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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME 2100 – MECÂNICA A Terceira Prova – 06 de dezembro de 2002 – Duração: 100 minutos (importante: não é permitida a utilização de calculadoras) Nome: ______________________________________________________________________________________ Assinatura: ___________________________________________________________________________________
(5,0 pontos) Questão 1 – O vagão mostrado na figura é tracionado por uma força T a uma altura h dos eixos das rodas de maneira que os esforços nos dois eixos sejam iguais. A massa da carroceria do vagão é M e a massa de cada uma das rodas é m, supostas homogêneas. A altura do baricentro da carroceria é H em relação ao eixo das rodas. Sabendo que as rodas rolam sem escorregar, pede-se:
! j
g
a) O diagrama de corpo livre do vagão e os diagramas de corpo livre de cada roda. (½ + ½) ! i
G T H h R
b) A aplicação do Teorema do Movimento do Baricentro e do Teorema do Momento Angular em uma roda. (½ + ½) c) A aplicação do Teorema do Movimento do Baricentro e do Teorema do Momento Angular no vagão. (½ + ½) d) A aceleração do vagão. ( 1 )
a
e) A altura h do engate do vagão para que os esforços nos dois eixos sejam iguais. ( 1 )
a
Dado: para um disco homogêneo de centro de massa em C e raio R: J C z =
mR 2 2
(5,0 pontos) Questão 2 – Um sólido é composto por uma barra AB, homogênea, de comprimento L e massa 3M e dois pontos materiais de massa M cada um, rigidamente fixados nas extremidades A e B da barra. O sólido é articulado sem atrito em A. Pede-se: a) O momento de inércia do sólido em relação ao eixo paralelo ! ao versor k e que passa pelo ponto A. b) A velocidade angular do sólido, em função de θ. Sabe-se que ele é liberado em θ = 30o , partindo do repouso. Use o Teorema da Energia Cinética c) O diagrama de corpo livre do sólido na posição inicial, θ = 30o, logo depois de liberado. d) A aceleração angular do sólido, para θ = 30 , logo depois de liberado. Use o Teorema do Momento Angular. o
θ
A
e) As reações da articulação A no sólido neste instante. JG z =
B
g
ml 2 (para uma barra homogênea de massa m e comprimento l) 12
L ! k
! j
! i
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME 2100 – MECÂNICA A Terceira Prova – 06 de dezembro de 2002 – Gabarito (5,0 pontos) Questão 1 – O vagão mostrado na figura é tracionado por uma força T a uma altura h dos eixos das rodas de maneira que os esforços nos dois eixos são iguais. A massa da carroceria do vagão é M e a massa de cada uma das rodas é m, supostas homogêneas. A altura do baricentro da carroceria é H em relação ao eixo das rodas. Sabendo que as rodas rolam sem escorregar, pede-se:
! j
g
a) O diagrama de corpo livre do vagão e os diagramas de corpo livre de cada roda. ! i
G
b) A aplicação do Teorema do Movimento do Baricentro e do Teorema do Momento Angular em uma roda.
T
c) A aplicação do Teorema do Movimento do Baricentro e do Teorema do Momento Angular no vagão.
H h R
d) A aceleração do vagão. a
e) A altura h do engate do vagão para que os esforços nos dois eixos sejam iguais.
a
Para um disco homogêneo de centro de massa em C e raio R temos: J C z = Solução: Item (a) O enunciado informa que os esforços nos dois eixos são iguais: Diagrama de corpo livre do vagão:
mR 2 2
Diagramas de corpo livre das rodas:
G N Mg
H
N
F
T mg
F
mg
h Fa F
F N
a
Fa Na
Na
N
a
Item (b)
Item (c)
Roda:
Vagão:
Teorema do Movimento do Baricentro: ma Rx = F − Fa (1) ma Ry = N a − N − mg (2)
Teorema do Movimento do Baricentro: Ma Gx = T − 2 F (4) MaGy = 2 N − Mg (5)
Teorema do Momento Angular: J R ω" R = Fa R
Teorema do Momento Angular: J G ω" = −2 FH + T (H − h )
(3)
(6)
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica Item (d): Observando o movimento do vagão temos: a Ry = a Gy = 0 Como não há escorregamento, e como o centro da roda translada com o vagão: a Rx = a Gx = a G Como: a ω" R = Rx R então: a ω" R = G (7) R Usando (7) em (3): mR 2 a G = Fa R 2 R maG Fa = (8) 2 De (1) e (8): maG = F − Fa F = maG + Fa = maG +
maG 2
3ma G 2 Aplicando (9) em (4): F=
Ma G = T − 2 F = T − 2
(9) 3ma G = T − 3ma G 2
Ma G + 3ma G = T
(M + 3m)a G aG =
=T
T
(10)
(M + 3m )
Item (e) Usando (9) e (10) em (6), e sabendo que ω" = 0 : T (H − h ) = 2 FH
T (H − h ) = 3ma G H T (H − h ) = 3m H −h =
T
(M + 3m )
3m H (M + 3m )
3m h = 1 − H ( M + 3m ) M H h= (M + 3m )
H
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica (5,0 pontos) Questão 2 – Um sólido é composto por uma barra AB, homogênea, de comprimento L e massa 3M e dois pontos materiais de massa M cada um, rigidamente fixados nas extremidades A e B da barra. O sólido é articulado sem atrito em A. Pede-se: a) O momento de inércia do sólido em relação ao eixo paralelo ! ao versor k e que passa pelo ponto A. (½ + ½)
θ
c) O diagrama de corpo livre do sólido na posição θ = 30 , logo depois de liberado. ( 1 ) o
d) A aceleração angular do sólido para θ = 30o , logo depois de liberado. Use o Teorema do Momento Angular. (½ + ½)
B
g
b) A velocidade angular do sólido, em função de θ, sabendo que ele é liberado em θ = 30o , partindo do repouso. Use o Teorema da Energia Cinética (½ + ½)
A
L ! k
! j
e) As reações da articulação A no sólido neste instante. (½ + ½) JGz =
ml 2 (para uma barra homogênea de massa m e comprimento l) 12
Solução: Item (a) J Az =
(3M )L2 + (3M ) L 2 + M 0 2 + ML2 = 3ML2 &#% # #$ #
12 2 &###%## #$
pontos materiais
12
+
3ML2 3ML2 + 9 ML2 + 12 ML2 24ML2 + ML2 = = 4 12 12
barra
J Az = 2 ML
2
Item (b) Energia cinética: J θ" 2 2 ML2 " 2 = θ = ML2θ" 2 E = Az 2 2 Trabalho da força peso: L 3 L W = 5Mg cos 30o − cosθ = 5Mg − cosθ 2 2 2
(
)
Teorema da energia cinética (o sólido parte do repouso): E − E0 = W ⇒ E − 0 = W L 3 − cosθ ML2θ" 2 = 5Mg 2 2 L 3 5Mg − cosθ 2 2 θ" 2 = ML2
(
)
(
)
5 g 3 − 2 cosθ θ" 2 = 4L
θ" =
5 g 3 − 2 cosθ 4L
! i
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica Item (c) Pela simetria, o baricentro do sólido está no centro da barra, e pelo enunciado, a massa do sólido é 5M. B 1 L 2 2
! k
G 30
! i
! j
o
5Mg 3 L 2 2
YA A
XA
Item (d) Teorema do Momento Angular: 5g 5 L J Az ω" = (5Mg ) ⇒ 2 ML2ω" = MgL ⇒ ω" = 4 8L 4 Item (e) Teorema do Movimento do Baricentro: ! ! (5M )a!G = X A i + (− Y A + 5Mg ) j Pela cinemática: ! ! ! ! ! a = a + ω" ∧ (G − A) + ω ∧ [ω ∧ (G − A)] G
(I)
A
! 5g ! Como ω" é no sentido horário, ω" = k , e considerando que o ponto A é fixo e que logo após a liberação da barra 8L ! ! temos ω = 0 : ! 5 g ! L ! 3 L ! aG = k∧ i− j 4 8L 4 ! 5 3g ! 5g ! aG = i+ j 32 32 ! ! (5M )a!G = 5M 5 3 g i + 5M 5 g j 32 32 ! ! (5M )a!G = 25 3 Mgi + 25 Mg j (II) 32 32 Comparando (I) e (II): 25 3 Mg 32 25 135 Mg ⇒ Y A = Mg − Y A + 5Mg = 32 32 XA =
! ! 25 3 XA = Mg i 32 ! ! 135 YA = − Mg j 32
