 × 6 6 (a$ x + a$ y + 2. a$ z ) ( N / C) r E = 6,12(aˆ x + aˆ y + 2.aˆ z ) ( N / C ) O campo elétrico produzido por uma carga puntiforme é sempre orientado radialmente à carga que o gera. Portanto, a solução deste exemplo pode ser grandemente simplificada se, ao invés de se utilizar um sistema de coordenadas cartesianas, utilizar-se um UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino 5 APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I sistema de coordenadas esféricas. A expressão vetorial para o campo elétrico será: r E= 1 Q . a$ r 4 πε 0 R 2 ( N / C) O vetor unitário âr será simplesmente o vetor unitário na direção do raio R. Para o ponto (1,1,2), o módulo de R é: R = 12 + 12 + 22 = 6 portanto: r E = − 104 a$ r 4 π × 8,85 × 6 ( N / C) O exemplo que acabamos de resolver mostra que muitas vezes, ao tentarmos resolver um problema de uma maneira que julgamos ser a "mais fácil" (no caso, o uso de um sistema de coordenadas mais "conhecido"), estamos fazendo-o da maneira mais complicada. A exploração de simetrias, e o uso de sistemas de coordenadas adequados à cada caso são fortemente incentivados em eletromagnetismo. Exemplo 1.4 Uma carga Q1 = 4x10-9 C está localizada no ponto P1(1,1,3) m. Uma outra carga Q2 = 2x10-9 C localizada no ponto P2(1,1,5) m. Calcule o valor da intensidade de campo elétrico no ponto P(4,-1,2) m. Solução Vetor que vai de P1 a P: 3.aˆ x −2aˆ y − aˆ z Vetor unitário ar1: a r1 = 3 .aˆ x − 2 aˆ y − aˆ z 14 Vetor que vai de P2 a P: 3.aˆ x −2aˆ y −3.aˆ z Vetor unitário ar2: aˆ r 2 = 3.aˆ x −2aˆ y −3.aˆ z 22 Campo elétrico em P: r 4 x10 −9 1 3. a$ x − 2 a$ y − a$ z + E= 4 πε 0 14 14 2 x10 − 9 1 3. a$ x − 2 a$ y − 3. a$ z 4 πε 0 22 22 ( N / C) r E =9(0,171.aˆ x −0,191aˆ y − 0,134.aˆ z ) ( N / C ) A exemplo do que foi feito para se calcular forças em um sistema discreto de cargas, o campo elétrico devido a uma distribuição de cargas puntiformes é calculado somando-se a contribuição de cada carga individualmente, no ponto onde se deseja conhecer o valor do campo elétrico. Em sistemas de cargas pontuais o sistema de coordenadas mais indicado é sempre o sistema de coordenadas cartesianas. 1.3 - Distribuição Especial de Cargas Além de cargas pontuais, podem existir outras configurações (distribuições) de carga, a saber: distribuição linear de cargas, distribuição superficial de cargas e distribuição volumétrica de cargas. UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino 6 APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 1.3.1 - Distribuição linear de cargas - Uma distribuição linear de cargas possui uma densidade linear ρl C/m (fig. 1.3). ρl C/m Fig 1 .3 - Distribuição linear de cargas Vamos agora analisar o comportamento do campo elétrico produzido por uma distribuição linear infinita de cargas (sem ainda equacioná-lo). Vamos tomar duas cargas incrementais (ρldl), em uma distribuição linear de cargas, como mostrado na figura 1.4. dEz r P dEz dE dEr dE Fig. 1.4 - Arranjo para analisar o comportamento do campo elétrico produzido por uma distribuição linear infinita de cargas O campo elétrico em um ponto P situado a uma distância r, perpendicular à linha infinita de cargas provocado por cada carga incremental é dE, orientado na direção da linha que une o incremento de carga ao ponto P. Cada um desses campos pode ser decomposto em duas componentes: uma paralela à linha, dEz, e outra perpendicular a ela, dEr. Como as cargas incrementais são simétricas em relação à linha, as componentes dEz vão se anular, e o campo elétrico resultante será a soma das componentes dEr. Como se trata de uma linha infinita de cargas, para qualquer ponto z (considerando um sistema de coordenadas cilíndricas), será sempre possível escolher conjuntos de incrementos de cargas simétricos a ele, e o campo elétrico será sempre perpendicular à linha de cargas. Adicionalmente movendo-se o ponto P em um círculo em torno da linha de cargas, o campo elétrico se manterá com intensidade inalterada, e perpendicular à linha. Movendo-se o ponto P para cima e para baixo, mantendo-se a distância r inalterada, a intensidade do campo elétrico não apresentará alterações. Finalmente, se a distância r variar, o campo elétrico deverá variar também. Resumindo, o campo elétrico produzido por uma distribuição linear infinita de cargas: • Possui simetria cilíndrica, e deve ser equacionado utilizando-se um sistema de coordenadas cilíndricas. • Só varia com a componente radial. Como exemplo de distribuição de uma linha de cargas, podemos citar os elétrons em um condutor elétrico, que para efeitos de campo elétrico podem ser considerados como estáticos. A expressão para a intensidade de campo elétrico produzido por uma linha de cargas será obtida no próximo capítulo, que trata da lei de Gauss. 1.3.2 - Distribuição superficial infinita de cargas - Uma distribuição superficial de cargas possui uma densidade superficial ρs C/m2 (fig. 1.5). UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 7 ρs Fig 1.5 - Distribuição superficial de cargas Para analisar o comportamento do campo elétrico produzido por uma distribuição superficial infinita de cargas, vamos utilizar o arranjo mostrado na figura 1.6. Vamos considerar duas tiras infinitas de, de espessura dx, simetricamente escolhidas em relação a uma linha de referência (linha pontilhada). dEz dE r x z dEx Fig. 1.6 - Campo elétrico produzido por um elemento de cargas em uma distribuição superficial Uma “fita” de carga pode ser considerada com sendo uma distribuição linear de cargas. Portanto, o campo elétrico produzido por ela terá o mesmo comportamento do campo elétrico produzido por uma distribuição linear de cargas. Assim, o campo elétrico dE, em um ponto qualquer z m acima da linha pontilhada, produzido por uma das fitas será orientado radialmente em relação à fita. Esse campo pode ser decomposto em duas componentes: dEx, paralelo à superfície de cargas, e dEz, perpendicular À mesma. Como as duas fitas estão simetricamente colocadas em relação ao ponto P, as componentes dEx deverão se anular, e o campo resultante será a soma das componentes dEz. Assim, podemos por enquanto concluir que o campo elétrico produzido por uma distribuição infinita de cargas será orientado perpendicularmente a este campo. Embora distribuições superficiais infinitas de cargas não existam de fato, podemos considerar como um exemplo prático o caso de um capacitor de placas paralelas. Embora as expressões para o campo elétrico produzido por distribuições linear e superficial de cargas possam ser obtidas por integração direta, partindo de raciocínios como os mostrados acima, não o faremos aqui, por existir um modo mais simples e fácil, através da lei de Gauss, que será vista no próximo capítulo. Distribuições volumétricas de cargas são bastante complicadas de serem analisadas, e praticamente inexistem. Portanto, não serão aqui analisadas. UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino 8 APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I EXERCÍCIOS 1) -Três cargas pontuais, Q1 = 300µC, e ,Q2 = 400 µC e Q3 = 500 µC acham-se localizadas em (6,0,0) m , (0,0,6) m e (0,6,0) m respectivamernte. Encontre a força que age sobre Q2,. 2) - A lei da gravidade de Newton pode ser escrita F = Gm1m2 / R 2 , onde m1 e m2 são massas, pontuais, separadas por uma distância R e G é a constante gravitacional; 6,664´10-11 m3/kg.s2. Duas partículas, cada uma tendo uma massa de 15 mg estão separadas de 1,5 cm. Quantos elétrons são necessários adicionar a cada partícula de modo a equilibrar a força gravitacional ? 3) - Há quatro cargas pontuais iguais, de 20 µC, localizadas sobre os eixos x e y, em ± 3 m. Calcule a força que age sobre uma carga de 120 µC, localizada em (0,0,4) m. 4)- Duas pequenas esferas plásticas estão arranjadas ao longo de uma fibra isolante que forma um ângulo de 45º, com a horizontal. Se cada esfera contiver uma carga de 2×10-8 C, e tiver uma massa de 0,2 g, determine a condição de equilíbrio para as duas esferas sobre a rampa, bem como a posição relativa entre elas. 5) - Prove que a força de repulsão entre duas cargas pontuais e positivas separadas por uma distância fixa é máxima quando as suas cargas possuem mesmo valor. 6) - Duas cargas pontuais idênticas de Q C estão separadas por uma distância d m. Calcule o campo r elétrico E para pontos pertencentes ao segmento que une as duas cargas. 7) - Imagine que a terra e a lua possam receber cargas elétricas, de modo a equilibrar a força de atração gravitacional entre elas. (a) Encontre a carga requerida para a terra, se as cargas estão numa razão direta entre as superfícies da terra e da lua. (b) Qual é o valor de E na superfície da lua, devido às suas cargas? Note que, uma vez que as forças de origem gravitacional e eletrostática estão relacionadas com o inverso do quadrado da distância, não é necessário conhecer a distância terra-lua para resolver este problema. UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino