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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG Centro de Ciˆencias e Tecnologia - CCT Unidade Acadˆemica de Estat´ıstica
Distribui¸ca˜o multinomial
Alunos:Alan da Silva e Paulo Ricardo Peixoto de Alencar Disciplina: Probabilidade I
Campina Grande - PB, 4 de junho de 2016
1
A distribui¸c˜ ao multinomial
A distribui¸ca˜o multinomial ´e uma extens˜ao da distribui¸ca˜o binomial. O experimento binomial passa a ser multinomial quando em cada evento ou tentativa , tivermos mais de dois poss´ıveis resultados de interesse. Podemos citar como exemplo um evento que tem mais de trˆes poss´ıveis resultados, como a classifica¸ca˜o de um produto em: normal, defeituoso ou recuper´avel. Um experimento multinomial tem as seguintes caracter´ısticas: • O experimento consiste de n tentativas repetidas. • Cada tentativa tem um n´ umero discreto resultados poss´ıveis. • Em qualquer tentativa dada, a probabilidade de que um particular resultado ocorrer´a ´e constante. • As tentativas s˜ao independentes • Cada tentativa pode ter dois ou mais resultados poss´ıveis.
1.1
A fun¸ c˜ ao de probabiidade
Considere um experimento dividido em n ensaios independentes, no qual cada ensaio resulta em um n´ umero finito k de valores poss´ıveis com probak X bilidades p1 , p2 , . . . , pk (de modo que pi ≥ 0 para i = 1, . . . , k e pi = i=1
1).Tomando a vari´avel aleat´oria Xi que representa o n´ umero de vezes que o ´ındice i foi observado nos n ensaios, o vetor X = (X1 , . . . , Xk ) segue uma distribui¸ca˜o multinomial com parˆametros n e p onde p = (p1 , . . . , pk ). Com isso, sua distribui¸ca˜o de probabilidade ´e dada por
P (X1 = n1 , ..., Xk = nk ) =
n! × pn1 1 × pn2 2 × ... × pnk k n1 ! × ... × nk !
Denotamos X ∼ M ulti(n, p1 , . . . , pk ).
1.2
Fun¸ c˜ ao geradora de momentos, esperan¸ca e variˆ ancia
Se X ∼ M ulti(n, p1 , · · · , pk ) ent˜ao sua fun¸ca˜o geradora de momentos ´e dada por:
MX (t) = E e
tX
=
X
etx P [X = k] =
x
n X
···
j1
n X jk
n! etj1 · · · etjk pj1 · · · pjkk = j1 ! · · · jk 1
O valor esperado do n´ umero de vezes em que o ´ındice i ´e observado ´e dado por E(Xi ) = npi 1.2.1
Demonstra¸c˜ ao
O teorema dos coeficientes multinomiais nos garante que: x1 + x2 + x3 + . . . + xi = n, i ≥ 0 observe que podemos ver o teorema escrito da seguinte forma Y (1) = n − x1 = x2 + x3 + . . . + xk Y (2) = n − x2 = x1 + x3 + . . . + xk .. . Y (k) = n − xk = x1 + x2 + . . . + xk−1 podemos generalizar essa express˜ao e escrevˆe-la da seguinte forma X xj j6=xi
como queremos mostrar a esperan¸ca da distribui¸ca˜o multinomial de um certo parˆametro xk podemos demonstrar a esperan¸ca de xk considerando apenas ele o parˆametro de interesse, ou seja, o sucesso, e os demais parˆametros consideraremos como fracasso. Em consequˆencia disso, passamos a ter que demonstrar uma distribui¸ca˜o binomial, logo percebemos o motivo de termos escrito as express˜oes a cima.
E(Xk ) =
n X k=0
n X n! n xk pxkk (1 − pk )n−xk = xk pxk (1 − pk )n−xk = xk xk !(n − xk )! k k=0
quando k=0 a parcela correspondete no somat´orio ´e nula. Dessa forma, podemos escrever o seguinte:
n X i=1
!n pi eti
.
E(Xk ) =
n X k=1
xk
n! pxkk (1 − pk )n−xk xk (xk − 1)!(n − xk )!
e como xk 6= 0 podemos efetuar a divis˜ao
E(Xk ) =
n X k=1
= npk
n X k=1
n
X n! n(n − 1)! pxkk (1−pk )n−xk = (pk ×pxkk −1 )(1−pk )n−xk (xk − 1)!(n − xk )! (x − 1)!(n − x )! k k k=1
n X (n − 1)! n−1 xk −1 n−xk = npk pxkk −1 (1−pk )n−xk pk (1−pk ) x − 1 (xk − 1)!(n − xk )! k k=1
vamos agora, fazer a mudan¸ca de vari´avel q = k − 1 ⇐⇒ k = q + 1, dai
npk
n−1 X n−1 xq
q=0
pqq (1
(n−(q+1))
− pq )
= npk
n−1 X n−1 q=0
xq
pqq (1 − pq )(n−1−q)
sabemos que este somat´orio ´e equivalente a soma das probabilidades, ou seja, ´e igual a 1. Portanto, o que nos resta ´e o valor esperado da distribui¸c˜ao multinomial do parˆametro xk E(Xk ) = npk e a variˆancia V ar(Xk ) = npk (1 − pk ) . 1.2.2
Demonstra¸c˜ ao V ar(Xk ) = E(Xk2 ) − E 2 (Xk )
De maneira an´aloga a demonstra¸c˜ao da esperan¸ca, vamos achar E(Xk2 ).
E(Xk2 )
=
n X xk =0
x2k
n X n! n pxkk (1 − pk )n−xk = x2k pxkk (1 − pk )n−xk xk x !(n − x )! k k x =0 k
=
n X
x2k
xk =1
n X n! n! xk n−xk = xk pk (1−pk ) pxkk (1−pk )n−xk xk (xk − 1)!(n − xk )! (xk − 1)!(n − xk )! x =1 k
n X
=
xk
xk =1
n(n − 1)! (pk × pxkk −1 )(1 − pk )n−xk (xk − 1)!(n − xk )!
n X
= npk
xk =1
xk
(n − 1)! pxk −1 (1 − pk )n−xk (xk − 1)!(n − xk )! k
usando novamente q = k − 1 ⇐⇒ k = q + 1, temos n−1 X = npk (xq +1) q=0
= npk
n−1 X q=0
n−1 X (n − 1)! n−1 q q n−1−q p (1−pq ) = npk (xq +1) pq (1−pq )n−1−q xq xq !(n − 1 − xq )! q q=0
n−1 X n−1 q n−1 q n−1−q xq pq (1 − pq ) + npk pq (1 − pq )n−1−q xq xq q=0
dai temos que o primeiro somat´orio ´e igual (n − 1)pk e o segundo ´e igual a pk . Colocando npk em evidˆencia temos: E(Xk2 ) = npk [(n − 1)pk − 1] = n2 p2k − np2k + npk e substituindo, V ar(Xk ) = n2 p2k + npk − (npk )2 = npk − np2k = npk (1 − pk )
1.3 1.3.1
Exemplos de aplica¸c˜ ao da distribui¸c˜ ao multinominal Exemplo 1
Os seguintes eventos podem ocorrer com um pacote enviado pelo correio: chegar em perfeito estado, chegar danificado ou perder-se pelo caminho. As probabilidades desses eventos s˜ao, respectivamente 0,7, 0,2 e 0,1. Foram enviados recentemente 10 pacotes pelo correio. Qual a probabilidade de 6 chegarem corretamente ao destino, 2 serem perdidos e os outros 2 avariados?
Solu¸c˜ ao Primeiramente deve-se definir quais s˜ao as vari´aveis aleat´orias do problema n1 : n´ umero de pacotes que chegaram corretamente e sem danos (6) n2 : n´ umero de pacotes que chegaram avariados (2) n3 : n´ umero de pacotes que se perderam pelo caminho (2) Ent˜ao ,n1 + n2 + n3 = n = 10 , logo a probabilidade ser´a: P (n1 = 6, n2 = 2, n3 = 2) = 1.3.2
10! . × (0, 7)6 × (0, 2)2 × (0, 1)2 = 0, 059 6! × 2! × 2!
Exemplo 2
Na inspe¸ca˜o de qualidade de um produto s˜ao utilizadas quatro categorias para classifica¸ca˜o: conforme, aproveit´avel, recicl´avel e refugado. As probabilidades de pertencer a cada um dos grupos s˜ao, respectivamente: p1 = 0,70 , p2 = 0,15 , p3 = 0,10 e p4= 0,05. Em um lote de 10 unidades, qual a probabilidade de se encontrar seis unidades conformes, duas aproveit´aveis, uma recicl´avel e uma refugada? Solu¸c˜ ao n1 = n2 = n3 = n4 =
6 unidades conformes 2 unidades aproveit´aveis 1unidade recicl´avel 1 unidade refugada
P (n1 = 6, n2 = 2, n3 = 1, n4 = 1) = (0, 05)1 = 0, 0334
2
10! 6!×2!×1!×1!
× (0, 70)6 × (0, 15)2 × (0, 10)1 ×
Referˆ encias bibliogr´ aficas
HOEL, Paul G. Introdu¸c˜ao `a teoria da probabilidade. 4a ed. Rio de Janeiro, Interciˆencia, 1978. FELLER, William. Introdua¸c˜ao a teoria das probabilidades e suas aplica¸c˜oes Parte 1 - Espa¸cos amostrais discretos. 2a ed. S˜ao Paulo, Edgard Bl¨ ucher, 1976.
