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PME2100
Gabarito da 2a Prova
Departamento de Engenharia Mecˆ anica - PME
1
29/10/2004 Escola Polit´ecnica da USP
Quest˜ ao (3,0 pontos)
Uma for¸ca F ´e aplicada na pe¸ca em forma de U. Esta pe¸ca pode deslizar ao longo da guia. No ponto de contato em A o coeficiente de atrito ´e nulo, e no ponto de contato em B o coeficiente de atrito ´e µ. a) Desenhe o diagrama de corpo livre da pe¸ca em forma de U. b) Em fun¸ca˜o de a, F e µ, determine o intervalo dos valores de b compat´ıvel com o equil´ıbrio. A
µΑ = 0
B
µΒ = µ
Peça em forma de U
b
a
Guia
F
Figura 1: Pe¸ca em forma de U
1.1
Solu¸c˜ ao NA A
b
Peça em forma de U
µΑ = 0
TB NB
B
µΒ = µ a F
Figura 2: Diagrama de Corpo Livre (1,0) Equa¸c˜oes do equil´ıbrio da pe¸ca em forma de U: (1,0) vertical: horizontal: momento com polo B:
TB = F NA = NB NA · b = F · a
⇒
N A = NB =
a F b
Atrito sem escorregamento: TB ≤ µ N B
(0,5)
⇒
F ≤µ
a F b
⇒
b≤µa
(0,5)
2
Quest˜ ao (3,5 pontos)
j
i
ω1
C R2
L θ
R1
B
Figura 3: Sistema composto de uma barra AB e dois discos Os discos de raios R1 e R2 rolam sem escorregar e o disco de raio R2 est´a sempre em ´ conhecida a velocidade angular ω1 (constante) do disco de raio contato com a parede. E R1 . Em fun¸c˜ao de ω1 , θ, L, R1 e R2 , calcule: a) A velocidade ~vB do ponto B. b) A velocidade angular ωBC da barra BC e a velocidade ~vC do ponto C. c) A velocidade angular ω2 e a acelera¸c˜ao angular ω˙ 2 do disco de raio R2 . d) As acelera¸co˜es ~aC do ponto C e ~aCIR do CIR do disco de raio R2 .
2.1
Solu¸c˜ ao ω2 ωBC ω1
C
O=CIRBC
vC
vC C
L θ
vB B
vB
A=CIRB
Figura 4: Movimento dos trˆes s´olidos a) Disco B
~vB = ~vA + ω ~ 1 ∧ (B − A) |{z}
|{z}
~0
−ω1 ~k
|
{z
R1 ~j
}
⇒
~vB = ω1 R1 ~i
(0,5)
D=CIRC
b) Barra AB ~vC = ~vB + ω ~ BC ∧ (C − B)
(
⇒
0 = ω1 R1 − ωBC L sin θ vC = ωBC L cos θ
vC =
³
vC~j = ω1 R1~i + ωBC~k ∧ L cos θ~i + sin θ~j
⇒
ωBC =
ω1 R1 cos θ sin θ
ω1 R1 L sin θ
´
(0,5)
(0, 5)
c) Disco C
~vC = ~vD + ω ~ 2 ∧ (C − D) |{z}
|{z}
~0
−ω2 ~k
|
{z
}
⇒
ω2 =
−R2~i
ω˙ 2 =
ω1 R1 cos θ R2 sin θ
(0,5)
dω2 −ω1 R1 θ˙ = dt R2 sin2 θ
como
θ˙ = ωBC
⇒
ω˙ 2 =
−ω12 R12 R2 L sin3 θ
(0,5)
d) Disco C
~aC =
d~vC −ω12 R12 ~ = j dt L sin3 θ
(0,5)
e ~aD = ~aC + ω ~˙ 2 ∧ (D − C) + ω ~ 2 ∧ [~ω2 ∧ (D − C)] "
#
−ω12 R12 ~ ω12 R12 ~ ~ ω1 R1 cos θ ~k ∧ ω1 R1 cos θ ~k ∧ R2~i ~aD = j + 3 3 k ∧ R2 i + R2 sin θ R2 sin θ L sin θ R2 L sin θ
~aD = −
ω12 R12 cos2 θ~ i R2 sin2 θ
(0,5)
3
Quest˜ ao (3,5 pontos)
A placa ABCD pode girar em torno do eixo Ox, e sua velocidade angular em rela¸ca˜o ao garfo ´e ω2 (constante). O garfo (referencial m´ovel) gira em torno do eixo Oz com velocidade angular ω1 (constante) em rela¸ca˜o ao solo (referencial fixo). No instante em que a placa ABCD est´a na vertical, conforme mostra a figura, determine, em fun¸c˜ao de ω1 , ω2 , a e b, e na base (~i, ~j, ~k) que orienta o sistema de coordenadas Oxyz (solid´aria ao garfo): a) As velocidades relativa ~vA,rel , de arrastamento ~vA,arr e absoluta ~vA,abs do ponto A. b) As acelera¸co˜es relativa ~aA,rel , de Coriolis ~aA,cor e absoluta ~aA,abs do ponto A. c) O vetor velocidade angular absoluta ω ~ abs da placa ABCD, e seu vetor acelera¸ca˜o ˙ angular absoluta ω ~ abs .
z b
D
b Placa ABCD
A
a k
ω2 i
x
O
a
y j
C B
Garfo (referencial móvel)
ω1
Solo (referencial fixo) Figura 5: Composi¸c˜ao de movimentos de rota¸ca˜o
3.1
Solu¸c˜ ao
a) Item (a):
³
´
~vA,rel = ~v0,rel + ω ~ 2 ∧ (A − O) = ~0 + ω2~i ∧ b~i + a~k = −ω2 a~j
⇒
~vA,rel = −ω2 a~j
(0,4)
³
´
~vA,arr = ~v0,arr + ω ~ 1 ∧ (A − O) = ~0 + ω1~k ∧ b~i + a~k = ω1 b~j
~vA,abs = ~vA,rel + ~vA,arr = −ω2 a~j + ω1 b~j
⇒
⇒
~vA,arr = ω1 b~j
~vA,abs = (ω1 b − ω2 a) ~j
(0,4)
(0,3)
b) Item (b): ³
~aA,rel = ~a0,rel + ω ~˙ 2
´ rel
³
∧ (A − O) + ω ~ 2 ∧ [~ω2 ∧ (A − 0)] ´
h
³
= ~0 + ~0 ∧ b~i + a~k + ω2~i ∧ ω2~i ∧ b~i + a~k h
~aA,rel = ω2~i ∧ −ω2 a~j = −ω22 a~k
´i
i
~aA,rel = −ω22 a~k
⇒
(0,4)
~aA,arr = ~a0,arr + ω ~˙ 1 ∧ (A − O) + ω ~ 1 ∧ [~ω1 ∧ (A − 0)] ³ ´ h ³ ´i = ~0 + ~0 ∧ b~i + a~k + ω1~k ∧ ω1~k ∧ b~i + a~k h
~aA,arr = ω1~k ∧ −ω1 b~j = −ω12 b~i
i
⇒
~aA,arr = −ω12 b~i ³
~aA,cor = 2~ω1 ∧ ~vA,rel = 2ω1~k ∧ −ω2 a~j = 2ω1 ω2 a~i
⇒
(0,4)
´
~aA,cor = 2ω1 ω2 a~i
(0,4)
~aA,abs = ~aA,rel + ~aA,arr + ~aA,cor = −ω22 a~k − ω12 b~i + 2ω1 ω2 a~i ³
´
~aA,abs = 2ω1 ω2 a − ω12 b ~i − ω22 a~k
(0,4)
c) Item (c):
ω ~ abs = ω ~ rel + ω ~ arr = ω2~i + ω1~k
³
ω ~˙ abs = ω ~˙ rel
´ rel
⇒
ω ~ abs = ω2~i + ω1~k
+ω ~˙ arr +~ωarr ∧~ωrel = ~0+~0+ω1~k∧ω2~i = ω2 ω1~j
⇒
(0,4)
ω ~˙ abs = ω2 ω1~j
(0,4)
