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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME 2100 – MECÂNICA A Segunda Prova – 25 de outubro de 2002 – Duração: 100 minutos (importante: não é permitida a utilização de calculadoras) GABARITO a g F
a a 2a
h
a 2a
O
(3,0 pontos) Questão 1 – Aplica-se uma força F horizontal num sólido homogêneo de massa m, conforme mostrado na figura. O coeficiente de atrito entre o sólido e o solo é µ. Pedese: a) O diagrama de corpo livre do sólido. b) A força F máxima para que não ocorra escorregamento e nem pivotamento em torno do ponto O. c) A relação entre a, µ e h para que a eminência de escorregamento e pivotamento em torno do ponto O aconteçam simultaneamente.
F
G xG mg
h
xG =
O
a 2 (a ) 5a 2 = 2 3a 6
a ( 2a 2 ) +
Fat N
d
Equações de equilíbrio:
∑F ∑F
x
= 0 ⇒ Fat = F
y
= 0 ⇒ N = mg
∑M
zO
= 0 ⇒ F ⋅ h = mg ⋅
5a − N⋅d 6
Para que não ocorra escorregamento – Lei de Coulomb Fat ≤ µN ⇒ F ≤ µmg Para que não ocorra pivotamento: Na iminência do pivotamento d=0, portanto, do equilíbrio de 5mga momentos, F = 6h 5mga Para que não ocorra escorregamento e nem pivotamento: Fmáx = mín µmg ; 6h
Para que o escorregamento e o pivotamento ocorram simultaneamente: µ =
5a 6h
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica (3,5 pontos) Questão 2 – O sistema é composto pela barra AB, de comprimento L, articulada em suas extremidades nos centros geométricos dos discos de raio R, que rolam sem escorregar. O vetor de rotação do disco de centro B é r r ωB = −ω k . Na posição mostrada na figura: r a) Determine a velocidade vB do ponto B.
r j L
r i
R A
b) Localize graficamente o CIR da barra AB. r c) Determine o vetor de rotação Ω da barra AB. r d) Determine a velocidade v A do ponto A e o vetor de rotar ção ω A do disco de centro A.
θ
R
o
B
45
CIR da barra
r j r i
Lcosθ
45o Lcosθ A L
C Direção da velocidade de A (paralela ao plano inclinado)
Lsenθ Direção da velocidade de B
θ 45o
B
r r v B = ωR i
r ( B − CIR ) = −L(sen θ + cos θ) j r r r r r v B = Ωk ∧ ( B − CIR ) ⇒ ωR i = ΩL(sen θ + cos θ ) i ⇒ Ω =
r r r r v A = v B + Ω k ∧ ( A − B ) = ωR i +
r ωR k L(sen θ + cos θ )
r r r ωR k ∧ ( −L cos θ i + L sen θ j ) L(sen θ + cos θ )
r r r ωR sen θ r ωR cos θ r r ωR cos θ i − j ⇒ v A = i−j v A = ωR − (sen θ + cos θ) (sen θ + cos θ) (sen θ + cos θ )
(
r r v A = ω A k ∧ (A − C) ⇒
r ⇒ ωA = −
)
r r r ωR cos θ 2R r r ωR cos θ ω 2R ( i − j) = ω A k ∧ ( i + j) ⇒ =− A (sen θ + cos θ) 2 (senθ + cos θ) 2
2 ω cos θ r k (sen θ + cos θ)
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica r r (3,5 pontos) Questão 3 –As barras AB e DE têm o mesmo comprimento L e mesmo vetor de rotação ω = −ω k (constante). O motor elétrico aciona um disco de raio R, de tal forma que seu vetor de rotação em relação à plataforma BE é r r Ω = Ω i (constante em relação à plataforma). Considerando a plataforma BE como referencial móvel, pede-se, na posição mostrada na figura: a r a) A velocidade v B do ponto B, e as velocidades de r r r arrastamento v P, arr , relativa v P, rel e absoluta v P, abs A
D
ω Motor elétrico
θ
Disco
L
P
r j Plataforma
R Ω O
do ponto P. r b) A aceleração a B do ponto B. r c) As acelerações relativa a P, rel , de arrastamento r r r a P ,arr , de Coriolis a P, Cor e absoluta a P ,abs do ponto P. rr r Obs.: use o sistemas de coordenadas O i j k , fixo na plataforma BE, para escrever as grandezas cinemáticas solicitadas.
C
r i
B
E a
r r r r r v B = −ωk ∧ ( B − A ) = −ωk ∧ −L(sen θ i + cos θ j ) ⇒
r r r v B = ωL(− cos θ i + senθ j )
Observando que a plataforma está em translação curvilínea, tem-se que todos os seus pontos têm a mesma velocidade, portanto: r r r r r v P , arr = v B ⇒ v P , arr = ωL( − cos θ i + senθ j ) r r r r r Para a velocidade relativa: v P , rel = Ω i ∧ R j ⇒ v P , rel = Ω Rk r r r r r r r A velocidade absoluta resulta em: v P = v P , arr + v P , rel ⇒ v P = ωL( − cos θ i + senθ j ) + ΩRk
Sendo ω constante: r r r r r r r r r r 2 a B = ω 2 k ∧ k ∧ ( B − A ) = ω 2 k ∧ k ∧ − L sen θ i − L cos θ j ⇒ a B = ω L sen θ i + cos θ j
[
]
[ (
)]
(
)
Observando novamente que a plataforma está em translação curvilínea, tem-se que todos os seus pontos têm a mesma velocidade e também mesma aceleração, portanto: r r r r r 2 a P, arr = a B ⇒ a P , arr = ω L sen θ i + cos θ j
(
)
Sendo Ω constante, tem-se para a aceleração relativa: r r r r r r r r a P , rel = Ω 2 i ∧ i ∧ (P − C) = Ω 2 i ∧ i ∧ R j ⇒ a P , rel = −Ω 2 R j
[
]
[
]
Sendo a plataforma o referencial móvel e estando o mesmo em translação curvilínea, tem-se que a aceleração de Coriolis é nula. r r r r r r r A aceleração absoluta resulta em: a P = a P, arr + a P, rel + a P , cor ⇒ a P = ω 2 L sen θ i + (ω 2 L cos θ − Ω 2 R ) j
