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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5355 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica PME2100 – Mecânica A Terceira Prova – 29 de Novembro de 2005 – Duração: 100 minutos GABARITO B
1ª Questão (3,0 pontos). No instante inicial a barra AB homogênea, de massa m e comprimento 2a, encontra-se na posição vertical e em repouso. Devido a uma pequena perturbação, a barra cai deslizando sua extremidade A sobre um plano. Pede-se:
a
g
a
G
r j
h
A
2
Dado: Momento de inércia baricêntrico da barra AB: J GZ = mL 12 (a) Justificar que o movimento do baricentro G é na vertical. (b) A relação entre a velocidade angular ω da barra e a velocidade do baricentro vG. (c) O trabalho τ das forças atuantes na barra em função da altura h. (d) A energia cinética da barra em função da altura h. (e) A velocidade do baricentro vG em função da altura h.
Solução a) dcl da barra: r r r r r r ma G = (YA − mg ) j → a G .i = 0 → vG .i = cte = 0 ( parte do repouso)
YA
∴ xG é constante. (0,5)
mg b) CIR da barra:
( )
CIR
r r vG = ω − k ∧ (G − CIR ) 1 r r vG = −ω (a 2 − h 2 ) 2 j
G
vG = ω 2 (a 2 − h 2 ) (0,5) 2
vG
vA
c) τ = mg (a − h) (0,5) d) T =
( (
mvG2 4a 2 − 3h 2 1 2 1 m 4a 2 ; ∴T = mvG + J zG ω 2 ; J zG = 2 2 12 6 a 2 − h2
e) TEC: mg (a − h) =
( (
)
)
)
(1,0)
mvG2 4a 2 − 3h 2 6(a + h ) → vG = (a − h ) 2 2 6 a −h 4a 2 − 3h 2
)
(
)
(0,5)
r i
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Departamento de Engenharia Mecânica 2ª Questão (3,5 pontos). Um cilindro homogêneo de massa m e raio R rola sem escorregar sobre o r
bloco B, de massa M, sob a ação de uma força F aplicada no ponto G. O bloco escorrega sem atrito sobre o plano horizontal. Dado o coeficiente de atrito µ entre o cilindro e o bloco, e adotando o sistema de coordenadas (O,x,y,z) solidário ao bloco, pede-se: x 2 r mR Dado: Momento de inércia do disco: J GZ = g F 2 R m B (a) O diagrama de corpo livre do cilindro e o diagrama de corpo G livre do bloco B. C r y (b) O vetor aceleração a G do baricentro em função da aceleração M angular do cilindro ω& . r (c) O vetor aceleração angular do cilindro ω& , o vetor aceleração O θ do bloco B e o vetor aceleração do baricentro. r (d) A máxima força F para que não ocorra escorregamento em C.
Solução a) DCLs: F N
Fat
Fat
mg
V
N Mg
(1,0) r r r r r r r r r r r r b) aG = aG ,rel + aG ,arr + aG ,Cor ; aG ,rel = ω& R i ; aG ,arr = a B i ; aG ,Cor = 0 → aG = (a B + ω& R )i c)TMB disco m(a B + ω& R ) = −mg sin θ + F − Fat (0,5) N = mg cos θ TMB bloco Ma B = − Mg sin θ + Fat (0,5) V = N + mg cos θ TMA disco J GZ ω& = Fat R (0,5) Resolvendo as equações, chega-se a: 2 FM F − (m + 3M )g sin θ r F (m + 2M ) − m(m + 3M )g sin θ r ; aB = ; aG = ω& = i (m + 3M ) (m + 3M )m (m + 3M )mR (m + 3M )µ mg cos θ FM ≤ Fat máx = µ mg cos θ → F ≤ (0,5) d) Fat = (m + 3M ) M
(0,5)
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Departamento de Engenharia Mecânica 3ª Questão (3,5 pontos). O disco de massa m e raio r, está suspenso pela barra AB, de massa desprezível e comprimento 3r, articulada em A. Uma mola de constante elástica K é presa ao baricentro G do disco. A mola se mantém na direção vertical durante o movimento. No instante inicial t = 0 , θ (0) = θ 0 , o sistema está em repouso e a mola não está distendida. Pede-se: Dado: Momento de inércia baricêntrico do disco: J GZ = mR (a) (b) (c) (d)
A θ
K B r G
ω
m
2
2 A energia cinética do sistema em função da velocidade angular ω . O trabalho das forças externas aplicadas ao sistema, em função da posição angular θ . r O vetor velocidade angular ω do disco. r O vetor aceleração angular ω& do disco.
Solução r r 1 1 mr 2 33mω 2 r 2 a) T = mvG2 + J zG ω 2 ; J zG = ; vG = 4ωr (cos θ i − sin θ j ) → T = 4 2 2 2 b) τ = mg 4r (cos θ − cos θ 0 ) −
K (4r cos θ − 4r cos θ 0 ) 2 2
(1,0)
(1,0)
c) TEC: K 33mω 2 r 2 = mg 4r (cos θ − cos θ 0 ) − (4r cos θ − 4r cos θ 0 ) 2 → 4 2 1 2 r r 16 g 32 K 2 ω= (cos θ − cos θ 0 ) − (cos θ − cos θ 0 ) k 33m 33r
33 m 2ωω& r 2 K d) = mg 4r (− sinθ )θ& − 2(4r cos θ − 4r cos θ 0 )(−4rsinθ )θ& → 4 2 r r 8 g 32 K − (cos θ − cos θ 0 ) sinθ , com ω& = ω& k 33r 33m
ω& =
(0,5)
(1,0)
g
