Eletricidade Básica

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Colégio Agulhas Negras Eletrônica – Eletrotécnica – Mecatrônica Apostila de ELETRICIDADE Módulo I 2ª Edição Princípios básicos Circuitos em CC Análise de circuitos FICHA CATALOGRÁFICA 2. ed. Silva, Jaques Jonas Santos, 1971 Apostila de Eletricidade – Módulo I / Jaques Jonas Santos Silva. 2. ed. – Rio de Janeiro: 2007. 85p. 1. Eletricidade 2. Corrente contínua e alternada 3. Análise de Circuitos I. Título Apostila de ELETRICIDADE Módulo I Autor: Eng. Jaques Jonas Santos Silva Engenheiro Mecânico – Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ – Resende/RJ Técnico em Eletrônica – Escola Técnica Prof. Everardo Passos – ETEP – São José dos Campos/SP Professor do curso de Eletricidade – Colégio Agulhas Negras – CAN – Resende/RJ 2a Edição – Janeiro de 2007 Colégio Agulhas Negras Colégio Agulhas Negras Índice Capítulo 1 NATUREZA DA ELETRICIDADE, 7 1.1 Condutores e isolantes, 7 1.2 Corrente elétrica, 8 1.3 Exercícios propostos, 11 Capítulo 2 POTENCIAL ELÉTRICO, 12 2.1 Circuitos elétricos, 13 2.2 Característica elétrica do receptor, 14 2.3 Exercícios propostos, 16 Capítulo 3 LEIS DE OHM, 17 3.1 Primeira Lei de Ohm, 17 3.2 Segunda Lei de Ohm, 19 3.3 Exercícios propostos, 22 Capítulo 4 ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES, 23 4.1 Associação de resistores em série, 23 4.1.1 Divisores de tensão, 25 4.2 Associação de resistores em série, 26 4.2.1 Dicas práticas, 28 4.2.2 Divisores de corrente, 28 4.3 Associação mista de resistores, 31 4.4 Exercícios propostos, 34 Capítulo 5 POTÊNCIA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS, 36 5.1 Efeito Joule, 37 5.2 Trabalho e potência elétrica, 37 5.2.1 Outras formas para a equação da potência elétrica, 38 5.3 Exercícios propostos, 42 Capítulo 6 FONTES REAIS, 43 6.1 Fontes ideais, 43 6.2 Fontes reais, 43 6.3 Rendimento de uma fonte real, 45 6.4 Máxima transferência de potência, 46 6.5 Exercícios propostos, 48 Eletricidade – Módulo I 7 Colégio Agulhas Negras Capítulo 7 LEIS DE KIRCHOFF, 49 7.1 Primeira Lei de Kirchoff (Lei dos nós), 49 7.2 Segunda Lei de Kirchoff (Lei das malhas), 53 7.2.1 O método passo-a-passo, 53 7.3 Exercícios propostos, 59 Capítulo 8 MÉTODO DO PONTO DE REFERÊNCIA, 61 8.1 Ponto de referência (terra), 61 8.2 O método passo-a-passo, 61 8.3 Exercícios propostos, 67 Capítulo 9 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS, 69 9.1 Princípio da superposição de efeitos, 69 9.2 O método passo-a-passo, 69 9.3 Exercícios propostos, 74 Capítulo 10 10.1 10.2 10.3 TEOREMA DE THEVENIN, 76 Teorema de Thevenin, 76 O método passo-a-passo, 76 Exercícios propostos, 79 Apêndice A TABELA DE CÓDIGO DE CORES PARA RESISTORES, 81 Apêndice B TABELAS DE CONVERSÃO DE UNIDADES, 82 8 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Capítulo 1 NATUREZA DA ELETRICIDADE A matéria é formada por átomos, que por sua vez são formados por um núcleo contendo prótons e nêutrons, e uma eletrosfera, onde elétrons orbitam em camadas ao redor do núcleo. Segundo Bohr, o átomo teria a seguinte estrutura1: Prótons Núcleo Nêutrons Elétrons Os prótons possuem carga elétrica positiva, os elétrons possuem carga elétrica negativa, e os nêutrons não possuem carga elétrica (são neutros). + Prótons _ Elétrons 1.1 Condutores e isolantes: a última camada eletrônica de um átomo é chamada de camada de valência. Quanto mais elétrons existirem na camada de valência, mais fortemente presos ao núcleo eles estarão. Ao contrário, uma camada de valência com poucos elétrons faz com que estes estejam fracamente presos ao núcleo. Como neste caso os elétrons são fracamente presos ao núcleo, eles podem escapar de um átomo para outro sem maiores dificuldades, ou seja, os elétrons (com suas cargas negativas) são conduzidos de um átomo para outro. Um material formado por átomos deste tipo é chamado de condutor elétrico (conduz cargas elétricas). Se os elétrons estão firmemente presos ao núcleo (muitos elétrons na camada de valência) eles não podem se deslocar de um átomo para outro, e o material formado por estes átomos é chamado de isolante (não conduz cargas elétricas). Veja na tabela abaixo alguns exemplos de condutores e isolantes: 1 Com os avanços da física, sabe-se hoje que a estrutura atômica é muito mais complexa do que o modelo proposto por Bohr, porém o modelo de Bohr, pela sua simplicidade, é mais adequado aos nossos objetivos. Eletricidade – Módulo I 9 Colégio Agulhas Negras Condutores Cobre Ouro Prata Alumínio Água salgada Isolantes Vidro Cerâmica Madeira Plástico Borracha 1.2 Corrente elétrica: a corrente elétrica é o movimento ordenado de cargas elétricas através de um condutor. As cargas podem ser positivas (íons carregados positivamente) ou negativas (íons carregados negativamente ou elétrons). Apenas elétrons podem se movimentar através de condutores sólidos (cobre, prata, ferro, etc.). O sentido do movimento de elétrons através de um condutor é chamado de sentido real da corrente. O sentido contrário ao movimento dos elétrons é chamado de sentido convencional da corrente (pois foi estabelecido através de uma convenção), e é este sentido que iremos utilizar daqui em diante. Sentido real _ _ _ _ _ _ _ _ Sentido convencional Assim como o tempo é medido em segundos ou a massa é medida em quilogramas, as cargas elétricas são medidas em Coulombs (C). Uma determinada quantidade de carga (medida em Coulombs) passando através de uma seção transversal de um condutor em um intervalo de tempo ∆t (medido em segundos) nos fornece a intensidade da corrente elétrica, cuja unidade é o Ampère (A), e é calculada através da seguinte relação: i= Q (equação 1.1) ∆t Onde: i = intensidade da corrente elétrica, em Ampères (A); Q = quantidade de carga que passa pela seção transversal do condutor, em Coulombs (C); ∆t = intervalo de tempo, em segundos (s). Exemplo: a) Uma carga de 30C passa pela seção transversal de um fio de cobre a cada 3s. Determine a intensidade da corrente i que atravessa o condutor. Solução: Q = 30C ∆t = 3s Q 30 i= = ∆t 3 i = 10A 10 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras b) Determine o tempo em segundos que uma carga de 100C leva para atravessar a seção transversal de um fio de alumínio por onde percorre uma corrente com intensidade de 2A. Solução: Q = 100C i = 2A Q ∆t Q 100 ∆t = = i 2 i = 50s i= c) Qual a quantidade de carga que passa em 1min pela seção transversal de um fio de ouro percorrido por uma corrente de 10A? Solução: ∆t = 1min = 60s i = 10A Q ∆t Q = ∆t × i = 60 × 10 i= i = 600C d) Um fio de prata é percorrido por uma corrente elétrica que varia no tempo conforme o gráfico mostrado abaixo: i(A) 3 2 1 2 4 12 15 17 t(s) Determine a quantidade de carga que atravessa o a seção transversal do fio entre os instantes t = 0s e t = 17s. Solução: A área sob o gráfico nos fornece a quantidade de carga. Assim, dividimos a figura em figuras mais simples, calculamos a área de cada figura e a soma de todas as áreas menores nos dará a carga total. Eletricidade – Módulo I 11 Colégio Agulhas Negras i(A) 3 A1 2 A3 A4 A2 1 A5 2 4 12 15 17 t(s) Área 1: A1 = b×h = 2×1 = 1 2 2 Área 2: A2 = b×h = 4×1 = 4 Área 3: A3 = b×h = 8×2 = 16 Área 4: A4 = b×h = 3×2 = 3 2 2 Área 5: A5 = b×h = 17×1 = 17 Q = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = 1 + 4 + 16 + 3 + 17 Q = 41C 12 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 1.3 Exercícios propostos: 1.3.1 Uma carga de 120C passa pela seção transversal de um fio de cobre a cada 2min. Determine a intensidade da corrente i que atravessa o condutor. 1.3.2 Determine o intervalo de tempo ∆t em minutos que uma carga de 600C leva para atravessar a seção transversal de um fio de alumínio por onde percorre uma corrente c/ intensidade de 5A. 1.3.3 Qual a quantidade de carga Q que passa em 10min pela seção transversal de um fio de ouro percorrido por uma corrente de 1A? 1.3.4 Qual a intensidade da corrente i que atravessa um condutor de aço em cuja seção transversal passa uma carga de 180C a cada 3s? 1.3.5 Um fio de cobre é percorrido por uma corrente elétrica que varia no tempo conforme o gráfico mostrado abaixo: i(A) 15 10 5 1 2 7 9 10 t(s) Determine a quantidade de carga Q que atravessa o a seção transversal do fio entre os instantes t = 0s e t = 10s. Eletricidade – Módulo I 13 Colégio Agulhas Negras Capítulo 2 POTENCIAL ELÉTRICO Imaginemos duas caixa d’água em níveis diferentes conectadas por uma tubulação com um registro, como na figura abaixo: A B T O que acontecerá quando o registro for aberto? A água escoará da caixa d’água A para a caixa d’água B, porque a caixa d’água A está num nível mais alto, ou em outras palavras, tem uma energia potencial maior. Da mesma forma que caixas d’água podem armazenar água, diversos materiais podem armazenar cargas elétricas. Relembrando o capítulo anterior, vamos supor um átomo que contenha 3 prótons e 3 nêutrons em seu núcleo, e 3 elétrons orbitando ao redor do núcleo. A carga elétrica total deste átomo será 0 (zero), ou então dizemos que o átomo encontra-se em estado neutro, pois as três cargas positivas (prótons) anulam as três cargas negativas (elétrons): e 3P 3N e 3 prótons 3 nêutrons 3 elétrons carga: +3 carga: 0 carga: –3 Carga total: 0 e Se no entanto um quarto elétron for adicionado a este átomo, teremos: e e 3P 3N e 3 prótons 3 nêutrons 4 elétrons carga: +3 carga: 0 carga: –4 Carga total: –1 e 14 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Ou seja, o átomo estará carregado negativamente devido ao excesso de elétrons em relação ao número de prótons. Um corpo que possui excesso de elétrons em relação ao número de prótons estará negativamente carregado. Um corpo que possui falta de elétrons em relação ao número de prótons estará positivamente carregado. Um corpo eletricamente carregado possui um determinado potencial elétrico, o qual é medido em Volts (V). Define-se 1 Volt como sendo o potencial necessário para que, realizandose o trabalho de 1 Joule se desloque uma carga de 1 Coulomb. Se dois corpos possuem potenciais elétricos diferentes, dizemos que entre eles existe uma diferença de potencial ou ddp. Exemplo: Um corpo A possui um potencial elétrico de 10V, enquanto que um corpo B possui um potencial elétrico de –6V.Qual a diferença de potencial (ddp) entre A e B e entre B e A? VAB = VA – VB = 10 – (–6) = 16V VBA = VB – VA = –10 –6 = –16V Observe que VAB e VBA tem o mesmo módulo, diferindo apenas pelo sinal. Quando dois corpos em potenciais elétricos diferentes são ligados por um condutor, flui entre eles uma corrente elétrica (lembre da analogia com as caixas d’água), razão pela qual a ddp é também chamada de força eletromotriz (ou fem), porque faz com que cargas elétricas se movimentem. É importante observar que a corrente sempre flui do potencial maior para o potencial menor (sentido convencional da corrente). A fem pode ser obtida por um gerador de fem, que é um dispositivo que transforma uma força qualquer em fem. Exemplos: Gerador Dínamo Pilha Bateria solar Transforma energia... Mecânica Química Luminosa ...em energia Elétrica (fem) Elétrica (fem) Elétrica (fem) 2.1 Circuitos elétricos: a forma geral de um circuito elétrico é a mostrada abaixo: Dispositivo de controle + G _ i Receptor Na figura acima vemos um gerador ligado a um dispositivo de controle e um receptor. Pelo circuito flui uma corrente i no sentido do pólo de maior potencial do gerador (+) para o pólo de menor potencial (–). O dispositivo de controle controla a corrente no circuito. Esta corrente passa pelo receptor, que é um dispositivo que realiza alguma função desejada utilizando-se da energia elétrica. O receptor também pode ser chamado de carga do circuito. O dispositivo de controle poderia ser, por exemplo, um interruptor, e o receptor (ou carga) uma lâmpada. Teríamos então: Eletricidade – Módulo I 15 Colégio Agulhas Negras Interruptor o o G Lâmpada Enquanto o interruptor estiver aberto, corrente nenhuma fluirá pelo circuito, e a lâmpada permanecerá apagada. Ao fechar o interruptor, a corrente fluirá pela lâmpada e ela se acenderá, realizando sua função que é iluminar. 2.2 Característica elétrica do receptor: a característica elétrica do receptor é a forma com que o receptor responde às variações de tensão em seus terminais. No circuito abaixo, por exemplo, A é um amperímetro (aparelho que mede a intensidade da corrente), e V é um voltímetro (aparelho que mede a diferença de potencial, ou tensão). Se fizermos variar a tensão do gerador, iremos anotar para cada valor lido no voltímetro um determinado valor da intensidade da corrente lida no amperímetro: Tensão 0V 10V 20V 30V 40V A + i V Receptor Gerador - Corrente 0A 1A 2A 3A 4A Se traçarmos um gráfico da tensão em relação à corrente para o circuito acima, teremos como resultado uma reta, ou uma função linear, motivo pelo qual dizemos que o receptor tem característica elétrica linear. v(V) 40 30 20 10 θ 1 2 3 4 i(A) Observe que a reta faz um ângulo θ com o eixo V. A tangente deste ângulo é a resistividade característica do receptor, ou resistência elétrica. A resistência elétrica é medida em Ohms (Ω). Para o circuito acima, por exemplo: 16 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras v(V) 40 tg θ = 40 = 10 4 Resistência elétrica do receptor = 10Ω θ 4 i(A) Os receptores com característica elétricas lineares também são chamados de receptores ou dispositivos ôhmicos, ou simplesmente resistores. Símbolos: ou Se a curva i x V não for uma reta, o receptor é chamado de não-linear. Receptores não-lineares, apesar de terem importância na eletrônica, não obedecem a algumas das leis que estudaremos, e por isso não nos interessam no momento. Exemplos: Curvas características de receptores não lineares V V (v) (v) i Eletricidade – Módulo I V (v) i i 17 Colégio Agulhas Negras 2.3 Exercícios propostos: 2.3.1 Um corpo A possui um potencial elétrico de -20V, enquanto que um corpo B possui um potencial elétrico de 8V.Qual a diferença de potencial (ddp) entre A e B e entre B e A? 2.3.2 Um corpo C possui um potencial elétrico de 100V, enquanto que um corpo D possui um potencial elétrico de 80V.Qual a ddp entre C e D e entre D e C? 2.3.3 Um corpo E possui um potencial elétrico de 35V, enquanto que um corpo F possui um potencial elétrico de 35V.Qual a ddp entre E e F e entre F e E? 2.3.4 Um receptor possui a curva característica mostrada abaixo: v(V) 80 60 40 20 θ 4 8 12 16 i(A) Com base nos dados fornecidos, calcule a resistência deste receptor. 2.3.5 O gráfico abaixo mostra a curva característica de um receptor com resistência elétrica igual a 25Ω. Para o ponto V = 100V, determine a corrente ix correspondente. v(V) 100 θ ix 18 i(A) Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Capítulo 3 LEIS DE OHM As Leis de Ohm foram propostas pelo cientista alemão George Ohm, e relacionam as variações de tensão e corrente em receptores lineares, além da resistividade de condutores em função de suas características geométricas. 3.1 Primeira Lei de Ohm: Como já visto anteriormente que os receptores lineares respondem linearmente às variações de tensão aplicada aos seus terminais, ou seja, a corrente que percorre este tipo de receptor é proporcional à tensão aplicada. Do gráfico abaixo, vemos que a curva característica para os receptores lineares é uma reta. Então a constante de proporcionalidade é a tangete do ângulo que a reta faz com o eixo horizontal, o que foi definido como resistência elétrica (R). v(V) 40 θ 4 i(A) Desta forma, a equação que rege esta curva será: V = R×i (equação 3.1) onde V é a tensão em Volts (V), R é a resistência elétrica em Ohms (Ω) e i é a corrente elétrica em Ampères (A). Esta equação é a primeira Lei de Ohm, e por este motivo os receptores que obedecem à esta lei (os receptores lineares) também são chamados de receptores ôhmicos. Exemplo: a) Uma resistência de 20Ω é percorrida por uma corrente de 3A. Calcule a tensão aplicada à esta resistência. Solução: R = 20Ω i = 3A V=? Conforme a equação 3.1: Eletricidade – Módulo I 19 Colégio Agulhas Negras V = R × i = 20 × 3 V = 60V b) Uma tensão de 24V é aplicada a uma resistência de 40Ω. Calcule a corrente que percorre esta resistência. Solução: V= 24V R = 40Ω i = ? V = R×i V 24 i= = R 40 i = 0,6A c) Uma resistência R submetida à uma tensão de 36V é percorrida por uma corrente de 1,2A. Calcule o valor da resistência R. Solução: V= 36V i = 1,2A R=? V = R×i V 36 R= = i 1,2 i = 30Ω Uma forma bastante simples de se memorizar as formas da primeira Lei de Ohm é construir um triângulo dividido em três partes. Na parte superior do triângulo escrevemos a letra V (tensão) e nas duas partes inferiores escrevemos as letras R (resistência) e i (corrente), como na figura abaixo: V R I Cada vez que desejarmos conhecer o valor de alguma grandeza, bastará cobrí-la no triângulo para conhecer a relação entre as duas grandezas restantes. Por exemplo, se desejarmos conhecer o valor da resistência R, cobrimos com o dedo a letra R no triângulo (veja a figura abaixo). 20 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Sobram V sobre i, de forma que a resistência R é dada pela fórmula: R= V i Da mesma forma, se quisermos conhecer os valores das outras grandezas: i= V = R×i V R Exemplo: d) Para o circuito abaixo, calcule o valor da corrente i. i 50V 20Ω Solução: R = 20Ω V= 50V i = 3A V 50 = R 20 i = 2,5A i= 3.1 Segunda Lei de Ohm: A segunda Lei de Ohm relaciona a resistividade dos materiais com suas características geométricas de forma a definir a resistência elétrica de um corpo. A resistividade é uma característica inerente a cada material, é representada pela letra grega ρ (rô) e é expressa em ohm x metro (Ω.m). Abaixo, temos uma tabela com os valores da resistividade de alguns materiais: Material Prata Cobre Ouro Alumínio Tungstênio Platina Ferro Eletricidade – Módulo I ρ (Ω.m) a 20oC 1,6.10-8 1,7.10-8 2,3.10-8 2,8.10-8 4,9.10-8 10,8.10-8 11,0.10-8 21 Colégio Agulhas Negras A segunda Lei de Ohm diz que: A resistência elétrica de um condutor é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional à sua àrea de secção transversal. Ou, matematicamente: R=ρ L A (equação 3.2) Onde: R = resistência elétrica, em Ohms (Ω); ρ = resistividade do material, em Ohms.m (Ω.m) L = comprimento do condutor, em metros (m) A = área da secção transversal, em metros quadrados (m2) No condutor mostrado abaixo, A é a área da secção transversal, D é o diâmetro do condutor e L é o seu comprimento. A área da secção transversal será dada por: D A L 2  D A =π × r =π × 2 2 
πD 2 A= 4 Exemplo: a) Calcule a resistência de um condutor de cobre com área da secção transversal de 5.10-7 m2 e comprimento de 100 m. Solução: Resistividade do cobre: ρ = 1,7.10-8 Ω.m (ver tabela) Conforme a equação 3.2: 2 L 100 − 8 1.10 1 , 7 . 10 . = 1,7.10 −8. = = 1,7.10 −8.0,2.10 9 −7 −7 A 5.10 5.10 1 R = 0,34.10 R = 3,4Ω R=ρ 22 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras b) Um fio de platina com diâmetro de 0,2mm e comprimento de 30 m é submetido à uma tensão de 1,5V. Calcule a intensidade da corrente que percorre este fio. Solução: Primeiramente, calculamos a área da secção transversal deste fio: D = 0,2mm = 0,2.10-3 m πD 2 3,14.(0,2.10 −3 ) = A= 4 4 2 −8 A = 3,14.10 m 2 Com a área da secção transversal definida, calculamos a resistência elétrica do fio: Resistividade da platina: ρ = 10,8.10-8 Ω.m (ver tabela) L 30 = 10,8.10 −8. = 10,8.10 −8.9,55.10 8 −8 A 3,14.10 R = 103Ω R=ρ Finalmente, calculamos a intensidade da corrente aplicando a primeira Lei de Ohm: V 1,5 = R 103 i = 0,015A ou i= i = 15mA Eletricidade – Módulo I 23 Colégio Agulhas Negras 3.3 Exercícios propostos: 3.3.1 Um resistor 20Ω é percorrido por uma corrente de 3A. Calcule a tensão à qual o resistor está submetido. 3.3.2 Um resistor submetido à uma tensão de 100V é percorrido por uma corrente de 0,5A. Calcule a resistência deste resistor. 3.3.3 Um resistor de 50Ω é submetido à uma tensão de 30V. Calcule o valor da intensidade da corrente que o percorre. 3.3.4 Um condutor de cobre tem seção circular com diâmetro de 5mm e comprimento de 2m. Calcule o valor da resistência deste condutor, em Ohms. 3.3.5 Um condutor de ferro tem seção transversal quadrada de lado igual a 1mm e comprimento igual a 100m. Os terminais do condutor estão ligados à uma fonte de tensão com V = 12V. Calcule o valor da corrente elétrica que percorre o condutor. 24 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Capítulo 4 ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES Até aqui lidamos apenas com circuitos onde apenas um resistor estava presente. Mas existem situações em que mais resistores estão presentes em um circuito. Estas situações são bastante freqüentes, e nestes casos, dizemos que os resistores estão associados. São três as formas nas quais os resistores podem estar associados:    associação em série; associação em paralelo; associação mista. A partir de agora, veremos como proceder em circuitos nos quais dois ou mais resistores estão associados. 4.1 Associação de resistores em série: Na associação em série, todos os resistores são percorridos pela mesma corrente, como mostrado no esquema abaixo: R1 V i R2 R3 Como cada um dos resistores R1, R2 e R3 são percorridos pela mesma corrente i, as tensões sobre casda resistor serão dadas, conforme a primeira lei de Ohm, pelas seguintes expressões: VR1 = i × R1 (equação 4.1) V R 2 = i × R2 (equação 4.2) VR 3 = i × R3 (equação 4.3) Observa-se ainda no circuito acima que a soma das tensões em cada resistor será igual à tensão da fonte, e desta forma podemos escrever a seguinte expressão: Eletricidade – Módulo I 25 Colégio Agulhas Negras V = V R1 + V R 2 + V R 3 V = (i × R1 ) + (i × R2 ) + (i × R3 ) V = i (R1 + R2 + R3 ) (equação 4.4) Deseja-se chegar ao seguinte circuito equivalente, onde os resistores R1, R2 e R3 foram substituídos por um resistor equivalente Requ: i V Requ Para este circuito, a corrente i é dada, segundo a Lei de Ohm, por: i= V Requ Ou, escrevendo de outra forma: Requ = V i (equação 4.5) Dividindo ambos os lados da equação 4.4 por i, temos: V i (R1 + R2 + R3 ) = i i V = R1 + R2 + R3 , então : i Requ = R1 + R2 + R3 (equação 4.6) A equação 4.6 representa a equação para a resistência equivalente de resistores associados em série. A dedução da equação foi feita para 3 resistores, mas a fórmula vale para quantos resistores estiverem presentes na associação. Exemplo: Calcular a resistência equivalente para a seguinte associação de resistores e calcular a intensidade da corrente i para o circuito abaixo: 10Ω 48V i 5Ω 9Ω 26 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Solução: A resistência equivalente será dada por: Requ = R1 + R2 + R3 Requ = 10 + 5 + 9 Requ = 24Ω Calculada a resistência equivalente, a corrente i será dada por: i= V 48 = Requ 24 i = 2A 4.1.1 Divisores de tensão: O circuito abaixo, composto por 2 resistores (ou mais) em série ligados à uma fonte de tensão é também chamado de divisor de tensão, pois nele a tensão V da fonte é dividida proporcionalmente entre os resistores: R1 V i R2 A resistência equivalente para o circuito acima será dada por: Requ = R1 + R2 A corrente i será dada então por: V V = Requ R1 + R2 i= (equação 4.7) Conforme a primeira Lei de Ohm, a tensão sobre cada resistor será dada por: VR1 = i × R1 V R 2 = i × R2 Substituindo-se i nas equações acima pela equação 4.7, temos então: V R1 V = R1 R1 + R 2 VR2 V R2 = R1 + R 2    R1 =V R1 + R 2  V R1   Eletricidade – Módulo I (equação 4.8)       R2 =V R1 + R 2  VR 2    (equação 4.9) 27 Colégio Agulhas Negras As expresões acima permitem calcular a tensão sobre cada resistor sem que se tenha a necessidade de conhecer a intensidade da corrente i que percorre cada resistor. As expressões podem ser estendidas para quantos resistores existirem no circuito. Por exemplo, numa associação de 10 resistores em série, se quisermos calcular a tensão sobre o resistor R6, basta dividirmos o valor do resistor R6 pela soma dos valores de todos os 10 resistores, e multiplicar o resultado pelo valor da tensão da fonte. De forma geral, numa associação em série de n resistores, a tensão em um resistor k será dada por:  Rk =V R1 + R 2 + ... + R n  V Rk   (equação 4.10)   Exemplo: Calcular a tensão sobre o resistor de 7Ω no circuito abaixo: 10Ω 5Ω i 15V 7Ω 8Ω Solução: O circuito acima é um divisor de tensão, de forma que a tensão sobre o resistor de 7Ω pode ser calculada por:  V R3 R3 =V R1 + R 2 + R 3 + R 4 V R3 7 = 15 10 + 5 + 7 + 8            7 7 = = 15 30 2 = 3,5 V  V R3 V R3   4.2 Associação de resistores em paralelo: Na associação em paralelo, todos os resistores estão submetidos à mesma tensão, como mostrado no esquema abaixo: i V 28 i1 R1 i2 R2 i3 R3 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Sendo que cada um dos resistores R1, R2 e R3 estão submetidos à mesma tensão V, as intensidades das correntes i1, i2 e i3 serão dadas, conforme a primeira lei de Ohm, pelas seguintes expressões: i1 = V R1 (equação 4.11) i2 = V R2 (equação 4.12) i3 = V R2 (equação 4.13) Observa-se ainda no circuito acima que a intensidade da corrente i será a soma das intensidades das correntes i1, i2 e i3, e desta forma podemos escrever a seguinte expressão: i = i1 + i 2 + i3 (equação 4.14) Deseja-se chegar ao seguinte circuito equivalente, onde os resistores R1, R2 e R3 foram substituídos por um resistor equivalente Requ: i V Requ Para este circuito, a corrente i é dada, conforme a primeira Lei de Ohm, por: i= V (equação 4.15) Requ Substituindo as equações 4.11, 4.12, 4.13 e 4.15 na equação 4.14, temos: V V V V = + + Requ R1 R2 R3 (equação 4.16) Isolando V em ambos os lados da equação:   1 1 1 1 =V + + V Requ R1 R2 R3            (equação 4.17)  Então: 1 1 1 1 = + + Requ R1 R2 R3 Eletricidade – Módulo I (equação 4.18) 29 Colégio Agulhas Negras A equação 8 representa a equação para a resistência equivalente de resistores associados em paralelo. A dedução da equação foi feita para 3 resistores, mas a fórmula vale para quantos resistores estiverem presentes na associação. Exemplo: Calcular a resistência equivalente para a seguinte associação de resistores e calcular a intensidade da corrente i para o circuito abaixo: i 100V 20Ω 30Ω 60Ω Solução: A resistência equivalente será dada por: 1 1 1 1 = + + Requ 20 30 60 1 3 + 2 +1 = Requ 60 1 6 = Requ 60 1 1 = Requ 10 Requ = 10Ω Calculada a resistência equivalente, a corrente i será dada por: i= V Requ 100 10 i = 10A i= 4.2.1 Dicas práticas: 1) Quando a associação for composta de n resistores com o mesmo valor, a resistência equivalente será o valor de um dos resistores dividido por n. Exemplo: Calcular a resistência equivalente para o circuito abaixo: i 180V 30 90Ω 90Ω 90Ω Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Observe que todos os resistores da associação tem o mesmo valor, ou seja 90Ω. Observe ainda que a associação é composta por 3 resistores, de forma que a resistência equivalente será dada por: Requ = R 90 = = 30Ω n 3 2) Quando a associação for composta de apenas 2 resistores de qualquer valor, a resistência equivalente será dada pela seguinte expressão: Requ = R1 × R2 R1 + R2 (equação 4.19) Exemplo: Calcular a resistência equivalente para o circuito abaixo: i 24V 60Ω 15Ω Como a associação é composta por apenas 2 resistores, pode-se usar a equação 4.19: Requ = R1 × R2 60 × 15 = R1 + R2 60 + 15 900 75 = 12Ω Requ = Requ 4.2.2 Divisores de corrente: O circuito abaixo, composto por 2 resistores em paralelo ligados à uma fonte de tensão é também chamado de divisor de corrente, pois nele observa-se que a corrente i é dividida em duas correntes i1 e i2. i V i1 R1 i2 R2 A resistência equivalente para o circuito acima será dada por (ver dica prática no 2): Eletricidade – Módulo I 31 Colégio Agulhas Negras Requ = R1 × R2 R1 + R2 A corrente i será dada então por: V V = R1 × R2 Requ R1 + R 2 i= R × R2 V =i 1 R1 + R2 " # %$(equação 4.20) # ! Como já visto, a tensão sobre cada resistor na associação é igual à tensão V da fonte. Conforme a primeira Lei de Ohm, a tensão sobre cada resistor é dada por: V = i1 × R1 (equação 4.21) V = i 2 × R2 (equação 4.22) Igualando-se as equações 4.20 e 4.21, pode-se achar uma expressão para i1: R × R2 i1 × R 1 = i 1 R1 + R 2 R1 × R 2 R1 + R 2 ( )*+ & ) & )*+ i1 = i × R1 , ' ) ( & & ' ( R2 i1 = i R1 + R 2 )*+ & ) (equação 4.23) & ' Igualando-se as equações 4.20 e 4.22, pode-se achar uma expressão para i2: R × R2 i2 × R2 = i 1 R1 + R 2 / - 0 - 012 012 3 . i2 = i × R 2 0 R1 × R 2 R1 + R 2 / - - . / R1 i2 = i R1 + R 2 012 - 0 - . (equação 4.24) Observação: Estas expressões só são válidas para um divisor de corrente composto por 2 resistores. Exemplo: Calcular as correntes i1 e i2 para o circuito abaixo: 5A V i1 60Ω i2 15Ω Solução: O circuito acima é um divisor de corrente, de forma que as correntes i1 e i2 podem ser calculadas através das equações 4.23 e 4.24: 32 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 6 6 6 6 R2 1 15 15 =5 =5 =5 i1 = i 5 75 60 + 15 R1 + R2 9 7 4 789 4 789 4 789 4 8 7 4 5 5 5 5 i1 = 1A 6 6 6 6 R1 60 60 4 =5 =5 =5 i2 = i 60 + 15 75 5 R1 + R2 9 7 4 789 4 789 4 789 4 8 7 4 5 5 5 5 i 2 = 4A Note que para calcular as correntes i1 e i2 não é necessário conhecer o valor da tensão da fonte. 4.3 Associação mista de resistores: Em alguns casos, podemos ter em um mesmo circuito, resistores associados em paralelo e em série. Nestes casos, dizemos que a associação é mista. Observe o circuito abaixo: R1 i1 V i2 R2 i3 R3 Neste circuito observamos que os resistores R2 e R3 estão associados em paralelo. O resistor Requ1, que é o resistor equivalente dos resistores R2 e R3 associados, estará por sua vez em série com o resistor R1 (veja a figura abaixo). R1 i1 V iRequ1 Requ1 Sendo que Requ1 e R1 estão associados em série, pode-se dizer que as correntes i1 e iRequ1 terão a mesma intensidade: i1 = i Re qu1 Requ2 será a resistência equivalente da associação de Requ1 e R1, de forma que: Requ 2 = R1 + Requ1 Assim sendo, a corrente i1 será dada, de acordo com a primeira Lei de Ohm, por: Eletricidade – Módulo I 33 Colégio Agulhas Negras i1 = V Requ 2 Calculado i1, pode-se determinar as intensidades das correntes i2 e i3 através das fórmulas do divisor de corrente: < R3 i2 = i R 2 + R3 =>? : = : ; < R2 i3 = i R 2 + R3 =>? : = : ; Exemplo: a) Calcular as correntes i1, i2 e i3 para o circuito abaixo: 8Ω i1 100V i2 15Ω i3 60Ω Solução: O circuito acima apresenta uma associação mista. Associando-se os resistores de 15Ω e 60Ω, obtemos: 15 × 60 900 = 15 + 60 75 = 12Ω Requ1 = Requ1 Associando-se Requ1 com R1, obtemos: Requ 2 = R1 + Requ1 Requ 2 = 8 + 12 Requ 2 = 20Ω A corrente i1 será dada por: i1 = V Requ 2 100 20 i1 = 5 A i1 = 34 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras As correntes i1 e i2 podem ser calculadas através das fórmulas do divisor de corrente: B B B B R3 60 60 4 i2 = i1 =5 =5 =5 15 + 60 R2 + R3 75 5 EC @ CDE @ CDE @ CDE @ D C @ A A A A i2 = 4 A B B B B R2 15 15 1 i3 = i1 =5 =5 =5 15 + 60 75 5 R2 + R3 EC @ CDE @ CDE @ CDE @ D C @ A A A A i3 = 1 A b) Para o circuito abaixo, calcular a tensão sobre o resistor R4. 25Ω 100V 30Ω 15Ω 15Ω Solução: Os resistores R2 e R3 estão associados em paralelo. O resistor Requ1, que é o resistor equivalente dos resistores R2 e R3 associados, estará por sua vez em série com os resistores R1 e R4 (veja a figura abaixo). 30 × 15 450 = 30 + 15 45 = 10Ω Requ1 = Requ1 25Ω 100V 10Ω 15Ω Os resistores de 25Ω, 10Ω e 15Ω, formam um divisor de tensão, de forma que a tensão sobre o resistor de 15Ω pode ser calculado como se segue abaixo: H H VR 4 VR 4 H 15 15 3 = 100 = 100 = 100 25 + 10 + 15 50 10 = 30V IJK Eletricidade – Módulo I G F IJK G F IJK F G 35 Colégio Agulhas Negras 4.4 Exercícios propostos: 4.4.1 No circuito abaixo, calcule o valor da resistência equivalente entre os pontos A e B. . A 15Ω V 30Ω . 15Ω 25Ω B 4.4.2 No circuito abaixo, calcule o valor da tensão no resistor de 12Ω. 16Ω 12Ω 48V 8Ω 4.4.3 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 15Ω. 12A V 15Ω 45Ω 60Ω 4.4.4 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 3Ω. 8Ω 36V 3Ω 6Ω 2Ω 36 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 4.4.5 No circuito abaixo, calcule o valor da tensão no resistor de 8Ω. 8Ω 24V 30Ω 60Ω 20Ω Eletricidade – Módulo I 37 Colégio Agulhas Negras Capítulo 5 POTÊNCIA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS Para que se entenda o que é potência, precisamos primeiro definir o que é trabalho. Em termos gerais, trabalho é a quantidade de energia necessária para que se realize alguma ação. Por exemplo, para se deslocar um peso de um ponto A para um ponto B, é necessário que se aplique uma força ao peso ao longo de uma distância d, que é a distância entre os pontos A e B (veja a figura abaixo): F A B d A quantidade de energia necessária para deslocar o peso é proporcional à distância d que o peso é deslocado, ou seja, quanto maior a distância, maior a quantidade de energia necessária, ou em outras palavras, maior é o trabalho necessário para se deslocar o peso. O trabalho é medido em Joules (J), e é representado pela letra grega τ ( táu). Agora imagine que para se deslocar o peso da figura acima por uma distância d um indivíduo X leve 3 segundos, enquanto um indivíduo Y leve 1 segundo para realizar a mesma tarefa. A quantidade de trabalho realizado por ambos é a mesma, já que temos o mesmo peso deslocado à mesma distância. O que difere então um indivíduo do outro, de forma que Y faça o mesmo trabalho num tempo menor que X? A resposta é a potência. Pode-se dizer que o indivíduo Y exerce uma potência maior que o indivíduo X, pois é capaz de realizar uma certa quantidade de trabalho em um tempo menor. Em termos matemáticos, dizemos que a potência é a taxa de realização de trabalho por intervalo de tempo, ou seja: P= τ ∆t (equação 5.1) Sendo o trabalho medido em Joules e o tempo em segundos, a unidade de potência será J/s (Joules por segundo), ou resumidamente, Watts (W). 38 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 5.1 Efeito Joule: Como já sabemos, a matéria é composta por átomos, e a corrente elétrica é o movimento ordenado de elétrons. Imagine os elétrons de uma corrente elétrica se deslocando através de um condutor. Sendo o condutor (matéria) composto por átomos, temos que o deslocamento de elétrons através deste condutor fará com que estes elétrons se colidam com os átomos que compõem o condutor. A cada colisão o elétron transfere parte de sua energia cinética (relacionada ao movimento) para o átomo, que então passa a vibrar com mais intensidade. Como se sabe, o calor é a medida da agitação dos átomos em uma certa quantidade de matéria, de forma que quanto maior for a intensidade com que os átomos de um corpo vibrem, maior será a quantidade de calor neste corpo. Se a passagem de uma corrente elétrica por um condutor faz com que os átomos deste condutor vibrem com mais intensidade, então é natural que o condutor apresente uma quantidade maior de calor, ou seja o condutor “esquenta”. Este é o chamado efeito Joule. Efeito Joule: aquecimento de um condutor devido à passagem de uma corrente elétrica. O efeito Joule encontra diversas aplicações práticas, como por exemplo, a resistência de um chuveiro elétrico, que quando percorrida por uma corrente se aquece, e transfere o calor para a água que passa por ela, aquecendo a água. O aquecimento de um condutor devido ao efeito Joule pode ser entendido como uma dissipação de energia (lembre-se que o calor é uma forma de energia). Esta energia está relacionada com o trabalho e potência elétrica. 5.2 Trabalho e potência elétrica: Para se definir o trabalho elétrico, vamos relembrar a definição de diferença de potencial elétrico: 1 volt é o potencial necessário para que, realizando um trabalho de 1 Joule se desloque uma carga de 1 Coulomb. Matematicamente: V= τ Q τ = V × Q (equação 5.2) Se dividirmos ambos os lados da equação 2 por ∆t, teremos: τ ∆t = V ×Q ∆t (equação 5.3) Sabemos que: P= Eletricidade – Módulo I τ ∆t 39 Colégio Agulhas Negras E também que: i= Q ∆t Substituindo P e i na equação 3, temos, finalmente: P = V × i (equação 5.4) Que é a equação que define a potência elétrica. Exemplo: Um resistor submetido à uma tensão de 12V é percorrido por uma corrente de 0,2A. Calcule a potência dissipada por este resistor. Solução: V = 12V i = 0,2A P = V × i = 12 × 0,2 P = 2,4W 5.2.1 Outras formas para a equação da potência elétrica: Tomando-se a lei de Ohm, podemos escrever outras formas para a equação da potência, substituindo V e i pelos seus equivalentes segundo a lei de Ohm: V = R×i P =V × i P = (R × i ) × i P = R × i2 (equação 5.5) V R P =V × i i= N V P =V × R OPQ P= V2 R L M (equação 5.6) Exemplo: a) Um resistor de 100Ω é percorrido por uma corrente de 2A. Calcule a potência dissipada por este resistor. 40 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Solução: Usando a equação 5.5: R = 100Ω i = 2A P = R × i 2 = 100 × 2 2 = 100 × 4 P = 400 W b) Um resistor de 500Ω é submetido à uma tensão de 50V. Calcule a potência dissipada por este resistor. Solução: Usando a equação 5.6: V = 50V R = 500Ω V 2 50 2 2500 = = R 500 500 P = 5W P= c) Calcular a potência em cada resistor do circuito abaixo. Somar todas as potências. 10Ω R1 180V R2 30Ω R3 15Ω 10Ω R4 Solução: Conhecendo a corrente em cada resistor, podemos calcular a potência através da fórmula P = R × i2. Associando-se os resistores de R2 e R3: Requ = R2 × R3 30 × 15 450 = = R2 + R3 30 + 15 45 Requ = 10Ω O circuito ficará então com a seguinte forma: 10Ω R1 180V Requ 10Ω 10Ω R4 Eletricidade – Módulo I 41 Colégio Agulhas Negras Os 3 resistores de 10Ω estão associados em série, de forma que a corrente neles pode ser calculada da seguinte forma: V 180 180 = = R 10 + 10 + 10 30 i = 6A i= A potência nos resistores R1 e R4 já pode ser então calculada: PR1 = R1 × i 2 = 10 × 6 2 = 10 × 36 PR1 = 360W PR 4 = R4 × i 2 = 10 × 6 2 = 10 × 36 PR 4 = 360 W Falta achar as correntes nos resistores R2 e R3, as quais podem ser calculadas através das fórmulas do divisor de corrente: T T T T R3 15 15 1 =6 =6 =i =6 30 + 15 45 3 R 2 + R3 WU R UVW R UVW R UVW R V iR2 U R S S S S i R 2 = 2A T T T T R2 2 2 30 =i =6 =6 =6 3 3 30 + 15 R 2 + R3 WU R UVW R UVW R UVW R V i R3 U R S S S S i R 3 = 4A A potência nos resistores R2 e R3 pode então ser calculada: PR 2 = R2 × i R 2 = 30 × 2 2 = 30 × 4 2 PR 2 = 120W PR 3 = R3 × i R 3 = 15 × 4 2 = 15 × 16 2 PR 3 = 240 W A potência total será então: Ptotal = PR1 + PR 2 + PR 3 + PR 4 = 360 + 120 + 240 + 360 Ptotal = 1080W 42 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Considerando-se a equação para a potência elétrica P = V × i, se multiplicarmos a tensão da fonte pela corrente por ela fornecida, obteremos: P = V × i = 180 × 6 P = 1080W Que é exatamente o resultado que obtivemos anteriormente. Desta forma podemos propor que: A potência total fornecida por uma fonte a um circuito é igual à soma das potências dissipadas em cada resistor. d) O circuito abaixo representa parte de uma instalação elétrica residencial, correspondente à área de serviço. Deseja-se calcular o valor da amperagem para um disjuntor apropriado para a proteção do circuito. Calcule o valor para este disjuntor. .. Disjuntor 220V Tomadas 1000W Secadora 5000W Lavadora 2400W Solução: De acordo com o teorema discutido no exemplo anterior, a potência total deste circuito será a soma das potências de cada equipamento, de forma que: Ptotal = 1000 + 5000 + 2400 Ptotal = 8400W A corrente do circuito pode ser então calculada por2: P =V × i P 8400 i= = V 220 i = 38,18A Como comercialmente não existem disjuntores deste valor, pode-se usar um disjuntor de 40A. 2 Apesar de tratar-se de um circuito em corrente alternada (os quais serão estudados no Módulo 2), utilizamos aqui uma abordagem em corrente contínua, sem prejuízo da exatidão dos resultados. Eletricidade – Módulo I 43 Colégio Agulhas Negras 5.3 Exercícios propostos: 5.3.1 Uma carga de 100C é submetida à uma tensão de 12V. Calcule o trabalho em Joules realizado sobre esta carga (sugestão: use a equação 5.2). 5.3.2 Um chuveiro elétrico realiza dissipa 9MJ (9.000.000 de Joules) de energia em forma de calor a cada hora. Calcule a potência deste chuveiro, em Watts (sugestão: use a equação 5.1) . 5.3.3 Um resistor de 100Ω é submetido à uma tensão de 20V. Calcule a potência elétrica dissipada por este resistor. Qual a quantidade de energia em Joules que este mesmo resistor dissipa em 5 minutos? 5.3.4 No circuito abaixo, calcule a potência dissipada pelo resistor de 3Ω. 4Ω R1 24V R2 6Ω R3 3Ω 2Ω R4 5.3.5 O circuito abaixo representa uma instalação elétrica residencial. Deseja-se calcular o valor da amperagem para um disjuntor apropriado para a proteção do circuito. Calcule o valor para este disjuntor. .. Disjuntor 110V 44 Tomadas Iluminação Chuveiro 8000W 2000W 4000W Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Capítulo 6 FONTES REAIS Em todos os circuitos que estudamos até agora, consideramos as fontes de tensão como sendo fontes ideais. Fontes ideais, como o próprio nome diz, são fontes idealizadas, isto é, só existem teoricamente. Na prática, todas as fontes de tensão tem associada à sua tensão nominal uma resistência interna, o que leva a algumas implicações como veremos a seguir. 6.1 Fontes ideais: São fontes idealizadas, cuja resistência interna é nula (r = 0Ω). Quando a resistência ligada a uma fonte (ou a resistência equivalente de um circuito) é muito maior que sua resistência interna, podemos considerar a resistência interna desta fonte como sendo nula, tornando-se assim uma fonte ideal. É o que ocorre em todos os circuitos que analisamos até agora. Porém quando a resistência ligada a uma fonte (ou a resistência equivalente de um circuito) é das mesmas proporções da resistência interna desta fonte, a resistência interna da fonte deve ser considerada, e a fonte então é tratada como uma fonte real. 6.2 Fontes reais: São fontes onde resistência interna é maior que zero (r > 0Ω). Veja o circuito abaixo. Os elementos dentro da linha tracejada sãoos elementos internos à fonte. Sendo que a fonte fornece uma corrente i a qual atravessa também a resistência interna, temos sobre esta resistência interna uma tensão εi = r x i a qual será diminuída da tensão nominal ε da fonte, fazendo com que haja uma redução da tensão fornecida à carga εu. εi r i i R εu ε ε = tensão nominal; εi = tensão sobre a resistência interna; εu = tensão útil; r = resistência interna; R = resistência da carga; i = corrente fornecida pela fonte. Eletricidade – Módulo I 45 Colégio Agulhas Negras Analisando o circuito anterior, temos que: ε = εi +εu εu = ε −εi mas; εi = r ×i ε i= r+R então : εu = ε − r [\] ε Z X r+R Y Z r ε u = ε 1− r+R [\] X Y (equação 6.1) Ou seja, a tensão útil que uma fonte real fornece à carga é uma relação da tensão nominal e das resistências interna e da carga ligada à fonte. Exemplo: a) Uma fonte com tensão nominal de 12V é ligada a uma carga de 32Ω. Sendo a resistência interna da fonte igual a 4Ω, calcule a tensão útil fornecida à carga. Solução: Dados: ε = 12V R = 32Ω r = 4Ω Utilizando a equação 6.1: ` ` ` ` ` 4 4 r 1 8 96 = ε u = ε 1− = 12 1 − = 12 1 − = 12 = 12 1 − 4 + 32 36 r+R 9 9 9 ε u = 10,67V abc _ ^ abc _ ^ abc _ ^ abc _ ^ abc ^ _ Este resultado significa que, da tensão nominal de 12V, apenas 10,67V estarão disponíveis para a carga de 32Ω. O restante da tensão estará sobre a resistência interna da fonte. A corrente que circula pelo circuito pode ser calculada dividindo-se a tensão útil εu pela resistência R da carga: 46 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras εu 10,67 R 32 i = 0,33A i= = b) Uma fonte com tensão nominal de 1,5V é ligada a uma carga de 8Ω. Sendo a tensão útil da fonte igual a 1,2V, calcule sua resistência interna. Solução: Dados: ε = 1,5V R = 8Ω εu = 1,2Ω f r ε u = ε 1− r+R ghi d e f r 1,2 = 1,5 1 − r +8 1,2 r = 1− 1,5 r +8 1,2 r −1 = − 1,5 r +8 r − 0,2 = − r +8 − 0,2(r + 8) = − r − 0,2r − 1,6 = −r r − 0,2r = 1,6 0,8r = 1,6 1,6 r= 0,8 r = 2Ω ghi d e 6.3 Rendimento de uma fonte real: O rendimento de uma fonte real é dado pelo quociente da tensão útil εu pela tensão nominal ε. Assim, temos que: η= εu (equação 6.2) ε ou η% = Eletricidade – Módulo I εu × 100% ε (equação 6.3) 47 Colégio Agulhas Negras 6.4 Máxima transferência de potência: Devido à presença de uma resistência interna, sempre haverá nas fontes reais uma parcela de potência dissipada internamente. De fato, se existe uma corrente i circulando pelo circuito e uma resistência interna r haverá uma potência Pi dissipada internamente sobre a resistência interna. Esta potência será equivalente a r x i2. Desta forma, quanto menor a corrente que circula pelo circuito, menor será a potência dissipada internamente. Porém, menor será também a potência útil, a qual pode ser definida pela relação Pu = i x R2. Para aumentar a potência útil, deve-se aumentar a corrente i o que o fazemos diminunido a resistência R da carga. Mas então teremos uma diminição da potência útil, pois Pu = i x R2. Qual então será o ponto onde temos a máxima potência útil forneciad à carga (máxima transferência de potência). Vamos analisar o circuito a seguir: r Pi = i x r2 i R Pu = i x R2 i ε P=εxi Sabemos que a potência total fornacida pela fonte (P) é a soma das potência dissispadas em cada resistor. Então: P = Pi + Pu Pu = P − Pi ( Pu = (ε × i ) − r × i 2 Pu = − ri 2 + εi ) (equação 6.4) A equação 6.4 é uma equação de 2o grau, sendo i a variável e r e ε os coeficientes. Como o coeficiente da variável de 2o grau é negativo, o gráfico será uma parábola com a concavidade voltada para baixo, como ilustra a figura a seguir: Pu Pu máxima i As raízes da equação 6.4 serão: 48 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Pu = −ri 2 + εi − ri 2 + εi = 0 i(− ri + ε ) = 0 i′ = 0 i ′′ = ε r Então: Pu Pu máxima 0 ε/r i Como a parábola é simétrica, o ponto onde a potência útil é máxima está situado no ponto médio entre as raízes da equação. Desta forma: ε i Pmáx = r i Pmáx = ε −0 2 2r ε = r 2 (equação 6.5) Como a resistência interna da fonte não pode ser variada, para obtermos 2r no denominador da equação 6.5 devemos fazer R = r. Então concluímos que a máxima transferência de potência se dá quando a resistência da carga se iguala à resistência interna da fonte. Eletricidade – Módulo I 49 Colégio Agulhas Negras 6.5 Exercícios propostos: 6.5.1 Calcule o valor da tensão útil para uma fonte de 6V com resistência interna r = 0,1Ω e resistência de carga R = 50Ω. Qual é o rendimento desta fonte? 6.5.2 Uma fonte de 12V possui resistência interna r = 2Ω. Deseja-se a máxima transferência de potência. Nestas condições, calcule o valor da carga R e a potência dissipada pela carga. 6.5.3 Calcule o valor da corrente fornecida por uma fonte de 20V que opera na máxima transferência de potência, sabendo que o valor da resistência da carga R é igual a 4Ω. Nestas condições, calcule também o rendimento da fonte. 6.5.4 Uma pilha de 1,5V fornece uma tensão útil de 1,48V quando ligada à uma carga de 27Ω. Calcule o valor da resistência interna e o rendimento desta pilha. 6.5.5 A bateria de um automóvel possui tensão nominal de 12V e fornece uma corrente de 40A na partida do motor de arranque. Considerando o rendimento da bateria η=99%, calcule o valor da resistência interna desta bateria. 50 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Capítulo 7 LEIS DE KIRCHOFF À medida em que cresce a complexidade dos circuitos, mais trabalhosa será a análise utilizando-se dos conceitos estudados até aqui. Circuitos onde existam várias fontes de tensão ou associações complexas de resistores são analisados mais facilmente utilizando-se os teoremas de análise de circuitos que serão estudados a partir daqui. Todos os teoremas são baseados na lei de Ohm, e na verdade representam “atalhos” para a aplicação da primeira Lei de Ohm na análise dos circuitos. Assim, podemos listar os seguintes teoremas que serão vistos daqui em diante3: j j j j j 1a Lei de Kirchoff (lei dos nós); 2a Lei de Kirchoff (lei das malhas); Método do ponto de referência; Princípio da superposição de efeitos; Teorema de Thevenin. Os primeiros teoremas a serem estudados serão as Leis de Kirchoff. São duas leis, a primeira relacionando as correntes presentes em um circuito, e a segunda relacionando as tensões em um circuito. As Leis de Kirchoff tem fundamental importância na eletrônica no que se refere à análise de circuitos eletrônicos, não só aqueles onde apenas elementos passivos estão presentes (como serão os casos estudados aqui), mas como em qualquer circuito onde queiramos saber as relações entre as correntes e tensões ali presentes. 7.1 Primeira Lei de Kirchoff (Lei dos nós): Para que se entenda a primeira Lei de Kirchoff, é necessário primeiro que se defina o que é um nó. Em um circuito qualquer, um nó é a união de 3 ou mais condutores. Conforme a primeira Lei de Kirchoff, as correntes que circulam por um circuito quando encontram um nó se comportam da seguinte forma: A soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó. Exemplo: a) No esquema abaixo temos as correntes i1 e i3 chegando ao nó, enquanto que as correntes i2 e i4 saem do nó: . i1 i2 i3 i4 i1 + i3 Correntes que entram = i2 + i4 Correntes que saem 3 Existem ainda outros teoremas, como o Teorema de Norton ou as Correntes Fictícias de Maxwell, os quais não serão abordados neste curso. Eletricidade – Módulo I 51 Colégio Agulhas Negras b) No esquema abaixo, calcular a intensidade da corrente i4, sabendo-se que i1=3A, i2=5A e i3=2A. Solução: . i1 i2 i3 i1 + i2 + i3 = Correntes que entram i4 Corrente que sai i4 i 4 = i1 + i 2 + i3 = 3 + 5 + 2 i 4 = 10A c) No circuito abaixo, calcular a corrente i, aplicando a primeira Lei de Kirchoff: . Nó i R1 i1 V R2 2A i2 R3 3,5A R4 Solução: Observa-se que as correntes i1 e i2 saem do nó, enquanto que a corrente i entra no nó. Desta forma, temos, conforme a primeira Lei de Kirchoff: i = i1 + i 2 = 2 + 3,5 i = 5,5A d) No circuito abaixo, calcular a corrente i, aplicando a primeira Lei de Kirchoff: R1 i1 V R2 i R4 2A i2 R3 3,5A . Nó 52 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Solução: Temos uma situação idêntica à anterior, porém agora i1 e i2 entram no nó, enquanto que a corrente i sai do nó. Desta forma, temos, de acordo com a primeira Lei de Kirchoff: i1 + i 2 = i 2 + 3,5 = i i = 5,5A e) No circuito abaixo, calcular a corrente i2: 15 v 30 v . Nó 30Ω Ω i1 V1 20Ω Ω i3 i2 V2 Solução: Aplicando a primeira Lei de Kirchoff, temos: i3 = i1 + i2 Entretanto não conhecemos os valores das correntes i1 e i3, mas conhecemos os valores das tensões e das resistências, de forma que podemos calcular as correntes i1 e i3 aplicando a primeira Lei de Ohm: i1 = VR1 15 = R1 30 i1 = 0,5 A i3 = V R 2 30 = R2 20 i3 = 1,5A Com os valores das correntes i1 e i3 determinados, calculamos facilmente o valor da corrente i2: i3 = i1 + i 2 i 2 = i3 − i1 = 1,5 + 0,5 i 2 = 1A f) No circuito a seguir, calcular a corrente i2: Eletricidade – Módulo I 53 Colégio Agulhas Negras Nó VR1 45 VR3 . Ω 40Ω 10Ω Ω 25 i1 V1 15 i3 i2 V2 Solução: Aplicando a primeira Lei de Kirchoff, temos: i2 + i3 = i1 Entretanto não conhecemos os valores das correntes i1 e i3, nem valores das tensões VR1 e VR3. Porém no circuito são mostrados os potenciais de alguns pontos, de forma que podemos calcular as diferenças de potencial VR1 e VR3 como se segue: V R1 = 45 − 25 = 20V V R 3 = 25 − 15 = 10V As correntes i1 e i3 podem agora ser calculadas aplicando-se a primeira Lei de Ohm: i1 = V R1 20 = R1 40 i1 = 0,5 A V 10 i3 = R 3 = R3 10 i3 = 1A Com os valores das correntes i1 e i3 determinados, calculamos facilmente o valor da corrente i2: i 2 + i3 = i1 i 2 = i1 − i 3 = 0,5 − 1 i 2 = −0,5A Este resultado mostra que, na verdade, a corrente i2 tem sentido contrário ao indicado no circuito. Observando os exemplos anteriores, podemos concluir que a primeira Lei de Kirchoff é suficiente para que possamos resolver um circuito, desde que conheçamos as tensões sobre alguns componentes ou os potenciais em alguns pontos do circuito. A dúvida agora é: como fazer para resolver circuitos onde não conhecemos as tensões ou os potenciais em nenhum dos componentes? A resposta será dada ao estudarmos a segunda Lei de Kirchoff. 54 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 7.2 Segunda Lei de Kirchoff: Assim como a primeira Lei de Kirchoff relaciona as correntes presentes em um circuito, a segunda Lei de Kirchoff relaciona as tensões presentes em uma circuito, de forma que o seu enunciado é o seguinte: “A soma algébrica das tensões em uma malha é igual a 0 (zero).” Torna-se então necessário definirmos o que é uma malha. Em um circuito qualquer, uma malha é qualquer trecho fechado deste circuito. Observe os exemplos abaixo: Circuito com uma malha: k Ω 40Ω 10Ω Ω 20V 45V Circuito com duas malhas: k 12Ω 96 V k Malha 60Ω 1 30Ω Malha 2 120 V Circuito com três malhas: Ω 40Ω 20V Malha 1 10Ω Ω Malha 2 Ω 40Ω 10Ω Ω Malha 3 Ω 40Ω 45V 10Ω Ω 6.2.1 O método passo a passo: O método para a resolução de circuitos utilizando a Segunda Lei de Kirchoff consiste basicamente em identificar as tensões presentes em todas as malhas de um circuito, e a partir daí extrair equações que vão fornecer os valores de todas as correntes do circuito e, consequentemente, todas as tensões. Exemplo: a) Calcular as tensões e as correntes em cada resistor do circuito a seguir: Eletricidade – Módulo I 55 Colégio Agulhas Negras 40Ω Ω 10Ω Ω 20V 45V O primeiro passo é estabelecer um sentido para as correntes que circulam pelo circuito. Ainda que não conheçamos o sentido correto da corrente, tal fato não influenciará no resultado, já que, se encontrarmos um valor negativo para a corrente, quer dizer que a corrente na verdade está no sentido contrário ao sentido representado. Como circuito acima é um circuito em série, temos apenas uma corrente percorrendo o circuito, a qual chamaremos de i. Representando-a no circuito, temos: 40Ω Ω 10Ω Ω i i 20V 45V O próximo passo é estabelecer as difereças de potencial sobre os resistores, o que faremos através de setas curvadas que representam uma diferença de potencial. As pontas das setas representam o potencial maior, e suas partes posteriores representam o potencial menor. Note que cada resistor será submetido à uma diferença de potencial, as quais chamaremos de V1 e V2. Note ainda que as diferenças de potencial sempre terão sentido contrário às correntes: V1 V2 40Ω Ω 10Ω Ω i i 20V 45V O terceiro passo é estabelecer as difereças de potencial sobre as fontes. Como as pontas das setas representam o potencial maior, elas devem apontar sempre para o pólo positivo da fonte. As diferenças de potencial são conhecidas e são representadas pelos próprios valores das fontes: 20V 56 V1 V2 40Ω Ω 10Ω Ω i i 20 45 45V Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Partindo de um ponto qualquer do circuito, vamos percorrê-lo observando e somando as diferenças de potencial encontradas pelo caminho. Para isto vamos adotar as seguintes regras: Os potenciais crescentes (representados pelas setas no sentido em que você percorre o circuito) terão sinal positivo. Os potenciais decrescentes (representados pelas setas no sentido contrário ao qual você percorre o circuito) terão sinal negativo. Você pode percorrer o circuito em sentido horário ou anti-horário, desde que a convenção adotada seja aplicada em todo o circuito. k k k 20V V1 V2 40Ω Ω 10Ω Ω i i 20 45 45V A Partindo do ponto A, vamos percorrer a malha no sentido horário. A primeira diferença de potencial encontrada é a da fonte de 20V.Observe que a seta está no mesmo sentido em que percorremos, então esta ddp é de +20V. A segunda diferença de potencial encontrada é a do resistor de 40Ω. Observe que a seta está no mesmo sentido em que percorremos a malha, então esta ddp é positiva. Como não conhecemos o valor, escrevemos +V1. A terceira diferença de potencial encontrada é a do resistor de 10Ω. Observe que a seta está no mesmo sentido em que percorremos a malha, então esta ddp é positiva. Como não conhecemos o valor, escrevemos +V2. Finalmente, última diferença de potencial encontrada é a da fonte de 45V.Observe que a seta está no sentido contrário ao qual percorremos a malha (como um carro na contra-mão), então esta ddp é de –45V. Aplicando a segunda Lei de Kirchoff, vamos soma algebricamente as tensões observadas e igualá-las a zero. Então: 20 + V1 + V2 − 45 = 0 (equação 7.1) Aplicando a primeira Lei de Ohm para V1 e V2, temos: V1 = R × i = 40i V2 = R × i = 10i Substituindo V1 e V2 na equação 7.1, temos: 20 + 40i + 10i − 45 = 0 50i − 25 = 0 50i = 25 25 i= 50 i = 0,5A Eletricidade – Módulo I 57 Colégio Agulhas Negras V1 e V2 serão dados então por: V1 = 40i = 40.0,5 V1 = 20V V2 = 10i = 10.0,5 V2 = 5V b) No circuito abaixo, calcular as correntes nos resistores: 30Ω Ω 12Ω Ω 96 V 120 V 60Ω Ω O primeiro passo é estabelecer um sentido para as correntes em cada resistor. Como temos mais de uma malha, será útil escrevemos a primeira Lei de Kirchoff (Lei dos nós) para este circuito: 12Ω Ω 30Ω Ω i1 i3 96 V 60Ω Ω i1 + i3 = i2 120 V i2 (equação 7.2) O segundo passo é estabelecer um sentido para as diferenças de potencial em cada resistor, lembrando que o sentido da ddp é sempre o contrário do sentido da corrente: 96 V V1 V3 12Ω Ω 30Ω Ω i1 i3 60Ω Ω i2 V2 120 V O próximo passo é estabelecer as difereças de potencial sobre as fontes, lembrando que as setas indicativas da tensão devem apontar sempre para o pólo positivo da fonte. 58 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 96 V V1 V3 12Ω Ω 30Ω Ω i1 i3 Ω 60Ω 96 i2 V2 120 120 V B A Partindo do ponto A, vamos percorrer a primeira malha no sentido horário. A primeira diferença de potencial encontrada é a da fonte de 96V. Observe que a seta está no mesmo sentido em que percorremos a malha, então esta ddp é de +96V. A segunda diferença de potencial encontrada é a do resistor de 12Ω. Observe que a seta está no sentido contrário ao qual percorremos o circuito, então esta ddp é negativa. Como não conhecemos o valor desta ddp, escrevemos –V1. A última diferença de potencial encontrada é a do resistor de 60Ω. Observe que a seta está no sentido contrário ao qual percorremos o circuito, então esta ddp é negativa. Como não conhecemos o valor, escrevemos –V2. Aplicando a segunda Lei de Kirchoff, temos então: 96 − V1 − V2 = 0 (equação 7.3) Partindo do ponto B, vamos percorrer a segunda malha também no sentido horário (lembre-se das regras básicas). A primeira diferença de potencial encontrada é a do resistor de 60Ω. Observe que a seta está no mesmo sentido em que percorremos a malha, então esta ddp é positiva. Como não conhecemos o valor, escrevemos +V2. A segunda diferença de potencial encontrada é a do resistor de 30Ω. Observe que a seta está no mesmo sentido em que percorremos, então esta ddp é positiva. Como não conhecemos o valor, escrevemos +V3. A última diferença de potencial encontrada é a é a da fonte de 96V. Observe que a seta está no sentido contrário ao qual percorremos, então esta ddp é de –120V. Aplicando a segunda Lei de Kirchoff, temos então: V2 + V3 − 120 = 0 (equação 7.4) Aplicando a primeira Lei de Ohm para V1 e V2 e V3, temos: V1 = R1 × i1 = 12i1 V2 = R2 × i2 = 60i2 V3 = R3 × i3 = 30i3 Substituindo V1 e V2 na equação 7.3, temos: 96 − 12i1 − 60i 2 = 0 Eletricidade – Módulo I (equação 7.5) 59 Colégio Agulhas Negras Substituindo V2 e V3 na equação 7.4, temos: 60i 2 + 30i3 − 120 = 0 (equação 7.6) Substituindo i2 (equação 6.2) nas equações 7.5 e 7.6, temos: 96 − 12i1 − 60(i1 + i3 ) = 0 − 12i1 − 60i1 − 60i3 = −96 − 72i1 − 60i3 = −96 (equação 7.7) 60(i1 + i3 ) + 30i3 − 120 = 0 60i1 + 60i3 + 30i3 = 120 60i1 + 90i3 = 120 (equação 7.8) As equações 7.7 e 7.8 formam um sistema que relaciona as correntes i1 e i3. A solução deste sistema nos dará o valor das correntes i1 e i3, e a soma destas correntes nos fornecerá o valor de i2 : l n − 72i1 − 60i3 = −96 m + 60i1 + 90i3 = 120 − 72i1 − 60i3 = −96 60i1 + 90i3 = 120 − 72i1 = −96 + 60i3 96 − 60i3 60 + 90i3 = 120 72 80 − 50i3 + 90i3 = 120 − 96 + 60i3 − 72 96 − 60i3 i1 = 72 i1 = 60 q rst o p 40i3 = 120 − 80 40 40 i3 = 1A i3 = 96 − 60i3 96 − 60(1) = 72 72 96 − 60 36 i1 = = 72 72 i1 = 0,5A i1 = i2 = i1 + i3 = 0,5 + 1 i2 = 1,5A Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 7.3 Exercícios propostos: 7.3.1 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 30Ω 15Ω 30V 30Ω 15Ω 25Ω 7.3.2 No circuito abaixo, calcule o valor da tensão no resistor de 12Ω. 16Ω 12Ω 48V 8Ω 7.3.3 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 15Ω. 12A V 15Ω 2A 45Ω 6A 60Ω 7.3.4 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 3Ω. 8Ω 36V 3Ω 6Ω 2Ω Eletricidade – Módulo I 61 Colégio Agulhas Negras 7.3.5 No circuito abaixo, calcule o valor da tensão no resistor de 20Ω. 20Ω Ω 40Ω Ω 60 V 62 80Ω Ω 120 V Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Capítulo 8 MÉTODO DO PONTO DE REFERÊNCIA O método do ponto de referência, como o próprio nome sugere, utiliza-se de um ponto de referência, a partir do qual os potenciais de todos (ou quase todos) os outros pontos do circuito podem ser determinados. Conhecem-se os potenciais em cada ponto do circuito, conhecemos também as diferenças de potencial em cada elemento, e portanto, temos uma solução completa do circuito. 8.1 Ponto de referência (terra): O ponto de referência é um ponto qualquer do circuito, escolhido arbitrariamente, ao qual será atribuído o potencial 0V (zero volts). Este ponto é chamado de terra do circuito, e o seu potencial é o potencial de terra. Potencial de terra = 0 volts O terra do circuito é representado pelos símbolos: ou e no ponto onde houver este símbolo, quer dizer que o potencial deste ponto é o potencial de terra, ou seja, 0 volts. 8.2 O método passo-a-passo: Suponha que se queira resolver o circuito mostrado na figura abaixo, de forma a calcular o valor da corrente que percorre os resistores. Note que não temos indicação do sentido da corrente, nem qualquer informação sobre os potenciais nos pontos do circuito. Como proceder então? 40Ω Ω 20V 10Ω Ω 45V O primeiro passo é estabelecer um sentido para as correntes que circulam pelo circuito. Ainda que não conheçamos o sentido correto da corrente, tal fato não influenciará no resultado, já que, se encontrarmos um valor negativo para a corrente, quer dizer que a corrente na verdade está no sentido contrário ao sentido representado. Como circuito acima é um circuito em série, temos apenas uma corrente percorrendo o circuito, a qual chamaremos de i. Representando-a no circuito, temos: Eletricidade – Módulo I 63 Colégio Agulhas Negras 40Ω Ω 10Ω Ω i i 20V 45V O próximo passo é estabelecer as difereças de potencial sobre os resistores, o que faremos através de setas curvadas que representam uma diferença de potencial. As pontas das setas representam o potencial maior, e suas partes posteriores representam o potencial menor. Note que cada resistor será submetido à uma diferença de potencial, as quais chamaremos de VR1 e VR2. Note ainda que as diferenças de potencial sempre terão sentido contrário às correntes: VR1 VR2 40Ω Ω 10Ω Ω i i 20V 45V O terceiro passo é estabelecer um ponto de referência, ou um terra para o circuito, o que faremos na parte inferior do circuito. Uma dica prática para que se escolha o ponto de terra é escolher um ponto que faça contato direto com o maior número possível de fontes: VR1 VR2 40Ω Ω 10Ω Ω i i 20V 45V . Vamos agora determinar o potencial em cada ponto do circuito, a partir do ponto de referência. Sabemos que o potencial de terra é 0 volts, então temos para cada ponto: u u u 64 O pólo negativo da fonte de 20v está em contato direto com o terra do circuito, então seu potencial também será de 0 volt. O pólo positivo, por sua vez, terá o potencial de 20 volts. O pólo negativo da fonte de 45v está em contato direto com o terra do circuito, então seu potencial também será de 0 volt. O pólo positivo, por sua vez, terá o potencial de 45 volts. Não é possível conhecer (ainda) o potencial do ponto situado entre os resistores, de forma que chamaremos o potencial deste ponto de X. Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras VR1 20 VR2 . 40Ω Ω 10Ω Ω X i 45 i 20V 45V . 0 0 0 Podemos agora construir uma equação para resolver este circuito. A corrente i pode ser determinada pela primeira Lei de Ohm: i= V R1 Ri ou i= VR 2 R2 Então: V R1 V R 2 = (equação 8.1) Ri R2 As diferenças de potencial VR1 e VR2 podem ser calculadas observando-se os potenciais em cada ponto do circuito, de forma que temos (lembre-se que a diferença de potencial é igual ao potencial maior menos o potencial menor): V R1 = X − 20 V R 2 = 45 − X Substituindo VR1 e VR2 e os valores dos resistores R1 e R2 na equação 8.1, temos: X − 20 45 − X = 40 10 10( X − 20) = 40(45 − X ) 10 X − 200 = 1800 − 40 X 10 X + 40 X = 1800 + 200 50 X = 2000 2000 50 X = 40V X = A corrente i finalmente pode ser calculada usando qualquer uma das seguintes equações: Eletricidade – Módulo I 65 Colégio Agulhas Negras i= V R1 Ri ou i= VR 2 R2 Então: i= V R1 X − 20 40 − 20 20 = = = Ri 40 40 40 i = 0,5A Exemplo: No circuito abaixo, calcular a corrente no resistor de 60Ω: 30Ω Ω Ω 12Ω 96 V 120 V 60Ω Ω Solução: Observe que nenhuma corrente está representada, então o primeiro passo é estabelecer um sentido para as correntes em cada resistor: 12Ω Ω 30Ω Ω i1 i3 96 V 60Ω Ω 120 V i2 O segundo passo é estabelecer um sentido para as diferenças de potencial em cada resistor, lembrando que o sentido da ddp é sempre o contrário do sentido da corrente: 96 V 66 V1 V3 12Ω Ω 30Ω Ω i1 i3 60Ω Ω i2 V2 120 V Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras O próximo passo é estabelecer um ponto de referência (terra), ao qual atribuiremos o potencial 0 volts. Lembre-se que o ponto de terra deve fazer contato com o maior número de fontes possível: V1 V3 12Ω Ω 30Ω Ω i1 i3 96 V 60Ω Ω 120 V i2 V2 . Com o ponto de referência determinado, iremos agora escrever o potencial em cada ponto do circuito, a partir do ponto de referência: V1 96 V3 12Ω Ω 30Ω Ω X i1 96 V 120 i3 Ω 60Ω 120 V i2 V2 . 0 0 0 Observe que o potencial entre os três resistores é desconhecido, por isso o chamamos de X. Com todo o circuito esquematizado podemos começar a análise, escrevendo a primeira Lei de Kirchoff para o circuito: i 2 = i1 + i3 Podemos reescrever a equação acima aplicando a primeira Lei de Ohm para as correntes: V2 V1 V3 = + 60 12 30 Não temos as tensões V1, V2, e V3, mas conhecemos os potenciais nos pontos, de forma que podemos calculá-las. Lembre-se que a diferença de potencial é sempre o potencial maior menos o potencial menor, e o potencial maior é indicado pela ponta das setas curvas, que representam as tensões no circuito. ( X − 0) = (96 − X ) + (120 − X ) 60 Eletricidade – Módulo I 12 30 67 Colégio Agulhas Negras Resolvendo a equação anterior: X (96 − X ) (120 − X ) = + 60 12 30 X = 5(96 − X ) + 2(120 − X ) 60 X = 5(96 − X ) + 2(120 − X ) X = 480 − 5 X + 240 − 2 X X + 5 X + 2 X = 480 + 240 8 X = 720 720 X= 8 X = 90V Com o potencial X determinado, podemos calcular facilmente a corrente no resistor de 60Ω: iR2 = X 90 = R2 60 i R 2 = 1,5A 68 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 8.3 Exercícios propostos: 8.3.1 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 30Ω 20Ω Ω 40Ω Ω 60 V 120 V 80Ω Ω 8.3.2 No circuito abaixo, calcule o valor da tensão no resistor de 12Ω. 16Ω 12Ω 48V 8Ω 8.3.3 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 15Ω. 30Ω Ω 30Ω Ω 60 V 90 V Ω 15Ω 8.3.4 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 3Ω. 12Ω 12V Eletricidade – Módulo I 3Ω 5Ω 69 Colégio Agulhas Negras 8.3.5 No circuito abaixo, calcule o valor da tensão no resistor de 20Ω. 20Ω Ω 40Ω Ω 60 V 70 80Ω Ω 120 V Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Capítulo 9 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS Um circuito onde estão presentes mais de uma fonte de tensão pode ser analisado como se fosse uma série de circuitos, cada qual com uma única fonte. A análise de circuitos com uma só fonte de tensão é simples e baseia-se quase que unicamente na primeira Lei de Ohm4. Os efeitos de cada fonte em um dado elemento do circuito podem ser observados separadamente, sendo que, ao final da análise eles se superpõem. 9.1 Princípio da superposição de efeitos: O princípio da superposição de efeitos baseia-se no fato de que o efeito de cada fonte sobre um componente qualquer de um circuito onde estão presentes mais de uma fonte de tensão pode ser observado individualmente. O efeito final é a soma de cada efeito observado individualmente. Para a análise do circuito observando-se uma única fonte de cada vez, devemos anular as outras fontes, o que significa na prática, colocar todas as demais fontes em curto circuito. Convenções devem ser adotadas para que o sentido da corrente provocada por cada fonte possa ser avaliado. Assim podemos convencionar, por exemplo, que em um componente se a corrente que vai para a esquerda ela é negativa, e se vai para a direita ela é positiva, e assim por diante. Se na soma algébrica de todos os efeitos o resultado for negativo (por exemplo), sabemos então que no circuito onde estão presentes todas as fontes, a corrente no componente vai para a esquerda. 9.2 O método passo-a-passo: Suponha que se queira resolver o circuito mostrado na figura abaixo, de forma a calcular o valor da corrente que percorre os resistores. Note que não temos indicação do sentido da corrente. 30Ω Ω 40V 10Ω Ω 80V O primeiro passo é estabelecer um sentido para as correntes que circulam pelo circuito. Ainda que não conheçamos o sentido correto da corrente, tal fato não influenciará no resultado, já que, se encontrarmos um valor negativo para a corrente, quer dizer que a corrente na verdade está no sentido contrário ao sentido representado. Como circuito acima é um circuito em série, temos 4 Em contrapartida, existe a desvantagem de que deve-se resolver tantos circuitos quantos forem o número de fontes presentes no circuito original. Eletricidade – Módulo I 71 Colégio Agulhas Negras apenas uma corrente percorrendo o circuito, a qual chamaremos de i. Representando-a no circuito, temos: 30Ω Ω 10Ω Ω i i 40V 80V O próximo passo será analisar o circuito separadamente para cada fonte. Para tanto, anula-se a outra fonte colocando-a em curto-circuito. Neste circuito, as correntes serão chamadas de iI, para que não confundamos com a corrente i do circuito original. Adotaremos o sentido para a direita como sendo positivo. Para a fonte de 40V, temos então: 30Ω Ω 10Ω Ω iI iI 40V Para o circuito acima, a corrente iI será: ii = V 40 40 = = Requ 30 + 10 40 i i = 1A Observe que a corrente vai para a direita, então, pela convenção ela é positiva. Analisando o circuito agora para a fonte de 80V. Chamaremos agora a corrente de iII, novamente para não confundirmos com a corrente i do circuito original. 30Ω Ω 10Ω Ω iII iII 80V Observe que agora a corrente vai para a esquerda, de forma que, seguindo-se a convenção ela terá um valor negativo: 72 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras i iI = − V 80 80 =− =− Requ 30 + 10 40 i iI = −2A Finalmente, aplicando-se o princípio da superposição de efeitos, vamos somar algebricamente os efeitos de cada fonte para obtermos o efeito final, ou seja, a corrente i: i = i i + i iI = 1 − 2 i = −1A Note que o valor negativo no resultado final significa que, no circuito original (com as duas fonte presentes) a corrente flui para a esquerda, pois pela convenção adotada a corrente que flui para a esquerda é negativa. Exemplo: No circuito abaixo, calcular a corrente no resistor de 60Ω: 30Ω Ω 30Ω Ω 15V 60 V 60Ω Ω Solução: Observe que nenhuma corrente está representada, então o primeiro passo é estabelecer um sentido para a corrente no resistor de 60Ω: 30Ω Ω 30Ω Ω 15V 60Ω Ω 60 V i Convencionaremos que a corrente que desce será positiva. Analisando o circuito para a fonte de 25V, temos então: 30Ω Ω 30Ω Ω iIT 15 V Eletricidade – Módulo I 60Ω Ω iI 73 Colégio Agulhas Negras O circuito acima apresenta uma associação mista. Associando-se os resistores de 30Ω (da direita) e 60Ω, obtemos: 30 × 60 1800 = 30 + 60 90 = 20Ω Requ1 = Requ1 Associando-se Requ1 com o resistor de 30Ω (da esquerda), obtemos: Requ 2 = R1 + Requ1 Requ 2 = 30 + 20 Requ 2 = 50Ω A corrente iIT será dada por: iT′ = V Requ 2 15 50 iT′ = 0,3A iT′ = A corrente iI pode ser calculada através da fórmula do divisor de corrente: x x 30 30 i ′ = iT′ = 0,3 90 60 + 30 i ′ = 0,1A yz{ v yz{ w v w O sinal será positivo, pois a corrente desce pelo resistor de 60Ω. Analisando o circuito para a fonte de 60V: 30Ω Ω 30Ω Ω iIIT 60Ω Ω iII 60 V O circuito acima também apresenta uma associação mista. Associando-se os resistores de 30Ω (da esquerda) e 60Ω, obtemos: 74 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 30 × 60 1800 = 30 + 60 90 = 20Ω Requ1 = Requ1 Associando-se Requ1 com o resistor de 30Ω (da direita), obtemos: Requ 2 = R1 + Requ1 Requ 2 = 30 + 20 Requ 2 = 50Ω A corrente iIIT será dada por: iT′′ = V Requ 2 60 50 iT′′ = 1,2A iT′′ = A corrente iII pode ser calculada através da fórmula do divisor de corrente: ~ ~ 30 30 i′′ = iT′′ = 1,2 60 + 30 90 i′′ = 0,4A € | € } | } O sinal também será positivo, pois a corrente desce pelo resistor de 60Ω. Finalmente, aplicando-se o princípio da superposição de efeitos, vamos somar algebricamente os efeitos de cada fonte para obtermos o efeito final, ou seja, a corrente i: i = i′ + i′′ = 0,1 + 0,4 i = 0,5A Note que o valor positivo no resultado final significa que, no circuito original (com as duas fonte presentes) a corrente desce pelo resistor, pois pela convenção adotada a corrente que desce é positiva. Eletricidade – Módulo I 75 Colégio Agulhas Negras 9.3 Exercícios propostos: 9.3.1 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 30Ω 20Ω Ω 40Ω Ω 60 V 120 V 80Ω Ω 9.3.2 No circuito abaixo, calcule o valor da tensão no resistor de 12Ω. 12Ω 30Ω Ω 24 V 40 V 60Ω Ω 9.3.3 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 15Ω. 30Ω Ω Ω 30Ω 60 V 90 V Ω 15Ω 9.3.4 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 3Ω. 12Ω 12V 76 3Ω 5Ω Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 9.3.5 No circuito abaixo, calcule o valor da tensão no resistor de 20Ω. 20Ω Ω 40Ω Ω 60 V Eletricidade – Módulo I 80Ω Ω 120 V 77 Colégio Agulhas Negras Capítulo 10 TEOREMA DE THEVENIN Um componente qualquer em um circuito “enxerga” este circuito como se fosse apenas uma fonte de tensão em série com um resistor. Esta é a base do Teorema de Thevenin, que simplifica sobremaneira a análise de circuitos e é muito utilizado para a simplificação de circuitos complexos para a análise. 10.1 Teorema de Thevenin: Segundo o Teorema de Thevenin: “Um circuito é, sob o ponto de vista de um elemento qualquer deste circuito, equivalente a uma fonte de tensão em série com um resistor.” A fonte de tensão em questão é a tensão de Thevenin, e o resistor é o resistor de Thevenin. Desta forma, temos o seguinte circuito equivalente: Rth Vth i RC = elemento qualquer do circuito 10.2 O método passo-a-passo: Suponha que se queira calcular a corrente que atravessa o resistor de 10Ω no circuito mostrado na figura abaixo. Supondo que a corrente flui para a direita, este será o sentido positivo. 10Ω Ω 30Ω Ω i 40V 80V 40Ω Ω O primeiro passo é retirar o resitor de 10Ω do circuito: 78 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 30Ω Ω A B o o 40V 80V 40Ω Ω Note que restaram os pontos A e B, os quais nos servirão como referência. De acordo com a convenção adotada, a corrente flui do ponto A para o ponto B. O próximo passo será calcular a ressitência de Thevenin. Para calcular a resistência de Thevenin, anulamos as duas fontes, ou seja, colocamo-as em curto-circuito. A resistência de Thevenin será a resistência equivalente entre os pontos A e B com as fontes anuladas. Temos então: 30Ω Ω A B o o 40Ω Ω Os resistores de 30Ω e 40Ω estão em série, de forma que a resistência equivalente será: Requ = Rth = 30 + 40 Rth = 70Ω Calculamos agora a tensão de Thevenin. A tensão de Thevenin será a diferença de potencial entre os postos A e B: 30Ω Ω A B o o 40V 80V 40Ω Ω Como o circuito está aberto, corrente alguma circula pelos resistores, de forma que eles podem ser eliminados do circuito: 40V Eletricidade – Módulo I A B o o 80V 79 Colégio Agulhas Negras Aplicando-se um ponto de referência5 podemos determinar os potenciais nos pontos A e B: 40 A B o o 80 40V 80V . 0 0 0 A tensão de Thevenin será então: Vth = V A − V B = 40 − 80 Vth = −40V Temos então o seguinte circuito equivalente: . Rth = 70Ω Ω A o Vth = -40V 10Ω Ω (retirado do circuito) i . o B A corrente i será dada por: i= Vth − 40 − 40 = = Requ 70 + 10 80 i = −0,5A O sinal negativo significa que,ao contrário da convenção adotada, a corrente flui do ponto B para o ponto A, ou seja, da direita para a esquerda. 5 Geralmente para a determinação da tensão de Thevenin utiliza-se um método auxiliar, assim como foi utilizado o método do ponto de referência para a determinação da tensão de Thevenin neste circuito. 80 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 10.3 Exercícios propostos: 10.3.1 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 30Ω 20Ω Ω 40Ω Ω 60 V 120 V 80Ω Ω 10.3.2 No circuito abaixo, calcule o valor da tensão no resistor de 12Ω. 16Ω 12Ω 48V 8Ω 10.3.3 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 15Ω. 30Ω Ω 30Ω Ω 60 V 90 V Ω 15Ω 10.3.4 No circuito abaixo, calcule o valor da corrente no resistor de 3Ω. 12Ω 12V Eletricidade – Módulo I 3Ω 5Ω 81 Colégio Agulhas Negras 10.3.5 No circuito abaixo, calcule o valor da tensão no resistor de 20Ω. 20Ω Ω 40Ω Ω 60 V 82 80Ω Ω 120 V Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras Apêndice A TABELA DE CÓDIGO DE CORES PARA RESISTORES Cor Preto Marrom Vermelho Laranja Amarelo Verde Azul Violeta Cinza Branco Ouro Prata 1ª Faixa 2ª Faixa 3ª Faixa 4ª Faixa* (1o algarismo) (2o algarismo) (multiplicador) (tolerância) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - x1 x 10 x 100 x 1.000 x 10.000 x 100.000 x 1.000.000 x 0,1 x 0,01 1% 2% 5% 10% * A não existência da 4ª faixa significa uma tolerância de 20%. Exemplo: 1ª Faixa Marrom (1) 2ª Faixa Preto (0) 3ª Faixa Vermelho (x 100) 4ª Faixa Ouro (5%) Resistência = 10 x 100 = 1000Ω =1ΚΩ Tolerância = 5% Eletricidade – Módulo I 83 Colégio Agulhas Negras Apêndice B TABELAS DE CONVERSÃO DE UNIDADES TABELA DE PREFIXOS Prefixo Nome Fator multiplicador x 1012 x 109 x 106 x 103 x1 x 10-3 x 10-6 x 10-9 x 10-12 T Tera G Giga M Mega K Kilo Sem prefixo m mili micro µ n nano p pico TABELA PARA CONVERSÃO DE UNIDADES Unidades secundárias Unidades primárias T G M K – m µ n p T 1 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 G 10-3 1 103 106 109 1012 1015 1018 1021 M 10-6 10-3 1 103 106 109 1012 1015 1018 K 10-9 10-6 10-3 1 103 106 109 1012 1015 – 10-12 10-9 10-6 10-3 1 10-3 10-6 10-9 10-12 m µ -15 10 10-18 10-12 10-15 10-9 10-12 10-6 10-9 10-3 10-6 1 10-3 103 1 6 10 103 109 106 n 10-21 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 1 103 p 10-24 10-21 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 1 Exemplos: a) Transformar 25KΩ para µΩ . Na primeira linha, (unidades primárias) selecionar a coluna “K”. Em seguida, cruzar com a linha da primeira coluna (unidades secundárias) correspondente à letra “µ”. O valor observado é o fator multiplicador (109). O resultado será então: 84 Eletricidade – Módulo I Colégio Agulhas Negras 25KΩ = 25x109µΩ ou 25.000.000.000µΩ b) Transformar 100mV para MV. Na primeira linha, selecionar a coluna “m”. Em seguida, cruzar com a linha da primeira coluna correspondente à letra “M”. O valor observado é o fator multiplicador (10-9). O resultado será então: 100mV = 100x10-9MV ou 0,0000001MV c) Transformar 250µA para A. Na primeira linha, selecionar a coluna “µ”. Em seguida, cruzar com a linha da primeira coluna correspondente à “–” (sem prefixo). O valor observado é o fator multiplicador (10-6). O resultado será então: 250µA = 250x10-6A ou 0,000250A d) Transformar 500Ω para KΩ . Na primeira linha, selecionar a coluna “–” (sem prefixo). Em seguida, cruzar com a linha da primeira coluna correspondente à “K”. O valor observado é o fator multiplicador (10-3). O resultado será então: 500Ω = 500x10-3KΩ ou 0,500KΩ Eletricidade – Módulo I 85